Διαίρεση λογαρίθμων με ίδια βάση. Υπολογισμός λογαρίθμων, παραδείγματα, λύσεις

βασικές ιδιότητες.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

ίδιους λόγους

log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ένα). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

2.

3.

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμη και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα μεμονωμένα μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι είναι παραδείγματα λύσεων.

Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

1. λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
2. λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση α δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια τέτοια ισχύ x () στην οποία η ισότητα είναι αληθής

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Οι παραπάνω ιδιότητες πρέπει να είναι γνωστές, αφού, στη βάση τους, σχεδόν όλα τα προβλήματα και τα παραδείγματα επιλύονται βάσει λογαρίθμων. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν με μαθηματικούς χειρισμούς με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντώνται αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι έστω και δέκα, εκθετική ή δευτερεύουσα.
Ο λογάριθμος της βάσης δέκα ονομάζεται συνήθως λογάριθμος βάσης δέκα και συμβολίζεται απλώς lg(x).

Από την καταγραφή φαίνεται ότι τα βασικά δεν γράφονται στο αρχείο. Για παράδειγμα

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο εκθέτης (συμβολίζεται ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος βάσης δύο είναι

Η παράγωγος του λογάριθμου της συνάρτησης ισούται με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από την εξάρτηση

Το παραπάνω υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για την αφομοίωση της ύλης, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από το σχολικό πρόγραμμα και τα πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ένα). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς των λογαρίθμων, έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση που χρησιμοποιεί μια σειρά κανόνων απλοποιείται στη φόρμα

Εύρεση λογαριθμικών τιμών

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό εφαρμόζουμε τις ιδιότητες 5 και 13 μέχρι τον τελευταίο όρο

Αντικαταστήστε στο δίσκο και θρηνήστε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Πάρτε τον λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψετε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτήσατε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας για ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες ...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμη και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα μεμονωμένα μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο.

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

1. λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
2. λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Λογάριθμος του b (b > 0) στη βάση του a (a > 0, a ≠ 1)είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό a για να πάρετε το b.

Ο λογάριθμος βάσης 10 του b μπορεί να γραφτεί ως ημερολόγιο (β), και ο λογάριθμος στη βάση e (φυσικός λογάριθμος) - ln(b).

Συχνά χρησιμοποιείται κατά την επίλυση προβλημάτων με λογάριθμους:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Υπάρχουν τέσσερις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων.

Έστω a > 0, a ≠ 1, x > 0 και y > 0.

Ιδιότητα 1. Λογάριθμος του προϊόντος

Λογάριθμος του προϊόντος ισούται με το άθροισμαλογάριθμοι:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Ιδιότητα 2. Λογάριθμος του πηλίκου

Λογάριθμος του πηλίκουισούται με τη διαφορά των λογαρίθμων:

log a (x / y) = log a x – log a y

Ιδιότητα 3. Λογάριθμος βαθμού

Λογάριθμος βαθμώνισούται με το γινόμενο του βαθμού και του λογάριθμου:

Εάν η βάση του λογάριθμου είναι στον εκθέτη, τότε ισχύει ένας άλλος τύπος:

Ιδιότητα 4. Λογάριθμος ρίζας

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να ληφθεί από την ιδιότητα του λογάριθμου της μοίρας, αφού η ρίζα του nου βαθμού είναι ίση με την ισχύ του 1/n:

Ο τύπος για τη μετάβαση από έναν λογάριθμο σε μια βάση σε έναν λογάριθμο σε μια άλλη βάση

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται επίσης συχνά κατά την επίλυση διαφόρων εργασιών για λογάριθμους:

Ειδική περίπτωση:

Σύγκριση λογαρίθμων (ανισώσεις)

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 2 συναρτήσεις f(x) και g(x) σε λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις και υπάρχει ένα πρόσημο ανισότητας μεταξύ τους:

Για να τα συγκρίνετε, πρέπει πρώτα να δείτε τη βάση των λογαρίθμων:

