Zvažte jednoduchý příklad:
15:5=3
V tomto příkladu jsme přirozené číslo rozdělili 15 zcela 3, žádný zbytek.

Někdy nelze přirozené číslo úplně rozdělit. Zvažte například problém:
Ve skříni bylo 16 hraček. Ve skupině bylo pět dětí. Každé dítě si vzalo stejný počet hraček. Kolik hraček má každé dítě?

Rozhodnutí:
Vydělte číslo 16 5 sloupcem a dostanete:

Víme, že 16 krát 5 není dělitelné. Nejbližší menší číslo, které je dělitelné 5, je 15 se zbytkem 1. Číslo 15 můžeme napsat jako 5⋅3. V důsledku toho (16 - dividenda, 5 - dělitel, 3 - částečný podíl, 1 - zbytek). Mám vzorec rozdělení se zbytkem což lze udělat ověření řešení.

A= b⋅ C+ d
A - dělitelný
b - dělič,
C - neúplný kvocient,
d - zbytek.

Odpověď: Každé dítě si vezme 3 hračky a jedna hračka mu zůstane.

Zbytek divize

Zbytek musí být vždy menší než dělitel.

Pokud je při dělení zbytek nula, pak je dividenda dělitelná. zcela nebo žádný zbytek na dělitele.

Pokud je při dělení zbytek větší než dělitel, znamená to, že nalezené číslo není největší. Existuje větší číslo, které rozdělí dividendu a zbytek bude menší než dělitel.

Otázky na téma „Dělení se zbytkem“:
Může být zbytek větší než dělitel?
Odpověď: ne.

Může se zbytek rovnat děliteli?
Odpověď: ne.

Jak zjistit dividendu podle neúplného kvocientu, dělitele a zbytku?
Odpověď: dosadíme do vzorce hodnoty neúplného kvocientu, dělitele a zbytku a najdeme dělitel. Vzorec:
a=b⋅c+d

Příklad č. 1:
Proveďte rozdělení se zbytkem a zkontrolujte: a) 258:7 b) 1873:8

Rozhodnutí:
a) Rozdělit do sloupce:

258 - dělitelné,
7 - dělič,
36 - neúplný podíl,
6 - zbytek. Zbytek menší než dělitel 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Rozdělte do sloupce:

1873 - dělitelný,
8 - dělič,
234 - neúplný podíl,
1 je zbytek. Zbytek menší než dělitel 1<8.

Dosaďte ve vzorci a zkontrolujte, zda jsme příklad vyřešili správně:
8⋅234+1=1872+1=1873

Příklad č. 2:
Jaké zbytky získáme při dělení přirozených čísel: a) 3 b) 8?

Odpovědět:
a) Zbytek je menší než dělitel, tedy menší než 3. V našem případě může být zbytek 0, 1 nebo 2.
b) Zbytek je menší než dělitel, tedy menší než 8. V našem případě může být zbytek 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 nebo 7.

Příklad č. 3:
Jaký největší zbytek lze získat dělením přirozených čísel: a) 9 b) 15?

Odpovědět:
a) Zbytek je menší než dělitel, tedy menší než 9. Musíme však uvést největší zbytek. Tedy číslo nejbližší k děliteli. Toto číslo je 8.
b) Zbytek je menší než dělitel, tedy menší než 15. Musíme však uvést největší zbytek. Tedy číslo nejbližší k děliteli. Toto číslo je 14.

Příklad č. 4:
Najděte dividendu: a) a: 6 \u003d 3 (odpoč. 4) b) c: 24 \u003d 4 (odpoč. 11)

Rozhodnutí:
a) Řešte pomocí vzorce:
a=b⋅c+d
(a je dividenda, b je dělitel, c je částečný podíl, d je zbytek.)
a:6=3(zbytek.4)
(a je dělenec, 6 je dělitel, 3 je neúplný podíl, 4 je zbytek.) Dosaďte čísla ve vzorci:
a=6⋅3+4=22
Odpověď: a=22

b) Řešte pomocí vzorce:
a=b⋅c+d
(a je dividenda, b je dělitel, c je částečný podíl, d je zbytek.)
s:24=4(zbytek.11)
(c je dělenec, 24 je dělitel, 4 je neúplný podíl, 11 je zbytek.) Dosaďte čísla ve vzorci:
c=24⋅4+11=107
Odpověď: s=107

Úkol:

Drát 4m. musí být nakrájeny na kousky 13 cm. Kolik těchto kusů bude?

