Εύρεση του όγκου ενός σώματος από τα εμβαδά της διατομής. Πώς να βρείτε την επιφάνεια μιας περιστροφής χρησιμοποιώντας την ενσωματωμένη επιφάνεια που σχηματίζεται από μια περιστροφή

11.02.2022 | Πίνακες ζωγραφικής καλλιτεχνών

5. Εύρεση της επιφάνειας των σωμάτων περιστροφής

Έστω η καμπύλη ΑΒ η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) ≥ 0, όπου x [a; b], και η συνάρτηση y \u003d f (x) και η παράγωγός της y "\u003d f" (x) είναι συνεχείς σε αυτό το τμήμα.

Ας βρούμε το εμβαδόν S της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή της καμπύλης ΑΒ γύρω από τον άξονα Ox (Εικ. 8).

Εφαρμόζουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος).

Μέσω ενός αυθαίρετου σημείου x [a; β] ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο P, κάθετο στον άξονα Ox. Το επίπεδο P τέμνει την επιφάνεια της περιστροφής κατά μήκος ενός κύκλου με ακτίνα y - f(x). Η τιμή S της επιφάνειας του τμήματος του σχήματος της περιστροφής που βρίσκεται στα αριστερά του επιπέδου είναι συνάρτηση του x, δηλ. s = s(x) (s(a) = 0 και s(b) = S).

Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Δх = dх. Μέσω του σημείου x + dx [a; β] σχεδιάστε επίσης ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα x. Η συνάρτηση s = s(x) θα λάβει μια αύξηση Δs, που φαίνεται στο σχήμα ως "ιμάντας".

Ας βρούμε το διαφορικό του εμβαδού ds, αντικαθιστώντας το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ των τμημάτων με έναν κόλουρο κώνο, του οποίου η γενεαλογία είναι ίση με dl και οι ακτίνες των βάσεων είναι ίσες με y και y + dy. Το εμβαδόν της πλευρικής του επιφάνειας είναι: = 2ydl + dydl.

Απορρίπτοντας το γινόμενο dу d1 ως απειροελάχιστη υψηλότερη τάξη από το ds, λαμβάνουμε ds = 2уdl, ή, αφού d1 = dx.

Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στο εύρος από x = a έως x = b, λαμβάνουμε

Εάν η καμπύλη ΑΒ δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, τότε ο τύπος για το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής γίνεται

S=2 dt.

Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας σφαίρας ακτίνας R.

S=2 =

6. Εύρεση του έργου μιας μεταβλητής δύναμης

Εργασία μεταβλητής δύναμης

Αφήστε το υλικό σημείο Μ να κινηθεί κατά μήκος του άξονα Ox υπό την επίδραση μιας μεταβλητής δύναμης F = F(x) που κατευθύνεται παράλληλα προς αυτόν τον άξονα. Το έργο που ασκεί η δύναμη όταν μετακινείται το σημείο M από τη θέση x = a στη θέση x = b (α

Τι δουλειά πρέπει να γίνει για να τεντώσει το ελατήριο κατά 0,05 m εάν μια δύναμη 100 N τεντώσει το ελατήριο κατά 0,01 m;

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke, η ελαστική δύναμη που τεντώνει το ελατήριο είναι ανάλογη με αυτό το τέντωμα x, δηλ. F = kx, όπου k είναι ο συντελεστής αναλογικότητας. Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, η δύναμη F = 100 N τεντώνει το ελατήριο κατά x = 0,01 m. Επομένως, 100 = k 0,01, από όπου k = 10000; επομένως, F = 10000x.

Η επιθυμητή εργασία με βάση τον τύπο

Α=

Βρείτε το έργο που πρέπει να δαπανηθεί για την άντληση υγρού πάνω από την άκρη από μια κατακόρυφη κυλινδρική δεξαμενή ύψους H m και ακτίνας βάσης R m (Εικ. 13).

Η εργασία που δαπανάται για την ανύψωση ενός σώματος βάρους p σε ύψος h ισούται με p H. Αλλά τα διαφορετικά στρώματα του υγρού στη δεξαμενή βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη και το ύψος της ανόδου (στην άκρη της δεξαμενής) του διαφορετικά στρώματα δεν είναι το ίδιο.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, εφαρμόζουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος). Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων.

1) Η εργασία που δαπανάται για την άντληση ενός στρώματος υγρού πάχους x (0 ≤ x ≤ H) από τη δεξαμενή είναι συνάρτηση του x, δηλ. A \u003d A (x), όπου (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Το κύριο μέρος της αύξησης ΔA το βρίσκουμε όταν το x αλλάζει κατά Δx = dx, δηλ. βρίσκουμε το διαφορικό dA της συνάρτησης A(x).

