Η μελέτη οποιασδήποτε φυσικής διαδικασίας συνδέεται με τη δημιουργία σχέσεων μεταξύ των ποσοτήτων που χαρακτηρίζουν αυτή τη διαδικασία. Για πολύπλοκες διεργασίες, οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφορά θερμότητας με θερμική αγωγιμότητα, όταν καθιερώνεται μια σχέση μεταξύ των ποσοτήτων, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν οι μέθοδοι της μαθηματικής φυσικής, η οποία λαμβάνει υπόψη την πορεία της διαδικασίας όχι σε ολόκληρο τον υπό μελέτη χώρο, αλλά σε ένα στοιχειώδες όγκο ύλης κατά τη διάρκεια μιας απειροελάχιστης χρονικής περιόδου. Η σύνδεση μεταξύ των ποσοτήτων που εμπλέκονται στη μεταφορά θερμότητας μέσω θερμικής αγωγιμότητας εδραιώνεται στην περίπτωση αυτή από το λεγόμενο διαφορική εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας. Μέσα στα όρια ενός επιλεγμένου στοιχειώδους όγκου και ενός απείρως μικρού χρονικού διαστήματος, καθίσταται δυνατό να παραμεληθεί η αλλαγή σε ορισμένες ποσότητες που χαρακτηρίζουν τη διαδικασία.

Κατά την εξαγωγή της διαφορικής εξίσωσης της θερμικής αγωγιμότητας, γίνονται οι ακόλουθες παραδοχές: φυσικά μεγέθη λ, με σελΚαι ρ μόνιμος; δεν υπάρχουν εσωτερικές πηγές θερμότητας. το σώμα είναι ομοιογενές και ισότροπο. χρησιμοποιείται ο νόμος διατήρησης της ενέργειας, ο οποίος για αυτήν την περίπτωση διατυπώνεται ως εξής: η διαφορά μεταξύ της ποσότητας θερμότητας που εισέρχεται λόγω θερμικής αγωγιμότητας σε ένα στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο κατά τη διάρκεια του χρόνου dτκαι αφήνοντάς το για τον ίδιο χρόνο, δαπανάται για την αλλαγή της εσωτερικής ενέργειας του στοιχειώδους όγκου που εξετάζουμε. Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην εξίσωση:

Η ποσότητα ονομάζεται Χειριστής Laplaceκαι συνήθως συντομεύεται ως 2 t(η πινακίδα γράφει "nabla"). Μέγεθος λ /cρπου ονομάζεται συντελεστής θερμικής διάχυσηςκαι συμβολίζεται με το γράμμα ΕΝΑ.Με τον υποδεικνυόμενο συμβολισμό, η εξίσωση διαφορικής θερμότητας παίρνει τη μορφή

Καλείται η εξίσωση (1-10). διαφορική εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας,ή την εξίσωση Fourier, για ένα τρισδιάστατο ασταθές πεδίο θερμοκρασίας απουσία εσωτερικών πηγών θερμότητας. Είναι η κύρια εξίσωση στη μελέτη της θέρμανσης και ψύξης των σωμάτων στη διαδικασία μεταφοράς θερμότητας με θερμική αγωγιμότητα και δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ χρονικών και χωρικών αλλαγών της θερμοκρασίας σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου.

Συντελεστής θερμικής διάχυσης ΕΝΑ= λ/cρείναι φυσική παράμετρος μιας ουσίας και έχει μονάδα μέτρησης m 2 / s. Σε μη στάσιμες θερμικές διεργασίες η τιμή ΕΝΑχαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας. Εάν ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας χαρακτηρίζει την ικανότητα των σωμάτων να μεταφέρουν θερμότητα, τότε ο συντελεστής θερμικής διάχυσης ΕΝΑείναι ένα μέτρο των θερμικών αδρανειακών ιδιοτήτων των σωμάτων. Από την εξίσωση (1-10) προκύπτει ότι η μεταβολή της θερμοκρασίας με την πάροδο του χρόνου ∂t / ∂τγια οποιοδήποτε σημείο του σώματος είναι ανάλογο με την τιμή ΕΝΑΕπομένως, υπό τις ίδιες συνθήκες, η θερμοκρασία του σώματος που έχει μεγαλύτερη θερμική διάχυση θα αυξηθεί πιο γρήγορα. Τα αέρια έχουν μικρούς και τα μέταλλα έχουν μεγάλους συντελεστές θερμικής διάχυσης.

