Boční plocha válce se nazývá. Geometrická tělesa

Těleso otáčení nazývá se těleso vzniklé v důsledku rotace přímky kolem přímky.

VÁLEC

Válec (kruhový válec) je těleso, které se skládá ze dvou kružnic, které neleží ve stejné rovině a jsou spojeny rovnoběžným posunem, a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto kružnic. Kruhy se nazývají základny válce a segmenty spojující odpovídající body kružnic kruhů se nazývají generátory válce.

Protože rovnoběžný posun je pohyb, základny válce jsou stejné. Protože při paralelním přenosu rovina přechází do rovnoběžné roviny, leží základny válce v rovnoběžných rovinách. Protože při paralelním posunu jsou body posunuty podél rovnoběžných čar o stejnou vzdálenost, jsou generátory válce rovnoběžné a stejné. Povrch válce se skládá ze základny a boční plochy.

Poloměr válce je poloměr jeho základny. Výška válce je vzdálenost mezi rovinami jeho podstav. Osou válce je přímka procházející středy podstav.

Válec se nazývá přímý, pokud jsou jeho generátory kolmé k rovinám základen. Budeme uvažovat pouze pravý kruhový válec, který pro stručnost nazýváme jednoduše válec.

Válec lze získat otáčením obdélníku kolem jedné z jeho stran. Obrázek ukazuje válec získaný otáčením obdélníku ABCD kolem strany AB. V tomto případě je boční povrch válce tvořen otáčením bočního CD a základna - otáčením stran BC a AD.

Sekce válců

1) Pokud rovina řezu prochází osou válce, pak je řezem obdélník (viz obrázek), jehož dvě strany jsou generátory a další dvě jsou průměry podstav válce. Takový úsek se nazývá axiální.

Začněme online nové téma, a když dorazím, provedeme test a test na téma "Pohyb a vektory".

• Začínáme naše seznámení s novou třídou geometrických těles – rotačními tělesy. Prvním zástupcem této třídy, se kterým jsme se seznámili, je válec.
• Proč se válec nazývá rotační těleso?

C válec, se získá otáčením obdélníku kolem jedné z jeho stran.

• Válec se skládá ze dvou kruhů a mnoha segmentů.
• Válec- Jedná se o geometrické těleso sestávající ze dvou stejných kružnic umístěných v rovnoběžných rovinách a sady segmentů spojujících odpovídající body těchto kružnic.
• Definice prvků válce:

Základny válců- stejné kruhy umístěné v rovnoběžných rovinách

Výška válce- Tento vzdálenost mezi rovinami jeho základen.

Osa válce je přímka procházející středy podstavy válce (osa válce je osou otáčení válce).

Axiální řez válcem- řez válce rovinou procházející osou válce (axiální řez válcem je rovina souměrnosti válce). Všechny axiální části válce jsou stejné obdélníky

Generátor válce- jedná se o úsečku spojující bod kružnice horní podstavy s odpovídajícím bodem kružnice spodní podstavy. Všechny generátory jsou rovnoběžné s osou otáčení a mají stejnou délku, rovnou výšce válce.

Tvořící čára válce se během rotace kolem osy tvoříboční (válcový) povrch válce.

Poloměr válceje poloměr jeho základny.

rovný válec je válec, jehož generátory jsou kolmé k základně.

Ekvivalentní válec- válec, jehož výška se rovná průměru (ukažte stejný válec: tlačítko s ikonou ruky pro přepnutí modelu zpět do interaktivního režimu a změnu hodnoty výšky a poloměru navrhovaného modelu tak, aby ).

• Odvození vzorce pro plochu bočního povrchu.

  Vývoj boční plochy válce je obdélník se stranamiH A C, Kde Hje výška válce aCje obvod základny. Získáme vzorce pro výpočet ploch lateráluS b a kompletní S n povrchů: S b = H · C= 2π RH, S n = S b + 2 S= 2π R(R + H).

Kotvení

Úkol číslo 1. Vypočítejte obsah bočního a plného povrchu válce, jehož poloměr je 3 cm a výška je 5 cm (pí a odpověď jsou zaokrouhleny nahoru na celá čísla).

2. Výška válce jeh, poloměr základnyR. Najděte plochu průřezu roviny nakreslené rovnoběžně s osou válce ve vzdálenostiA od ní.

Domácí úkol: 522, 524, 526.