Λαμβάνοντας υπόψη τη μικρότητα του dx, υποθέτουμε ότι το "στοιχειώδες" υγρό στρώμα βρίσκεται στο ίδιο βάθος x (από την άκρη της δεξαμενής). Τότε dА = dрх, όπου dр είναι το βάρος αυτού του στρώματος. ισούται με g AV, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, είναι η πυκνότητα του υγρού, dv είναι ο όγκος του «στοιχειώδους» υγρού στρώματος (τονίζεται στο σχήμα), δηλ. dr = g. Ο όγκος αυτού του υγρού στρώματος είναι προφανώς ίσος με , όπου dx είναι το ύψος του κυλίνδρου (στρώμα), είναι το εμβαδόν της βάσης του, δηλ. dv = .

Έτσι, dр = . και

3) Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στην περιοχή από x \u003d 0 έως x \u003d H, βρίσκουμε

ΕΝΑ

8. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση του πακέτου MathCAD

Κατά την επίλυση ορισμένων εφαρμοζόμενων προβλημάτων, απαιτείται η χρήση της λειτουργίας της συμβολικής ολοκλήρωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόγραμμα MathCad μπορεί να είναι χρήσιμο τόσο στο αρχικό στάδιο (καλό είναι να γνωρίζετε την απάντηση εκ των προτέρων ή να γνωρίζετε ότι υπάρχει) όσο και στο τελικό στάδιο (καλό είναι να ελέγξετε το αποτέλεσμα που προέκυψε χρησιμοποιώντας την απάντηση ενός άλλου πηγή ή λύση άλλου ατόμου).

Κατά την επίλυση μεγάλου αριθμού προβλημάτων, μπορείτε να παρατηρήσετε ορισμένες δυνατότητες επίλυσης προβλημάτων χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα MathCad. Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε με μερικά παραδείγματα πώς λειτουργεί αυτό το πρόγραμμα, να αναλύσουμε τις λύσεις που προέκυψαν με τη βοήθειά του και να συγκρίνουμε αυτές τις λύσεις με τις λύσεις που λαμβάνονται με άλλους τρόπους.

Τα κύρια προβλήματα κατά τη χρήση του προγράμματος MathCad είναι τα εξής:

α) το πρόγραμμα δίνει την απάντηση όχι με τη μορφή οικείων στοιχειωδών συναρτήσεων, αλλά με τη μορφή ειδικών συναρτήσεων που δεν είναι γνωστές σε όλους.

β) σε ορισμένες περιπτώσεις "αρνείται" να δώσει μια απάντηση, αν και το πρόβλημα έχει λύση.

γ) μερικές φορές είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί το αποτέλεσμα που προκύπτει λόγω του όγκου του.

δ) λύνει το πρόβλημα ελλιπώς και δεν αναλύει τη λύση.

Για να λυθούν αυτά τα προβλήματα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία του προγράμματος.

Με τη βοήθειά του, είναι εύκολο και απλό να υπολογιστούν ολοκληρώματα κλασματικών ορθολογικών συναρτήσεων. Επομένως, συνιστάται η χρήση της μεθόδου μεταβλητής υποκατάστασης, δηλ. προετοιμάστε το ολοκλήρωμα για τη λύση. Για τους σκοπούς αυτούς, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι υποκαταστάσεις που συζητήθηκαν παραπάνω. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι τα αποτελέσματα που λαμβάνονται πρέπει να εξεταστούν ως προς τη σύμπτωση των τομέων ορισμού της αρχικής συνάρτησης και του αποτελέσματος που προκύπτει. Επιπλέον, ορισμένες από τις λύσεις που λαμβάνονται απαιτούν πρόσθετη έρευνα.

Το πρόγραμμα MathCad απαλλάσσει τον μαθητή ή τον ερευνητή από τη συνήθη εργασία, αλλά δεν μπορεί να τον απαλλάξει από πρόσθετες αναλύσεις τόσο κατά την τοποθέτηση ενός προβλήματος όσο και κατά τη λήψη οποιωνδήποτε αποτελεσμάτων.

Στην παρούσα εργασία εξετάστηκαν οι κύριες διατάξεις που σχετίζονται με τη μελέτη εφαρμογών ορισμένου ολοκληρώματος στο μάθημα των μαθηματικών.

– διενεργήθηκε ανάλυση της θεωρητικής βάσης για την επίλυση ολοκληρωμάτων.

- το υλικό υποβλήθηκε σε συστηματοποίηση και γενίκευση.

