Zadaci o klasičnom određivanju vjerovatnoće. Vrste događaja, direktno izračunavanje verovatnoće nastanka događaja Verovatnoća događaja u procentima

“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i osnovne definicije ove nauke.

Šta je teorija vjerovatnoće?

Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić gore, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, obje ove vjerovatnoće su moguće. Odnosno, vjerovatnoća moguće posljedice odnos je 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila od 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema šta istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako određenu radnju ponovite mnogo puta, možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve gore navedeno, teorija vjerovatnoće u klasično shvatanje proučava mogućnost da se jedan od mogućih događaja dogodi u numeričkoj vrijednosti.

Sa stranica istorije

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze s matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo vrijeme studirali su kockanje i vidjeli određene obrasce, o kojima su odlučili ispričati javnosti.

Istu tehniku ​​je izmislio Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo koncept „teorije vjerovatnoće“, formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.

Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme takođe su od velikog značaja. Učinili su teoriju vjerovatnoće više kao matematičku disciplinu. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su svoj današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Događaji

Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:

• Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim okolnostima (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. One koje će se desiti ili se neće desiti. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda postoje nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, izvorni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, osim P, koje ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji takođe nisu podjednako mogući. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice, u kojima je pomaknut centar gravitacije.

Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedni drugih. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = "student je došao na predavanje."

Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog i pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nekompatibilni događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu umnožavati i sabirati u skladu s tim, u disciplinu se uvode logički spojevi “AND” i “OR”.

Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi istovremeno. Ako su nekompatibilni, posljednja opcija je nemoguća ili A ili B.

Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.

Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Kompanija učestvuje na konkursu za dobijanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "firma će dobiti prvi ugovor."
• I 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
• B = "firma će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = “firma neće dobiti drugi ugovor”
• C = "firma će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."

Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:

• K = “kompanija će dobiti sve ugovore.”

U matematičkom obliku, jednačina će imati sljedeći oblik: K = ABC.

• M = “kompanija neće dobiti nijedan ugovor.”

M = A 1 B 1 C 1.

Hajde da zakomplikujemo zadatak: H = "kompanija će dobiti jedan ugovor." Kako se ne zna koji će ugovor kompanija dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji snimljeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava vezu „ILI“. Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, kompanija će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uslove u disciplini “Teorija vjerovatnoće”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerovatnoća

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:

• klasična;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoće. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.

A je zapravo događaj. Ako se pojavi slučaj suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvuci kartu srčane boje." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će karta srčane boje biti izvučena iz špila bit će 0,25.

Ka višoj matematici

Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja problema koji se pojavljuju školski program. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće rade sa geometrijskim i statističke definicije teorije i složene formule.

Teorija vjerovatnoće je veoma interesantna. Bolje je početi proučavati formule i primjere (viša matematika) male - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerovatnoće.

Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerovatnoćom će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

W n (A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, utvrđeno je da su 3 proizvoda lošeg kvaliteta. Od 100 oduzimamo 3 i dobijemo 97, ovo je količina kvalitetne robe.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti m Različiti putevi, a izbor B je na n različitih načina, onda se izbor A i B može obaviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 puteva koji vode od grada A do grada B. Postoje 4 puta od grada B do grada C. Na koliko načina možete stići od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od tačke A do tačke C.

Hajde da zakomplikujemo zadatak. Na koliko načina postoji polaganje karata u pasijansu? U špilu se nalazi 36 karata - ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, morate „oduzeti“ jednu po jednu kartu od početne tačke i množiti.

To jest, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se cijeli niz brojeva množi zajedno.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije od n elemenata od m su ona jedinjenja u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulijeva formula

U teoriji vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača u svojoj oblasti koji su je doveli do novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod nezavisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavi ili nepostojanju istog događaja u ranijim ili kasnijim ispitivanjima.

Bernulijeva jednačina:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je konstantna za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija dogoditi tačno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se prema gore prikazanoj formuli. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).

Zadatak 2: Posjetilac trgovine će obaviti kupovinu sa vjerovatnoćom 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?

Rješenje: Pošto je nepoznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.

A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pošto u radnji ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (ni jedan kupac neće izvršiti kupovinu) do 6 (svi posjetioci trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom 0,2621.

Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i r otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Pošto je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C = 1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da dva posjetitelja kupe robu.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje slučajnih situacija male vjerovatnoće.

osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju λ = n x p. Evo jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračunavanje koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka u disciplini, u datu formulu zamjenjujemo potrebne podatke:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema uslovima zadatka).

n = 100000 (broj delova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

100000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernulijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja za koje su napisani gore, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U stvari, može se naći po formuli:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceova teorema

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama ista, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu testova može naći pomoću Laplaceova formula:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri problema su u nastavku koji će vam pomoći.

Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ(0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerovatnoća da će letak raditi tačno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerovatnoću događaja na osnovu okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) je uslovna vjerovatnoća, to jest, događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B|A) - uslovna vjerovatnoća događaja B.

Dakle, završni dio kratkog kursa “Teorija vjerovatnoće” je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, udeo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Morate pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.

A = "slučajno odabran telefon."

B 1 - telefon koji je proizvela prva fabrika. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat dobijamo:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.

Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u kompanijama:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sada zamenimo podatke u Bayesovu formulu i dobijemo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će se postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Za običnog čoveka Teško je odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je to iskoristio za osvajanje džekpota više puta.

Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome da li je moguće izračunati događaje koji su manje-više nasumični. Jednostavno rečeno jednostavnim riječima, da li je zaista moguće znati koja će strana kocke izaći sljedeći put? Upravo su se to pitanje postavila dva velika naučnika, koji su postavili temelje za takvu nauku kao što je teorija vjerovatnoće, u kojoj se vjerovatnoća događaja prilično opširno proučava.

