Lekce: Trigonometrie. Trigonometrie S dětmi vyučujeme trigonometrické obrazce

26.11.2023 | Obrazy umělců

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řízením, soudním řízením a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Tím, že dělá trigonometrické transformace postupujte podle těchto tipů:

Nesnažte se okamžitě přijít s řešením příkladu od začátku do konce.
Nepokoušejte se převést celý příklad najednou. Dělejte malé kroky vpřed.
Pamatujte, že kromě goniometrických vzorců v trigonometrii můžete stále používat všechny spravedlivé algebraické transformace (závorky, zkracovací zlomky, zkrácené vzorce pro násobení a tak dále).
Věřte, že vše bude v pořádku.

Základní goniometrické vzorce

Většina vzorců v trigonometrii se často používá jak zprava doleva, tak zleva doprava, takže se musíte tyto vzorce naučit tak dobře, abyste mohli snadno aplikovat nějaký vzorec v obou směrech. Nejprve si zapišme definice goniometrických funkcí. Nechť existuje pravoúhlý trojúhelník:

Pak definice sinu:

Definice kosinu:

Definice tečny:

Definice kotangens:

Základy trigonometrická identita:

Nejjednodušší důsledky ze základní goniometrické identity:

Vzorce s dvojitým úhlem. Sinus dvojitého úhlu:

Kosinus dvojitého úhlu:

Tangenta dvojitého úhlu:

Kotangens dvojitého úhlu:

Další trigonometrické vzorce

Goniometrické sčítací vzorce. Sinus součtu:

Sinus rozdílu:

Kosinus součtu:

Kosinus rozdílu:

Tangenta součtu:

Tangenta rozdílu:

Kotangens částky:

Kotangens rozdílu:

Goniometrické vzorce pro převod součtu na součin. Součet sinů:

Sinusový rozdíl:

Součet kosinů:

Rozdíl kosinů:

Součet tečen:

Rozdíl tečny:

Součet kotangens:

Rozdíl kotangens:

Goniometrické vzorce pro převod součinu na součet. Součin sinů:

Součin sinusu a kosinu:

Produkt kosinu:

Vzorce pro snížení stupně.

Vzorce polovičního úhlu.

Goniometrické redukční vzorce

Zavolá se funkce kosinus spolufunkce funkce sinus a naopak. Podobně funkce tangens a kotangens jsou kofunkcemi. Redukční vzorce lze formulovat jako následující pravidlo:

Pokud se v redukčním vzorci odečte (přičte) úhel od 90 stupňů nebo 270 stupňů, pak se redukovaná funkce změní na kofunkci;
Pokud je v redukčním vzorci úhel odečten (přidán) od 180 stupňů nebo 360 stupňů, pak je zachován název redukované funkce;
V tomto případě se znaménko, které má redukovaná (tj. původní) funkce v odpovídajícím kvadrantu, umístí před redukovanou funkci, pokud odečtený (sčítaný) úhel považujeme za ostrý.

Redukční vzorce jsou uvedeny ve formě tabulky:

Podle trigonometrický kruh snadné určení tabulkových hodnot goniometrických funkcí:

Goniometrické rovnice

K vyřešení určité goniometrické rovnice je třeba ji zredukovat na jednu z nejjednodušších goniometrické rovnice, o kterém bude řeč níže. Pro tohle:

Můžete použít trigonometrické vzorce uvedené výše. Zároveň se nemusíte snažit transformovat celý příklad najednou, ale musíte postupovat vpřed po malých krocích.
Nesmíme zapomenout na možnost transformace nějakého výrazu pomocí algebraické metody, tj. například vyjmout něco ze závorek nebo naopak závorky otevřít, zlomek zmenšit, použít zkrácený vzorec pro násobení, uvést zlomky na společného jmenovatele a podobně.
Při řešení goniometrických rovnic můžete použít seskupovací metoda. Je třeba mít na paměti, že k tomu, aby se součin několika faktorů rovnal nule, stačí, aby se kterýkoli z nich rovnal nule, a zbytek existoval.
Uplatňuje se variabilní metoda náhrady, jako obvykle by se rovnice po zavedení náhrady měla zjednodušit a neobsahovat původní proměnnou. Musíte také pamatovat na provedení zpětné výměny.
Pamatujte, že v trigonometrii se často objevují homogenní rovnice.
Při otevírání modulů nebo řešení iracionálních rovnic s goniometrickými funkcemi si musíte pamatovat a vzít v úvahu všechny jemnosti řešení odpovídajících rovnic s obyčejnými funkcemi.
Pamatujte na ODZ (v goniometrických rovnicích omezení ODZ spočívá především v tom, že nelze dělit nulou, ale nezapomeňte na další omezení, zejména na pozitivitu výrazů v racionálních mocninách a pod kořeny sudých mocnin). Pamatujte také, že hodnoty sinus a kosinus mohou ležet pouze v rozsahu od mínus jedna do plus jedna včetně.

Hlavní věc je, že pokud nevíte, co dělat, udělejte alespoň něco a hlavní věcí je správně používat trigonometrické vzorce. Pokud se to, co získáte, zlepšuje a zlepšuje, pokračujte v řešení, a pokud se to zhorší, vraťte se na začátek a zkuste použít jiné vzorce, dělejte to, dokud nenarazíte na správné řešení.