Κατά τη διάρκεια της εργασίας εξετάστηκαν παραδείγματα πρακτικών προβλημάτων στον τομέα της φυσικής, της γεωμετρίας, της μηχανικής.

συμπέρασμα

Τα παραδείγματα πρακτικών προβλημάτων που εξετάστηκαν παραπάνω μας δίνουν μια ξεκάθαρη ιδέα για τη σημασία ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος για τη δυνατότητα επίλυσής τους.

Είναι δύσκολο να ονομάσουμε μια επιστημονική περιοχή στην οποία δεν θα εφαρμόζονταν οι μέθοδοι του ολοκληρωτικού λογισμού, γενικά, και οι ιδιότητες ενός ορισμένου ολοκληρώματος, ειδικότερα. Έτσι, κατά τη διαδικασία της εργασίας του μαθήματος, εξετάσαμε παραδείγματα πρακτικών προβλημάτων στον τομέα της φυσικής, της γεωμετρίας, της μηχανικής, της βιολογίας και της οικονομίας. Φυσικά, δεν πρόκειται σε καμία περίπτωση για έναν εξαντλητικό κατάλογο επιστημών που χρησιμοποιούν τη μέθοδο του ολοκλήρωσης για να βρουν μια καθορισμένη τιμή κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος και να καθορίσουν θεωρητικά γεγονότα.

Επίσης, το οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιείται για τη μελέτη των ίδιων των μαθηματικών. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες με τη σειρά τους συμβάλλουν ουσιαστικά στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Μπορούμε να πούμε ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ένα είδος βάσης για τη μελέτη των μαθηματικών. Εξ ου και η σημασία του να γνωρίζουμε πώς να τα λύσουμε.

Από όλα τα παραπάνω, είναι σαφές γιατί η γνωριμία με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα συμβαίνει ακόμη και στο πλαίσιο ενός σχολείου δευτεροβάθμιας γενικής εκπαίδευσης, όπου οι μαθητές μελετούν όχι μόνο την έννοια του ολοκληρώματος και τις ιδιότητές του, αλλά και ορισμένες από τις εφαρμογές του.

Βιβλιογραφία

1. Volkov E.A. Αριθμητικές μέθοδοι. Μ., Ναούκα, 1988.

2. Piskunov N.S. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Μ., Integral-Press, 2004. Τ. 1.

3. Shipachev V.S. Ανώτερα μαθηματικά. Μ., Ανώτατο Σχολείο, 1990.

Χαιρετισμούς, αγαπητοί φοιτητές του Argemony University!

Σήμερα θα συνεχίσουμε να μελετάμε την υλοποίηση των αντικειμένων. Την τελευταία φορά περιστρέψαμε επίπεδες φιγούρες και πήραμε τρισδιάστατα σώματα. Μερικά από αυτά είναι πολύ δελεαστικά και χρήσιμα. Νομίζω ότι πολλά όσα επινοεί ο μάγος μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον.

Σήμερα θα περιστρέψουμε τις καμπύλες. Είναι σαφές ότι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε κάποιο είδος αντικειμένου με πολύ λεπτές άκρες (ένα κώνο ή ένα μπουκάλι για φίλτρα, ένα βάζο για λουλούδια, ένα ποτήρι για ποτά κ.λπ.), επειδή μια περιστρεφόμενη καμπύλη μπορεί να δημιουργήσει ακριβώς τέτοια αντικείμενα . Με άλλα λόγια, περιστρέφοντας την καμπύλη, μπορούμε να έχουμε κάποιο είδος επιφάνειας - κλειστή από όλες τις πλευρές ή όχι. Γιατί αυτή τη στιγμή θυμήθηκα το κύπελλο τρύπας από το οποίο έπινε ο Sir Shurf Lonley-Lockley όλη την ώρα.

Έτσι θα δημιουργήσουμε ένα μπολ με διαρροή και ένα μη διάτρητο και θα υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας που δημιουργήθηκε. Νομίζω ότι για κάποιο λόγο (γενικά, η επιφάνεια) θα χρειαστεί - καλά, τουλάχιστον για την εφαρμογή μιας ειδικής μαγικής βαφής. Και από την άλλη πλευρά, οι περιοχές των μαγικών τεχνουργημάτων μπορεί να απαιτούνται για τον υπολογισμό των μαγικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτά ή κάτι άλλο. Θα μάθουμε πώς να το βρίσκουμε και θα βρούμε πού να το εφαρμόσουμε.

Έτσι, ένα κομμάτι παραβολής μπορεί να μας δώσει το σχήμα ενός μπολ. Ας πάρουμε το απλούστερο y=x 2 στο διάστημα . Μπορεί να φανεί ότι όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OY, λαμβάνεται μόνο ένα μπολ. Χωρίς πάτο.

