Příkladem jsou nerovnosti s kořeny. Iracionální nerovnosti

11.02.2022 | ruská literatura

cíle:

Všeobecné vzdělání: systematizovat, zobecňovat, rozšiřovat znalosti a dovednosti žáků související s aplikací metod řešení nerovnic.
Rozvíjení: rozvíjet u studentů schopnost naslouchat přednášce, stručně ji zapisovat do sešitu.
Vzdělávací: formovat kognitivní motivaci ke studiu matematiky.

Během vyučování

I. Úvodní rozhovor:

Dokončili jsme téma „Řešení iracionálních rovnic“ a dnes se začínáme učit řešit iracionální nerovnice.

Nejprve si připomeňme, jaké typy nerovností můžete řešit a jakými metodami?

Odpovědět: Lineární, čtvercový, racionální, trigonometrický. Lineární řešíme na základě vlastností nerovnic, goniometrické redukujeme na nejjednodušší goniometrické řešené pomocí trigonometrické kružnice a ostatní především metodou intervalů.

Otázka: Na jakém tvrzení je založena metoda intervalů?

Odpovědět: Na větě, která říká, že spojitá funkce, která nezaniká na nějakém intervalu, si na tomto intervalu zachovává své znaménko.

II. Uvažujme iracionální nerovnost jako >

Otázka: Je možné použít intervalovou metodu k jeho vyřešení?

Odpovědět: Ano, od funkce y=- nepřetržitě zapnuto D(y).

Vyřešíme tuto nerovnost intervalová metoda .

Závěr: tuto iracionální nerovnost jsme celkem snadno vyřešili intervalovou metodou, vlastně ji redukovali na řešení iracionální rovnice.

Zkusme touto metodou vyřešit další nerovnost.

3)f(x) nepřetržitě zapnuto D(f)

4) Funkční nuly:

Dlouhé hledání D(f).
Je obtížné vypočítat body přerušení.

Nabízí se otázka: „Existují jiné způsoby, jak tuto nerovnost vyřešit?“.

Očividně existují a nyní je poznáme.

III. Tak, téma dnešní lekce: "Metody řešení iracionálních nerovností."

Lekce bude probíhat formou přednášky, protože učebnice neobsahuje podrobný rozbor všech metod. Naším důležitým úkolem je proto vypracovat podrobné shrnutí této přednášky.

IV. O první metodě řešení iracionálních nerovností jsme již hovořili.

To - intervalová metoda , univerzální metoda pro řešení všech typů nerovností. Ne vždy to ale vede k cíli krátkou a jednoduchou cestou.

proti. Při řešení iracionálních nerovnic můžete použít stejné myšlenky jako při řešení iracionálních rovnic, ale protože jednoduchá verifikace řešení je nemožná (přeci jen řešení nerovnic jsou nejčastěji celočíselné číselné intervaly), je nutné použít ekvivalenci.

Uvádíme schémata řešení hlavních typů iracionálních nerovností metoda ekvivalentních přechodů od jedné nerovnosti k systému nerovností.

2. Podobně je dokázáno, že

Zapišme tato schémata na referenční tabuli. Přemýšlejte o důkazech typu 3 a 4 doma, probereme je v příští lekci.

VI. Pojďme vyřešit nerovnost novým způsobem.

Původní nerovnost je ekvivalentní množině systémů.

VII. A existuje třetí metoda, která často pomáhá řešit složité iracionální nerovnosti. Už jsme o tom mluvili ve vztahu k nerovnostem s modulem. to metoda substituce funkcí (násobná substituce). Dovolte mi připomenout, že podstatou metody náhrady je, že rozdíl v hodnotách monotónních funkcí může být nahrazen rozdílem v hodnotách jejich argumentů.

Zvažte iracionální nerovnost tvaru<,

to je -< 0.

Podle teorie, pokud p(x) se zvyšuje v určitém intervalu, do kterého patří A a b, a A>b, pak nerovnosti p(a) – p(b) > 0 a a-b> 0 jsou ekvivalentní D(p), to je

VIII. Nerovnici řešíme metodou měnících se faktorů.

Tato nerovnost je tedy ekvivalentní systému

Viděli jsme tedy, že použití metody náhrady faktorů ke snížení řešení nerovnosti na metodu intervalů výrazně snižuje množství práce.

IX. Nyní, když jsme probrali tři základní metody řešení rovnic, pojďme na to samostatná práce se samovyšetřením.

Je nutné provést následující čísla (podle učebnice A. M. Mordkoviče): 1790 (a) - řešit_ metodou_ ekvivalentních přechodů,_ 1791 (a) - řešit metodou nahrazování faktorů.. K řešení iracionálních nerovnic, při řešení iracionálních rovnic se navrhuje použít dříve analyzované metody:

změna proměnných;
využití ODZ;
využití vlastností monotónnosti funkcí.