Vzorce pro řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Pro sinus existují dvě ekvivalentní formy zápisu řešení:

Pro ostatní goniometrické funkce je zápis jednoznačný. Pro kosinus:

Pro tečnu:

Pro kotangens:

Řešení goniometrických rovnic v některých speciálních případech:

Naučte se všechny vzorce a zákony ve fyzice a vzorce a metody v matematice. Ve skutečnosti je to také velmi jednoduché, ve fyzice je jen asi 200 nezbytných vzorců a v matematice ještě o něco méně. Každý z těchto předmětů má asi tucet standardních metod řešení problémů základní úroveň obtíže, které se také dají naučit, a tak zcela automaticky a bez obtíží vyřešit většinu CT ve správný čas. Poté už budete muset myslet jen na ty nejtěžší úkoly.

Zúčastněte se všech tří fází zkušebního testování z fyziky a matematiky. Každý RT lze navštívit dvakrát a rozhodnout se pro obě možnosti. Opět platí, že na ČT musíte kromě schopnosti rychle a efektivně řešit problémy a znalosti vzorců a metod také umět správně plánovat čas, rozkládat síly a hlavně správně vyplnit odpovědní formulář, aniž byste zaměňování čísel odpovědí a problémů nebo vlastního příjmení. Při RT je také důležité zvyknout si na styl kladení otázek v problémech, který se může nepřipravenému člověku na DT zdát velmi neobvyklý.

Úspěšná, svědomitá a zodpovědná implementace těchto tří bodů vám umožní předvést na ČT výborný výsledek, maximum toho, čeho jste schopni.

Našli jste chybu?

Pokud si myslíte, že jste našli chybu v vzdělávací materiály, pak o tom prosím napište na email. Chybu můžete nahlásit i na sociální síti (). V dopise uveďte předmět (fyziku nebo matematiku), název nebo číslo tématu nebo testu, číslo problému, případně místo v textu (stránce), kde je podle vás chyba. Popište také, co je podezřelá chyba. Váš dopis nezůstane bez povšimnutí, chyba bude buď opravena, nebo vám bude vysvětleno, proč se nejedná o chybu.

V roce 1905 si ruští čtenáři mohli přečíst v knize Williama Jamese „Psychologie“ jeho úvahy o tom, „proč je učení nazpaměť tak špatným způsobem učení?

„Znalosti získané jednoduchým učením nazpaměť jsou téměř nevyhnutelně zapomenuty úplně beze stopy. Naopak mentální materiál, získávaný pamětí postupně, den za dnem, ve spojení s různými kontexty, asociačně asociovaný s jinými vnějšími událostmi a opakovaně podrobovaný diskusi, takový systém tvoří, vstupuje do takového spojení s ostatními aspekty našeho intelekt se snadno obnovuje v paměti množstvím vnějších příležitostí, což zůstává dlouhodobou trvalou akvizicí."

Od té doby uplynulo více než 100 let a tato slova zůstávají úžasně aktuální. O tom se přesvědčujete každý den při práci se školáky. Obrovské mezery ve znalostech jsou tak velké, že lze polemizovat: školní matematický kurz v didaktickém a psychologickém smyslu není systémem, ale jakýmsi zařízením, které podporuje krátkodobou paměť a vůbec se nestará o paměť dlouhodobou. .

Znát kurz školní matematiky znamená zvládnout látku z každé oblasti matematiky a být schopen kteroukoli z nich kdykoli aktualizovat. Abyste toho dosáhli, musíte každého z nich systematicky kontaktovat, což někdy není vždy možné kvůli velkému vytížení na lekci.

Existuje ještě jeden způsob dlouhodobého zapamatování faktů a vzorců – jedná se o referenční signály.

Trigonometrie je jedním z velkých oddílů školní matematiky, studuje se v kurzu geometrie v 8. a 9. ročníku a v kurzu algebra v 9. ročníku, algebra a elementární analýza v 10. ročníku.

Největší objem probrané látky v trigonometrii připadá na 10. ročník. Většinu tohoto trigonometrického materiálu se lze naučit a zapamatovat trigonometrický kruh(kruh o jednotkovém poloměru se středem v počátku pravoúhlého souřadnicového systému). Dodatek1.ppt

Jedná se o následující koncepty trigonometrie:

definice sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu;
měření radiánového úhlu;
doména definice a rozsah hodnot goniometrických funkcí
hodnoty goniometrických funkcí pro některé hodnoty numerického a úhlového argumentu;
periodicita goniometrických funkcí;
sudost a lichost goniometrických funkcí;
zvyšování a snižování goniometrických funkcí;
redukční vzorce;
hodnoty inverzních goniometrických funkcí;
řešení jednoduchých goniometrických rovnic;
řešení jednoduchých nerovností;
základní vzorce trigonometrie.

Zvažme studium těchto pojmů na trigonometrickém kruhu.

1) Definice sinus, kosinus, tangens a kotangens.