Το ξόρκι για τον υπολογισμό της επιφάνειας περιστροφής έχει ως εξής:

Εδώ |y| είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης που περιστρέφεται. Όπως γνωρίζετε, η απόσταση είναι κάθετη.
Λίγο πιο δύσκολο με το δεύτερο στοιχείο του ξόρκι: ds είναι το διαφορικό τόξου. Αυτές οι λέξεις δεν μας δίνουν τίποτα, οπότε ας μην ασχοληθούμε, αλλά περάσουμε στη γλώσσα των τύπων, όπου αυτή η διαφορά παρουσιάζεται ρητά για όλες τις γνωστές σε εμάς περιπτώσεις:
- Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
- Εγγραφές της καμπύλης σε παραμετρική μορφή.
- πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Για την περίπτωσή μας, η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης είναι x. Θεωρούμε την επιφάνεια του μπολ τρύπας που προκύπτει:

Για να φτιάξετε ένα μπολ με πάτο, πρέπει να πάρετε ένα άλλο κομμάτι, αλλά με διαφορετική καμπύλη: στο διάστημα, αυτή είναι η γραμμή y=1.

Είναι σαφές ότι όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OY, ο πυθμένας του μπολ θα λαμβάνεται με τη μορφή κύκλου μοναδιαίας ακτίνας. Και ξέρουμε πώς υπολογίζεται το εμβαδόν ενός κύκλου (σύμφωνα με τον τύπο pi * r ^ 2. Για την περίπτωσή μας, το εμβαδόν του κύκλου θα είναι ίσο με το pi), αλλά θα το υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας έναν νέο τύπο - για επαλήθευση.
Η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του κομματιού της καμπύλης είναι επίσης x.

Λοιπόν, οι υπολογισμοί μας είναι σωστοί, πράγμα που ευχαριστεί.

Και τώρα εργασία για το σπίτι.

1. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει περιστρέφοντας την πολύγραμμη ABC, όπου A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), γύρω από τον άξονα OX.
Συμβουλή. Καταγράψτε όλα τα τμήματα σε παραμετρική μορφή.
ΑΒ: x=1, y=t, 2≤t≤5
π.Χ.: x=t, y=2, 1≤t≤6
Παρεμπιπτόντως, πώς μοιάζει το στοιχείο που προκύπτει;

2. Λοιπόν, τώρα σκεφτείτε κάτι μόνοι σας. Τρία στοιχεία, νομίζω, είναι αρκετά.

Επομένως, θα περάσω αμέσως στις βασικές έννοιες και τα πρακτικά παραδείγματα.

Ας δούμε μια απλή εικόνα

Και θυμηθείτε: τι μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας οριστικό ολοκλήρωμα ?

Πρώτα από όλα, φυσικά, περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς . Γνωστό από τα σχολικά χρόνια.

Εάν αυτό το σχήμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα των συντεταγμένων, τότε ήδη μιλάμε για εύρεση σώμα της επανάστασης . Είναι επίσης απλό.

Τι άλλο? Αναθεωρήθηκε πρόσφατα πρόβλημα μήκους τόξου .

Και σήμερα θα μάθουμε πώς να υπολογίζουμε ένα ακόμη χαρακτηριστικό - μια ακόμη περιοχή. Φανταστείτε αυτή τη γραμμή περιστρέφεταιγύρω από τον άξονα. Ως αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας, λαμβάνεται ένα γεωμετρικό σχήμα, που ονομάζεται επιφάνεια της επανάστασης. Σε αυτή την περίπτωση, θυμίζει μια τέτοια γλάστρα χωρίς πάτο. Και χωρίς εξώφυλλο. Όπως θα έλεγε και ο γάιδαρος Eeyore, ένα σπαραχτικό θέαμα =)

Για την εξάλειψη της διφορούμενης ερμηνείας, θα κάνω μια βαρετή αλλά σημαντική διευκρίνιση:

από γεωμετρικής άποψης η «γλάστρα» μας έχει απείρως λεπτήτοίχο και δύοεπιφάνειες με την ίδια επιφάνεια - εξωτερικές και εσωτερικές. Έτσι, όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί συνεπάγονται την περιοχή μόνο την εξωτερική επιφάνεια.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, η επιφάνεια περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο:

ή, πιο συμπαγή: .