Porijeklo

Ako pokušate da definišete takav koncept kao teorija verovatnoće, dobićete sledeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu suštinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

Želeo bih da počnem sa tvorcima teorije. Kao što je već spomenuto, bilo ih je dvoje, a oni su bili jedni od prvih koji su pokušali izračunati ishod ovog ili onog događaja koristeći formule i matematičke proračune. Općenito, počeci ove nauke pojavili su se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i naučnici pokušavali da analiziraju igre kockanja, kao što su rulet, craps i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i procenat ispadanja određenog broja. Osnovu su postavili u sedamnaestom veku pomenuti naučnici.

U početku se njihovi radovi nisu mogli smatrati velikim dostignućima u ovoj oblasti, jer su sve što su radili bile samo empirijske činjenice, a eksperimenti su se izvodili vizualno, bez upotrebe formula. Vremenom je bilo moguće postići odlične rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.

Ljudi istomišljenika

Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christiaan Huygens u procesu proučavanja teme koja se zove “teorija vjerovatnoće” (vjerovatnoća događaja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni naučnici, pokušao da izvede obrazac slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da to nije učinio zajedno sa Pascalom i Fermatom, odnosno da se sva njegova djela nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je zaključio

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada otkrivača, odnosno dvadeset godina ranije. Među identifikovanim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerovatnoće kao vrijednosti slučaja;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoreme množenja i sabiranja vjerovatnoća.

Također je nemoguće ne sjetiti se ko je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći sopstvene testove, nezavisno od bilo koga, uspeo je da predstavi dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, naučnici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog veka, uspeli su da dokažu originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatnoće počela koristiti za analizu grešaka u zapažanjima. Ruski naučnici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov, nisu mogli zanemariti ovu nauku. Oni su, na osnovu rada velikih genijalaca, osigurani ovu stavku kao grana matematike. Ove figure su delovale već krajem devetnaestog veka, a zahvaljujući njihovom doprinosu, dokazane su sledeće pojave:

• zakon velikih brojeva;
• Markovljeva teorija lanca;
• centralna granična teorema.

Dakle, sa istorijom rađanja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-više jasno. Sada je došlo vrijeme da se razjasne sve činjenice.

Osnovni koncepti

Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne koncepte teorije vjerovatnoće. Događaj igra vodeću ulogu u tome. Ova tema prilično obiman, ali bez njega nećete moći shvatiti sve ostalo.

Događaj u teoriji vjerovatnoće je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Postoji dosta koncepata ovog fenomena. Tako je naučnik Lotman, koji radi u ovoj oblasti, rekao da je to u ovom slučaju mi pričamo o tome šta se „dogodilo, iako se možda nije dogodilo“.

Slučajni događaji (teorija vjerovatnoće im posvećuje posebnu pažnju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji ima priliku da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se možda neće dogoditi ako su ispunjeni mnogi uslovi. Takođe je vredno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvataju čitav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatnoće pokazuje da se svi uslovi mogu stalno ponavljati. Njihovo ponašanje se naziva “iskustvo” ili “test”.

Pouzdan događaj je pojava za koju postoji stopostotna vjerovatnoća da će se dogoditi u datom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.

Kombinacija para radnji (uslovno, slučaj A i slučaj B) je pojava koja se javlja istovremeno. Oni su označeni kao AB.

Zbir parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), onda će se dobiti C Formula za opisani fenomen: C = A + B.

Nekongruentni događaji u teoriji vjerovatnoće impliciraju da se dva slučaja međusobno isključuju. Ni pod kojim okolnostima se ne mogu dogoditi istovremeno. Zajednički događaji u teoriji vjerovatnoće su njihov antipod. Ovdje se misli na to da ako se dogodilo A, onda to ni na koji način ne sprječava B.

Suprotni događaji (teorija vjerovatnoće ih razmatra vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolji način da ih shvatite je poređenje. Oni su skoro isti kao nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena u svakom slučaju mora dogoditi.

Jednako vjerovatni događaji su one radnje čije je ponavljanje jednako. Da bude jasnije, možete zamisliti bacanje novčića: gubitak jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da će ispasti s druge.

Lakše je razmotriti povoljan događaj na primjeru. Recimo da postoji epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice sa pojavom neparnog broja, a drugi je pojavljivanje broja pet na kockici. Tada se ispostavilo da A favorizuje B.

Nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće oni se projektuju samo na dva ili više slučajeva i impliciraju neovisnost bilo koje akcije od druge. Na primjer, A je gubitak glava prilikom bacanja novčića, a B je izvlačenje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće. U ovom trenutku je postalo jasnije.

Zavisni događaji u teoriji vjerovatnoće su također dozvoljeni samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog od drugog, odnosno pojava B može nastati samo ako se A već dogodio ili, obrnuto, nije, kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerovatnoće objašnjava da se radi o fenomenu koji se dogodio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, pojmovi „događaja“ i „teorije verovatnoće“ su takođe dati i definiciju osnovnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznamo važne formule. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako složenom predmetu kao što je teorija vjerovatnoće. Verovatnoća događaja takođe igra veliku ulogu.

Bolje je početi s osnovnim, a prije nego što počnete s njima, vrijedi razmotriti šta su.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike koja se bavi proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niza kombinacija. Pored teorije vjerovatnoće, ova grana je važna za statistiku, informatiku i kriptografiju.

Dakle, sada možemo prijeći na predstavljanje samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Jednačina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po redoslijedu njihovog rasporeda.

Sada će se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed postavljanja elementa, već i na njegov sastav.

Treća jednačina iz kombinatorike, a ujedno je i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se odnosi na odabire koji nisu u skladu s tim, ovo pravilo se primjenjuje na njih.

Bilo je lako razumjeti kombinatoričke formule, sada možete prijeći na klasičnu definiciju vjerovatnoća. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.

