Pohyb tělesa po nakloněné rovině je klasickým příkladem pohybu tělesa působením několika nesměrových sil. Standardní metodou řešení úloh tohoto druhu pohybu je rozšíření vektorů všech sil do složek směřujících podél souřadnicových os. Takové složky jsou lineárně nezávislé. To nám umožňuje napsat druhý Newtonův zákon pro komponenty podél každé osy zvlášť. Tedy druhý Newtonův zákon, který je vektorová rovnice, se změní na systém dvou (pro trojrozměrný případ tří) algebraických rovnic.

Síly působící na blok jsou
případ zrychleného pohybu dolů

Uvažujme těleso, které klouže po nakloněné rovině. V tomto případě na něj působí následující síly:

• Gravitace m G , směřující svisle dolů;
• Pozemní reakční síla N , směřující kolmo k rovině;
• Kluzná třecí síla F tr, směřující opačně k rychlosti (nahoru po nakloněné rovině, když tělo klouže)

Při řešení úloh, ve kterých se objevuje nakloněná rovina, je často vhodné zavést nakloněný souřadnicový systém, jehož osa OX směřuje dolů podél roviny. To je výhodné, protože v tomto případě budete muset rozložit pouze jeden vektor na složky - vektor gravitace m G a vektor třecí síly F tr a pozemní reakční síly N již nasměrované podél os. Při této expanzi je x-ová složka gravitace rovna mg hřích( α ) a odpovídá „tažné síle“ zodpovědné za zrychlený pohyb dolů a složka y je mg cos( α ) = N vyrovnává reakční sílu země, protože nedochází k žádnému pohybu těla podél osy OY.
Kluzná třecí síla F tr = µNúměrné síle reakce země. To nám umožňuje získat následující výraz pro třecí sílu: F tr = µmg cos( α ). Tato síla je opačná k „tahové“ složce gravitace. Proto pro tělo klouže dolů , získáme výrazy pro celkovou výslednou sílu a zrychlení:

F x = mg(hřích( α ) – µ cos( α ));
A x = G(hřích( α ) – µ cos( α )).

Není těžké vidět, co kdyby µ < tg(α ), pak má výraz kladné znaménko a jedná se o rovnoměrně zrychlený pohyb po nakloněné rovině. Li µ >tg( α ), pak bude mít zrychlení záporné znaménko a pohyb bude stejně pomalý. Takový pohyb je možný pouze v případě, že tělo dostane počáteční rychlost dolů ze svahu. V tomto případě se tělo postupně zastaví. Pokud je poskytnuta µ >tg( α ) předmět je zpočátku v klidu, nezačne klouzat dolů. Zde bude statická třecí síla zcela kompenzovat „tahovou“ složku gravitace.

Když je koeficient tření přesně roven tečně úhlu sklonu roviny: µ = tg( α ), máme co do činění se vzájemnou kompenzací všech tří sil. V tomto případě podle prvního Newtonova zákona může být těleso buď v klidu, nebo se může pohybovat konstantní rychlostí (v tomto případě je rovnoměrný pohyb možný pouze směrem dolů).

Síly působící na blok jsou
klouzání po nakloněné rovině:
případ zpomaleného pohybu nahoru

Tělo však dokáže vyjet i po nakloněné rovině. Příkladem takového pohybu je pohyb hokejového puku po ledové skluzavce. Když se těleso pohybuje nahoru, jak třecí síla, tak „tahová“ složka gravitace směřují dolů podél nakloněné roviny. V tomto případě máme vždy co do činění s rovnoměrně zpomaleným pohybem, protože celková síla směřuje opačným směrem než je rychlost. Výraz pro zrychlení pro tuto situaci se získá podobným způsobem a liší se pouze znaménkem. Tak pro těleso klouže po nakloněné rovině , my máme.

Nakloněná rovina je plochý povrch umístěný v určitém úhlu k horizontále. Umožňuje zvedat břemeno menší silou, než kdyby bylo břemeno zvednuto svisle. Na nakloněné rovině zatížení stoupá podél této roviny. Přitom urazí větší vzdálenost, než kdyby stoupal vertikálně.

Poznámka 1

Navíc, bez ohledu na to, kolikrát dojde k nárůstu síly, vzdálenost, kterou náklad urazí, bude větší.

Obrázek 1. Nakloněná rovina

Je-li výška, do které je třeba břemeno zvednout, je rovna $h$ a zároveň by byla vynaložena síla $F_h$ a délka nakloněné roviny je $l$ a zároveň síla $F_l$ je vynaloženo, pak $l$ souvisí tak s $h $, jak $F_h$ souvisí s $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... Nicméně $F_h$ je váha zatížení ($P$). Proto se obvykle píše takto: $l/h = P/F$, kde $F$ je síla zvedání břemene.

Velikost síly $F$, která musí být aplikována na zátěž o hmotnosti $P$, aby bylo těleso v rovnováze na nakloněné rovině, se rovná $F_1 = P_h/l = Рsin(\mathbf \alpha )$ , jestliže síla $P$ působí rovnoběžně s rovinou nakloněné roviny (obr. 2, a), a $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, je-li aplikována síla $Р$ rovnoběžně se základnou nakloněné roviny (obr. 2, b).