Στη συνάρτηση και στην παράγωγό της επιβάλλονται οι ίδιες απαιτήσεις όπως κατά την εύρεση μήκος τόξου καμπύλης , αλλά, επιπλέον, πρέπει να εντοπιστεί η καμπύλη πάνω απότσεκούρια . Αυτό είναι σημαντικό! Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι αν βρίσκεται η γραμμή υπόάξονα, λοιπόν το integrand θα είναι αρνητικό : , και επομένως θα πρέπει να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τύπο για να διατηρηθεί η γεωμετρική σημασία του προβλήματος.

Σκεφτείτε μια φιγούρα που δεν άξιζε να αγνοηθεί:

Επιφάνεια ενός τόρου

Με λίγα λόγια, tor είναι ένα κουλούρι. Ένα παράδειγμα σχολικού βιβλίου, που εξετάζεται σε όλα σχεδόν τα σχολικά βιβλία μάταν, είναι αφιερωμένο στην εύρεση Ενταση ΗΧΟΥ torus, και ως εκ τούτου, για χάρη της ποικιλίας, θα αναλύσω το σπανιότερο πρόβλημα του την επιφάνειά του. Πρώτα με συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές:

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε το εμβαδόν επιφάνειας ενός δακτύλου που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από τον άξονα.

Λύση: πώς ξέρετε την εξίσωση σκηνικά κύκλος ακτίνα μονάδας με κέντρο στο . Αυτό διευκολύνει τη λήψη δύο λειτουργιών:

– θέτει το άνω ημικύκλιο.
– ορίζει το κάτω ημικύκλιο:

Η ουσία είναι ξεκάθαρη: κύκλοςπεριστρέφεται γύρω από τον άξονα x και σχηματίζεται επιφάνειακουλούρι. Το μόνο πράγμα εδώ, για να αποφύγετε τις χονδροειδείς επιφυλάξεις, είναι να είστε προσεκτικοί στην ορολογία: αν κάνετε περιστροφή ένας κύκλος, που οριοθετείται από κύκλο , τότε παίρνετε ένα γεωμετρικό σώμα, δηλαδή το ίδιο το κουλούρι. Και τώρα μιλήστε για το τετράγωνο επιφάνειες, το οποίο προφανώς πρέπει να υπολογιστεί ως το άθροισμα των εμβαδών:

1) Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας, που προκύπτει περιστρέφοντας το «μπλε» τόξο γύρω από τον άξονα x. Χρησιμοποιούμε τον τύπο . Όπως έχω επανειλημμένα συμβουλέψει, είναι πιο βολικό να πραγματοποιείτε ενέργειες σε στάδια:

Παίρνουμε μια λειτουργία και βρες το παράγωγο :

Και τέλος, φορτώνουμε το αποτέλεσμα στον τύπο:

Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση αποδείχθηκε πιο ορθολογικό διπλάσιο του ολοκληρώματος μιας άρτιας συνάρτησης στην πορεία της λύσης, αντί να συζητήσουμε προκαταρκτικά τη συμμετρία του σχήματος ως προς τον άξονα y.

2) Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας, που προκύπτει περιστρέφοντας το «κόκκινο» τόξο γύρω από τον άξονα x. Όλες οι ενέργειες θα διαφέρουν στην πραγματικότητα μόνο κατά ένα σημάδι. Θα σχεδιάσω τη λύση σε διαφορετικό στυλ, το οποίο, φυσικά, έχει επίσης δικαίωμα στη ζωή:

3) Έτσι, η επιφάνεια του τόρου:

Απάντηση:

Το πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί με γενικό τρόπο - να υπολογίσετε την επιφάνεια του τόρου που λαμβάνεται με την περιστροφή του κύκλου γύρω από τον άξονα της τετμημένης και να λάβετε την απάντηση . Ωστόσο, για λόγους σαφήνειας και μεγαλύτερης απλότητας, πραγματοποίησα τη λύση σε συγκεκριμένους αριθμούς.

Εάν πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο του ίδιου του ντόνατ, ανατρέξτε στο σεμινάριο ως γρήγορη αναφορά:

Σύμφωνα με τη θεωρητική παρατήρηση, θεωρούμε το άνω ημικύκλιο. "Τραβιέται" κατά την αλλαγή της τιμής της παραμέτρου εντός (είναι εύκολο να το δούμε αυτό σε αυτό το διάστημα), έτσι:

Απάντηση:

Αν λύσουμε το πρόβλημα με γενικούς όρους, παίρνουμε ακριβώς τη σχολική φόρμουλα για το εμβαδόν μιας σφαίρας, πού είναι η ακτίνα της.

Κάτι οδυνηρά απλό πρόβλημα, ακόμα και ντροπή…. Σας προτείνω να διορθώσετε αυτό το σφάλμα =)

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει περιστρέφοντας το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα.

