Calcula la integral de línea sobre la longitud de un arco. Cálculo de integrales curvilíneas: teoría y ejemplos
Mínimo teóricoLas integrales curvilíneas y de superficie se encuentran a menudo en física. Vienen en dos tipos, el primero de los cuales se analiza aquí. Este
el tipo de integrales se construye según esquema general, mediante el cual se introducen integrales definidas, dobles y triples. Recordemos brevemente este esquema.
Existe algún objeto sobre el que se realiza la integración (unidimensional, bidimensional o tridimensional). Este objeto está roto en partes pequeñas,
Se selecciona un punto en cada parte. En cada uno de estos puntos se calcula el valor del integrando y se multiplica por la medida de la parte que
pertenece Punto dado(longitud de un segmento, área o volumen de una región parcial). Luego se suman todos esos productos y se satisface el límite.
transición para dividir el objeto en partes infinitesimales. El límite resultante se llama integral.1. Definición de integral curvilínea de primer tipo.
Consideremos una función definida sobre una curva. Se supone que la curva es rectificable. Recordemos lo que esto significa, a grandes rasgos,
que una línea discontinua con enlaces arbitrariamente pequeños se puede inscribir en una curva, y en el límite es infinita gran número enlaces, la longitud de la línea discontinua debe permanecer
final. La curva se divide en arcos parciales de longitud y se selecciona un punto en cada uno de los arcos. Se está compilando una obra.
la suma se realiza sobre todos los arcos parciales. Luego el paso al límite se realiza con la tendencia de la longitud del mayor
desde arcos parciales hasta cero. El límite es una integral curvilínea de primer tipo..
Una característica importante de esta integral, que se deriva directamente de su definición, es su independencia de la dirección de integración, es decir
.2. Definición de integral de superficie de primer tipo.
Considere una función definida sobre una superficie lisa o lisa por partes. La superficie se divide en áreas parciales.
con áreas, se selecciona un punto en cada una de dichas áreas. Se está compilando una obra., se realiza la suma
sobre todas las áreas parciales. Luego el paso al límite se realiza con la tendencia del diámetro del mayor de todos los parciales.
áreas a cero. El límite es una integral de superficie del primer tipo..
3. Cálculo de una integral curvilínea de primer tipo.
El método para calcular una integral curvilínea del primer tipo ya se puede ver en su notación formal, pero de hecho se deriva directamente de
definiciones. La integral se reduce a una definida; basta con anotar el diferencial del arco de la curva a lo largo del cual se realiza la integración.
Comencemos con el caso simple de integración a lo largo de una curva plana dada por una ecuación explícita. En este caso, el diferencial de arco.
Luego se realiza un cambio de variable en el integrando y la integral toma la forma
,
donde el segmento corresponde al cambio de la variable a lo largo de esa parte de la curva a lo largo de la cual se realiza la integración.Muy a menudo la curva se especifica paramétricamente, es decir ecuaciones de la forma Entonces el diferencial de arco
.
Esta fórmula se justifica de forma muy sencilla. Básicamente, este es el teorema de Pitágoras. El diferencial de arco es en realidad la longitud de la parte infinitesimal de la curva.
Si la curva es suave, entonces su parte infinitesimal puede considerarse rectilínea. Para una recta tenemos la relación
.
Para que se pueda realizar para un arco pequeño de la curva, se debe pasar de incrementos finitos a diferenciales:
.
Si la curva se especifica paramétricamente, entonces los diferenciales simplemente se calculan:etc.
En consecuencia, después de cambiar las variables en el integrando, la integral de curva se calcula de la siguiente manera:
,
donde la parte de la curva a lo largo de la cual se realiza la integración corresponde al segmento del cambio de parámetro.La situación es algo más complicada en el caso de que la curva se indique en coordenadas curvilíneas. Esta cuestión suele discutirse en el marco de la discusión diferencial.
geometría. Damos una fórmula para calcular la integral a lo largo de una curva especificada en coordenadas polares por la ecuación:
.
Demos una justificación para el diferencial del arco en coordenadas polares. Discusión detallada de la construcción de cuadrículas del sistema de coordenadas polares.
cm. . Seleccionemos un pequeño arco de la curva ubicado en relación con las líneas de coordenadas como se muestra en la Fig. 1. Por la pequeñez de todos los destacados
De nuevo podemos aplicar el teorema de Pitágoras y escribir:
.