Rozhodnutí:
Nejprve je třeba převést metry na centimetry.
4m = 400 cm.
Můžete rozdělit podle sloupce nebo ve vaší mysli dostaneme:
400:13=30 (zbytek 10)
Pojďme zkontrolovat:
13⋅30+10=390+10=400

Odpověď: Vyjde 30 kusů a zůstane 10 cm drátu.

Znaky dělitelnosti čísel- jde o pravidla, která umožňují bez dělení poměrně rychle zjistit, zda je toto číslo beze zbytku dělitelné danou jedničkou.
Některý z znaky dělitelnosti docela jednoduché, některé složitější. Na této stránce najdete jak znaky dělitelnosti prvočísel, jako je například 2, 3, 5, 7, 11, tak znaky dělitelnosti složených čísel, jako je 6 nebo 12.
Doufám, že vám tyto informace budou užitečné.
Šťastné učení!

Znak dělitelnosti 2

To je jeden z nejjednodušších znaků dělitelnosti. Zní to takto: pokud záznam přirozeného čísla končí sudou číslicí, pak je sudé (děleno beze zbytku 2), a pokud záznam čísla končí číslicí lichou, pak je toto číslo liché.
Jinými slovy, pokud je poslední číslice čísla 2 , 4 , 6 , 8 nebo 0 - číslo je dělitelné 2, pokud ne, pak není dělitelné
Například čísla: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 jsou dělitelné 2, protože jsou sudé.
A čísla: 23 5 , 137 , 2303
nejsou dělitelné 2, protože jsou liché.

Znak dělitelnosti 3

Tento znak dělitelnosti má zcela jiná pravidla: je-li součet číslic čísla dělitelný 3, pak je číslo také dělitelné 3; Pokud součet číslic čísla není dělitelný 3, pak číslo není dělitelné 3.
Takže, abyste pochopili, zda je číslo dělitelné 3, stačí sečíst čísla, která jej tvoří.
Vypadá to takto: 3987 a 141 jsou děleno 3, protože v prvním případě 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - dělitelné beze zbytku 3), a ve druhém 1+4+1= 6 (6:3=2 - také dělitelné 3 beze zbytku).
Ale čísla: 235 a 566 nejsou dělitelná 3, protože 2+3+5= 10 a 5+6+6= 17 (a víme, že ani 10, ani 17 nelze beze zbytku dělit 3).

Dělitelnost 4 znaménkem

Tento test dělitelnosti bude složitější. Pokud poslední 2 číslice čísla tvoří číslo, které je dělitelné 4 nebo je to 00, pak je číslo dělitelné 4, jinak toto číslo není beze zbytku dělitelné 4.
Například: 1 00 a 3 64 jsou dělitelné 4, protože v prvním případě číslo končí na 00 a ve druhém 64 , který je zase dělitelný 4 beze zbytku (64:4=16)
Čísla 3 57 a 8 86 nejsou dělitelné 4, protože ani jedno 57 ani 86 nejsou dělitelné 4, a proto neodpovídají tomuto kritériu dělitelnosti.

Znak dělitelnosti 5

A opět tu máme docela jednoduchý znak dělitelnosti: pokud záznam přirozeného čísla končí číslicí 0 nebo 5, pak je toto číslo dělitelné beze zbytku 5. Pokud záznam čísla končí jinou číslicí, pak je toto číslo dělitelné beze zbytku 5. pak číslo beze zbytku není dělitelné 5.
To znamená, že jakákoli čísla končící číslicemi 0 a 5 , například 1235 5 a 43 0 , spadají pod pravidlo a jsou dělitelné 5.
A například 1549 3 a 56 4 nekončí 5 nebo 0, což znamená, že nemohou být dělitelné 5 beze zbytku.