Η διαφορική εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας με τις πηγές θερμότητας στο εσωτερικό του σώματος θα έχει τη μορφή

Οπου qv- η ποσότητα θερμότητας που απελευθερώνεται ανά μονάδα όγκου μιας ουσίας ανά μονάδα χρόνου, Με- θερμική ικανότητα μάζας του σώματος, ρ - πυκνότητα σώματος .

Η διαφορική εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας σε κυλινδρικές συντεταγμένες με εσωτερική πηγή θερμότητας θα έχει τη μορφή

Οπου r-διάνυσμα ακτίνας σε ένα κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. φ - γωνία.

Διάδοση θερμότητας με θερμική αγωγιμότητα σε επίπεδα και κυλινδρικά τοιχώματα σε ακίνητο τρόπο (οριακές συνθήκες πρώτου είδους)

Ομοιογενής επίπεδος τοίχος μονής στρώσης. Ας εξετάσουμε τη διάδοση της θερμότητας με θερμική αγωγιμότητα σε ένα ομοιογενές επίπεδο τοίχωμα μονής στρώσης πάχους 8 με το απεριόριστο πλάτος και μήκος του.

Αξονας Χκατευθύνει το κάθετα στον τοίχο (Εικ. 7.4). Κατά μήκος και των δύο επιφανειών τοίχων όπως στην κατεύθυνση του άξονα y,και προς την κατεύθυνση του άξονα σολΧάρη στην ομοιόμορφη παροχή και απομάκρυνση της θερμότητας, οι θερμοκρασίες κατανέμονται ομοιόμορφα.

Δεδομένου ότι ο τοίχος προς την κατεύθυνση αυτών των αξόνων έχει απείρως μεγάλες διαστάσεις, οι αντίστοιχες κλίσεις θερμοκρασίας F/yu = (k/(k= = 0, και, επομένως, δεν υπάρχει καμία επίδραση στη διαδικασία της θερμικής αγωγιμότητας των ακραίων επιφανειών του τοίχου. Κάτω από αυτές τις συνθήκες που απλοποιούν το πρόβλημα, το σταθερό πεδίο θερμοκρασίας είναι συνάρτηση μόνο της συντεταγμένης Χ,εκείνοι. εξετάζεται ένα μονοδιάστατο πρόβλημα. Σε σχέση με αυτή την περίπτωση, η διαφορική εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας θα λάβει τη μορφή (στο δ^δ = 0)

Οι οριακές συνθήκες του πρώτου είδους δίνονται:

Ρύζι. 7.4.

Ας βρούμε την εξίσωση θερμοκρασίας μηδέν και ας προσδιορίσουμε τη ροή θερμότητας Ф που διέρχεται από ένα τμήμα του τοίχου με εμβαδόν ΕΝΑ(στο Σχ. 1Lο τοίχος δεν σημειώνεται γιατί βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου). Η πρώτη ενσωμάτωση δίνει

εκείνοι. η διαβάθμιση θερμοκρασίας είναι σταθερή σε όλο το πάχος του τοιχώματος.

Μετά τη δεύτερη ολοκλήρωση παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση πεδίου θερμοκρασίας

Οπου ΕΝΑΚαι β -συνεχείς ενσωματώσεις.

Έτσι, η μεταβολή της θερμοκρασίας κατά μήκος του πάχους του τοιχώματος ακολουθεί έναν γραμμικό νόμο και οι ισοθερμικές επιφάνειες είναι επίπεδα παράλληλα με τις όψεις του τοίχου.

Για να προσδιορίσουμε αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, χρησιμοποιούμε τις συνοριακές συνθήκες:

Επειδή; > ? ST2, στη συνέχεια η προβολή της κλίσης στον άξονα Χαρνητικό ως

Αυτό ήταν αναμενόμενο για την επιλεγμένη κατεύθυνση του άξονα, η οποία συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος πυκνότητας της επιφανειακής ροής θερμότητας.

Αντικαθιστώντας την τιμή των σταθερών στην (7.24), παίρνουμε την τελική έκφραση για τη θερμοκρασία μηδέν

Γραμμή α-βστο Σχ. 7.4, λεγόμενο καμπύλη θερμοκρασίας, δείχνει την αλλαγή της θερμοκρασίας ανάλογα με το πάχος του τοιχώματος.

Γνωρίζοντας την κλίση θερμοκρασίας, είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας την εξίσωση Fourier (7.10), να βρούμε την ποσότητα θερμότητας 8() που διέρχεται κατά τη διάρκεια του χρόνου t από το στοιχείο της επιφάνειας??4 κάθετο στον άξονα Τ.

