Διαίρεση πολυωνύμων. Μαθηματικά Μου αρέσουν Διαίρεση παραδειγμάτων πολυωνύμων με λύση

Ας απαιτείται

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Εδώ δίνεται το γινόμενο (2x 3 - 7x 2 + x + 1) και ένας παράγοντας (2x - 1), - πρέπει να βρείτε έναν άλλο παράγοντα. Σε αυτό το παράδειγμα, είναι αμέσως σαφές (αλλά αυτό δεν μπορεί να διαπιστωθεί γενικά) ότι ο άλλος, επιθυμητός, παράγοντας ή πηλίκο, είναι επίσης πολυώνυμο. Αυτό είναι ξεκάθαρο γιατί αυτό το γινόμενο έχει 4 όρους και αυτός ο πολλαπλασιαστής είναι μόνο 2. Ωστόσο, είναι αδύνατο να πούμε εκ των προτέρων πόσους όρους έχει ο επιθυμητός πολλαπλασιαστής: μπορεί να υπάρχουν 2 όροι, 3 όροι κ.λπ. Να θυμόμαστε ότι ο υψηλότερος όρος του γινομένου προκύπτει πάντα από τον πολλαπλασιασμό του υψηλότερου όρου ενός παράγοντα με τον υψηλότερο όρο ενός άλλου (βλ. πολλαπλασιασμό ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο) και ότι δεν μπορούν να υπάρχουν όροι όπως αυτός, είμαστε σίγουροι ότι 2x 3 (ο υψηλότερος όρος του αυτό το γινόμενο) θα προέλθει από τον πολλαπλασιασμό του 2x (ο υψηλότερος όρος αυτού του παράγοντα ) με τον άγνωστο κύριο όρο του αναζητούμενου πολλαπλασιαστή. Για να βρούμε το τελευταίο, επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε το 2x 3 με το 2x - παίρνουμε x 2 . Αυτό είναι το ανώτερο μέλος του ιδιωτικού.

Θυμηθείτε λοιπόν ότι όταν πολλαπλασιάζουμε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου. Επομένως, αυτό το γινόμενο (2x 3 - 7x 2 + x + 1) είναι το γινόμενο του διαιρέτη (2x - 1) και όλων των όρων του πηλίκου. Μπορούμε όμως τώρα να βρούμε το γινόμενο του διαιρέτη και του πρώτου (υψηλότερου) μέλους του πηλίκου, δηλαδή (2x - 1) ∙ x 2; παίρνουμε 2x 3 - x 2 . Γνωρίζοντας το γινόμενο του διαιρέτη με όλους τους όρους του πηλίκου (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) και γνωρίζοντας το γινόμενο του διαιρέτη με τον 1ο όρο του πηλίκου (it = 2x 3 - x 2), με αφαίρεση μπορούμε να βρούμε το γινόμενο του διαιρέτη με όλα τα άλλα, εκτός από το 1ο, μέλη του ιδιωτικού. Παίρνω

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Ο υψηλότερος όρος (–6x 2) αυτού του εναπομείναντος γινόμενου πρέπει να είναι το γινόμενο του υψηλότερου όρου του διαιρέτη (2x) και ο υψηλότερος όρος του υπόλοιπου (εκτός από τον 1ο όρο) του πηλίκου. Από εδώ βρίσκουμε τον ανώτερο όρο του υπολειπόμενου πηλίκου. Χρειαζόμαστε –6x 2 ÷ 2x, παίρνουμε –3x. Αυτός είναι ο δεύτερος όρος του επιθυμητού πηλίκου. Μπορούμε πάλι να βρούμε το γινόμενο του διαιρέτη (2x - 1) και του δεύτερου, μόλις βρέθηκε, πηλίκο όρο, δηλ. -3x.