Znak dělitelnosti 6

Před námi je složené číslo 6, které je součinem čísel 2 a 3. Složené je tedy i znaménko dělitelnosti 6: aby bylo číslo dělitelné 6, musí odpovídat dvěma znaménkům dělitelnosti. zároveň: znaménko dělitelnosti 2 a znaménko dělitelnosti 3. Zároveň si uvědomte, že takové složené číslo jako 4 má individuální znaménko dělitelnosti, protože je samo o sobě součinem čísla 2 . Ale zpět k testu dělitelnosti 6.
Čísla 138 a 474 jsou sudá a odpovídají znaménkům dělitelnosti 3 (1+3+8=12, 12:3=4 a 4+7+4=15, 15:3=5), což znamená, že jsou dělitelné 6. Ale 123 a 447, i když jsou dělitelné 3 (1+2+3=6, 6:3=2 a 4+4+7=15, 15:3=5), ale jsou liché, a proto neodpovídají kritériu dělitelnosti 2, a tudíž neodpovídají kritériu dělitelnosti 6.

Znak dělitelnosti 7

Toto kritérium dělitelnosti je složitější: číslo je dělitelné 7, pokud je výsledek odečtení poslední číslice od počtu desítek tohoto čísla dělitelný 7 nebo roven 0.
Zní to dost zmateně, ale v praxi je to jednoduché. Přesvědčte se sami: číslo 95 9 je dělitelné 7, protože 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je beze zbytku dělitelné 7). Navíc, pokud jsou potíže s číslem získaným během transformací (vzhledem k jeho velikosti je obtížné pochopit, zda je dělitelné 7 nebo ne, pak lze tento postup opakovat tolikrát, kolikrát uznáte za vhodné).
Například, 45 5 a 4580 1 má znaky dělitelnosti 7. V prvním případě je vše docela jednoduché: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Ve druhém případě uděláme toto: 4580 -2*1=4580-2=4578. Je pro nás těžké pochopit, zda 457 8 x 7, takže postup zopakujeme: 457 -2*8=457-16=441. A opět použijeme znaménko dělitelnosti, jelikož před sebou máme ještě trojciferné číslo 44 1. Takže, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, tzn. 42 je dělitelné 7 beze zbytku, což znamená, že 45801 je také dělitelné 7.
A tady jsou čísla 11 1 a 34 5 není dělitelné 7, protože 11 -2*1=11-2=9 (9 není dělitelné 7 rovnoměrně) a 34 -2*5=34-10=24 (24 není rovnoměrně dělitelné 7).

Znak dělitelnosti 8

Znak dělitelnosti 8 zní takto: pokud poslední 3 číslice tvoří číslo, které je dělitelné 8, nebo je 000, pak je dané číslo dělitelné 8.
Čísla 1 000 nebo 1 088 jsou dělitelné 8: první končí na 000 , druhý 88 :8=11 (dělitelné 8 beze zbytku).
A tady jsou čísla 1 100 nebo 4 757 nejsou dělitelné 8, protože čísla 100 a 757 nejsou beze zbytku dělitelné 8.

Znak dělitelnosti 9

Toto znaménko dělitelnosti je podobné znaménku dělitelnosti 3: je-li součet číslic čísla dělitelný 9, pak je číslo také dělitelné 9; Pokud součet číslic čísla není dělitelný 9, pak číslo není dělitelné 9.
Například: 3987 a 144 jsou dělitelné 9, protože v prvním případě 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - dělitelné beze zbytku 9), a ve druhém 1+4+4= 9 (9:9=1 - také dělitelné beze zbytku 9).
Ale čísla: 235 a 141 nejsou dělitelná 9, protože 2+3+5= 10 a 1+4+1= 6 (a víme, že ani 10, ani 6 nelze beze zbytku dělit 9).