• Αν a > 0, τότε f(x) > g(x) > 0
• Αν 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Πώς να λύσετε προβλήματα με λογάριθμους: παραδείγματα

Εργασίες με λογάριθμουςπου περιλαμβάνεται στη ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά για την τάξη 11 στην εργασία 5 και την εργασία 7, μπορείτε να βρείτε εργασίες με λύσεις στον ιστότοπό μας στις σχετικές ενότητες. Επίσης, εργασίες με λογάριθμους βρίσκονται στην τράπεζα εργασιών στα μαθηματικά. Μπορείτε να βρείτε όλα τα παραδείγματα κάνοντας αναζήτηση στον ιστότοπο.

Τι είναι ο λογάριθμος

Οι λογάριθμοι θεωρούνταν πάντα ένα δύσκολο θέμα στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί του λογάριθμου, αλλά για κάποιο λόγο τα περισσότερα σχολικά βιβλία χρησιμοποιούν τον πιο περίπλοκο και ατυχή από αυτούς.

Θα ορίσουμε τον λογάριθμο απλά και ξεκάθαρα. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα για αυτό:

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο.

Λογάριθμοι - ιδιότητες, τύποι, τρόπος επίλυσης

Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, τότε μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία πρέπει να σηκώσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

βάση α του ορίσματος x είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί ο αριθμός x.

Σημείωση: log a x \u003d b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι στην πραγματικότητα αυτό με το οποίο ισούται ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Μπορεί επίσης να καταγράψει 2 64 = 6, επειδή 2 6 = 64.

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται. Ας προσθέσουμε λοιπόν μια νέα σειρά στον πίνακά μας:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ημερολόγιο 2 2 = 1	ημερολόγιο 2 4 = 2	ημερολόγιο 2 8 = 3	ημερολόγιο 2 16 = 4	ημερολόγιο 2 32 = 5	ημερολόγιο 2 64 = 6

Δυστυχώς, δεν εξετάζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5. Ο αριθμός 5 δεν βρίσκεται στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο τμήμα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' αόριστον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε ως εξής: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ο λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (βάση και όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογάριθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι η δύναμη, στο οποίο πρέπει να ανεβάσετε τη βάση για να λάβετε το επιχείρημα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - στην εικόνα επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω αυτόν τον υπέροχο κανόνα στους μαθητές μου στο πρώτο μάθημα - και δεν υπάρχει σύγχυση.

Πώς να μετρήσετε τους λογάριθμους

Καταλάβαμε τον ορισμό - μένει να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:

1. Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός του λογάριθμου.
2. Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μονάδα, αφού μια μονάδα σε οποιαδήποτε δύναμη εξακολουθεί να είναι μια μονάδα. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται έγκυρο εύρος(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (η τιμή του λογάριθμου) δεν επιβάλλεται. Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 = −1, επειδή 0,5 = 2 −1 .

Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το ODZ του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους μεταγλωττιστές των προβλημάτων. Αλλά όταν μπουν στο παιχνίδι οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες, οι απαιτήσεις του DHS θα γίνουν υποχρεωτικές. Πράγματι, στη βάση και το επιχείρημα μπορεί να υπάρχουν πολύ ισχυρές κατασκευές, οι οποίες δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.

Τώρα εξετάστε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

1. Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με τη μικρότερη δυνατή βάση μεγαλύτερη του ενός. Στην πορεία, είναι καλύτερο να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα.
2. Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
3. Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα φανεί ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σχετική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Ομοίως με τα δεκαδικά κλάσματα: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε συνηθισμένα, θα υπάρχουν πολλαπλάσια λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα με συγκεκριμένα παραδείγματα:

Μια εργασία. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

1. Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Έλαβε απάντηση: 2.

Μια εργασία. Υπολογίστε τον λογάριθμο:

Μια εργασία. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

1. Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Λάβαμε απάντηση: 3.

Μια εργασία. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

1. Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Λήψη απάντησης: 0.

