Međusobno inverzne funkcije, njihovi grafovi. Međusobno inverzne funkcije, osnovne definicije, svojstva, grafovi Poruka na temu inverznih funkcija

Ciljevi lekcije:

edukativni:

• formiranje znanja o novoj temi u skladu sa programskim materijalom;
• proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu datoj;

u razvoju:

• razviti vještine samokontrole, predmetni govor;
• savladati koncept inverzne funkcije i naučiti metode pronalaženja inverzne funkcije;

Obrazovni: formirati komunikativnu kompetenciju.

Oprema: kompjuter, projektor, platno, SMART Board interaktivna tabla, materijal (samostalni rad) za grupni rad.

Tokom nastave.

1. Organizacioni momenat.

Target – priprema učenika za rad u učionici:

Definicija odsutnog,

Odnos učenika prema radu, organizacija pažnje;

Poruka o temi i svrsi lekcije.

2. Ažuriranje osnovnih znanja učenika. front poll.

Cilj - utvrditi ispravnost i svijest o proučavanom teorijskom gradivu, ponavljanje obrađenog gradiva.<Приложение 1 >

Grafikon funkcije prikazan je na interaktivnoj tabli za učenike. Nastavnik formuliše zadatak - razmotriti graf funkcije i navesti proučavana svojstva funkcije. Studenti navode svojstva funkcije prema projektu istraživanja. Nastavnik, desno od grafikona funkcije, zapisuje imenovana svojstva markerom na interaktivnoj tabli.

Svojstva funkcije:

Na kraju učenja nastavnik izvještava da će se danas na času upoznati sa još jednim svojstvom funkcije - reverzibilnošću. Za sadržajno proučavanje novog gradiva, nastavnik poziva djecu da se upoznaju sa glavnim pitanjima na koja učenici moraju odgovoriti na kraju časa. Pitanja su napisana na običnoj tabli i svaki učenik ima materijal (podijeljen prije časa)

1. Šta je reverzibilna funkcija?
2. Je li svaka funkcija reverzibilna?
3. Koja je inverzna data funkcija?
4. Kako su povezani domen definicije i skup vrijednosti funkcije i njene inverzne funkcije?
5. Ako je funkcija data analitički, kako definirati inverznu funkciju s formulom?
6. Ako je funkcija data grafički, kako nacrtati njenu inverznu funkciju?

3. Objašnjenje novog materijala.

Target - formiranje znanja o novoj temi u skladu sa programskim materijalom; proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu datoj; razvijati predmet.

Nastavnik izvodi prezentaciju gradiva u skladu sa materijalom iz stava. Na interaktivnoj tabli nastavnik upoređuje grafove dviju funkcija čiji su domeni definicije i skupovi vrijednosti isti, ali je jedna funkcija monotona, a druga nije, čime učenike dovodi pod koncept invertibilne funkcije. .

Nastavnik zatim formulira definiciju inverzibilne funkcije i izvodi dokaz teoreme o invertibilnoj funkciji koristeći graf monotone funkcije na interaktivnoj tabli.

Definicija 1: Poziva se funkcija y=f(x), x X reverzibilan, ako uzme bilo koju od svojih vrijednosti samo u jednoj tački skupa X.

Teorema: Ako je funkcija y=f(x) monotona na skupu X, onda je inverzibilna.

dokaz:

1. Neka funkcija y=f(x) povećava za X pusti to x 1 ≠ x 2- dva poena seta X.
2. Za određenost, neka x 1< x 2.
   Od čega onda x 1< x 2 sledi to f(x 1) < f(x 2).
3. Dakle, različite vrijednosti argumenta odgovaraju različitim vrijednostima funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.

(Tokom dokazivanja teoreme nastavnik markerom daje sva potrebna objašnjenja na crtežu)

Prije nego što formuliše definiciju inverzne funkcije, nastavnik traži od učenika da odrede koja je od predloženih funkcija reverzibilna? Interaktivna tabla prikazuje grafikone funkcija i napisano je nekoliko analitički definisanih funkcija:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Nastavnik uvodi definiciju inverzne funkcije.

Definicija 2: Neka je invertibilna funkcija y=f(x) definisano na setu X i E(f)=Y. Uparimo svaki y od Y onda jedino značenje X, pri čemu f(x)=y. Tada dobivamo funkciju koja je definirana na Y, a X je opseg funkcije

Ova funkcija je označena x=f -1 (y) i zove se inverzna funkcija y=f(x).

Studenti se pozivaju da donesu zaključak o odnosu između domene definicije i skupa vrijednosti inverznih funkcija.

Da bi razmotrio pitanje kako pronaći inverznu funkciju datog, nastavnik je uključio dva učenika. Dan ranije djeca su od učitelja dobila zadatak da samostalno analiziraju analitičke i grafičke metode za pronalaženje inverzne zadate funkcije. Nastavnik je bio konsultant u pripremi učenika za čas.

Poruka prvog učenika.

Napomena: monotonost funkcije je dovoljno uslov za postojanje inverzne funkcije. Ali to nije neophodno stanje.

Student je naveo primjere različitih situacija kada funkcija nije monotona, već reverzibilna, kada funkcija nije monotona i nije reverzibilna, kada je monotona i reverzibilna

Zatim učenik upoznaje studente sa metodom pronalaženja inverzne funkcije zadane analitički.