Παίρνουμε (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Από ολόκληρο αυτό το γινόμενο, έχουμε ήδη αφαιρέσει το γινόμενο του διαιρέτη με τον 1ο όρο του πηλίκου και πήραμε το υπόλοιπο -6x 2 + x + 1, που είναι το γινόμενο του διαιρέτη με τους υπόλοιπους, εκτός από τον 1ο, όρους του πηλίκου. Αφαιρώντας από αυτό το γινόμενο που μόλις βρέθηκε -6x 2 + 3x, παίρνουμε το υπόλοιπο, που είναι το γινόμενο του διαιρέτη με όλα τα άλλα, εκτός από το 1ο και το 2ο, μέλη του πηλίκου:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Διαιρώντας τον ανώτερο όρο αυτού του υπολειπόμενου γινομένου (–2x) με τον ανώτερο όρο του διαιρέτη (2x), παίρνουμε τον ανώτερο όρο του υπόλοιπου πηλίκου ή τον τρίτο όρο του, (–2x) ÷ 2x = –1, αυτός είναι ο 3ος όρος του πηλίκου.

Πολλαπλασιάζοντας τον διαιρέτη με αυτόν, παίρνουμε

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Αφαιρώντας αυτό το γινόμενο του διαιρέτη με τον 3ο όρο του πηλίκου από ολόκληρο το γινόμενο που έχει απομείνει μέχρι τώρα, δηλ.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

θα δούμε ότι στο παράδειγμά μας το γινόμενο χωρίζεται στα υπόλοιπα, εκτός από το 1ο, 2ο και 3ο, μέλη του πηλίκου = 0, από τα οποία συμπεραίνουμε ότι το πηλίκο δεν έχει άλλα μέλη, δηλ.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Από το προηγούμενο βλέπουμε: 1) είναι βολικό να τακτοποιήσουμε τους όρους του μερίσματος και του διαιρέτη σε φθίνουσες δυνάμεις, 2) είναι απαραίτητο να καθοριστεί κάποιο είδος σειράς για την εκτέλεση υπολογισμών. Μια τέτοια βολική σειρά μπορεί να θεωρηθεί αυτή που χρησιμοποιείται στην αριθμητική κατά τη διαίρεση αριθμών πολλαπλών τιμών. Μετά από αυτό, οργανώνουμε όλους τους προηγούμενους υπολογισμούς ως εξής (περισσότερες σύντομες εξηγήσεις δίνονται στο πλάι):

Εκείνες οι αφαιρέσεις που χρειάζονται εδώ πραγματοποιούνται αλλάζοντας τα σημάδια των όρων του subtrahend και αυτά τα μεταβλητά σημάδια γράφονται από πάνω.

Ναι, είναι γραμμένο

Αυτό σημαίνει: το subtrahend ήταν 2x 3 - x 2, και αφού αλλάξαμε τα σημάδια, πήραμε -2x 3 + x 2.

Λόγω της αποδεκτής διάταξης των υπολογισμών, λόγω του γεγονότος ότι οι όροι του μερίσματος και του διαιρέτη είναι διατεταγμένοι σε φθίνουσες δυνάμεις, και λόγω του ότι οι μοίρες του γράμματος x και στα δύο πολυώνυμα μειώνονται κάθε φορά κατά 1, στράφηκε ότι τέτοιοι όροι είναι γραμμένοι ο ένας κάτω από τον άλλο (για παράδειγμα: –7x 2 και +x 2) γιατί είναι εύκολο να τους πετάξουμε. Σημειώνεται ότι δεν χρειάζονται όλα τα μέλη του μερίσματος σε κάθε στιγμή του υπολογισμού. Για παράδειγμα, ο όρος +1 δεν χρειάζεται τη στιγμή που βρέθηκε ο 2ος όρος του πηλίκου και αυτό το μέρος του υπολογισμού μπορεί να απλοποιηθεί.

Περισσότερα παραδείγματα:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Τακτοποιήστε τα γράμματα α σε φθίνουσες δυνάμεις και το μέρισμα και το διαιρέτη:

(Σημειώστε ότι εδώ, λόγω απουσίας όρου με 3 στο μέρισμα, στην πρώτη αφαίρεση προέκυψε ότι δεν υπογράφονται όμοιοι όροι -a 2 b 2 και -2a 3 b. Φυσικά, δεν μπορεί να μειωθεί σε έναν όρο και και οι δύο αναγράφονται κάτω από τη γραμμή στην αρχαιότητα).

