Protilehlé strany kvádru jsou rovnoběžné a v kresbě stejné. Rovnoběžník, krychle

V této lekci definujeme kvádr, probereme jeho strukturu a jeho prvky (úhlopříčky kvádru, strany kvádru a jejich vlastnosti). Zvážíme také vlastnosti ploch a úhlopříček rovnoběžníku. Dále vyřešíme typický problém konstrukce řezu v rovnoběžnostěnu.

Téma: Rovnoběžnost přímek a rovin

Lekce: Rovnoběžník. Vlastnosti ploch a úhlopříček kvádru

V této lekci definujeme kvádr, probereme jeho strukturu, vlastnosti a jeho prvky (strany, úhlopříčky).

Kvádr je vytvořen pomocí dvou stejných rovnoběžníků ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1, které jsou v rovnoběžných rovinách. Označení: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nebo AD 1 (obr. 1.).

2. Festival pedagogických myšlenek "Otevřená lekce" ()

1. Geometrie. Ročníky 10-11: učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí (základní a specializované stupně) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, opraveno a rozšířeno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.

Úkoly 10, 11, 12 50

2. Sestrojte řez pravoúhlého rovnoběžnostěnu ABCDA1B1C1D1 rovina procházející body:

a) A, C, B1

b) B1, D1 a střed žebra AA1.

3. Hrana krychle je rovna a. Sestrojte řez krychle s rovinou procházející středy tří hran vycházejících z jednoho vrcholu a vypočítejte jeho obvod a plochu.

4. Jaké tvary lze získat průsečíkem roviny rovnoběžnostěnu?

V geometrii jsou klíčovými pojmy rovina, bod, přímka a úhel. Pomocí těchto pojmů můžete popsat jakýkoli geometrický útvar. Mnohostěny jsou obvykle popsány pomocí jednodušších obrazců, které leží ve stejné rovině, jako je kruh, trojúhelník, čtverec, obdélník atd. V tomto článku se podíváme na to, co je to rovnoběžnostěn, popíšeme si typy rovnoběžnostěnu, jeho vlastnosti, z jakých prvků se skládá a také uvedeme základní vzorce pro výpočet plochy a objemu pro každý typ rovnoběžnostěnu.

Definice

Rovnoběžnostěn v trojrozměrném prostoru je hranol, jehož všechny strany jsou rovnoběžníky. V souladu s tím může mít pouze tři páry rovnoběžníků nebo šest ploch.

Chcete-li si představit rovnoběžnostěn, představte si obyčejnou standardní cihlu. Cihla je dobrým příkladem obdélníkového hranolu, který si dokáže představit i dítě. Mezi další příklady patří vícepodlažní panelové domy, skříně, nádoby na skladování potravin vhodného tvaru atd.

Odrůdy postavy

Existují pouze dva typy rovnoběžnostěnů:

1. Obdélníkový, jehož všechny boční plochy jsou pod úhlem 90° k základně a jsou obdélníky.
2. Šikmé, jejichž boční okraje jsou umístěny v určitém úhlu k základně.

Na jaké prvky lze toto číslo rozdělit?

• Stejně jako v každém jiném geometrickém obrazci se v rovnoběžnostěnu jakékoli 2 plochy se společnou hranou nazývají sousední a ty, které ji nemají, jsou rovnoběžné (na základě vlastnosti rovnoběžníku, který má dvojice rovnoběžných protilehlých stran).
• Vrcholy rovnoběžnostěnu, které neleží na stejné ploše, se nazývají opačné.
• Segment spojující takové vrcholy je úhlopříčka.
• Délky tří hran kvádru, které se setkávají v jednom vrcholu, jsou jeho rozměry (jmenovitě jeho délka, šířka a výška).

Vlastnosti tvaru

1. Staví se vždy symetricky vzhledem ke středu úhlopříčky.
2. Průsečík všech úhlopříček rozděluje každou úhlopříčku na dva stejné segmenty.
3. Protilehlé plochy jsou stejně dlouhé a leží na rovnoběžných liniích.
4. Pokud sečtete druhé mocniny všech rozměrů kvádru, bude výsledná hodnota rovna druhé mocnině délky úhlopříčky.

Výpočtové vzorce

Vzorce pro každý konkrétní případ kvádru se budou lišit.

Pro libovolný rovnoběžnostěn platí, že jeho objem je roven absolutní hodnotě trojitého skalárního součinu vektorů tří stran vycházejících z jednoho vrcholu. Neexistuje však žádný vzorec pro výpočet objemu libovolného rovnoběžnostěnu.

Pro pravoúhlý rovnoběžnostěn platí následující vzorce:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V je objem obrázku;
• Sb - plocha bočního povrchu;
• Sp - celkový povrch;
• a - délka;
• b - šířka;
• c - výška.

