Vrijednost grijeha u četvrtinama. Kako zapamtiti vrijednosti kosinusa i sinusa glavnih tačaka brojčanog kruga

11.02.2022 | Svijet

Lekcija #1

Trigonometrijske funkcije bilo kojeg argumenta.

Definicija i svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Radijanska mjera ugla.

Označimo tačku A na osi Ox od početka koordinata i kroz nju nacrtamo kružnicu sa centrom u tački O. Poluprečnik ćemo nazvati OA početni radijus.

Ugao P (OM; OE) se može opisati kao rezultat rotacije oko početka grede sa ishodištem u tački O od pozicije OM - početne do pozicije OE - krajnje. Ova rotacija može biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu, sa

a) bilo za djelomični okret,

b) bilo cijelim brojem punih okretaja;

c) ili cijeli broj punih i djelimičnih okreta.

Mjere uglova usmjerenih suprotno od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, a u smjeru kazaljke na satu negativnim

Pod jednakim uglovima smatraćemo takve uglove za koje se, kada se njihovi početni zraci na neki način kombinuju, kombinuju i završni zraci, a kretanje od početnog snopa do završnog se vrši u istom smeru za isti broj potpune i nepotpune revolucije oko tačke O.

Nulti uglovi se smatraju jednakim.

Svojstva ugaonih mera:

Postoji ugao čija je mjera 1 - mjerna jedinica za uglove. Jednaki uglovi imaju jednake mjere. Mjera zbira dva ugla jednaka je zbiru mjera uglova. Mjera nultog ugla je nula.

Najčešće mjere uglova su stepeni i radijani.

Jedinica mjere za uglove u stepenima je ugao veličine od jednog stepena - 1/180 proširenog ugla. Iz kursa geometrije je poznato da se mjera ugla u stepenima izražava brojem od 01.01.01. što se tiče ugla rotacije, on se može izraziti u stepenima na bilo koji način pravi broj od -∞ do +∞.

Kao kružnicu sa središtem u ishodištu, uzet ćemo kružnicu jediničnog radijusa, označavajući tačke njegovog presjeka sa koordinatnim osa A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). Zraka OA će se uzeti kao početni ugao za razmatrane uglove.

Koordinatne osi apscise i ordinate međusobno su okomite i dijele ravan na četiri koordinatne četvrti: I, II, III, IV (vidi sliku).

U zavisnosti od toga u kojoj će koordinatnoj četvrtini biti poluprečnik OM, ugaoα će biti isti ugao ovog kvartala.

Dakle, ako 00< α <900 , то угол α - ugao prve četvrtine;

Ako 900< α <1800 , то угол α - ugao druge četvrtine;

Ako 1800< α <2700 , то угол α - ugao treće četvrtine;

Ako 2700< α <3600 , то угол α - ugao četvrte četvrtine.

Očigledno je da kada se kutu doda cijeli broj okretaja, dobije se ugao iste četvrtine.

Na primjer, ugao 4300 je ugao I - oh kvartal, od 4300 \u003d 3600 + 700 \u003d 700;

Ugao 9200 je ugao III -. kvartal, od 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000

(tj. broj cijelih okretaja se može zanemariti!)

Uglovi 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 - ne odnose se ni na jednu četvrtinu .

Hajde da odredimo koja je četvrtina ugla ugaoα ako:

α \u003d 2830 (IV) α \u003d 1900 (III) α \u003d 1000 (II) α \u003d -200 (IV h - negativan smjer)

A sada sami:

α = 1790 α = 3250 α = 8000 α = -1200

U toku geometrije određeni su sinus, kosinus, tangenta i kotangens ugla α pri

00 ≤ α ≤ 1800 . Sada ćemo razmotriti ove definicije za proizvoljan ugao α.

font-size:12.0pt;line-height:115%">Neka ugaoα početni poluprečnik OA ide u radijus OM.

Sinus uglaα je odnos ordinate tačke M i dužine poluprečnika, tj.

Kosinus uglaα je odnos apscise tačke M i dužine poluprečnika, tj.

Tangenta uglaα je odnos ordinate tačke M prema njenoj apscisi, tj.

kotangens ugla α je odnos apscise tačke M i njene ordinate, tj.

Razmotrimo primjere izračunavanja trigonometrijskih funkcija pomoću tablica vrijednosti nekih uglova. Crtice se prave kada izraz nema smisla.

α (stepen)	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
(drago)	0					π		2π
sinα
cosα
tgα
ctgα

Primjer №1. Find sin300; cos450; tg600.

Rješenje: a) pronađite u koloni tabele sinα a u redu 300, na presjeku kolone i linije, nalazimo vrijednost grijeh 300 je broj. pišu ovako: sin 300 =

b) naći u koloni tabele cosα a u redu 450, na presjeku kolone i linije, nalazimo vrijednost cos 450 je broj. pišu ovako: cos 450 =

c) naći u koloni tabele tga a u redu 600, na presjeku kolone i linije, nalazimo vrijednost tg 600 je broj EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Primjer #2

Izračunati a) 2s os 600 + EN-US" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">cos300 = 2 font-size:12.0pt;line-height:115%"> b)3 tg 450 tg 600 = 3 1 https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" width="24" height="24 src=">

Izračunajte sami : a) 5 sin 300 - ctg 450 b) 2 sin 300 + 6 cos 600 - 4 tg 450

c) 4tg 600 sin 600 c) 2cossin 900 + 5tg 1800

Razmotrimo neka svojstva trigonometrijskih funkcija.

Hajde da saznamo koje predznake imaju sinus, kosinus, tangenta i kotangens u svakoj od koordinatnih četvrtina.

Neka je pri okretanju polumjer OA jednak R , za ugao α , tačka A se pomerila u tačku M sa koordinatama x i y. Jer(R = 1), zatim znak zavisi od znaka y.

U I i II četvrtine y>0, i in II i IV kvart - at<0.

Potpiši zavisi od x jer, zatim za uglove I i IV četvrtine - x > 0, i in

II i III kvartal x<0.

Jer ; , zatim u I i III kvartalu i imaju znak "+" i II i IV četvrtine imaju znak minus.

U prošloj lekciji smo uspješno savladali (ili ponovili - kako tko voli) ključne koncepte sve trigonometrije. to trigonometrijski krug , ugao na krugu , sinus i kosinus ovog ugla i takođe savladao znakovi trigonometrijskih funkcija u četvrtinama . Naučio do detalja. Na prstima, moglo bi se reći.

Ali to još uvijek nije dovoljno. Da bismo sve ove jednostavne koncepte uspješno primijenili u praksi, potrebna nam je još jedna korisna vještina. Naime, ispravan rad sa uglovima u trigonometriji. Bez ove vještine u trigonometriji - ništa. Čak iu najprimitivnijim primjerima. Zašto? Da, jer je ugao ključna glumačka figura u svakoj trigonometriji! Ne ne trigonometrijske funkcije, ne sinus sa kosinusom, ne tangenta sa kotangensom, naime sam ugao. Nema ugla - nema trigonometrijskih funkcija, da ...