Μια εργασία. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

1. Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν αναπαρίσταται ως δύναμη του επτά, επειδή το 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν λαμβάνεται υπόψη.
3. Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς να βεβαιωθείτε ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Πολύ απλό - απλώς αποσυνθέστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν υπάρχουν τουλάχιστον δύο διακριτοί παράγοντες στην επέκταση, ο αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.

Μια εργασία. Μάθετε αν οι ακριβείς δυνάμεις του αριθμού είναι: 8; 48; 81; 35; δεκατέσσερα.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ο ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 δεν είναι ακριβής ισχύς γιατί υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 5 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.
14 \u003d 7 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.

Σημειώστε επίσης ότι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί είναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδική ονομασία και ονομασία.

του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος βάσης 10, δηλ. την ισχύ στην οποία πρέπει να αυξηθεί το 10 για να ληφθεί x. Ονομασία: lgx.

Για παράδειγμα, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως «Βρείτε το lg 0.01» στο σχολικό βιβλίο, να ξέρετε ότι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε συνηθισμένοι σε έναν τέτοιο χαρακτηρισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς.

φυσικός λογάριθμος

Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του σημείωση. Κατά μία έννοια, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Αυτός είναι ο φυσικός λογάριθμος.

του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος στη βάση e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: lnx.

Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός, η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να βρεθεί και να γραφτεί. Εδώ είναι μόνο οι πρώτοι αριθμοί:
e = 2,718281828459…

Δεν θα εμβαθύνουμε στο τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x

Έτσι ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός φυσικά από την ενότητα: ln 1 = 0.

Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Δείτε επίσης:

Λογάριθμος. Ιδιότητες του λογαρίθμου (ισχύς του λογαρίθμου).

Πώς να αναπαραστήσετε έναν αριθμό ως λογάριθμο;

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογάριθμου.

Ο λογάριθμος είναι ένας δείκτης της ισχύος στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου.

Έτσι, για να αναπαραστήσετε έναν ορισμένο αριθμό c ως λογάριθμο στη βάση a, πρέπει να βάλετε έναν βαθμό με την ίδια βάση με τη βάση του λογαρίθμου κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και να γράψετε αυτόν τον αριθμό c στον εκθέτη:

Με τη μορφή λογάριθμου, μπορείτε να αντιπροσωπεύσετε απολύτως οποιονδήποτε αριθμό - θετικό, αρνητικό, ακέραιο, κλασματικό, ορθολογικό, παράλογο:

Για να μην συγχέετε το α και το γ σε αγχωτικές συνθήκες ενός τεστ ή μιας εξέτασης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο κανόνα για να θυμάστε:

ότι είναι κάτω κατεβαίνει, ό,τι είναι πάνω ανεβαίνει.

Για παράδειγμα, θέλετε να αναπαραστήσετε τον αριθμό 2 ως λογάριθμο στη βάση 3.

Έχουμε δύο αριθμούς - 2 και 3. Αυτοί οι αριθμοί είναι η βάση και ο εκθέτης, που θα γράψουμε κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Απομένει να καθοριστεί ποιοι από αυτούς τους αριθμούς πρέπει να γραφτούν, στη βάση του βαθμού, και ποιοι - επάνω, στον εκθέτη.

Η βάση 3 στην εγγραφή του λογάριθμου βρίσκεται στο κάτω μέρος, πράγμα που σημαίνει ότι όταν αντιπροσωπεύουμε το δίδυμο ως λογάριθμο στη βάση του 3, θα γράψουμε επίσης το 3 στη βάση.

Το 2 είναι μεγαλύτερο από το 3. Και στη σημειογραφία του βαθμού, γράφουμε τα δύο πάνω από τα τρία, δηλαδή στον εκθέτη:

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Λογάριθμοι

λογάριθμος θετικός αριθμός σιαπό τον λόγο ένα, όπου a > 0, a ≠ 1, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός. ένα, Αποκτώ σι.