De aquí se sigue la expresión deseada para el diferencial del arco.Desde un punto de vista puramente teórico, es bastante sencillo entender que una integral curvilínea del primer tipo debe reducirse a su caso especial:
integral definida. De hecho, al realizar el cambio dictado por la parametrización de la curva a lo largo de la cual se calcula la integral, establecemos
mapeo uno a uno entre una parte de una curva dada y un segmento de cambio de parámetro. Y esta es una reducción a la integral.
a lo largo de una línea recta que coincide con el eje de coordenadas: una integral definida.4. Cálculo de la integral de superficie de primer tipo.
Después del punto anterior, debe quedar claro que una de las partes principales del cálculo de una integral de superficie del primer tipo es escribir el elemento de superficie,
sobre el cual se realiza la integración. Nuevamente, comencemos con el caso simple de una superficie definida por una ecuación explícita. Entonces.
Se realiza una sustitución en el integrando y la integral de superficie se reduce al doble:
,
donde es la región del plano en la que se proyecta la parte de la superficie sobre la que se realiza la integración.Sin embargo, a menudo es imposible definir una superficie mediante una ecuación explícita, y luego se define paramétricamente, es decir, ecuaciones de la forma
.
El elemento de superficie en este caso se escribe de forma más complicada:
.
La integral de superficie se puede escribir en consecuencia:
,
donde es el área de cambio de parámetros correspondiente a la parte de la superficie sobre la que se realiza la integración.5. Significado físico Integrales curvilíneas y de superficie de primer tipo.
Las integrales comentadas tienen un significado físico muy simple y claro. Sea alguna curva cuya densidad lineal no sea
constante y es función del punto. Encontremos la masa de esta curva. Dividamos la curva en muchos elementos pequeños,
dentro del cual su densidad puede considerarse aproximadamente constante. Si la longitud de un pequeño trozo de una curva es igual a , entonces su masa
, ¿dónde está cualquier punto de la parte seleccionada de la curva (cualquiera, ya que la densidad está dentro de
se supone aproximadamente que esta pieza es constante). En consecuencia, la masa de toda la curva se obtiene sumando las masas de sus partes individuales:.
Para que la igualdad sea precisa, hay que llegar al límite de dividir la curva en partes infinitesimales, pero esta es una integral curvilínea del primer tipo.
La cuestión de la carga total de la curva se resuelve de manera similar si se conoce la densidad de carga lineal..
Estos argumentos pueden transferirse fácilmente al caso de una superficie cargada de manera no uniforme con una densidad de carga superficial
. Entonces
la carga superficial es una integral de superficie del primer tipo.
Nota. Es incómodo recordar una fórmula engorrosa para un elemento de superficie definido paramétricamente. Otra expresión se obtiene en geometría diferencial,
utiliza el llamado primero forma cuadrática superficies.Ejemplos de cálculo de integrales curvilíneas del primer tipo.
Ejemplo 1. Integral a lo largo de una recta.
calcular integrales
a lo largo de un segmento de recta que pasa por los puntos y .Primero, escribimos la ecuación de la recta por la que se realiza la integración:
. Encontremos una expresión para:
.
Calculamos la integral:Ejemplo 2. Integral a lo largo de una curva en un plano..
calcular integrales
a lo largo de un arco de parábola de un punto a otro.Puntos de ajuste y te permite expresar una variable de la ecuación de la parábola: .
Calculamos la integral:
.Sin embargo, fue posible realizar los cálculos de otra forma, aprovechando que la curva viene dada por una ecuación resuelta respecto de la variable.
Si tomamos la variable como parámetro, esto provocará un ligero cambio en la expresión del diferencial de arco:.
En consecuencia, la integral cambiará ligeramente:.
Esta integral se calcula fácilmente sustituyendo la variable bajo el diferencial. El resultado es la misma integral que en el primer método de cálculo.Ejemplo 3. Integral a lo largo de una curva en un plano (usando parametrización).
calcular integrales
a lo largo de la mitad superior del círculo.
Por supuesto, puedes expresar una de las variables de la ecuación de un círculo y luego realizar el resto de los cálculos de la forma estándar. Pero también puedes usar
especificación de curva paramétrica. Como sabes, un círculo se puede definir mediante ecuaciones. semicírculo superior
corresponde a un cambio en el parámetro dentro de . Calculemos el diferencial de arco:
.