Postoji veliki broj izraza koji članak neće obuhvatiti sve, ali će se dotaknuti oni najvažnijih, kao što je, na primjer, vjerovatnoća zbira događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovo je za dodavanje samo kompatibilnih.

Vjerovatnoća dešavanja događaja:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ova teorema je za nezavisne događaje;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za zavisne.

Spisak događaja će biti upotpunjen formulom događaja. Teorija vjerovatnoće nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1, H 2, ..., H n je kompletna grupa hipoteza.

Primjeri

Ako pažljivo proučavate bilo koji dio matematike, on nije potpun bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerovatnoće: događaji i primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvrđuje naučne proračune.

Formula za broj permutacija

Recimo da postoji trideset karata u špilu karata, počevši od vrijednosti jedan. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina da se špil složi tako da karte vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?

Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo formulu prikazanu gore, ispada P_30 = 30!.

Na osnovu ovog pravila saznajemo koliko postoji opcija za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta jedna do druge. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispostavilo se da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga od druge do tridesete, što čini ukupno dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostali mogu prihvatiti dvadeset i osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za preuređivanje dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat toga, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, biće 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28! = 29!

Iz ovoga slijedi da postoji 2 ⋅ 29 dodatnih opcija!, dok neophodne načine prikupljanje špila 30! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da se broji.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primjer rješenja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da stavite petnaest tomova na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.

Rješenje ovog problema je malo jednostavnije od prethodnog. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj aranžmana od trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 000

Odgovor će, shodno tome, biti jednak 202.843.204.931.727.360.000.

Idemo sada na malo teži zadatak. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite trideset knjiga na dvije police, s obzirom da jedna polica može primiti samo petnaest tomova.

Prije nego počnem rješavati, želio bih pojasniti da se neki problemi mogu riješiti na više načina, a ovaj ima dvije metode, ali oba koriste istu formulu.

U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu sa petnaest knjiga na različite načine. Ispostavilo se A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugu policu ćemo izračunati po formuli permutacije, jer se u nju može smjestiti petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da će ukupan iznos biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, pored ovoga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest treba da se pomnoži sa umnoškom brojeva od jedan do petnaest, na kraju ćete dobiće proizvod svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

Ali ovaj problem se može riješiti na drugi način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Sve su postavljene na ovu ravan, ali pošto uslov nalaže da postoje dve police, mi smo jednu dugačku videli na pola, tako da dobijemo dve od petnaest. Iz ovoga ispada da može postojati P_30 = 30 opcija za aranžman!.

Primjer rješenja. Formula za kombinovani broj

Sada ćemo razmotriti verziju trećeg problema iz kombinatorike. Potrebno je saznati na koliko načina postoji poređanje petnaest knjiga, s tim da morate izabrati između trideset potpuno identičnih.

Za rješavanje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, uspjeli smo riješiti ovaj problem u najkraćem mogućem roku;

Primjer rješenja. Klasična definicija vjerovatnoće

Koristeći gornju formulu, možete pronaći odgovor na jednostavan problem. Ali to će pomoći da se jasno vidi i prati napredak akcija.

Problem glasi da se u urni nalazi deset apsolutno identičnih loptica. Od toga, četiri su žute, a šest plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatnoću da dobijete plavu boju.

Da bismo riješili problem, potrebno je dobiti plavu kuglu označiti kao događaj A. Ovaj eksperiment može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i podjednako mogući. Istovremeno, od deset, šest je povoljno za događaj A. Rješavamo pomoću formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Primjenjujući ovu formulu, saznali smo da je vjerovatnoća da dobijemo plavu kuglu 0,6.

Primjer rješenja. Vjerovatnoća zbira događaja

Sada će biti predstavljena opcija koja se rješava korištenjem formule vjerovatnoće sume događaja. Dakle, dat je uslov da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, uzeli su jednu od njih iz prve i druge kutije. Morate saznati kolika je šansa da loptice koje dobijete budu sivo-bijele.

Za rješavanje ovog problema potrebno je identificirati događaje.

• Dakle, A - uzeo je sivu loptu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A’ - uzeo bijelu loptu također iz prve kutije: P(A") = 5/6.
• B - iz druge kutije je uklonjena siva lopta: P(B) = 2/3.
• B’ - uzeo sivu loptu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

Prema uslovima zadatka, potrebno je da se desi jedna od pojava: AB’ ili A’B. Koristeći formulu, dobijamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada se koristi formula za množenje vjerovatnoće. Dalje, da biste saznali odgovor, morate primijeniti jednadžbu njihovog zbrajanja:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ovako možete riješiti slične probleme koristeći formulu.

Zaključak

U članku su predstavljene informacije na temu "Teorija vjerovatnoće", u kojoj vjerovatnoća događaja igra vitalnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali, na osnovu prikazanog teksta, teoretski se možete upoznati s ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u stručnom radu, već i u Svakodnevni život. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.

Tekst se dotakao i značajnih datuma u istoriji formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke, te imena ljudi čiji je rad u nju uložen. Tako je ljudska radoznalost dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekada ih je to jednostavno zanimalo, a danas već svi znaju za to. I niko neće reći šta nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana za teoriju koja se razmatra biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne stoji mirno!

Vjerovatnoća je velika laka tema, ako se koncentrišete na značenje zadataka, a ne na formule. Ali kako riješiti probleme vjerovatnoće. Prvo, šta je vjerovatnoća? Ovo je šansa da će se desiti neki događaj. Ako kažemo da je vjerovatnoća nekog događaja 50%, šta to znači? Da će se to desiti ili ne desiti - jedna od dve stvari. Dakle, izračunavanje vrijednosti vjerovatnoće je vrlo jednostavno - potrebno je uzeti broj opcija koje nam odgovaraju i podijeliti s brojem svih mogućih opcija. Na primjer, šansa da dobijete glavu prilikom bacanja novčića je ½. Kako da dobijemo ½? Ukupno imamo dvije moguće opcije (glava i repa), od kojih nam jedna odgovara (repovi), pa dobijamo vjerovatnoću ½.

