Poznavajući koordinate stranice 2 trokuta, pronađite visinu. Odredite najveću visinu trougla

Prije svega, trokut je geometrijska figura, koju čine tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i povezane su sa tri segmenta. Da biste pronašli visinu trokuta, prvo morate odrediti njegovu vrstu. Trokuti se razlikuju po veličini svojih uglova i broju jednakih uglova. Prema veličini uglova trokut može biti oštar, tup i pravougaonik. Na osnovu broja jednakih stranica trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostrani i razmjerni. Visina je okomica koja je spuštena na suprotnu stranu trokuta od njegovog vrha. Kako pronaći visinu trougla?

Kako pronaći visinu jednakokračnog trougla

Jednakokračni trokut karakterizira jednakost stranica i uglova u njegovoj osnovi, stoga su visine jednakokračnog trougla povučene na bočne stranice uvijek jednake jedna drugoj. Također, visina ovog trougla je i medijana i simetrala. U skladu s tim, visina dijeli bazu na pola. Razmatramo rezultirajući pravokutni trokut i pronalazimo stranu, odnosno visinu jednakokračnog trokuta, koristeći Pitagorinu teoremu. Koristeći sljedeću formulu, izračunavamo visinu: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, gdje je: a bočna stranica ovog jednakokračnog trougla, b je osnova ovog jednakokračnog trougla.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trougla

Trokut sa jednakim stranicama naziva se jednakostraničan. Visina takvog trokuta se izvodi iz formule za visinu jednakokračnog trougla. Ispada: H = √3/2*a, gdje je a stranica ovog jednakostraničnog trougla.

Kako pronaći visinu skalenskog trougla

Skalana je trougao u kojem bilo koje dvije strane nisu jednake jedna drugoj. U takvom trokutu, sve tri visine će biti različite. Dužine visina možete izračunati pomoću formule: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, gdje je a stranica trokuta ili prvo izračunajte površinu određenog trokuta koristeći Heronovu formulu, koja izgleda ovako: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, gdje su a, b, c stranice razmjernog trougla, a p je njegov poluperimetar. Svaka visina = 2*površina/strana

Kako pronaći visinu pravouglog trougla

Pravougli trougao ima jedan pravi ugao. Visina koja ide do jedne od nogu je istovremeno i druga noga. Stoga, da biste pronašli visine koje leže na nogama, morate koristiti modificiranu Pitagorinu formulu: a = √(c 2 − b 2), gdje su a, b noge (a je noga koju treba pronaći), c je dužina hipotenuze. Da biste pronašli drugu visinu, trebate staviti rezultujuću vrijednost a umjesto b. Da biste pronašli treću visinu koja leži unutar trokuta, koristite sljedeću formulu: h = 2s/a, gdje je h visina pravougaonog trougla, s je njegova površina, a je dužina stranice na koju će visina biti okomita.

Trokut se naziva oštar ako su svi njegovi uglovi oštri. U ovom slučaju, sve tri visine nalaze se unutar oštrog trougla. Trokut se naziva tupougao ako ima jedan tup ugao. Dvije visine tupouglog trougla su izvan trougla i padaju na nastavak stranica. Treća strana je unutar trougla. Visina se određuje korištenjem iste Pitagorine teoreme.

Opće formule za izračunavanje visine trokuta

• Formula za pronalaženje visine trougla kroz stranice: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), gdje je h visina koju treba pronaći, a, b i c stranice dati trokut, p je njegov poluperimetar, .
• Formula za pronalaženje visine trokuta pomoću ugla i stranice: H=b sin y = c sin ß
• Formula za pronalaženje visine trougla kroz površinu i stranicu: h = 2S/a, gdje je a stranica trougla, a h visina konstruirana na strani a.
• Formula za pronalaženje visine trougla pomoću poluprečnika i stranica: H= bc/2R.

Prilikom odlučivanja razne vrste problemi, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (posebno u građevinarstvu), često zahtijevaju određivanje vrijednosti visine određene geometrijske figure. Kako izračunati ovu vrijednost (visinu) u trouglu?

Ako kombiniramo 3 točke u paru koje se ne nalaze na jednoj liniji, onda će rezultirajuća figura biti trokut. Visina je dio prave linije iz bilo kojeg vrha figure koji, kada se siječe sa suprotnom stranom, formira ugao od 90°.

Odredite visinu razmjernog trougla

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada figura ima proizvoljne uglove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje je

p – polovina perimetra figure, h(a) – segment na strani a, nacrtan pod pravim uglom na nju,

p=(a+b+c)/2 – proračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, možete koristiti odnos h(a)=2S/a da odredite njegovu visinu.

