Podjela razlomaka s različitim nazivnicima 5. Razlomci

Da bismo razumjeli kako dijeliti razlomke, proučimo pravilo i pogledajmo primjere kako ga primijeniti.

pravilo podjele obične frakcije

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi broj pomnožiti drugim (to jest, pomnožimo prvi razlomak s obrnutom sekundom).

Primjeri dijeljenja običnih razlomaka:

Da podijelimo ove razlomke, prepisujemo prvi razlomak i obrnuto od drugog (dividendu množimo recipročnom vrijednosti djelitelja). Ovdje se ništa ne može skratiti.

Da bismo podijelili ove razlomke, prepisujemo prvi broj bez promjena i množimo recipročnim brojem drugog: 6 i 9 sa 3, 20 i 25 sa 5. Dobijeni razlomak 8/15 je pravilan i nesvodljiv. Dakle, ovo je konačan odgovor.

Prvi razlomak ostavljamo nepromijenjenim i množimo ga recipročnim iznosom drugog razlomka. Smanjujemo 45 i 36 za 9, 65 i 52 za ​​13. Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg .

Prilikom dijeljenja dva jednaka broja dobijemo jedan, tako da odmah možemo zapisati odgovor.

Da biste podijelili razlomke, pomnožite prvo sa recipročnom vrijednosti drugog. 23 i 23 smanjujemo za 23, 14 i 7 za 7. Pošto je nazivnik jedan, odgovor je cijeli broj.

Sljedeći put ćemo pogledati kako podijeliti cijeli broj razlomkom.

Obični razlomci prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno uzeti u obzir ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijeliti. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII vijeku sama riječ "frakcija" pojavila se u ruskom jeziku.

U kontaktu sa

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je bilo veoma teško prikazati u razumevanju ljudi.

Moderni oblik jednostavnih frakcijskih ostataka, čiji su dijelovi odvojeni precizno horizontalnom linijom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pize. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja miješanih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti varijeteti frakcija:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješovito.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je formulirati nezavisno: rezultat množenja prostih razlomaka sa istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojilac proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika ovih razlomaka. . Naime, novi nazivnik je u početku kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomka biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojila sa brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, to jest, to je zbir ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Nekoliko primjera je dato za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

U primjeru se koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju po formuli:

a* b/c = a*b /c.

U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka, a broj članova označava ovaj prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:

d* e/f = e/f: d.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način da se mješoviti razlomak predstavi kao nepravilan razlomak, također se može predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemu se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojniku originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.

Ovaj proces radi i obrnuto. Da biste odabrali cijeli broj i razlomak ostatak, potrebno je podijeliti brojilac nepravilnog razlomka s njegovim nazivnikom s "uglom".

Množenje nepravih razlomaka proizveden na uobičajen način. Kada unos ide ispod jedne razlomke, po potrebi morate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo asistenata za rješavanje čak i složenih matematičkih problema u različitim varijacijama programa. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u izračunavanju množenja razlomaka sa različitim brojevima u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, odabire se znak matematičke radnje i pritisne "izračunaj". Program broji automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima je relevantna u cijelom obrazovanju učenika srednjih i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, već cjelobrojni razlomci, ali se znanje o pravilima za transformaciju i proračune, dobijeno ranije, primjenjuje u izvornom obliku. Dobro naučena osnovna znanja daju puno povjerenje u uspješno rješavanje najsloženijih zadataka.

U zaključku, ima smisla navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojilac – svoje zasluge, ali svako može umanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.

Je podjela. U ovom članku ćemo govoriti o podjela običnih razlomaka. Prvo ćemo dati pravilo za dijeljenje običnih razlomaka i pogledati primjere dijeljenja razlomaka. Zatim ćemo se fokusirati na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem i broja razlomkom. Konačno, razmotrite kako se provodi dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem.

Navigacija po stranici.

Dijeljenje običnog razlomka običnim razlomkom

Poznato je da je dijeljenje obrnuto od množenja (vidi vezu između dijeljenja i množenja). To jest, podjela uključuje pronalaženje nepoznatog faktora kada su poznati proizvod i drugi faktor. Isti smisao dijeljenja je očuvan i kod dijeljenja običnih razlomaka.

Razmotrimo primjere dijeljenja običnih razlomaka.

Imajte na umu da ne treba zaboraviti na redukciju razlomaka i na odabir cijelog dijela iz nepravilnog razlomka.