Po zavedení konceptu trigonometrické kružnice (kruh o jednotkovém poloměru se středem v počátku), počátečního poloměru (poloměr kruhu ve směru osy Ox) a úhlu natočení, studenti samostatně získají definice pro sinus, kosinus, tečnu a kotangensu na trigonometrické kružnici s použitím definic z geometrie kurzu, to znamená uvažování pravoúhlého trojúhelníku s přeponou rovnou 1.

Kosinus úhlu je úsečka bodu na kružnici, když je počáteční poloměr otočen o daný úhel.

Sinus úhlu je pořadnicí bodu na kružnici, když je počáteční poloměr otočen o daný úhel.

2) Radiánové měření úhlů na trigonometrické kružnici.

Po zavedení radiánové míry úhlu (1 radián je středový úhel, který odpovídá délce oblouku rovné délce poloměru kružnice), studenti dospějí k závěru, že radiánová míra úhlu je číselná hodnota úhel natočení na kružnici, rovný délce odpovídajícího oblouku, když je počáteční poloměr otočen o daný úhel. .

Trigonometrický kruh je rozdělen na 12 stejných částí podle průměrů kruhu. S vědomím, že úhel je v radiánech, můžete určit měření radiánů pro úhly, které jsou násobky .

A měření radiánů úhlů, násobků, se získá podobně:

3) Oblast definice a rozsah hodnot goniometrických funkcí.

Bude korespondence mezi úhly natočení a hodnotami souřadnic bodu na kruhu funkcí?

Každý úhel natočení odpovídá jednomu bodu na kružnici, což znamená, že tato korespondence je funkcí.

Získání funkcí

Na trigonometrickém kruhu můžete vidět, že doménou definice funkcí je množina všech reálných čísel a rozsah hodnot je .

Představme si pojmy přímky tečen a kotangens na trigonometrické kružnici.

1) Nechat Zaveďme pomocnou přímku rovnoběžnou s osou Oy, na které jsou určeny tečny pro libovolný číselný argument.

2) Podobně získáme přímku kotangens. Nechť y=1, pak . To znamená, že hodnoty kotangens jsou určeny na přímce rovnoběžné s osou Ox.

Na trigonometrickém kruhu můžete snadno určit doménu definice a rozsah hodnot goniometrických funkcí:

pro tečnu -

pro kotangens -

4) Hodnoty goniometrických funkcí na trigonometrickém kruhu.

Noha protilehlá úhlu v se rovná polovině přepony, to znamená, že druhá noha podle Pythagorovy věty:

To znamená, že definováním sinus, kosinus, tangens, kotangens, můžete určit hodnoty pro úhly, které jsou násobky nebo radiány. Hodnoty sinusu se určují podél osy Oy, kosinus podél osy Ox a hodnoty tečny a kotangens lze určit pomocí dalších os rovnoběžných s osami Oy a Ox.

Tabulkové hodnoty sinus a kosinus jsou umístěny na odpovídajících osách takto:

Tabulkové hodnoty tangens a kotangens -

5) Periodicita goniometrických funkcí.

Na trigonometrickém kruhu můžete vidět, že hodnoty sinus a kosinus se opakují každý radián a tangens a kotangens - každý radián.

6) Sudost a lichost goniometrických funkcí.

Tuto vlastnost lze získat porovnáním hodnot kladných a opačných úhlů rotace goniometrických funkcí. Chápeme to

Takže kosinus - dokonce funkci, všechny ostatní funkce jsou liché.

7) Zvyšování a snižování goniometrických funkcí.

Trigonometrický kruh ukazuje, že funkce sinus roste a snižuje se

Obdobným uvažováním získáme intervaly rostoucí a klesající funkce kosinus, tangens a kotangens.

8) Redukční vzorce.

Pro úhel bereme menší hodnotu úhlu na trigonometrické kružnici. Všechny vzorce jsou získány porovnáním hodnot goniometrických funkcí na nohách vybraných pravoúhlých trojúhelníků.

Algoritmus pro použití redukčních vzorců:

1) Určete znaménko funkce při otáčení o daný úhel.

Při zatáčení funkce je zachována při otočení o úhel - celé číslo, liché číslo, kofunkce (

9) Hodnoty inverzních goniometrických funkcí.

Zaveďme inverzní funkce pro goniometrické funkce pomocí definice funkce.

Každá hodnota sinus, kosinus, tečna a kotangens na trigonometrické kružnici odpovídá pouze jedné hodnotě úhlu natočení. To znamená, že pro funkci je definiční obor je , rozsah hodnot je - U funkce je definiční obor je , rozsah hodnot je . Podobně získáme definiční obor a rozsah hodnot inverzních funkcí pro kosinus a kotangens.

Algoritmus pro nalezení hodnot inverzních goniometrických funkcí:

1) nalezení hodnoty argumentu inverzní goniometrické funkce na odpovídající ose;

2) nalezení úhlu natočení počátečního poloměru s přihlédnutím k rozsahu hodnot inverzní goniometrické funkce.

Například:

10) Řešení jednoduchých rovnic na goniometrické kružnici.

