ΔΙΑΛΕΞΗ №4

ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΒΙΟΤΙΣΚΩΝ. ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΣΤΟ ΚΙΝΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ.

1. Βασικοί νόμοι της κινηματικής της περιστροφικής κίνησης.

Η περιστροφική κίνηση του σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι ο απλούστερος τύπος κίνησης. Χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι οποιαδήποτε σημεία του σώματος περιγράφουν κύκλους, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , η οποία ονομάζεται άξονας περιστροφής (Εικ. 1).

Στην περίπτωση αυτή, η θέση του σώματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή προσδιορίζεται από τη γωνία περιστροφής φ του διανύσματος ακτίνας R οποιουδήποτε σημείου Α σε σχέση με την αρχική του θέση. Η εξάρτησή του από το χρόνο:

(1)

είναι η εξίσωση της περιστροφικής κίνησης. Η ταχύτητα περιστροφής του σώματος χαρακτηρίζεται από τη γωνιακή ταχύτητα ω. Η γωνιακή ταχύτητα όλων των σημείων του περιστρεφόμενου σώματος είναι η ίδια. Είναι διανυσματική ποσότητα. Αυτό το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής και σχετίζεται με την κατεύθυνση περιστροφής με τον κανόνα της δεξιάς βίδας:

. (2)

Με ομοιόμορφη κίνηση ενός σημείου κατά μήκος ενός κύκλου

, (3)

όπου Δφ=2π είναι η γωνία που αντιστοιχεί σε μια πλήρη περιστροφή του σώματος, Δt=T είναι ο χρόνος μιας πλήρους περιστροφής, ή η περίοδος περιστροφής. Μονάδα μέτρησης γωνιακής ταχύτητας [ω]=c -1.

Με ομοιόμορφη κίνηση, η επιτάχυνση του σώματος χαρακτηρίζεται από γωνιακή επιτάχυνση ε (το διάνυσμά του βρίσκεται παρόμοια με το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας και κατευθύνεται σύμφωνα με αυτό σε επιταχυνόμενη και αντίθετη κατεύθυνση - σε αργή κίνηση):

. (4)

Μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης [ε]=c -2 .

Η περιστροφική κίνηση μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί από τη γραμμική ταχύτητα και την επιτάχυνση των επιμέρους σημείων της. Το μήκος του τόξου dS, που περιγράφεται από οποιοδήποτε σημείο Α (Εικ. 1) όταν περιστρέφεται κατά γωνία dφ, προσδιορίζεται από τον τύπο: dS=Rdφ. (5)

Τότε η γραμμική ταχύτητα του σημείου :

. (6)

Γραμμική επιτάχυνση ένα:

. (7)

2. Βασικοί νόμοι δυναμικής περιστροφικής κίνησης.

Η περιστροφή του σώματος γύρω από τον άξονα προκαλείται από τη δύναμη F που εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε σημείο του σώματος, που ενεργεί σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και κατευθύνεται (ή έχει μια συνιστώσα προς αυτή την κατεύθυνση) κάθετο στο διάνυσμα ακτίνας του σημείο εφαρμογής (Εικ. 1).

Στιγμή δύναμης σε σχέση με το κέντρο περιστροφής ονομάζεται διανυσματική ποσότητα ίση αριθμητικά με το γινόμενο της δύναμης κατά το μήκος της κάθετης d, χαμηλωμένη από το κέντρο περιστροφής προς την κατεύθυνση της δύναμης, που ονομάζεται βραχίονας της δύναμης. Στο Σχ.1 d=R λοιπόν

. (8)

Στιγμή η δύναμη περιστροφής είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Διάνυσμα προσαρτάται στο κέντρο του κύκλου Ο και κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής. διανυσματική κατεύθυνση είναι συνεπής με την κατεύθυνση της δύναμης σύμφωνα με τον κανόνα της δεξιάς βίδας. Το στοιχειώδες έργο dA i , όταν στρέφεται από μια μικρή γωνία dφ, όταν το σώμα διέρχεται από μια μικρή διαδρομή dS, ισούται με:

Μέτρο της αδράνειας ενός σώματος στη μεταφορική κίνηση είναι η μάζα. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται, το μέτρο της αδράνειάς του χαρακτηρίζεται από τη ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής.

Η ροπή αδράνειας I i ενός υλικού σημείου σε σχέση με τον άξονα περιστροφής είναι τιμή ίση με το γινόμενο της μάζας του σημείου και το τετράγωνο της απόστασής του από τον άξονα (Εικ. 2):

. (10)

Η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας των υλικών σημείων που αποτελούν το σώμα:

. (11)

Ή στο όριο (n→∞):
, (12)

σολ Η αποολοκλήρωση πραγματοποιείται σε ολόκληρο τον τόμο V. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας ομοιογενών σωμάτων κανονικού γεωμετρικού σχήματος. Η ροπή αδράνειας εκφράζεται σε kg m 2 .

Η ροπή αδράνειας ενός ατόμου σε σχέση με τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας (το κέντρο μάζας ενός ατόμου βρίσκεται στο οβελιαίο επίπεδο λίγο πιο μπροστά από τον δεύτερο εγκάρσιο σπόνδυλο), ανάλογα με τη θέση του ατόμου, έχει τις ακόλουθες τιμές: 1,2 kg m 2 σε προσοχή. 17 kg m 2 - σε οριζόντια θέση.

Όταν ένα σώμα περιστρέφεται, η κινητική του ενέργεια είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών μεμονωμένων σημείων του σώματος:

Διαφοροποιώντας (14), λαμβάνουμε μια στοιχειώδη αλλαγή στην κινητική ενέργεια:

. (15)

Εξισώνοντας το στοιχειώδες έργο (τύπος 9) των εξωτερικών δυνάμεων με τη στοιχειώδη μεταβολή της κινητικής ενέργειας (τύπος 15), παίρνουμε:
, όπου:
ή λαμβάνοντας υπόψη ότι
παίρνουμε:
. (16)

Αυτή η εξίσωση ονομάζεται βασική εξίσωση της δυναμικής περιστροφικής κίνησης. Αυτή η εξάρτηση είναι παρόμοια με τον νόμο II του Νεύτωνα για τη μεταφορική κίνηση.