Kako raditi sa uglovima na krugu? Da bismo to učinili, moramo ironično naučiti dvije stvari.

1) Kako Broje li se uglovi na kružnici?

2) Šta da li se broje (mjere)?

Odgovor na prvo pitanje je tema današnje lekcije. Prvim pitanjem ćemo se detaljno pozabaviti upravo ovdje i sada. Odgovor na drugo pitanje ovdje neće biti dat. Jer je dosta razvijeno. Kao i samo drugo pitanje, vrlo je klizavo, da.) Za sada neću ulaziti u detalje. Ovo je tema sljedeće odvojene lekcije.

Hoćemo li početi?

Kako se računaju uglovi na kružnici? Pozitivni i negativni uglovi.

Oni koji pročitaju naslov pasusa možda su se već naježili. Kako to?! Negativni uglovi? Je li to uopće moguće?

na negativno brojevi već smo se navikli. Možemo ih predstaviti na numeričkoj osi: pozitivno desno od nule, negativno lijevo od nule. Da, i povremeno gledamo u termometar izvan prozora. Pogotovo zimi, po mrazu.) A novac na telefonu je u "minusu" (tj. dužnost) ponekad ode. Sve je poznato.

Ali šta je sa uglovima? Ispada da su negativni uglovi u matematici takođe se desi! Sve zavisi od toga kako izbrojati baš ovaj ugao... ne, ne na brojevnoj pravoj, već na brojevnom krugu! Mislim, u krug. Krug - evo ga, analoga brojevne prave u trigonometriji!

dakle, Kako se računaju uglovi na kružnici? Ništa se ne može učiniti, prvo ćemo morati nacrtati ovaj krug.

Nacrtaću ovu prelepu sliku:

Vrlo je sličan slikama iz prethodne lekcije. Postoje ose, postoji krug, postoji ugao. Ali ima i novih informacija.

Također sam dodao brojeve za 0°, 90°, 180°, 270° i 360° na osi. Sad je ovo zanimljivije.) Koji su to brojevi? Ispravno! Ovo su vrijednosti uglova mjerenih sa naše fiksne strane, koji padaju na koordinatnim osama. Podsjećamo da je fiksna strana ugla uvijek čvrsto vezana za pozitivnu poluos OX. I svaki ugao u trigonometriji se meri od ove poluose. Ovo osnovno porijeklo uglova mora se ironično imati na umu. A ose - seku se pod pravim uglom, zar ne? Dakle, dodajemo 90° u svakoj četvrtini.

I još dodano crvena strelica. Sa plusom. Crvena je namjerno da upadne u oči. I dobro mi se urezao u sjećanje. Jer ovo se mora pouzdano zapamtiti.) Šta ova strelica znači?

Tako ispada, ako skrenemo svoj ugao plus strelica(u suprotnom smeru kazaljke na satu, u toku numerisanja četvrtina), zatim ugao smatraće se pozitivnim! Na slici je kao primjer prikazan ugao od +45°. Uzgred, imajte na umu da su aksijalni uglovi 0°, 90°, 180°, 270° i 360° takođe premotani precizno u plus! Crvenom strelicom.

Sada pogledajmo drugu sliku:

Ovdje je gotovo sve isto. Samo uglovi na osovinama su numerisani obrnuto. U smjeru kazaljke na satu. I imaju znak minus.) plava strelica. Takođe sa minusom. Ova strelica je smjer negativnog očitavanja uglova na krugu. Ona nam to pokazuje ako odgodimo naš korner u smjeru kazaljke na satu, onda ugao će se smatrati negativnim. Na primjer, pokazao sam ugao od -45°.

Uzgred, imajte na umu da se numeracija četvrti nikada ne mijenja! Nije bitno da li zavijamo uglove u plus ili minus. Uvijek strogo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.)

Zapamtite:

1. Početak brojanja uglova je od pozitivne poluose OH. Po satu - "minus", prema satu - "plus".

2. Numeracija četvrtina je uvijek u suprotnom smjeru kazaljke na satu, bez obzira na smjer računanja uglova.

Inače, potpisivanje uglova na osovinama 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, svaki put kada se crta krug, uopšte nije uslov. Ovo je čisto za razumevanje suštine. Ali ovi brojevi moraju biti prisutni u tvojoj glavi pri rješavanju bilo kojeg problema iz trigonometrije. Zašto? Da, jer ovo elementarno znanje daje odgovore na mnoga druga pitanja u cijeloj trigonometriji! Najvažnije pitanje je u kojoj četvrtini pada ugao koji nas zanima? Vjerovali ili ne, tačan odgovor na ovo pitanje rješava lavovski dio svih ostalih problema s trigonometrijom. Ovom važnom lekcijom (raspodjela uglova po četvrtinama) bavit ćemo se u istoj lekciji, ali nešto kasnije.

Vrijednosti uglova koji leže na koordinatnoj osi (0°, 90°, 180°, 270° i 360°) moraju se zapamtiti! Zapamtite čvrsto, do automatizma. I u plusu iu minusu.

Ali od ovog trenutka počinju prva iznenađenja. A uz njih i škakljiva pitanja upućena meni, da...) A šta će se dogoditi ako negativni ugao na krugu odgovara pozitivnom? Ispostavilo se da ista tačka na kružnici se može označiti kao pozitivan ugao, a negativan ???

Prilično tačno! Tako je.) Na primjer, pozitivan ugao od +270° zauzima krug istu poziciju , što je negativni ugao -90°. Ili će, na primjer, uzeti pozitivan kut od +45° na krug istu poziciju , što je negativni ugao -315°.

Gledamo sljedeću sliku i vidimo sve:

Slično, pozitivan ugao od +150° ide tamo gde će negativan ugao od -210°, pozitivni ugao od +230° ići na isto mesto kao i negativan ugao od -130°. I tako dalje…

I šta sad mogu učiniti? Kako tačno računati uglove, ako je moguće ovako i onako? Koliko tačno?

odgovor: u svakom slučaju tačno! Matematika ne zabranjuje nijedan od dva smjera za brojanje uglova. A izbor određenog smjera ovisi isključivo o zadatku. Ako zadatak ne kaže ništa u čistom tekstu o predznaku ugla (npr „odredite najveće negativan ugao" itd.), tada radimo sa najpogodnijim uglovima za nas.

Naravno, na primjer, u tako zanimljivim temama kao što su trigonometrijske jednačine i nejednačine, smjer izračunavanja uglova može imati ogroman utjecaj na odgovor. A u relevantnim temama razmotrit ćemo ove zamke.

Zapamtite:

Bilo koja tačka na kružnici može se označiti i pozitivnim i negativnim uglovima. Bilo ko! Šta želimo.

Sada razmislimo o ovome. Saznali smo da je ugao od 45° potpuno isti kao i ugao od -315°? Kako sam saznao za ove iste 315° ? Zar ne možete pogoditi? Da! Kroz puni okret.) U 360°. Imamo ugao od 45°. Koliko nedostaje prije punog okreta? Oduzmi 45° od 360° - evo dobijamo 315° . Navijamo u negativnom smjeru - i dobivamo kut od -315 °. Još uvijek nejasno? Zatim ponovo pogledajte gornju sliku.

