Според теорията на вероятностите. Видове събития, директно изчисляване на вероятността за настъпване на събитие

Учението за законите, към които се прилагат т.нар. случайни събития. Речник на чужди думи, включени в руския език. Чудинов А.Н., 1910 г. ... Речник на чужди думи на руския език

теория на вероятностите- - [L.G. Суменко. Английски руски речник на информационните технологии. М.: GP TsNIIS, 2003.] Теми на информационните технологии като цяло EN теория на вероятностите теория на изчислението на вероятностите ... Наръчник за технически преводач

Теория на вероятностите- има част от математиката, която изучава връзките между вероятностите (вижте Вероятност и статистика) на различни събития. Изброяваме най-важните теореми, свързани с тази наука. Вероятността за възникване на едно от няколкото несъвместими събития е равна на ... ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА- математически наука, която позволява, според вероятностите на някои случайни събития (виж), да се намерят вероятностите за случайни събития, свързани с k. l. начин с първия. Модерен телевизор въз основа на аксиоматиката (виж Аксиоматичен метод) на А. Н. Колмогоров. На… … Руска социологическа енциклопедия

Теория на вероятностите- раздел на математиката, в който според дадените вероятности на някои случайни събития се намират вероятностите на други събития, свързани по някакъв начин с първото. Теорията на вероятностите също изучава случайни променливи и случайни процеси. Един от основните…… Концепции на съвременното естествознание. Речник на основните термини

теория на вероятностите- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. теория на вероятностите вок. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теория на вероятностите, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Теория на вероятностите- ... Уикипедия

Теория на вероятностите- математическа дисциплина, която изучава моделите на случайни явления ... Началото на съвременното естествознание

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА- (теория на вероятностите) вижте Вероятност... Голям обяснителен социологически речник

Теория на вероятностите и нейните приложения- („Теория на вероятностите и нейните приложения“), научно списание на Департамента по математика на Академията на науките на СССР. Публикува оригинални статии и кратки съобщения по теория на вероятностите, общи въпроси на математическата статистика и тяхното приложение в природните науки и ... ... Голяма съветска енциклопедия

Книги

• Теория на вероятностите. , Venttsel E.S. Книгата е учебник, предназначен за хора, които са запознати с математиката в рамките на обикновен гимназиален курс и се интересуват от технически приложения на теорията на вероятностите, в ... Купете за 2056 UAH (само за Украйна)
• Теория на вероятностите. , Wentzel E.S. Книгата е учебник, предназначен за хора, запознати с математиката в обхвата на редовен гимназиален курс и интересуващи се от технически приложения на теорията на вероятностите, в ...

Теорията на вероятностите е клон на математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции с тях.

Дълго време теорията на вероятностите нямаше ясна дефиниция. Тя е формулирана едва през 1929 г. Появата на теорията на вероятностите като наука се приписва на Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (хвърляне, зарове, рулетка). Френските математици от 17-ти век Блез Паскал и Пиер дьо Ферма откриват първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове, докато изучават прогнозата за печалби в хазарта.

Теорията на вероятността възниква като наука от вярата, че определени закономерности лежат в основата на масивни случайни събития. Теорията на вероятностите изучава тези модели.

Теорията на вероятностите се занимава с изучаване на събития, чието настъпване не е известно със сигурност. Позволява ви да прецените степента на вероятност за възникване на някои събития в сравнение с други.

Например: невъзможно е недвусмислено да се определи резултатът от хвърляне на глави или опашки на монета, но при многократно хвърляне изпада приблизително същия брой глави и опашки, което означава, че вероятността главите или опашките да паднат ", е равна до 50%.

теств този случай се нарича изпълнението на определен набор от условия, тоест в този случай хвърлянето на монета. Предизвикателството може да се играе неограничен брой пъти. В този случай комплексът от условия включва случайни фактори.

Резултатът от теста е събитие. Събитието се случва:

1. Надежден (винаги се появява в резултат на тестване).
2. Невъзможно (никога не се случва).
3. Случаен (може или не може да се появи в резултат на теста).

Например, при хвърляне на монета, невъзможно събитие - монетата ще се окаже на ръба, случайно събитие - загуба на "глави" или "опашки". Конкретният резултат от теста се нарича елементарно събитие. В резултат на теста се случват само елементарни събития. Нарича се съвкупността от всички възможни, различни, специфични резултати от теста елементарно пространство за събития.

Основни понятия на теорията

Вероятност- степента на възможност за настъпване на събитието. Когато причините за действително настъпване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно.

Случайна стойност- това е стойност, която в резултат на теста може да приеме една или друга стойност, като не се знае предварително коя. Например: броят на пожарните на ден, броят на попаденията с 10 изстрела и т.н.

Случайните променливи могат да бъдат разделени на две категории.

1. Дискретна случайна променливасе нарича такова количество, което в резултат на теста може да приеме определени стойности с определена вероятност, образувайки изброимо множество (набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани). Този набор може да бъде краен или безкраен. Например, броят на изстрелите преди първото попадение в целта е дискретна произволна променлива, т.к тази стойност може да приеме безкраен, макар и преброим брой стойности.
2. Непрекъсната произволна променливае величина, която може да вземе произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Вероятностно пространство- концепцията, въведена от A.N. Колмогоров през 30-те години на миналия век, за да формализира концепцията за вероятността, което доведе до бързото развитие на теорията на вероятностите като строга математическа дисциплина.

Вероятното пространство е тройка (понякога в ъглови скоби: , където

Това е произволно множество, чиито елементи се наричат ​​елементарни събития, резултати или точки;
- сигма-алгебра на подмножества, наречени (случайни) събития;
- вероятностна мярка или вероятност, т.е. сигма-адитивна крайна мярка, така че .