Η γωνιακή ορμή L i ενός υλικού σημείου σε σχέση με τον άξονα είναι τιμή ίση με το γινόμενο της ορμής του σημείου και της απόστασης του από τον άξονα περιστροφής:

. (17)

Γωνιακή ροπή L ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα:

Η γωνιακή ορμή είναι μια διανυσματική ποσότητα προσανατολισμένη κατά μήκος της κατεύθυνσης του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας.

Τώρα ας επιστρέψουμε στην κύρια εξίσωση (16):

,
.

Φέρνουμε τη σταθερή τιμή I κάτω από το πρόσημο του διαφορικού και παίρνουμε:
, (19)

όπου Mdt ονομάζεται ώθηση της στιγμής της δύναμης. Αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σώμα (M=0), τότε η μεταβολή της γωνιακής ορμής (dL=0) είναι επίσης ίση με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η γωνιακή ορμή παραμένει σταθερή:
. (20)

Αυτό το συμπέρασμα ονομάζεται νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής ως προς τον άξονα περιστροφής. Χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, για περιστροφικές κινήσεις γύρω από έναν ελεύθερο άξονα σε αθλήματα, όπως ακροβατικά κ.λπ. Έτσι, ένας καλλιτεχνικός πατινάζ στον πάγο, αλλάζοντας τη θέση του σώματος κατά την περιστροφή και, κατά συνέπεια, τη ροπή αδράνειας σε σχέση με τον άξονα περιστροφής, μπορεί να ρυθμίσει την ταχύτητα περιστροφής του.

Ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από ορισμένους άξονες που διέρχονται από το κέντρο μάζας, εάν είναι απαλλαγμένο από εξωτερικές επιρροές, διατηρεί την περιστροφή του επ' αόριστον. (Αυτό το συμπέρασμα είναι παρόμοιο με τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα για τη μεταφραστική κίνηση).

Η εμφάνιση περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος προκαλείται πάντα από τη δράση εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε μεμονωμένα σημεία του σώματος. Στην περίπτωση αυτή είναι αναπόφευκτη η εμφάνιση παραμορφώσεων και η εμφάνιση εσωτερικών δυνάμεων, που στην περίπτωση ενός συμπαγούς σώματος εξασφαλίζουν την πρακτική διατήρηση του σχήματός του. Όταν παύει η δράση των εξωτερικών δυνάμεων, η περιστροφή διατηρείται: οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν ούτε να προκαλέσουν ούτε να καταστρέψουν την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος.

Το αποτέλεσμα της δράσης μιας εξωτερικής δύναμης σε ένα σώμα με σταθερό άξονα περιστροφής είναι μια επιταχυνόμενη περιστροφική κίνηση του σώματος. (Αυτό το συμπέρασμα είναι παρόμοιο με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τη μεταφραστική κίνηση).

Ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης: σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η γωνιακή επιτάχυνση που αποκτάται από ένα σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι ανάλογη με τη συνολική ροπή όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα και αντιστρόφως ανάλογη με τη ροπή αδράνειας του σώματος γύρω από έναν δεδομένο άξονα :

Είναι δυνατόν να δοθεί μια απλούστερη σύνθεση ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης(επίσης λέγεται Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση): η ροπή είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας και της γωνιακής επιτάχυνσης:

στροφορμή(στροφορμή, στροφορμή) ενός σώματος ονομάζεται το γινόμενο της ροπής αδράνειάς του επί τη γωνιακή ταχύτητα:

Η γωνιακή ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Η κατεύθυνσή του συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας.

Η μεταβολή της γωνιακής ορμής ορίζεται ως εξής:

. (I.112)

Μια αλλαγή στη γωνιακή ορμή (με σταθερή ροπή αδράνειας του σώματος) μπορεί να συμβεί μόνο ως αποτέλεσμα αλλαγής της γωνιακής ταχύτητας και οφείλεται πάντα στη δράση της ροπής δύναμης.

Σύμφωνα με τον τύπο, καθώς και με τους τύπους (I.110) και (I.112), η αλλαγή στη γωνιακή ορμή μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

. (I.113)

Το προϊόν στον τύπο (I.113) ονομάζεται ορμητική στιγμή δύναμης ή στιγμή οδήγησης. Είναι ίσο με τη μεταβολή της γωνιακής ορμής.

Ο τύπος (I.113) ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι η ροπή της δύναμης δεν αλλάζει με το χρόνο. Εάν η στιγμή της δύναμης εξαρτάται από το χρόνο, δηλ. , έπειτα

. (I.114)

Ο τύπος (I.114) δείχνει ότι: η μεταβολή της γωνιακής ορμής είναι ίση με το χρονικό ολοκλήρωμα της ροπής της δύναμης. Επιπλέον, εάν αυτός ο τύπος παρουσιάζεται με τη μορφή: , τότε ο ορισμός θα προκύψει από αυτόν στιγμή της δύναμης: η στιγμιαία ροπή δύναμης είναι η πρώτη παράγωγος της ροπής της ορμής σε σχέση με το χρόνο,

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ №107

Επαλήθευση της βασικής εξίσωσης της δυναμικής

περιστροφική κίνηση

Σκοπός:Πειραματική επαλήθευση του βασικού νόμου της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης χρησιμοποιώντας το εκκρεμές Oberbeck.

Όργανα και αξεσουάρ: Εκκρεμές Oberbeck με χιλιοστά του δευτερολέπτου FRM - 15, δαγκάνα βερνιέρου.

Θεωρητική εισαγωγή

Όταν εξετάζουμε την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος από δυναμική άποψη, μαζί με την έννοια των δυνάμεων, εισάγεται η έννοια των ροπών δυνάμεων και μαζί με την έννοια της μάζας, η έννοια της ροπής αδράνειας.