I to uvijek treba učiniti kada se pozitivne uglove prevedu u negativne (i obrnuto) - nacrtajte krug, imajte na umu o zadati ugao, smatramo koliko stupnjeva nedostaje prije punog okreta, a rezultujuću razliku namotavamo u suprotnom smjeru. I to je to.)

Šta je još zanimljivo u uglovima koji zauzimaju istu poziciju na krugu, šta mislite? I činjenica da su takvi uglovi upravo isto sinus, kosinus, tangent i kotangens! Uvek je!

Na primjer:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

A sada je ovo izuzetno važno! Zašto? Da, sve za isto!) Da pojednostavim izraze. Pojednostavljenje izraza je ključna procedura za uspješno rješenje bilo koji zadatke iz matematike. I trigonometrija takođe.

Dakle, shvatili smo opšte pravilo za brojanje uglova na krugu. Pa, ako smo ovdje nagovijestili pune okrete, oko četvrtine, onda bi bilo vrijeme da se izvrnemo i nacrtamo upravo ove uglove. Da crtamo?)

Počnimo sa pozitivno uglovi. Biće ih lakše crtati.

Nacrtajte uglove unutar jednog okretaja (između 0° i 360°).

Nacrtajmo, na primjer, ugao od 60°. Ovdje je sve jednostavno, bez preterivanja. Crtamo koordinatne ose, krug. Možete direktno ručno, bez kompasa i ravnala. Crtamo shematski O: Kod vas nemamo izradu nacrta. Nema potrebe da se pridržavate GOST-a, oni neće biti kažnjeni.)

Možete (za sebe) označiti vrijednosti uglova na osi i naznačiti strelicu u smjeru prema satu. Uostalom, uštedjet ćemo novac kao plus?) Ne možete to učiniti, ali morate sve držati u glavi.

I sada crtamo drugu (pokretnu) stranu ugla. Koju četvrtinu? U prvom, naravno! Za 60 stepeni je striktno između 0° i 90°. Dakle, u prvoj četvrtini remiziramo. pod uglom o 60 stepeni na fiksnu stranu. Kako brojati o 60 stepeni bez uglomera? Lako! 60° je dvije trećine pravog ugla! Mentalno dijelimo prvu četvrtinu kruga na tri dijela, dvije trećine uzimamo za sebe. I crtamo ... Koliko zapravo stignemo (ako pričvrstimo kutomjer i izmjerimo ga) - 55 stepeni ili 64 - nije važno! Bitno je da još negdje oko 60°.

Dobijamo sliku:

To je sve. I nikakav alat nije bio potreban. Razvijamo oko! Dobro će doći u zadacima iz geometrije.) Ovaj neugledni crtež može biti neophodan kada treba da zagrebete krug i ugao u žurbi, a da ne razmišljate baš o lepoti. Ali u isto vrijeme škrabajte u pravu, bez grešaka, sa svim potrebnim informacijama. Na primjer, kao pomoć pri rješavanju trigonometrijskih jednačina i nejednačina.

Sada nacrtajmo ugao, na primjer, 265°. Pogodite gdje bi to moglo biti? Pa, jasno je da ne u prvoj četvrtini, pa čak ni u drugoj: završavaju na 90 i 180 stepeni. Možete misliti da je 265° 180° plus još 85°. Odnosno, negativnoj poluosi OX (gdje je 180°) mora se dodati o 85°. Ili, još lakše, pogoditi da 265° ne dostiže negativnu poluos OY (gdje 270°) nekih nesretnih 5°. Jednom rečju, u trećoj četvrtini će biti ovaj korner. Vrlo blizu negativne ose OY, do 270 stepeni, ali ipak u trećoj!

Izvlačenje:

Opet, ovdje nije potrebna apsolutna preciznost. Neka se u stvarnosti ispostavi da je ovaj ugao, recimo, 263 stepena. Ali najvažnije pitanje (koja četvrtina?) tačno smo odgovorili. Zašto je ovo najvažnije pitanje? Da, jer svaki rad sa uglom u trigonometriji (bilo da crtamo ovaj ugao ili ne) počinje odgovorom na ovo pitanje! Uvijek je. Ako zanemarite ovo pitanje ili pokušate mentalno odgovoriti na njega, onda su greške gotovo neizbježne, da... Treba li vam?

Zapamtite:

Svaki rad s uglom (uključujući crtanje ovog ugla na kružnici) uvijek počinje određivanjem četvrtine u koju ovaj kut pada.

Sada se nadam da ćete pravilno nacrtati uglove, na primjer, 182°, 88°, 280°. AT ispravančetvrtine. U trećem, prvom i četvrtom, ako ništa...)

Četvrta četvrtina završava pod uglom od 360°. Ovo je jedan pun okret. Pepperu je jasno da ovaj ugao zauzima istu poziciju na krugu kao 0° (tj. referentna tačka). Ali uglovi se tu ne završavaju, da...

Šta raditi s uglovima većim od 360°?

"Postoje li takve stvari?"- pitate. Ima ih, kako! To se događa, na primjer, pod kutom od 444 °. A ponekad, recimo, ugao od 1000°. Ima raznih uglova.) Samo vizuelno, takvi egzotični uglovi se percipiraju malo komplikovaniji od uobičajenih uglova unutar jednog okreta. Ali takođe morate biti u stanju da nacrtate i izračunate takve uglove, da.

Da biste ispravno nacrtali takve kutove na krugu, morate učiniti istu stvar - saznati u kojoj četvrtini pada interesni ugao. Ovdje je sposobnost preciznog određivanja četvrtine mnogo važnija nego za uglove od 0° do 360°! Sama procedura za određivanje tromesečja je komplikovana samo jednim korakom. Koju, videćete uskoro.

Tako, na primjer, trebamo saznati u koju četvrtinu pada ugao od 444°. Počinjemo da se vrtimo. Gdje? Kao plus, naravno! Dali su nam pozitivan ugao! +444°. Uvijamo se, uvijamo ... Izvrnuli smo jedan okret - došli smo do 360 °.

Koliko je ostalo do 444°?Računamo preostali rep:

444°-360° = 84°.

Dakle, 444° je jedan puni okret (360°) plus još 84°. Očigledno, ovo je prvi kvartal. Dakle, ugao od 444° pada u prvoj četvrtini. Pola gotovo.

Sada ostaje da opišemo ovaj ugao. Kako? Veoma jednostavno! Napravimo jedan puni okret duž crvene (plus) strelice i dodamo još 84 °.

Volim ovo:

Ovdje nisam zatrpao crtež - potpišite četvrtine, nacrtajte uglove na osovinama. Sva ova dobrota je već dugo trebala biti u mojoj glavi.)

Ali pokazao sam "pužem" ili spiralom kako se tačno ugao od 444° formira od uglova od 360° i 84°. Isprekidana crvena linija je jedan puni okret. Na koje je dodatno pričvršćeno 84° (puna linija). Usput, imajte na umu da ako se odbaci ovaj vrlo puni okret, onda to ni na koji način neće utjecati na poziciju našeg ugla!