Ορισμός λογάριθμουμπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής:

Αυτή η ισότητα ισχύει για b > 0, a > 0, a ≠ 1.Συνήθως καλείται λογαριθμική ταυτότητα.
Η ενέργεια εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού ονομάζεται λογάριθμος.

Ιδιότητες λογαρίθμων:

Ο λογάριθμος του προϊόντος:

Λογάριθμος του πηλίκου από τη διαίρεση:

Αντικατάσταση της βάσης του λογάριθμου:

Λογάριθμος βαθμού:

ριζικός λογάριθμος:

Λογάριθμος με βάση ισχύος:

Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι.

Δεκαδικός λογάριθμοςοι αριθμοί καλούν τον λογάριθμο βάσης 10 αυτού του αριθμού και γράφουν   lg σι
φυσικός λογάριθμοςοι αριθμοί καλούν τον λογάριθμο αυτού του αριθμού στη βάση μι, όπου μιείναι ένας παράλογος αριθμός, περίπου ίσος με 2,7. Ταυτόχρονα γράφουν ln σι.

Άλλες σημειώσεις για την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Αυτοί οι κανόνες πρέπει να είναι γνωστοί - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: log a x και log a y. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμη και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα μεμονωμένα μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

ημερολόγιο 6 4 + ημερολόγιο 6 9.

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 2 48 − log 2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 3 135 − log 3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο.

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 7 49 6 .

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Εχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log 2 7. Εφόσον το log 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Ας δοθεί το λογάριθμο log a x. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 5 16 log 2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση.

Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log 25 64 = log 5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

1. log a a = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
2. log a 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το 0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b * a c = a b + c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους δείκτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου απαιτείται να απλοποιηθεί ο περίπλοκος πολλαπλασιασμός σε απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Απλή και προσιτή γλώσσα.

Ορισμός στα μαθηματικά

Ο λογάριθμος είναι έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" σύμφωνα με τη βάση του "a" θεωρείται η δύναμη του "c », στην οποία είναι απαραίτητο να αυξηθεί η βάση "a", έτσι ώστε στο τέλος να ληφθεί η τιμή "b". Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρεις τέτοιο βαθμό ώστε από το 2 στον απαιτούμενο βαθμό να παίρνεις 8. Έχοντας κάνει κάποιους υπολογισμούς στο μυαλό σου, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και δικαίως, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει τον αριθμό 8 στην απάντηση.

Ποικιλίες λογαρίθμων

Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα, οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρία διαφορετικά είδη λογαριθμικών εκφράσεων:

1. Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
2. Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
3. Ο λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.

Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να ληφθούν οι σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και τη σειρά των ενεργειών στις αποφάσεις τους.

Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί

Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι αληθινοί. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρεθούν οι αριθμοί με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να εξαχθεί η ρίζα ενός ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε πώς να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:

• η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και ταυτόχρονα να μην είναι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
• αν a > 0, τότε a b > 0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Πώς να λύσετε λογάριθμους;

Για παράδειγμα, δόθηκε η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x \u003d 100. Είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια τέτοια ισχύ, αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο παίρνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 \u003d 100.

Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση ως λογαριθμική. Λαμβάνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν στην εύρεση του βαθμού στον οποίο πρέπει να εισαχθεί η βάση του λογαρίθμου για να ληφθεί ένας δεδομένος αριθμός.

Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή ενός άγνωστου πτυχίου, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με έναν πίνακα βαθμών. Μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνική νοοτροπία και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, μεγαλύτερες τιμές θα απαιτήσουν ένα τραπέζι τροφοδοσίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και από όσους δεν καταλαβαίνουν απολύτως τίποτα σε πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c, στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στην τομή στα κελιά προσδιορίζονται οι τιμές των αριθμών που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η ​​οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!

Εξισώσεις και ανισώσεις

Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες, ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική εξίσωση. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο λογάριθμος του 81 στη βάση 3, που είναι τέσσερα (log 3 81 = 4). Για τις αρνητικές δυνάμεις, οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα εξετάσουμε λίγο χαμηλότερα, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.

