Uslov za postojanje horizontalne asimptote. Kako pronaći asimptote grafa funkcije? Koliko asimptota može imati graf funkcije?

04.06.2024 | Slike umjetnika

Asimptota grafa funkcije y = f(x) je prava linija koja ima svojstvo da udaljenost od tačke (x, f(x)) do ove prave linije teži nuli kako se tačka grafikona kreće beskonačno od porijeklo.

Na slici 3.10. dati su grafički primjeri vertikalnih, horizontalnih i kosih asimptota.

Pronalaženje asimptota grafa zasniva se na sljedeće tri teoreme.

Teorema vertikalne asimptote. Neka je funkcija y = f(x) definirana u određenom susjedstvu tačke x 0 (moguće isključujući samu tačku) i da je barem jedna od jednostranih granica funkcije jednaka beskonačnosti, tj. Tada je prava linija x = x 0 vertikalna asimptota grafa funkcije y = f(x).

Očigledno, prava linija x = x 0 ne može biti vertikalna asimptota ako je funkcija kontinuirana u tački x 0, jer u ovom slučaju . Prema tome, vertikalne asimptote treba tražiti na tačkama diskontinuiteta funkcije ili na krajevima njene domene definicije.

Teorema o horizontalnoj asimptoti. Neka je funkcija y = f(x) definirana za dovoljno veliki x i postoji konačan limit funkcije. Tada je prava linija y = b horizontalna asimptota grafa funkcije.

Komentar. Ako je samo jedan od limita konačan, tada funkcija ima, respektivno, lijevo- odnosno desnu horizontalnu asimptotu.

U slučaju da , funkcija može imati kosu asimptotu.

Teorema o kosoj asimptoti. Neka je funkcija y = f(x) definirana za dovoljno veliki x i postoje konačne granice . Tada je prava linija y = kx + b nagnuta asimptota grafa funkcije.

Nema dokaza.

Kosa asimptota, baš kao i horizontalna, može biti desno ili lijevo ako je osnova odgovarajućih granica beskonačnost određenog znaka.

Proučavanje funkcija i konstruiranje njihovih grafova obično uključuje sljedeće korake:

1. Pronađite domen definicije funkcije.

2. Ispitajte funkciju parno-neparnog pariteta.

3. Pronađite vertikalne asimptote ispitivanjem tačaka diskontinuiteta i ponašanja funkcije na granicama domene definicije, ako su konačne.

4. Pronađite horizontalne ili kose asimptote ispitivanjem ponašanja funkcije u beskonačnosti.

5. Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.

6. Naći intervale konveksnosti funkcije i prevojnih tačaka.

7. Pronađite tačke preseka sa koordinatnim osama i, eventualno, neke dodatne tačke koje pojašnjavaju graf.

Funkcijski diferencijal

Može se dokazati da ako funkcija ima ograničenje jednako konačnom broju za određenu bazu, onda se može predstaviti kao zbir ovog broja i infinitezimalne vrijednosti za istu bazu (i obrnuto): .

Primijenimo ovu teoremu na diferencijabilnu funkciju: .

Dakle, prirast funkcije Du sastoji se od dva člana: 1) linearnog u odnosu na Dx, tj. f `(x)Dh; 2) nelinearni u odnosu na Dx, tj. a(Dx)Dh. Istovremeno, pošto , ovaj drugi član je infinitezimal višeg reda od Dx (kako Dx teži nuli, teži nuli čak i brže).

Diferencijal funkcije je glavni, linearan u odnosu na Dx dio prirasta funkcije, jednak proizvodu derivacije i prirasta nezavisne varijable dy = f `(x)Dx.

Nađimo diferencijal funkcije y = x.

Pošto je dy = f `(x)Dh = x`Dh = Dh, onda je dx = Dh, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je inkrementu ove varijable.

Stoga se formula za diferencijal funkcije može napisati kao dy = f`(x)dh. Zato je jedna od oznaka za derivaciju razlomak dy/dh.

Ilustrovano je geometrijsko značenje diferencijala
Slika 3.11. Uzmimo proizvoljnu tačku M(x, y) na grafu funkcije y = f(x). Dajemo argumentu x prirast Dx. Tada će funkcija y = f(x) dobiti inkrement Dy = f(x + Dx) - f(x). Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u tački M, koja tvori ugao a sa pozitivnim smjerom ose apscise, tj. f `(x) = tan a. Iz pravokutnog trougla MKN
KN = MN*tg a = Dh*tg a = f`(x)Dh = dy.