και για μια επιφάνεια του ΕΝΑ

Ο τύπος (7.28) για τη ροή θερμότητας και την επιφανειακή πυκνότητα ροής θερμότητας θα λάβει τη μορφή

Ας εξετάσουμε τη διάδοση της θερμότητας μέσω της θερμικής αγωγιμότητας σε ένα πολυστρωματικό επίπεδο τοίχωμα που αποτελείται από πολλά (για παράδειγμα, τρία) στρώματα στενά γειτονικά το ένα με το άλλο (βλ. Εικ. 7.5).

Ρύζι. 7.5.

Προφανώς, στην περίπτωση ενός σταθερού πεδίου θερμοκρασίας, η ροή θερμότητας που διέρχεται από επιφάνειες της ίδιας περιοχής ΕΝΑ,θα είναι το ίδιο για όλα τα επίπεδα. Επομένως, η εξίσωση (7.29) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κάθε ένα από τα στρώματα.

Για την πρώτη στρώση

για το δεύτερο και το τρίτο στρώμα

Οπου X 2, A 3 - θερμική αγωγιμότητα των στρωμάτων. 8 1? 8 2, 8 3 - πάχος στρώσης.

Θεωρούνται γνωστές οι θερμοκρασίες στα εξωτερικά όρια του τοίχου τριών στρώσεων; St1 και; ST4. Καθιερώνονται θερμοκρασίες κατά μήκος των επιπέδων διαχωρισμού μεταξύ των στρωμάτων; ST2 Και; ΣΤ που θεωρούνται άγνωστα. Λύνουμε τις εξισώσεις (7.31)-(7.33) σχετικά με τις διαφορές θερμοκρασίας:

και, στη συνέχεια, αθροίζονται κάθε φορά και εξαλείφονται έτσι οι άγνωστες ενδιάμεσες θερμοκρασίες:

Γενικεύοντας το (7.36) για τοίχο με στρώμα y, λαμβάνουμε

Για τον προσδιορισμό των ενδιάμεσων θερμοκρασιών; ST2, ? STz στα επίπεδα των τομών των στρωμάτων χρησιμοποιούμε τύπους (7.34):

Τέλος, γενικεύοντας την εξαγωγή στο τοίχωμα του στρώματος i, λαμβάνουμε έναν τύπο για τη θερμοκρασία στο όριο του ιου και (r + 1) ου στρώματος:

Μερικές φορές χρησιμοποιούν την έννοια της ισοδύναμης θερμικής αγωγιμότητας R eq. Για την επιφανειακή πυκνότητα ροής θερμότητας που διέρχεται από ένα επίπεδο τοίχωμα πολλαπλών στρώσεων,

όπου είναι το συνολικό πάχος όλων των στρωμάτων του πολυστρωματικού τοιχώματος. Συγκρίνοντας τις εκφράσεις (7.37) και (7.40), συμπεραίνουμε ότι

Στο Σχ. Το σχήμα 7.5 δείχνει ένα γράφημα των μεταβολών της θερμοκρασίας κατά μήκος του πάχους ενός πολυστρωματικού τοιχώματος με τη μορφή μιας διακεκομμένης γραμμής. Μέσα στο στρώμα, όπως αποδείχθηκε παραπάνω, η μεταβολή της θερμοκρασίας ακολουθεί έναν γραμμικό νόμο. Εφαπτομένη της γωνίας κλίσης cp, η θερμοκρασία ευθεία προς την οριζόντια

εκείνοι. ίση με την απόλυτη τιμή της βαθμίδας θερμοκρασίας ^1"ac1 Έτσι, σύμφωνα με την κλίση των ευθειών ab, bcκαι με

Ως εκ τούτου,

εκείνοι. Οι διαβαθμίσεις θερμοκρασίας για μεμονωμένα στρώματα ενός πολυστρωματικού επίπεδου τοιχώματος είναι αντιστρόφως ανάλογες με τη θερμική αγωγιμότητα αυτών των στρωμάτων.

Αυτό σημαίνει ότι για να ληφθούν μεγάλες κλίσεις θερμοκρασίας (που απαιτείται, για παράδειγμα, κατά τη μόνωση αγωγών ατμού κ.λπ.), απαιτούνται υλικά με χαμηλές τιμές θερμικής αγωγιμότητας.

Ομοιογενής κυλινδρικός τοίχος μονής στρώσης. Ας βρούμε για τον στατικό τρόπο θερμικής αγωγιμότητας το πεδίο θερμοκρασίας και την επιφανειακή πυκνότητα ροής θερμότητας για ένα ομοιογενές κυλινδρικό τοίχωμα μονής στρώσης (Εικ. 7.6). Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τη διαφορική εξίσωση αγωγιμότητας θερμότητας σε κυλινδρικές συντεταγμένες.