Znaky dělitelnosti 10, 100, 1000 a dalšími bitovými jednotkami

Tato kritéria dělitelnosti jsem zkombinoval, protože je lze popsat stejným způsobem: číslo je dělitelné bitovou jednotkou, pokud počet nul na konci čísla je větší nebo roven počtu nul v dané bitové jednotce.
Jinými slovy, například máme čísla jako toto: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . všechny jsou dělitelné 1 0 ; 46400 a 867 000 jsou také dělitelné 1 00 ; a pouze jeden z nich - 867 000 dělitelný 1 000 .
Čísla, která mají na konci méně nul než bitová jednotka, nejsou dělitelná touto bitovou jednotkou, například 600 30 a 7 93 nesdílet 1 00 .

Znak dělitelnosti 11

Abyste zjistili, zda je číslo dělitelné 11, musíte získat rozdíl mezi součty sudých a lichých číslic tohoto čísla. Pokud je tento rozdíl roven 0 nebo je beze zbytku dělitelný 11, pak je samotné číslo dělitelné 11 beze zbytku.
Aby to bylo jasnější, navrhuji zvážit příklady: 2 35 4 je dělitelné 11, protože ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je také dělitelné 11, protože ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
A tady je 1 1 1 nebo 4 35 4 není dělitelné 11, protože v prvním případě dostaneme (1 + 1) - 1 =1 a ve druhém ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Znak dělitelnosti 12

Číslo 12 je složené. Jeho znakem dělitelnosti je shoda se znaky dělitelnosti 3 a 4 zároveň.
Například 300 a 636 odpovídají jak znaménkam dělitelnosti 4 (poslední 2 číslice jsou nuly nebo dělitelné 4), tak znaménkům dělitelnosti 3 (součet číslic a prvního a druhého čísla jsou dělitelné 3 ), a proto jsou beze zbytku dělitelné 12.
Ale 200 nebo 630 nejsou dělitelné 12, protože v prvním případě číslo odpovídá pouze znaménku dělitelnosti 4 a ve druhém - pouze znaménku dělitelnosti 3. Ale ne oběma znaménkům současně.

Znak dělitelnosti 13

Znakem dělitelnosti 13 je, že pokud je počet desítek čísla, přičtený k jednotkám tohoto čísla vynásobeným 4, násobkem 13 nebo roven 0, pak je samotné číslo dělitelné 13.
Vezměte si příklad 70 2. Takže 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 je rovnoměrně dělitelné 13), takže 70 2 je dělitelné 13 beze zbytku. Dalším příkladem je číslo 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Číslo 130 je beze zbytku dělitelné 13, což znamená, že dané číslo odpovídá znaménku dělitelnosti 13.
Když vezmeme čísla 12 5 popř 21 2, pak dostaneme 12 +4*5=32 a 21 +4*2=29 a ani 32 ani 29 nejsou beze zbytku dělitelné 13, což znamená, že daná čísla nejsou beze zbytku dělitelná 13.

Dělitelnost čísel

Jak je patrné z výše uvedeného, ​​lze předpokládat, že kterékoli z přirozených čísel lze spárovat s vlastním individuálním znaménkem dělitelnosti nebo „složeným“ znaménkem, pokud je číslo násobkem několika různých čísel. Ale jak ukazuje praxe, v zásadě čím větší číslo, tím složitější je jeho atribut. Čas strávený kontrolou kritéria dělitelnosti může být stejný nebo delší než samotné dělení. Proto obvykle používáme nejjednodušší z testů dělitelnosti.

V tomto článku budeme analyzovat celočíselné dělení se zbytkem. Začněme obecným principem dělení celých čísel zbytkem, formulujme a dokažme větu o dělitelnosti celých čísel se zbytkem a vysledujme souvislosti mezi dělitelem, dělitelem, parciálním podílem a zbytkem. Dále oznámíme pravidla, podle kterých se provádí dělení celých čísel se zbytkem, a zvážíme aplikaci těchto pravidel při řešení příkladů. Poté se naučíme, jak zkontrolovat výsledek dělení celých čísel zbytkem.

Navigace na stránce.