Algoritam pronalaženja

1. Provjerite je li funkcija monotona.
2. Izrazite x u terminima y.
3. Preimenujte varijable. Umjesto x \u003d f -1 (y) pišu y = f -1 (x)

Zatim rješava dva primjera za pronalaženje funkcije inverzne od datog.

Primjer 1: Pokazati da postoji inverzna funkcija za funkciju y=5x-3 i pronaći njen analitički izraz.

Rješenje. Linearna funkcija y=5x-3 je definirana na R, raste na R, a njen raspon je R. Dakle, inverzna funkcija postoji na R. Da bismo pronašli njen analitički izraz, rješavamo jednačinu y=5x-3 u odnosu na x; dobijamo Ovo je željena inverzna funkcija. Definiše se i povećava za R.

Primjer 2: Pokazati da postoji inverzna funkcija za funkciju y=x 2 , x≤0 i pronaći njen analitički izraz.

Funkcija je neprekidna, monotona u svom domenu definicije, dakle, invertibilna. Nakon analize domena definicije i skupa vrijednosti funkcije, dolazi se do odgovarajućeg zaključka o analitičkom izrazu za inverznu funkciju.

Drugi učenik pravi prezentaciju o grafički kako pronaći inverznu funkciju. U toku svog objašnjenja učenik koristi mogućnosti interaktivne table.

Da biste dobili grafik funkcije y=f -1 (x), inverzan funkciji y=f(x), potrebno je transformirati graf funkcije y=f(x) simetrično u odnosu na pravu liniju y=x.

U toku objašnjenja na interaktivnoj tabli izvodi se sljedeći zadatak:

Konstruirajte graf funkcije i graf njene inverzne funkcije u istom koordinatnom sistemu. Zapišite analitički izraz za inverznu funkciju.

4. Primarna fiksacija novog materijala.

Cilj - utvrditi ispravnost i svijest o razumijevanju proučavanog gradiva, uočiti nedostatke u primarnom razumijevanju gradiva, ispraviti ih.

Učenici su podijeljeni u parove. Daju im se listovi sa zadacima u kojima rade u parovima. Vrijeme za završetak radova je ograničeno (5-7 minuta). Jedan par učenika radi na računaru, projektor je za ovo vrijeme isključen, a ostala djeca ne mogu vidjeti kako učenici rade na računaru.

Na kraju vremena (pretpostavlja se da je većina učenika završila rad), interaktivna tabla (projektor se ponovo uključuje) prikazuje rad učenika, pri čemu se tokom testa pojašnjava da je zadatak obavljen u parovi. Po potrebi nastavnik vrši korektivni, objašnjavajući rad.

Samostalni rad u parovima<Dodatak 2 >

5. Rezultat lekcije. Na pitanja koja su postavljena prije predavanja. Objava ocjena za čas.

Domaći zadatak §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra i počeci analize. 10. razred U 2 dijela za obrazovne ustanove (nivo profila) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova i drugi; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Šta je inverzna funkcija? Kako pronaći funkciju inverznu datoj?

Definicija .

Neka je funkcija y=f(x) definirana na skupu D, a E skup njenih vrijednosti. Inverzna funkcija u odnosu na funkcija y=f(x) je funkcija x=g(y), koja je definirana na skupu E i svakom y∈E dodjeljuje takvu vrijednost x∈D da je f(x)=y.

Dakle, domena funkcije y=f(x) je domena inverzne funkcije, a domena y=f(x) je domena inverzne funkcije.

Da bi se pronašla funkcija inverzna datoj funkciji y=f(x), potrebno je :

1) U formuli funkcije, umjesto y, zamijenite x, umjesto x - y:

2) Iz rezultirajuće jednakosti izraziti y u terminima x:

Naći inverznu funkciju funkciji y=2x-6.

Funkcije y=2x-6 i y=0,5x+3 su međusobno inverzne.

Grafovi direktnih i inverznih funkcija su simetrični u odnosu na direktnu liniju y=x(simetrale I i III koordinatnih četvrti).

y=2x-6 i y=0,5x+3 - . Graf linearne funkcije je . Da bismo nacrtali pravu liniju, uzimamo dvije tačke.

Moguće je jedinstveno izraziti y u terminima x kada jednačina x=f(y) ima jedina odluka. To se može učiniti ako funkcija y=f(x) uzima svaku od svojih vrijednosti u jednoj tački svoje domene definicije (takva se funkcija naziva reverzibilan).

Teorema (neophodan i dovoljan uslov da funkcija bude invertibilna)

Ako je funkcija y=f(x) definirana i kontinuirana na numeričkom intervalu, tada je za inverzibilnu funkciju potrebno i dovoljno da f(x) bude striktno monotona.

Štaviše, ako se y=f(x) povećava na intervalu, tada se funkcija inverzna njoj također povećava na ovom intervalu; ako je y=f(x) opadajuća, tada je i inverzna funkcija opadajuća.

Ako uslov reverzibilnosti nije zadovoljen u cijeloj domeni definicije, može se izdvojiti interval u kojem funkcija samo raste ili samo opada, i na tom intervalu pronaći funkciju inverznu datoj.

Klasičan primjer je . između)