Ο άξονας 2 θα κατευθυνθεί κατά μήκος του άξονα του σωλήνα. Ας υποθέσουμε ότι το μήκος του σωλήνα σε σύγκριση με τη διάμετρο είναι απείρως μεγάλο. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να παραβλέψουμε την επίδραση των άκρων του σωλήνα στην κατανομή θερμοκρασίας κατά τον άξονα 2. Ας υποθέσουμε ότι, λόγω της ομοιόμορφης παροχής και απομάκρυνσης της θερμότητας, η θερμοκρασία στην εσωτερική επιφάνεια είναι παντού ίδια; ST1, και στην εξωτερική επιφάνεια - ? ST2 (οριακές συνθήκες πρώτου είδους). Με αυτές τις απλοποιήσεις (k/ = 0, και λόγω της συμμετρίας του πεδίου θερμοκρασίας σε σχέση με οποιαδήποτε διάμετρο;/?/?Ар = 0. Ισόθερμες επιφάνειες σε αυτή την περίπτωση θα είναι οι επιφάνειες των κυλίνδρων, ομοαξονικές με τον άξονα του σωλήνα. Έτσι , το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό του μονοδιάστατου πεδίου θερμοκρασίας = / (d), πού σολ- ακτίνα ρεύματος του κυλινδρικού τοιχώματος.

Ρύζι. 7.6.

Εξίσωση διαφορικής θερμότητας (7.19) υπό την συνθήκη dt/dΤο t = 0 θα πάρει τη μορφή

Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή

ποια είναι η διαβάθμιση θερμοκρασίας (grad?).

Αντικατάσταση μεταβλητής Καιστο (7.43), λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με χωριστές μεταβλητές

ή

Ενσωματώνοντας, παίρνουμε

Για έναν κυλινδρικό τοίχο, η διαβάθμιση θερμοκρασίας είναι μια μεταβλητή τιμή που αυξάνεται με τη μείωση της ακτίνας ΣΟΛ.Κατά συνέπεια, η διαβάθμιση θερμοκρασίας στην εσωτερική επιφάνεια είναι μεγαλύτερη από την εξωτερική επιφάνεια.

Αντικατάσταση της τιμής Καιαπό (7.44) έως (7.45), λαμβάνουμε Και

Οπου ένα β- συνεχείς ενσωματώσεις.

Κατά συνέπεια, η καμπύλη κατανομής θερμοκρασίας πάνω από το πάχος του τοιχώματος είναι μια λογαριθμική καμπύλη (καμπύλη α-βστο Σχ. 7.6).

Ας ορίσουμε σταθερές ΕΝΑΚαι σι,περιλαμβάνονται στην εξίσωση του πεδίου θερμοκρασίας, με βάση τις οριακές συνθήκες του πρώτου είδους. Ας υποδηλώσουμε την εσωτερική ακτίνα της επιφάνειας g x,εξωτερικό - ζ 2.Δηλώνουμε τις αντίστοιχες διαμέτρους (1 LΚαι (1 2 . Τότε έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Λύνοντας αυτό το σύστημα εξισώσεων, παίρνουμε

Η εξίσωση θερμοκρασίας μηδέν θα πάρει τη μορφή Η διαβάθμιση θερμοκρασίας προσδιορίζεται από τον τύπο (7.45):

Επειδή; ST1 > ? ST2, και r, r 2, τότε ο βαθμός προβολής; στο διάνυσμα ακτίνας έχει αρνητική τιμή.

Το τελευταίο δείχνει ότι για αυτή την περίπτωση η ροή θερμότητας κατευθύνεται από το κέντρο προς την περιφέρεια.

Για τον προσδιορισμό της ροής θερμότητας που διέρχεται από ένα τμήμα κυλινδρικής επιφάνειας με μήκος σι,ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση

Από το (7.46) προκύπτει ότι η ροή θερμότητας που διέρχεται από μια κυλινδρική επιφάνεια εξαρτάται από την αναλογία της εξωτερικής και της εσωτερικής ακτίνας r 2 / g x(ή διαμέτρους γ1 2 / (1 {), και όχι στο πάχος του τοίχου.