Ali ovo je važno! Kutna pozicija 444° potpuno se poklapa sa kutnom pozicijom od 84°. Nema čuda, jednostavno se dešavaju.)

Da li je moguće odbaciti ne jedan puni krug, već dva ili više?

Zašto ne? Ako je ugao težak, onda to nije samo moguće, već i neophodno! Ugao se neće promeniti! Tačnije, sam ugao će se, naravno, promijeniti u veličini. Ali njegova pozicija u krugu - nikako!) Zato su pun zamah, da bez obzira koliko kopija dodate, koliko god da oduzmete, i dalje ćete pogoditi istu tačku. Lijepo, zar ne?

Zapamtite:

Ako dodamo (oduzmemo) kutu bilo koji cijeli broj kompletnih okretaja, pozicija originalnog ugla na krugu NEĆE se promijeniti!

Na primjer:

U kojoj četvrtini pada ugao od 1000°?

Nema problema! Smatramo koliko je punih okretaja u hiljadu stepeni. Jedan obrt je 360°, drugi je već 720°, treći je 1080°… Stani! Bust! Dakle, pod uglom od 1000° sjedi dva puni promet. Izbacite ih iz 1000° i izračunajte ostatak:

1000° - 2 360° = 280°

Dakle, položaj ugla 1000° na kružnici isto, što je isto kao i ugao od 280°. S kim je već mnogo ugodnije raditi.) A gdje pada ovaj kutak? Pada u četvrtu četvrtinu: 270° (negativna polu-osa OY) plus još deset.

Izvlačenje:

Ovdje više nisam crtao dva puna zavoja sa tačkastom spiralom: ispada da je bolno duga. Upravo sam nacrtao ostatak repa od nule, odbacivanje sve ekstra okreta. Kao da nisu ni postojali.)

Ponovo. Na dobar način, uglovi 444° i 84°, kao i 1000° i 280° su različiti. Ali za sinus, kosinus, tangens i kotangens, ovi uglovi su isto!

Kao što vidite, da biste radili sa uglovima većim od 360°, potrebno je da definišete koliko je punih okretaja pod datim velikim uglom. Ovo je vrlo dodatni korak koji se mora uraditi unaprijed kada radite s takvim uglovima. Ništa komplikovano, zar ne?

Ispuštanje punih okreta je, naravno, ugodno iskustvo.) Ali u praksi, kada radite sa apsolutno košmarnim uglovima, također se javljaju poteškoće.

Na primjer:

U kojoj četvrtini pada ugao 31240°?

I šta, dodaćemo 360 stepeni mnogo, mnogo puta? Moguće je, ako posebno ne gori. Ali ne možemo samo sabirati.) Možemo i dijeliti!

Dakle, podijelimo naš veliki ugao na 360 stepeni!

Ovom akcijom upravo saznajemo koliko je punih obrtaja skriveno u naših 31240 stepeni. Možete dijeliti kutak, možete (šapnite na uho :)) na kalkulatoru.)

Dobijamo 31240:360 = 86,777777….

Činjenica da se taj broj pokazao kao razlomak nije zastrašujuća. Jesmo samo cijeli Zanimaju me prometi! Stoga, nema potrebe dijeliti do kraja.)

Dakle, u našem čupavom kutku sjedi čak 86 punih okretaja. užas…

U stepenima će biti86 360° = 30960°

Volim ovo. Toliko se stepeni može bezbolno izbaciti iz zadanog ugla od 31240°. Ostaci:

31240° - 30960° = 280°

Sve! Kutna pozicija 31240° potpuno identificirana! Na istom mjestu kao 280°. One. četvrta četvrtina.) Čini se da smo već ranije prikazivali ovaj ugao? Kada je nacrtan ugao od 1000°?) Tamo smo išli za 280 stepeni. Slučajnost.)

Dakle, moral priče je sljedeći:

Ako nam se da užasno težak ugao, onda:

1. Odredite koliko je punih okretaja u ovom uglu. Da biste to učinili, podijelite originalni ugao za 360 i odbacite frakcijski dio.

2. Razmatramo koliko je stepeni u primljenom broju obrtaja. Da biste to učinili, pomnožite broj okretaja sa 360.

3. Oduzmite ove obrtaje od originalnog ugla i radite sa uobičajenim uglom u rasponu od 0° do 360°.

Kako raditi s negativnim uglovima?

Nema problema! Na isti način kao i kod pozitivnih, sa samo jednom jedinom razlikom. Šta? Da! Morate skrenuti uglove poleđina, oduzeti! u smeru kazaljke na satu.)

Nacrtajmo, na primjer, ugao od -200°. U početku je sve kao i obično za pozitivne uglove - ose, krug. Nacrtajmo plavu strelicu sa minusom i potpišemo uglove na osi na drugačiji način. Oni će se, naravno, morati računati i u negativnom smjeru. To će biti svi isti uglovi, koji prelaze 90°, ali se računaju u suprotnom smjeru, minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Slika će izgledati ovako:

Kada radite s negativnim uglovima, često postoji osjećaj blagog zbunjenosti. Kako to?! Ispada da je ista osa i, recimo, +90° i -270°? Ne, ovde nešto nije u redu...

Da, sve je čisto i transparentno! Uostalom, već znamo da se bilo koja tačka na kružnici može nazvati i pozitivnim i negativnim uglom! Apsolutno bilo koji. Uključujući i neke od koordinatnih osa. U našem slučaju, trebamo negativan proračun uglova. Tako da sve uglove skidamo na minus.)

Sada crtanje pravog ugla od -200° nije problem. Ovo je -180° i oduzeti još 20°. Počinjemo vijugati od nule do minusa: letimo kroz četvrtu četvrtinu, treća je također prošla, dolazimo do -180 °. Gdje namotati preostalih dvadeset? Da, tamo je sve u redu! Po satu.) Ukupan ugao -200° pada sekunda kvartal.

Sada razumijete koliko je važno zapamtiti uglove na koordinatnim osa?

Uglove na koordinatnim osama (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) moraju se precizno zapamtiti kako bi se tačno odredila četvrtina u kojoj ugao pada!

A ako je ugao veliki, sa nekoliko punih okreta? Uredu je! Kakva je razlika gdje su ove pune brzine okrenute - u plus ili minus? Tačka na kružnici neće promijeniti svoj položaj!

Na primjer:

U koji kvadrant pada ugao -2000°?

Sve isto! Za početak, razmotrimo koliko punih revolucija sedi u ovom zlom kutu. Da ne bismo zabrljali u znakovima, ostavimo minus za sada na miru i samo podijelimo 2000 sa 360. Dobijamo 5 sa repom. Rep nam još ne smeta, prebrojaćemo ga malo kasnije kada izvučemo ugao. Mi vjerujemo pet pune revolucije u stepenima:

5 360° = 1800°

Voot. Toliko dodatnih stepeni možete bezbedno izbaciti iz našeg ugla bez štete po zdravlje.