Теорема на Де Муавр-Лаплас- една от ограничителните теореми на теорията на вероятностите, установена от Лаплас през 1812г. Тя заявява, че броят на успехите при повтаряне на един и същ произволен експеримент с два възможни резултата е приблизително нормално разпределен. Позволява ви да намерите приблизителна стойност на вероятността.

Ако за всяко от независимите опити вероятността за възникване на някакво случайно събитие е равна на () и е броят на опитите, в които то действително се случва, тогава вероятността за валидност на неравенството е близка (за големи ) до стойността на интеграла на Лаплас.

Функция на разпределение в теорията на вероятностите- функция, характеризираща разпределението на произволна променлива или случаен вектор; вероятността произволна променлива X да приеме стойност, по-малка или равна на x, където x е произволно реално число. При определени условия той напълно определя случайна променлива.

Очаквана стойност- средната стойност на произволна променлива (това е разпределението на вероятностите на произволна променлива, разглеждано в теорията на вероятностите). В английската литература се означава с, в руската -. В статистиката нотацията често се използва.

Нека са дадени вероятностно пространство и произволна променлива, дефинирана върху него. Това по дефиниция е измерима функция. Тогава, ако има интеграл на Лебег от над пространството , тогава той се нарича математическо очакване или средна стойност и се означава с .

Дисперсия на произволна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна променлива, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. Обозначен в руската литература и в чуждестранната. В статистиката често се използва обозначението или. Квадратният корен от дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартно спред.

Нека е произволна променлива, дефинирана в някакво вероятностно пространство. Тогава

където символът обозначава математическото очакване.

В теорията на вероятностите се наричат ​​две случайни събития независимиако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. По същия начин се извикват две случайни променливи зависимако стойността на единия от тях влияе върху вероятността от стойностите на другия.

Най-простата форма на закона за големите числа е теоремата на Бернули, която гласи, че ако вероятността за събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаване на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността за събитието и престава да бъде случаен.

Законът за големите числа в теорията на вероятностите гласи, че средноаритметичната стойност на крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до средната теоретична на това разпределение. В зависимост от вида на сближаването се разграничават слаб закон на големите числа, когато се осъществява сближаване по вероятност, и силен закон за големи числа, когато конвергенцията почти сигурно се осъществява.

Общият смисъл на закона за големите числа е, че съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

Методите за оценка на вероятността, базирани на анализа на крайна извадка, се основават на това свойство. Добър пример е прогнозирането на изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Централни гранични теореми- клас теореми в теорията на вероятностите, според които сумата от достатъчно голям брой слабо зависими случайни променливи, които имат приблизително еднакъв мащаб (нито един от термините не доминира, не дава решаващ принос към сумата) има разпределение, близко до нормално.

Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под влиянието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да се спазва условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават прилагането на нормалното разпределение.

Когато се хвърли монета, може да се каже, че тя ще се приземи с главата нагоре или вероятност от това е 1/2. Разбира се, това не означава, че ако една монета бъде хвърлена 10 пъти, тя непременно ще кацне на глави 5 пъти. Ако монетата е "справедлива" и ако е хвърлена много пъти, тогава главите ще се приближават много близо през половината време. Следователно има два вида вероятности: експериментален и теоретични .

Експериментална и теоретична вероятност

Ако хвърлим монета голям брой пъти - да речем 1000 - и преброим колко пъти тя изскочи глави, можем да определим вероятността тя да излезе с глави. Ако главите се появят 503 пъти, можем да изчислим вероятността това да се появи:
503/1000 или 0,503.

Това е експериментален дефиниция на вероятността. Тази дефиниция на вероятността произтича от наблюдение и изследване на данни и е доста често срещана и много полезна. Например, ето някои вероятности, които са определени експериментално:

1. Шансът една жена да развие рак на гърдата е 1/11.

2. Ако целунете някой, който има настинка, тогава вероятността и вие да получите настинка е 0,07.

3. Човек, който току-що е излязъл от затвора, има 80% шанс да се върне в затвора.

Ако вземем предвид хвърлянето на монета и като вземем предвид, че е еднакво вероятно да излязат глави или опашки, можем да изчислим вероятността за издигане на глави: 1 / 2. Това е теоретичната дефиниция на вероятността. Ето някои други вероятности, които са теоретично определени с помощта на математика:

1. Ако в една стая има 30 души, вероятността двама от тях да имат една и съща рождена дата (без годината) е 0,706.

2. По време на пътуване се срещате с някого и по време на разговора откривате, че имате общ познат. Типична реакция: "Това не може да бъде!" Всъщност тази фраза не се вписва, тъй като вероятността от такова събитие е доста висока - малко над 22%.

Следователно експерименталната вероятност се определя от наблюдение и събиране на данни. Теоретичните вероятности се определят от математически разсъждения. Примери за експериментални и теоретични вероятности, като тези, обсъдени по-горе, и особено тези, които не очакваме, ни водят до важността на изучаването на вероятностите. Може да попитате: "Каква е истинската вероятност?" Всъщност няма такъв. Експериментално е възможно да се определят вероятностите в определени граници. Те могат или не могат да съвпадат с вероятностите, които получаваме теоретично. Има ситуации, в които е много по-лесно да се определи един тип вероятност, отколкото друг. Например, би било достатъчно да се намери вероятността от настинка, като се използва теоретична вероятност.

Изчисляване на експериментални вероятности

Помислете първо за експерименталната дефиниция на вероятността. Основният принцип, който използваме за изчисляване на такива вероятности, е както следва.