De este modo,Ejemplo 4. Integral a lo largo de una curva en un plano especificado en coordenadas polares.
calcular integrales
a lo largo del lóbulo derecho de la lemniscata.
El dibujo de arriba muestra una lemniscata. La integración debe realizarse a lo largo de su lóbulo derecho. Encontremos el diferencial de arco para la curva.:
.
El siguiente paso es determinar los límites de integración sobre el ángulo polar. Está claro que la desigualdad debe satisfacerse y, por tanto,.
Calculamos la integral:Ejemplo 5. Integral a lo largo de una curva en el espacio..
calcular integrales
a lo largo del giro de la hélice correspondiente a los límites de cambio de parámetro
1er tipo.
1.1.1. Definición de integral curvilínea de 1er tipo.
Deja en el avión oxi curva dada (L). Sea para cualquier punto de la curva. (L) función continua definida f(x;y). Rompamos el arco AB líneas (L) puntos A=P 0, P 1, P n = B en norte arcos arbitrarios Pi -1 Pi con longitudes ( yo = 1, 2, norte) (Figura 27)
Elijamos en cada arco. Pi -1 Pi punto arbitrario M yo (xi; y yo), calculemos el valor de la función f(x;y) en el punto mi yo. Hagamos una suma integral
Deja donde.
λ→0 (n→∞), independiente del método de partición de la curva ( l)a partes elementales, ni de la elección de puntos mi yo integral curvilínea de 1er tipo de la función f(x;y)(integral curvilínea a lo largo del arco) y denota:
Comentario. La definición de la integral curvilínea de la función se introduce de forma similar. f(x;y;z) a lo largo de la curva espacial (L).
Significado físico de una integral curvilínea de primer tipo:
Si (L)- curva plana con un plano lineal, entonces la masa de la curva se encuentra mediante la fórmula:
1.1.2. Propiedades básicas de una integral curvilínea de 1er tipo:
3. Si el camino de la integración se divide en partes tales que , y tienen un único punto común, entonces .
4. La integral curvilínea de primer tipo no depende de la dirección de integración:
5. , donde es la longitud de la curva.
1.1.3. Cálculo de una integral curvilínea de 1er tipo.
El cálculo de una integral curvilínea se reduce al cálculo de una integral definida.
1. Deja que la curva (L) viene dada por la ecuación . Entonces
Es decir, el diferencial de arco se calcula mediante la fórmula.
Ejemplo
Calcular la masa de un segmento de recta desde un punto A(1;1) al punto B(2;4), Si .
Solución
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: .
Entonces la ecuación de la recta ( AB): , .
Encontremos la derivada.
Entonces . = .
2. Deja que la curva (L) especificado paramétricamente: .
Entonces, es decir, el diferencial de arco se calcula mediante la fórmula.
Para el caso espacial de especificar una curva: Entonces
Es decir, el diferencial de arco se calcula mediante la fórmula.
Ejemplo
Encuentre la longitud del arco de la curva, .
Solución
Encontramos la longitud del arco usando la fórmula.: .
Para ello, encontramos el diferencial de arco.
Encontremos las derivadas , , . Luego la longitud del arco: .
3. Deja que la curva (L) especificado en el sistema de coordenadas polares: . Entonces
Es decir, el diferencial de arco se calculará mediante la fórmula.
Ejemplo
Calcula la masa del arco lineal, 0≤ ≤ si .
Solución
Encontramos la masa del arco usando la fórmula:
Para hacer esto, encontremos el diferencial de arco.
Encontremos la derivada.
1.2. Integral curvilínea de segundo tipo.
1.2.1. Definición de integral curvilínea de segundo tipo.
Deja en el avión oxi curva dada (L). Dejar en (L) se da una función continua f(x;y). Rompamos el arco AB líneas (L) puntos A = P 0 , P 1 , P norte = B en la dirección desde el punto A al punto EN en norte arcos arbitrarios Pi -1 Pi con longitudes ( yo = 1, 2, norte) (Figura 28).