Računamo preostali rep:

2000° – 1800° = 200°

A sada se možete sjetiti i minusa.) Gdje ćemo namotati rep za 200 °? Loša strana, naravno! Dat nam je negativan ugao.)

2000° = -1800° - 200°

Dakle, crtamo ugao od -200 °, samo bez dodatnih zavoja. Upravo sam ga nacrtao, ali, neka bude, slikaću ga još jednom. Ručno.

Paprika je jasno da dati ugao -2000°, kao i -200°, pada u druga četvrtina.

Dakle, navijamo se u krug... pardon... na brkove:

Ako je zadan vrlo veliki negativan kut, tada je prvi dio rada s njim (pronalaženje broja punih okretaja i njihovo odbacivanje) isti kao i kod rada s pozitivnim kutom. Znak minus ne igra nikakvu ulogu u ovoj fazi rješenja. Znak se uzima u obzir samo na samom kraju, kada se radi s uglom preostalim nakon uklanjanja punih zavoja.

Kao što vidite, crtanje negativnih uglova na krugu nije ništa teže od crtanja pozitivnih.

Sve je isto, samo u drugom pravcu! Po satu!

A sada - najzanimljivije! Pokrili smo pozitivne uglove, negativne uglove, velike uglove, male uglove - ceo opseg. Također smo otkrili da se bilo koja tačka na kružnici može nazvati pozitivnim i negativnim uglom, odbacili smo pune okrete... Nema misli? Trebalo bi odgoditi...

Da! Koju god tačku na krugu uzmete, ona će odgovarati beskrajni uglovi! Veliki i ne tako, pozitivni i negativni - svi! I razlika između ovih uglova će biti cijeli broj kompletnih okreta. Uvek je! Dakle, trigonometrijski krug je uređen, da...) Zato obrnuto zadatak je pronaći ugao po poznatom sinusu / kosinsu / tangenti / kotangensu - riješen je dvosmisleno. I mnogo teže. Za razliku od direktnog problema - pronaći cijeli skup njegovih trigonometrijskih funkcija za dati ugao. I u ozbiljnijim temama trigonometrije ( lukovi, trigonometrijski jednačine i nejednakosti ) stalno ćemo nailaziti na ovaj čip. Navikavanje.)

1. U kojoj četvrtini pada ugao -345°?

2. U koju četvrtinu pada ugao 666°?

3. U koju četvrtinu pada ugao 5555°?

4. U koju četvrtinu pada ugao -3700°?

5. Koji je znakcos999°?

6. Koji je znakctg999°?

I da li je uspjelo? Divno! Postoji problem? Onda ti.

odgovori:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Ovoga puta odgovori su dati redom, kršeći tradiciju. Jer postoje samo četiri četvrtine, a postoje samo dva znaka. Neces pobeci...)

U sljedećoj lekciji ćemo pričati o radijanima, o misterioznom broju "pi", naučit ćemo kako lako i jednostavno pretvoriti radijane u stupnjeve i obrnuto. Iznenadit ćemo se da će nam čak i ova jednostavna znanja i vještine biti sasvim dovoljne za uspješno rješavanje mnogih netrivijalnih problema u trigonometriji!

Primjer 1

Pronađite radijansku mjeru ugla jednakog a) 40°, b) 120°, c) 105°

a) 40° = 40 π / 180 = 2π/9

b) 120° = 120 π/180 = 2π/3

c) 105° = 105 π/180 = 7π/12

Primjer 2

Pronađite stepen stepena ugla izraženog u radijanima a) π/6, b) π/9, c) 2 π/3

a) π/6 = 180°/6 = 30°

b) π/9 = 180°/9 = 20°

c) 2π/3 = 2 180°/6 = 120°

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Sinus oštrog ugla t pravokutnog trokuta jednak je omjeru suprotne katete i hipotenuze (slika 1):

Kosinus oštrog ugla t pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze (slika 1):

Ove definicije se odnose na pravougli trokut i posebni su slučajevi onih definicija predstavljenih u ovom dijelu.

Postavimo isti pravougli trougao u brojevni krug (slika 2).

Vidimo da je noga b jednaka određenoj vrijednosti y na Y-osi (y-osi), krak a jednaka određenoj vrijednosti x na x-osi (apscisa). Hipotenuza With jednak poluprečniku kružnice (R).

Stoga naše formule poprimaju drugačiji oblik.

Pošto je b = y, a = x, c = R, tada:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Usput, onda, naravno, formule tangenta i kotangensa također poprimaju drugačiji oblik.

Budući da tg t = b / a, ctg t = a / b, tada su tačne i druge jednadžbe:

tg t = y/x,

ctg= x/y.

Ali vratimo se na sinus i kosinus. Radimo s numeričkim krugom u kojem je polumjer 1. Dakle, ispada:

y
sin t = -- = y,
1

x
cos t = -- = x.
1

Tako dolazimo do trećeg, jednostavnijeg oblika trigonometrijskih formula.

Ove formule su primjenjive ne samo na oštar ugao, već i na bilo koji drugi ugao (tupi ili razvijeni).

Definicije i formule cos t, sin t, tg t, ctg t.

Druga formula slijedi iz tangentne i kotangensne formule:

Jednačine brojčanog kruga.

Znakovi sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u četvrtinama kruga:

	1. kvartal	2. kvartal	3. kvartal	4. kvartal
cos t	+	–	–	+
sin t	+	+	–	–
tg t, ctg t	+	–	+	–

Kosinus i sinus glavnih tačaka brojčanog kruga:

Kako zapamtiti vrijednosti kosinusa i sinusa glavnih tačaka brojčanog kruga.

Prije svega, morate znati da su u svakom paru brojeva kosinusne vrijednosti prve, vrijednosti sinusa - druge.

1) Obratite pažnju: za cijeli skup tačaka brojčanog kruga imamo posla sa samo pet brojeva (u modulu):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Napravite ovo "otkriće" za sebe - i otklonićete psihološki strah od obilja brojeva: zapravo ih je samo pet.

2) Počnimo s cijelim brojevima 0 i 1. Oni su samo na koordinatnim osa.

Nema potrebe učiti napamet gdje, na primjer, kosinus u modulu ima jedinicu, a gdje 0.

Na krajevima osovine kosinus(osovine X), naravno, kosinus je po modulu 1, a sinusi su 0.

Na krajevima osovine sinusi(osovine at) sinusi su po modulu 1, a kosinusi su 0.

Sada o znakovima. Nula nema znak. Što se tiče 1 - ovdje se samo trebate sjetiti najjednostavnije stvari: iz kursa 7. razreda znate da na osi X desno od centra koordinatne ravni - pozitivni brojevi, lijevo - negativni; na osovini at pozitivni brojevi idu gore od centra, negativni se spuštaju. I onda ne možete pogriješiti sa znakom 1.

3) Sada pređimo na razlomke.

U svim imeniocima razlomaka - isti broj 2. Nećemo pogrešiti šta da upišemo u imenilac.