Δίνεται έκφραση της ακόλουθης μορφής: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή «x» βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές στην απάντηση, ενώ κατά την επίλυση της ανισότητας, τόσο το εύρος αποδεκτές τιμές και τα σημεία που σπάζουν αυτή τη συνάρτηση. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση της εξίσωσης, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.

Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους

Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών για την εύρεση των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα εξοικειωθούμε με παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, ας αναλύσουμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.

1. Η βασική ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο εάν το a είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα, και το Β είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
2. Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Στην περίπτωση αυτή, η προϋπόθεση είναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον τύπο των λογαρίθμων, με παραδείγματα και μια λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2 , μετά a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Παίρνουμε ότι s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες βαθμού ), και περαιτέρω εξ ορισμού: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
3. Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά στηρίζονται σε κανονικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.

Έστω log a b \u003d t, αποδεικνύεται t \u003d b. Αν σηκώσετε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;

αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n , άρα log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι λογαρίθμων προβλημάτων είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία, ενώ περιλαμβάνονται και στο υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων στα μαθηματικά. Για εισαγωγή στο πανεπιστήμιο ή επιτυχία εισαγωγικές εξετάσειςστα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να λύσετε σωστά τέτοια προβλήματα.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, ωστόσο, ορισμένοι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να περιοριστεί σε μια γενική μορφή. Μπορείτε να απλοποιήσετε μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις εάν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητές τους. Ας τους γνωρίσουμε σύντομα.

Κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τι είδους λογάριθμο έχουμε μπροστά μας: ένα παράδειγμα μιας παράστασης μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.

Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να προσδιορίσετε τον βαθμό στον οποίο η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για λύσεις φυσικών λογαρίθμων, πρέπει να εφαρμοστούν λογαριθμικές ταυτότητες ή οι ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις

Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των κύριων θεωρημάτων στους λογαρίθμους.

1. Η ιδιότητα του λογάριθμου του προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί μια μεγάλη τιμή του αριθμού b σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου, καταφέραμε να λύσουμε με την πρώτη ματιά μια σύνθετη και άλυτη έκφραση. Είναι απαραίτητο μόνο να παραγοντοποιήσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές των εκθετών από το πρόσημο του λογαρίθμου.

Εργασίες από τις εξετάσεις

Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως αυτές οι εργασίες υπάρχουν όχι μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο τεστ της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (τις πιο δύσκολες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση συνεπάγεται ακριβή και άρτια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».

Παραδείγματα και λύσεις προβλημάτων λαμβάνονται από επίσημους Επιλογές ΧΡΗΣΗΣ. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.

Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2 , με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4 , άρα 2x = 17; x = 8,5.

• Όλοι οι λογάριθμοι ανάγεται καλύτερα στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι περίπλοκη και μπερδεμένη.
• Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν αφαιρούμε τον εκθέτη του εκθέτη της έκφρασης, ο οποίος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και ως βάση του, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.

που προκύπτει από τον ορισμό του. Και έτσι ο λογάριθμος του αριθμού σιαπό τον λόγο έναορίζεται ως ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ένας αριθμός έναγια να πάρετε τον αριθμό σι(ο λογάριθμος υπάρχει μόνο για θετικούς αριθμούς).

Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει ότι ο υπολογισμός x=log a β, ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης τσεκούρι=β.Για παράδειγμα, ημερολόγιο 2 8 = 3επειδή 8 = 2 3 . Η διατύπωση του λογαρίθμου καθιστά δυνατό να δικαιολογηθεί ότι αν b=a γ, τότε ο λογάριθμος του αριθμού σιαπό τον λόγο έναισοδυναμεί Με. Είναι επίσης σαφές ότι το θέμα του λογαρίθμου σχετίζεται στενά με το θέμα της ισχύος ενός αριθμού.