Dakle, diferencijal funkcije je prirast u ordinati tangente povučene na graf funkcije u datoj tački kada x primi prirast Dx.

Svojstva diferencijala su u osnovi ista kao i derivacije:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Međutim, postoji važno svojstvo diferencijala funkcije koje njen izvod nema - to je invarijantnost oblika diferencijala.

Iz definicije diferencijala za funkciju y = f(x), diferencijal dy = f `(x)dh. Ako je ova funkcija y kompleksna, tj. y = f(u), gdje je u = j(x), tada je y = f i f `(x) = f `(u)*u`. Tada je dy = f `(u)*u`dh. Ali za funkciju
u = j(x) diferencijal du = u`dh. Stoga je dy = f `(u)*du.

Uspoređujući jednakosti dy = f `(x)dh i dy = f `(u)*du, uvjeravamo se da se diferencijalna formula ne mijenja ako umjesto funkcije nezavisne varijable x uzmemo u obzir funkciju od zavisna varijabla u. Ovo svojstvo diferencijala naziva se invarijantnost (tj. nepromjenjivost) oblika (ili formule) diferencijala.

Međutim, još uvijek postoji razlika u ove dvije formule: u prvoj od njih, diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable, tj. dx = Dx, i drugo, diferencijal funkcije du je samo linearni dio prirasta ove funkcije Du i samo za male Dx du » Du.

Ako udaljenost d od tačke na krivulji y = f (x), koja ima beskonačnu granu, do određene prave linije teži nuli dok se tačka udaljava duž ove krive u beskonačnost, tada se prava linija naziva asimptota krive.

Postoje asimptote: 1) horizontalne, 2) vertikalne i 3) nagnute.

1. Kriva y = f (x) ima horizontalnu asimptotu y = b samo ako postoji konačna granica funkcije f (x) na , a ova granica je jednaka b, tj.

2. Kriva y = f (x) ima vertikalnu asimptotu x = a, ako je na . Da biste odredili vertikalne asimptote, potrebno je pronaći one vrijednosti argumenta u blizini kojih f (x) neograničeno raste u apsolutnoj vrijednosti. Ako su takve vrijednosti argumenta a1, a2, ..., tada će jednadžbe vertikalnih asimptota biti

x = a1, x = a2...

3. Da biste odredili kosu asimptotu y = kx + b krive y = f (x), potrebno je pronaći brojeve k i b iz formula

(slučajeve treba razmotriti odvojeno). Kose asimptote krive y = f (x) postoje ako i samo ako ove granice imaju konačnu vrijednost. Prilikom određivanja ovih granica zgodno je koristiti L'Hopitalovo pravilo.

Primjer. Pronađite asimptote krive

Rješenje. Ne postoje horizontalne asimptote. Vertikalnu asimptotu nalazimo iz uslova

2x + 3 = 0 => x = - 3/2, dok je y
, Kada
, y
, Kada
. Odredimo kose asimptote, čija jednačina ima oblik: y = kx + b

Pošto k i b imaju konačne vrijednosti i jednaki su jedno drugom na x
i na x
, tada postoji jedinstvena kosa asimptota čija je jednačina

Studija opće funkcije

Potpuna studija funkcije obično znači rješavanje sljedećih pitanja:

Određivanje domena postojanja funkcije.

Identificiranje problema parnosti i neparnosti funkcije.

Određivanje tačaka prekida funkcije.

Određivanje asimptota grafa funkcije.

Određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije.

Određivanje ekstrema funkcije.

Određivanje intervala konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije.

Određivanje prevojnih tačaka.

Pronalaženje sjecišta sa koordinatnim osa.

Grafički prikaz funkcije.

Primjer. Hajde da istražimo funkciju

D(y) = (
). Funkcija je kontinuirana u cijelom domenu definicije. Nema prelomnih tačaka.

Funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična.

Nema prelomnih tačaka.

Ne postoje vertikalne asimptote;
, nema kosih asimptota.

5, 6.
. Kritične tačke x = -2, x = 0.

	( )		( )
Potpiši		= 0
Ponašanje funkcije	Povećanje	3	Povećanje

7, 8.
,
na x = 1,
ne postoji na x = 0.