U sredini četvrtina, kosinus i sinus imaju potpuno istu modulo vrijednost: √2/2. U tom slučaju su sa znakom plus ili minus - pogledajte gornju tabelu. Ali jedva da vam treba takva tabela: to znate iz istog kursa 7. razreda.

Sve najbliže osi X tačke imaju potpuno iste modulo vrijednosti kosinusa i sinusa: (√3/2; 1/2).

Vrijednosti svih najbližih osi at tačke su takođe apsolutno identične po apsolutnoj vrednosti – i imaju iste brojeve, samo što su „zamenile“ mesta: (1/2; √3/2).

Sada o znakovima - ovdje postoji zanimljiva alternacija (mada, vjerujemo, ionako biste trebali lako razumjeti znakove).

Ako su u prvoj četvrtini vrijednosti i kosinusa i sinusa sa predznakom plus, onda su u dijametralno suprotnom (trećem) sa predznakom minus.

Ako u drugoj četvrtini sa predznakom minus postoje samo kosinusi, onda u dijametralno suprotnoj (četvrtoj) - samo sinusi.

Ostaje samo podsjetiti da je u svakoj kombinaciji kosinusnih i sinusnih vrijednosti prvi broj kosinusna vrijednost, drugi broj je vrijednost sinusa.

Obratite pažnju na još jedan obrazac: sinus i kosinus svih dijametralno suprotnih tačaka kruga apsolutno su jednaki po apsolutnoj vrijednosti. Uzmimo, na primjer, suprotne tačke π/3 i 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Vrijednosti kosinusa i sinusa dvije suprotne tačke razlikuju se samo u znaku. Ali čak i ovdje postoji obrazac: sinusi i kosinusi dijametralno suprotnih tačaka uvijek imaju suprotne predznake.

Važno je znati:

Vrijednosti kosinusa i sinusa točaka brojčanog kruga povećavaju se ili smanjuju uzastopno u strogo definiranom redoslijedu: od najmanje vrijednosti do najveće i obrnuto (pogledajte odjeljak „Povećanje i smanjenje trigonometrijskih funkcija“ - međutim , to je lako provjeriti samo gledanjem u brojčani krug iznad).

U opadajućem redoslijedu dobija se sljedeća izmjena vrijednosti:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Rastu upravo suprotnim redoslijedom.

Shvativši ovaj jednostavan obrazac, naučit ćete kako lako odrediti vrijednosti sinusa i kosinusa.

Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, ovo se može predstaviti kao pravougaonik u kojem jedna strana označava zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane će označavati boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Kako se zelena salata i voda pretvaraju u boršč u matematičkom smislu? Kako se zbir dva segmenta može pretvoriti u trigonometriju? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam funkcije linearnog ugla.

Nećete naći ništa o funkcijama linearnog ugla u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, funkcionišu bez obzira da li znamo da postoje ili ne.

Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Je li moguće bez linearnih kutnih funkcija? Možete, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami mogu riješiti, a nikada nam ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Vidi. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Druge probleme ne poznajemo i nismo u stanju da ih rešimo. Što učiniti ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja se mora razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Nadalje, sami biramo šta može biti jedan pojam, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član da bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se jako dobro snalazimo bez razlaganja sume, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u naučnim proučavanjima zakona prirode, proširenje sume u termine može biti veoma korisno.

Još jedan zakon sabiranja o kome matematičari ne vole da govore (još jedan njihov trik) zahteva da termini imaju istu jedinicu mere. Za zelenu salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, cijene ili jedinice mjere.

Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematiku. Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u obimu opisanih objekata. Različiti objekti mogu imati isti broj istih jedinica mjere. Koliko je to važno, vidimo na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse u istu notaciju za mjerne jedinice različitih objekata, možemo tačno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili u vezi s našim djelovanjem. pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Evo kako bi izgledale funkcije linearnog ugla za boršč.

Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja ispasti. Šta smo onda učili da radimo? Učili su nas da odvajamo jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu moderne matematike - ne razumijemo šta, nije jasno zašto, a vrlo slabo razumijemo i kako se to odnosi na stvarnost, jer od tri nivoa razlike, matematičari operišu samo na jednom. Bit će ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.

I zečići, i patke, i male životinje mogu se izbrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj gotovini. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novcu.

Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo količinu pokretne imovine u komadima.

Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.

Ali vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti ugla funkcija linearnog ugla.

Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Zero borsch može biti i na nula salate (pravi ugao).

Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To je zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se odnositi prema ovome kako hoćete, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen nulom jednako nuli" , "iza tačke nula" i druge gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje generalno gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj . To je kao da pitate kojoj boji da pripišete nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je kao slikanje bojom koja ne postoji. Mahali su suvim kistom i govorili svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.

Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali malo vode. Kao rezultat, dobijamo gusti boršč.

Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i zelene salate. Ovo je savršeni boršč (neka mi kuvari oproste, to je samo matematika).

Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo zelene salate. Uzmi tečni boršč.

Pravi ugao. Imamo vodu. Ostale su samo uspomene na zelenu salatu, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U tom slučaju, sačekajte i pijte vodu dok je dostupna)))

Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje će ovdje biti više nego primjerene.

Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon ubistva jednog od njih, sve je otišlo na drugog.

Pojava matematike na našoj planeti.

Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na trigonometriju boršča i razmotrimo projekcije.

Subota, 26.10.2019

Gledao sam zanimljiv video o tome Grandijev red Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Numberphile. Matematičari lažu. Nisu izvršili test jednakosti u svom rasuđivanju.

Ovo rezonuje sa mojim rasuđivanjem o .

Pogledajmo pobliže znakove da nas matematičari varaju. Na samom početku rezonovanja, matematičari kažu da zbir niza ZAVISI od toga da li je broj elemenata u njemu paran ili ne. Ovo je OBJEKTIVNO UTVRĐENA ČINJENICA. Šta se dalje događa?

Zatim, matematičari oduzimaju niz od jedinice. čemu ovo vodi? To dovodi do promjene broja elemenata u nizu - paran broj se mijenja u neparan, a neparan u paran broj. Na kraju krajeva, nizu smo dodali jedan element jednak jednom. Unatoč svoj vanjskoj sličnosti, niz prije transformacije nije jednak nizu nakon transformacije. Čak i ako govorimo o beskonačnom nizu, moramo zapamtiti da beskonačan niz s neparnim brojem elemenata nije jednak beskonačnom nizu s parnim brojem elemenata.

Stavljajući znak jednakosti između dva niza različitog po broju elemenata, matematičari tvrde da zbir niza NE ZAVISI od broja elemenata u nizu, što je u suprotnosti sa OBJEKTIVNO UTVRĐENOM ČINJENICOM. Dalje razmišljanje o zbiru beskonačnog niza je pogrešno, jer se zasniva na lažnoj jednakosti.