Με τους λογάριθμους, όπως και με κάθε αριθμό, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσηςκαι μεταμορφώνονται με κάθε δυνατό τρόπο. Όμως, δεδομένου ότι οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, ισχύουν εδώ οι δικοί τους ειδικοί κανόνες, οι οποίοι ονομάζονται βασικές ιδιότητες.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων.

Πάρτε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: ημερολόγιο xκαι log a y. Στη συνέχεια, αφαιρέστε, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

κούτσουρο α(Χ 1 . Χ 2 . Χ 3 ... x k) = ημερολόγιο x 1 + ημερολόγιο x 2 + ημερολόγιο x 3 + ... + log a x k.

Από Θεωρήματα λογαριθμικών πηλίκωνμπορεί να ληφθεί μια ακόμη ιδιότητα του λογάριθμου. Είναι γνωστό ότι το ημερολόγιο ένα 1 = 0, επομένως,

κούτσουρο ένα 1 /σι= κούτσουρο ένα 1 - κούτσουρο α β= -log α β.

Άρα υπάρχει ισότητα:

log a 1 / b = - log a b.

Λογάριθμοι δύο αμοιβαίων αμοιβαίων αριθμώνστην ίδια βάση θα διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς το πρόσημο. Ετσι:

Μητρώο 3 9= - ημερολόγιο 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Αποδεκτό εύρος (ODZ) του λογαρίθμου

Τώρα ας μιλήσουμε για περιορισμούς (ODZ - η περιοχή των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών).

Θυμόμαστε ότι, για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να ληφθεί από αρνητικούς αριθμούς. ή αν έχουμε κλάσμα, τότε ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν. Υπάρχουν παρόμοιοι περιορισμοί για τους λογάριθμους:

Δηλαδή, τόσο το όρισμα όσο και η βάση πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν και η βάση δεν μπορεί να είναι ίση.

Γιατί αυτό?

Ας ξεκινήσουμε απλά: ας το πούμε αυτό. Τότε, για παράδειγμα, ο αριθμός δεν υπάρχει, αφού όποιο βαθμό και να ανεβάσουμε, πάντα βγαίνει. Επιπλέον, δεν υπάρχει για κανένα. Αλλά ταυτόχρονα μπορεί να είναι ίσο με οτιδήποτε (για τον ίδιο λόγο - είναι ίσο σε οποιοδήποτε βαθμό). Επομένως, το αντικείμενο δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον και απλώς πετάχτηκε έξω από τα μαθηματικά.

Έχουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα στην περίπτωση: σε οποιονδήποτε θετικό βαθμό - αυτό, αλλά δεν μπορεί να αυξηθεί σε αρνητική ισχύ καθόλου, αφού θα προκύψει διαίρεση με το μηδέν (σας το υπενθυμίζω).

Όταν βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το πρόβλημα της αύξησης σε μια κλασματική δύναμη (η οποία αναπαρίσταται ως ρίζα:. Για παράδειγμα, (δηλαδή), αλλά δεν υπάρχει.

Επομένως, οι αρνητικοί λόγοι είναι πιο εύκολο να πεταχτούν παρά να τους μπερδέψετε.

Λοιπόν, αφού η βάση α είναι μόνο θετική για εμάς, τότε ανεξάρτητα από το βαθμό που την ανεβάσουμε, πάντα θα παίρνουμε έναν αυστηρά θετικό αριθμό. Άρα το επιχείρημα πρέπει να είναι θετικό. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει, αφού δεν θα είναι αρνητικός αριθμός σε κανένα βαθμό (ακόμα και μηδέν, επομένως δεν υπάρχει).

Σε προβλήματα με λογάριθμους, το πρώτο βήμα είναι να γράψετε το ODZ. Θα δώσω ένα παράδειγμα:

Ας λύσουμε την εξίσωση.

Θυμηθείτε τον ορισμό: ο λογάριθμος είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Και από την προϋπόθεση, αυτός ο βαθμός είναι ίσος με: .

Παίρνουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση: . Το λύνουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο. Εύκολο στην παραλαβή, αυτοί είναι αριθμοί και.