Obecná představa o dělení celých čísel se zbytkem

Dělení celých čísel zbytkem budeme považovat za zobecnění dělení zbytkem přirozených čísel. To je způsobeno tím, že přirozená čísla jsou součástí celých čísel.

Začněme termíny a notací, které jsou použity v popisu.

Analogicky s dělením přirozených čísel zbytkem předpokládáme, že výsledkem dělení se zbytkem dvou celých čísel aab (b se nerovná nule) jsou dvě celá čísla c a d . Volají se čísla a a b dělitelný a dělič respektive číslo d je zbytek z dělení a b a nazývá se celé číslo c neúplné soukromé(nebo jednoduše soukromý pokud je zbytek nula).

Shodněme se, že zbytek je nezáporné celé číslo a jeho hodnota nepřesahuje b, tedy (s podobnými řetězci nerovnic jsme se setkali, když jsme mluvili o porovnávání tří a více celých čísel).

Je-li číslo c částečným podílem a číslo d je zbytek po dělení celého čísla a celým číslem b, pak tuto skutečnost stručně zapíšeme jako rovnost tvaru a:b=c (zbytkové d) .

Všimněte si, že když je celé číslo a děleno celým číslem b, zbytek může být nula. V tomto případě říkáme, že a je dělitelné b beze stopy(nebo zcela). Dělení celých čísel beze zbytku je tedy speciálním případem dělení celých čísel se zbytkem.

Za zmínku také stojí, že při dělení nuly nějakým celým číslem se vždy zabýváme dělením beze zbytku, protože v tomto případě bude podíl roven nule (viz část o teorii dělení nuly celým číslem) a zbytek bude také roven nule.

Rozhodli jsme se pro terminologii a zápis, nyní pojďme zjistit význam dělení celých čísel se zbytkem.

Dělení záporného celého čísla a kladným celým číslem b může také dávat smysl. Chcete-li to provést, považujte záporné celé číslo za dluh. Představme si takovou situaci. Dluh, který tvoří položky, musí splatit b lidí, kteří přispějí stejným dílem. Absolutní hodnota neúplného kvocientu c v tomto případě určí výši dluhu každého z těchto lidí a zbytek d ukáže, kolik položek zůstane po splacení dluhu. Vezměme si příklad. Řekněme, že 2 lidé dluží 7 jablek. Pokud předpokládáme, že každý z nich dluží 4 jablka, tak po zaplacení dluhu jim zbude 1 jablko. Této situaci odpovídá rovnost (−7):2=−4 (zbývá 1) .

Dělení se zbytkem libovolného celého čísla a záporným celým číslem, nebudeme přikládat žádný význam, ale ponecháme mu právo existovat.

Věta o dělitelnosti pro celá čísla se zbytkem

Když jsme mluvili o dělení přirozených čísel zbytkem, zjistili jsme, že dělenec a, dělitel b, neúplný kvocient c a zbytek d spolu souvisí rovností a=b c+d. Celá čísla a , b , c a d sdílejí stejný vztah. Toto spojení je potvrzeno následujícím věta o dělitelnosti se zbytkem.

Teorém.

Jakékoli celé číslo a může být reprezentováno jedinečným způsobem prostřednictvím celého čísla a nenulového čísla b ve tvaru a=b q+r , kde q a r jsou některá celá čísla a .

Důkaz.

Nejprve dokažme možnost reprezentace a=b·q+r .

Jestliže celá čísla a a b jsou taková, že a je rovnoměrně dělitelné b, pak podle definice existuje celé číslo q takové, že a=b q . V tomto případě platí rovnost a=b q+r pro r=0 .

Nyní budeme předpokládat, že b je kladné celé číslo. Celé číslo q volíme tak, že součin b·q nepřesahuje číslo a a součin b·(q+1) je již větší než a . To znamená, že vezmeme q takové, že nerovnosti b q

Zbývá dokázat možnost reprezentace a=b q+r pro záporné b .

Protože modul čísla b je v tomto případě kladné číslo, pak existuje reprezentace pro , kde q 1 je nějaké celé číslo a r je celé číslo, které splňuje podmínky . Pak, za předpokladu q=−q 1 , získáme požadované zobrazení a=b q+r pro záporné b .