Abychom vyřešili rovnici tvaru , najdeme body na kružnici, jejichž ordináty jsou stejné, a zapíšeme odpovídající úhly s přihlédnutím k periodě funkce.

Pro rovnici najdeme body na kružnici, jejichž úsečky jsou stejné, a zapíšeme odpovídající úhly s přihlédnutím k periodě funkce.

Podobně pro rovnice tvaru Hodnoty jsou určeny na liniích tečen a kotangens a jsou zaznamenány odpovídající úhly rotace.

Všechny pojmy a vzorce trigonometrie se studenti učí sami pod jasným vedením učitele pomocí trigonometrického kruhu. V budoucnu jim tento „kruh“ bude sloužit jako referenční signál resp vnější faktor reprodukovat trigonometrické pojmy a vzorce v paměti.

Studium trigonometrie na trigonometrickém kruhu pomáhá:

volba optimálního komunikačního stylu pro danou vyučovací hodinu, organizace edukační spolupráce;
cíle lekce se stávají pro každého studenta osobně významnými;
nový materiál na základě osobní zkušenost jednání, myšlení, pocity žáka;
lekce zahrnuje různé formy práce a způsoby získávání a osvojování znalostí; jsou zde prvky vzájemného a sebeučení; sebekontrola a vzájemná kontrola;
dochází k rychlé reakci na nedorozumění a chybu (společná diskuse, tipy na podporu, vzájemné konzultace).

- -
Obvykle, když chtějí někoho vyděsit STRAŠIVOU MATEMATIKOU, uvádějí jako příklad nejrůznější sinusy a kosinusy, jako něco velmi složitého a nechutného. Ale ve skutečnosti je to krásný a zajímavý úsek, který se dá pochopit a vyřešit.
Téma začíná v 9. třídě a ne vždy je vše jasné napoprvé, je tam mnoho jemností a triků. Snažil jsem se k tématu něco říct.

Úvod do světa trigonometrie:
Než se bezhlavě vrhnete do vzorců, musíte z geometrie pochopit, co je sinus, kosinus atd.
Sinus úhlu- poměr protilehlé (úhlové) strany k přeponě.
Kosinus- poměr přilehlé k přeponě.
Tečna- protilehlá strana k sousední straně
Kotangens- sousedící s protějším.

Nyní zvažte kruh o poloměru jednotky souřadnicová rovina a označte na něm nějaký alfa úhel: (na obrázky lze kliknout, alespoň na některé)
-
-
Tenké červené čáry jsou kolmice od průsečíku kružnice a pravého úhlu na ose ox a oy. Červené x a y jsou hodnotami souřadnic x a y na osách (šedé x a y pouze označují, že se jedná o souřadnicové osy a nikoli pouze čáry).
Je třeba poznamenat, že úhly se počítají z kladného směru osy ox proti směru hodinových ručiček.
Najdeme pro něj sinus, kosinus atd.
sin a: protější strana je rovna y, přepona je rovna 1.
sin a = y / 1 = y
Aby bylo úplně jasné, odkud dostanu y a 1, pro přehlednost uspořádejme písmena a podívejme se na trojúhelníky.
- -
AF = AE = 1 - poloměr kružnice.
Proto AB = 1 jako poloměr. AB - přepona.
BD = CA = y - jako hodnota pro oh.
AD = CB = x - jako hodnota podle oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Dále je kosinus:
cos a: sousední strana - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Vyrábíme také tečna a kotangensa.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Najednou jsme odvodili vzorec pro tečnu a kotangens.

No, pojďme se konkrétně podívat, jak se to řeší.
Například a = 45 stupňů.
Dostaneme pravoúhlý trojúhelník s jedním úhlem 45 stupňů. Někomu je hned jasné, že se jedná o rovnostranný trojúhelník, ale stejně to popíšu.
Najděte třetí úhel trojúhelníku (první je 90, druhý je 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou jejich strany stejné, tak to znělo.
Ukazuje se tedy, že když sečteme dva takové trojúhelníky nad sebou, dostaneme čtverec s úhlopříčkou rovnou poloměru = 1. Podle Pythagorovy věty víme, že úhlopříčka čtverce o straně a je rovna kořeny ze dvou.
Teď přemýšlíme. Pokud se 1 (přepona neboli úhlopříčka) rovná straně druhé mocniny krát odmocnina ze dvou, pak by měla být strana čtverce rovna 1/sqrt(2), a pokud vynásobíme čitatel a jmenovatel tohoto zlomku od kořene dvou dostaneme sqrt(2)/2 . A protože je trojúhelník rovnoramenný, pak AD = AC => x = y
Nalezení našich goniometrických funkcí:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Se zbývajícími hodnotami úhlu musíte pracovat stejným způsobem. Jen trojúhelníky nebudou rovnoramenné, ale strany lze stejně snadno najít pomocí Pythagorovy věty.
Tímto způsobem získáme tabulku hodnot goniometrických funkcí z různých úhlů:
-
-
Navíc je tento stůl podvodný a velmi pohodlný.
Jak si to sestavit sami bez problémů: Nakreslete si takto tabulku a do rámečků napište čísla 1 2 3.
-
-
Nyní z těchto 1 2 3 vezměte odmocninu a vydělte 2. Dopadne to takto:
-
-
Nyní škrtneme sinus a napíšeme kosinus. Jeho hodnoty jsou zrcadlený sinus:
-
-
Odvodit tečnu je stejně snadné – je třeba vydělit hodnotu sinusové čáry hodnotou kosinusové čáry:
-
-
Hodnota kotangens je převrácená hodnota tečny. Ve výsledku dostaneme něco takového:
- -

Poznámka ta tečna neexistuje například v P/2. Přemýšlejte o tom proč. (Nelze dělit nulou.)