Και στα δύο παραδείγματα, θα πρέπει κανείς να είναι πιο προσεκτικός σε παρόμοιους όρους: 1) οι όροι που δεν είναι παρόμοιοι συχνά αποδεικνύεται ότι γράφονται ο ένας κάτω από τον άλλο και 2) μερικές φορές (όπως, για παράδειγμα, στο τελευταίο παράδειγμα, οι όροι -4a n και -a n στην πρώτη αφαίρεση) παρόμοιοι όροι βγαίνουν γραμμένοι όχι ο ένας κάτω από τον άλλο.

Είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί η διαίρεση των πολυωνύμων με διαφορετική σειρά, δηλαδή: κάθε φορά να αναζητούμε τον χαμηλότερο όρο ή το σύνολο ή το υπόλοιπο πηλίκο. Είναι βολικό σε αυτή την περίπτωση να τακτοποιήσουμε αυτά τα πολυώνυμα σε αύξουσες δυνάμεις κάποιου γράμματος. Για παράδειγμα:

Γενική άποψη του μονωνύμου

f(x)=axn, όπου:

-ένα- συντελεστής που μπορεί να ανήκει σε οποιοδήποτε από τα σύνολα N, Z, Q, R, C

-Χ- μεταβλητή

-nεκθέτης που ανήκει στο σύνολο Ν

Δύο μονώνυμα είναι παρόμοια αν έχουν την ίδια μεταβλητή και τον ίδιο εκθέτη.

Παραδείγματα: 3x2και -5x2; ½ x 4και 2√3x4

Το άθροισμα των μονοωνύμων που δεν είναι όμοια μεταξύ τους ονομάζεται πολυώνυμο (ή πολυώνυμο). Στην περίπτωση αυτή, τα μονώνυμα είναι όροι του πολυωνύμου. Ένα πολυώνυμο που περιέχει δύο όρους ονομάζεται διώνυμο (ή διώνυμο).
Παράδειγμα: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Ένα πολυώνυμο που περιέχει τρεις όρους ονομάζεται τριώνυμο.

Γενική μορφή πολυωνύμου με μία μεταβλητή

όπου:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου. Μπορούν να είναι φυσικοί, ακέραιοι, ορθολογικοί, πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.
• a n- συντελεστής στον όρο με τον υψηλότερο εκθέτη (προπορευόμενος συντελεστής)
• ένα 0- συντελεστής στον όρο με τον μικρότερο εκθέτη (ελεύθερος όρος ή σταθερά)
• n- πολυωνυμικό βαθμό

Παράδειγμα 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• πολυώνυμο τρίτου βαθμού με συντελεστές 5, -2, 7 και -1
• 5 - ηγετικός παράγοντας
• -1 - δωρεάν μέλος
• Χ- μεταβλητή

Παράδειγμα 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• πολυώνυμο τέταρτου βαθμού με συντελεστές -2√3,½και -4
• -2√3 - ηγετικός παράγοντας
• -4 - δωρεάν μέλος
• Χ- μεταβλητή

Πολυωνυμική διαίρεση

p(x)και q(x)- δύο πολυώνυμα:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας διαίρεσης p(x)στο q(x), πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