Trigonometrijske funkcije

Da biste odredili dužinu segmenta koji čini pravi ugao kada se siječe sa stranicom a, možete koristiti sljedeće relacije: ako su poznati stranica b i ugao γ ili stranica c i ugao β, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
gdje:
γ – ugao između stranica b i a,
β je ugao između stranica c i a.

Odnos sa radijusom

Ako je originalni trokut upisan u krug, možete koristiti radijus takvog kruga da odredite visinu. Njegov centar se nalazi u tački gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je polumjer.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c – 2 druge strane trougla,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovoj vrsti geometrijske figure, 2 strane, kada se ukrštaju, formiraju pravi ugao - 90°. Stoga, ako želite odrediti vrijednost visine u njemu, tada morate izračunati ili veličinu jedne od nogu, ili veličinu segmenta koji formira 90° s hipotenuzom. Prilikom određivanja:
a, b – noge,
c – hipotenuza,
h(c) – okomito na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne proračune koristeći sljedeće odnose:

• Pitagorina teorema:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, jer S=ab/2, tada je h(c)=ab/c.

• Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Odredite visinu jednakokračnog trougla

Ova geometrijska figura odlikuje se prisustvom dvije strane jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene do treće, različite strane, u pomoć dolazi Pitagorina teorema. Sa notacijama
sa strane,
c – baza,
h(c) je segment na c pod uglom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Gotovo nikada nije moguće odrediti sve parametre trougla bez dodatnih konstrukcija. Ove konstrukcije su jedinstvene grafičke karakteristike trokuta, koje pomažu u određivanju veličine stranica i uglova.

Definicija

Jedna od ovih karakteristika je visina trougla. Visina je okomita povučena iz vrha trougla na njegovu suprotnu stranu. Tem je jedna od tri tačke koje zajedno sa tri strane čine trougao.

Definicija visine trokuta može zvučati ovako: visina je okomita povučena iz vrha trokuta na pravu liniju koja sadrži suprotnu stranu.

Ova definicija zvuči komplikovanije, ali preciznije odražava situaciju. Činjenica je da u tupouglom trokutu nije moguće nacrtati visinu unutar trougla. Kao što se može vidjeti na slici 1, visina je u ovom slučaju vanjska. Osim toga, nije standardna situacija konstruirati visinu u pravokutnom trokutu. U ovom slučaju, dvije od tri visine trougla će proći kroz katete, a treća od vrha do hipotenuze.

Rice. 1. Visina tupouglog trougla.

Obično se visina trokuta označava slovom h. Visina je takođe naznačena na drugim slikama.

Kako pronaći visinu trougla?

Postoje tri standardna načina za pronalaženje visine trokuta:

Kroz Pitagorinu teoremu

Ova metoda se koristi za jednakostranične i jednakokračne trokute. Analizirajmo rješenje za jednakokraki trokut, a zatim recimo zašto isto rješenje vrijedi i za jednakostranični trokut.

Dato: jednakokraki trougao ABC sa osnovom AC. AB=5, AC=8. Pronađite visinu trougla.

Rice. 2. Crtež za problem.

Za jednakokraki trokut, važno je znati koja je strana osnova. Time se određuju stranice koje moraju biti jednake, kao i visina na kojoj djeluju određena svojstva.

Svojstva nadmorske visine jednakokračnog trougla povučenog na osnovu:

• Visina se poklapa sa medijanom i simetralom
• Dijeli bazu na dva jednaka dijela.

Visinu označavamo sa VD. Nalazimo DC kao polovinu baze, jer visina tačke D dijeli bazu na pola. DC=4

Visina je okomita, što znači da je BDC pravougli trokut, a visina BH je krak ovog trougla.

Nađimo visinu koristeći Pitagorinu teoremu: $$VD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Svaki jednakostranični trougao je jednakokračan, samo mu je osnova jednaka stranicama. Odnosno, možete koristiti isti postupak.

Kroz površinu trougla

Ova metoda se može koristiti za bilo koji trokut. Da biste ga koristili, morate znati površinu trokuta i stranu na koju je povučena visina.

Visine u trokutu nisu jednake, pa će za odgovarajuću stranu biti moguće izračunati odgovarajuću visinu.

Formula površine trougla: $$S=(1\over2)*bh$$, gdje je b strana trougla, a h je visina povučena na ovu stranu. Izrazimo visinu iz formule:

$$h=2*(S\preko b)$$

Ako je površina 15, strana je 5, tada je visina $$h=2*(15\over5)=6$$

Kroz trigonometrijsku funkciju

Treća metoda je prikladna ako su poznati strana i ugao na bazi. Da biste to učinili, morat ćete koristiti trigonometrijsku funkciju.

Rice. 3. Crtež za problem.

Ugao VSN=300, a stranica BC=8. Još uvijek imamo isti pravougli trokut BCH. Koristimo sinus. Sinus je omjer suprotne strane prema hipotenuzi, što znači: BH/BC=cos BCH.