Αλλά αν πάρετε αμέσως και σημειώσετε και τους δύο αυτούς αριθμούς στην απάντηση, μπορείτε να πάρετε 0 βαθμούς για την εργασία. Γιατί; Ας σκεφτούμε τι θα συμβεί αν αντικαταστήσουμε αυτές τις ρίζες στην αρχική εξίσωση;

Αυτό είναι ξεκάθαρα ψευδές, αφού η βάση δεν μπορεί να είναι αρνητική, δηλαδή η ρίζα είναι "τρίτου".

Για να αποφύγετε τέτοια δυσάρεστα κόλπα, πρέπει να γράψετε το ODZ ακόμη και πριν αρχίσετε να λύνετε την εξίσωση:

Στη συνέχεια, έχοντας λάβει τις ρίζες και, πετάμε αμέσως τη ρίζα και γράφουμε τη σωστή απάντηση.

Παράδειγμα 1(προσπάθησε να το λύσεις μόνος σου) :

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Εάν υπάρχουν πολλές ρίζες, υποδείξτε τη μικρότερη στην απάντησή σας.

Λύση:

Πρώτα απ 'όλα, ας γράψουμε το ODZ:

Τώρα θυμόμαστε τι είναι ο λογάριθμος: σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε τη βάση για να λάβετε ένα επιχείρημα; Στο δεύτερο. Αυτό είναι:

Φαίνεται ότι η μικρότερη ρίζα είναι ίση. Αλλά αυτό δεν είναι έτσι: σύμφωνα με το ODZ, η ρίζα είναι τρίτων, δηλαδή δεν είναι καθόλου ρίζα δεδομένη εξίσωση. Έτσι, η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα: .

Απάντηση: .

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Θυμηθείτε τον ορισμό του λογάριθμου με γενικούς όρους:

Αντικαταστήστε στη δεύτερη ισότητα αντί για τον λογάριθμο:

Αυτή η ισότητα ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα. Αν και στην ουσία αυτή η ισότητα απλώς γράφεται διαφορετικά ορισμός του λογάριθμου:

Αυτή είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξήσετε για να φτάσετε.

Για παράδειγμα:

Λύστε τα παρακάτω παραδείγματα:

Παράδειγμα 2

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λύση:

Θυμηθείτε τον κανόνα από την ενότητα:, δηλαδή, κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται. Ας το εφαρμόσουμε:

Παράδειγμα 3

Αποδείξτε το.

Λύση:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Δυστυχώς, οι εργασίες δεν είναι πάντα τόσο απλές - συχνά πρέπει πρώτα να απλοποιήσετε την έκφραση, να τη φέρετε στη συνήθη μορφή και μόνο τότε θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής. Είναι πιο εύκολο να το κάνεις αυτό γνωρίζοντας ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας μάθουμε λοιπόν τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα αποδείξω το καθένα από αυτά, γιατί οποιοσδήποτε κανόνας είναι πιο εύκολο να θυμηθείς αν ξέρεις από πού προέρχεται.

Όλες αυτές οι ιδιότητες πρέπει να θυμόμαστε· χωρίς αυτές, τα περισσότερα προβλήματα με τους λογάριθμους δεν μπορούν να λυθούν.

Και τώρα για όλες τις ιδιότητες των λογαρίθμων με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ιδιοκτησία 1:

Απόδειξη:

Αφήστε, λοιπόν.

Έχουμε: , h.t.d.

Ιδιότητα 2: Άθροισμα λογαρίθμων

Το άθροισμα των λογαρίθμων με την ίδια βάση είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου: .

Απόδειξη:

Αφήστε, λοιπόν. Αφήστε, λοιπόν.

Παράδειγμα:Να βρείτε την τιμή της έκφρασης: .

Λύση: .