Принцип P (експериментален)

Ако в експеримент, в който са направени n наблюдения, ситуацията или събитието E се появяват m пъти в n наблюдения, тогава експерименталната вероятност за събитието се казва, че е P (E) = m/n.

Пример 1 Социологическо проучване. Проведено е експериментално изследване за определяне на броя на левичарите, десняците и хората, при които и двете ръце са еднакво развити.Резултатите са показани на графиката.

а) Определете вероятността човекът да е дясна ръка.

б) Определете вероятността лицето да е левичар.

в) Определете вероятността лицето да владее еднакво свободно и с двете си ръце.

г) Повечето PBA турнири имат 120 играчи. Въз основа на този експеримент колко играчи могат да бъдат левичари?

Решение

а) Броят на хората, които са десняци е 82, броят на левичарите е 17, а броят на тези, които владеят еднакво свободно и с двете си ръце, е 1. Общият брой на наблюденията е 100. Така вероятността че човек е десник е П
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

б) Вероятността човек да е левичар е P, където
P = 17/100 или 0,17 или 17%.

в) Вероятността човек да владее еднакво свободно с двете си ръце е P, където
P = 1/100 или 0,01 или 1%.

г) 120 играчи на боулинг и от (b) можем да очакваме 17% да бъдат левичари. Оттук
17% от 120 = 0,17,120 = 20,4,
тоест можем да очакваме около 20 играчи да са левичари.

Пример 2 Контрол на качеството . За производителя е много важно да поддържа качеството на своите продукти на високо ниво. Всъщност компаниите наемат инспектори за контрол на качеството, за да осигурят този процес. Целта е да се освободи минимално възможно количество дефектни продукти. Но тъй като компанията произвежда хиляди артикули всеки ден, тя не може да си позволи да инспектира всеки артикул, за да определи дали е дефектен или не. За да разбере какъв процент от продуктите са дефектни, компанията тества много по-малко продукти.
USDA изисква 80% от семената, които производителите продават, да покълнат. За да се определи качеството на семената, които земеделското дружество произвежда, се засаждат 500 семена от произведените. След това беше изчислено, че са покълнали 417 семена.

а) Каква е вероятността семето да покълне?

б) Семената отговарят ли на държавните стандарти?

Решениеа) Знаем, че от 500 засадени семена са поникнали 417. Вероятността за покълване на семената P, и
P = 417/500 = 0,834, или 83,4%.

б) Тъй като процентът на покълналите семена надвишава 80% при поискване, семената отговарят на държавните стандарти.

Пример 3 Телевизионни рейтинги. Според статистиката в Съединените щати има 105 500 000 телевизионни домакинства. Всяка седмица се събира и обработва информация за гледане на програми. В рамките на една седмица 7 815 000 домакинства бяха настроени на хитовия комедиен сериал на CBS „Всички обичат Реймънд“, а 8 302 000 домакинства бяха настроени към хита на NBC „Закон и ред“ (Източник: Nielsen Media Research). Каква е вероятността телевизорът на един дом да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ през дадена седмица? на „Закон и ред“?

РешениеВероятността телевизорът в едно домакинство да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ е P и
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Възможността домашният телевизор да е настроен на „Закон и ред“ е P и
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Тези проценти се наричат ​​рейтинги.

теоретична вероятност

Да предположим, че правим експеримент, като хвърляне на монета или стреличка, изтегляне на карта от тесте или тестване на елементи на поточна линия. Всеки възможен резултат от такъв експеримент се нарича Изход . Множеството от всички възможни резултати се нарича крайно пространство . Събитие това е набор от резултати, тоест подмножество от пространството на резултатите.

Пример 4 Хвърляне на дартс. Да предположим, че в експеримента "хвърляне на стрели" стрелата удря целта. Намерете всяко от следните:

б) Резултатно пространство

Решение
а) Резултатите са: удряне на черно (H), удряне на червено (K) и удряне на бяло (B).

б) Има място за изход (удар черно, удар червено, удар бяло), което може да се запише просто като (B, R, B).

Пример 5 Хвърляне на зарове. Зара е куб с шест страни, всяка от които има от една до шест точки.


Да предположим, че хвърляме зар. намирам
а) Резултати
б) Резултатно пространство

Решение
а) Резултати: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
б) Пространство на резултата (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Означаваме вероятността събитие E да се случи като P(E). Например, "монетата ще падне на опашки" може да бъде обозначена с H. Тогава P(H) е вероятността монетата да кацне на опашки. Когато всички резултати от експеримента имат еднаква вероятност да настъпят, се казва, че те са еднакво вероятни. За да видите разликата между събития, които са еднакво вероятни и събития, които не са еднакво вероятни, помислете за целта, показана по-долу.

За цел А са еднакво вероятни събития с черно, червено и бяло попадение, тъй като черните, червените и белите сектори са едни и същи. Въпреки това, за цел B зоните с тези цветове не са еднакви, тоест удрянето им не е еднакво вероятно.

Принцип P (теоретичен)

Ако събитие E може да се случи по m начина от n възможни равновероятни резултати от пространството на изходите S, тогава теоретична вероятност събитие, P(E) е
P(E) = m/n.

Пример 6Каква е вероятността да хвърлите 3 чрез хвърляне на зар?

РешениеИма 6 еднакво вероятни резултата на зарчето и има само една възможност за хвърляне на числото 3. Тогава вероятността P ще бъде P(3) = 1/6.

Пример 7Каква е вероятността да се хвърли четно число на зарчето?

РешениеСъбитието е хвърляне на четно число. Това може да се случи по 3 начина (ако хвърлите 2, 4 или 6). Броят на равновероятните резултати е 6. Тогава вероятността P(четно) = 3/6, или 1/2.