Ukončení studia tématu je testem.

Analýza kontrolní práce ukazuje:

typickými chybami slabých studentů jsou kromě aritmetických a algebraických chybné ekvivalentní přechody do systému nerovnic;
metodu substituce faktorů úspěšně používají pouze silní studenti.

cíle:

Všeobecné vzdělání: systematizovat, zobecňovat, rozšiřovat znalosti a dovednosti žáků související s aplikací metod řešení nerovnic.
Rozvíjení: rozvíjet u studentů schopnost naslouchat přednášce, stručně ji zapisovat do sešitu.
Vzdělávací: formovat kognitivní motivaci ke studiu matematiky.

Během vyučování

I. Úvodní rozhovor:

Dokončili jsme téma „Řešení iracionálních rovnic“ a dnes se začínáme učit řešit iracionální nerovnice.

Nejprve si připomeňme, jaké typy nerovností můžete řešit a jakými metodami?

Otázka: Na jakém tvrzení je založena metoda intervalů?

Odpovědět: Na větě, která říká, že spojitá funkce, která nezaniká na nějakém intervalu, si na tomto intervalu zachovává své znaménko.

II. Uvažujme iracionální nerovnost jako >

Otázka: Je možné použít intervalovou metodu k jeho vyřešení?

Odpovědět: Ano, od funkce y=- nepřetržitě zapnuto D(y).

Vyřešíme tuto nerovnost intervalová metoda .

Závěr: tuto iracionální nerovnost jsme celkem snadno vyřešili intervalovou metodou, vlastně ji redukovali na řešení iracionální rovnice.

Zkusme touto metodou vyřešit další nerovnost.

3)f(x) nepřetržitě zapnuto D(f)

4) Funkční nuly:

Dlouhé hledání D(f).
Je obtížné vypočítat body přerušení.

Nabízí se otázka: „Existují jiné způsoby, jak tuto nerovnost vyřešit?“.

Očividně existují a nyní je poznáme.

III. Tak, téma dnešní lekce: "Metody řešení iracionálních nerovností."

Lekce bude probíhat formou přednášky, protože učebnice neobsahuje podrobný rozbor všech metod. Naším důležitým úkolem je proto vypracovat podrobné shrnutí této přednášky.

IV. O první metodě řešení iracionálních nerovností jsme již hovořili.

To - intervalová metoda , univerzální metoda pro řešení všech typů nerovností. Ne vždy to ale vede k cíli krátkou a jednoduchou cestou.

Uvádíme schémata řešení hlavních typů iracionálních nerovností metoda ekvivalentních přechodů od jedné nerovnosti k systému nerovností.

2. Podobně je dokázáno, že

Zapišme tato schémata na referenční tabuli. Přemýšlejte o důkazech typu 3 a 4 doma, probereme je v příští lekci.

VI. Pojďme vyřešit nerovnost novým způsobem.

Původní nerovnost je ekvivalentní množině systémů.

Zvažte iracionální nerovnost tvaru<,

to je -< 0.

Podle teorie, pokud p(x) se zvyšuje v určitém intervalu, do kterého patří A a b, a A>b, pak nerovnosti p(a) – p(b) > 0 a a-b> 0 jsou ekvivalentní D(p), to je

VIII. Nerovnici řešíme metodou měnících se faktorů.

Tato nerovnost je tedy ekvivalentní systému

Viděli jsme tedy, že použití metody náhrady faktorů ke snížení řešení nerovnosti na metodu intervalů výrazně snižuje množství práce.

IX. Nyní, když jsme probrali tři základní metody řešení rovnic, pojďme na to samostatná práce se samovyšetřením.

změna proměnných;
využití ODZ;
využití vlastností monotónnosti funkcí.

Ukončení studia tématu je testem.

Analýza kontrolní práce ukazuje:

typickými chybami slabých studentů jsou kromě aritmetických a algebraických chybné ekvivalentní přechody do systému nerovnic;
metodu substituce faktorů úspěšně používají pouze silní studenti.

T.D. Ivanova

METODY ŘEŠENÍ IRACIONÁLNÍCH NEROVNOSTÍ

CDO a NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBC 22. 1Y72

Sestavil T.D. Ivanova

Recenzent: Baisheva M.I.– Kandidát pedagogických věd, docent katedry

Matematická analýza Matematická fakulta

Ústav matematiky a informatiky v Jakutsku

státní univerzita

Metody řešení iracionálních nerovností: Metodická příručka

M 34 pro žáky 9.-11. ročníku / komp. Ivanova T.D. od Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): TsDO NIT SRPTL, 2007, - 56 s.