Kao što smo već vidjeli, vjerovatnoća se može izraziti i kao postotak i u običnim brojevima. Važno: na Jedinstvenom državnom ispitu morat ćete svoj odgovor zapisati u brojevima, a ne u procentima. Pretpostavlja se da je vjerovatnoća u rasponu od 0 (nikada se neće dogoditi) do 1 (definitivno će se dogoditi). Takođe se može reći da uvek

Vjerovatnoća pogodnih događaja + vjerovatnoća neprikladnih događaja = 1

Sada znamo tačno kako izračunati vjerovatnoću jednog događaja, pa čak i takvi zadaci su dostupni u FIPI banci, ali jasno je da se tu ne završava. Da bi život bio zabavniji, u problemima s vjerovatnoćom obično se javljaju najmanje dva događaja, a vjerovatnoću treba izračunati uzimajući u obzir svaki od njih.

Izračunavamo vjerovatnoću svakog događaja posebno, a zatim stavljamo znakove između razlomaka:

1. Ako trebate prvi I drugi događaj, onda pomnožite.

2. Ako vam treba prvi ILI drugi događaj, onda ga zbrojite.

Problemi i rješenja vjerovatnoće

Zadatak 1. Među prirodnim brojevima od 23 do 37 slučajno se bira jedan broj. Nađite vjerovatnoću da nije djeljivo sa 5.

Rješenje:

Vjerovatnoća je omjer povoljnih opcija prema njihovom ukupnom broju.

U ovom intervalu ima ukupno 15 brojeva. Od njih je samo 3 deljivo sa 5, što znači da 12 nije deljivo.

Verovatnoća tada:

Odgovor: 0.8.

Zadatak 2. Dva učenika iz razreda su nasumično odabrana da dežuraju u kafeteriji. Kolika je vjerovatnoća da će dva dječaka dežurati ako u razredu ima 7 dječaka i 8 djevojčica?

Rješenje: Vjerovatnoća je omjer povoljnih opcija prema ukupnom broju njih. U razredu ima 7 dječaka, ovo su povoljne opcije. A ima samo 15 učenika.

Verovatnoća da je prvi dečak na dužnosti je:

Verovatnoća da je drugi dežurni dečak:

Pošto obojica moraju biti dječaci, pomnožimo vjerovatnoće:

Odgovor: 0.2.

Zadatak 3. U avionu se nalazi 12 sedišta pored izlaza u slučaju nužde i 18 sedišta iza pregrada koje razdvajaju kabine. Preostala sedišta su nezgodna za visoke putnike. Putnik V. je visok. Nađite vjerovatnoću da će prilikom prijave, ako je sjedište nasumično odabrano, putnik B dobiti udobno sjedište ako u avionu ima ukupno 300 sjedišta.

Rješenje: Putnik B ima 30 udobnih sedišta (12 + 18 = 30), a u avionu ima ukupno 300 mesta. Dakle, vjerovatnoća da će putnik B dobiti udobno sjedište je 30/300, odnosno 0,1.

Zadatak 4. U kolekciji tiketa iz matematike ima samo 25 listića, od kojih 10 sadrži pitanje o nejednačinama.

Nađite vjerovatnoću da student neće dobiti pitanje o nejednakostima na slučajno odabranom ispitnom listiću.

Rješenje: Od 25 listića, 15 ne sadrži pitanje o nejednakostima, pa je vjerovatnoća da student neće dobiti pitanje o nejednakostima u slučajno odabranom ispitnom listu 15/25, odnosno 0,6.

Problem 5. U kolekciji karata za hemiju ima samo 35 karata, od kojih 7 sadrži pitanje o kiselinama.

Pronađite vjerovatnoću da student neće dobiti pitanje o kiselinama na slučajno odabranom ispitnom listiću.

Rješenje: Od 35 listića, 28 ne sadrži pitanje o kiselinama, pa je vjerovatnoća da student neće dobiti pitanje o kiselinama na slučajno odabranom ispitnom listiću 28/35, odnosno 0,8.

Zadatak 6. U prosjeku, od 500 prodanih vrtnih pumpi, 2 cure. Pronađite vjerovatnoću da jedna pumpa slučajno odabrana za kontrolu ne propušta.

Rješenje: Ako 2 od 500 pumpi propuštaju, onda 498 ne curi. Stoga je vjerovatnoća izbora dobre pumpe 498/500, odnosno 0,996.

Zadatak 7. Vjerovatnoća da će novi usisivač biti popravljen pod garancijom u roku od godinu dana je 0,065. U određenom gradu, od 1.000 prodatih usisivača tokom godine, 70 jedinica je primljeno u garantnu radionicu.

Koliko se razlikuje učestalost događaja „garantne popravke“ od njegove vjerovatnoće u ovom gradu?

Rješenje: Učestalost događaja „garantne popravke“ je 70/1000, odnosno 0,07. Razlikuje se od predviđene vjerovatnoće za 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Zadatak 8. Na prvenstvu u gimnastici učestvuje 50 atletičara: 18 iz Rusije, 14 iz Ukrajine, a ostali iz Bjelorusije. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom.

Pronađite vjerovatnoću da će sportista koji se prvi takmiči biti iz Bjelorusije.

Rješenje: Na prvenstvu je ukupno 50 učesnika i 18 sportista iz Bjelorusije (50 – 18 – 14 = 18).

Verovatnoća da će sportista iz Bjelorusije nastupiti prvi je 18 od 50, odnosno 18/50, odnosno 0,36.

Zadatak 9. Naučni skup izvršeno za 5 dana. Planirano je ukupno 80 prijava - prva tri dana imaju po 12 izvještaja, ostali se ravnomjerno raspoređuju između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom.

Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije?