Elijamos en cada arco. Pi -1 Pi punto arbitrario M yo (xi; y yo), calculemos el valor de la función f(x;y) en el punto mi yo. Hagamos una suma integral, donde - longitud de proyección del arco P i -1 P i por eje Oh. Si la dirección del movimiento a lo largo de la proyección coincide con la dirección positiva del eje Oh, entonces se considera la proyección de los arcos positivo, de lo contrario - negativo.
Deja donde.
Si hay un límite en la suma integral en λ→0 (n→∞), independiente del método de partición de la curva (L) en partes elementales, ni de la elección de puntos mi yo en cada parte elemental, entonces este límite se llama integral curvilínea de segundo tipo de la función f(x;y)(integral curvilínea sobre la coordenada X) y denota:
Comentario. La integral curvilínea sobre la coordenada y se introduce de manera similar:
Comentario. Si (L) es una curva cerrada, entonces la integral sobre ella se denota
Comentario. Si está activado ( l) se dan tres funciones a la vez y de estas funciones hay integrales , , ,
entonces la expresión: + + se llama integral curvilínea general de segundo tipo y escribe:
1.2.2. Propiedades básicas de una integral curvilínea de segundo tipo:
3. Cuando cambia la dirección de la integración, la integral curvilínea de segundo tipo cambia de signo.
4. Si el camino de integración se divide en partes tales que y tienen un único punto común, entonces
5. Si la curva ( l) se encuentra en el avión:
eje perpendicular Oh, entonces =0;
eje perpendicular Oye, Eso ;
eje perpendicular Onz, entonces =0.
6. Una integral curvilínea de segundo tipo sobre una curva cerrada no depende de la elección del punto de partida (depende únicamente de la dirección en la que atraviesa la curva).
1.2.3. Significado físico de una integral curvilínea de segundo tipo.
Trabajo A fuerzas en movimiento punto material unidad de masa desde un punto METRO exactamente norte a lo largo de ( Minnesota) es igual a:
1.2.4. Cálculo de una integral curvilínea de 2º tipo.
El cálculo de una integral curvilínea de segundo tipo se reduce al cálculo de una integral definida.
1. Deja que la curva ( l) está dada por la ecuación .
Ejemplo
Calcula donde ( l) - linea rota VH: O(0;0), A(0;2), B(2;4).
Solución
Desde (Fig.29), entonces
1)Ecuación (OA): , ,
2) Ecuación de una recta (AB): .
2. Deja que la curva (L) especificado paramétricamente: .
Comentario. En el caso espacial:
Ejemplo
Calcular
Dónde ( AB)- segmento de A(0;0;1) antes B(2;-2;3).
Solución
Encontremos la ecuación de la recta ( AB):
Pasemos al registro paramétrico de la ecuación de una recta. (AB). Entonces .
Punto A(0;0;1) corresponde al parámetro t igual: por lo tanto t=0.
Punto B(2;-2;3) corresponde al parámetro t, igual: por lo tanto, t=1.
Al pasar de A A EN,parámetro t cambia de 0 a 1.
1.3. La fórmula de Green. L) incl. M(x;y;z) con ejes Buey, Oy, Oz
Es más conveniente calcular el volumen en coordenadas cilíndricas. Ecuación de un círculo que limita una región D, un cono y un paraboloide
toman respectivamente la forma ρ = 2, z = ρ, z = 6 − ρ 2. Teniendo en cuenta que este cuerpo es simétrico con respecto a los planos xOz e yOz. tenemos
6− ρ 2 |
||||
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z |
6 ρ − ρ 2 re ρ = |
|||
4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =
2 re ϕ = |
|||||||||||||||||
4 ∫ 2 (3 ρ 2 − |
∫ 2 re ϕ = |
32π |
|||||||||||||||
Si ignoras la simetría, entonces |
|||||||||||||||||
6− ρ 2 |
32π |
||||||||||||||||
V = ∫ |
dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = |
||||||||||||||||
3. INTEGRALES CURVILINEALES
Generalicemos el concepto de integral definida al caso en que el dominio de integración sea una determinada curva. Las integrales de este tipo se llaman curvilíneas. Hay dos tipos de integrales curvilíneas: integrales curvilíneas a lo largo del arco e integrales curvilíneas sobre las coordenadas.