Αφήστε ένα υλικό να δείχνει με μάζα tυπό την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης, κινείται καμπυλόγραμμα σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Ο. Μια ροπή δύναμης δρα σε ένα υλικό σημείο και το σημείο έχει μια ροπή ορμής. Η θέση ενός κινούμενου υλικού σημείου καθορίζεται από το διάνυσμα ακτίνας που σύρεται προς αυτό από το σημείο Ο (Εικ. 1). Η ροπή δύναμης σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Ο ονομάζεται διανυσματική ποσότητα ίση με το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας του διανύσματος δύναμης

Το διάνυσμα κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο των διανυσμάτων και η διεύθυνση του αντιστοιχεί στον κανόνα της δεξιάς βίδας. Το μέτρο της ροπής των δυνάμεων είναι ίσο με

όπου ένα - γωνία μεταξύ διανυσμάτων και , h=rsin ένα - ο ώμος της δύναμης, ίσος με τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Ο έως τη γραμμή δράσης (κατά μήκος της οποίας δρα η δύναμη) της δύναμης.

Η γωνιακή ορμή ως προς το σημείο Ο ονομάζεται διανυσματική ποσότητα ίση με το διανυσματικό γινόμενο της ακτίνας του διανύσματος κατά το διάνυσμα της ορμής, δηλαδή

Το διάνυσμα κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο των διανυσμάτων και (Εικ. 2). Το μέτρο της γωνιακής ορμής είναι ίσο με

όπου σι - τη γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης των διανυσμάτων και .

Ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης

Έστω το μηχανικό σύστημα που αποτελείται από Νυλικά σημεία υπό τη δράση εξωτερικών δυνάμεων, το αποτέλεσμα των οποίων κάνει μια καμπυλόγραμμη κίνηση σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Ο, δηλαδή

πού είναι το διάνυσμα ακτίνας που σχεδιάζεται από το σημείο Ο έως Εγώτο υλικό σημείο, είναι το διάνυσμα της δύναμης που ασκεί Εγώ-ο υλικό σημείο.

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη γωνιακή ορμή του συστήματος

όπου είναι η γωνιακή ορμή Εγώ-ο υλικό σημείο.

Η γωνιακή ορμή εξαρτάται από το χρόνο tγιατί η ταχύτητα είναι συνάρτηση του χρόνου. Λαμβάνοντας την παράγωγο της ορμής του συστήματος ως προς το χρόνο t, παίρνουμε

Ο τύπος (7) είναι μια μαθηματική έκφραση του βασικού νόμου της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης του συστήματος, σύμφωνα με τον οποίο ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ορμής του συστήματος με την πάροδο του χρόνου είναι ίσος με την προκύπτουσα ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν το σύστημα.

Ο νόμος (7) ισχύει και για ένα άκαμπτο σώμα, αφού ένα άκαμπτο σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια συλλογή υλικών σημείων.

Έστω σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, υπό τη δράση μιας εξωτερικής δύναμης. Το άκαμπτο σώμα χωρίζεται σε υλικά σημεία. Για ένα υλικό σημείο με μάζα Μ i θα γραφεί η εξίσωση κίνησης

Γωνιακή στιγμή για Εγώ- το υλικό σημείο είναι ίσο με

Δεδομένου ότι κατά την περιστροφήσι = 90 0 , τότε η γραμμική ταχύτητα σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα με τον τύπο Τότε (9) μπορεί να γραφτεί ως

Η τιμή είναι η ροπή αδράνειας του υλικού σημείου ως προς τον άξονα Ζ. Τότε το (10) παίρνει τη μορφή

Λαμβάνοντας υπόψη το (11), γράφεται ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με έναν σταθερό άξονα

όπου είναι η ροπή αδράνειας του άκαμπτου σώματος ως προς τον άξονα Ζ.

Στο

πού είναι η γωνιακή επιτάχυνση. Σύμφωνα με την κύρια εξίσωση δυναμική της περιστροφικής κίνησης (12), η προκύπτουσα ροπή της εξωτερικής δύναμης που ασκεί το σώμα είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας J του σώματος και της γωνιακής του επιτάχυνσης.

Από την εξίσωση (12) προκύπτει ότι στο j = καταστγωνιακή επιτάχυνση του σώματος

ευθέως ανάλογη με τη ροπή των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με τον άξονα περιστροφής, δηλ.

Στο Μ = συνθη γωνιακή επιτάχυνση είναι αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειας του σώματος, δηλ.

Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να ελέγξει τις σχέσεις (13) και (14) και, κατά συνέπεια, τη βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης (12), τις συνέπειες της οποίας είναι.

Περιγραφή της ρύθμισης λειτουργίας και της μεθόδου μέτρησης

Για τον έλεγχο των σχέσεων (13) και (14), χρησιμοποιείται ένα εκκρεμές Oberbeck, το οποίο είναι ένας αδρανειακός τροχός σε μορφή σταυρού. Σε τέσσερις αμοιβαία κάθετες ράβδους 1 υπάρχουν τέσσερα πανομοιότυπα κυλινδρικά φορτία 2, τα οποία μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκος των ράβδων και να στερεωθούν σε μια ορισμένη απόσταση από τον άξονα. Τα φορτία στερεώνονται συμμετρικά, δηλ. ώστε το κέντρο μάζας τους να συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής. Στον οριζόντιο άξονα του σταυρού υπάρχει ένας δίσκος δύο σταδίων 3, στον οποίο τυλίγεται το νήμα. Το ένα άκρο του νήματος είναι προσαρτημένο στο δίσκο και ένα φορτίο 4 αιωρείται από το δεύτερο άκρο του νήματος, υπό τη δράση του οποίου η συσκευή οδηγείται σε περιστροφή. Μια γενική όψη του εκκρεμούς Oberbeck FRM-06 φαίνεται στο Σχ.3. Ένας ηλεκτρομαγνήτης πέδησης χρησιμοποιείται για να συγκρατεί το σύστημα σταυρού μαζί με τα βάρη σε ηρεμία. Για να διαβαστεί το ύψος της πτώσης των εμπορευμάτων, εφαρμόζεται μια κλίμακα χιλιοστών 5. Ο χρόνος πτώσης του φορτίου 4 μετράται από το ρολόι FRM-15 χιλιοστών του δευτερολέπτου, στο οποίο οι φωτοηλεκτρικοί αισθητήρες Νο. 1 (6 ) και το Νο. 2 (7) συνδέονται. Ο φωτοηλεκτρικός αισθητήρας Νο. 2 (7) δημιουργεί μια ηλεκτρική ώθηση των μετρήσεων τέλους χρόνου και ενεργοποιεί τον ηλεκτρομαγνήτη του φρένου.