Ще използваме редица примери, свързани със стандартно тесте от 52 карти. Такова тесте се състои от картите, показани на фигурата по-долу.

Пример 8Каква е вероятността да изтеглите асо от добре разбъркано тесте карти?

РешениеИма 52 резултата (броя на картите в тестето), те са еднакво вероятни (ако тестето е добре смесено) и има 4 начина за теглене на асо, така че според принципа P вероятността
P (теглене на асо) = 4/52 или 1/13.

Пример 9Да предположим, че избираме, без да търсим един мрамор от чанта с 3 червени топчета и 4 зелени топчета. Каква е вероятността да изберете червена топка?

РешениеИма 7 еднакво вероятни резултата за получаване на която и да е топка и тъй като броят на начините за изтегляне на червена топка е 3, получаваме
P(избиране на червена топка) = 3/7.

Следните твърдения са резултати от P принципа.

Свойства на вероятността

а) Ако събитието E не може да се случи, тогава P(E) = 0.
b) Ако събитието E трябва да се случи, тогава P(E) = 1.
в) Вероятността събитието Е да се случи е число между 0 и 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, при хвърляне на монета, вероятността, че монетата кацне на ръба й, е нулева. Вероятността една монета да бъде или глави, или опашки има вероятност от 1.

Пример 10Да предположим, че 2 карти са изтеглени от тесте с 52 карти. Каква е вероятността и двамата да са пики?

РешениеБроят начини n за теглене на 2 карти от добре разбъркано тесте от 52 карти е 52 C 2 . Тъй като 13 от 52 карти са пики, броят на m начини за теглене на 2 пики е 13 C 2 . Тогава,
P (разтягане на 2 пика) = m / n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11Да предположим, че 3 души са избрани на случаен принцип от група от 6 мъже и 4 жени. Каква е вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени?

РешениеБрой начини за избор на трима души от група от 10 души 10 C 3 . Един мъж може да бъде избран по 6 начина C 1, а 2 жени могат да бъдат избрани по 4 начина C 2. Съгласно основния принцип на броене, броят на начините за избор на 1-ви мъж и 2 жени е 6 C 1 . 4C2. Тогава вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени е
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Пример 12 Хвърляне на зарове. Каква е вероятността да хвърлите общо 8 на два зара?

РешениеИма 6 възможни изхода на всеки зар. Резултатите се удвояват, тоест има 6,6 или 36 възможни начина, по които числата на два зара могат да паднат. (По-добре е кубчетата да са различни, да речем, че единият е червен, а другият е син - това ще ви помогне да визуализирате резултата.)

На фигурата по-долу са показани двойки числа, които дават 8. Има 5 възможни начина да получите сумата равна на 8, следователно вероятността е 5/36.

ВЪВЕДЕНИЕ

Много неща са неразбираеми за нас, не защото понятията ни са слаби;
а защото тези неща не влизат в кръга на нашите понятия.
Козма Прутков

Основната цел на изучаването на математика в средни специализирани образователни институции е да даде на учениците набор от математически знания и умения, необходими за изучаване на други програмни дисциплини, които използват математика в една или друга степен, за способността да извършват практически изчисления, за формиране и развитие на логическото мислене.

В тази статия са представени всички основни понятия от раздела по математика "Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика", предвидени от програмата и Държавните образователни стандарти за средно професионално образование (Министерство на образованието на Руската федерация. М., 2002 г. ), се въвеждат последователно, формулират се основните теореми, повечето от които не са доказани. Разгледани са основните задачи и методи за тяхното решаване и технологии за прилагане на тези методи при решаване на практически задачи. Презентацията е придружена от подробни коментари и множество примери.

Методическите указания могат да се използват за първоначално запознаване с изучавания материал, при водене на записки от лекции, за подготовка за практически упражнения, за затвърждаване на придобитите знания, умения и умения. В допълнение, наръчникът ще бъде полезен за студенти като референтен инструмент, който ви позволява бързо да възстановите в паметта това, което е изучавано преди.

В края на работата се дават примери и задачи, които учениците могат да изпълняват в режим на самоконтрол.

Методическите указания са предназначени за студенти от задочна и дневна форма на обучение.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ

Теорията на вероятностите изучава обективните закономерности на масовите случайни събития. Тя е теоретична основа на математическата статистика, занимаваща се с разработването на методи за събиране, описание и обработка на резултатите от наблюдения. Чрез наблюдения (тестове, експерименти), т.е. опит в широкия смисъл на думата, има познание за явленията на реалния свят.

В практическата си дейност често се сблъскваме с явления, чийто изход не може да бъде предвиден, чийто резултат зависи от случайността.

Случайно явление може да се характеризира със съотношението на броя на неговите поява към броя на опитите, при всяко от които при едни и същи условия на всички опити то може да се случи или да не се случи.

Теорията на вероятностите е клон на математиката, в който се изучават случайни явления (събития) и се разкриват закономерности, когато се повтарят масово.

Математическата статистика е раздел на математиката, който има за предмет изучаването на методи за събиране, систематизиране, обработка и използване на статистически данни за получаване на научно обосновани заключения и вземане на решения.

В същото време статистическите данни се разбират като набор от числа, които представляват количествените характеристики на характеристиките на изследваните обекти, които ни интересуват. Статистическите данни се получават в резултат на специално разработени експерименти и наблюдения.

Статистическите данни по своята същност зависят от много случайни фактори, така че математическата статистика е тясно свързана с теорията на вероятностите, която е нейната теоретична основа.