Η εργασία είναι δημιουργική. Προσπαθήστε να συναγάγετε ή να κατανοήσετε τον τύπο για τον υπολογισμό της επιφάνειας που λαμβάνεται περιστρέφοντας μια καμπύλη γύρω από τον άξονα y. Και, φυσικά, πρέπει να σημειωθεί και πάλι το πλεονέκτημα των παραμετρικών εξισώσεων - δεν χρειάζεται να τροποποιηθούν με κάποιο τρόπο. δεν χρειάζεται να ασχοληθείτε με την εύρεση άλλων ορίων ολοκλήρωσης.

Το κυκλοειδές γράφημα μπορεί να προβληθεί στη σελίδα Εμβαδόν και όγκος εάν η γραμμή έχει ρυθμιστεί παραμετρικά . Η επιφάνεια της περιστροφής θα μοιάζει με ... δεν ξέρω καν με τι να τη συγκρίνω με ... κάτι απόκοσμο - στρογγυλεμένο με μια μυτερή κοιλότητα στη μέση. Εδώ, για την περίπτωση της περιστροφής του κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα, ο συσχετισμός ήρθε αμέσως στο μυαλό - μια επιμήκης μπάλα ράγκμπι.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ολοκληρώνουμε τη συναρπαστική κριτική μας με μια υπόθεση πολικές συντεταγμένες . Ναι, είναι μια ανασκόπηση, αν κοιτάξετε σε εγχειρίδια για τη μαθηματική ανάλυση (από τους Fikhtengolts, Bohan, Piskunov και άλλους συγγραφείς), μπορείτε να λάβετε μια καλή ντουζίνα (ή ακόμα και αισθητά περισσότερα) τυπικά παραδείγματα, μεταξύ των οποίων είναι πολύ πιθανό να θα βρείτε το πρόβλημα που χρειάζεστε.

Πώς να υπολογίσετε την επιφάνεια της περιστροφής,
αν η ευθεία δίνεται σε πολικό σύστημα συντεταγμένων;

Εάν η καμπύλη έχει ρυθμιστεί σε πολικές συντεταγμένες εξίσωση , και η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο σε ένα δεδομένο διάστημα, τότε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή αυτής της καμπύλης γύρω από τον πολικό άξονα υπολογίζεται με τον τύπο , όπου είναι οι γωνιακές τιμές που αντιστοιχούν στα άκρα της καμπύλης.

Σύμφωνα με τη γεωμετρική έννοια του προβλήματος, το ολοκλήρωμα , και αυτό επιτυγχάνεται μόνο εάν (και είναι γνωστό ότι είναι μη αρνητικό). Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι τιμές γωνίας από το εύρος, με άλλα λόγια, η καμπύλη θα πρέπει να βρίσκεται πάνω απόπολικός άξονας και οι προεκτάσεις του. Όπως μπορείτε να δείτε, η ίδια ιστορία με τις δύο προηγούμενες παραγράφους.

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του καρδιοειδούς γύρω από τον πολικό άξονα.

Λύση: το γράφημα αυτής της καμπύλης φαίνεται στο Παράδειγμα 6 του μαθήματος για πολικό σύστημα συντεταγμένων . Το καρδιοειδές είναι συμμετρικό ως προς τον πολικό άξονα, οπότε θεωρούμε το πάνω μισό του στο κενό (που, μάλιστα, οφείλεται και στην παραπάνω παρατήρηση).

Η επιφάνεια περιστροφής θα μοιάζει με bullseye.

Η τεχνική λύσης είναι στάνταρ. Ας βρούμε την παράγωγο σε σχέση με το "phi":

Συνθέστε και απλοποιήστε τη ρίζα:

Ελπίζω με υπεράριθμους

Αφήστε ένα σώμα να δοθεί στο διάστημα. Έστω οι τομές του κατασκευασμένες από επίπεδα κάθετα στον άξονα που διέρχεται από τα σημεία x
Σε αυτήν. Η περιοχή του σχήματος που σχηματίζεται στο τμήμα εξαρτάται από το σημείο Χ, που ορίζει το επίπεδο τομής. Αφήστε αυτή την εξάρτηση να είναι γνωστή και να δίνεται συνεχής λειτουργία. Στη συνέχεια ο όγκος του μέρους του σώματος που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων x=aκαι x=vυπολογίζεται με τον τύπο

Παράδειγμα.Ας βρούμε τον όγκο ενός οριοθετημένου σώματος που περικλείεται μεταξύ της επιφάνειας ενός κυλίνδρου ακτίνας :, ενός οριζόντιου επιπέδου και ενός κεκλιμένου επιπέδου z=2y και που βρίσκεται πάνω από το οριζόντιο επίπεδο .