• Р.S/ pro zájemce klikněte na odkaz a podívejte se na elektronický zdroj o cylindrické vložce Pro začátek si na stránce nainstalujte modul OMS do svého PC a stáhněte si modul. Na vyskakovacím stole klikněte na přehrát. A pak projděte všechny stránky v pořadí.
• DĚKUJI VŠEM.

Název vědy „geometrie“ se překládá jako „měření Země“. Zrodilo se díky úsilí úplně prvních starověkých zeměměřičů. A stalo se to takto: při záplavách posvátného Nilu proudy vody občas smyly hranice pozemků zemědělců a nové hranice se nemusely shodovat s těmi starými. Daně odváděli rolníci do faraonovy pokladny v poměru k velikosti přídělu půdy. Po úniku se speciální lidé zabývali měřením ploch orné půdy v nových hranicích. Právě v důsledku jejich činnosti došlo k nová věda, vyvinutý v Starověké Řecko. Tam získala jméno a získala prakticky moderní vzhled. V budoucnu se tento termín stal mezinárodním názvem pro vědu o plochých a trojrozměrných postavách.

Planimetrie je obor geometrie, který se zabývá studiem rovinných obrazců. Dalším vědním oborem je stereometrie, která uvažuje o vlastnostech prostorových (objemových) obrazců. K takovým figurám patří i válec popsaný v tomto článku.

Existuje spousta příkladů přítomnosti válcových předmětů v každodenním životě. Téměř všechny části rotace - hřídele, pouzdra, hrdla, nápravy atd. mají válcový (mnohem méně často - kuželový) tvar. Válec je široce používán ve stavebnictví: věže, nosné, dekorativní sloupy. A kromě toho nádobí, některé druhy obalů, trubky různých průměrů. A nakonec – slavné klobouky, které se na dlouhou dobu staly symbolem mužské elegance. Seznam je nekonečný.

Definice válce jako geometrického útvaru

Válec (kruhový válec) se obvykle nazývá obrazec sestávající ze dvou kruhů, které se v případě potřeby kombinují pomocí paralelního překladu. Právě tyto kruhy jsou základem válce. Ale čáry (přímé segmenty) spojující odpovídající body se nazývají "generátory".

Je důležité, aby základny válce byly vždy stejné (pokud tato podmínka není splněna, pak máme - frustum, něco jiného, ​​ale ne válec) a jsou v rovnoběžných rovinách. Segmenty spojující odpovídající body na kružnicích jsou rovnoběžné a stejné.

Souhrn nekonečné sady generátorů není nic jiného než boční povrch válce - jeden z prvků daného geometrického útvaru. Jeho další důležitou součástí jsou výše diskutované kruhy. Říká se jim báze.

Typy válců

Nejjednodušší a nejběžnější typ válce je kruhový. Je tvořena dvěma pravidelnými kruhy fungujícími jako základny. Ale místo nich mohou být jiné postavy.

Základny válců mohou tvořit (kromě kružnic) elipsy a jiné uzavřené obrazce. Ale válec nemusí mít nutně uzavřený tvar. Jako základ válce může sloužit například parabola, hyperbola nebo jiná otevřená funkce. Takový válec bude otevřený nebo rozvinutý.

Podle úhlu sklonu tvořících přímek k základnám mohou být válce rovné nebo šikmé. U pravého válce jsou generátory přísně kolmé k rovině základny. Pokud se tento úhel liší od 90°, válec je nakloněný.

Co je to povrch revoluce

Pravý kruhový válec je bezesporu nejběžnější rotační plocha používaná ve strojírenství. Někdy se podle technických údajů používají kónické, kulové a některé další typy povrchů, ale 99% všech rotačních hřídelí, náprav atd. vyrobené ve formě válců. Abychom lépe porozuměli tomu, co je rotační plocha, můžeme zvážit, jak je vytvořen samotný válec.

Řekněme, že existuje čára A umístěn vertikálně. ABCD je obdélník, jehož jedna strana (úsek AB) leží na přímce A. Otočíme-li obdélník kolem přímky, jak je znázorněno na obrázku, objem, který bude při otáčení zabírat, bude naše rotační těleso - pravý kruhový válec s výškou H = AB = DC a poloměrem R = AD = BC.

V tomto případě se v důsledku rotace obrázku - obdélníku - získá válec. Otáčením trojúhelníku můžete získat kužel, otáčení půlkruhu - koule atd.

Plocha povrchu válce

Aby bylo možné vypočítat plochu povrchu běžného rovného kruhového válce, je nutné vypočítat plochy základen a bočního povrchu.