Ugao je poznat, kao i strana. Izrazimo visinu trougla:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Vrijednost kosinusa se općenito uzima iz Bradisovih tablica, ali vrijednosti trigonometrijske funkcije za 30,45 i 60 stepeni - tabelarni brojevi.

Šta smo naučili?

Naučili smo koja je visina trougla, koje visine postoje i kako se označavaju. Shvatio sam tipične zadatke i zapisao tri formule za visinu trougla.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.6. Ukupno primljenih ocjena: 152.

Izračunavanje visine trokuta ovisi o samoj figuri (jednakokraka, jednakostranična, razmjerna, pravokutna). U praktičnoj geometriji složene formule se po pravilu ne nalaze. Dovoljno je poznavati opći princip proračuna kako bi mogao biti univerzalno primjenjiv na sve trouglove. Danas ćemo vas upoznati sa osnovnim principima izračunavanja visine figure, formulama za izračunavanje na osnovu svojstava visina trokuta.

Šta je visina?

Visina ima nekoliko karakterističnih svojstava

1. Tačka u kojoj se spajaju sve visine naziva se ortocentar. Ako je trokut šiljast, ortocentar se nalazi unutar figure, ako je jedan od uglova tup, tada se ortocentar, u pravilu, nalazi izvana.
2. U trouglu gdje je jedan ugao 90°, ortocentar i vrh se poklapaju.
3. Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko formula za određivanje visine trokuta.

Tradicionalno računarstvo

1. Ako je p polovina perimetra, tada su a, b, c oznake stranica tražene figure, h je visina, tada će prva i najjednostavnija formula izgledati ovako: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. U školskim udžbenicima često možete pronaći zadatke u kojima je poznata vrijednost jedne od stranica trougla i veličina ugla između ove stranice i osnovice. Tada će formula za izračunavanje visine izgledati ovako: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Kada se zada površina trokuta - S, kao i dužina baze - a, tada će proračuni biti što jednostavniji. Visina se nalazi pomoću formule: h = 2S/a.
4. Kada je zadan poluprečnik kružnice opisane oko figure, prvo izračunavamo dužine njene dve strane, a zatim prelazimo na izračunavanje date visine trougla. Da bismo to učinili, koristimo formulu: h = b ∙ c/2R, gdje su b i c dvije strane trougla koje nisu osnova, a R je polumjer.

Kako pronaći visinu jednakokračnog trougla?

Sve strane ove figure su jednake, njihove dužine su jednake, stoga će i uglovi u osnovi biti jednaki. Iz ovoga slijedi da će i visine koje crtamo na osnovicama biti jednake, one su istovremeno i medijane i simetrale. Govoreći jednostavnim jezikom, visina u jednakokrakom trouglu dijeli osnovu na dva dijela. Trougao sa pravim uglom, koji se dobije nakon iscrtavanja visine, razmatraćemo pomoću Pitagorine teoreme. Označimo stranu kao a, a osnovu kao b, tada je visina h = ½ √4 a2 − b2.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trougla?

Formula za jednakostranični trokut (figura gdje su sve strane jednake veličine) može se pronaći na osnovu prethodnih proračuna. Potrebno je samo izmjeriti dužinu jedne od stranica trokuta i označiti je kao a. Tada se visina izvodi po formuli: h = √3/2 a.

Kako pronaći visinu pravouglog trougla?

Kao što znate, ugao u pravokutnom trokutu je 90°. Visina spuštena za jednu stranu ujedno je i druga strana. Na njima će ležati visine trougla sa pravim uglom. Da biste dobili podatke o visini, morate malo transformirati postojeću Pitagorinu formulu, označavajući noge - a i b, a također i mjerenje dužine hipotenuze - c.

Nađimo dužinu kraka (stranu na koju će visina biti okomita): a = √ (c2 − b2). Dužina drugog kraka se nalazi koristeći potpuno istu formulu: b =√ (c2 − b2). Nakon toga možete početi izračunavati visinu trokuta s pravim kutom, nakon što ste prvo izračunali površinu figure - s. Vrijednost visine h = 2s/a.

Proračuni sa skaliranim trouglom

Kada skalirani trokut ima oštre uglove, vidljiva je visina spuštena na osnovu. Ako trokut ima tup ugao, tada visina može biti izvan figure i morate je mentalno nastaviti da biste dobili tačku spajanja visine i osnove trokuta. Najviše na jednostavan način izmjeriti visinu znači je izračunati kroz jednu od stranica i veličinu uglova. Formula je sljedeća: h = b sin y + c sin ß.

Trouglovi.

Osnovni koncepti.

Trougao je figura koja se sastoji od tri segmenta i tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

Segmenti se zovu stranke, a tačke su vrhovi.

Zbir uglova trougao je 180º.

Visina trougla.