Η επιφανειακή πυκνότητα ροής θερμότητας για μια κυλινδρική επιφάνεια μπορεί να βρεθεί συνδέοντας τη ροή θερμότητας Φ με την περιοχή της εσωτερικής επιφάνειας Ένας αντιπρόεδροςή στην περιοχή της εξωτερικής επιφάνειας Ένα np.Στους υπολογισμούς, μερικές φορές χρησιμοποιείται γραμμική πυκνότητα ροής θερμότητας:

Από (7.47)-(7.49) ακολουθεί

Πολυστρωματικό κυλινδρικό τοίχωμα. Ας εξετάσουμε τη διάδοση της θερμότητας με θερμική αγωγιμότητα σε ένα τριών στρώσεων κυλινδρικό τοίχωμα (σωλήνα) μήκους Α (Εικ. 7.7) με εσωτερική διάμετρο c1 xκαι εξωτερική διάμετρο (1 L.Ενδιάμεσες διάμετροι μεμονωμένων στρωμάτων - γ1 2και Χ 2, Χ 3.

Ρύζι. 7.7.

Θεωρούνται γνωστές οι θερμοκρασίες; ST) εσωτερική και θερμοκρασία; ST4 εξωτερική επιφάνεια. Πρέπει να προσδιοριστεί η ροή θερμότητας F και η θερμοκρασία; ST2 Και; STz στα όρια του στρώματος. Ας συνθέσουμε μια εξίσωση της μορφής (7.46) για κάθε στρώμα:

Λύνοντας (7.51)-(7.53) για διαφορές θερμοκρασίας και στη συνέχεια προσθέτοντας όρο προς όρο, παίρνουμε

Από το (7.54) έχουμε μια υπολογισμένη έκφραση για τον προσδιορισμό της ροής θερμότητας για έναν τοίχο τριών στρωμάτων:

Ας γενικεύσουμε τον τύπο (7.55) στο τοίχωμα του σωλήνα του στρώματος u:
Οπου Εγώ- σειριακός αριθμός του στρώματος.

Από το (7.51)-(7.53) βρίσκουμε μια έκφραση για τον προσδιορισμό της θερμοκρασίας στα όρια των ενδιάμεσων στρωμάτων:

Θερμοκρασία; Τέχνη. +) στα σύνορα; (ΣΟΛΤο + 1)ο στρώμα μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας έναν παρόμοιο τύπο

Η βιβλιογραφία παρέχει λύσεις στη διαφορική εξίσωση θερμότητας για μια κούφια μπάλα υπό οριακές συνθήκες του πρώτου είδους, καθώς και λύσεις για όλα τα θεωρούμενα σώματα υπό οριακές συνθήκες του τρίτου είδους. Δεν εξετάζουμε αυτά τα προβλήματα. Εκτός του σκοπού της πορείας μας παρέμειναν επίσης τα θέματα της ακίνητης θερμικής αγωγιμότητας σε ράβδους (νευρώσεις) σταθερών και μεταβλητών διατομών, καθώς και θέματα μη ακίνητης θερμικής αγωγιμότητας.

Καθορισμός στόχων TMO

Έχουμε έναν όγκο που επηρεάζεται από θερμικά φορτία, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η αριθμητική τιμή q Vκαι την κατανομή του κατ' όγκο.

Εικ. 2 - Εξωτερικές και εσωτερικές πηγές τριβής

1. Προσδιορίστε τη γεωμετρία του υπό μελέτη όγκου σε οποιοδήποτε επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων.

2. Προσδιορίστε τα φυσικά χαρακτηριστικά του υπό μελέτη όγκου.

3. Προσδιορίστε τις συνθήκες που ξεκινούν τη διαδικασία TMT.

4. Αποσαφηνίστε τους νόμους που καθορίζουν τη μεταφορά θερμότητας στον υπό μελέτη όγκο.

5. Προσδιορίστε την αρχική θερμική κατάσταση στον υπό μελέτη όγκο.

Προβλήματα που επιλύθηκαν κατά την ανάλυση των στερεών αποβλήτων:

1. «Άμεσες» εργασίες του ΤΜΟ

Δίνονται: 1,2,3,4,5

Προσδιορίστε: κατανομή θερμοκρασίας σε χώρο και χρόνο (περαιτέρω 6).

2. «Αντίστροφα» προβλήματα TMT (αντίστροφα):

α) αντίστροφη Όριο καθήκοντα

Δίνονται: 1,2,4,5,6

Ορισμός: 3;

β) αντίστροφη πιθανότητα καθήκοντα

Δίνονται: 1,3,4,5,6

Ορισμός: 2;

γ) αντίστροφη αναδρομικός έργο

Δίνονται: 1,2,3,4,6

Ορισμός: 5.

3. «Επαγωγικές» εργασίες ΤΜΟ

Δίνονται: 1,2,3,5,6

Ορισμός: 4.

ΜΟΡΦΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ

Υπάρχουν 3 μορφές μεταφοράς θερμότητας:

1) θερμική αγωγιμότητα σε στερεά (καθορίζεται από μικροσωματίδια και σε μέταλλα από ελεύθερα ηλεκτρόνια).

2) συναγωγή (καθορίζεται από μακροσωματίδια του κινούμενου μέσου).

3) θερμική ακτινοβολία (καθορίζεται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα).

Θερμική αγωγιμότητα στερεών

Γενικές έννοιες

Πεδίο θερμοκρασίας είναι ένα σύνολο τιμών θερμοκρασίας στον υπό μελέτη όγκο, που λαμβάνονται σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

t(x, y, z, τ)- μια συνάρτηση που καθορίζει το πεδίο θερμοκρασίας.

Υπάρχουν σταθερά και μη σταθερά πεδία θερμοκρασίας:

ακίνητο - t(x,y,z);

μη στάσιμο - t(x, y, z, τ).

Η προϋπόθεση για τη σταθερότητα είναι:

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο σώμα και ας συνδέσουμε σημεία με ίσες θερμοκρασίες

Εικ. 3-Κλίση θερμοκρασίας και ροή θερμότητας

grad t- διαβάθμιση θερμοκρασίας

στην άλλη πλευρά: .

Ο νόμος του Φουριέ - η ροή θερμότητας στα στερεά είναι ανάλογη με τη βαθμίδα θερμοκρασίας, την επιφάνεια από την οποία διέρχεται και το υπό εξέταση χρονικό διάστημα.

Ο συντελεστής αναλογικότητας ονομάζεται συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας λ , W/m·K.

δείχνει ότι η θερμότητα εξαπλώνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα της βαθμίδας θερμοκρασίας.

;

Για απειροελάχιστη επιφάνεια και χρονικό διάστημα:

Εξίσωση θερμότητας (εξίσωση Fourier)

Θεωρήστε έναν απειροελάχιστο όγκο: dv =dx dy dz

Εικ. 4 - Θερμική κατάσταση απειροελάχιστου όγκου

Έχουμε μια σειρά Taylor:

Επίσης:

; ; .

Στη γενική περίπτωση έχουμε σε κύβο q V. Το συμπέρασμα βασίζεται στον γενικευμένο νόμο της διατήρησης της ενέργειας:

.

Σύμφωνα με το νόμο του Fourier:

; ; .

Μετά από μετασχηματισμούς έχουμε:

.

Για μια στατική διαδικασία:

Η χωρική διάσταση των προβλημάτων καθορίζεται από τον αριθμό των κατευθύνσεων στις οποίες γίνεται η μεταφορά θερμότητας.

Μονοδιάστατο πρόβλημα: ;

για μια στατική διαδικασία: ;

Για :

Για : ;

ένα- συντελεστής θερμικής διάχυσης, .Καρτεσιανό σύστημα;

k = 1, ξ = x -κυλινδρικό σύστημα?

k = 2, ξ = x -σφαιρικό σύστημα.

Συνθήκες μοναδικότητας

Συνθήκη μοναδικότητας – Αυτές είναι συνθήκες που καθιστούν δυνατή την επιλογή από το σύνολο των εφικτών λύσεων μίας που αντιστοιχεί στην εκάστοτε εργασία.

Η επίλυση προβλημάτων προσδιορισμού του πεδίου θερμοκρασίας πραγματοποιείται με βάση τη διαφορική εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας, τα συμπεράσματα της οποίας παρουσιάζονται στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία. Αυτό το εγχειρίδιο παρέχει επιλογές για διαφορικές εξισώσεις χωρίς συμπεράσματα.

Κατά την επίλυση προβλημάτων θερμικής αγωγιμότητας σε κινούμενα ρευστά που χαρακτηρίζουν ένα μη στάσιμο τρισδιάστατο πεδίο θερμοκρασίας με εσωτερικές πηγές θερμότητας, χρησιμοποιείται η εξίσωση

Η εξίσωση (4.10) είναι μια διαφορική εξίσωση ενέργειας σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (εξίσωση Fourier  Kirchhoff). Σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιείται στη μελέτη της διαδικασίας θερμικής αγωγιμότητας σε οποιοδήποτε σώμα.

Αν  x = y = z =0, δηλ. θεωρείται στερεό σώμα, και ελλείψει εσωτερικών πηγών θερμότητας q v =0, τότε η εξίσωση ενέργειας (4.10) μετατρέπεται στην εξίσωση αγωγιμότητας θερμότητας για τα στερεά (εξίσωση Fourier)

(4.11)

Η τιμή C=a, m 2 sec στην εξίσωση (4.10) ονομάζεται συντελεστής θερμικής διάχυσης, ο οποίος είναι μια φυσική παράμετρος μιας ουσίας που χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας στο σώμα κατά τη διάρκεια ασταθών διεργασιών.