Ako vidite da matematičari stavljaju zagrade u toku dokazivanja, preuređuju elemente matematičkog izraza, dodaju ili uklanjaju nešto, budite vrlo oprezni, najvjerovatnije vas pokušavaju prevariti. Poput čaranja karata, matematičari vam skreću pažnju raznim manipulacijama izraza kako bi vam na kraju dali lažni rezultat. Ako ne možete ponoviti kartaški trik a da ne znate tajnu varanja, onda je u matematici sve mnogo jednostavnije: čak ni ne sumnjate u varanje, ali ponavljanje svih manipulacija s matematičkim izrazom omogućava vam da uvjerite druge u ispravnost rezultata, baš kao kad su vas uvjerili.

Pitanje iz publike: A beskonačnost (kao broj elemenata u nizu S), da li je parna ili neparna? Kako možete promijeniti paritet nečega što nema paritet?

Beskonačnost za matematičare je kao carstvo nebesko za sveštenike - tamo niko nikada nije bio, ali svi tačno znaju kako tamo sve funkcioniše))) Slažem se, nakon smrti biće vam apsolutno svejedno da li ste živeli paran ili neparan broj dana , ali ... Dodajući samo jedan dan na početak vašeg života, dobićemo potpuno drugu osobu: njegovo prezime, ime i patronimija su potpuno isti, samo je datum rođenja potpuno drugačiji - rođen je jedan dan prije tebe.

A sada na stvar))) Pretpostavimo da konačni niz koji ima paritet izgubi ovaj paritet kada ide u beskonačnost. Tada svaki konačni segment beskonačnog niza također mora izgubiti parnost. Mi to ne primećujemo. Činjenica da ne možemo sa sigurnošću reći da li je broj elemenata u beskonačnom nizu paran ili neparan uopšte ne znači da je parnost nestala. Paritet, ako postoji, ne može nestati u beskonačnost bez traga, kao u rukavu oštrije karte. Postoji vrlo dobra analogija za ovaj slučaj.

Jeste li ikada pitali kukavicu koja sjedi u satu u kojem smjeru se okreće kazaljka na satu? Za nju, strelica se okreće u suprotnom smjeru od onoga što nazivamo "kazaljkom na satu". Možda zvuči paradoksalno, ali smjer rotacije ovisi isključivo o tome s koje strane promatramo rotaciju. I tako, imamo jedan točak koji se okreće. Ne možemo reći u kom pravcu se rotacija dešava, jer je možemo posmatrati i sa jedne i sa druge strane ravni rotacije. Možemo samo posvjedočiti da postoji rotacija. Potpuna analogija s paritetom beskonačnog niza S.

Sada dodajmo drugi rotirajući točak, čija je ravan rotacije paralelna ravnini rotacije prvog rotacionog točka. Još uvijek ne možemo točno odrediti u kojem smjeru se ovi kotači okreću, ali možemo sa apsolutnom sigurnošću reći da li se oba točka okreću u istom smjeru ili u suprotnim smjerovima. Poređenje dva beskonačna niza S i 1-S, pokazao sam uz pomoć matematike da ovi nizovi imaju različit paritet i stavljanje znaka jednakosti između njih je greška. Osobno vjerujem u matematiku, ne vjerujem matematičarima))) Usput, da bismo u potpunosti razumjeli geometriju transformacija beskonačnih nizova, potrebno je uvesti koncept "simultanost". Ovo će morati da se nacrta.

Srijeda, 07.08.2019

Završavajući razgovor o , Moramo razmotriti beskonačan skup. Dao u tome da koncept "beskonačnosti" djeluje na matematičare, kao boa constrictor na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:

Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava realan broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima ukazuje na to da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti na sljedeći način:

Kako bi vizuelno dokazali svoj slučaj, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Ja lično na sve ove metode gledam kao na ples šamana s tamburama. U suštini, svi se svode na to da ili neke sobe nisu zauzete i da se u njih nastanjuju novi gosti, ili da se neki od posetilaca izbace u hodnik da se napravi mesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što napustimo prvu gostinjsku sobu, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, vremenski faktor se može glupo zanemariti, ali ovo će već biti iz kategorije "zakon nije pisan za budale". Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Infinity gostionica je gostionica koja uvijek ima bilo koji broj slobodnih mjesta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve prostorije u beskrajnom hodniku "za posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa sobama za "goste". Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Istovremeno, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma stvorenih od beskonačnog broja bogova. Matematičari, s druge strane, nisu u stanju da se odmaknu od banalnih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Tako matematičari pokušavaju da žongliraju sa serijskim brojevima hotelskih soba, ubeđujući nas da je moguće "gurnuti nepogurnute".

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo sami izmislili brojeve, u prirodi nema brojeva. Da, priroda zna savršeno računati, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva postoji. Razmotrite obje opcije, kako i dolikuje pravom naučniku.

Opcija jedan. "Neka nam se da" jedan set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedinicu iz seta koji smo već uzeli i vratiti je na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobijamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:

Zapisao sam operacije u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, detaljno navodeći elemente skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.

Opcija dva. Na polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako se jedan beskonačan skup doda drugom beskonačnom skupu, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao i ravnalo za mjerenja. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će već biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalu.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite jeste li na putu lažnog rasuđivanja, kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, časovi matematike, prije svega, u nama formiraju stabilan stereotip mišljenja, a tek onda nam dodaju mentalne sposobnosti (ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

pozg.ru

Nedjelja, 04.08.2019

Pisao sam postscript za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "...bogata teorijska osnova matematike Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je slabo gledati modernu matematiku u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sledeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nema holistički karakter i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da bih potvrdio svoje riječi – ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav ciklus publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu jedinicu mjere, koja je prisutna u nekim elementima odabranog skupa. Razmotrimo primjer.

Neka nas bude mnogo ALI koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi" Označimo elemente ovog skupa kroz slovo a, indeks sa brojem će označavati redni broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "seksualna karakteristika" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo ALI o rodu b. Obratite pažnju da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi sa rodom". Nakon toga, polne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženski bw rodne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako je prisutan u osobi, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, dobili smo dva podskupa: muški podskup bm i podskup žena bw. Približno na isti način razmišljaju matematičari kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali, oni nas ne puštaju u detalje, već nam daju gotov rezultat – „mnogo ljudi se sastoji od podgrupe muškaraca i podskupa žena“. Naravno, možda imate pitanje, koliko je pravilno primijenjena matematika u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su transformacije u stvari urađene ispravno, dovoljno je znati matematičko opravdanje aritmetike, Bulove algebre i drugih dijelova matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče superskupova, moguće je kombinirati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice koja je prisutna u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova prošlošću. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su radili ono što su nekada radili šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Ovom "znanju" nas uče.

U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu
Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno - dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću proces na primjeru. Odaberemo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odaberemo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako se šamani hrane vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto u bubuljicu sa mašnom" i ujedinimo ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Imamo dosta "crvenih". Sada škakljivo pitanje: da li su primljeni setovi "sa mašnom" i "crvenim" isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, neka bude.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvenih čvrstih bubuljica sa mašnicom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (u kvržici), ukrasi (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica omogućava adekvatno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike. Evo kako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice prema kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada se vadi mjerna jedinica prema kojoj se formira skup. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne plesovi šamana s tamburama. Šamani mogu “intuitivno” doći do istog rezultata, argumentirajući to “očiglednošću”, jer jedinice mjere nisu uključene u njihov “naučni” arsenal.