Visina trougla- ovo je okomito povučeno iz vrha na suprotnu stranu.

U oštrom trouglu visina se nalazi unutar trougla (slika 1).

U pravokutnom trokutu, katete su visine trougla (slika 2).

U tupouglom trouglu visina se proteže izvan trougla (slika 3).

Svojstva nadmorske visine trougla:

Simetrala trougla.

Simetrala trougla- ovo je segment koji dijeli ugao temena na pola i povezuje vrh sa tačkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trougla.

Medijan trougla- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Dužina medijane može se izračunati pomoću formule: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 Gdje m a- medijan povučen u stranu A. U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze: c m c = — 2 Gdje m c- medijana povučena prema hipotenuzi c(Sl.9c) Medijane trougla se sijeku u jednoj tački (u centru mase trougla) i dijele se ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Odnosno, segment od vrha do centra je dvostruko veći od segmenta od centra do stranice trougla (slika 9c). Tri medijane trougla dijele ga na šest jednakih trouglova.

Srednja linija trougla.

Srednja linija trougla- ovo je segment koji povezuje sredine njegove dvije strane (slika 10).

Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njenoj polovini

Vanjski ugao trougla.

Vanjski kut trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla (slika 11).

Vanjski ugao trougla je veći od bilo kojeg nesusjednog ugla.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut je trougao koji ima pravi ugao (slika 12).

Strana pravokutnog trougla nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane se zovu noge.

Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu, visina povučena iz pravi ugao, formira tri slična trougla: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, uglovi formirani visinom jednaki su uglovima A i B.

Fig.14a

Jednakokraki trougao.

Jednakokraki trougao je trougao čije su dvije stranice jednake (slika 13).

Ove jednake strane su pozvani strane, a treći - osnovu trougao.

U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki. (U našem trouglu, ugao A je jednak uglu C).

U jednakokračnom trokutu, medijana povučena do osnove je i simetrala i visina trougla.

Jednakostranični trougao.

Jednakostranični trougao je trougao u kome su sve strane jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trougla:

Izuzetna svojstva trouglova.

Trokuti imaju jedinstvena svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme koji uključuju ove oblike. Neka od ovih svojstava su navedena iznad. Ali mi ih ponavljamo, dodajući im još nekoliko divnih karakteristika:

1) U pravokutnom trokutu sa uglovima od 90º, 30º i 60º b, koji leži nasuprot ugla od 30º, jednako je polovina hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (sl. 15 A). Na primjer, ako je krak b 5, onda je hipotenuza c nužno jednako 10, a krak A jednako 5√3. 2) U pravokutnom jednakokrakom trouglu sa uglovima od 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta veća od kraka (Sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, onda je hipotenuza 5√2. 3) Srednja linija trougla jednaka je polovini paralelna strana(Sl. 15 With). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja linija paralelna s njom 5. 4) U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze (slika 9c): m c= s/2. 5) Medijane trougla, koji se sijeku u jednoj tački, podijeljene su ovom tačkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do tačke preseka medijana je dvostruko veći od segmenta od presečne tačke medijana do stranice trougla (slika 9c) 6) U pravokutnom trokutu sredina hipotenuze je središte opisane kružnice (sl. 15 d).

Znakovi jednakosti trouglova.

Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, onda su takvi trokuti podudarni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i susjedni uglovi jednog trougla jednaki stranici i susjednim uglovima drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri strane jednog trougla jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Nejednakost trougla.

U bilo kojem trouglu svaka strana je manja od zbira druge dvije strane.

Pitagorina teorema.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trougla.

1) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranicu:

ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa ugla između njih:

1
S = — AB · A.C. · grijeh A
2

Trougao opisan oko kružnice.

Krug se naziva upisanim u trokut ako dodiruje sve njegove strane (slika 16.). A).

Trougao upisan u krug.

Za trokut se kaže da je upisan u krug ako ga dodiruje svim svojim vrhovima (Sl. 17 a).

Sinus, kosinus, tangent, kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta (slika 18).

Sinus oštar ugao x suprotno krak do hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: sinx.

Kosinus oštar ugao x pravouglog trougla je omjer susjedni krak do hipotenuze.
Označava se kako slijedi: cos x.

Tangenta oštar ugao x- ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Označava se kako slijedi: tgx.

Kotangens oštar ugao x- ovo je stav susjedna noga na suprotnu.
Označen kako slijedi: ctgx.

pravila:

Noga nasuprot uglu x, jednak je proizvodu hipotenuze i sin x:

b = c grijeh x

Noga uz ugao x, jednak je proizvodu hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga u suprotnom uglu x, jednak je umnošku druge noge za tg x:

b = a tg x

Noga uz ugao x, jednako je umnošku druge noge po ctg x:

a = b· ctg x.

Za bilo koji oštar ugao x:

greh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x