Εάν αφήσετε το φορτίο 4 να κινηθεί, τότε αυτή η κίνηση θα συμβεί με επιτάχυνση ένα.

όπου t- χρόνος μετακίνησης του φορτίου από ύψος η. Σε αυτή την περίπτωση, η τροχαλία με τις ράβδους και τα φορτία που βρίσκονται πάνω τους θα περιστρέφονται με γωνιακή επιτάχυνσημι .

όπου r- ακτίνα τροχαλίας.

Η ροπή της δύναμης που εφαρμόζεται στον σταυρό και που αναφέρει τη γωνιακή επιτάχυνση του περιστρεφόμενου τμήματος της συσκευής, βρίσκουμε από τον τύπο

όπου Τ- η δύναμη τάνυσης του καλωδίου. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για το φορτίο 4 έχουμε

όπου

όπου σολ- επιτάχυνση της βαρύτητας.

Από τους τύπους (12), (15), (16), (17) και (19) έχουμε

Η διαδικασία για την εκτέλεση εργασιών και την επεξεργασία των αποτελεσμάτων της μέτρησης

1. Μετρήστε την ακτίνα της μεγάλης και της μικρής τροχαλίας με ένα παχύμετρο r 1 και r 2 .

2. Προσδιορίστε τη μάζα του φορτίου 4 ζυγίζοντας σε τεχνική ζυγαριά με ακρίβεια± 0,1 γρ

3. Έλεγχος σχέσης (13). Για αυτό:

- στερεώστε κυλινδρικά κινητά βάρη στις ράβδους στην πλησιέστερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής έτσι ώστε το εγκάρσιο τεμάχιο να βρίσκεται σε θέση αδιάφορης ισορροπίας.

- τυλίξτε το νήμα γύρω από μια τροχαλία μεγάλης ακτίνας r1 και μετρήστε το χρόνο μετακίνησης του φορτίου tαπό ψηλά ηρολόι χιλιοστού του δευτερολέπτου, γιατί

- συνδέστε το καλώδιο τροφοδοσίας του μετρητή στο τροφοδοτικό.

- Πατήστε το πλήκτρο «ΔΙΚΤΥΟ» και ελέγξτε εάν όλες οι ενδείξεις του μετρητή δείχνουν μηδέν και εάν όλες οι ενδείξεις και των δύο φωτοηλεκτρικών αισθητήρων είναι αναμμένες.

- μετακινήστε το βάρος στην επάνω θέση και ελέγξτε εάν το κύκλωμα είναι σε ηρεμία.

- πατήστε το πλήκτρο "START" και μετρήστε το χρόνο κίνησης του φορτίου με ένα ρολόι χιλιοστού του δευτερολέπτου.

- Πατήστε το πλήκτρο "RESET" και ελέγξτε εάν οι ενδείξεις του μετρητή έχουν μηδενιστεί και η κλειδαριά έχει απελευθερωθεί από τον ηλεκτρομαγνήτη.

- μετακινήστε το φορτίο στην επάνω θέση, πατήστε το πλήκτρο "START" και ελέγξτε εάν το κύκλωμα έχει μπλοκαριστεί ξανά.

- επαναλάβετε το πείραμα 5 φορές. Υψος ηδεν συνιστάται η αλλαγή κατά τη διάρκεια ολόκληρης της λειτουργίας.

- χρησιμοποιώντας τους τύπους (15), (16), (20) υπολογίστε τις τιμές ένα 1 , μι 1 , Μ 1 ;

- χωρίς να αλλάξετε τη θέση των κινούμενων φορτίων και έτσι να αφήσετε αμετάβλητη τη στιγμή αδράνειας του συστήματος, επαναλάβετε το πείραμα τυλίγοντας το νήμα με το φορτίο σε μια μικρή τροχαλία με ακτίνα r2;

- χρησιμοποιώντας τους τύπους (15), (16), (20) υπολογίστε τις τιμές ένα 2 , μι 2 , Μ 2 ;

- ελέγξτε την εγκυρότητα της συνέπειας του βασικού νόμου της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης:

, στο

- εισάγετε τα δεδομένα των αποτελεσμάτων των μετρήσεων και των υπολογισμών στους πίνακες 1 και 2.

4. Έλεγχος αναλογίας (1τέσσερα). Για αυτό:

- σπρώξτε τα κινητά βάρη μέχρι το στοπ στα άκρα των ράβδων, αλλά έτσι ώστε το εγκάρσιο τεμάχιο να βρίσκεται και πάλι σε θέση αδιάφορης ισορροπίας.

- για μικρή τροχαλία r2 καθορίζει το χρόνο μετακίνησης του φορτίου t/ σύμφωνα με 5 πειράματα?

- χρησιμοποιώντας τους τύπους (15), (20), (21) προσδιορίστε τις τιμές ένα / , μι / , J1;

- κατά τον έλεγχο της αναλογίας όταν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις τιμές της προηγούμενης εμπειρίας ρυθμίζοντας και ;

- χρησιμοποιώντας τον τύπο (21) καθορίστε την τιμή J 2 ;

- υπολογίστε τις τιμές του και .

- Καταγράψτε τα αποτελέσματα των μετρήσεων και των υπολογισμών στον Πίνακα 3.

Τραπέζι 1

r1	Μ	η	t 1	< t 1 >	ένα 1	μι 1	Μ 1
	κιλό				m/s 2	από -2	H × Μ

πίνακας 2

r2	t 2	< t 2 >	ένα 2	μι 2	Μ 2	Μ 1 /Μ 2	μι 1 / μι 2
			m/s 2	από -2	H × Μ

Πίνακας 3

r 2	t /	< t / >	ένα /	μι /	J 1	ένα //	J 2	μι //	μι / / μι //	J 2 / J 1
			m/s 2	από -2	κιλό × m 2	m/s 2	κιλό × m 2	από -2

Ερωτήσεις για εισαγωγή στην εργασία

1. Ποιος είναι ο σκοπός της εργασίας;

2. Να διατυπώσετε τον βασικό νόμο της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης. Εξηγήστε τη φυσική έννοια των μεγεθών που περιλαμβάνονται στον παρόντα νόμο, αναφέρετε τις μονάδες μέτρησής τους στο "SI".