Προφανώς, το υπό εξέταση σώμα προβάλλεται στον άξονα του τμήματος
, και για x
η διατομή του σώματος είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη y και z=2y, όπου το y μπορεί να εκφραστεί ως x από την εξίσωση του κυλίνδρου:

Επομένως, το εμβαδόν διατομής S(x) είναι:

Εφαρμόζοντας τον τύπο, βρίσκουμε τον όγκο του σώματος:

Υπολογισμός όγκων σωμάτων επανάστασης

Αφήστε το τμήμα[ ένα, σι] είναι μια συνεχής συνάρτηση προσήμου-σταθερά y= φά(Χ). Όγκοι ενός σώματος περιστροφής που σχηματίζεται από περιστροφή γύρω από έναν άξονα Ω(ή τσεκούρια OU) καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές οριοθετημένο από καμπύλη y= φά(Χ) (φά(Χ) 0) και απευθείας y=0, x=a, x=σι, υπολογίζονται σύμφωνα με τους τύπους:

, ( 19)

(20)

Αν ένα σώμα σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από έναν άξονα OUκαμπυλόγραμμο τραπεζοειδές που οριοθετείται από καμπύλη
και άμεση Χ=0, y= ντο, y= ρε, τότε ο όγκος του σώματος της περιστροφής είναι ίσος με

. (21)

Παράδειγμα.Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από έναν άξονα Ω.

Σύμφωνα με τον τύπο (19), ο επιθυμητός όγκος

Παράδειγμα.Έστω η ευθεία y=cosx στο επίπεδο xOy του τμήματος .

μι αυτή η γραμμή περιστρέφεται στο χώρο γύρω από τον άξονα και η επιφάνεια περιστροφής που προκύπτει περιορίζει κάποιο σώμα περιστροφής (βλ. Εικ.). Βρείτε τον όγκο αυτού του σώματος της επανάστασης.

Σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε:

Επιφάνεια περιστροφής

,
, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, τότε η επιφάνεια περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο
, όπου ένακαι σι- τετμημένα της αρχής και του τέλους του τόξου.

Αν το τόξο της καμπύλης δίνεται από μη αρνητική συνάρτηση
,
, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Oy, τότε η επιφάνεια περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο

όπου c και d είναι τα τετμημένα της αρχής και του τέλους του τόξου.

Αν δίνεται το τόξο της καμπύλης παραμετρικές εξισώσεις
,
, και
, έπειτα

Εάν το τόξο έχει ρυθμιστεί σε πολικές συντεταγμένες
, έπειτα

Παράδειγμα.Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή στο διάστημα γύρω από τον άξονα του τμήματος της ευθείας y= βρίσκεται πάνω από τη γραμμή αποκοπής.

Επειδή
, τότε ο τύπος μας δίνει το ολοκλήρωμα

Ας κάνουμε την αλλαγή t=x+(1/2) στο τελευταίο ολοκλήρωμα και πάρουμε:

Στο πρώτο από τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά, κάνουμε την αλλαγή z=t 2 -:

Για να υπολογίσουμε το δεύτερο από τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά, το συμβολίζουμε και ολοκληρώνουμε με μέρη, λαμβάνοντας μια εξίσωση για:

Προχωρώντας προς την αριστερή πλευρά και διαιρώντας με το 2, παίρνουμε

όπου τελικά,

Εφαρμογές του οριστικού ολοκληρώματος στη λύση κάποιων προβλημάτων μηχανικής και φυσικής

Εργασία μεταβλητής δύναμης. Θεωρήστε την κίνηση ενός υλικού σημείου κατά μήκος του άξονα ΒΟΔΙυπό τη δράση μιας μεταβλητής δύναμης φά, ανάλογα με τη θέση του σημείου Χστον άξονα, δηλ. μια δύναμη που είναι συνάρτηση Χ. Μετά δούλεψε ΕΝΑ, απαραίτητο για τη μετακίνηση ενός υλικού σημείου από μια θέση Χ = έναστη θέση Χ = σιυπολογίζεται με τον τύπο:

Να υπολογίσω δύναμη πίεσης υγρούχρησιμοποιήστε το νόμο του Pascal, σύμφωνα με τον οποίο η πίεση ενός υγρού σε μια πλατφόρμα είναι ίση με το εμβαδόν του μικρόπολλαπλασιάζεται με το βάθος βύθισης η, στην πυκνότητα ρ και την επιτάχυνση της βαρύτητας σολ, δηλ.