Nejprve se podívejme, jak se počítá plocha bočního povrchu. Jedná se o součin obvodu a výšky válce. Obvod se zase rovná dvojnásobku součinu univerzálního čísla P na poloměr kruhu.

Je známo, že plocha kruhu se rovná produktu P na druhou mocninu poloměru. Takže sečtením vzorců pro oblast určení bočního povrchu s dvojnásobným výrazem pro oblast základny (jsou dva) a provedením jednoduchých algebraických transformací získáme konečný výraz pro určení povrchová plocha válce.

Určení objemu figury

Objem válce je určen standardním schématem: povrchová plocha základny se vynásobí výškou.

Výsledný vzorec tedy vypadá takto: požadované je definováno jako součin výšky těla univerzálním číslem P a druhou mocninou poloměru základny.

Je třeba říci, že výsledný vzorec je použitelný pro řešení nejneočekávanějších problémů. Stejně jako objem např. válce se určuje objem elektrického vedení. To může být nezbytné pro výpočet hmotnosti drátů.

Jediný rozdíl ve vzorci je v tom, že místo poloměru jednoho válce je průměr jádra vodiče rozdělen na dvě a počet jader vodiče se objevuje ve výrazu N. Místo výšky se také používá délka drátu. Objem „válce“ se tedy nepočítá jako jeden, ale podle počtu drátů v opletení.

Takové výpočty jsou v praxi často vyžadovány. Koneckonců, významná část vodních nádrží je vyrobena ve formě potrubí. A spočítat objem válce je často nutné i v domácnosti.

Jak již bylo řečeno, tvar válce může být různý. A v některých případech je nutné vypočítat, čemu se rovná objem nakloněného válce.

Rozdíl je v tom, že povrchová plocha základny se nenásobí délkou tvořící čáry, jako v případě přímého válce, ale vzdáleností mezi rovinami - kolmým segmentem postaveným mezi nimi.

Jak je vidět z obrázku, taková úsečka se rovná součinu délky tvořící přímky sinusem úhlu sklonu tvořící čáry k rovině.

Jak postavit válec zametání

V některých případech je nutné vyříznout válcový výstružník. Níže uvedený obrázek ukazuje pravidla, podle kterých se vyrábí polotovar pro výrobu válce s danou výškou a průměrem.

Vezměte prosím na vědomí, že obrázek je zobrazen bez švů.

Rozdíly ve zkosených válcích

Představme si rovný válec ohraničený na jedné straně rovinou kolmou ke generátorům. Ale rovina ohraničující válec na druhé straně není kolmá na generátory a není rovnoběžná s první rovinou.

Na obrázku je znázorněn zkosený válec. Letadlo A v jiném úhlu než 90° ke generátorům, protíná obrazec.

Tento geometrický tvar je v praxi častější ve formě potrubních spojů (kolen). Existují však dokonce budovy postavené ve formě zkoseného válce.

Geometrické charakteristiky zkoseného válce

Sklon jedné z rovin zkoseného válce mírně mění pořadí výpočtu jak plochy povrchu takového obrázku, tak jeho objemu.

Název vědy „geometrie“ se překládá jako „měření Země“. Zrodilo se díky úsilí úplně prvních starověkých zeměměřičů. A stalo se to takto: při záplavách posvátného Nilu proudy vody občas smyly hranice pozemků zemědělců a nové hranice se nemusely shodovat s těmi starými. Daně odváděli rolníci do faraonovy pokladny v poměru k velikosti přídělu půdy. Po úniku se speciální lidé zabývali měřením ploch orné půdy v nových hranicích. Právě v důsledku jejich činnosti vznikla nová věda, která se rozvíjela ve starověkém Řecku. Tam dostal své jméno a získal téměř moderní vzhled. V budoucnu se tento termín stal mezinárodním názvem pro vědu o plochých a trojrozměrných postavách.

Planimetrie je obor geometrie, který se zabývá studiem rovinných obrazců. Dalším vědním oborem je stereometrie, která uvažuje o vlastnostech prostorových (objemových) obrazců. K takovým figurám patří i válec popsaný v tomto článku.

Existuje spousta příkladů přítomnosti válcových předmětů v každodenním životě. Téměř všechny části rotace - hřídele, pouzdra, hrdla, nápravy atd. mají válcový (mnohem méně často - kuželový) tvar. Válec je široce používán ve stavebnictví: věže, nosné, dekorativní sloupy. A kromě toho nádobí, některé druhy obalů, trubky různých průměrů. A nakonec – slavné klobouky, které se na dlouhou dobu staly symbolem mužské elegance. Seznam je nekonečný.