Uz pomoć mjernih jedinica vrlo je lako razbiti jedan ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Predznak trigonometrijske funkcije ovisi isključivo o koordinatnoj četvrti u kojoj se nalazi numerički argument. Prošli put smo naučili kako da prevedemo argumente iz radijanske mjere u stepensku mjeru (pogledajte lekciju “Radijan i stepen mjera ugla”), a zatim odredimo ovu istu koordinatnu četvrtinu. Sada se pozabavimo, zapravo, definicijom predznaka sinusa, kosinusa i tangente.

Sinus ugla α je ordinata (koordinata y) tačke na trigonometrijskom krugu, koja se javlja kada se radijus rotira kroz ugao α.

Kosinus ugla α je apscisa (koordinata x) tačke na trigonometrijskom krugu koja se javlja kada se radijus rotira kroz ugao α.

Tangent ugla α je omjer sinusa i kosinusa. Ili, ekvivalentno, omjer y-koordinate i x-koordinate.

Oznaka: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Sve ove definicije poznate su vam iz srednjoškolskog kursa algebre. Međutim, ne zanimaju nas same definicije, već posljedice koje nastaju na trigonometrijskom krugu. Pogledaj:

Plava označava pozitivan smjer ose OY (y-osa), crvena označava pozitivan smjer ose OX (apscisa). Na ovom "radaru" znaci trigonometrijskih funkcija postaju očigledni. posebno:

sin α > 0 ako ugao α leži u I ili II koordinatnoj četvrtini. To je zato što je, po definiciji, sinus ordinata (y koordinata). I koordinata y će biti pozitivna upravo u I i II koordinatnoj četvrti;
cos α > 0 ako ugao α leži u I ili IV koordinatnoj četvrti. Jer samo tamo će x koordinata (to je i apscisa) biti veća od nule;
tg α > 0 ako ugao α leži u I ili III koordinatnom kvadrantu. Ovo proizilazi iz definicije: na kraju krajeva, tg α = y : x , pa je pozitivan samo tamo gdje se znaci x i y poklapaju. Ovo se dešava u 1. koordinatnoj četvrti (ovde x > 0, y > 0) i 3. koordinatnoj četvrti (x< 0, y < 0).

Radi jasnoće, bilježimo znakove svake trigonometrijske funkcije - sinus, kosinus i tangenta - na posebnom "radaru". Dobijamo sledeću sliku:

Napomena: u svom rasuđivanju nikada nisam govorio o četvrtoj trigonometrijskoj funkciji - kotangensu. Činjenica je da se znakovi kotangensa poklapaju sa znakovima tangente - tu nema posebnih pravila.

Sada predlažem da razmotrimo primjere slične problemima B11 iz probni ispit iz matematike, koji je održan 27.09.2011 Najbolji način razumijevanje teorije je praksa. Po mogućnosti puno vježbe. Naravno, malo su izmijenjeni uslovi zadataka.

Zadatak. Odredite znakove trigonometrijskih funkcija i izraza (vrijednosti samih funkcija ne treba uzeti u obzir):

sin(3π/4);

cos(7π/6);

tan (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Akcioni plan je sljedeći: prvo pretvaramo sve uglove iz radijanske mjere u mjeru stepena (π → 180°), a zatim gledamo u kojoj koordinatnoj četvrtini leži rezultirajući broj. Poznavajući četvrti, lako možemo pronaći znakove - prema upravo opisanim pravilima. Imamo:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Pošto je 135° ∈ , ovo je ugao iz II koordinatnog kvadranta. Ali sinus u drugoj četvrtini je pozitivan, tako da je sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Jer 210° ∈ , ovo je ugao iz III koordinatnog kvadranta u kojem su svi kosinusi negativni. Dakle, cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Pošto je 300° ∈ , nalazimo se u kvadrantu IV, gdje tangenta poprima negativne vrijednosti. Stoga tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Hajde da se pozabavimo sinusom: jer 135° ∈ , ovo je druga četvrtina, u kojoj su sinusi pozitivni, tj. sin (3π/4) > 0. Sada radimo sa kosinusom: 150° ∈ - opet druga četvrtina, kosinusi su negativni. Stoga cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Gledamo kosinus: 120° ∈ je II koordinatna četvrtina, tako da cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Opet smo dobili proizvod u kojem su faktori različitih predznaka. Pošto "minus puta plus daje minus", imamo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Radimo sa sinusom: od 150° ∈ , govorimo o II koordinatnoj četvrti, gdje su sinusi pozitivni. Dakle, sin (5π/6) > 0. Slično, 315° ∈ je IV koordinatna četvrtina, kosinusi su pozitivni. Dakle, cos (7π/4) > 0. Dobili smo proizvod dva pozitivni brojevi Ovaj izraz je uvijek pozitivan. Zaključujemo: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ali ugao 135° ∈ je druga četvrtina, tj. preplanuli (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Pošto “minus plus daje znak minus”, imamo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Gledamo argument kotangensa: 240° ∈ je III koordinatna četvrtina, dakle ctg (4π/3) > 0. Slično, za tangentu imamo: 30° ∈ je I koordinatna četvrtina, tj. najlakši ugao. Dakle, tg (π/6) > 0. Opet smo dobili dva pozitivna izraza - njihov proizvod će također biti pozitivan. Stoga je ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Na kraju, pogledajmo nekoliko složenijih problema. Pored pronalaženja predznaka trigonometrijske funkcije, ovdje morate napraviti i mali proračun - baš kao što se to radi u stvarnim zadacima B11. U principu, to su gotovo pravi zadaci koji se zaista nalaze na ispitu iz matematike.

Zadatak. Naći sin α ako je sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Pošto je sin 2 α = 0,64, imamo: sin α = ±0,8. Ostaje da se odluči: plus ili minus? Prema pretpostavci, ugao α ∈ [π/2; π] je II koordinatna četvrtina, gdje su svi sinusi pozitivni. Dakle, sin α = 0,8 - nesigurnost sa predznacima je eliminisana.

Zadatak. Naći cos α ako je cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Slično postupamo, tj. uzimamo kvadratni korijen: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Prema pretpostavci, ugao α ∈ [π; 3π/2], tj. govorimo o III koordinatnoj četvrti. Tu su svi kosinusi negativni, pa je cos α = −0,2.

Zadatak. Naći sin α ako je sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Imamo: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Opet gledamo ugao: α ∈ je IV koordinatna četvrtina, u kojoj će, kao što znate, sinus biti negativan. Dakle, zaključujemo: sin α = −0,5.

Zadatak. Naći tg α ako je tg 2 α = 9 i α ∈ .

Sve je isto, samo za tangentu. Uzimamo kvadratni korijen: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ali prema uslovu, ugao α ∈ je I koordinatni kvadrant. Sve trigonometrijske funkcije, uklj. tangenta, ima pozitivnih, pa je tg α = 3. To je to!