	( )				( )
Potpiši		=		= 0
Ponašanje funkcije	Konveksan vrh	Nije prelomna tačka	Konveksan vrh	Prevojna tačka	Konveksno prema dolje

9.
x =0 i x = -5.

Vježba 1

Izračunajte determinantu drugog reda matrice A

Izračunajte determinantu matrice B trećeg reda

Izračunajte determinantu matrice B tako što ćete je proširiti na bilo koji red i kolonu

Izračunajte determinantu matrice B koristeći svojstva determinanti. Izračun determinante trećeg reda svesti na izračun jedne determinante drugog reda

Opcija 1

Opcija 2

Opcija 3

Opcija 4

Opcija 5

Opcija 6

Opcija 7

Opcija 8



Opcija 9



Opcija 10

Zadatak 2

1. Rešiti sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu Ah = a

Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu INx = b

Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom INx = b

Zadatak 3.

Ah = a

Rešiti sistem jednačina koristeći matričnu metodu INx = b

Zadatak 4.

Izračunajte rang matrice.

1., 2.
;

3.
4.

5.
6.

7.
8

9.
10.

Zadatak 5

Zadana su dva vrha trougla Δ ABC: A (X 1 ,y 1 ), IN(X 2 ,y 2 ) i tačka D (x 3 , y 3 )visinske raskrsnice:

a) kreirati jednadžbu visina, medijana, simetrala trougla Δ ABC.

b) naći jednačine pravih koje prolaze kroz vrhove trougla i paralelne sa stranicama.

c) odrediti dužinu visina trougla i udaljenost od tačke M (X 4 , y 4 ) na stranice trougla.

x 1	y 1	x 2	y 2	x 3	y 3	x 4	y 4

Zadatak 6.

Date su koordinate vrhova piramide ABCD: A (X 1 ,y 1 , z 1 ), IN(X 2 ,y 2 , z 3 ) ,C (x 2 , y 2 , z 2 ) ,D (X 4 , y 4 , z 3 )

1) dužina rebra AB;.

2) ugao između rebara AB I AD;

3) ugao između ivica AD i ivica ABC;

4) područje lica ABC;

5) zapremina piramide;

6) jednačina prave AB;

7) ravan jednačina ABC;

8) jednačina visine spuštene sa vrha D do ruba ABC.

x 1

y 1

z 1

x 2

y 2

z 2

x 3

y 3

z 3

x 4

y 4

z 4

Zadatak 7.

Zadatak 8. Pronađite domenu funkcije

10.

Zadatak 9. Grafikujte funkciju

10.

Zadatak 10. Pronađite granice funkcije

1.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

2.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

3.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

4. a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

5.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

6.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

7. a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

8.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

9.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

10.a)
, b)
, V)
,

G)
, d)

Zadatak 11. Pronađite izvod

1.
, b),

V)
, G)
, d)
, e)

2. a)
, b)
, V)
,

G)
, d)
,e)

3. a), b)
, V)
, G)
, d)
, e)

4. a)
, b)
, V)
,

G)
, d)
, e)

5. a)
, b)
, V)
, G)
, d)
,

6. a)
, b)
, V)
, G)
, d)
,

7. a)
, b),

V)
, G)
, d)
,

8. a)
, b)
, V)
, G)
, d)
,

9. a)
, b)
, V)
,

G)
, d)
, e)

10. a)
, b)
, V)
,

G)
, d)
, e)

Zadatak 12. Pokazati da funkcija zadovoljava jednakost

Zadatak 13. Naći drugi izvod parametarski definirane funkcije.

1 .
6.

2.
7

3.
8

4.
9.

5.
10.

Zadatak 14. Pronađite granice koristeći L'Hopitalovo pravilo

Zadatak 15. Naći ekstreme datih funkcija.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Zadatak 16. Odredite najveću i najmanju vrijednost na naznačenim segmentima iu navedenim intervalima.

Zadatak 17. Izvršite potpunu studiju ovih funkcija i nacrtajte njihove grafikone.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

književnost:

Bavrin I.I. Kurs više matematike.-M.: Prosvjeta, 1992.-400 str.

Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Priručnik iz matematike. M, 1967, 608 s

Opći kurs više matematike za ekonomiste, urednik V.I.Ermakov-M. "Infra-M", 1999. - 655 str.

Teush V.L. Kurs više matematike. - M.: Sovjetska nauka, 1958, 270 str.

Shipachev V.S. Viša matematika: Udžbenik M. Viša škola, 1990.-479 str.