Co si musíte zapamatovat zde: sinus je hodnota y, kosinus je hodnota x. Tangenta je poměr y k x a kotangens je opačný. takže pro určení hodnot sinus/kosinus stačí nakreslit tabulku, kterou jsem popsal výše, a kružnici se souřadnicovými osami (vhodné je dívat se na hodnoty pod úhly 0, 90, 180, 360).
- -

No, doufám, že to dokážete rozlišit čtvrtletí:
- -
Znaménko jeho sinus, kosinus atd. závisí na tom, ve které čtvrtině je úhel. I když, naprosto primitivní logické myšlení vás dovede ke správné odpovědi, pokud vezmete v úvahu, že ve druhé a třetí čtvrtině je x záporné a y ve třetí a čtvrté čtvrtině záporné. Nic děsivého nebo děsivého.

Myslím, že by nebylo špatné to zmínit redukční vzorce ala duchové, jak všichni slyší, což má zrnko pravdy. Neexistují žádné vzorce jako takové, protože jsou zbytečné. Samotný smysl celé této akce: Snadno najdeme hodnoty úhlu pouze pro první čtvrtletí (30 stupňů, 45, 60). Goniometrické funkce jsou periodické, takže do první čtvrtiny můžeme přetáhnout libovolný velký úhel. Pak hned najdeme jeho význam. Pouhé přetažení však nestačí - musíte si pamatovat na znamení. K tomu slouží redukční vzorce.
Máme tedy velký úhel, nebo spíše více než 90 stupňů: a = 120. A potřebujeme najít jeho sinus a kosinus. Abychom to udělali, rozložíme 120 na úhly, se kterými můžeme pracovat:
hřích a = hřích 120 = hřích (90 + 30)
Vidíme, že tento úhel leží ve druhé čtvrtině, sinus je tam kladný, proto je znaménko + před sinem zachováno.
Abychom se zbavili 90 stupňů, změníme sinus na kosinus. No, toto je pravidlo, které si musíte zapamatovat:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Nebo si to můžete představit jinak:
hřích 120 = hřích (180 - 60)
Abychom se zbavili 180 stupňů, funkci neměníme.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Máme stejnou hodnotu, takže je vše správně. Nyní kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinus ve druhé čtvrtině je záporný, takže dáme znaménko mínus. A změníme funkci na opačnou, protože potřebujeme odstranit 90 stupňů.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Nebo:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Co potřebujete vědět, umět a dělat pro přenos úhlů do prvního čtvrtletí:
- rozložit úhel na stravitelné termíny;
-vezměte v úvahu, ve které čtvrtině je úhel a dejte příslušné znaménko, je-li funkce v této čtvrtině záporná nebo kladná;
- zbavit se nepotřebných věcí:
*pokud se potřebujete zbavit 90, 270, 450 a zbývajících 90+180n, kde n je libovolné celé číslo, pak se funkce obrátí (sinus na kosinus, tečna na kotangens a naopak);
*pokud se potřebujete zbavit 180 a zbývajících 180+180n, kde n je libovolné celé číslo, pak se funkce nezmění. (Je tu jedna funkce, ale je těžké ji vysvětlit slovy, ale dobře).
To je vše. Nemyslím si, že je nutné se učit nazpaměť samotné vzorce, když si můžete zapamatovat několik pravidel a snadno je používat. Mimochodem, tyto vzorce lze velmi snadno dokázat:
-
-
A také sestavují těžkopádné tabulky, pak víme:
-
-

Základní rovnice trigonometrie: musíte je znát velmi, velmi dobře, zpaměti.
Základní trigonometrická identita(rovnost):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Pokud tomu nevěříte, je lepší si to ověřit sami a přesvědčit se sami. Nahraďte hodnoty různých úhlů.
Tento vzorec je velmi, velmi užitečný, vždy si ho pamatujte. pomocí něj můžete vyjádřit sinus přes kosinus a naopak, což je někdy velmi užitečné. Ale jako každý jiný vzorec, musíte vědět, jak s ním zacházet. Vždy pamatujte, že znaménko goniometrické funkce závisí na kvadrantu, ve kterém se úhel nachází. Proto při extrakci kořene potřebujete znát čtvrtinu.

Tangenta a kotangensa: Tyto vzorce jsme odvodili již na začátku.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Součin tečny a kotangens:
tg a * ctg a = 1
Protože:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - zlomky se ruší.