Obrázek 2. Pohyb břemene po nakloněné rovině

a) síla je rovnoběžná s rovinou b) síla je rovnoběžná se základnou

Nakloněná rovina dává výhodu v síle s její pomocí je snazší zvednout náklad do výšky. Čím menší je úhel $\alpha $, tím větší je nárůst síly. Pokud je úhel $\alpha $ menší než úhel tření, pak se břemeno nebude samovolně pohybovat a ke stažení je potřeba síla.

Pokud vezmeme v úvahu třecí síly mezi zatížením a nakloněnou rovinou, pak pro $F_1$ a $F_2$ získáme následující hodnoty: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Znaménko plus označuje pohyb nahoru, znaménko mínus spouštění nákladu. Součinitel užitečná akce nakloněná rovina $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$) , pokud síla $P$ směřuje rovnoběžně s rovinou a $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) , pokud síla $P$ směřuje rovnoběžně se základnou nakloněné roviny.

Nakloněná rovina se řídí „zlatým pravidlem mechaniky“. Čím menší je úhel mezi povrchem a nakloněnou rovinou (t.j. čím je plošší, nestoupá strmě), tím menší síla musí být vynaložena ke zvednutí břemene, ale o to větší vzdálenost bude potřeba překonat.

Při absenci třecích sil je zesílení síly $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. V reálných podmínkách je vlivem působení tření účinnost nakloněné roviny menší než 1, zesílení síly menší než poměr $l/h$.

Příklad 1

Břemeno o hmotnosti 40 kg se zvedne po nakloněné rovině do výšky 10 m za použití síly 200 N (obr. 3). Jaká je délka nakloněné roviny? Ignorujte tření.

$(\mathbf \eta )$ = 1

Když se těleso pohybuje po nakloněné rovině, poměr působící síly k hmotnosti tělesa se rovná poměru délky nakloněné roviny k jeho výšce: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Proto $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\ m$.

Odpověď: Délka nakloněné roviny je 5,1 m

Příklad 2

Dvě tělesa o hmotnosti $m_1$ = 10 g a $m_2$ = 15 g jsou spojena závitem přehozeným přes pevný blok instalovaný na nakloněné rovině (obr. 4). Rovina svírá s horizontem úhel $\alpha $ = 30$()^\circ$. Najděte zrychlení, se kterým se budou tato tělesa pohybovat.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 stupňů

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Nasměrujme osu OX podél nakloněné roviny a osu OY na ni kolmou a promítneme na tyto osy vektory $\(\overrightarrow(P))_1\ a\(\overrightarrow(P))_2$. Jak je vidět z obrázku, výslednice sil působících na každé z těles je rovna rozdílu v průmětech vektorů $\(\overrightarrow(P))_1\ a\(\overrightarrow(P)) _2$ na osu OX:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\left|P_(2x)-P_(1x)\right|=\left|m_2g(sin \alpha \ )-m_1g(sin \alpha \ )\vpravo |=g(sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sin 30()^\circ \ )\cdot \ vlevo|0,015-0,01\vpravo|=0,0245\ H\]\

Odpověď: Zrychlení těles $a_1=2,45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1,63\ m/s^2$

Mezi jednoduché mechanismy patří kromě páky a bloku také nakloněná rovina a její variace: klín a šroub.

NAKLONĚNÁ ROVINA

Nakloněná rovina se používá k většímu pohybu těžkých předmětů vysoká úroveň aniž by je přímo zvedal.
Mezi taková zařízení patří rampy, eskalátory, konvenční schodiště a dopravníky.

Pokud potřebujete zvednout náklad do výšky, je vždy snazší použít mírný zdvih než strmý. Navíc, čím strmější je svah, tím snazší je dokončení této práce. Když čas a vzdálenost nemají žádný význam velký význam, a je důležité zvedat náklad s co nejmenší námahou, nakloněná rovina se ukazuje jako nepostradatelná.

Tyto obrázky mohou pomoci vysvětlit, jak funguje jednoduchý mechanismus NAKLONĚNÉ ROVINY.
Klasické výpočty působení nakloněné roviny a dalších jednoduchých mechanismů patří vynikajícímu starověkému mechanikovi Archimédovi ze Syrakus.

Při stavbě chrámů Egypťané přepravovali, zvedali a instalovali kolosální obelisky a sochy, vážící desítky a stovky tun! To vše bylo možné provést kromě jiných jednoduchých mechanismů i nakloněnou rovinou.

Hlavním zvedacím zařízením Egypťanů byla nakloněná rovina - rampa. Rám rampy, tedy její boky a příčky. Jak pyramida rostla, byla postavena rampa. Po těchto rampách se na saních vláčely kameny. Úhel rampy byl velmi malý - 5 nebo 6 stupňů.

Sloupce starověkého egyptského chrámu v Thébách.