Viša matematika za ekonomiste: Udžbenik za univerzitete / N.Sh., B.A. M: UNITY, 2002. – 461 str.

Valiev K.G., Dzhalladova I.A. Vishcha Matematika: magistar nauka. Pos_bnik.

Koncept asimptota

Jedna od važnih faza konstruisanja grafova funkcija je traženje asimptota. Više puta smo se susreli sa asimptotama: prilikom konstruisanja grafova funkcija, y=tgx, y=stgx. Definirali smo ih kao linije kojima graf funkcije „teži“, ali ih nikada ne prelazi. Došlo je vrijeme da se da precizna definicija asimptota.

Postoje tri vrste asimptota: vertikalne, horizontalne i kose. Na crtežu se asimptote obično označavaju isprekidanim linijama.

Razmotrimo sljedeći umjetno konstruirani graf funkcije (slika 16.1), čiji primjer pokazuje sve vrste asimptota:

Hajde da definišemo svaku vrstu asimptote:

1. Direktno x=a pozvao vertikalna asimptota funkcije ako .

2. Direktno y=c pozvao horizontalna asimptota funkcije ako .

3. Direktno y=kx+b pozvao kosa asimptota funkcije ako .

Geometrijski, definicija kose asimptote znači da se na →∞ graf funkcije približava pravoj liniji koliko god se želi y=kx+b, tj. oni su skoro identični. Razlika između praktično identičnih izraza teži nuli.

Imajte na umu da se horizontalne i kose asimptote razmatraju samo pod uslovom →∞. Ponekad se razlikuju u horizontalne i kose asimptote na →+∞ i →-∞.

Algoritam za traženje asimptota

Da biste pronašli asimptote, možete koristiti sljedeći algoritam:

Može postojati jedna, više ili bez vertikalnih asimptota.

Ako je c broj, onda y=c– horizontalna asimptota;
Ako je c beskonačno, onda ne postoje horizontalne asimptote.

Ako je funkcija omjer dva polinoma, onda ako funkcija ima horizontalne asimptote, nećemo tražiti kose asimptote - one ne postoje.

Pogledajmo primjere pronalaženja asimptota funkcije:

Primjer 16.1. Pronađite asimptote krive.

Rješenje X-1≠0; X≠1.

Provjerimo da li je linija ravna x= 1 vertikalna asimptota. Da bismo to učinili, izračunavamo granicu funkcije u tački x= 1: .

x= 1 - vertikalna asimptota.

With= .

With= = . Jer With=2 (broj), onda y=2– horizontalna asimptota.

Pošto je funkcija omjer polinoma, ako postoje horizontalne asimptote, tvrdimo da nema kosih asimptota.

x= 1 i horizontalna asimptota y=2. Radi jasnoće, graf ove funkcije je prikazan na Sl. 16.2.

Primjer 16.2. Pronađite asimptote krive.

Rješenje. 1. Pronađite domen definicije funkcije: X-2≠0; X≠2.

Provjerimo da li je linija ravna x= 2 vertikalna asimptota. Da bismo to učinili, izračunavamo granicu funkcije u tački x= 2: .

Dobili smo to, dakle, x= 2 - vertikalna asimptota.

2. Da bismo tražili horizontalne asimptote, nalazimo: With= .

Pošto se nesigurnost pojavljuje u granici, koristimo L'Hopitalovo pravilo: With= = . Jer With– beskonačnost, tada nema horizontalnih asimptota.

3. Za traženje kosih asimptota nalazimo:

Dobili smo nesigurnost oblika , koristimo L'Hopitalovo pravilo: = =1 Dakle, 1. Nađimo b prema formuli: .

b= = =

Shvatio sam b= 2. Onda y=kx+b – kosa asimptota. U našem slučaju to izgleda ovako: y=x+2.

Rice. 16.3

Dakle, ova funkcija ima vertikalnu asimptotu x= 2 i kosa asimptota y=x+2. Radi jasnoće, graf funkcije je prikazan na Sl. 16.3.

Kontrolna pitanja:

Predavanje 17. OPŠTA ŠEMA ZA PROUČAVANJE FUNKCIJE I KONSTRUKCIJU GRAFA

U ovom predavanju ćemo sumirati sav prethodno proučeni materijal. Krajnji cilj našeg dugog putovanja je da možemo ispitati bilo koju analitički zadanu funkciju i izgraditi njen graf. Važni delovi našeg istraživanja biće proučavanje funkcije za ekstreme, određivanje intervala monotonosti, konveksnosti i konkavnosti grafa, traženje prevojnih tačaka i asimptota grafa funkcije.