I. ВЕРОЯТНОСТ. ТЕОРЕМИ ЗА СБИРАНЕ И ВЕРОЯТНОСНО УМНОЖЕНИЕ

1.1. Основни понятия на комбинаториката

В раздела по математика, наречен комбинаторика, се решават някои задачи, свързани с разглеждането на множествата и съставянето на различни комбинации от елементи от тези множества. Например, ако вземем 10 различни числа 0, 1, 2, 3,:, 9 и направим комбинации от тях, ще получим различни числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.н.

Виждаме, че някои от тези комбинации се различават само по реда на цифрите (например 143 и 431), други по числата, включени в тях (например 5671 и 1207), а други също се различават по броя на цифрите ( например 143 и 43).

Така получените комбинации отговарят на различни условия.

В зависимост от правилата за компилация могат да се разграничат три вида комбинации: пермутации, разположения, комбинации.

Нека първо се запознаем с концепцията факториал.

Произведението на всички естествени числа от 1 до n включително се нарича n-факторен и пиши.

Изчислете: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) както и , тогава можете да го извадите от скоби

Тогава получаваме

в) .

Пермутации.

Комбинация от n елемента, които се различават един от друг само по реда на елементите, се нарича пермутация.

Пермутациите се обозначават със символа P n , където n е броят на елементите във всяка пермутация. ( Р- първата буква на френската дума пермутация- пермутация).

Броят на пермутациите може да се изчисли по формулата

или с факториал:

Нека си припомним това 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. По колко начина могат да бъдат подредени шест различни книги на един рафт?

Решение. Желаният брой начини е равен на броя на пермутациите на 6 елемента, т.е.

Настаняване.

Разположения от мелементи в нвъв всеки се наричат ​​такива съединения, които се различават едно от друго или по самите елементи (поне един), или по реда от местоположението.

Местоположенията са обозначени със символа , където ме броят на всички налични елементи, не броят на елементите във всяка комбинация. ( НО-първа буква на френската дума подреждане, което означава "поставяне, привеждане в ред").

В същото време се предполага, че nm

Броят на разположенията може да се изчисли по формулата

,

тези. броя на всички възможни разположения от мелементи от не равно на продукта нпоследователни цели числа, от които по-голямото е м.

Записваме тази формула във факториална форма:

Пример 3. Колко варианта за разпределяне на три ваучера в санаториум от различни профили могат да бъдат направени за петима кандидати?

Решение. Желаният брой опции е равен на броя на разположенията на 5 елемента по 3 елемента, т.е.

.

Комбинации.

Комбинациите са всички възможни комбинации от мелементи от н, които се различават един от друг с поне един елемент (тук ми н-естествени числа и nm).

Брой комбинации от мелементи от нсе обозначават ( С- първата буква на френската дума комбинация- комбинация).

Като цяло, броят на мелементи от нравен на броя на разположенията от мелементи от нразделено на броя на пермутациите от нелементи:

Използвайки факториални формули за номера на разположение и пермутация, получаваме:

Пример 4. В екип от 25 души трябва да разпределите четирима за работа в определена област. По колко начина може да стане това?

Решение. Тъй като реда на избраните четирима души няма значение, това може да стане по начини.

Намираме по първата формула

.

Освен това при решаване на задачи се използват следните формули, които изразяват основните свойства на комбинациите:

(по дефиниция и се предполагат);

.

1.2. Решаване на комбинаторни задачи

Задача 1. Във факултета се изучават 16 учебни предмета. В понеделник трябва да поставите 3 предмета в графика. По колко начина може да стане това?

Решение. Има толкова много начини да планирате три елемента от 16, колкото има разположения на 16 елемента от по 3 всеки.

Задача 2. От 15 обекта трябва да бъдат избрани 10 обекта. По колко начина може да стане това?

Задача 3. В състезанието участваха четири отбора. Колко варианта за разпределение на местата между тях са възможни?

.

Задача 4. По колко начина може да се сформира патрул от трима войника и един офицер, ако има 80 войника и 3 офицери?

Решение. Войник в патрул може да бъде избран

начини и офицерски пътища. Тъй като всеки офицер може да отиде с всеки екип от войници, има само начини.

Задача 5. Намерете дали е известно, че .

Тъй като получаваме

,

,

По дефиниция на комбинацията следва, че , . Че. .

1.3. Концепцията за случайно събитие. Типове събития. Вероятност за събитие

Всяко действие, явление, наблюдение с няколко различни резултата, реализирано при даден набор от условия, ще се нарича тест.

Резултатът от това действие или наблюдение се нарича събитие .

Ако дадено събитие при дадени условия може да се случи или да не се случи, то се нарича произволен . В случай, че определено събитие трябва да се случи, то се нарича надежден , и в случай, когато това със сигурност не може да се случи, - невъзможен.

Събитията се наричат несъвместими ако само един от тях може да се появява всеки път.

Събитията се наричат става ако при дадените условия настъпването на едно от тези събития не изключва появата на другото в същия тест.

Събитията се наричат противоположно , ако при условията на теста те, като единствените му резултати, са несъвместими.

Събитията обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука: A, B, C, D, : .

Пълна система от събития A 1 , A 2 , A 3 , : , A n е набор от несъвместими събития, настъпването на поне едно от които е задължително за даден тест.

Ако една пълна система се състои от две несъвместими събития, тогава такива събития се наричат ​​противоположни и се означават с A и .

Пример. В кутия има 30 номерирани топки. Определете кои от следните събития са невъзможни, сигурни, противоположни:

получи номерирана топка (НО);

изтеглете топка с четен номер (AT);

изтеглена топка с нечетно число (С);

получи топка без номер (Д).

Кои от тях образуват пълна група?

Решение . НО- определено събитие; д- невъзможно събитие;

В и С- противоположни събития.

Пълната група от събития е НОи Д, Ви С.