3.1. Definición de una integral curvilínea del primer tipo (a lo largo del arco). Sea la función f(x,y) definido a lo largo de un plano por partes
curva suave1 L, cuyos extremos serán los puntos A y B. Dividamos la curva L arbitrariamente en n partes con puntos M 0 = A, M 1,... M n = B. En
Para cada uno de los arcos parciales M i M i + 1, seleccionamos un punto arbitrario (x i, y i) y calculamos los valores de la función f (x, y) en cada uno de estos puntos. Suma
1 Una curva se llama suave si en cada punto hay una tangente que cambia continuamente a lo largo de la curva. Una curva suave por tramos es una curva que consta de un número finito de piezas suaves.
norte- 1 |
|
σ norte = ∑ f ( x yo , y yo ) ∆ l yo , |
yo = 0
donde ∆ l i es la longitud del arco parcial M i M i + 1, llamado suma integral
para la función f(x, y) a lo largo de la curva L. Denotemos la mayor de las longitudes. |
|||
arcos parciales M i M i + 1 , i = |
|||
0 ,n − 1 hasta λ , es decir, λ = max ∆ l i . |
|||
0 ≤i ≤n −1 |
|||
Si existe un límite finito I de la suma integral (3.1) |
|||
tendiendo a cero de la mayor de las longitudes de los arcos parciales M i M i + 1, |
|||
dependiendo ni del método de dividir la curva L en arcos parciales, ni de |
|||
elección de puntos (x i, y i), entonces este límite se llama integral curvilínea del primer tipo (integral curvilínea a lo largo del arco) de la función f (x, y) a lo largo de la curva L y se denota con el símbolo ∫ f (x, y) dl.
Así, por definición |
||
norte- 1 |
||
I = lim ∑ f (xi, yi) ∆ li = ∫ f (x, y) dl. |
||
λ → 0 yo = 0 |
||
En este caso se llama a la función f(x, y) integrable a lo largo de la curva L,
la curva L = AB es el contorno de integración, A es el punto inicial y B es el punto final de integración, dl es el elemento de longitud de arco.
Observación 3.1. Si en (3.2) ponemos f (x, y) ≡ 1 para (x, y) L, entonces
obtenemos una expresión para la longitud del arco L en forma de integral curvilínea del primer tipo
l = ∫ dl.
De hecho, de la definición de integral curvilínea se deduce que |
||||
dl = lím norte − 1 |
||||
∆l |
Lím l = l . |
|||
λ → 0 ∑ |
λ→ 0 |
|||
yo = 0 |
||||
3.2. Propiedades básicas del primer tipo de integral curvilínea. |
||||
son similares a las propiedades de una integral definida: |
||||
1º. ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl. |
||||
2º. ∫ cf (x, y) dl = c ∫ f (x, y) dl, donde c es una constante. |
||||
y L, no |
||||
3º. Si el bucle de integración L se divide en dos partes L |
||||
teniendo puntos interiores comunes, entonces
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.
4 o. Observamos especialmente que el valor de la integral curvilínea del primer tipo no depende de la dirección de integración, ya que los valores de la función f (x, y) en
puntos arbitrarios y la longitud de arcos parciales ∆ l i , que son positivos,
independientemente de qué punto de la curva AB se considera el inicial y cuál el final, es decir
f(x,y)dl = ∫ f(x,y)dl . |
|||
3.3. Cálculo de una integral de curva del primer tipo. |
|||
se reduce al cálculo de integrales definidas. |
|||
x= x(t) |
|||
Sea la curva L dado por ecuaciones paramétricas |
y=y(t) |
||
Sean α y β los valores del parámetro t correspondiente al inicio (punto A) y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
final (punto B) |
[α , β ] |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x(t), y(t) y |
derivados |
x (t), y (t) |
Continuo |
f(x, y) - |
|||||||||||||||||||||||||||||
es continua a lo largo de la curva L. Del curso de cálculo diferencial. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
funciones de una variable se sabe que |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = (x(t)) |
+ (y(t)) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x(t) |
+ (y(t)) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ejemplo 3.1. |
Calcular |