Uzimajući u obzir sve gore navedene aspekte, predstavljamo šema za proučavanje funkcije i crtanje grafa .

1. Pronađite domen definicije funkcije.

2. Ispitajte funkciju za par-nepar:

· ako je , tada je funkcija parna (grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU);

· ako je , tada je funkcija neparna (grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište);

· inače funkcija nije ni parna ni neparna.

3. Istražiti funkciju za periodičnost (među funkcijama koje proučavamo, samo trigonometrijske funkcije mogu biti periodične).

4. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa:

· Oh: at=0 (jednačinu rješavamo samo ako možemo koristiti metode koje su nam poznate);

· OU: X=0.

5. Naći prvi izvod funkcije i kritične tačke prve vrste.

6. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

7. Naći drugi izvod funkcije i kritične tačke druge vrste.

8. Pronađite intervale konveksnosti-konkavnosti grafa funkcije i prevojnih tačaka.

9. Pronađite asimptote grafa funkcije.

10. Konstruirajte graf funkcije. Prilikom izgradnje treba uzeti u obzir slučajevi moguće lokacije grafa u blizini asimptota :

11. Ako je potrebno, odaberite kontrolne tačke za precizniju konstrukciju.

Razmotrimo shemu za proučavanje funkcije i konstruiranje njenog grafa koristeći konkretne primjere:

Primjer 17.1. Grafikujte funkciju.

Rješenje. 1. Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim X=3, jer u ovom trenutku imenilac ide na nulu.

2. Da bismo utvrdili da li je funkcija parna ili neparna, nalazimo:

Vidimo da i , prema tome, funkcija nije ni parna ni neparna.

3. Funkcija je neperiodična.

4. Naći tačke preseka sa koordinatnim osa. Da se pronađe tačka preseka sa osom Oh prihvatimo at=0. Dobijamo jednačinu: . Dakle, tačka (0; 0) je tačka preseka sa koordinatnim osa.

5. Nađimo izvod funkcije koristeći pravilo diferencijacije razlomaka: = = = = .

Da bismo pronašli kritične tačke, nalazimo tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka 0 ili ne postoji.

Ako je =0, dakle . Proizvod je tada jednak 0 kada je barem jedan od faktora jednak 0: ili .

X-3) 2 je jednako 0, tj. ne postoji kada X=3.

Dakle, funkcija ima tri kritične tačke prve vrste: ; ; .

6. Na brojevnoj osi označavamo kritične tačke prve vrste, a tačku označavamo probušenom tačkom, jer funkcija nije definirana u njemu.

Na svaki interval postavljamo derivaciju = znakove:

t.min

t.max

Na intervalima gdje , originalna funkcija raste (na (-∞;0]), gdje - opada (na ).

Dot X=0 je maksimalna tačka funkcije. Da bismo pronašli maksimum funkcije, nalazimo vrijednost funkcije u točki 0: .

Dot X=6 je minimalna tačka funkcije. Da bismo pronašli minimum funkcije, nalazimo vrijednost funkcije u točki 6: .

Rezultati istraživanja se mogu uneti u tabelu. Broj redova u tabeli je fiksan i jednak je četiri, a broj kolona zavisi od funkcije koja se proučava. U ćelije prvog reda redom se unose intervali u koje kritične tačke dijele domenu definicije funkcije, uključujući i same kritične tačke. Da biste izbjegli greške prilikom konstruiranja tačaka koje ne pripadaju domeni definicije, ne možete ih uključiti u tablicu.

U drugom redu tabele nalaze se predznaci izvoda na svakom od razmatranih intervala i vrednost izvoda u kritičnim tačkama. U skladu sa predznacima derivacije funkcije, u trećem redu označeni su intervali povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije.

Zadnji red služi za označavanje maksimuma i minimuma funkcije.

X	(-∞;0)		(0;3)	(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-	-		+
f(x)
zaključci		max			min

7. Nađimo drugi izvod funkcije kao izvod prvog izvoda: = =

Stavimo to u brojilac X-3 za zagrade i izvršite redukciju:

Predstavimo slične pojmove u brojniku: .