Rješenje: U prva tri dana biće pročitano 36 izvještaja (12∙3=36), a za posljednja dva dana planirano je 44 izvještaja. Stoga su za posljednji dan planirana 22 izvještaja (44:2 = 22). To znači da je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije 22/80, odnosno 0,275.

Problem 10.

Prije početka prve runde šahovskog prvenstva, učesnici se nasumično dijele u parove koji igraju žrijebom. Na prvenstvu učestvuje ukupno 26 šahista, uključujući 14 učesnika iz Rusije, među kojima je i Egor Kosov.

Pronađi vjerovatnoću da će u prvom kolu Egor Kosov igrati sa bilo kojim šahistom iz Rusije?

Rješenje: U prvom kolu Egor Kosov može igrati sa 25 šahista (26 – 1 = 25), od kojih je 13 iz Rusije. To znači da je verovatnoća da će u prvom kolu Egor Kosov igrati sa bilo kojim šahistom iz Rusije 13/25, odnosno 0,52.

Problem 11.

Na Svjetskom prvenstvu učestvuje 16 ekipa. Koristeći ždrijeb, potrebno ih je podijeliti u četiri grupe od po četiri tima. Kutija sadrži mešovite karte sa grupnim brojevima: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Kapiteni timova izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u drugoj grupi?

Rješenje: Verovatnoća da će ruski tim biti u drugoj grupi jednaka je odnosu broja karata sa brojem 2 i ukupnog broja karata, odnosno 4/16, odnosno 0,25.

Problem 12. U turističkoj grupi je 5 osoba. Koristeći parcele, biraju dvoje ljudi koji moraju otići u selo da kupe hranu. Turista A. želi da ode do prodavnice, ali se povinuje. Kolika je vjerovatnoća da će A. otići u radnju?

Rješenje: Biraju dva turista od pet. Stoga je vjerovatnoća da budete izabrani 2/5, odnosno 0,4.

Problem 13. U grupi turista je 30 ljudi. Helikopterom se bacaju u teško dostupno područje u nekoliko etapa, 6 ljudi po letu. Redoslijed kojim helikopter prevozi turiste je nasumičan. Nađite vjerovatnoću da će turista P. krenuti prvim letom helikopterom.

Rješenje: Na prvom letu ima 6 sedišta, ukupno 30 mesta. Tada je verovatnoća da će turista leteti na prvom letu helikoptera 6/30, odnosno 0,2.

Problem 14. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrani prirodni broj od 10 do 19 djeljiv sa tri?

Rješenje: Prirodni brojevi od 10 do 19 deset, od kojih su tri broja djeljiva sa 3: 12, 15 i 18. Dakle, željena vjerovatnoća je 3/10, tj. 0,3.

Verovatnoća višestrukih događaja

Zadatak 1. Prije početka odbojkaške utakmice, kapiteni timova izvlače pravičan žrijeb kako bi odredili koji će tim započeti igru ​​s loptom. Tim “Starter” naizmjenično igra s timovima “Rotor”, “Motor” i “Strator”. Pronađite vjerovatnoću da će starter započeti tek drugu igru.

Rješenje:

Zadovoljni smo sljedećom opcijom: “Stator” ne počinje prvu utakmicu, počinje drugu igru ​​i ne počinje treću. Vjerovatnoća takvog razvoja događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće svakog od ovih događaja. Vjerovatnoća svakog od njih je 0,5, dakle: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Zadatak 2. Za prolaz u naredni krug takmičenja, fudbalski tim morate postići najmanje 4 boda u dvije utakmice. Ako ekipa pobijedi, dobija 3 boda, ako je neriješeno 1 bod, a ako izgubi 0 bodova. Pronađite vjerovatnoću da tim prođe u sljedeći krug takmičenja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerovatnoće pobjede i poraza iste i jednake 0,4.

Rješenje:

Vrsta pitanja: kombinacija događaja.

Vjerovatnoća nastanka bilo koje od ove 3 opcije jednaka je zbiru vjerovatnoća svake opcije: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Zadatak 3. U razredu je 21 osoba. Među njima su i dvije prijateljice: Anya i Nina. Odeljenje je nasumično podijeljeno u 7 grupa, po 3 osobe u svakoj. Pronađite vjerovatnoću da će Anya i Nina biti u istoj grupi.

Rješenje:

Vrsta pitanja: smanjenje grupe.

Vjerovatnoća da Anya uđe u jednu od grupa je 1. Vjerovatnoća da Nina uđe u istu grupu je 2 od 20 (u grupi su ostala 2 mjesta, a ostalo je 20 osoba). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Zadatak 4. Petya je u džepu imao 4 novčića rublje i 2 novčića od dvije rublje. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se oba novčića od dvije rublje nalaze u istom džepu.

Rješenje:

Metoda br. 1

Vrsta zadatka: smanjenje grupe.

Zamislimo da je šest novčića podijeljeno u dvije grupe po tri novčića. Vjerovatnoća da će prvi novčić od jedne rublje pasti u jedan od džepova (grupa) = 1.

Vjerovatnoća da će dva novčića od dvije rublje pasti u isti džep = broj preostalih mjesta u ovom džepu/broj preostalih mjesta u oba džepa = 2/5 = 0,4.

Metoda br. 2

Vrsta pitanja: kombinacija događaja.

Zadatak se izvodi na nekoliko načina:

Ako je Petya prebacio tri od četiri novčića rublje u drugi džep (ali nije prebacio novčiće od dvije rublje), ili ako je prebacio oba novčića od dvije rublje i jedan novčić rublje u drugi džep na jedan od tri načina: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Ovo možete prikazati na dijagramu (Petya ga stavlja u džep 2, tako da ćemo izračunati vjerovatnoće u koloni "džep 2"):

Problem 5. Petya je u džepu imao 2 novčića od 5 rubalja i 4 novčića od 10 rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Rješenje:

Vrsta zadatka: smanjenje grupe.