1. Βαθμός p(x)πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με q(x).
2. Πρέπει να γράψουμε και τα δύο πολυώνυμα με φθίνουσα σειρά. Αν μέσα p(x)δεν υπάρχει όρος με κανένα βαθμό, πρέπει να προστεθεί με συντελεστή 0.
3. Επικεφαλής μέλος p(x)χωρισμένο σε ηγετικό μέλος q(x), και το αποτέλεσμα γράφεται κάτω από τη διαχωριστική γραμμή (στον παρονομαστή).
4. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με όλους τους όρους q(x)και γράψτε το αποτέλεσμα με αντίθετα πρόσημα κάτω από τους όρους p(x)με τα αντίστοιχα πτυχία.
5. Προσθέτουμε όρο προς όρο τους όρους με τους ίδιους βαθμούς.
6. Αντιστοιχίζουμε τους υπόλοιπους όρους στο αποτέλεσμα p(x).
7. Διαιρούμε τον κύριο όρο του πολυωνύμου που προκύπτει με τον πρώτο όρο του πολυωνύμου q(x)και επαναλάβετε τα βήματα 3-6.
8. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου το πολυώνυμο που λαμβάνεται πρόσφατα έχει βαθμό μικρότερο από q(x). Αυτό το πολυώνυμο θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης.
9. Το πολυώνυμο που γράφεται κάτω από τη διαχωριστική γραμμή είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης (πηλίκο).

Παράδειγμα 1
Βήμα 1 και 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 ΣΤΟΠ

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Ιδιωτικός

Απάντηση: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Παράδειγμα 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) Πηλίκο

Απάντηση: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Διαίρεση με πολυώνυμο πρώτου βαθμού

Αυτή η διαίρεση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο ή ακόμα πιο γρήγορα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Horner.
Αν ένα f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, το πολυώνυμο μπορεί να ξαναγραφτεί ως f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- πολυώνυμο πρώτου βαθμού ⇒ q(x)=mx+n
Τότε το πολυώνυμο στο πηλίκο θα έχει βαθμό n-1.

Σύμφωνα με τη μέθοδο του Horner, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
όπου b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- ιδιωτικό. Το υπόλοιπο θα είναι πολυώνυμο βαθμού μηδέν, αφού ο βαθμός του πολυωνύμου στο υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη.
Διαίρεση με υπόλοιπο ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rαν $x_0=-\frac(n)(m)$
Σημειώστε ότι p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Παράδειγμα 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Παράδειγμα 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Παράδειγμα 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Δεξί βέλος c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Δεξί βέλος 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) $
συμπέρασμα
Αν διαιρέσουμε με ένα πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερο από ένα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο 1-9 .
Αν διαιρέσουμε με ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού mx+n, τότε για να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο του Horner με $x_0=-\frac(n)(m)$.
Αν μας ενδιαφέρει μόνο η υπόλοιπη διαίρεση, αρκεί να βρούμε p(x0).
Παράδειγμα 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Αυτό το άρθρο θα εξετάσει τα ορθολογικά κλάσματα, την κατανομή των ακέραιων μερών. Τα κλάσματα είναι σωστά και λάθος. Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή σε ένα κλάσμα, είναι σωστό κλάσμα και το αντίστροφο.

Εξετάστε παραδείγματα κατάλληλων κλασμάτων: 1 2, 9 29, 8 17, ακατάλληλα: 16 3, 21 20, 301 24.

Θα υπολογίσουμε κλάσματα που μπορούν να μειωθούν, δηλαδή το 12 16 είναι 3 4, το 21 14 είναι 3 2.

Κατά την επιλογή του ακέραιου μέρους, εκτελείται η διαδικασία διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Τότε ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ενός ακέραιου και ενός κλασματικού μέρους, όπου το κλασματικό μέρος θεωρείται ο λόγος του υπολοίπου της διαίρεσης και του παρονομαστή.

Παράδειγμα 1

Να βρείτε το υπόλοιπο όταν το 27 διαιρείται με το 4.

Λύση

Είναι απαραίτητο να κάνουμε μια διαίρεση με μια στήλη, τότε το παίρνουμε

Έτσι, 27 4 \u003d ακέραιο μέρος + το υπόλοιπο των n και m και miner \u003d 6 + 3 4

Απάντηση:υπόλοιπο 3.

Παράδειγμα 2

Επιλέξτε ολόκληρα μέρη 331 12 και 41 57 .