Εάν ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας χαρακτηρίζει την ικανότητα των σωμάτων να μεταφέρουν τη θερμότητα, τότε ο συντελεστής θερμικής διάχυσης είναι ένα μέτρο των θερμικών αδρανειακών ιδιοτήτων του σώματος. Από την εξίσωση (4.10) προκύπτει ότι η μεταβολή της θερμοκρασίας με την πάροδο του χρόνου t για οποιοδήποτε σημείο του χώρου είναι ανάλογη με την τιμή «a», δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας σε οποιοδήποτε σημείο του σώματος θα είναι μεγαλύτερος, μεγαλύτερος ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας. Επομένως, αν είναι ίσα άλλα πράγματα, η εξίσωση της θερμοκρασίας σε όλα τα σημεία του χώρου θα συμβεί πιο γρήγορα στο σώμα που έχει μεγάλο συντελεστή θερμικής διάχυσης. Ο συντελεστής θερμικής διάχυσης εξαρτάται από τη φύση της ουσίας. Για παράδειγμα, τα υγρά και τα αέρια έχουν υψηλή θερμική αδράνεια και, επομένως, χαμηλό συντελεστή θερμικής διάχυσης. Τα μέταλλα έχουν χαμηλή θερμική αδράνεια, καθώς έχουν υψηλό συντελεστή θερμικής διάχυσης.

Για να δηλώσετε το άθροισμα των δεύτερων παραγώγων σε σχέση με τις συντεταγμένες στις εξισώσεις (4.10) και (4.11), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο  2, τον λεγόμενο τελεστή Laplace, και στη συνέχεια στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Η έκφραση  2 t σε ένα κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή

Για ένα στερεό σώμα υπό σταθερές συνθήκες με εσωτερική πηγή θερμότητας, η εξίσωση (4.10) μετατρέπεται στην εξίσωση Poisson.

(4.12)

Τέλος, για σταθερή θερμική αγωγιμότητα και απουσία εσωτερικών πηγών θερμότητας, η εξίσωση (4.10) παίρνει τη μορφή της εξίσωσης Laplace

(4.13)

Διαφορική εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας σε κυλινδρικές συντεταγμένες με εσωτερική πηγή θερμότητας

(4.14)

4.2.6. Συνθήκες μοναδικότητας για διεργασίες αγωγιμότητας θερμότητας

Δεδομένου ότι η διαφορική εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας προκύπτει με βάση τους γενικούς νόμους της φυσικής, χαρακτηρίζει το φαινόμενο της θερμικής αγωγιμότητας στην πιο γενική μορφή. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι η προκύπτουσα διαφορική εξίσωση χαρακτηρίζει μια ολόκληρη κατηγορία φαινομένων αγωγιμότητας θερμότητας. Για να ξεχωρίσουμε την ειδικά εξεταζόμενη διαδικασία από τον αμέτρητο αριθμό και να δώσουμε την πλήρη μαθηματική περιγραφή της, είναι απαραίτητο να προστεθεί μια μαθηματική περιγραφή όλων των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της υπό εξέταση διαδικασίας στη διαφορική εξίσωση. Αυτά τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, τα οποία μαζί με τη διαφορική εξίσωση παρέχουν μια πλήρη μαθηματική περιγραφή μιας συγκεκριμένης διαδικασίας αγωγιμότητας θερμότητας, ονομάζονται μοναδικότητα ή οριακές συνθήκες, οι οποίες περιλαμβάνουν:

α) γεωμετρικές συνθήκες που χαρακτηρίζουν το σχήμα και το μέγεθος του σώματος στο οποίο λαμβάνει χώρα η διαδικασία·

β) φυσικές συνθήκες που χαρακτηρίζουν τις φυσικές ιδιότητες του περιβάλλοντος και του σώματος (, C z, , a, κ.λπ.).

γ) προσωρινές (αρχικές) συνθήκες που χαρακτηρίζουν την κατανομή των θερμοκρασιών στο υπό μελέτη σώμα κατά την αρχική χρονική στιγμή.

δ) οριακές συνθήκες που χαρακτηρίζουν την αλληλεπίδραση του εν λόγω σώματος με το περιβάλλον.