Definice válce jako geometrického útvaru

Válec (kruhový válec) se obvykle nazývá obrazec sestávající ze dvou kruhů, které se v případě potřeby kombinují pomocí paralelního překladu. Právě tyto kruhy jsou základem válce. Ale čáry (přímé segmenty) spojující odpovídající body se nazývají "generátory".

Důležité je, aby podstavy válce byly vždy stejné (pokud tato podmínka není splněna, tak máme před sebou komolý kužel, něco jiného, ​​ale ne válec) a byly v rovnoběžných rovinách. Segmenty spojující odpovídající body na kružnicích jsou rovnoběžné a stejné.

Souhrn nekonečné sady generátorů není nic jiného než boční povrch válce - jeden z prvků daného geometrického útvaru. Jeho další důležitou součástí jsou výše diskutované kruhy. Říká se jim báze.

Typy válců

Nejjednodušší a nejběžnější typ válce je kruhový. Je tvořena dvěma pravidelnými kruhy fungujícími jako základny. Ale místo nich mohou být jiné postavy.

Základny válců mohou tvořit (kromě kružnic) elipsy a jiné uzavřené obrazce. Ale válec nemusí mít nutně uzavřený tvar. Jako základ válce může sloužit například parabola, hyperbola nebo jiná otevřená funkce. Takový válec bude otevřený nebo rozvinutý.

Podle úhlu sklonu tvořících přímek k základnám mohou být válce rovné nebo šikmé. U pravého válce jsou generátory přísně kolmé k rovině základny. Pokud se tento úhel liší od 90°, válec je nakloněný.

Co je to povrch revoluce

Pravý kruhový válec je bezesporu nejběžnější rotační plocha používaná ve strojírenství. Někdy se podle technických údajů používají kónické, kulové a některé další typy povrchů, ale 99% všech rotačních hřídelí, náprav atd. vyrobené ve formě válců. Abychom lépe porozuměli tomu, co je rotační plocha, můžeme zvážit, jak je vytvořen samotný válec.

Řekněme, že existuje čára A umístěn vertikálně. ABCD je obdélník, jehož jedna strana (úsek AB) leží na přímce A. Otočíme-li obdélník kolem přímky, jak je znázorněno na obrázku, objem, který bude při otáčení zabírat, bude naše rotační těleso - pravý kruhový válec s výškou H = AB = DC a poloměrem R = AD = BC.

V tomto případě se v důsledku rotace obrázku - obdélníku - získá válec. Otáčením trojúhelníku můžete získat kužel, otáčení půlkruhu - koule atd.

Plocha povrchu válce

Aby bylo možné vypočítat plochu povrchu běžného rovného kruhového válce, je nutné vypočítat plochy základen a bočního povrchu.

Nejprve se podívejme, jak se počítá plocha bočního povrchu. Jedná se o součin obvodu a výšky válce. Obvod se zase rovná dvojnásobku součinu univerzálního čísla P na poloměr kruhu.

Je známo, že plocha kruhu se rovná produktu P na druhou mocninu poloměru. Takže sečtením vzorců pro oblast určení bočního povrchu s dvojnásobným výrazem pro oblast základny (jsou dva) a provedením jednoduchých algebraických transformací získáme konečný výraz pro určení povrchová plocha válce.

Určení objemu figury

Objem válce je určen standardním schématem: povrchová plocha základny se vynásobí výškou.

Výsledný vzorec tedy vypadá takto: požadované je definováno jako součin výšky těla univerzálním číslem P a druhou mocninou poloměru základny.

Je třeba říci, že výsledný vzorec je použitelný pro řešení nejneočekávanějších problémů. Stejně jako objem např. válce se určuje objem elektrického vedení. To může být nezbytné pro výpočet hmotnosti drátů.

Jediný rozdíl ve vzorci je v tom, že místo poloměru jednoho válce je průměr jádra vodiče rozdělen na dvě a počet jader vodiče se objevuje ve výrazu N. Místo výšky se také používá délka drátu. Objem „válce“ se tedy nepočítá jako jeden, ale podle počtu drátů v opletení.

Takové výpočty jsou v praxi často vyžadovány. Koneckonců, významná část vodních nádrží je vyrobena ve formě potrubí. A spočítat objem válce je často nutné i v domácnosti.

Jak již bylo řečeno, tvar válce může být různý. A v některých případech je nutné vypočítat, čemu se rovná objem nakloněného válce.