Dalším zvláštním případem rovnoběžnostěnu, ve kterém jsou všechny strany čtverce, je krychle. Je-li některá ze stran čtverce označena písmenem a, lze pro plochu a objem tohoto obrázku použít následující vzorce:

• S = 6*a*2;
• V=3*a.

• S - plocha obrázku,
• V je objem obrázku,
• a je délka obličeje postavy.

Posledním typem rovnoběžnostěnu, který zvažujeme, je rovný rovnoběžnostěn. Jaký je rozdíl mezi pravým rovnoběžnostěnem a kvádrem, ptáte se. Faktem je, že základnou pravoúhlého rovnoběžnostěnu může být jakýkoli rovnoběžník, ale základnou rovného rovnoběžnostěnu může být pouze obdélník. Označíme-li obvod podstavy, rovný součtu délek všech stran, jako Po a výšku označíme písmenem h, máme právo použít následující vzorce pro výpočet objemu a ploch celk. a boční plochy.

Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol s rovnoběžníky na jeho základně. Výška rovnoběžnostěnu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen. Na obrázku je výška znázorněna segmentem . Existují dva typy rovnoběžnostěnů: rovné a šikmé. Učitel matematiky zpravidla nejprve uvede příslušné definice hranolu a poté je přenese na rovnoběžnostěn. Uděláme to samé.

Připomenu, že hranol se nazývá rovný, jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám, není-li kolmost, nazývá se hranol nakloněný. Tato terminologie je také zděděna rovnoběžnostěnem. Pravý rovnoběžnostěn není nic jiného než typ rovného hranolu, jehož boční hrana se shoduje s výškou. Definice takových pojmů jako plocha, hrana a vrchol, které jsou společné pro celou rodinu mnohostěnů, jsou zachovány. Objevuje se koncept protilehlých tváří. Rovnoběžnostěn má 3 páry protilehlých ploch, 8 vrcholů a 12 hran.

Úhlopříčka rovnoběžnostěnu (úhlopříčka hranolu) je segment spojující dva vrcholy mnohostěnu a neležící na žádné z jeho ploch.

Diagonální řez - řez rovnoběžnostěnem procházející jeho úhlopříčkou a úhlopříčkou jeho základny.

Vlastnosti šikmého rovnoběžnostěnu:
1) Všechny jeho plochy jsou rovnoběžníky a protilehlé plochy jsou stejné rovnoběžníky.
2)Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se v jednom bodě protínají a v tomto bodě půlí.
3)Každý rovnoběžnostěn se skládá ze šesti trojúhelníkových jehlanů stejného objemu. Aby je ukázal studentovi, učitel matematiky musí odříznout polovinu rovnoběžnostěnu s jeho diagonálním řezem a rozdělit jej samostatně na 3 pyramidy. Jejich základny musí ležet na různých stranách původního hranolu. Tuto vlastnost najde učitel matematiky v analytické geometrii. Používá se k odvození objemu pyramidy prostřednictvím smíšeného součinu vektorů.

Vzorce pro objem kvádru:
1) , kde je plocha základny, h je výška.
2) Objem kvádru se rovná součinu plochy průřezu a boční hrany.
Učitel matematiky: Jak víte, vzorec je společný pro všechny hranoly a pokud to lektor již dokázal, nemá smysl opakovat totéž pro rovnoběžnostěn. Při práci se žákem průměrné úrovně (vzorec není užitečný pro slabého žáka) je však vhodné, aby učitel jednal přesně naopak. Ponechte hranol na pokoji a proveďte pečlivý důkaz pro hranol.
3) , kde je objem jednoho ze šesti trojúhelníkových jehlanů, které tvoří rovnoběžnostěn.
4) Pokud , tak

Plocha bočního povrchu rovnoběžnostěnu je součtem ploch všech jeho ploch:
Celková plocha kvádru je součtem ploch všech jeho ploch, tedy plocha + dvě plochy podstavy: .

O práci tutora s nakloněným rovnoběžnostěnem:
Lektoři matematiky často nepracují na problémech týkajících se nakloněných rovnoběžnostěnů. Pravděpodobnost, že se objeví na Jednotné státní zkoušce, je poměrně nízká a didaktika je neslušně špatná. Víceméně slušný problém na objemu nakloněného rovnoběžnostěnu vyvolává vážné problémy spojené s určením polohy bodu H - základny jeho výšky. V tomto případě lze učiteli matematiky doporučit, aby kvádr přeřízl na jednu z jeho šesti pyramid (o kterých je řeč ve vlastnosti č. 3), pokusil se najít jeho objem a vynásobit ho 6.