Podjela običnog razlomka prirodnim brojem

Daćemo ga odmah pravilo za dijeljenje razlomka prirodnim brojem: da biste podijelili razlomak a / b prirodnim brojem n, potrebno je da ostavite brojilac isti, a nazivnik pomnožite sa n, tj.

Ovo pravilo dijeljenja slijedi direktno iz pravila dijeljenja za obične razlomke. Zaista, predstavljanje prirodnog broja kao razlomak vodi do sljedećih jednakosti .

Razmotrimo primjer dijeljenja razlomka brojem.

Primjer.

Podijelite razlomak 16/45 prirodnim brojem 12.

Rješenje.

Po pravilu dijeljenja razlomka brojem imamo . Uradimo smanjenje: . Ova podjela je završena.

odgovor:

.

Dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom

Pravilo za dijeljenje razlomaka je slično pravilo za dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom: da biste prirodni broj n podijelili običnim razlomkom a / b, trebate broj n pomnožiti recipročnim razlomkom a / b.

Prema glasnom pravilu, , i pravilo množenja prirodnog broja običnim razlomkom omogućava vam da ga prepišete u obliku.

Razmotrimo primjer.

Primjer.

Podijelite prirodni broj 25 razlomkom 15/28.

Rješenje.

Pređimo s dijeljenja na množenje, imamo . Nakon redukcije i odabira cijelog broja, dobivamo .

odgovor:

.

Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem

Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem lako se svodi na dijeljenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je da

Razlomak je jedan ili više dijelova cjeline, koji se obično uzimaju kao jedinica (1). Kao i kod prirodnih brojeva, možete izvoditi sve osnovne aritmetičke operacije s razlomcima (sabiranje, oduzimanje, dijeljenje, množenje), za to morate znati karakteristike rada s razlomcima i razlikovati njihove vrste. Postoji nekoliko vrsta razlomaka: decimalni i obični ili jednostavni. Svaka vrsta razlomaka ima svoje specifičnosti, ali kada jednom temeljito shvatite kako se s njima nositi, moći ćete riješiti bilo koji primjer sa razlomcima, jer ćete znati osnovne principe za izvođenje aritmetičkih računanja s razlomcima. Pogledajmo primjere kako podijeliti razlomak cijelim brojem koristeći različite vrste razlomaka.

Kako podijeliti razlomak prirodnim brojem?
Zovu se obični ili prosti razlomci, napisani u obliku takvog omjera brojeva, u kojem je na vrhu razlomka naznačena dividenda (brojnik), a ispod je djelitelj (imenik) razlomka. Kako podijeliti takav razlomak cijelim brojem? Pogledajmo primjer! Recimo da trebamo 8/12 podijeliti sa 2.

Da bismo to učinili, moramo izvršiti niz radnji:
Dakle, ako se suočimo sa zadatkom dijeljenja razlomka cijelim brojem, shema rješenja će izgledati otprilike ovako:

Slično, možete podijeliti bilo koji obični (prosti) razlomak cijelim brojem.

Kako podijeliti decimalu cijelim brojem?
Decimalni razlomak je razlomak koji se dobije dijeljenjem jedinice na deset, hiljadu i tako dalje. Aritmetičke operacije s decimalnim razlomcima su prilično jednostavne.

Razmotrimo primjer kako podijeliti razlomak cijelim brojem. Recimo da trebamo podijeliti decimalni razlomak 0,925 prirodnim brojem 5.

Sumirajući, fokusirajmo se na dvije glavne točke koje su važne pri izvođenju operacije dijeljenja decimalnih razlomaka cijelim brojem:

• da se decimalni razlomak podijeli prirodnim brojem, koristi se podjela u stupac;
  
• zarez se stavlja u privatno kada je dijeljenje cjelobrojnog dijela dividende završeno.
  

Primjenom ovih jednostavnih pravila uvijek možete lako podijeliti bilo koju decimalu ili razlomak cijelim brojem.

) i nazivnik po imeniocu (dobijamo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomaka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

Podjela običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koje uključuje prirodan broj.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne;
• množi brojioce i nazivnike razlomaka;
• smanjujemo razlomak;
• ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Može biti zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Razlomci na više nivoa.

U srednjoj školi često se nalaze trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 boda:

Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego se zbuniti u proračunima u glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka - idite na tip običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa unosimo u obične, koristeći dijeljenje na 2 tačke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.