círculo |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x= a cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ t ≤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y = un pecado t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Solución. Dado que x (t) = − a sin t, y (t) = a cos t, entonces |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = |
(− a sen t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sen 2 t + cos 2 tdt = adt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y de la fórmula (3.4) obtenemos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
porque 2t )dt = |
pecado 2t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a |
3 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
πa 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
pecadoπ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
L se da |
ecuación |
y = y(x), |
un ≤ x ≤ b |
y(x) |
||||||||||||||||
es continua junto con su derivada y |
(x) para a ≤ x ≤ b, entonces |
|||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+(y(x)) |
||||||||||||||||||||
y la fórmula (3.4) toma la forma |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x)) |
||||||||||||||||||||
(y(x)) |
||||||||||||||||||||
L se da |
x = x(y), c ≤ y ≤ d |
x(y) |
||||||||||||||||||
ecuación |
||||||||||||||||||||
es continua junto con su derivada x (y) para c ≤ y ≤ d, entonces |
||||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+(x(y)) |
||||||||||||||||||||
y la fórmula (3.4) toma la forma |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y) |
||||||||||||||||||||
1 + (x(y)) |
||||||||||||||||||||
Ejemplo 3.2. Calcular ∫ ydl, donde L es el arco de la parábola |
2 veces desde |
|||||||||||||||||||
punto A (0,0) al punto B (2,2). |
||||||||||||||||||||
Solución . Calculemos la integral de dos maneras, usando |
||||||||||||||||||||
fórmulas (3.5) y (3.6) |
||||||||||||||||||||
1) Usemos la fórmula (3.5). Porque |
||||||||||||||||||||
2x (y ≥ 0), y ′ |
||||||||||||||||||||
2 x = |
2x |
dl = |
1+ 2 x dx, |
|||||||||||||||||
3 / 2 2 |
||||||||||||||||||||
1 (5 |
3 2 − 1) . |
|||||||||||||||||||
∫ ydl = ∫ |
2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx = |
1 (2x + 1) |
||||||||||||||||||
2) Usemos la fórmula (3.6). Porque |
||||||||||||||||||||
x = 2 , x |
Y, dl |
1 + años |
||||||||||||||||||
y 1 + y 2 dy = |
(1 + y |
/ 2 2 |
||||||
∫ ydl = ∫ |
||||||||
3 / 2 |
||||||||
1 3 (5 5 − 1).
Observación 3.2. De manera similar a lo considerado, podemos introducir el concepto de integral curvilínea del primer tipo de función f (x, y, z) sobre
curva espacial suave por partes L:
Si la curva L está dada por ecuaciones paramétricas
α ≤ t ≤ β, entonces
dl = |
||||||||||||||||
(x(t)) |
(y(t)) |
(z(t)) |
||||||||||||||
∫ f (x, y, z) dl = |
||||||||||||||||
= ∫ |
dt. |
|||||||||||||||
f (x (t), y (t), z (t)) (x (t)) |
(y(t)) |
(z(t)) |
||||||||||||||
x= x(t) , y= y(t)
z= z(t)
Ejemplo 3.3. Calcular∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , donde L es el arco de la curva
x= t cos t |
0 ≤ t ≤ 2 π. |
|
y = t sen t |
||
z = t |
||
x′ = costo − t sint, y′ = sint + t costo, z′ = 1 , |
||
dl = |
(cos t − t sen t)2 + (sen t + t cos t)2 + 1 dt = |
|
Cos2 t − 2 t sen t cos t + t2 sen2 t + sen2 t + 2 t sen t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =
2 + t2 dt .
Ahora, según la fórmula (3.7) tenemos
∫ (2z − |
x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t − |
t 2 porque 2 t + t 2 sen 2 t ) |
2 + t 2 dt = |
|||||||||||||||||||
T2) |
||||||||||||||||||||||
= ∫ |
t2+t |
dt = |
4π |
− 2 2 |
||||||||||||||||||
cilíndrico |
superficies, |
|||||||||||||||||||||
que está formado por perpendiculares a |
||||||||||||||||||||||
avión xoy, |
restaurado en puntos |
|||||||||||||||||||||
(x,y) |
L=AB |
y tener |
||||||||||||||||||||
representa la masa de una curva L que tiene una densidad lineal variable ρ(x, y)
cuya densidad lineal varía según la ley ρ (x, y) = 2 y.