Příručka je určena středoškolským studentům středních škol i studentům vysokých škol jako metodický návod k řešení iracionálních nerovností. Příručka podrobně rozebírá hlavní metody řešení iracionálních nerovnic, uvádí příklady řešení iracionálních nerovnic s parametry a nabízí i příklady pro samostatné řešení. Učitelé mohou příručku využít jako didaktický materiál pro samostatnou práci s přehledovým opakováním tématu „Iracionální nerovnosti“.

Příručka odráží zkušenosti učitele při studiu tématu „Iracionální nerovnosti“ se studenty.

Úkoly jsou převzaty z materiálů přijímacích zkoušek, metodických novin a časopisů, učebnic, jejichž seznam je uveden na konci příručky

UDC 511 (O75.3)

BBC 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, spol., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Předmluva 5

Úvod 6

Oddíl I. Příklady řešení nejjednodušších iracionálních nerovnic 7

Oddíl II.Nerovnosti tvaru
>g(x), g(x), g(x) 9

Oddíl III. Nerovnosti formy
;
;

;
13

Oddíl IV. Nerovnice obsahující několik sudých kořenů 16

Oddíl V. Substituční metoda (zavedení nové proměnné) 20

Oddíl VI. Nerovnice tvaru f(x)
0; f(x)0;

Oddíl VII. Nerovnosti formy
25

Oddíl VIII. Použití radikálních transformací

v iracionálních nerovnostech 26

Oddíl IX. Grafické řešení iracionálních nerovnic 27

Část X. Nerovnosti smíšený typ 31

Oddíl XI. Použití vlastnosti monotonie funkce 41

Oddíl XII. Způsob nahrazení funkce 43

Oddíl XIII. Příklady přímého řešení nerovností

intervalová metoda 45

Oddíl XIV. Příklady řešení iracionálních nerovnic s parametry 46

Literatura 56

POSOUZENÍ

Tato příručka je určena pro žáky 10.–11. ročníku. Jak ukazuje praxe, školáci, žadatelé mají zvláštní potíže při řešení iracionálních nerovností. Je to dáno tím, že ve školní matematice je tento oddíl posuzován nedostatečně, různé metody řešení takových nerovností nejsou obšírněji uvažovány. Také učitelé školy pociťují nedostatek metodické literatury, což se projevuje omezeným množstvím problémového materiálu s naznačením různých přístupů, způsobů řešení.

Manuál uvažuje o metodách řešení iracionálních nerovností. Ivanova T.D. na začátku každé části seznamuje studenty s hlavní myšlenkou metody, poté jsou ukázány příklady s vysvětlením a jsou navrženy úkoly k samostatnému řešení.

Překladač používá ty „nejúžasnější“ metody řešení iracionálních nerovností, ke kterým dochází při vstupu na vysoké školy se zvýšenými požadavky na znalosti studentů.

Studenti, kteří si přečtou tuto příručku, mohou získat neocenitelné zkušenosti a dovednosti při řešení složitých iracionálních nerovností. Věřím, že tato příručka bude užitečná i učitelům matematiky ve specializovaných třídách a také tvůrcům volitelných předmětů.

Kandidát pedagogických věd, docent, Katedra matematické analýzy, Matematická fakulta, Ústav matematiky a informatiky, Yakut State University

Baisheva M.I.

ÚVODNÍ SLOVO

Příručka je určena středoškolským studentům středních škol i studentům vysokých škol jako metodický návod k řešení iracionálních nerovností. Příručka podrobně rozebírá hlavní metody řešení iracionálních nerovnic, uvádí vzorové vzory řešení iracionálních nerovnic, uvádí příklady řešení iracionálních nerovnic s parametry a nabízí i příklady pro samostatné řešení, na některé jsou uvedeny krátké odpovědi a návody.

Při rozboru příkladů, samostatném řešení nerovnic se předpokládá, že student je schopen řešit lineární, čtvercové a jiné nerovnice, vlastní různé metody řešení nerovnic, zejména metodu intervalů. Nerovnici se navrhuje řešit několika způsoby.

Učitelé mohou příručku využít jako didaktický materiál pro samostatnou práci s přehledovým opakováním tématu „Iracionální nerovnosti“.

Příručka odráží zkušenosti učitele při studiu tématu „Iracionální nerovnosti“ se studenty.

Úlohy jsou vybírány z materiálů přijímacích zkoušek na vysoké školy, metodických novin a matematických časopisů „První září“, „Matematika ve škole“, „Kvantovka“, učebnic, jejichž seznam je uveden na konci návodu .

ÚVOD

Iracionální jsou nerovnosti, ve kterých proměnné nebo funkce proměnné vstupují pod kořenové znaménko.