Nađimo kritične tačke druge vrste: tačke u kojima je drugi izvod funkcije jednak nuli ili ne postoji.

0 ako je =0. Ovaj razlomak ne može biti jednak nuli, stoga ne postoje tačke u kojima je drugi izvod funkcije jednak nuli.

Ne postoji ako je imenilac ( X-3) 3 je jednako 0, tj. ne postoji kada X=3. :Oh , OU, ishodište, mjerne jedinice za svaku osu.

Prije crtanja funkcije, trebate:

Nacrtajte asimptote isprekidanim linijama;

· označiti tačke ukrštanja sa koordinatnim osama;

Rice. 17.1

označiti maksimum i minimum funkcije, a preporučuje se da se maksimum i minimum funkcije naznači direktno na crtežu lukovima: k ili ;

· koristeći dobijene podatke o intervalima porasta, smanjenja, konveksnosti i konkavnosti, konstruisati grafik funkcije. Grane grafa treba da „težu“ ka asimptotama, ali ne i da ih seku.

· provjeriti da li graf funkcije odgovara sprovedenom istraživanju: ako je funkcija parna ili neparna, onda da li je uočena simetrija; Odgovaraju li intervali porasta i smanjenja, konveksnosti i konkavnosti i pregibnih tačaka teorijski pronađenim?

11. Za precizniju konstrukciju, možete odabrati nekoliko kontrolnih tačaka. Na primjer, pronađimo vrijednosti funkcije u točkama -2 i 7:

Prilagođavamo raspored uzimajući u obzir kontrolne tačke.

Kontrolna pitanja:

Koji je algoritam za crtanje funkcije?

Može li funkcija imati ekstrem u tačkama izvan svog domena definicije?

POGLAVLJE 3. 3. INTEGRALNI RAČUN FUNKCIJE

Definicija. Asimptota grafa funkcije je prava linija koja ima svojstvo da udaljenost od tačke na grafu funkcije do ove prave linije teži nuli dok se tačka grafa kreće beskonačno od početka..

Prema metodama njihovog pronalaženja razlikuju se tri vrste asimptota: vertikalne, horizontalne, kose.

Očigledno, horizontalni su posebni slučajevi nagnutih (na ).

Pronalaženje asimptota grafa funkcije zasniva se na sljedećim tvrdnjama.

Teorema 1. Neka je funkcija definirana barem u nekom polususjedstvu tačke i barem jedna od njenih jednostranih granica u ovoj tački je beskonačna, tj. izjednačio. Tada je prava linija vertikalna asimptota grafa funkcije.

Dakle, vertikalne asimptote grafa funkcije treba tražiti na tačkama diskontinuiteta funkcije ili na krajevima njene domene definicije (ako su to konačni brojevi).

Teorema 2. Neka je funkcija definirana za vrijednosti argumenata dovoljno velike apsolutne vrijednosti i postoji konačna granica funkcije . Tada je prava linija horizontalna asimptota grafa funkcije.

To se može dogoditi , A , i konačni su brojevi, onda graf ima dvije različite horizontalne asimptote: ljevoruku i desnoruku. Ako postoji samo jedna od konačnih granica ili postoji, onda graf ima ili jednu lijevu ili jednu desnu horizontalnu asimptotu.

Teorema 3. Neka funkcija bude definirana za vrijednosti argumenta koje su dovoljno velike apsolutne vrijednosti i postoje konačne granice I . Tada je prava linija kosa asimptota grafa funkcije.

Imajte na umu da ako je barem jedna od ovih granica beskonačna, onda ne postoji kosa asimptota.

Kosa asimptota, kao i horizontalna, može biti jednostrana.

Primjer. Pronađite sve asimptote grafa funkcije.

Rješenje .

Funkcija je definirana na . Nađimo njegove jednostrane granice u tačkama.

Jer I (druge dvije jednostrane granice možda se više ne mogu naći), tada su prave linije vertikalne asimptote grafa funkcije.

Hajde da izračunamo

(primjeni L'Hopitalovo pravilo) = .

To znači da je prava horizontalna asimptota.

Pošto horizontalna asimptota postoji, više ne tražimo nagnute (one ne postoje).

Odgovor: Graf ima dvije vertikalne asimptote i jednu horizontalnu.

Istraživanje općih funkcija y = f(x).