Solución. Para calcular la masa del arco AB utilizamos la fórmula (3.8). El arco AB está dado de forma paramétrica, por lo que para calcular la integral (3.8) utilizamos la fórmula (3.4). Porque
1+t |
dt, |
|||||||||||||
x (t) = 1, y (t) = t, dl = |
||||||||||||||
3/ 2 1 |
||||||||||||||
1 (1+ t |
||||||||||||||
m = ∫ 2 ydl = ∫ |
1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt = |
|||||||||||||
(2 3 / 2 − |
1) = |
2 2 − 1. |
||||||||||||
3.4. Definición de una integral curvilínea del segundo tipo (por |
||||||||||||||
coordenadas). Deja que la función |
f(x, y) se define a lo largo de un plano |
|||||||||||||
curva suave a trozos L, cuyos extremos serán los puntos A y B. De nuevo |
||||||||||||||
arbitrario |
vamos a romperlo |
curva L |
||||||||||||
M 0 = A , M 1 ,... M n = B También elegimos dentro |
cada parcial |
|||||||||||||
arcos M i M i + 1 |
punto arbitrario |
(xi, yi) |
y calcular |
Si se da una integral de curva y la curva a lo largo de la cual se produce la integración es cerrada (llamada contorno), entonces dicha integral se llama integral de contorno cerrado y se denota de la siguiente manera: Área delimitada por contorno l vamos a denotar D. Si las funciones PAG(X, y) , q(X, y) y sus derivadas parciales y son funciones continuas en el dominio D, luego para calcular la integral curvilínea puedes usar la fórmula de Green: Así, el cálculo de una integral curvilínea sobre un contorno cerrado se reduce al cálculo de una integral doble sobre el área D. La fórmula de Green sigue siendo válida para cualquier zona cerrada, que se puede dibujar dibujando líneas adicionales en un número finito de áreas cerradas simples. Ejemplo 1. Calcular integral de línea
Si l- contorno del triángulo VH, Dónde ACERCA DE(0; 0) , A(1; 2) y B(10) . La dirección de recorrido del circuito es en sentido antihorario. Resuelve el problema de dos maneras: a) calcula las integrales curvilíneas de cada lado del triángulo y suma los resultados; b) según la fórmula de Green.  a) Calcula las integrales curvilíneas de cada lado del triángulo. Lado TRANSMISIÓN EXTERIOR. esta en el eje Buey, por lo que su ecuación será y= 0 . Es por eso dy= 0 y podemos calcular la integral curvilínea a lo largo del lado TRANSMISIÓN EXTERIOR. :
ecuación lateral LICENCIADO EN LETRAS. voluntad X= 1 . Es por eso dx= 0 . Calculamos la integral curvilínea a lo largo del lado. LICENCIADO EN LETRAS. :
ecuación lateral A.O. Usando la fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, creemos:
De este modo, dy = 2dx. Calculamos la integral curvilínea a lo largo del lado. A.O. :
Esta integral de línea será igual a la suma integrales a lo largo de los bordes del triángulo:
b) Apliquemos la fórmula de Green. Porque
Como puedes ver, obtuvimos el mismo resultado, pero según la fórmula de Green, calcular la integral en un circuito cerrado es mucho más rápido. Ejemplo 2.