Λύση

Διαιρούμε τον παρονομαστή με τον αριθμητή χρησιμοποιώντας μια γωνία:

Επομένως, έχουμε ότι 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Το δεύτερο κλάσμα είναι σωστό, που σημαίνει ότι το ακέραιο μέρος είναι ίσο με μηδέν.

Απάντηση:ακέραια μέρη 27 και 0 .

Εξετάστε την ταξινόμηση των πολυωνύμων, με άλλα λόγια, μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση. Σωστό θεωρείται όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή, διαφορετικά θεωρείται λανθασμένος.

Ορισμός 1

Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμοσυμβαίνει σύμφωνα με την αρχή της διαίρεσης με μια γωνία και την αναπαράσταση της συνάρτησης ως το άθροισμα των ακέραιων και των κλασματικών μερών.

Για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου σε ένα γραμμικό διώνυμο, χρησιμοποιείται το σχήμα του Horner.

Παράδειγμα 3

Διαιρέστε το x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 με το μονώνυμο 2 x 2.

Λύση

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της διαίρεσης, γράφουμε ότι

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Συχνά αυτός ο τύπος μετασχηματισμού εκτελείται κατά τη λήψη ολοκληρωμάτων.

Παράδειγμα 4

Διαιρέστε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο: 2 x 3 + 3 με x 3 + x.

Λύση

Το σύμβολο διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα της μορφής 2 x 3 + 3 x 3 + x. Τώρα πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα. Αυτό το κάνουμε διαιρώντας με μια στήλη. Το καταλαβαίνουμε

Έτσι, παίρνουμε ότι το ακέραιο μέρος έχει την τιμή - 2 x + 3, τότε ολόκληρη η παράσταση γράφεται ως 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Παράδειγμα 5

Διαιρέστε και βρείτε το υπόλοιπο αφού διαιρέσετε 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 με x 3 + 2 x 2 - 1 .

Λύση

Ας καθορίσουμε ένα κλάσμα της μορφής 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από αυτόν του παρονομαστή, που σημαίνει ότι έχουμε ακατάλληλο κλάσμα. Χρησιμοποιώντας διαίρεση με στήλη, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα. Το καταλαβαίνουμε

Ας κάνουμε ξανά τη διαίρεση και πάρουμε:

Από εδώ έχουμε ότι το υπόλοιπο είναι - 65 x 2 + 10 x - 3, επομένως:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί επιπρόσθετα μια μετατροπή κλασμάτων για να μπορέσουμε να αποκαλύψουμε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση. Μοιάζει με αυτό:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Αυτό σημαίνει ότι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 με x 3 - 3 δίνει την τιμή - 3 x 2 + 6 x - 4. Για να βρείτε γρήγορα το αποτέλεσμα, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού.

Παράδειγμα 6

Διαιρέστε 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 με 2 x + 3 .

Λύση

Ας γράψουμε τη διαίρεση ως κλάσμα. Παίρνουμε ότι 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Σημειώστε ότι στον αριθμητή, η έκφραση μπορεί να προστεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο κύβου αθροίσματος. Το έχουμε αυτό

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Το δεδομένο πολυώνυμο διαιρείται χωρίς υπόλοιπο.

Για τη λύση, χρησιμοποιείται μια πιο βολική μέθοδος λύσης και η διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο θεωρείται η πιο καθολική, επομένως, χρησιμοποιείται συχνά κατά την επιλογή ενός ακέραιου τμήματος. Η τελική καταχώρηση πρέπει να περιέχει το πολυώνυμο που προκύπτει από τη διαίρεση.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Δήλωση

υπόλοιπο ημιτελής ιδιωτική.

Σχόλιο

Για οποιαδήποτε πολυώνυμα $A(x)$ και $B(x)$ (ο βαθμός του $B(x)$ είναι μεγαλύτερος από 0) υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα $Q(x)$ και $R(x)$ από το προϋπόθεση του ισχυρισμού.

1. Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου $x^(4) + 3x^(3) +5$ με το $x^(2) + 1$ είναι $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου $x^(4) + 3x^(3) +5$ με το $x^(4) + 1$ είναι $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου $x^(4) + 3x^(3) +5$ με το $x^(6) + 1$ είναι $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Δήλωση

Για οποιαδήποτε δύο πολυώνυμα $A(x)$ και $B(x)$ (όπου ο βαθμός του πολυωνύμου $B(x)$ είναι μη μηδενικός), υπάρχει μια πολυωνυμική παράσταση $A(x)$ στη μορφή $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, όπου τα $Q(x)$ και $R(x)$ είναι πολυώνυμα και ο βαθμός του $R(x)$ είναι μικρότερος από ο βαθμός του $B(x).$

Απόδειξη

Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό με επαγωγή στον βαθμό του πολυωνύμου $A(x).$ Να τον συμβολίσουμε με $n$. Εάν $n = 0$, η πρόταση είναι αληθής: η πρόταση $A(x)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Τώρα, αφήστε την πρόταση να αποδειχθεί για πολυώνυμα βαθμού $n \ leqm$. Ας αποδείξουμε τον ισχυρισμό για πολυώνυμα βαθμού $k= n+1.$

Έστω ο βαθμός του πολυωνύμου $B(x)$ ίσος με $m$. Εξετάστε τρεις περιπτώσεις: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ και να αποδείξετε τον ισχυρισμό για καθένα από αυτά.

1. $k< m$
   Το πολυώνυμο $A(x)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   Ο ισχυρισμός έχει γίνει.

2. $k = m$
   Έστω τα πολυώνυμα $A(x)$ και $B(x)$ να έχουν τη μορφή

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(όπου ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(όπου ) \: b_(n+1) \neq 0,$

   Ας αντιπροσωπεύσουμε το $A(x)$ ως

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

   Σημειώστε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ είναι το πολύ $n+1$, τότε αυτή η αναπαράσταση είναι η επιθυμητό και ο ισχυρισμός ικανοποιείται.

3. $k > m$
   Αντιπροσωπεύουμε το πολυώνυμο $A(x)$ στη μορφή

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (όπου) \: a_(n+1) \neq 0,$

   Θεωρήστε το πολυώνυμο $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, όπου ο βαθμός του πολυωνύμου $R"(x)$ είναι μικρότερος από $m$, τότε η αναπαράσταση για $A(x) Το $ μπορεί να ξαναγραφτεί ως

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   Σημειώστε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου $xR"(x)$ είναι μικρότερος από $m+1$, δηλαδή μικρότερος από $k$. Τότε το $xR"(x)$ ικανοποιεί την επαγωγική υπόθεση και μπορεί να αναπαρασταθεί ως $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, όπου ο βαθμός του πολυωνύμου $R""(x)$ είναι μικρότερος από $m$. Ξαναγράψτε την παράσταση για $A (x)$ πώς

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q"""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   Ο βαθμός του πολυωνύμου $R""(x) + a_(0)$ είναι μικρότερος από $m$, επομένως η πρόταση είναι αληθής.

Ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Σε αυτήν την περίπτωση, καλείται το πολυώνυμο $R(x)$ υπόλοιποαπό τη διαίρεση του $A(x)$ με το $B(x)$ και του $Q(x)$ - ημιτελής ιδιωτική.

Εάν το υπόλοιπο του $R(x)$ είναι μηδενικό πολυώνυμο, τότε το $A(x)$ λέγεται ότι διαιρείται με το $B(x)$.

Σήμερα θα μάθουμε πώς να διαιρούμε πολυώνυμα το ένα στο άλλο και θα κάνουμε τη διαίρεση με μια γωνία κατ' αναλογία με συνηθισμένους αριθμούς. Αυτή είναι μια πολύ χρήσιμη τεχνική, η οποία δυστυχώς δεν διδάσκεται στα περισσότερα σχολεία. Ακούστε λοιπόν προσεκτικά αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε μια τέτοια διαίρεση.