Metoda br. 1

Zamislimo da je šest novčića podijeljeno u dvije grupe po tri novčića. Vjerovatnoća da će prvi novčić od dvije rublje pasti u jedan od džepova (grupa) = 1. Vjerovatnoća da će drugi novčić pasti u drugi džep = broj preostalih mjesta u drugom / prema broju preostalih mjesta u oba džepa = 3/5 = 0,6.

Metoda br. 2

Vrsta pitanja: kombinacija događaja.

Zadatak se izvodi na nekoliko načina:

Da bi novčići od pet rubalja završili u različitim džepovima, Petya mora izvaditi iz džepa jedan novčić od pet i dva novčića od deset rubalja. To se može uraditi na tri načina: 5, 10, 10; 10, 5, 10 ili 10, 10, 5. Ovo možete prikazati na dijagramu (Petya ga stavlja u džep 2, tako da ćemo izračunati vjerovatnoće u koloni "džep 2"):

Vjerovatnoća nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbroju vjerovatnoća svake od opcija:

Zadatak 6. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca tri puta. Pronađite vjerovatnoću da dobijete glave tačno dva puta.

Rješenje: Vrsta pitanja: pronalaženje željenih i stvarnih \ kombinovanje događaja Zadovoljni smo sa tri opcije:

Glave - repovi - glave;

Orao - orao - repovi;

Repovi - glave - glave;

Vjerovatnoća svakog slučaja je 1/2, a svake opcije je 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Zadovoljićemo se bilo prvom, drugom ili trećom opcijom. Dakle, sabiramo njihove vjerovatnoće i dobijamo 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), tj. 0,375.

Zadatak 7. Ako velemajstor A. igra bijelim, onda pobjeđuje velemajstora B. sa vjerovatnoćom 0,5. Ako A. igra crno, onda A. pobjeđuje protiv B. sa vjerovatnoćom 0,34. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da A. pobijedi oba puta.

Rješenje:

Vrsta pitanja: kombinacija događaja.

U svakom slučaju, A. će igrati i bele i crne, tako da smo zadovoljni mogućnošću kada velemajstor A. pobedi igrajući belo (verovatnoća - 0,5) i crno (verovatnoća - 0,34). Stoga, trebamo pomnožiti vjerovatnoće ova dva događaja: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Zadatak 8. Vjerovatnoća da je baterija neispravna je 0,02. Kupac u prodavnici bira nasumično pakovanje koje sadrži dvije od ovih baterija. Pronađite vjerovatnoću da su obje baterije dobre.

Rješenje:

Vrsta pitanja: kombinacija događaja.

Vjerovatnoća da je baterija dobra je 0,98. Kupcu je potrebno da i prva i druga baterija budu u dobrom stanju: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Zadatak 9. Na rock festivalu nastupaju bendovi - po jedan iz svake od proglašenih zemalja. Redosled izvođenja određuje se žrebom. Kolika je vjerovatnoća da će grupa iz SAD nastupiti nakon grupe iz Kanade i nakon grupe iz Kine? Zaokružite rezultat na stotinke.

Rješenje:

Vrsta pitanja: kombinacija događaja.

Ukupan broj grupa koje nastupaju na festivalu nije bitan za odgovor na pitanje. Bez obzira koliko ih ima, postoji 6 načina za ove zemlje relativnu poziciju među zvučnicima (KIT - Kina, CAN = Kanada):

... SAD, CAN, KIT ...

...SAD, KIT, MOŽE...

... KIT, SAD, MOŽE ...

... CAN, USA, KIT ...

... KAN, KIT, SAD ...

...KIT, LIMENKA, SAD...

SAD je iza Kine i Kanade u posljednja dva slučaja. Stoga je vjerovatnoća da će grupe biti nasumično raspoređene na ovaj način jednaka:

Komplementarna vjerovatnoća

Zadatak 1.

Automatska linija proizvodi baterije. Vjerovatnoća da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sistem. Vjerovatnoća da će sistem odbiti neispravnu bateriju je 0,97. Vjerovatnoća da će sistem greškom odbiti ispravnu bateriju je 0,05.

Pronađite vjerovatnoću da će slučajno odabrana baterija biti odbijena.

Rješenje:

Postoje 2 opcije koje nam odgovaraju:

Opcija A: baterija je odbijena, neispravna;

Opcija B: baterija je neispravna, radi.

Vjerovatnoća opcije A: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Vjerovatnoća opcije B: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Bićemo zadovoljni ili prvom ili drugom opcijom: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Zadatak 2. Dvije fabrike proizvode isto staklo za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 60% ovih naočara, druga - 40%. Prva fabrika proizvodi 3% neispravnog stakla, a druga 5%. Pronađite vjerovatnoću da staklo koje je slučajno kupljeno u trgovini bude neispravno.

Rješenje:

Verovatnoća da je staklo kupljeno u prvoj fabrici i da je neispravno: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Verovatnoća da je staklo kupljeno iz druge fabrike i da je neispravno: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Vjerovatnoća da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno je 0,018 + 0,02 = 0,038.

Zadatak 3. U fabrici keramičkog posuđa, 10% proizvedenih tanjira je neispravno. Prilikom kontrole kvaliteta proizvoda identifikuje se 80% neispravnih ploča. Preostale ploče su na rasprodaji. Pronađite vjerovatnoću da ploča slučajno odabrana prilikom kupovine nema nedostataka. Zaokružite rezultat na najbližu hiljadu.

Rješenje:

Pretpostavimo da u početku imamo x ploča (na kraju krajeva, stalno se bavimo procentima, tako da nas ništa ne sprečava da radimo sa određenim količinama).