3. Περιγράψτε τη συσκευή της εγκατάστασης εργασίας.

Ερωτήσεις για την προστασία του έργου

1. Δώστε τους ορισμούς της ροπής των δυνάμεων, της ροπής της ορμής ενός υλικού σημείου σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Ο.

2. Να διατυπώσετε τον βασικό νόμο της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Ο και έναν σταθερό άξονα Ζ.

3. Να ορίσετε τη ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου και ενός άκαμπτου σώματος.

4. Εξάγετε τύπους εργασίας.

5. Να υπολογίσετε την αναλογία για και για

6. Υπάρχουν κριτικές για αυτό το έργο;

Στιγμή δύναμης

Η περιστροφική δράση μιας δύναμης καθορίζεται από την ορμή της. Η ροπή δύναμης γύρω από ένα σημείο είναι το εγκάρσιο γινόμενο

Διάνυσμα ακτίνας σχεδιασμένο από σημείο σε σημείο εφαρμογής δύναμης (Εικ. 2.12). Η μονάδα μέτρησης της ροπής δύναμης.

Εικόνα 2.12

Το μέγεθος της στιγμής της δύναμης

ή μπορείτε να γράψετε

πού βρίσκεται ο ώμος της δύναμης (η μικρότερη απόσταση από το σημείο μέχρι τη γραμμή δράσης της δύναμης).

Η κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται από τον κανόνα του εγκάρσιου γινομένου ή από τον κανόνα της «δεξιάς βίδας» (συνδυάζουμε τα διανύσματα και την παράλληλη μετατόπιση στο σημείο Ο, η κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται έτσι ώστε από το άκρο του η στροφή από το διάνυσμα στο είναι ορατή αριστερόστροφα - στο Σχ. 2.12 το διάνυσμα κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο που τραβάει "από εμάς" (ομοίως, σύμφωνα με τον κανόνα gimlet - η μεταφορική κίνηση αντιστοιχεί στην κατεύθυνση του διανύσματος, η περιστροφική αντιστοιχεί σε μια στροφή από προς)).

Η ροπή μιας δύναμης γύρω από ένα σημείο είναι μηδέν αν η γραμμή δράσης της δύναμης διέρχεται από αυτό το σημείο.

Η προβολή ενός διανύσματος σε οποιονδήποτε άξονα, για παράδειγμα, στον άξονα z, ονομάζεται ροπή δύναμης γύρω από αυτόν τον άξονα. Για να προσδιορίσετε τη ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα, προβάλετε πρώτα τη δύναμη σε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα (Εικ. 2.13) και στη συνέχεια βρείτε τη ροπή αυτής της προβολής σε σχέση με το σημείο τομής του άξονα με το επίπεδο που είναι κάθετο σε αυτόν . Εάν η γραμμή δράσης της δύναμης είναι παράλληλη προς τον άξονα, ή τον διασχίζει, τότε η ροπή δύναμης γύρω από αυτόν τον άξονα είναι ίση με μηδέν.

Εικόνα 2.13

στροφορμή

Στιγμή ορμής υλικό σημείο μια μάζα που κινείται με ταχύτητα σε σχέση με οποιοδήποτε σημείο αναφοράς ονομάζεται διανυσματικό γινόμενο

Το διάνυσμα ακτίνας ενός υλικού σημείου (Εικ. 2.14) είναι η ορμή του.

Εικόνα 2.14

Η τιμή της γωνιακής ορμής του υλικού σημείου

όπου είναι η μικρότερη απόσταση από τη διανυσματική γραμμή στο σημείο .

Η κατεύθυνση της γωνιακής ορμής προσδιορίζεται παρόμοια με την κατεύθυνση της ροπής δύναμης.

Εάν η έκφραση για το L 0 πολλαπλασιαστεί και διαιρεθεί με l, παίρνουμε:

Όπου - η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου - ένα ανάλογο μάζας σε περιστροφική κίνηση.

Γωνιακή ταχύτητα.

Ροπή αδράνειας άκαμπτου σώματος

Μπορεί να φανεί ότι οι προκύπτοντες τύποι είναι πολύ παρόμοιοι με τις εκφράσεις για την ορμή και για τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, αντίστοιχα, μόνο αντί για γραμμική ταχύτητα και επιτάχυνση, χρησιμοποιούνται γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση και αντί για μάζα, η ποσότητα I=mR 2, κάλεσε ροπή αδράνειας υλικού σημείου .

Εάν το σώμα δεν μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο, αλλά μπορεί να θεωρηθεί απολύτως άκαμπτο, τότε η ροπή αδράνειας του μπορεί να θεωρηθεί το άθροισμα των ροπών αδράνειας των απείρως μικρών μερών του, αφού οι γωνιακές ταχύτητες περιστροφής αυτών των μερών είναι οι ίδιες (Εικ. 2.16). Το άθροισμα των απειροελάχιστων είναι το ολοκλήρωμα:

Για κάθε σώμα, υπάρχουν άξονες που διέρχονται από το κέντρο αδράνειάς του, οι οποίοι έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από τέτοιους άξονες απουσία εξωτερικών επιρροών, οι άξονες περιστροφής δεν αλλάζουν τη θέση τους. Τέτοιοι άξονες ονομάζονται ελεύθεροι άξονες του σώματος . Μπορεί να αποδειχθεί ότι για ένα σώμα οποιουδήποτε σχήματος και με οποιαδήποτε κατανομή πυκνότητας υπάρχουν τρεις αμοιβαία κάθετοι ελεύθεροι άξονες, που ονομάζονται κύριοι άξονες αδράνειας σώμα. Οι ροπές αδράνειας ενός σώματος ως προς τους κύριους άξονες ονομάζονται κύριες (εσωτερικές) ροπές αδράνειας σώμα.

Οι κύριες ροπές αδράνειας ορισμένων σωμάτων δίνονται στον πίνακα:

Θεώρημα Huygens-Steiner.