Αρχικά, ας διαιρέσουμε δύο αριθμούς μεταξύ τους:

Πώς μπορεί να γίνει αυτό; Πρώτα απ 'όλα, κόψαμε τόσα ψηφία ώστε η αριθμητική τιμή που προκύπτει να είναι μεγαλύτερη από αυτή με την οποία διαιρούμε. Αν κόψουμε ένα κομμάτι, παίρνουμε πέντε. Προφανώς, δεκαεπτά στους πέντε δεν χωράνε, οπότε αυτό δεν αρκεί. Παίρνουμε δύο ψηφία - θα πάρουμε 59 - είναι ήδη περισσότερα από δεκαεπτά, οπότε μπορούμε να εκτελέσουμε την επέμβαση. Λοιπόν, πόσες φορές χωράει το δεκαεπτά στο 59; Ας πάρουμε τρία. Πολλαπλασιάζουμε και γράφουμε το αποτέλεσμα κάτω από το 59. Συνολικά, έχουμε 51. Αφαιρούμε και έχουμε «οκτώ». Τώρα καταστρέφουμε το επόμενο ψηφίο - πέντε. Διαιρέστε το 85 με το δεκαεπτά. Παίρνουμε πέντε. Πολλαπλασιάστε το δεκαεπτά επί πέντε και λάβετε 85. Αφαιρέστε και παίρνουμε μηδέν.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων

Εργασία #1

Τώρα ας ακολουθήσουμε τα ίδια βήματα, αλλά όχι με αριθμούς, αλλά με πολυώνυμα. Για παράδειγμα, ας πάρουμε αυτό:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Προσέξτε, εάν κατά τη διαίρεση των αριθμών μεταξύ τους, εννοούσαμε ότι το μέρισμα είναι πάντα μεγαλύτερο από το διαιρέτη, τότε στην περίπτωση διαίρεσης πολυωνύμων με μια γωνία, είναι απαραίτητο ο βαθμός του μερίσματος να είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη. Στην περίπτωσή μας, όλα είναι εντάξει - εργαζόμαστε με κατασκευές δεύτερου και πρώτου βαθμού.

Έτσι, το πρώτο βήμα: συγκρίνετε τα πρώτα στοιχεία. Ερώτηση: με τι πρέπει να πολλαπλασιαστεί το $x$ για να ληφθεί $((x)^(2))$; Προφανώς, για ένα ακόμη $x$. Πολλαπλασιάστε $x+5$ με τον αριθμό $x$ που μόλις βρέθηκε. Έχουμε $((x)^(2))+5$ που αφαιρείται από το μέρισμα. Απομένουν $3x$. Τώρα κατεδαφίζουμε την επόμενη θητεία - δεκαπέντε. Ας δούμε ξανά τα πρώτα στοιχεία: $3x$ και $x$. Με τι πρέπει να πολλαπλασιαστεί το $x$ για να ληφθεί $3x$; Προφανώς τρεις. Πολλαπλασιάζουμε $x+5$ όρο επί τρία. Όταν αφαιρέσουμε, παίρνουμε μηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, η όλη λειτουργία της διαίρεσης με μια γωνία έχει περιοριστεί στη σύγκριση των υψηλότερων συντελεστών για το μέρισμα και τον διαιρέτη. Είναι ακόμα πιο εύκολο από το να διαιρείς αριθμούς. Δεν χρειάζεται να εκχωρήσετε έναν συγκεκριμένο αριθμό ψηφίων - απλώς συγκρίνουμε τα υψηλότερα στοιχεία σε κάθε βήμα. Αυτός είναι όλος ο αλγόριθμος.

Εργασία #2

Ας δοκιμάσουμε ξανά:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Πρώτο βήμα: δείτε τους υψηλότερους συντελεστές. Πόσο πρέπει να πολλαπλασιαστεί το $x$ για να γραφεί $((x)^(2))$; Πολλαπλασιάζουμε όρο με όρο. Σημειώστε ότι κατά την αφαίρεση, παίρνουμε ακριβώς $2x$, επειδή

Καταρρίπτουμε το -2 και πάλι συγκρίνουμε τον πρώτο συντελεστή που προκύπτει με το υψηλότερο στοιχείο του διαιρέτη. Συνολικά, πήραμε μια «όμορφη» απάντηση.