Pokud má boční hrana rovnoběžnostěnu stejné úhly se stranami podstavy, pak H leží na ose úhlu A podstavy ABCD. A pokud je například ABCD kosočtverec, pak

Úkoly učitele matematiky:
1) Čela rovnoběžnostěnu jsou si rovny se stranou 2 cm a ostrým úhlem. Najděte objem rovnoběžnostěnu.
2) U šikmého hranolu je boční hrana 5 cm. K ní kolmý řez je čtyřúhelník se vzájemně kolmými úhlopříčkami o délce 6 cm a 8 cm. Vypočítejte objem kvádru.
3) V nakloněném rovnoběžnostěnu je známo, že , a v ABCD je základna kosočtverec se stranou 2 cm a úhlem . Určete objem rovnoběžnostěnu.

Učitel matematiky, Alexander Kolpakov

Definice

Mnohostěn budeme nazývat uzavřenou plochu složenou z mnohoúhelníků a ohraničující určitou část prostoru.

Segmenty, které jsou stranami těchto polygonů, se nazývají žebra polyhedron a samotné polygony jsou okraje. Vrcholy mnohoúhelníků se nazývají vrcholy mnohostěnů.

Budeme uvažovat pouze konvexní mnohostěny (jedná se o mnohostěn, který se nachází na jedné straně každé roviny obsahující jeho plochu).

Mnohoúhelníky tvořící mnohostěn tvoří jeho povrch. Část prostoru, která je ohraničena daným mnohostěnem, se nazývá jeho vnitřek.

Definice: hranol

Uvažujme dva stejné polygony \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) umístěné v rovnoběžných rovinách tak, aby segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelní. Mnohostěn tvořený mnohoúhelníky \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) a také rovnoběžníky \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se nazývá (\(n\)-gonal) hranol.

Polygony \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) se nazývají podstavy hranolů, rovnoběžníky \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– boční plochy, segmenty \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- boční žebra.
Boční okraje hranolu jsou tedy rovnoběžné a navzájem si rovné.

Podívejme se na příklad – hranol \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), na jehož základně leží konvexní pětiúhelník.

Výška hranoly jsou kolmice svržené z libovolného bodu jedné základny do roviny jiné základny.

Pokud boční hrany nejsou kolmé k základně, pak se takový hranol nazývá nakloněný(obr. 1), jinak – rovný. V přímém hranolu jsou boční hrany ve výšce a boční plochy jsou stejné obdélníky.

Leží-li pravidelný mnohoúhelník na základně přímého hranolu, pak se hranol nazývá opravit.

Definice: pojem objemu

Jednotkou měření objemu je jednotková krychle (krychle měřící \(1\times1\times1\) jednotek\(^3\), kde jednotka je určitá měrná jednotka).

Můžeme říci, že objem mnohostěnu je množství prostoru, které tento mnohostěn omezuje. Jinak: jedná se o veličinu, jejíž číselná hodnota ukazuje, kolikrát se jednotková krychle a její části vejdou do daného mnohostěnu.

Objem má stejné vlastnosti jako plocha:

1. Objemy stejných čísel jsou stejné.

2. Je-li mnohostěn složen z několika neprotínajících se mnohostěnů, pak se jeho objem rovná součtu objemů těchto mnohostěnů.

3. Objem je nezáporná veličina.

4. Objem se měří v cm\(^3\) (kubických centimetrech), m\(^3\) (krychlových metrech) atd.

Teorém

1. Plocha bočního povrchu hranolu se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu.
Boční plocha je součtem ploch bočních ploch hranolu.

2. Objem hranolu se rovná součinu základní plochy a výšky hranolu: \

Definice: rovnoběžnostěn

Rovnoběžné je hranol s rovnoběžníkem ve své základně.

Všechny strany rovnoběžnostěnu (existují \(6\) : \(4\) boční plochy a \(2\) základny) jsou rovnoběžníky a protilehlé plochy (vzájemně rovnoběžné) jsou stejné rovnoběžníky (obr. 2) .

Úhlopříčka rovnoběžnostěnu je segment spojující dva vrcholy kvádru, které neleží na stejné ploše (je jich \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) atd.).

Obdélníkový rovnoběžnostěn je pravý rovnoběžnostěn s obdélníkem u základny.
Protože Protože se jedná o pravý rovnoběžnostěn, jsou boční plochy obdélníkové. To znamená, že obecně jsou všechny plochy pravoúhlého rovnoběžnostěnu obdélníky.

Všechny úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou stejné (vyplývá to z rovnosti trojúhelníků \(\trojúhelník ACC_1=\trojúhelník AA_1C=\trojúhelník BDD_1=\trojúhelník BB_1D\) atd.).

Komentář

Rovnoběžnostěn má tedy všechny vlastnosti hranolu.