Вероятността за събитие се разглежда като мярка за обективната възможност за настъпване на случайно събитие.

1.4. Класическата дефиниция на вероятността

Нарича се числото, което е израз на мярката за обективната възможност за настъпване на събитие вероятност това събитие и се обозначава със символа P(A).

Определение. Вероятност за събитие НОе съотношението на броя на резултатите m, които благоприятстват настъпването на дадено събитие НО, към номера нвсички резултати (несъвместими, уникални и еднакво възможни), т.е. .

Следователно, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след като се разгледат различните резултати от теста, да се изчислят всички възможни несъвместими резултати н,изберете броя на резултатите, които ни интересуват m и изчислете съотношението мда се н.

Следните свойства следват от това определение:

Вероятността за всеки опит е неотрицателно число, което не надвишава единица.

Всъщност броят m на желаните събития се намира в рамките на . Разделяне на двете части на н, получаваме

2. Вероятността за определено събитие е равна на единица, т.к .

3. Вероятността за невъзможно събитие е нула, защото .

Задача 1. От 1000 билета в лотарията има 200 печеливши. Един билет се тегли на случаен принцип. Каква е вероятността този билет да спечели?

Решение. Общият брой на различните резултати е н=1000. Броят на изходите в полза на победата е m=200. По формулата получаваме

.

Задача 2. В партида от 18 части има 4 дефектни. 5 броя се избират на случаен принцип. Намерете вероятността две от тези 5 части да са дефектни.

Решение. Брой на всички еднакво възможни независими резултати не равно на броя на комбинациите от 18 до 5 т.е.

Нека изчислим числото m, което благоприятства събитието A. Сред 5-те произволно избрани части трябва да има 3 висококачествени и 2 дефектни. Броят начини за избор на две дефектни части от 4 налични дефектни части е равен на броя на комбинациите от 4 до 2:

Броят начини за избор на три качествени части от 14 налични качествени части е равен на

.

Всяка група качествени части може да се комбинира с всяка група дефектни части, така че общият брой комбинации ме

Желаната вероятност за събитие A е равна на съотношението на броя на резултатите m, които благоприятстват това събитие, към броя n на всички еднакво възможни независими резултати:

.

Сборът от краен брой събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тях.

Сборът от две събития се обозначава със символа A + B, а сумата нсимвол за събития A 1 +A 2 + : +A n .

Теорема за събиране на вероятности.

Вероятността за сбора на две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Следствие 1. Ако събитието А 1 , А 2 , : , А n образува пълна система, тогава сумата от вероятностите на тези събития е равна на единица.

Следствие 2. Сборът от вероятностите за противоположни събития и е равен на единица.

.

Задача 1. Има 100 лотарийни билета. Известно е, че 5 билета получават печалба от 20 000 рубли, 10 - 15 000 рубли, 15 - 10 000 рубли, 25 - 2 000 рубли. и нищо за останалото. Намерете вероятността закупеният билет да спечели най-малко 10 000 рубли.

Решение. Нека A, B и C са събития, състоящи се в това, че върху закупения билет се пада награда от 20 000, 15 000 и 10 000 рубли. тъй като събитията A, B и C са несъвместими, тогава

Задача 2. Кореспондентският отдел на техникума получава тестове по математика от градовете А, Би С. Вероятността за получаване на контролна работа от града НОравно на 0,6, от града AT- 0,1 Намерете вероятността следващата контролна работа да дойде от града С.

Какво е вероятност?

Сблъсквайки се с този термин за първи път, не бих разбрал какво е това. Така че ще се опитам да обясня по разбираем начин.

Вероятността е шансът да се случи желаното събитие.

Например, решихте да посетите приятел, да си спомните входа и дори пода, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас са вратите, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), ако позвъните на първата врата, вашият приятел да ви отвори? Цял апартамент, а приятел живее само зад един от тях. С еднакъв шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

Врати, дясната врата. Вероятност за отгатване чрез звънене на първата врата: . Тоест един път от три ще познаете със сигурност.

Искаме да знаем, като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека разгледаме всички опции:

1. ти се обади 1-воврата
2. ти се обади 2-роврата
3. ти се обади 3-товрата

И сега помислете за всички опции, където може да бъде приятел:

а. Отзад 1-воврата
б. Отзад 2-роврата
в Отзад 3-товрата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опциите, когато изборът ви съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко вероятно настроикиместоположението на приятел и изборът ви на коя врата да позвъните.

НО благоприятни резултати от всички . Тоест, вие ще познаете времената от, като звъннете на вратата веднъж, т.е. .

Това е вероятността - съотношението на благоприятен изход (когато изборът ви съвпадна с местоположението на приятел) към броя на възможните събития.

Определението е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, така че:

Не е много удобно да се пише такава формула, така че да вземем за - броя на благоприятните резултати, а за - общия брой резултати.

Вероятността може да се запише като процент, за това трябва да умножите получения резултат по:

Вероятно думата „резултати“ ви е привлякла окото. Тъй като математиците наричат ​​различни действия (за нас такова действие е звънец на вратата) експерименти, е обичайно да наричаме резултата от такива експерименти резултат.

Е, резултатите са благоприятни и неблагоприятни.

Нека се върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но непознат ни отвори. Не се досещахме. Каква е вероятността, ако звъннем на една от останалите врати, нашият приятел ще ни отвори?

Ако сте мислили така, значи това е грешка. Нека го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се на 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Приятел с всичко това определено стои зад един от тях (все пак той не беше зад този, на когото се обадихме):

а) приятел 1-воврата
б) приятел за 2-роврата

Да начертаем отново таблицата:

Както можете да видите, има всички опции, от които - благоприятни. Тоест, вероятността е равна.

