Formule za redukciju logaritama. Računanje logaritama, primjeri, rješenja
Date su glavne karakteristike logaritma, graf logaritma, domen definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, povećanje i smanjenje. Razmatra se pronalaženje derivacije logaritma. Kao i integralno, proširenje niza stepena i predstavljanje pomoću kompleksnih brojeva.
SadržajDomen, skup vrijednosti, rastući, silazni
Logaritam je monotona funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tabeli.
| Domain | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Raspon vrijednosti | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotona | monotono raste | monotono opada |
| Nule, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| Tačke preseka sa y-osom, x = 0 | br | br |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Privatne vrijednosti
Poziva se logaritam baze 10 decimalni logaritam i označen je ovako:
osnovni logaritam e pozvao prirodni logaritam:
Osnovne logaritamske formule
Svojstva logaritma koji proizlaze iz definicije inverzne funkcije:
Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice
Formula zamjene baze
Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzima logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbroj članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sume termina se pretvaraju u proizvode faktora.
Dokaz osnovnih formula za logaritme
Formule vezane za logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.
Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Onda
.
Primijenite svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.
Dokažimo formulu promjene baze.
;
.
Postavljanje c = b , imamo:
Inverzna funkcija
Recipročna vrijednost logaritma baze a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.
Ako onda
Ako onda
Derivat logaritma
Derivat logaritma po modulu x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >
Da bismo pronašli derivaciju logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.
Integral
Integral logaritma se izračunava integracijom po dijelovima : .
dakle,
Izrazi u terminima kompleksnih brojeva
Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Express kompleksni broj z preko modula r i argument φ
:
.
Zatim, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
Međutim, argument φ
nije jasno definisano. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.
Dakle, logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.
Proširenje serije snaga
Za , ekspanzija se odvija:
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
\(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)
Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) je jednako snazi \(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).
|
primjeri: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
jer \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
jer \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument i baza logaritma
Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":
Argument logaritma se obično piše na njegovom nivou, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. I ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet do osnove od pet."
Kako izračunati logaritam?
Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stepena treba podići bazu da biste dobili argument?
Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Na koji stepen treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očigledno drugi. Zbog toga:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? I koji stepen čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobio \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stepenu jednak je samom sebi.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Na koji stepen treba podići \(3\) da bi se dobio \(\sqrt(3)\)? Odatle znamo da je to razlomak, i stoga je kvadratni korijen potencija \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Rješenje :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada koristimo definiciju logaritma: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Na lijevoj strani koristimo svojstva stepena: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Osnove su jednake, prelazimo na jednakost indikatora |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Pomnožite obje strane jednadžbe sa \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Dobiveni korijen je vrijednost logaritma |
Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Zašto je izmišljen logaritam?
Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednačinu: \(3^(x)=9\). Samo uparite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).
Sada riješite jednačinu: \(3^(x)=8\).Čemu je x jednako? To je poenta.
Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako tačno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).
Želim da naglasim da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratak. Jer ako bismo to htjeli zapisati kao decimalu, to bi izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)
Primjer : Riješite jednačinu \(4^(5x-4)=10\)
Rješenje :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) i \(10\) se ne mogu svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo definiciju logaritma: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Pred nama. Pomaknite \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao normalan broj. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Podijelite jednačinu sa 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran. |
Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Decimalni i prirodni logaritmi
Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama, postoje dvije koje se tako često javljaju da je izmišljen poseban kratki zapis za logaritme s njima:
Prirodni logaritam: logaritam čija je osnova Ojlerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).
To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)
Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).
To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.
Osnovni logaritamski identitet
Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ovo svojstvo slijedi direktno iz definicije. Pogledajmo kako se tačno pojavila ova formula.
Prisjetite se kratke definicije logaritma:
ako je \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)
To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.
Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza logaritmima, koje je teško izravno izračunati.
Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)
Rješenje :
Odgovori : \(25\)
Kako napisati broj kao logaritam?
Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. I obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.
Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično sa \(\log_(5)(25)\), i sa \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispostavilo se
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Dakle, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam sa bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednakosti) - samo napišemo kvadratnu bazu kao argument.
Isto je i sa trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
I sa četiri:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
I sa minus jedan:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
I sa jednom trećinom:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam sa bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Rješenje :
Odgovori : \(1\)
Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Imajte na umu da logaritam nepozitivnog broja nije definiran. Također, osnova logaritma mora biti pozitivan broj, ne jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobićemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam baze -2 od 4 2.
Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Važno je da se domeni definicije desnog i lijevog dijela ove formule razlikuju. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednačina i nejednačina može dovesti do promjene DPV-a.
Dvije očigledne posljedice definicije logaritma
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Zaista, kada broj a podignemo na prvi stepen, dobijamo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen dobijamo jedan.
Logaritam proizvoda i logaritam kvocijenta
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Želio bih upozoriti školarce na nepromišljeno korištenje ovih formula prilikom rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. Kada se koriste "s lijeva na desno", ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbira ili razlike logaritama na logaritam proizvoda ili količnika, ODZ se širi.
Zaista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne ili kada su f(x) i g(x) oba manje od nule.
Transformirajući ovaj izraz u zbir log a f (x) + log a g (x), primorani smo da se ograničimo samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Dolazi do sužavanja raspona dozvoljenih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).
Stepen se može izvaditi iz predznaka logaritma
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)I opet bih želeo da pozovem na tačnost. Razmotrite sljedeći primjer:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Lijeva strana jednakosti je očito definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Uzimajući snagu iz logaritma, ponovo sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona dozvoljenih vrijednosti. Sve ove napomene ne odnose se samo na stepen 2, već i na bilo koji parni stepen.