Teorém

Boční plocha pravoúhlého rovnoběžnostěnu je \

Celková plocha pravoúhlého rovnoběžnostěnu je \

Teorém

Objem kvádru se rovná součinu jeho tří hran vycházejících z jednoho vrcholu (tři rozměry kvádru): \

Důkaz

Protože U pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou boční hrany kolmé k základně, pak jsou to také její výšky, tedy \(h=AA_1=c\) Protože základ je pak obdélník \(S_(\text(hlavní))=AB\cdot AD=ab\). Odtud pochází tento vzorec.

Teorém

Úhlopříčku \(d\) pravoúhlého kvádru se zjistí pomocí vzorce (kde \(a,b,c\) jsou rozměry kvádru) \

Důkaz

Podívejme se na Obr. 3. Protože základna je obdélník, pak \(\triangle ABD\) je obdélníkový, tedy podle Pythagorovy věty \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Protože všechny boční hrany jsou tedy kolmé k základnám \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) kolmá na libovolnou přímku v této rovině, tzn. \(BB_1\perp BD\) . To znamená, že \(\triangle BB_1D\) je obdélníkový. Pak podle Pythagorovy věty \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), tis.

Definice: kostka

Krychle je pravoúhlý rovnoběžnostěn, jehož všechny plochy jsou stejné čtverce.

Tedy, tři rozměry jsou si navzájem rovny: \(a=b=c\) . Platí tedy následující

Věty

1. Objem krychle s hranou \(a\) je roven \(V_(\text(kostka))=a^3\) .

2. Úhlopříčku krychle zjistíme pomocí vzorce \(d=a\sqrt3\) .

3. Celková plocha krychle \(S_(\text(plná krychle))=6a^2\).

V překladu z řečtiny rovnoběžník znamená rovina. Rovnoběžnostěn je hranol s rovnoběžníkem na jeho základně. Existuje pět typů rovnoběžníku: šikmý, přímý a kvádr. K rovnoběžnostěnu patří také krychle a kosočtverec a jsou jeho odrůdou.

Než přejdeme k základním pojmům, uveďme několik definic:

• Úhlopříčka rovnoběžnostěnu je segment, který spojuje vrcholy rovnoběžnostěnu, které jsou proti sobě.
• Pokud mají dvě plochy společnou hranu, můžeme je nazvat sousedními hranami. Pokud neexistuje žádná společná hrana, pak se plochy nazývají opačné.
• Dva vrcholy, které neleží na stejné ploše, se nazývají opačné.

Jaké vlastnosti má rovnoběžnostěn?

1. Čela rovnoběžnostěnu ležícího na opačných stranách jsou vzájemně rovnoběžné a navzájem si rovné.
2. Pokud kreslíte úhlopříčky z jednoho vrcholu do druhého, průsečík těchto úhlopříček je rozdělí na polovinu.
3. Strany rovnoběžnostěnu ležící ve stejném úhlu k základně budou stejné. Jinými slovy, úhly společně nasměrovaných stran budou navzájem stejné.

Jaké typy rovnoběžnostěnů existují?

Nyní pojďme zjistit, jaké druhy rovnoběžnostěnů existují. Jak bylo uvedeno výše, existuje několik typů tohoto obrázku: rovný, obdélníkový, šikmý rovnoběžnostěn, stejně jako krychle a kosočtverec. Jak se od sebe liší? Je to všechno o rovinách, které je tvoří, a úhlech, které svírají.

Podívejme se podrobněji na každý z uvedených typů rovnoběžnostěnů.

• Jak je již z názvu zřejmé, šikmý hranol má šikmé plochy, a to ty plochy, které nesvírají vůči základně úhel 90 stupňů.
• Ale pro pravý rovnoběžnostěn je úhel mezi základnou a okrajem přesně devadesát stupňů. Z tohoto důvodu má tento typ rovnoběžnostěnu takový název.
• Pokud jsou všechny strany rovnoběžnostěnu identické čtverce, pak lze tento obrazec považovat za krychli.
• Obdélníkový rovnoběžnostěn dostal toto jméno kvůli rovinám, které jej tvoří. Pokud jsou všechny obdélníky (včetně základny), pak se jedná o kvádr. Tento typ rovnoběžnostěnu se nevyskytuje příliš často. V překladu z řečtiny znamená rhomboedron tvář nebo základna. Tak se nazývá trojrozměrná postava, jejíž tváře jsou kosočtverce.

Základní vzorce pro rovnoběžnostěn

Objem rovnoběžnostěnu se rovná součinu plochy základny a jeho výšky kolmé k základně.

Plocha boční plochy se bude rovnat součinu obvodu základny a výšky.
Znáte-li základní definice a vzorce, můžete vypočítat základní plochu a objem. Základ lze zvolit dle vlastního uvážení. Jako základ se však zpravidla používá obdélník.