Οι αρχικές συνθήκες είναι απαραίτητες όταν εξετάζονται οι μη στάσιμες διεργασίες και συνίστανται στον προσδιορισμό του νόμου της κατανομής της θερμοκρασίας μέσα στο σώμα κατά την αρχική χρονική στιγμή. Στη γενική περίπτωση, η αρχική συνθήκη μπορεί να γραφτεί αναλυτικά ως εξής για =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

Στην περίπτωση ομοιόμορφης κατανομής θερμοκρασίας στο σώμα, η αρχική συνθήκη απλοποιείται: στο =0; t=t 0 =idem.

Οι οριακές συνθήκες μπορούν να καθοριστούν με διάφορους τρόπους.

Α. Συνοριακές συνθήκες του πρώτου είδους, που καθορίζουν την κατανομή θερμοκρασίας στην επιφάνεια του σώματος t c για κάθε χρονική στιγμή:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που η θερμοκρασία στην επιφάνεια είναι σταθερή καθ' όλη τη διάρκεια των διεργασιών μεταφοράς θερμότητας, η εξίσωση (4.16) απλοποιείται και παίρνει τη μορφή t c =idem.

Β. Οριακές συνθήκες δεύτερου είδους, που καθορίζουν την τιμή της πυκνότητας ροής θερμότητας για κάθε σημείο της επιφάνειας και κάθε χρονική στιγμή. Αναλυτικά αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

q n = x, y, z, , (4.17)

όπου q n  πυκνότητα ροής θερμότητας στην επιφάνεια του σώματος.

Στην απλούστερη περίπτωση, η πυκνότητα της ροής θερμότητας στην επιφάνεια και με την πάροδο του χρόνου παραμένει σταθερή q n =idem. Αυτή η περίπτωση ανταλλαγής θερμότητας συμβαίνει, για παράδειγμα, κατά τη θέρμανση διαφόρων μεταλλικών προϊόντων σε φούρνους υψηλής θερμοκρασίας.

Β. Οριακές συνθήκες τρίτου είδους, που καθορίζουν τη θερμοκρασία περιβάλλοντος tf και τον νόμο της ανταλλαγής θερμότητας μεταξύ της επιφάνειας του σώματος και του περιβάλλοντος. Ο νόμος του Νεύτωνα χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη διαδικασία ανταλλαγής θερμότητας μεταξύ της επιφάνειας ενός σώματος και του περιβάλλοντος.

Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα, η ποσότητα θερμότητας που εκπέμπεται από μια μονάδα επιφάνειας ενός σώματος ανά μονάδα χρόνου είναι ανάλογη με τη διαφορά θερμοκρασίας του σώματος t c και του περιβάλλοντος t f

q = t c  t f . (4.18)

Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας χαρακτηρίζει την ένταση της ανταλλαγής θερμότητας μεταξύ της επιφάνειας του σώματος και του περιβάλλοντος. Αριθμητικά, είναι ίση με την ποσότητα θερμότητας που εκπέμπεται (ή γίνεται αντιληπτή) από μια μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα χρόνου όταν η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ της επιφάνειας του σώματος και του περιβάλλοντος είναι ίση με έναν βαθμό.

Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας, η ποσότητα θερμότητας που αφαιρείται από μια μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα χρόνου λόγω μεταφοράς θερμότητας (4.18) πρέπει να είναι ίση με τη θερμότητα που παρέχεται σε μια μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα χρόνου λόγω της θερμικής αγωγιμότητας από το εσωτερικούς όγκους του σώματος (4.7), δηλ.

, (4.19)

όπου n  κανονική στην επιφάνεια του σώματος. ο δείκτης «C» δείχνει ότι η θερμοκρασία και η κλίση σχετίζονται με την επιφάνεια του σώματος (με n=0).

Τέλος, η συνοριακή συνθήκη του τρίτου είδους μπορεί να γραφτεί ως

. (4.20)

Η εξίσωση (4.20), στην ουσία, είναι μια ιδιαίτερη έκφραση του νόμου της διατήρησης της ενέργειας για την επιφάνεια ενός σώματος.

Δ. Οριακές συνθήκες τέταρτου είδους, που χαρακτηρίζουν τις συνθήκες ανταλλαγής θερμότητας μεταξύ ενός συστήματος σωμάτων ή ενός σώματος με το περιβάλλον σύμφωνα με το νόμο της θερμικής αγωγιμότητας. Υποτίθεται ότι υπάρχει τέλεια επαφή μεταξύ των σωμάτων (οι θερμοκρασίες των επιφανειών επαφής είναι οι ίδιες). Υπό τις υπό εξέταση συνθήκες, υπάρχει ισότητα των ροών θερμότητας που διέρχονται από την επιφάνεια επαφής:

. (4.21)