Jak vidíte, všechny vzorce jsou hra a kombinace.
Zde jsou další dva, získané dělením kosinusovou druhou mocninou a sinusovou druhou mocninou prvního vzorce:
-
-
Upozorňujeme, že poslední dva vzorce lze použít s omezením na hodnotu úhlu a, protože nelze dělit nulou.

Sčítací vzorce: jsou prokázány pomocí vektorové algebry.
- -
Málo používané, ale přesné. Ve skenu jsou vzorce, ale mohou být nečitelné nebo je digitální forma snáze vnímatelná:
- -

Vzorce s dvojitým úhlem:
Získávají se na základě sčítacích vzorců, například: kosinus dvojitého úhlu je cos 2a = cos (a + a) - připomíná vám to něco? Jen nahradili bettu alfou.
- -
Dva následující vzorce jsou odvozeny z první substituce sin^2(a) = 1 - cos^2(a) a cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinus dvojitého úhlu je jednodušší a používá se mnohem častěji:
- -
A speciální zvrhlíci mohou odvodit tangens a kotangens dvojitého úhlu, vzhledem k tomu, že tan a = sin a / cos a atd.
-
-

Pro výše uvedené osoby Vzorce s trojitým úhlem: jsou odvozeny sečtením úhlů 2a a a, protože již známe vzorce pro dvojité úhly.
-
-

Vzorce polovičního úhlu:
- -
Nevím, jak jsou odvozeny, nebo přesněji, jak to vysvětlit... Pokud tyto vzorce napíšete a dosadíte hlavní trigonometrickou identitu za a/2, odpověď se sblíží.

Vzorce pro sčítání a odčítání goniometrických funkcí:
-
-
Získávají se z adičních vzorců, ale nikoho to nezajímá. Nestávají se často.

Jak jste pochopili, stále existuje hromada vzorců, jejichž vyjmenování je prostě zbytečné, protože o nich nebudu schopen napsat něco adekvátního a suché vzorce lze najít kdekoli a je to hra s předchozími existujícími vzorci. Všechno je strašně logické a přesné. Řeknu ti to na závěr o metodě pomocného úhlu:
Převedení výrazu a cosx + b sinx do tvaru Acos(x+) nebo Asin(x+) se nazývá metoda zavedení pomocného úhlu (nebo doplňkového argumentu). Metoda se používá při řešení goniometrických rovnic, při odhadu hodnot funkcí, v extrémních úlohách a je důležité si uvědomit, že některé úlohy nelze vyřešit bez zavedení pomocného úhlu.
Bez ohledu na to, jak jste se pokusili vysvětlit tuto metodu, nic z toho nepřišlo, takže to budete muset udělat sami:
-
-
Děsivá věc, ale užitečná. Pokud problémy vyřešíte, mělo by to vyjít.
Odtud například: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Dále jsou v kurzu grafy goniometrických funkcí. Ale na jednu lekci to stačí. Vzhledem k tomu, že ve škole se to učí šest měsíců.

Pište své otázky, řešte problémy, požádejte o skeny některých úkolů, zjistěte to, zkuste to.
Vždy tvůj, Dane Faradayi.

V této lekci si povíme, jak vzniká potřeba zavádět goniometrické funkce a proč jsou studovány, čemu v tomto tématu musíte porozumět a kde se v tom musíte jen zdokonalit (co je to technika). Všimněte si, že technika a porozumění jsou dvě různé věci. Souhlas, je rozdíl: naučit se jezdit na kole, to znamená pochopit, jak to udělat, nebo se stát profesionálním cyklistou. Budeme mluvit konkrétně o porozumění, o tom, proč jsou goniometrické funkce potřeba.

Existují čtyři goniometrické funkce, ale všechny lze vyjádřit jednou pomocí identit (rovností, které je spojují).

Formální definice goniometrických funkcí pro ostré úhly v pravoúhlých trojúhelníkech (obr. 1).

Sinus ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku se nazývá poměr opačnou nohu do přepony.

Kosinus Ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku je poměr přilehlé nohy k přeponě.

Tečna Ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku je poměr protilehlé strany k sousední straně.

Kotangens Ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku je poměr přilehlé strany k protilehlé straně.

Rýže. 1. Určení goniometrických funkcí ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku

Tyto definice jsou formální. Správnější je říci, že existuje pouze jedna funkce, například sinus. Pokud by nebyly tak potřebné (ne tak často používané) v technice, nezavedlo by se tolik různých goniometrických funkcí.

Například kosinus úhlu se rovná sinu stejného úhlu s přidáním (). Navíc, kosinus úhlu může být vždy vyjádřen přes sinus stejného úhlu až po znaménko pomocí základní goniometrické identity (). Tangenta úhlu je poměr sinusu ke kosinu nebo převráceného kotangensu (obr. 2). Někteří nepoužívají kotangens vůbec a nahrazují ho . Proto je důležité porozumět jedné goniometrické funkci a umět s ní pracovat.

Rýže. 2. Vztah mezi různými goniometrickými funkcemi

Ale proč byly takové funkce vůbec potřeba? Jaké praktické problémy se používají k řešení? Podívejme se na pár příkladů.