Každý z těchto obrovských sloupů táhli otroci po rampě – nakloněné rovině. Když sloup vlezl do otvoru, otvorem se vyhrabal písek a následně se rozebrala cihlová zeď a odstranil se násep. Tak například šikmá cesta k pyramidě Khafre s výškou zdvihu 46 metrů byla dlouhá asi půl kilometru.

Těleso na nakloněné rovině je drženo silou, jejíž velikost je tolikrát menší než hmotnost tohoto tělesa, kolikrát je délka nakloněné roviny větší než jeho výška.“
Tuto podmínku pro rovnováhu sil na nakloněné rovině formuloval holandský vědec Simon Stevin (1548-1620).

Kreslení dál titulní strana knihy S. Stevina, jimiž svou formulaci potvrzuje.

Nakloněná rovina u vodní elektrárny Krasnojarsk byla využita velmi chytře. Zde je místo plavebních komor lodní komora pohybující se po šikmém nadjezdu. K jeho pohybu je zapotřebí tažná síla 4000 kN.

Proč se horské cesty vinou v mírných hadech?

Klín je typ jednoduchého mechanismu nazývaného nakloněná rovina. Klín se skládá ze dvou nakloněných rovin, jejichž základny jsou v kontaktu. Používá se k získání nárůstu síly, to znamená, že pomocí menší síly působí proti větší síle.

Při štípání dřeva pro usnadnění práce zasuňte do škvíry polena kovový klín a udeřte do něj pažbou sekery.

Ideální zesílení síly dané klínem se rovná poměru jeho délky k jeho tloušťce na tupém konci. Díky vysokému tření je jeho účinnost tak nízká, že na ideálním zisku příliš nezáleží

Dalším typem nakloněné roviny je šroub.
Šroub je nakloněná rovina vinutá kolem osy. Závit šroubu je nakloněná rovina, která je opakovaně obtočena kolem válce.

Díky vysokému tření je jeho účinnost tak nízká, že na ideálním zisku příliš nezáleží. V závislosti na směru stoupání nakloněné roviny může být závit šroubu levotočivý nebo pravotočivý.
Příklady jednoduchých zařízení se šroubovým závitem jsou zvedák, šroub s maticí, mikrometr, svěrák.

Hnutí. Teplo Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

Nakloněná rovina

Nakloněná rovina

Strmé stoupání je obtížnější překonat než mírné. Je snazší srolovat těleso po nakloněné rovině, než jej zvedat svisle. Proč je to tak a o co jednodušší? Zákon sčítání sil nám umožňuje porozumět těmto problémům.

Na Obr. 12 ukazuje vozík na kolečkách, který je držen na nakloněné rovině tahem lana. Kromě tahu působí na vozík ještě dvě síly - hmotnost a reakční síla podpěry, která působí vždy kolmo k povrchu bez ohledu na to, zda je podpěrná plocha vodorovná nebo nakloněná.

Jak již bylo zmíněno, pokud těleso tlačí na podpěru, pak podpěra tlaku odolává nebo, jak se říká, vytváří reakční sílu.

Zajímá nás, do jaké míry je snazší vytáhnout vozík po nakloněné rovině, než jej zvedat svisle.

Rozložme síly tak, aby jedna směřovala podél a druhá kolmo k povrchu, po kterém se těleso pohybuje. Aby těleso spočívalo na nakloněné rovině, musí napínací síla lana vyvažovat pouze podélnou složku. Pokud jde o druhou složku, je vyvážena reakcí podpory.

Najděte napínací sílu lana, která nás zajímá T To lze provést buď geometrickou konstrukcí nebo pomocí trigonometrie. Geometrické konstrukce se skládá z kreslení od konce vektoru hmotnosti P kolmo k rovině.

Na obrázku můžete najít dva podobné trojúhelníky. Poměr délky nakloněné roviny l do výšky h rovný poměru odpovídajících stran v trojúhelníku sil. Tak,

Čím více je nakloněná rovina ( h/l malý), tím snazší je samozřejmě vytáhnout tělo nahoru.

A nyní pro ty, kteří znají trigonometrii: od úhlu mezi příčnou složkou hmotnosti a vektorem hmotnosti rovný úhlu? nakloněná rovina (jsou to úhly se vzájemně kolmými stranami), pak

Takže sjet vozík dolů po nakloněné rovině pod úhlem? v hříchu? krát jednodušší než zvedání vertikálně.

Užitečné zapamatovat si významy goniometrické funkce pro úhly 30, 45 a 60°. Když budeme znát tato čísla pro sinus (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2;*5 sin 60° = sqrt(3)/2), získáme dobrou představu o zisku působící při pohybu po nakloněné rovině.

Ze vzorců je zřejmé, že s úhlem nakloněné roviny 30° bude naše úsilí poloviční: T = P· (1/2). V úhlech 45° a 60° budete muset lano tahat silami rovnými přibližně 0,7 a 0,9 hmotnosti vozíku. Jak vidíte, tak strmé nakloněné roviny věci moc neusnadňují.