Защо не?

Ситуацията, която разгледахме е пример за зависими събития.Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И те се наричат ​​зависими, защото засягат следните действия. В крайна сметка, ако приятел отвори вратата след първото позвъняване, каква би била вероятността той да е зад някой от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, тогава трябва да има независими? Вярно, има ги.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърляме монета. Каква е вероятността да излязат например глави? Точно така - тъй като опциите за всичко (или глави, или опашки, ние ще пренебрегнем вероятността една монета да застане на ръба), а само ни подхожда.
2. Но опашките паднаха. Добре, нека го направим отново. Каква е вероятността да изникнат глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. с колко сме доволни? едно.

И нека опашките падат поне хиляда пъти подред. Вероятността да паднат глави наведнъж ще бъде същата. Винаги има варианти, но изгодни.

Разграничаването на зависими събития от независими събития е лесно:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (веднъж хвърлена монета, звънецът на вратата звъни веднъж и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се проведе няколко пъти (монета се хвърля веднъж, звънецът се звъни няколко пъти), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека потренираме малко, за да определим вероятността.

Пример 1

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се изправят два пъти подред?

решение:

Помислете за всички възможни опции:

1. орел орел
2. опашки орел
3. опашки-орел
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, всички опции. От тях само ние сме доволни. Това е вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден като десетична дроб. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава щяхме да умножим по.

Отговор:

Пример 2

В кутия с шоколадови бонбони всички бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче - с ядки, коняк, череши, карамел и нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки. Дайте отговора си в проценти.

решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, като вземете един бонбон, той ще бъде един от тези в кутията.

И колко благоприятни резултати?

Защото кутията съдържа само шоколадови бонбони с ядки.

Отговор:

Пример 3

В кутия с топки. от които бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки към кутията. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка сега?

решение:

а) В кутията има само топки. от които са бели.

Вероятността е:

б) Сега в кутията има топки. И остават точно толкова бели.

Отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Например в кутия с червени и зелени топки. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност за теглене на червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да решите много проблеми.

Пример 4

В кутията има флумастери: зелени, червени, сини, жълти, черни.

Каква е вероятността да не нарисувате червен маркер?

решение:

Нека преброим числото благоприятни резултати.

НЕ червен маркер, това означава зелено, синьо, жълто или черно.

Вероятност за всички събития. А вероятността от събития, които считаме за неблагоприятни (когато извадим червен флумастер) е .

По този начин, вероятността да нарисувате НЕ червен флумастер е -.

Отговор:

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво са независими събития.

И ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се случат подред?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, като хвърлим монета веднъж, ще видим орел два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глави-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но аз направих този списък погрешно веднъж. Еха! И единственият вариант (първият) ни подхожда.

За 5 ролки можете сами да направите списък с възможните резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха и след това доказаха, че вероятността за определена последователност от независими събития намалява всеки път с вероятността за едно събитие.

С други думи,

Помислете за примера на същата, злощастна монета.

Вероятност да се сблъскате с изпитание? . Сега хвърляме монета.

Каква е вероятността да получите опашки подред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността ОПАШКА-ОРЕЛ-ОПАШКА при последователни обръщания, щяхме да направим същото.

Вероятността за получаване на опашки - , глави - .

Вероятността да се получи последователността ОПАШКИ-ОРЕЛ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за добавяне на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека го разберем. Нека вземем нашата износена монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глави-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Така че тук са несъвместими събития, това е определена, дадена последователност от събития. са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността за две (или повече) несъвместими събития, тогава добавяме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че загубата на орел или опашка е две независими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността поредица) (или която и да е друга) да изпадне, тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашка при второто и третото?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколкото последователности, например, когато главите излязат точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да добавим вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като добавим вероятностите за възникване на всяка последователност:

По този начин ние добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за някои, несъвместими, поредици от събития.

Има страхотно правило, което да ви помогне да не се объркате кога да умножите и кога да добавите:

Нека се върнем към примера, когато хвърлихме монета пъти и искаме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво ще се случи?

Трябва да падне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
И така се оказва:

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 5

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево и жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

решение:

Какво ще се случи? Трябва да извадим (червено ИЛИ зелено).

Сега е ясно, събираме вероятностите за тези събития:

Отговор:

Пример 6

Зара се хвърля два пъти, каква е вероятността да излязат общо 8?

Решение.

Как можем да получим точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да изпаднеш от едно (всяко) лице е .

Изчисляваме вероятността:

Отговор:

тренировка.

Мисля, че сега ви стана ясно кога трябва как да преброите вероятностите, кога да ги съберете и кога да ги умножите. Не е ли? Да направим малко упражнения.

задачи:

Да вземем тесте карти, в които картите са пики, сърца, 13 бухалки и 13 тамбури. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим бухалки подред (поставяме първата изтеглена карта обратно в тестето и разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или бухалка)?
3. Каква е вероятността да изтеглите картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглим две картини подред (махаме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, като вземете две карти, да съберете комбинация - (Вале, Дама или Поп) и Асо Последователността, в която ще бъдат изтеглени картите, няма значение.

Отговори:

1. В тесте карти с всяка стойност това означава:
2. Събитията са зависими, тъй като след първата изтеглена карта броят на картите в тестето е намалял (както и броят на „картинките“). Общо валета, дами, попове и аса в тестето първоначално, което означава вероятността да се изтегли „картинката“ с първата карта:

   Тъй като премахваме първата карта от тестето, това означава, че в тестето вече има останала карта, на която има снимки. Вероятност да нарисувате картина с втората карта:

   Тъй като се интересуваме от ситуацията, когато получаваме от тестето: „картина“ И „картинка“, тогава трябва да умножим вероятностите:

   Отговор:

3. След като се изтегли първата карта, броят на картите в тестето ще намалее, така че имаме две възможности:
   1) С първата карта изваждаме асо, втората - вале, дама или поп
   2) С първата карта изваждаме вале, дама или поп, втората - асо. (асо и (валет или дама или поп)) или ((вале или дама или поп) и асо). Не забравяйте да намалите броя на картите в тестето!