Obracíme se k důkazu jedinečnosti.

Předpokládejme, že kromě zobrazení a=b q+r, q a r jsou celá čísla a existuje další zobrazení a=b q 1 + r 1 , kde q 1 a r 1 jsou některá celá čísla a q 1 ≠ q a .

Po odečtení levé a pravé části první rovnosti, respektive levé a pravé části druhé rovnosti, dostaneme 0=b (q−q 1)+r−r 1 , což je ekvivalent rovnosti r− r 1 =b (q 1 − q) . Pak rovnost formy , a vzhledem k vlastnostem modulu čísla - a rovnosti .

Z podmínek a můžeme usoudit, že . Protože q a q 1 jsou celá čísla a q≠q 1 , pak , odkud dojdeme k závěru, že . Ze získaných nerovností a z toho vyplývá, že rovnost formy za našich předpokladů nemožné. Proto neexistuje žádná jiná reprezentace čísla a , kromě a=b·q+r .

Vztahy mezi dividendou, dělitelem, částečným podílem a zbytkem

Rovnost a=b c+d umožňuje najít neznámý dělenec a, pokud je znám dělitel b, parciální kvocient c a zbytek d. Zvažte příklad.

Příklad.

Čemu se rovná dividenda, jestliže jejím dělením celým číslem −21 vznikne neúplný kvocient 5 a zbytek 12?

Rozhodnutí.

Dělitel a potřebujeme vypočítat, když známe dělitele b=−21 , parciální kvocient c=5 a zbytek d=12 . Přejdeme-li k rovnosti a=b c+d , dostaneme a=(−21) 5+12 . Pozorováním nejprve provedeme násobení celých čísel −21 a 5 podle pravidla o násobení celých čísel s různými znaménky , načež provedeme sčítání celých čísel s různými znaménky : (−21) 5+12=−105+12 =-93.

Odpovědět:

−93 .

Vztahy mezi dělitelem, dělitelem, parciálním kvocientem a zbytkem jsou také vyjádřeny rovností tvaru b=(a−d):c , c=(a−d):ba d=a−b·c . Tyto rovnosti nám umožňují vypočítat dělitele, parciální kvocient a zbytek. Často potřebujeme najít zbytek po dělení celého čísla a celým číslem b, když známe dělitele, dělitele a částečný kvocient, pomocí vzorce d=a−b·c . Abychom se vyhnuli dalším otázkám, rozebereme si příklad výpočtu zbytku.

Příklad.

Najděte zbytek po dělení celého čísla −19 celým číslem 3, pokud je známo, že parciální podíl je −7.

Rozhodnutí.

Pro výpočet zbytku dělení použijeme vzorec ve tvaru d=a−b·c . Z podmínky máme všechny potřebné údaje a=−19 , b=3 , c=−7 . Dostaneme d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (rozdíl −19−(−21) jsme vypočítali pravidlem o odečtení záporu celé číslo).

Odpovědět:

Dělení se zbytkem kladných celých čísel, příklady

Jak jsme již více než jednou poznamenali, kladná celá čísla jsou přirozená čísla. Dělení se zbytkem kladných celých čísel se proto provádí podle všech pravidel pro dělení zbytkem přirozených čísel. Je velmi důležité umět snadno provádět dělení zbytkem přirozených čísel, protože to je základem dělení nejen kladných celých čísel, ale také základem všech pravidel dělení zbytkem libovolných celých čísel.

Z našeho pohledu je nejvýhodnější provést dělení sloupcem, tato metoda umožňuje získat jak neúplný kvocient (nebo jen kvocient), tak i zbytek. Zvažte příklad dělení se zbytkem kladných celých čísel.

Příklad.

Proveďte dělení se zbytkem 14671 na 54 .

Rozhodnutí.

Proveďme dělení těchto kladných celých čísel sloupcem:

Neúplný kvocient se ukázal být 271 a zbytek je 37.

Odpovědět:

14 671:54=271 (zbytek 37) .