Dva lidé ( A A V) vytlačte auto z louže (obr. 3). Člověk V může tlačit auto do strany, i když je nepravděpodobné, že to pomůže A. Na druhou stranu se směr jeho snažení může postupně posouvat (obr. 4).

Rýže. 3. V tlačí auto do strany

Rýže. 4. V začíná měnit směr svého snažení

Je jasné, že jejich úsilí bude nejúčinnější, když budou tlačit auto jedním směrem (obr. 5).

Rýže. 5. Nejúčinnější společný směr úsilí

Jak moc V pomáhá tlačit stroj do té míry, že směr jeho síly je blízký směru síly, kterou působí A, je funkcí úhlu a vyjadřuje se jeho kosinusem (obr. 6).

Rýže. 6. Kosinus jako charakteristika efektivity úsilí V

Vynásobíme-li velikost síly, kterou V, kosinusem úhlu získáme průmět jeho síly do směru síly, kterou působí A. Čím blíže je úhel mezi směry sil, tím efektivnější bude výsledek společných akcí. A A V(obr. 7). Pokud tlačí vůz stejnou silou v opačných směrech, vůz zůstane na místě (obr. 8).

Rýže. 7. Efektivita společného úsilí A A V

Rýže. 8. Opačný směr sil A A V

Je důležité pochopit, proč můžeme nahradit úhel (jeho příspěvek ke konečnému výsledku) kosinusem (nebo jinou trigonometrickou funkcí úhlu). Ve skutečnosti to vyplývá z této vlastnosti podobných trojúhelníků. Protože ve skutečnosti říkáme následující: úhel lze nahradit poměrem dvou čísel (strana-hypotenza nebo strana-strana). To by bylo nemožné, pokud by například pro stejný úhel různých pravoúhlých trojúhelníků byly tyto poměry různé (obr. 9).

Rýže. 9. Stejné poměry stran v podobných trojúhelníkech

Například, pokud by poměr a poměr byly různé, pak bychom nemohli zavést funkci tangens, protože pro stejný úhel v různých pravoúhlých trojúhelníkech by byla tangens různá. Ale vzhledem k tomu, že poměry délek nohou podobných pravoúhlých trojúhelníků jsou stejné, hodnota funkce nebude záviset na trojúhelníku, což znamená, že ostrý úhel a hodnoty jeho goniometrických funkcí jsou jedna ku jedné.

Předpokládejme, že známe výšku určitého stromu (obr. 10). Jak změřit výšku blízké budovy?

Rýže. 10. Ilustrace stavu příkladu 2

Najdeme takový bod, že čára vedená tímto bodem a vrcholem domu bude procházet vrcholem stromu (obr. 11).

Rýže. 11. Ilustrace řešení úlohy z příkladu 2

Můžeme změřit vzdálenost od tohoto bodu ke stromu, vzdálenost od něj k domu a známe výšku stromu. Z poměru zjistíte výšku domu: .

Proporce je rovnost poměru dvou čísel. V tomto případě jde o rovnost poměru délek nohou podobných pravoúhlých trojúhelníků. Navíc se tyto poměry rovnají určité míře úhlu, která je vyjádřena pomocí goniometrické funkce (podle definice se jedná o tečnu). Zjistíme, že pro každý ostrý úhel je hodnota jeho goniometrické funkce jedinečná. To znamená, že sinus, kosinus, tangens, kotangens jsou skutečně funkce, protože každý ostrý úhel odpovídá právě jedné hodnotě každé z nich. Následně je lze dále zkoumat a využívat jejich vlastnosti. Hodnoty goniometrických funkcí pro všechny úhly již byly vypočteny a lze je použít (lze je zjistit z Bradisových tabulek nebo pomocí libovolného inženýrského kalkulátoru). Nemůžeme však vždy vyřešit inverzní problém (například pomocí hodnoty sinusu obnovit míru úhlu, který mu odpovídá).

Nechť je sinus nějakého úhlu roven nebo přibližně (obr. 12). Jaký úhel bude odpovídat této sinusové hodnotě? Samozřejmě můžeme opět použít Bradisovu tabulku a najít nějakou hodnotu, ale ukazuje se, že nebude jediná (obr. 13).

Rýže. 12. Hledání úhlu hodnotou jeho sinusu

Rýže. 13. Polysémie inverzních goniometrických funkcí

Následně při rekonstrukci hodnoty goniometrické funkce úhlu vzniká vícehodnotová povaha inverzních goniometrických funkcí. Může se to zdát obtížné, ale ve skutečnosti se s podobnými situacemi setkáváme každý den.

Pokud zacloníte okna a nevíte, jestli je venku světlo nebo tma, nebo se ocitnete v jeskyni, tak když se probudíte, těžko říct, jestli je jedna hodina odpoledne, v noci, popř. následující den (obr. 14). Ve skutečnosti, když se nás zeptáte „Kolik je hodin?“, musíme upřímně odpovědět: „Hodina plus násobeno kde“

Rýže. 14. Ilustrace polysémie na příkladu hodin

Můžeme usoudit, že se jedná o periodu (interval, po kterém budou hodiny ukazovat stejný čas jako nyní). Goniometrické funkce mají také periody: sinus, kosinus atd. To znamená, že jejich hodnoty se po nějaké změně v argumentu opakují.