Ας περάσουμε στο δεύτερο παράδειγμα:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=((x)^(2))-x-6\ ]

Αυτή τη φορά, το πολυώνυμο τρίτου βαθμού λειτουργεί ως μέρισμα. Ας συγκρίνουμε τα πρώτα στοιχεία. Για να πάρετε $((x)^(3))$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το $x$ επί το $((x)^(2))$. Αφού αφαιρέσουμε, καταργούμε $9x$. Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με $-x$ και αφαιρούμε. Ως αποτέλεσμα, η έκφρασή μας είναι εντελώς διχασμένη. Καταγράφουμε την απάντηση.

Εργασία #3

Ας προχωρήσουμε στην τελευταία εργασία:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

Συγκρίνετε $((x)^(3))$ και $x$. Προφανώς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με $((x)^(2))$. Ως αποτέλεσμα, βλέπουμε ότι πήραμε μια πολύ «όμορφη» απάντηση. Ας το γράψουμε.

Αυτός είναι όλος ο αλγόριθμος. Υπάρχουν δύο βασικά σημεία εδώ:

1. Πάντα να συγκρίνετε την πρώτη δύναμη του μερίσματος και του διαιρέτη - το επαναλαμβάνουμε σε κάθε βήμα.
2. Εάν λείπουν κάποιοι βαθμοί στην αρχική έκφραση, πρέπει να προστεθούν κατά τη διαίρεση με μια γωνία, αλλά με μηδενικούς συντελεστές, διαφορετικά η απάντηση θα είναι λάθος.

Δεν υπάρχουν άλλα κόλπα και κόλπα σε μια τέτοια διαίρεση.

Η ύλη του σημερινού μαθήματος δεν βρίσκεται πουθενά και δεν βρέθηκε ποτέ σε «καθαρή» μορφή. Σπάνια διδάσκεται στα σχολεία. Ωστόσο, η δυνατότητα διαίρεσης πολυωνύμων μεταξύ τους θα σας βοηθήσει πολύ στην επίλυση εξισώσεων υψηλότερων βαθμών, καθώς και όλων των ειδών τα προβλήματα «αυξημένης δυσκολίας». Χωρίς αυτήν την τεχνική, θα πρέπει να παραγοντοποιήσετε πολυώνυμα, να επιλέξετε συντελεστές - και το αποτέλεσμα δεν είναι σε καμία περίπτωση εγγυημένο. Ωστόσο, τα πολυώνυμα μπορούν επίσης να διαιρεθούν με μια γωνία - όπως και οι κανονικοί αριθμοί! Δυστυχώς αυτή η τεχνική δεν διδάσκεται στα σχολεία. Πολλοί δάσκαλοι πιστεύουν ότι η διαίρεση πολυωνύμων με μια γωνία είναι κάτι τρελά περίπλοκο, από τον τομέα των ανώτερων μαθηματικών. Σπεύδω να σας διαβεβαιώσω: δεν είναι. Επιπλέον, η διαίρεση πολυωνύμων είναι ακόμα πιο εύκολη από τους συνηθισμένους αριθμούς! Παρακολουθήστε το μάθημα και δείτε μόνοι σας. :) Γενικά, φροντίστε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την τεχνική. Η δυνατότητα διαίρεσης πολυωνύμων μεταξύ τους θα σας φανεί πολύ χρήσιμη κατά την επίλυση εξισώσεων υψηλότερων βαθμών και σε άλλα μη τυπικά προβλήματα.

Ελπίζω αυτό το βίντεο να βοηθήσει όσους εργάζονται με πολυώνυμα, ειδικά με ανώτερα πτυχία. Αυτό ισχύει τόσο για μαθητές γυμνασίου όσο και για φοιτητές πανεπιστημίου. Και αυτό είναι όλο για μένα. Τα λέμε!