1. Ροπές και κέντρα μάζας επίπεδων καμπυλών. Αν το τόξο της καμπύλης δίνεται από την εξίσωση y=f(x), a≤x≤b, και έχει πυκνότητα
, έπειτα στατικές στιγμέςαυτού του τόξου, τα M x και M y ως προς τους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy είναι

;

στιγμές αδράνειαςΤα I X και I y σε σχέση με τους ίδιους άξονες Ox και Oy υπολογίζονται με τους τύπους

ένα κέντρο συντεταγμένων μάζας και - από τύπους

όπου l είναι η μάζα του τόξου, δηλ.

Παράδειγμα 1. Να βρείτε τις στατικές ροπές και ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες Ox και Oy του αλυσοειδούς τόξου y=chx για 0≤x≤1.

Εάν η πυκνότητα δεν καθορίζεται, η καμπύλη θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφη και
. Έχουμε: Επομένως,

Παράδειγμα 2Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας του τόξου κύκλου x=acost, y=asint που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Εχουμε:

Από εδώ παίρνουμε:

Σε εφαρμογές, τα παρακάτω είναι συχνά χρήσιμα. Θεώρημα Ολλανδικό νόμισμα. Το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός τόξου μιας επίπεδης καμπύλης γύρω από έναν άξονα που βρίσκεται στο επίπεδο του τόξου και δεν τον τέμνει είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του τόξου και του μήκους του κύκλου που περιγράφεται από το κέντρο μάζας.

Παράδειγμα 3Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας του ημικυκλίου

Λόγω της συμμετρίας
. Όταν ένα ημικύκλιο περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, λαμβάνεται μια σφαίρα, η επιφάνεια της οποίας είναι ίση και το μήκος του ημικυκλίου είναι ίσο με pa. Με το θεώρημα του Gulden, έχουμε 4

Από εδώ
, δηλ. κέντρο μάζας C έχει συντεταγμένες C
.

2. Φυσικές εργασίες.Μερικές εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος στην επίλυση φυσικών προβλημάτων παρουσιάζονται παρακάτω στα παραδείγματα.

Παράδειγμα 4Η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης του σώματος εκφράζεται με τον τύπο (m / s). Βρείτε τη διαδρομή που έχει διανύσει το σώμα σε 5 δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης.

Επειδή μονοπάτι που ακολουθεί το σώμαμε την ταχύτητα v(t) για το χρονικό διάστημα , εκφράζεται με το ολοκλήρωμα

τότε έχουμε:

Π
παράδειγμα.Ας βρούμε το εμβαδόν της περιορισμένης περιοχής που βρίσκεται μεταξύ του άξονα και της ευθείας y=x 3 -x. Επειδή η

η γραμμή διασχίζει τον άξονα σε τρία σημεία: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

Η περιορισμένη περιοχή μεταξύ της γραμμής και του άξονα προβάλλεται σε ένα τμήμα
,και στο τμήμα
,γραμμή y=x 3 -x πηγαίνει πάνω από τον άξονα (δηλαδή γραμμή y=0 και - παρακάτω. Επομένως, η περιοχή της περιοχής μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Π
παράδειγμα.Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περικλείεται μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης στροφής της σπείρας του Αρχιμήδη r=a (a>0) και ένα τμήμα του οριζόντιου άξονα
.

Η πρώτη στροφή της σπείρας αντιστοιχεί σε αλλαγή της γωνίας στην περιοχή από 0 έως και η δεύτερη - από έως. Για να φέρει μια αλλαγή επιχειρημάτων σε ένα κενό, γράφουμε την εξίσωση της δεύτερης στροφής της σπείρας στη μορφή
,

. Στη συνέχεια, η περιοχή μπορεί να βρεθεί από τον τύπο, βάζοντας
και
:

Π παράδειγμα.Ας βρούμε τον όγκο του σώματος που οριοθετείται από την επιφάνεια περιστροφής της ευθείας y=4x-x 2 γύρω από τον άξονα (με
).

Για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, εφαρμόζουμε τον τύπο

Π παράδειγμα.Υπολογίστε το μήκος τόξου της ευθείας y=lncosx που βρίσκεται ανάμεσα στις ευθείες και
.

(πήραμε ως τιμή της ρίζας , και όχι -cosx, αφού cosx > 0 όταν
, το μήκος του τόξου είναι

Απάντηση:
.

Παράδειγμα.Υπολογίστε το εμβαδόν Q της επιφάνειας περιστροφής που προκύπτει περιστρέφοντας το τόξο του κυκλοειδούς x=t-sint . y=1-κόστος, με

, γύρω από τον άξονα.