Tada su 0,1x neispravne ploče, a 0,9x normalne ploče, koje će odmah stići u prodavnicu. Od neispravnih, 80% se uklanja, odnosno 0,08x, a ostaje 0,02x, koji će ići u prodavnicu. Dakle, ukupan broj ploča na policama u radnji će biti: 0,9x + 0,02x = 0,92x. Od toga, 0,9x će biti normalno. Prema tome, prema formuli, vjerovatnoća će biti 0,9x/0,92x ≈ 0,978.

Zadatak 4. Na osnovu recenzija kupaca, Igor Igorevič je procijenio pouzdanost dvije online trgovine. Vjerovatnoća da će željeni proizvod biti isporučen iz trgovine A je 0,91. Vjerovatnoća da će ovaj proizvod biti isporučen iz trgovine B je 0,89. Igor Igorevič je naručio robu iz obje trgovine odjednom. Pod pretpostavkom da online prodavnice rade nezavisno jedna od druge, pronađite verovatnoću da nijedna prodavnica neće isporučiti proizvod.

Rješenje. Vjerovatnoća da prva trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,91 = 0,09. Vjerovatnoća da druga trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,89 = 0,11. Verovatnoća da se ova dva događaja dogode istovremeno jednaka je proizvodu verovatnoća svakog od njih: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Zadatak 5. Kod proizvodnje ležajeva prečnika 70 mm, verovatnoća da će se prečnik razlikovati od navedenog za manje od 0,01 mm je 0,961. Pronađite vjerovatnoću da će slučajni ležaj imati prečnik manji od 69,99 mm ili veći od 70,01 mm.

Rješenje: Data nam je vjerovatnoća događaja u kojem će prečnik biti između 69,99 mm i 70,01 mm, a ona je jednaka 0,961. Vjerovatnoću svih ostalih opcija možemo pronaći koristeći princip komplementarne vjerovatnoće: 1 − 0,961 = 0,039.

Zadatak 6. Verovatnoća da će učenik tačno rešiti više od 9 zadataka na testu istorije je 0,68. Vjerovatnoća rješavanja više od 8 zadataka tačno je 0,78. Nađite vjerovatnoću tačnog rješavanja tačno 9 zadataka.

Rješenje: Verovatnoća da će T. tačno rešiti više od 8 zadataka uključuje verovatnoću rešavanja tačno 9 zadataka. U isto vrijeme, događaji u kojima O. rješava više od 9 problema za nas ne odgovaraju. Dakle, oduzimanjem od vjerovatnoće rješavanja više od 9 zadataka vjerovatnoće rješavanja više od 8 zadataka, naći ćemo vjerovatnoću rješavanja samo 9 zadataka: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Zadatak 7. Od okružnog centra do sela svakodnevno saobraća autobus. Vjerovatnoća da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 21 putnika je 0,88. Vjerovatnoća da će biti manje od 12 putnika je 0,66. Naći vjerovatnoću da će broj putnika biti od 12 do 20.

Rješenje. Vjerovatnoća da će autobus imati manje od 21 putnika uključuje vjerovatnoću da će u njemu biti između 12 i 20 putnika. Istovremeno, događaji u kojima će biti manje od 12 putnika nam ne odgovaraju. Dakle, oduzimanjem druge vjerovatnoće (manje od 12) od prve vjerovatnoće (manje od 21), nalazimo vjerovatnoću da će biti od 12 do 20 putnika: 0,88 – 0,66 = 0,22.

Zadatak 8. U Čarobnoj zemlji postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, kada se jednom uspostavi ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sutra sa vjerovatnoćom 0,9 vrijeme biti isto kao danas. 10. aprila vrijeme u Magic Landu je dobro. Pronađite vjerovatnoću da će vrijeme biti odlično u zemlji bajki 13. aprila.

Rješenje:

Zadatak se izvodi u nekoliko opcija ("X" - dobro vrijeme, "O" - odlično vrijeme):

Vjerovatnoća nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbiru vjerovatnoća svake opcije: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Zadatak 9. U Čarobnoj zemlji postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, kada se jednom uspostavi ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sutra sa vjerovatnoćom 0,8 vrijeme biti isto kao danas. Danas je 3. jul, vrijeme u Čarobnoj zemlji je dobro. Pronađite vjerovatnoću da će vrijeme biti odlično u zemlji bajki 6. jula.

Rješenje:

Zadatak se izvodi u nekoliko opcija ("X" - dobro vrijeme, "O" - odlično vrijeme):

Vjerovatnoća nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbiru vjerovatnoća svake opcije: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

vjerovatnoća- broj između 0 i 1 koji odražava šanse da će se desiti slučajni događaj, gdje je 0 potpuno odsustvo vjerovatnoće da će se događaj dogoditi, a 1 znači da će se dotični događaj definitivno dogoditi.

Vjerovatnoća događaja E je broj od do 1.
Zbir vjerovatnoća događaja koji se međusobno isključuju jednak je 1.

empirijska vjerovatnoća- vjerovatnoća, koja se izračunava kao relativna učestalost događaja u prošlosti, izvučena iz analize istorijskih podataka.

Vjerovatnoća vrlo rijetkih događaja ne može se empirijski izračunati.

subjektivna verovatnoća- vjerovatnoća zasnovana na ličnoj subjektivnoj procjeni događaja bez obzira na istorijske podatke. Investitori koji donose odluke o kupovini i prodaji dionica često djeluju na osnovu razmatranja subjektivne vjerovatnoće.

prethodna verovatnoća -

Šansa je 1 u... (izgledi) da će se događaj dogoditi kroz koncept vjerovatnoće. Šansa da se dogodi neki događaj izražava se kroz vjerovatnoću na sljedeći način: P/(1-P).

Na primjer, ako je vjerovatnoća događaja 0,5, onda je šansa za događaj 1 od 2 jer 0,5/(1-0,5).

Šansa da se događaj neće dogoditi izračunava se pomoću formule (1-P)/P

Nedosljedna vjerovatnoća- na primjer, cijena dionica kompanije A uzima u obzir mogući događaj E za 85%, a cijena dionica kompanije B samo 50%. To se zove nedosljedna vjerovatnoća. Prema holandskoj teoremi klađenja, nedosljedna vjerovatnoća stvara prilike za profit.