Hlavní standardní metodou pro řešení iracionálních nerovností je postupně zvýšit obě části nerovnosti na mocninu, abychom se zbavili kořene. Tato operace však často vede ke vzniku vnějších kořenů nebo dokonce ke ztrátě kořenů, tzn. vede k nerovnosti, která není ekvivalentní té původní. Proto je nutné pečlivě sledovat ekvivalenci transformací a uvažovat pouze ty hodnoty proměnné, pro které má nerovnost smysl:

je-li odmocnina sudého stupně, pak radikální výraz musí být nezáporný a hodnota odmocniny musí být také nezáporné číslo.

je-li kořenem stupně liché číslo, pak radikální výraz může nabývat libovolného reálného čísla a znaménko kořene se shoduje se znaménkem radikálního výrazu.

je možné zvýšit obě části nerovnosti na sudou mocninu pouze poté, co se nejprve ujistíte, že jsou nezáporné;

zvýšení obou stran nerovnosti na stejnou lichou mocninu je vždy ekvivalentní transformace.

Kapitolajá. Příklady řešení nejjednodušších iracionálních nerovnic

Příklady 1- 6:

Řešení:

1. a)
.

b)
.

2. a)

3. a)
.

b)
.

4. a)

5. a)
.

6. a)
.

b)
.

8. a)
.

9. a)
.

11.

12. Najděte nejmenší kladné celé číslo x, které vyhovuje nerovnosti

13. a) Najděte střed intervalu řešení nerovnice

b) Najděte aritmetický průměr všech celočíselných hodnot x, pro které má nerovnost řešení 4

14. Najděte nejmenší záporné řešení nerovnice

15. a)
;

Oddíl II. Nerovnice tvaru >g(x), g(x),g(x)

Obdobně jako při řešení příkladů 1-4 argumentujeme při řešení nerovnic naznačeného typu.

Příklad 7 : Vyřešte nerovnost
> X + 1

Řešení: Nerovnosti OHS: X-3. Pro pravou stranu existují dva možné případy:

A) X+ 10 (pravá strana je nezáporná) nebo b) X + 1

Zvažte a) Pokud X+10, tzn. X- 1, pak jsou obě části nerovnice nezáporné. Uveďme čtverec na obě strany: X + 3 >X+ 2X+ 1. Dostaneme kvadratickou nerovnost X+ X – 2 X x - 1, dostaneme -1

Zvažte b) Jestliže X+1 x x -3

Kombinace řešení případu a) -1 a b) X-3, napište odpověď: X
.

Je vhodné zapsat všechny argumenty při řešení příkladu 7 takto:

Původní nerovnost je ekvivalentní množině soustav nerovnic
.

Odpovědět: .

Úvahy při řešení nerovností tvaru

1.> G(X); 2. G(X); 3. G(X); 4. G(X) lze stručně zapsat jako následující diagramy:

já > G(X)

2. G(X)

3. G(X)

4. G(X)
.

Příklad 8 :
X.

Řešení: Původní nerovnost je ekvivalentní systému

x>0

Odpovědět: X
.

Úkoly pro samostatné řešení:

b)
.

20. a)
X

21. a)

Zavolá se jakákoliv nerovnost, která obsahuje funkci pod kořenem iracionální. Existují dva typy takových nerovností:

V prvním případě je kořen menší než funkce g (x), ve druhém - více. Pokud g(x) - konstantní, nerovnost se dramaticky zjednoduší. Upozorňujeme, že navenek jsou tyto nerovnosti velmi podobné, ale jejich schémata řešení se zásadně liší.

Dnes se naučíme, jak řešit iracionální nerovnosti prvního typu – jsou nejjednodušší a nejsrozumitelnější. Znak nerovnosti může být přísný nebo nepřísný. Platí pro ně následující tvrzení:

Teorém. Jakákoli iracionální nerovnost tvaru

Ekvivalent systému nerovností:

Není slabý? Podívejme se, odkud takový systém pochází:

f (x) ≤ g 2 (x) - zde je vše jasné. Toto je původní nerovnost na druhou;
f(x) ≥ 0 je ODZ kořene. Dovolte mi připomenout: aritmetická druhá odmocnina existuje pouze z nezápornéčísla;
g(x) ≥ 0 je rozsah odmocniny. Umocněním nerovnosti spálíme zápory. V důsledku toho se mohou objevit další kořeny. Nerovnice g (x) ≥ 0 je odřízne.

Mnoho studentů "jede v cyklech" na první nerovnosti systému: f (x) ≤ g 2 (x) - a úplně zapomenou na další dvě. Výsledek je předvídatelný: špatné rozhodnutí, ztracené body.

Protože iracionální nerovnosti jsou poměrně komplikované téma, rozeberme si 4 příklady najednou. Od elementárních až po opravdu složité. Všechny úkoly jsou převzaty z přijímacích zkoušek Moskevské státní univerzity. M. V. Lomonosov.