Αυτή η έκφραση ονομάζεται Θεωρήματα Huygens-Steiner : ροπή αδράνειας του σώματος ως προς αυθαίρετο άξονα ισούται με το άθροισμαη ροπή αδράνειας του σώματος ως προς έναν άξονα παράλληλο προς τον δεδομένο και που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και το γινόμενο της μάζας του σώματος με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των αξόνων.

Η βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης

Ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης μπορεί να ληφθεί από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τη μεταφορική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος

Οπου φάείναι η δύναμη που ασκείται στο σώμα από τη μάζα Μ; έναείναι η γραμμική επιτάχυνση του σώματος.

Εάν σε ένα άκαμπτο σώμα μάζας Μστο σημείο Α (Εικ. 2.15) ασκήστε δύναμη φά, τότε ως αποτέλεσμα μιας άκαμπτης σύνδεσης μεταξύ όλων των υλικών σημείων του σώματος, όλα θα λάβουν μια γωνιακή επιτάχυνση ε και τις αντίστοιχες γραμμικές επιταχύνσεις, σαν να ασκεί μια δύναμη F 1 …F n σε κάθε σημείο. Για κάθε υλικό σημείο, μπορείτε να γράψετε:

Όπου λοιπόν

Οπου m i- βάρος Εγώ-το σημείο? ε είναι η γωνιακή επιτάχυνση. r iείναι η απόστασή του από τον άξονα περιστροφής.

Πολλαπλασιάζοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με r i, παίρνουμε

Όπου - η στιγμή της δύναμης - είναι το γινόμενο της δύναμης στον ώμο της.

Ρύζι. 2.15. Ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται υπό τη δράση μιας δύναμης φάσχετικά με τον άξονα «ΟΟ».

- ροπή αδράνειας Εγώτο υλικό σημείο (ανάλογο με τη μάζα σε περιστροφική κίνηση).

Η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Ας αθροίσουμε το αριστερό και το δεξί μέρος σε όλα τα σημεία του σώματος:

Η εξίσωση είναι ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος. Τιμή - το γεωμετρικό άθροισμα όλων των ροπών των δυνάμεων, δηλαδή η στιγμή της δύναμης φά, δίνοντας επιτάχυνση ε σε όλα τα σημεία του σώματος. είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των σημείων του σώματος. Ο νόμος διατυπώνεται ως εξής: «Η ροπή της δύναμης που ασκείται σε ένα περιστρεφόμενο σώμα είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας του σώματος και της γωνιακής επιτάχυνσης».

Αφ 'ετέρου

Με τη σειρά του - μια αλλαγή στη γωνιακή ορμή του σώματος.

Τότε ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης μπορεί να ξαναγραφτεί ως:

Ή - η ώθηση της ροπής της δύναμης, που ενεργεί σε ένα περιστρεφόμενο σώμα, είναι ίση με τη μεταβολή της γωνιακής του ορμής.

Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής

Παρόμοιο με το ZSI.

Σύμφωνα με τη βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης, η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα Z: . Επομένως, σε ένα κλειστό σύστημα και, επομένως, η συνολική γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα Z όλων των σωμάτων που περιλαμβάνονται σε ένα κλειστό σύστημα είναι μια σταθερή τιμή. Εκφράζει νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής . Αυτός ο νόμος ισχύει μόνο σε αδρανειακά πλαίσια αναφοράς.

Ας κάνουμε μια αναλογία μεταξύ των χαρακτηριστικών της μεταφορικής κίνησης και της περιστροφικής κίνησης.

Οι βάσεις και τα θεμέλια υπολογίζονται σύμφωνα με 2 οριακές καταστάσεις

	Με φέρουσα ικανότητα:	Ν- το καθορισμένο φορτίο σχεδιασμού στη βάση στον πιο δυσμενή συνδυασμό. - φέρουσα ικανότητα (τελικό φορτίο) της θεμελίωσης για δεδομένη κατεύθυνση φορτίου Ν; - συντελεστής συνθηκών εργασίας του ιδρύματος (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Σύμφωνα με τις οριακές παραμορφώσεις:	- εκτιμώμενη απόλυτη διευθέτηση του ιδρύματος. - υπολογισμένη σχετική διαφορά οικισμών θεμελίωσης. , - οριακές τιμές, αντίστοιχα, της απόλυτης και σχετικής διαφοράς των οικισμών θεμελίωσης (SNiP 2.02.01-83 *)

Δυναμική περιστροφής

Πρόλογος

Εφιστώ την προσοχή των μαθητών στο γεγονός ότι ΑΥΤΟ το υλικό δεν θεωρήθηκε ΑΠΟΛΥΤΑ στο σχολείο (εκτός από την έννοια της ροπής δύναμης).

1. Ο νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης

ένα. Νόμος της δυναμικής περιστροφικής κίνησης

σι. Στιγμή δύναμης

ντο. Στιγμή ενός ζεύγους δυνάμεων

ρε. Ροπή αδράνειας

2. Ροπές αδράνειας ορισμένων σωμάτων:

ένα. Δακτύλιος (κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα)

σι. Κύλινδρος παχύς τοίχος

ντο. συμπαγής κύλινδρος

μι. λεπτή ράβδος

3. Θεώρημα Steiner

4. Γωνιακή ροπή του σώματος. Αλλαγή στη γωνιακή ορμή του σώματος. ορμή ώθηση. Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής

5. Περιστροφική λειτουργία

6. Κινητική ενέργεια περιστροφής

7. Σύγκριση μεγεθών και νόμων για μεταφορική και περιστροφική κίνηση

1α. Θεωρήστε ένα άκαμπτο σώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα OO (Εικ. 3.1). Ας σπάσουμε αυτό το στερεό σώμα σε ξεχωριστές στοιχειώδεις μάζες Δ ΜΕγώ . Το αποτέλεσμα όλων των δυνάμεων που εφαρμόζονται στο Δ Μ i , που συμβολίζεται με . Αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση όταν η δύναμη βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής: οι συνιστώσες της δύναμης παράλληλες στον άξονα δεν μπορούν να επηρεάσουν την περιστροφή του σώματος, αφού ο άξονας είναι σταθερός. Τότε η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για τις εφαπτομενικές συνιστώσες της δύναμης και της επιτάχυνσης θα γραφτεί ως:

Η κανονική συνιστώσα της δύναμης παρέχει κεντρομόλο επιτάχυνση και δεν επηρεάζει τη γωνιακή επιτάχυνση. Από (1.27): , πού είναι η ακτίνα περιστροφής Εγώ- αυτό το σημείο. Επειτα

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές του (3.2) με:

σημειώσε ότι

όπου α είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος δύναμης και του διανύσματος ακτίνας του σημείου (Εικ. 3.1), είναι η κάθετη που πέφτει στη γραμμή δράσης της δύναμης από το κέντρο περιστροφής (ώμος της δύναμης). Ας εισαγάγουμε την έννοια της ροπής δύναμης.