Pravidlo dělení se zbytkem kladného celého čísla záporným celým číslem, příklady

Pojďme formulovat pravidlo, které vám umožní provést dělení se zbytkem kladného celého čísla záporným celým číslem.

Parciální kvocient dělení kladného celého čísla a záporným celým číslem b je opakem parciálního kvocientu dělení a modulem b a zbytek dělení a b je zbytkem dělení .

Z tohoto pravidla vyplývá, že neúplný podíl dělení kladného celého čísla záporným celým číslem je kladné celé číslo.

Pojďme předělat vyjádřené pravidlo na algoritmus pro dělení se zbytkem kladného celého čísla záporným celým číslem:

• Modul děliče vydělíme modulem děliče, dostaneme neúplný podíl a zbytek. (Pokud se v tomto případě zbytek rovná nule, pak se původní čísla rozdělí beze zbytku a podle pravidla pro dělení celých čísel s opačnými znaménky se požadovaný podíl rovná číslu opačnému k podílu z rozdělení modulů.)
• Zapíšeme číslo opačné k přijatému neúplnému kvocientu a zbytek. Tato čísla jsou v tomto pořadí požadovaným kvocientem a zbytkem dělení původního kladného celého čísla záporným celým číslem.

Uveďme příklad použití algoritmu pro dělení kladného celého čísla záporným celým číslem.

Příklad.

Vydělte zbytkem kladného celého čísla 17 záporným celým číslem −5 .

Rozhodnutí.

Použijme algoritmus dělení se zbytkem kladného celého čísla záporným celým číslem.

Dělení

Opačné číslo 3 je -3. Požadovaný parciální kvocient dělení 17 −5 je tedy −3 a zbytek je 2.

Odpovědět:

17 :(−5)=−3 (zbytek 2).

Příklad.

Rozdělit 45 x -15.

Rozhodnutí.

Moduly dividendy a dělitele jsou 45 a 15. Číslo 45 je dělitelné 15 beze zbytku, zatímco kvocient je 3. Proto je kladné celé číslo 45 dělitelné záporným celým číslem −15 beze zbytku, zatímco podíl je roven číslu opačnému k 3, tedy −3. Podle pravidla dělení celých čísel s různými znaménky totiž máme .

Odpovědět:

45:(−15)=−3 .

Dělení se zbytkem záporného celého čísla kladným celým číslem, příklady

Formulujme pravidlo dělení se zbytkem záporného celého čísla kladným celým číslem.

Chcete-li získat neúplný kvocient c z dělení záporného celého čísla a kladným celým číslem b, musíte vzít číslo opačné k neúplnému kvocientu z dělení modulů původních čísel a odečíst od něj jedničku, načež se vypočítá zbytek d pomocí vzorce d=a−b c .

Z tohoto pravidla dělení se zbytkem vyplývá, že neúplný podíl dělení záporného celého čísla kladným celým číslem je záporné celé číslo.

Z vyjádřeného pravidla vyplývá algoritmus dělení se zbytkem záporného celého čísla a kladným celým číslem b:

• Najdeme moduly dividendy a dělitele.
• Modul děliče vydělíme modulem děliče, dostaneme neúplný podíl a zbytek. (Pokud je zbytek nula, pak jsou původní celá čísla dělitelná beze zbytku a požadovaný podíl se rovná číslu opačnému k podílu z dělení modulů.)
• Zapíšeme číslo opačné k přijatému neúplnému podílu a odečteme od něj číslo 1. Vypočtené číslo je požadovaný parciální podíl c z dělení původního záporného celého čísla kladným celým číslem.

Rozeberme si řešení příkladu, ve kterém používáme algoritmus písemného dělení se zbytkem.

Příklad.

Najděte parciální podíl a zbytek záporného celého čísla −17 děleno kladným celým číslem 5 .

Rozhodnutí.

Modul děliče −17 je 17 a modul děliče 5 je 5.

Dělení 17 krát 5, dostaneme neúplný podíl 3 a zbytek 2.

Opakem 3 je −3 . Odečtěte jedničku od −3: −3−1=−4 . Požadovaný neúplný kvocient je tedy -4.