Formula za prelazak u novu bazu
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tokom konverzije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivna i nije jednaka 1), formula za prelazak na novu bazu je savršeno sigurna.
Ako odaberemo broj b kao novu bazu c, dobićemo važan poseban slučaj formule (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima
Primjer 1 Izračunajte: lg2 + lg50.
Rješenje. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbir logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.
Primjer 2 Izračunajte: lg125/lg5.
Rješenje. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo novu formulu baznog prelaza (8).
Tabela formula vezanih za logaritme
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
osnovna svojstva.
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
iste osnove
log6 4 + log6 9.
Sada da malo zakomplikujemo zadatak.
Primjeri rješavanja logaritama
Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Prelazak na novu osnovu
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Vidi također:
Osnovna svojstva logaritma
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.
Osnovna svojstva logaritama
Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.
Primjeri za logaritme
Uzmite logaritam izraza
Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).
Po svojstvima 3,5 računamo
2.
3.
Primjer 2 Pronađite x ako
Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama
Izračunajte log(x) ako
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.
Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:
Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.
Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.
Uklanjanje eksponenta iz logaritma
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.
Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.
Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.
Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.
Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sada okrenimo drugi logaritam:
Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:
U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:
Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".
Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istu bazu, dobijamo:
Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.
- logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
- loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
Vidi također:
Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takav stepen x () pri kojem je jednakost tačna
Osnovna svojstva logaritma
Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) se često susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.
Uobičajeni slučajevi logaritama
Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).
Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer
Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).
Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.
I još jedan važan logaritam osnove dva je
Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom
Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću
Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da bih asimilirao gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog nastavnog plana i programa i sa fakulteta.
Primjeri za logaritme
Uzmite logaritam izraza
Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).
Po svojstvima 3,5 računamo
2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo
3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo
Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila je pojednostavljen u formu
Pronalaženje vrijednosti logaritma
Primjer 2 Pronađite x ako
Rješenje. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana
Zamijenite u zapisniku i žalite
Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze
Logaritmi. Prvi nivo.
Neka je data vrijednost logaritama
Izračunajte log(x) ako
Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova
Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine ...
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.
Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.
Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.
Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.
Uklanjanje eksponenta iz logaritma
Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.
Kako riješiti logaritme
To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.
Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.
Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sada okrenimo drugi logaritam:
Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:
U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:
Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".
Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.
- logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
- loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunavanjem logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno date vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti tablice logaritama. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.
Navigacija po stranici.
Računanje logaritama po definiciji
U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i lako izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.
Njegova suština je da se broj b predstavi u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .
Dakle, izračunavanje logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.
S obzirom na informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma dat nekim stepenom baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Hajde da pokažemo primere.
Primjer.
Pronađite log 2 2 −3 , i izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .
Rješenje.
Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Zaista, broj pod znakom logaritma jednak je osnovici 2 na stepen −3.
Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.
odgovor:
log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .
Ako broj b pod znakom logaritma nije dat kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo razmisliti da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...
Primjer.
Izračunajte logaritme log 5 25 , i .
Rješenje.
Lako je vidjeti da je 25=5 2 , ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .
Nastavljamo s izračunavanjem drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: 
(pogledajte ako je potrebno). shodno tome, 
.
Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti 
, odakle to zaključujemo 
. Dakle, po definiciji logaritma 
.
Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:
odgovor:
log 5 25=2 , 
i .
Kada je dovoljno veliki prirodan broj pod znakom logaritma, nije štetno razložiti ga na proste faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma, i stoga, izračunati ovaj logaritam po definiciji.
Primjer.
Pronađite vrijednost logaritma.
Rješenje.
Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi 0 i 1, respektivno.
Primjer.
Koji su logaritmi i lg10?
Rješenje.
Budući da , to slijedi iz definicije logaritma 
.
U drugom primjeru, broj 10 pod znakom logaritma poklapa se sa njegovom bazom, pa je decimalni logaritam od deset jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .
odgovor:
I lg10=1 .
Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p , što je jedno od svojstava logaritama.
U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu 
, što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma, koji ilustruje upotrebu ove formule.
Primjer.
Izračunajte logaritam od .
Rješenje.
odgovor:
.
Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u proračunu, ali ćemo o tome govoriti u sljedećim paragrafima.
Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama
Informacije u ovom odlomku nastavljaju temu korištenja svojstava logaritama u njihovom proračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno da koristimo svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama da biste izračunali originalni logaritam u smislu datih.
Primjer.
Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .
Rješenje.
Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .
Sada da vidimo kako se log 60 3 može izraziti u terminima poznatih logaritama. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Na ovaj način, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. shodno tome, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.
Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
odgovor:
log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika 
. Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz originalnog logaritma, prema formuli prijelaza, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za ove baze postoje tablice logaritama koje omogućavaju izračunavanje njihovih vrijednosti tačnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.
Tablice logaritama, njihova upotreba
Za približno izračunavanje vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće se koriste tablica logaritama baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na osnovu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.
Prikazana tabela omogućava, sa tačnošću od jedne desetohiljaditinke, da se pronađu vrednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimale). Analizirat ćemo princip pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama na konkretnom primjeru - jasnije je. Nađimo lg1,256 .
U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžastom bojom). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Da li je moguće, koristeći gornju tabelu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9.999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.
Izračunajmo lg102.76332 . Prvo treba da napišete broj u standardnom obliku: 102.76332=1.0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1.028 prema tabeli decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.
U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.
Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Na ovaj način, .
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).