Bezuslovna vjerovatnoća je odgovor na pitanje "Kolika je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi?"

Uslovna vjerovatnoća- ovo je odgovor na pitanje: "Kolika je vjerovatnoća događaja A ako se dogodi događaj B." Uslovna vjerovatnoća se označava kao P(A|B).

Zajednička vjerovatnoća- vjerovatnoća da će se događaji A i B dogoditi istovremeno. Označava se kao P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravilo za sumiranje vjerovatnoća:

Vjerovatnoća da će se dogoditi ili događaj A ili događaj B je

P (A ili B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ako se događaji A i B međusobno isključuju, onda

P (A ili B) = P(A) + P(B)

Nezavisni događaji- događaji A i B su nezavisni ako

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To jest, to je niz rezultata gdje je vrijednost vjerovatnoće konstantna od jednog događaja do sljedećeg.
Bacanje novčića je primjer takvog događaja - rezultat svakog sljedećeg bacanja ne ovisi o rezultatu prethodnog.

Zavisni događaji- to su događaji kod kojih vjerovatnoća nastanka jednog zavisi od vjerovatnoće pojave drugog.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja:
Ako su događaji A i B nezavisni, onda

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravilo ukupne vjerovatnoće:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S i S" su događaji koji se međusobno isključuju

očekivanu vrijednost slučajna varijabla je prosjek mogućih ishoda slučajna varijabla. Za događaj X, očekivanje je označeno kao E(X).

Recimo da imamo 5 vrijednosti međusobno isključivih događaja sa određenom vjerovatnoćom (na primjer, prihod kompanije je bio toliki iznos sa takvom vjerovatnoćom). Očekivana vrijednost je zbir svih ishoda pomnožen njihovom vjerovatnoćom:

Disperzija slučajne varijable je očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog očekivanja:

s 2 = E( 2 ) (6)

Uslovna očekivana vrijednost je očekivana vrijednost slučajne varijable X, pod uvjetom da se događaj S već dogodio.

Svaka osoba se svakodnevno susreće s konceptom vjerovatnoće. Ljudi računaju šansu da stignu na autobus, vjerovatnoću da će danas dobiti platu i smišljaju razne kombinacije za dobitak na lutriji. Teorija verovatnoće u kompjuterskim programima i veštačkoj inteligenciji je ozbiljno pogođena, a takođe je usko isprepletena sa finansijskim razmenama i sl. Postoje elementarni primjeri kako pronaći vjerovatnoću.

Klasična torbica je sa novčićem. Izbačen je prema gore, a postoje dvije različite opcije za njegovo slijetanje: pad na avers i pad na revers. Mogućnost pada na ivicu unapred je isključena, odnosno postoje dva verovatna ishoda. Pošto ih ima samo dva, i dešavaju se sa istom frekvencijom, verovatnoća da dobijete, na primer, glave je 1/2. Ovo je osnovni zakon kako pronaći vjerovatnoću u matematici.

Odakle ova 1/2? Princip je da se izračunava vjerovatnoća jednog (1) događaja od dva (2) moguća događaja. Njihov omjer se rješava operacijom dijeljenja, koja daje 1/2. Slično, možete izračunati vjerovatnoću da određeni broj ispadne na kocki. Kao što znate, površina kocke ima 6 lica, stoga se može pojaviti bilo koji broj od 1 do 6 - šest različitih opcija. Kako pronaći vjerovatnoću bacanja, na primjer, četvorke?

Četiri mogu izaći samo na jedini način (1) od šest na svaki mogući način, stoga će vjerovatnoća biti jednaka 1: 6 = 1/6. Jedna šestina se može pretvoriti u decimalni dijeljenjem na kalkulatoru: 1/6 = 0,6(6). Množenjem vrijednosti sa 100 i dodavanjem znaka “%” možete dobiti procjenu vjerovatnoće događaja u procentima. Izuzetno je važno znati da se vjerovatnoća događaja procjenjuje kao broj od 0 do 1, koji se u procentima kreće od 0% do 100%.

Sve ostale vrijednosti vjerovatnoće su apsurdne. Treba uzeti u obzir konkretan primjer: slučajna karta se izvlači iz klasičnog špila karata (36 karata). Kolika je vjerovatnoća da će kartica biti crvena, a njen broj neparan? Crvena neparna karta može biti samo sedam ili devetka dijamanata ili srca. Ukupno ima 4 takve karte. To znači da je vjerovatnoća da će se takva karta pojaviti 4 / 36 = 1 / 9 = 0,1 (1). Vjerovatnoću treba izračunati kao postotak, to je jednako 1,1%.

Vrlo često u problemima treba koristiti složenu formulu vjerovatnoće. Na primjer, u urni je 10 loptica, 3 crne i 7 bijelih. Kolika je vjerovatnoća da dvije nasumično izvučene loptice u nizu budu crne? Ovaj problem treba riješiti kao dva odvojena. Prvo, trebali biste izračunati vjerovatnoću da izvučete crnu kuglu iz svih njih. Postoje 3 takve lopte, a ima ih ukupno 10, što znači da će vjerovatnoća biti jednaka 3/10. Zatim moramo prijeći na drugi dio problema, gdje nam teorija vjerovatnoće omogućava da uskladimo rezultate.

Nakon vađenja, u urni će već ostati 9 loptica, od kojih će 2 biti crne. U ovom slučaju, šansa da dobijete crnu loptu je 2/9. Zatim treba pomnožiti dobijene vjerovatnoće za konačni rezultat: 3/10 * 2/9 = 6/90 = 1/15 = 0,6(6), što je približno jednako 6,7%. To znači da je vjerovatnoća ovog događaja prilično mala.