Dónde l- contorno VH , TRANSMISIÓN EXTERIOR.- arco de parábola y = X², desde el punto ACERCA DE(0; 0) para señalar A(1; 1) , AB Y B.O.- segmentos rectos, B(0; 1) .  Solución. Dado que las funciones son , y sus derivadas parciales son , , D- área limitada por el contorno l, tenemos todo para usar la fórmula de Green y calcular esta integral de circuito cerrado:
Ejemplo 3. Usando la fórmula de Green, calcule la integral curvilínea
 Solución. Línea y = 2 − |X| consta de dos rayos: y = 2 − X, Si X≥ 0 y y = 2 + X, Si X < 0 . Tenemos funciones y sus derivadas parciales y . Sustituimos todo en la fórmula de Green y obtenemos el resultado. 16.3.2.1. Definición de integral curvilínea de primer tipo. Dejemos entrar en el espacio de las variables. x,y,z dada una curva suave por tramos en la que se define la función F (X ,y ,z ). Dividamos la curva en partes con puntos, elijamos un punto arbitrario en cada uno de los arcos, encontremos la longitud del arco y compongamos la suma integral. Si hay un límite para la secuencia de sumas integrales en , independientemente del método de dividir la curva en arcos o de la elección de los puntos, entonces la función F (X ,y ,z ) se llama curva integrable, y el valor de este límite se llama integral curvilínea de primer tipo, o integral curvilínea a lo largo de la longitud del arco de la función F (X ,y ,z ) a lo largo de la curva, y se denota (o). Teorema de existencia. Si la función F (X ,y ,z ) es continua en una curva suave por tramos, entonces es integrable a lo largo de esta curva. El caso de una curva cerrada. En este caso, puede tomar un punto arbitrario de la curva como punto inicial y final. En lo que sigue llamaremos a la curva cerrada describir y denotado por una letra CON . El hecho de que la curva a lo largo de la cual se calcula la integral sea cerrada generalmente se indica con un círculo en el signo de la integral: . 16.3.2.2. Propiedades de una integral curvilínea de primer tipo. Para esta integral, se tienen en cuenta las seis propiedades que son válidas para una integral definida, doble o triple, de linealidad antes teoremas del valor medio. Formúlelos y pruébelos. por propia cuenta. Sin embargo, el séptimo, propiedad personal, también se aplica a esta integral: Independencia de la integral curvilínea de primer tipo de la dirección de la curva:. Prueba. Las sumas integrales de las integrales en los lados derecho e izquierdo de esta igualdad coinciden para cualquier partición de la curva y elección de puntos (siempre la longitud del arco), por lo tanto sus límites son iguales para . 16.3.2.3. Cálculo de una integral curvilínea de primera especie. Ejemplos. Dejemos que la curva esté definida por ecuaciones paramétricas, donde son funciones continuamente diferenciables, y dejemos que los puntos que definen la partición de la curva correspondan a los valores del parámetro, es decir . Luego (ver sección 13.3. Cálculo de las longitudes de las curvas). Según el teorema del valor medio, existe un punto tal que . Seleccionemos los puntos obtenidos con este valor de parámetro: . Entonces la suma integral de la integral curvilínea será igual a la suma integral de la integral definida. Dado que , entonces, pasando al límite en en igualdad, obtenemos Así, el cálculo de una integral curvilínea del primer tipo se reduce al cálculo de una integral definida sobre un parámetro. Si la curva se da de forma paramétrica, entonces esta transición no causa dificultades; si se le da calidad descripción verbal curva, entonces la principal dificultad puede ser introducir un parámetro en la curva. Recalquemos una vez más que La integración siempre se realiza en la dirección del parámetro creciente. Ejemplos. 1. Calcula dónde está una vuelta de la espiral. Aquí la transición a la integral definida no causa problemas: encontramos , y . 2. Calcula la misma integral sobre el segmento de recta que conecta los puntos y . Aquí no hay una definición paramétrica directa de la curva, por lo que AB debes ingresar un parámetro. Las ecuaciones paramétricas de una recta tienen la forma donde es el vector director y es el punto de la recta. Tomamos el punto como punto y el vector como vector dirección. Es fácil ver que el punto corresponde al valor, el punto corresponde al valor, por tanto. 3. Encuentra dónde está la parte de la sección del cilindro por el plano. z =X +1, situado en el primer octante. Solución: Las ecuaciones paramétricas del círculo - guía del cilindro tienen la forma X =2cosj, y =2senj, y desde z=x +1 entonces z = 2cosj+1. Entonces, Es por eso 16.3.2.3.1. Cálculo de una integral curvilínea de primera especie. Estuche plano. Si la curva se encuentra en cualquier Plano coordinado, por ejemplo, aviones Ohhh , y está dada por la función , entonces, considerando X como parámetro obtenemos la siguiente fórmula para calcular la integral: . De manera similar, si la curva viene dada por la ecuación, entonces . Ejemplo. Calcula dónde está el cuarto de círculo que se encuentra en el cuarto cuadrante. Solución. 1. Considerando X como parámetro obtenemos , por lo tanto 2. Si tomamos una variable como parámetro en , entonces y . 3. Naturalmente, puedes tomar los habituales. ecuaciones paramétricas circunferencia: . Si la curva se da en coordenadas polares, entonces , y . | ||||||||||
,
.
.
,
, Eso 
. Tenemos todo lo que necesitamos para calcular esta integral de circuito cerrado usando la fórmula de Green:
,
, Si l- el contorno formado por la línea y = 2 − |X| y eje Oye
.