Pokud by na planetě nedocházelo ke změně dne a noci nebo ročních období, pak bychom nemohli používat periodický čas. Roky přece jen počítáme vzestupně, ale dny mají hodiny a každý nový den začíná počítání nanovo. Stejná situace je s měsíci: pokud je teď leden, tak za pár měsíců zase přijde leden atd. Vnější referenční body nám pomáhají využívat periodické počítání času (hodin, měsíců), například rotace Země kolem své osy a změny polohy Slunce a Měsíce na obloze. Pokud by Slunce vždy viselo ve stejné poloze, pak bychom pro výpočet času počítali počet sekund (minut) od okamžiku, kdy tento výpočet začal. Datum a čas by pak mohly znít takto: miliarda sekund.

Závěr: z hlediska polysémie inverzních funkcí nejsou žádné potíže. Ve skutečnosti mohou existovat možnosti, když pro stejný sinus existují různé významyúhel (obr. 15).

Rýže. 15. Obnovení úhlu z hodnoty jeho sinusu

Obvykle při řešení praktických problémů pracujeme vždy ve standardním rozsahu od do . V tomto rozsahu pro každou hodnotu goniometrické funkce existují pouze dvě odpovídající hodnoty úhlové míry.

Uvažujme pohyblivý pás a kyvadlo v podobě kbelíku s otvorem, ze kterého se vylévá písek. Kyvadlo se houpe, páska se pohybuje (obr. 16). V důsledku toho písek zanechá stopu ve formě grafu funkce sinus (nebo kosinus), která se nazývá sinusovka.

Ve skutečnosti se grafy sinusových a kosinusových se od sebe liší pouze referenčním bodem (pokud jeden z nich nakreslíte a poté vymažete souřadnicové osy, nebudete schopni určit, který graf byl nakreslen). Proto nemá smysl nazývat kosinusový graf grafem (proč vymýšlet samostatný název pro stejný graf)?

Rýže. 16. Ilustrace problémového prohlášení v příkladu 4

Graf funkce vám také může pomoci pochopit, proč budou mít inverzní funkce mnoho hodnot. Pokud je hodnota sinus pevná, tzn. nakreslete přímku rovnoběžnou s osou úsečky, pak v průsečíku dostaneme všechny body, ve kterých je sinus úhlu roven danému. Je jasné, že takových bodů bude nekonečně mnoho. Stejně jako v příkladu s hodinami, kde se hodnota času lišila o , pouze zde se bude hodnota úhlu lišit o hodnotu (obr. 17).

Rýže. 17. Ilustrace polysémie pro sinus

Pokud vezmeme v úvahu příklad hodin, pak se bod (konec ve směru hodinových ručiček) pohybuje po kružnici. Goniometrické funkce lze definovat stejným způsobem – neuvažujte úhly v pravoúhlém trojúhelníku, ale úhel mezi poloměrem kružnice a kladným směrem osy. Počet kružnic, které bod urazí (dohodli jsme se, že budeme počítat pohyb ve směru hodinových ručiček se znaménkem mínus a proti směru hodinových ručiček se znaménkem plus), to je tečka (obr. 18).

Rýže. 18. Hodnota sinusu na kružnici

Tak, inverzní funkce je jednoznačně určen na určitém intervalu. Pro tento interval můžeme vypočítat jeho hodnoty a zbytek získat z nalezených hodnot přičtením a odečtením periody funkce.

Podívejme se na další příklad období. Auto se pohybuje po silnici. Představme si, že její kolo vjelo do barvy nebo do louže. Občas mohou být vidět stopy od barvy nebo louže na vozovce (obrázek 19).

Rýže. 19. Dobová ilustrace

Goniometrické vzorce PROTI školní kurz poměrně hodně, ale vesměs si stačí zapamatovat jen jeden (obr. 20).

Rýže. 20. Goniometrické vzorce

Vzorec dvojitého úhlu lze také snadno odvodit ze sinu součtu dosazením (podobně jako u kosinusu). Můžete také odvodit vzorce produktu.

Ve skutečnosti si musíte pamatovat velmi málo, protože při řešení problémů si tyto vzorce budou pamatovat samy. Samozřejmě, že někdo bude líný hodně rozhodovat, ale pak nebude potřebovat tuto techniku, potažmo samotné vzorce.

A protože vzorce nejsou potřeba, není třeba se je učit nazpaměť. Musíte jen pochopit myšlenku, že goniometrické funkce jsou funkce, které se používají k výpočtu například mostů. Bez jejich použití a výpočtu se neobejde téměř žádný mechanismus.

1. Často vyvstává otázka, zda mohou být vodiče absolutně rovnoběžné se zemí. Odpověď: ne, nemohou, protože jedna síla působí směrem dolů a ostatní působí paralelně - nikdy se nevyrovnají (obr. 21).

2. Labuť, rak a štika táhnou vozík ve stejné rovině. Jedním směrem letí labuť, druhým rak a třetím štika (obr. 22). Jejich síly mohou být vyváženy. Toto vyvážení lze vypočítat pomocí goniometrických funkcí.