Opseg funkcije. Pronađite njegovu domenu definicije D(f) . Ako nije previše teško, korisno je pronaći i raspon E(f) . (Međutim, u mnogim slučajevima, pitanje pronalaženja E(f) se odgađa dok se ne pronađu ekstremi funkcije.)

Posebna svojstva funkcije. Saznajte opća svojstva funkcije: parnost, neparnost, periodičnost, itd. Nema svaka funkcija svojstva kao što su parno ili neparno. Funkcija očigledno nije ni parna ni neparna ako je njena domena definicije asimetrična u odnosu na tačku 0 na osi Ox. Na isti način, za bilo koju periodičnu funkciju domen definicije se sastoji ili od cijele realne ose ili od unije periodično ponavljajućih sistema intervala.

Vertikalne asimptote. Saznajte kako se funkcija ponaša kada se argument približi graničnim točkama domene definicije D(f), ako postoje takve granične tačke. U ovom slučaju mogu se pojaviti vertikalne asimptote. Ako funkcija ima tačke diskontinuiteta u kojima nije definirana, tada i ove točke treba provjeriti na prisustvo vertikalnih asimptota funkcije.

Kose i horizontalne asimptote. Ako je domen definicije D(f) uključuje zrake oblika (a;+) ili (−;b), tada možete pokušati pronaći kose asimptote (ili horizontalne asimptote) za x+ odnosno x−, tj. pronađite limxf(x). Kose asimptote: y = kx + b, gdje je k=limx+xf(x) i b=limx+(f(x)−x). Asimptote su horizontalne: y = b, gdje je limxf(x)=b.

Pronalaženje presječnih tačaka grafa sa osama. Pronalaženje tačke preseka grafika sa osom Oy. Da biste to učinili, morate izračunati vrijednost f(0). Nađite i tačke preseka grafika sa osom Ox, zašto pronaći korijene jednadžbe f(x) = 0 (ili provjerite da nema korijena). Jednadžba se često može riješiti samo približno, ali odvajanje korijena pomaže boljem razumijevanju strukture grafa. Zatim morate odrediti predznak funkcije na intervalima između korijena i prijelomnih tačaka.

Pronalaženje presječnih tačaka grafa sa asimptotom. U nekim slučajevima može biti potrebno pronaći karakteristične tačke na grafikonu koje nisu pomenute u prethodnim paragrafima. Na primjer, ako funkcija ima nagnutu asimptotu, tada možete pokušati saznati ima li graf točke presjeka s ovom asimptotom.

Pronalaženje intervala konveksnosti i konkavnosti. Ovo se radi ispitivanjem predznaka drugog izvoda f(x). Pronađite točke pregiba na spojevima konveksnih i konkavnih intervala. Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama pregiba. Ako funkcija ima druge tačke kontinuiteta (osim prevojnih tačaka) u kojima je drugi izvod 0 ili ne postoji, tada je također korisno izračunati vrijednost funkcije u tim tačkama. Nakon što smo pronašli f(x) rješavamo nejednačinu f(x)0. Na svakom od intervala rješenja funkcija će biti konveksna prema dolje. Rješavanjem inverzne nejednakosti f(x)0 nalazimo intervale na kojima je funkcija konveksna prema gore (tj. konkavna). Definiramo točke pregiba kao one tačke u kojima funkcija mijenja smjer konveksnosti (i kontinuirana je).

U julu 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Letelica će na Mars isporučiti elektronski medij sa imenima svih registrovanih učesnika ekspedicije.

Registracija učesnika je otvorena. Nabavite svoju kartu za Mars koristeći ovaj link.

Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: na kontrolnoj ploči stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, u njega kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozorskom staklu... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Postoji zanimljiv članak o ovoj temi, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati složenije primjere trodimenzionalnih fraktala.

Fraktal se može vizualno predstaviti (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, ovo je samoslična struktura, ispitujući detalje čije ćemo uvećanje vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju obične geometrijske figure (ne fraktala), pri uvećanju ćemo vidjeti detalje koji imaju jednostavniji oblik od same originalne figure. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment prave linije. To se ne dešava sa fraktalima: sa svakim njihovim povećanjem, ponovo ćemo videti isti složeni oblik, koji će se ponavljati iznova i iznova sa svakim povećanjem.

Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost u ime nauke: „Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima kao i po svom cjelokupnom obliku će biti uvećan do veličine cjeline, izgledat će kao cjelina, ili tačno, ili možda s malom deformacijom."