Ο τύπος που μόλις μάθατε βοηθά στην απλοποίηση του αθροίσματος των λογαρίθμων, όχι της διαφοράς, έτσι ώστε αυτοί οι λογάριθμοι να μην μπορούν να συνδυαστούν αμέσως. Αλλά μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - «σπάστε» τον πρώτο λογάριθμο στα δύο: Και εδώ είναι η υποσχόμενη απλοποίηση:
.
Γιατί χρειάζεται αυτό; Λοιπόν, για παράδειγμα: τι σημασία έχει;

Τώρα είναι φανερό ότι.

Τώρα κάντε το εύκολο για τον εαυτό σας:

Καθήκοντα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 3: Διαφορά λογαρίθμων:

Απόδειξη:

Όλα είναι ακριβώς τα ίδια όπως στην παράγραφο 2:

Αφήστε, λοιπόν.

Αφήστε, λοιπόν. Εχουμε:

Το παράδειγμα από το τελευταίο σημείο είναι τώρα ακόμη πιο απλό:

Πιο περίπλοκο παράδειγμα: . Μαντέψτε πώς να αποφασίσετε;

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχουμε έναν ενιαίο τύπο για τους λογάριθμους στο τετράγωνο. Αυτό είναι κάτι παρόμοιο με μια έκφραση - αυτό δεν μπορεί να απλοποιηθεί αμέσως.

Επομένως, ας απομακρυνθούμε από τους τύπους για τους λογάριθμους και ας σκεφτούμε ποιους τύπους χρησιμοποιούμε γενικά στα μαθηματικά πιο συχνά; Από την 7η δημοτικού!

Αυτό - . Πρέπει να συνηθίσεις ότι υπάρχουν παντού! Και σε εκθετική, και σε τριγωνομετρική, και σε παράλογα καθήκοντααυτοί συναντιούνται. Επομένως, πρέπει να θυμόμαστε.

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τους δύο πρώτους όρους, γίνεται σαφές ότι αυτό είναι διαφορά τετραγώνων:

Απάντηση για έλεγχο:

Απλοποιήστε τον εαυτό σας.

Παραδείγματα

Απαντήσεις.

Ιδιότητα 4: Παραγωγή του εκθέτη από το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Και εδώ χρησιμοποιούμε επίσης τον ορισμό του λογάριθμου: ας, τότε. Έχουμε: , h.t.d.

Μπορείτε να κατανοήσετε αυτόν τον κανόνα ως εξής:

Δηλαδή, ο βαθμός του επιχειρήματος μεταφέρεται μπροστά από τον λογάριθμο, ως συντελεστής.

Παράδειγμα:Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λύση: .

Αποφασίστε μόνοι σας:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 5: Παραγωγή του εκθέτη από τη βάση του λογάριθμου:

Απόδειξη:Αφήστε, λοιπόν.

Έχουμε: , h.t.d.
Θυμηθείτε: από λόγουςπτυχίο αποδίδεται ως ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗνούμερο, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση!

Ιδιότητα 6: Παραγωγή του εκθέτη από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Ή αν οι βαθμοί είναι ίδιοι: .

Ιδιότητα 7: Μετάβαση σε νέα βάση:

Απόδειξη:Αφήστε, λοιπόν.

Έχουμε: , h.t.d.

Ιδιότητα 8: Εναλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου:

Απόδειξη:Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου 7: αν αντικαταστήσουμε, παίρνουμε: , p.t.d.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 2 - το άθροισμα των λογαρίθμων με την ίδια βάση είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου:

Παράδειγμα 5

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λύση:

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 3 και Νο. 4:

Παράδειγμα 6

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λύση:

Χρησιμοποιώντας τον αριθμό ιδιοκτησίας 7 - μεταβείτε στη βάση 2:

Παράδειγμα 7

Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λύση:

Πώς σας φαίνεται το άρθρο;

Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο.

Και είναι ωραίο!

Τώρα πείτε μας πώς σας αρέσει το άρθρο;

Έχετε μάθει να λύνετε λογάριθμους; Αν όχι, ποιο είναι το πρόβλημα;

Γράψτε μας στα σχόλια παρακάτω.

Και ναι, καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας.

Στην Ενιαία Κρατική Εξεταστική και στην ΟΓΕ και γενικότερα στη ζωή