Rozdíl je v tom, že povrchová plocha základny se nenásobí délkou tvořící čáry, jako v případě přímého válce, ale vzdáleností mezi rovinami - kolmým segmentem postaveným mezi nimi.

Jak je vidět z obrázku, taková úsečka se rovná součinu délky tvořící přímky sinusem úhlu sklonu tvořící čáry k rovině.

Jak postavit válec zametání

V některých případech je nutné vyříznout válcový výstružník. Níže uvedený obrázek ukazuje pravidla, podle kterých se vyrábí polotovar pro výrobu válce s danou výškou a průměrem.

Vezměte prosím na vědomí, že obrázek je zobrazen bez švů.

Rozdíly ve zkosených válcích

Představme si rovný válec ohraničený na jedné straně rovinou kolmou ke generátorům. Ale rovina ohraničující válec na druhé straně není kolmá na generátory a není rovnoběžná s první rovinou.

Na obrázku je znázorněn zkosený válec. Letadlo A v jiném úhlu než 90° ke generátorům, protíná obrazec.

Tento geometrický tvar je v praxi častější ve formě potrubních spojů (kolen). Existují však dokonce budovy postavené ve formě zkoseného válce.

Geometrické charakteristiky zkoseného válce

Sklon jedné z rovin zkoseného válce mírně mění pořadí výpočtu jak plochy povrchu takového obrázku, tak jeho objemu.

Válec (kruhový válec) - těleso, které se skládá ze dvou kruhů, spojených paralelním přenosem, a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto kruhů. Kruhy se nazývají základny válce a segmenty spojující odpovídající body kružnic kruhů se nazývají generátory válce.

Základny válce jsou stejné a leží v rovnoběžných rovinách a generátory válce jsou rovnoběžné a stejné. Povrch válce se skládá ze základny a boční plochy. Boční plocha je tvořena generátory.

Válec se nazývá přímý, pokud jsou jeho generátory kolmé k rovinám základny. Válec lze považovat za těleso získané otáčením obdélníku kolem jedné z jeho stran jako osy. Existují další typy válce – eliptický, hyperbolický, parabolický. Hranol je také považován za druh válce.

Obrázek 2 ukazuje nakloněný válec. Kružnice se středy O a O 1 jsou jeho základnami.

Poloměr válce je poloměr jeho základny. Výška válce je vzdálenost mezi rovinami podstav. Osou válce je přímka procházející středy podstav. Je paralelní s generátory. Řez válce rovinou procházející osou válce se nazývá axiální řez. Rovina procházející tvořící přímkou ​​přímého válce a kolmá k axiálnímu řezu protaženému touto tvořící přímkou ​​se nazývá tečnou rovinou válce.

Rovina kolmá k ose válce protíná jeho boční plochu po kružnici rovné obvodu podstavy.

Hranol vepsaný do válce je hranol, jehož základny jsou stejné mnohoúhelníky vepsané do základen válce. Jeho boční okraje jsou generaticemi válce. O hranolu se říká, že je opsán v blízkosti válce, pokud jeho základny jsou stejné mnohoúhelníky opsané v blízkosti základen válce. Roviny jeho čel se dotýkají bočního povrchu válce.

Plochu bočního povrchu válce lze vypočítat vynásobením délky tvořící čáry obvodem průřezu válce rovinou kolmou k tvořící přímce.

Boční povrch pravého válce lze zjistit z jeho vývoje. Rozvinutím válce je obdélník s výškou h a délkou P, která se rovná obvodu podstavy. Proto se plocha bočního povrchu válce rovná ploše jeho vývoje a vypočítá se podle vzorce:

Zejména pro pravý kruhový válec:

P = 2πR a Sb = 2πRh.

Celková plocha válce se rovná součtu ploch jeho bočního povrchu a jeho základen.

Pro rovný kruhový válec:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Pro zjištění objemu nakloněného válce existují dva vzorce.

Objem můžete zjistit vynásobením délky tvořící čáry plochou průřezu válce rovinou kolmou k tvořící přímce.

Objem nakloněného válce se rovná součinu plochy základny a výšky (vzdálenost mezi rovinami, ve kterých základny leží):

V = Sh = S l sin α,

kde l je délka tvořící přímky a α je úhel mezi tvořící přímkou ​​a rovinou základny. Pro přímý válec h = l.

Vzorec pro zjištění objemu kruhového válce je následující:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

kde d je průměr základny.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.