1β. Στιγμή δύναμης σε σχέση με τον άξονα ονομάζεται διάνυσμα που κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής και σχετίζεται με την κατεύθυνση της δύναμης από τον κανόνα του τεμαχίου, το δομοστοιχείο του οποίου είναι ίσο με το γινόμενο της δύναμης και του βραχίονα: . Ώμος Δύναμης μεγάλοσε σχέση με τον άξονα περιστροφής είναι η μικρότερη απόσταση από τη γραμμή δράσης της δύναμης μέχρι τον άξονα περιστροφής. Διάσταση της ροπής δύναμης:

Σε διανυσματική μορφή, η ροπή δύναμης γύρω από ένα σημείο:

Το διάνυσμα της ροπής της δύναμης είναι κάθετο τόσο στη δύναμη όσο και στο διάνυσμα της ακτίνας του σημείου εφαρμογής του:

Εάν το διάνυσμα δύναμης είναι κάθετο στον άξονα, τότε το διάνυσμα της ροπής δύναμης κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα σύμφωνα με τον κανόνα της δεξιάς βίδας και το μέγεθος της ροπής δύναμης σε σχέση με αυτόν τον άξονα (προβολή στον άξονα) καθορίζεται από τον τύπο (3.4):

Η ροπή της δύναμης εξαρτάται τόσο από το μέγεθος της δύναμης όσο και από τον βραχίονα της δύναμης. Αν η δύναμη είναι παράλληλη προς τον άξονα, τότε .

1γ. Δυναμικό ζευγάρι - αυτές είναι δύο ίσες σε μέγεθος και αντίθετες σε κατεύθυνση δυνάμεις, οι γραμμές δράσης των οποίων δεν συμπίπτουν (Εικ. 3.2). Ο βραχίονας ενός ζεύγους δυνάμεων είναι η απόσταση μεταξύ των γραμμών δράσης των δυνάμεων. Ας βρούμε τη συνολική ροπή του ζεύγους δυνάμεων και () στην προβολή στον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο:

Δηλαδή, η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι ίση με το γινόμενο του μεγέθους της δύναμης και του plccho του ζεύγους:

Ας επιστρέψουμε στο (3.3). Λαμβάνοντας υπόψη τις (3.4) και (3.6):

1δ. Ορισμός: μια κλιμακωτή τιμή ίση με το γινόμενο της μάζας ενός υλικού σημείου και του τετραγώνου της απόστασής του από τον άξονα ονομάζεται ροπή αδράνειας υλικού σημείου σε σχέση με τον άξονα OO:

Διάσταση ροπής αδράνειας

Τα διανύσματα και συμπίπτουν ως προς την κατεύθυνση με τον άξονα περιστροφής, σχετίζονται με την κατεύθυνση περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα του gimlet, επομένως η ισότητα (3.9) μπορεί να ξαναγραφτεί σε διανυσματική μορφή:

Ας αθροίσουμε το (3.10) σε όλες τις στοιχειώδεις μάζες στις οποίες χωρίζεται το σώμα:

Εδώ λαμβάνεται υπόψη ότι η γωνιακή επιτάχυνση όλων των σημείων ενός άκαμπτου σώματος είναι η ίδια και μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αθροίσματος. Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης βρίσκεται το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων (εξωτερικών και εσωτερικών) που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο του σώματος. Αλλά σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, οι δυνάμεις με τις οποίες τα σημεία του σώματος αλληλεπιδρούν μεταξύ τους (εσωτερικές δυνάμεις) είναι ίσες σε μέγεθος και αντίθετες στην κατεύθυνση και βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή, οπότε οι ροπές τους αλληλοεξουδετερώνονται. Έτσι, στο αριστερό μέρος του (3.11) παραμένει η συνολική ροπή μόνο των εξωτερικών δυνάμεων: .

Το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών και του τετραγώνου των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής λέγεται ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος για αυτόν τον άξονα:

Με αυτόν τον τρόπο, ; - αυτός είναι ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος (ανάλογος με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα): Η γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος είναι ευθέως ανάλογη με τη συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων και αντιστρόφως ανάλογη με τη ροπή αδράνειας του σώματος :

Ροπή αδράνειας Εγώστερεά είναι ένα μέτρο των αδρανών ιδιοτήτων ενός στερεού σώματος κατά την περιστροφική κίνηση και είναι παρόμοια με τη μάζα ενός σώματος στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Ουσιαστικά εξαρτάται όχι μόνο από τη μάζα του σώματος, αλλά και από την κατανομή του σε σχέση με τον άξονα περιστροφής (στην διεύθυνση κάθετη προς τον άξονα).

Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής μάζας, το άθροισμα στο (3.12) μειώνεται σε ένα ολοκλήρωμα σε ολόκληρο τον όγκο του σώματος:

2α. Η ροπή αδράνειας ενός λεπτού δακτυλίου ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κάθετο στο επίπεδο του δακτυλίου.

αφού για οποιοδήποτε στοιχείο του δακτυλίου η απόστασή του από τον άξονα είναι ίδια και ίση με την ακτίνα του δακτυλίου: .

2β. Κύλινδρος με παχύ τοίχωμα (δίσκος) με εσωτερική και εξωτερική ακτίνα .