Zbývá dopočítat zbytek. V našem příkladu a=−17 , b=5 , c=−4 , pak d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Parciální podíl záporného celého čísla −17 děleného kladným celým číslem 5 je tedy −4 a zbytek je 3.

Odpovědět:

(−17):5=−4 (zbytek. 3) .

Příklad.

Vydělte záporné celé číslo −1 404 kladným celým číslem 26 .

Rozhodnutí.

Dělený modul je 1404, dělitelný modul je 26.

Vydělte 1404 26 ve sloupci:

Protože byl modul děliče dělen modulem děliče beze zbytku, původní celá čísla se dělila beze zbytku a požadovaný kvocient se rovná číslu opačnému k 54, tedy −54.

Odpovědět:

(−1 404):26=−54 .

Pravidlo dělení se zbytkem záporných celých čísel, příklady

Formulujme pravidlo dělení se zbytkem záporných celých čísel.

Chcete-li získat neúplný kvocient c z dělení záporného celého čísla a záporným celým číslem b, musíte vypočítat neúplný kvocient z dělení modulů původních čísel a přidat k němu jedničku, poté vypočítat zbytek d pomocí vzorce d =a−b c .

Z tohoto pravidla vyplývá, že neúplný podíl dělení záporných celých čísel je kladné celé číslo.

Přepišme vyjádřené pravidlo ve formě algoritmu pro dělení záporných celých čísel:

• Najdeme moduly dividendy a dělitele.
• Modul děliče vydělíme modulem děliče, dostaneme neúplný podíl a zbytek. (Pokud je zbytek nula, pak jsou původní celá čísla dělitelná beze zbytku a požadovaný kvocient se rovná podílu dělení modulu dělitelného modulem dělitele.)
• K výslednému neúplnému podílu přidáme jedničku, toto číslo je požadovaný neúplný podíl z dělení původních záporných celých čísel.
• Vypočítejte zbytek pomocí vzorce d=a−b·c .

Při řešení příkladu zvažte použití algoritmu pro dělení záporných celých čísel.

Příklad.

Najděte parciální podíl a zbytek záporného celého čísla −17 děleno záporným celým číslem −5.

Rozhodnutí.

Použijeme příslušný algoritmus dělení se zbytkem.

Dělený modul je 17 , dělitelný modul je 5 .

Divize 17 krát 5 dává neúplný kvocient 3 a zbytek 2.

K neúplnému kvocientu 3 přidáme jedničku: 3+1=4. Proto požadovaný neúplný kvocient dělení −17 −5 je 4.

Zbývá dopočítat zbytek. V tomto příkladu a=−17, b=−5, c=4, pak d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3.

Takže částečný kvocient záporného celého čísla −17 děleno záporným celým číslem −5 je 4 a zbytek je 3 .

Odpovědět:

(−17):(−5)=4 (zbytek 3) .

Kontrola výsledku dělení celých čísel zbytkem

Po provedení dělení celých čísel zbytkem je užitečné zkontrolovat výsledek. Ověření se provádí ve dvou fázích. V první fázi se kontroluje, zda je zbytek d nezáporné číslo, a kontroluje se také podmínka. Pokud jsou splněny všechny podmínky prvního stupně ověřování, pak můžete přistoupit k druhému stupni ověřování, jinak lze namítnout, že při dělení se zbytkem došlo někde k chybě. Ve druhé fázi se kontroluje platnost rovnosti a=b·c+d. Pokud je tato rovnost pravdivá, pak bylo dělení se zbytkem provedeno správně, jinak se někde stala chyba.

Uvažujme řešení příkladů, ve kterých se kontroluje výsledek dělení celých čísel se zbytkem.

Příklad.

Při dělení čísla -521 -12 byl parciální podíl 44 a zbytek 7, zkontrolujte výsledek.

Rozhodnutí. −2 pro b=−3, c=7, d=1. My máme b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Tedy rovnost a=b c+d je nesprávná (v našem příkladu a=−19 ).

Proto bylo dělení se zbytkem provedeno nesprávně.