Ако си успял сам да решиш всички проблеми, значи си страхотен човек! Сега задачи по теория на вероятностите в изпита ще щракате като ядки!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА. СРЕДНО НИВО

Помислете за пример. Да кажем, че хвърляме зар. Що за кост е това, знаеш ли? Това е името на куб с числа на лицата. Колко лица, толкова много числа: от до колко? Преди.

Така че хвърляме зар и искаме той да излезе с или. И изпадаме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с добро).

Ако изпадне, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да възникнат само две благоприятни събития.

Колко лоши? Тъй като всички възможни събития, тогава неблагоприятните от тях са събития (това е, ако изпадне или).

определение:

Вероятността е съотношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.. Тоест, вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Те обозначават вероятността с латинска буква (очевидно от английската дума probability - вероятност).

Обичайно е да се измерва вероятността като процент (вижте теми и). За да направите това, стойността на вероятността трябва да се умножи по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти:.

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността хвърлянето на монета да падне върху глави? И каква е вероятността за опашки?
2. Каква е вероятността да се появи четно число при хвърляне на зар? И с какво - странно?
3. В чекмедже с обикновени, сини и червени моливи. Изчертаваме на случаен принцип един молив. Каква е вероятността да извадите обикновен?

Решения:

1. Колко опции има? Глави и опашки - само две. И колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има един куб, толкова различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа :).
   Вероятност. Със странно, разбира се, едно и също нещо.
3. Обща сума: . Благоприятен: . Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в чекмеджето са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно толкова благоприятни събития, колкото има общо събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е или.

Такова събитие се нарича сигурно.

Ако в кутията има зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Още веднъж. Обърнете внимание на следното нещо: вероятността да нарисувате зелено е равна, а червено е .

Накратко, тези вероятности са напълно равни. т.е. сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

пример:

В кутия с моливи сред тях има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не рисуваш зелено?

решение:

Не забравяйте, че всички вероятности се сумират. И вероятността да нарисувате зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета два пъти и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността за това?

Нека да преминем през всички възможни опции и да определим колко има:

Орел-Орел, Опашки-Орел, Орел-Опашки, Опашки-Опашки. Какво друго?

Целият вариант. От тях само един ни подхожда: Орел-Орел. Значи, вероятността е равна.

Добре. Сега нека хвърлим монета. Пребройте себе си. Се случи? (отговор).

Може да сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява с коефициент. Общото правило се нарича правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, чийто резултат не зависи от всички предишни хвърляния. Със същия успех можем да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Зара се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се появи и двата пъти?
2. Една монета се хвърля пъти. Каква е вероятността да получите първо глави и след това два пъти опашки?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът от числата върху тях да бъде равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за орел е равна. Вероятността за опашки също. Ние умножаваме:
3. 12 може да се получи само ако изпаднат две -ki: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Несъвместими събития са събития, които се допълват с пълна вероятност. Както подсказва името, те не могат да се случат едновременно. Например, ако хвърлим монета, може да паднат или глави, или опашки.

Пример.

В кутия с моливи сред тях има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Решение .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червен - .

Благоприятни събития от всички: зелено + червено. Така че вероятността да нарисувате зелено или червено е равна.

Същата вероятност може да бъде представена в следния вид: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Смесени задачи

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатът от ролките да е различен?

Решение .

Това означава, че ако главите се издигат първи, опашките трябва да са втори и обратно. Оказва се, че тук има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има едно просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво трябва да се случи, като свържете събитията със съюзите "И" или "ИЛИ". Например в този случай:

Трябва да се търкаля (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има съюз "и", ще има умножение и където "или" е събиране:

Опитайте сами:

1. Каква е вероятността две хвърляния на монета да излязат с една и съща страна и двата пъти?
2. Зара се хвърля два пъти. Каква е вероятността сумата да падне точки?

Решения:

1. (Глава нагоре и глава нагоре) или (опашка нагоре и опашка нагоре): .
2. Какви са опциите? и. Тогава:
   Навита (и) или (и) или (и): .

Друг пример:

Хвърляме монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

решение:

О, как не искам да сортирам опциите ... Глава-опашка-опашка, Орел-глава-опашка, ... Но не е нужно! Нека поговорим за пълната вероятност. Запомни ли си? Каква е вероятността орелът никога няма да падне? Това е просто: опашките летят през цялото време, това означава.

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Вероятността е съотношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността да се случи другото.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите на всяко от събитията

Несъвместими събития

Несъвместими събития са събития, които не могат да се случат едновременно в резултат на експеримент. Редица несъвместими събития образуват пълна група от събития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описахме какво трябва да се случи, използвайки съюзите "И" или "ИЛИ", вместо "И" поставяме знака за умножение, а вместо "ИЛИ" - събиране.

ОСТАНАЛИТЕ 2/3 СТАТИИ СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА YOUCLEVER СТУДЕНТИТЕ!

Станете ученик на YouClever,

Подгответе се за OGE или USE по математика на цената на "чаша кафе на месец",

И също така получете неограничен достъп до учебника "YouClever", програмата за обучение "100gia" (книга с решения), неограничен пробен USE и OGE, 6000 задачи с анализ на решения и други услуги на YouClever и 100gia.