Ας υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός ομοιογενούς δίσκου με πυκνότητα ρ , ύψος η,εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα (Εικ.3.3) σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας κάθετο στο επίπεδο του δίσκου. Ας χωρίσουμε το δίσκο σε λεπτούς δακτυλίους πάχους και ύψους έτσι ώστε η εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου να είναι και η εξωτερική να είναι . Ο όγκος ενός τέτοιου δακτυλίου είναι , όπου είναι η περιοχή της βάσης του λεπτού δακτυλίου. Η μάζα του:

Αντικαθιστούμε στο (3.14) και ενσωματώνουμε πάνω r():

Μάζα του δίσκου και τελικά:

2γ. Συμπαγής κύλινδρος (δίσκος).

Στην ειδική περίπτωση συμπαγούς δίσκου ή κυλίνδρου με ακτίνα Rας αντικαταστήσουμε στο (3.17) R 1 =0, R 2 =Rκαι παρε:

Ροπή αδράνειας μπάλας ακτίνας Rκαι η μάζα σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του (Εικ. 3.4), είναι (χωρίς απόδειξη):

2ε. Η ροπή αδράνειας μιας λεπτής ράβδου με μάζα και μήκος σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το άκρο της κάθετο στη ράβδο (Εικ. 3.5).

Χωρίζουμε τη βέργα σε άπειρα μικρά τμήματα μήκους . Η μάζα μιας τέτοιας περιοχής. Αντικαταστήστε στο (3.14) και ενσωματώστε από το 0 στο :

Εάν ο άξονας διέρχεται από το κέντρο της ράβδου κάθετα προς αυτόν, μπορείτε να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του μισού της ράβδου χρησιμοποιώντας το (3.20) και στη συνέχεια να διπλασιάσετε:

3. Εάν ο άξονας περιστροφής δεν περνάειμέσω του κέντρου μάζας του σώματος (Εικ.3.6), οι υπολογισμοί με χρήση του τύπου (3.14) μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκοι. Στην περίπτωση αυτή, ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας διευκολύνεται με τη χρήση Θεωρήματα του Steiner : η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς έναν αυθαίρετο άξονα είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας Εγώντο σώμα γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος παράλληλο προς αυτόν τον άξονα και το γινόμενο της μάζας σώματος με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ αξόνων:

Ας δούμε πώς λειτουργεί το θεώρημα του Steiner αν το εφαρμόσουμε σε μια ράβδο:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αποκτάται ταυτότητα, αφού σε αυτή την περίπτωση η απόσταση μεταξύ των αξόνων είναι ίση με το μισό μήκος της ράβδου.

4. Γωνιακή ροπή του σώματος. Αλλαγή στη γωνιακή ορμή του σώματος. ορμή ώθηση. Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Από τον νόμο της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης και τον ορισμό της γωνιακής επιτάχυνσης, προκύπτει:

Αν τότε . Ας εισαγάγουμε τη γωνιακή ορμή του άκαμπτου σώματος ως

Η σχέση (3.24) είναι ο βασικός νόμος της δυναμικής του άκαμπτου σώματος για περιστροφική κίνηση. Μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

και στη συνέχεια θα είναι ένα ανάλογο του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για τη μεταφορική κίνηση σε παρορμητική μορφή (2.5)

Η έκφραση (3.24) μπορεί να ενσωματωθεί:

και να διατυπώσετε το νόμο της μεταβολής της γωνιακής ορμής: η μεταβολή της ροπής της ορμής του σώματος είναι ίση με την ορμή της συνολικής ροπής των εξωτερικών δυνάμεων . Η ποσότητα ονομάζεται ώθηση της ροπής δύναμης και είναι παρόμοια με την ώθηση της δύναμης στη διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για τη μεταφορική κίνηση (2.2). Η γωνιακή ορμή είναι ανάλογη με την ορμή.

Διάσταση γωνιακής ορμής

Η γωνιακή ορμή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής του είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα του κυκλώματος.

Η γωνιακή ορμή ενός υλικού σημείου σε σχέση με το σημείο Ο (Εικ. 3.6) είναι:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας ενός υλικού σημείου, είναι η ορμή του. Το διάνυσμα της γωνιακής ορμής κατευθύνεται σύμφωνα με τον κανόνα του gimlet κάθετα στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα διανύσματα και βρίσκονται: στο Σχ. 3.7 - σε εμάς λόγω του σχήματος. Το μέγεθος της γωνιακής ορμής

Διαιρούμε ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα σε στοιχειώδεις μάζες και αθροίζουμε τη γωνιακή ορμή κάθε μάζας σε ολόκληρο το σώμα (το ίδιο μπορεί να γραφτεί ως ολοκλήρωμα, αυτό δεν είναι θεμελιώδες):

Δεδομένου ότι η γωνιακή ταχύτητα όλων των σημείων είναι η ίδια και κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής, μπορεί να γραφτεί σε διανυσματική μορφή:

Έτσι, αποδεικνύεται η ισοδυναμία των ορισμών (3.23) και (3.26).

Εάν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν, τότε η γωνιακή ορμή του συστήματος δεν αλλάζει(βλέπε 3.25):

. Αυτός είναι ο νόμος της διατήρησης της ορμής . Αυτό είναι δυνατό όταν:

α) το σύστημα είναι κλειστό (ή)

β) οι εξωτερικές δυνάμεις δεν έχουν εφαπτομενικές συνιστώσες (το διάνυσμα δύναμης διέρχεται από τον άξονα/κέντρο περιστροφής).

γ) οι εξωτερικές δυνάμεις είναι παράλληλες με τον σταθερό άξονα περιστροφής.

Παραδείγματα χρήσης / λειτουργίας του νόμου διατήρησης της γωνιακής ορμής:

1. γυροσκόπιο?

2. Ο πάγκος του Ζουκόφσκι.

3. πατινέρ στον πάγο.

5. Εργαστείτε με περιστροφική κίνηση.

Αφήστε το σώμα να στραφεί μέσω μιας γωνίας υπό τη δράση μιας δύναμης και η γωνία μεταξύ της μετατόπισης και της δύναμης είναι . - το διάνυσμα ακτίνας του σημείου εφαρμογής της δύναμης (Εικ. 3.8), τότε το έργο της δύναμης είναι ίσο με: