Variables aleatorias. Variable aleatoria discreta. Expectativa matemática.
Capítulo 6.
Características numéricas de variables aleatorias.
Expectativa matemática y sus propiedades.
Resolver muchos problemas prácticos no siempre requiere el conocimiento de todos los valores posibles. variable aleatoria y sus probabilidades. Además, a veces simplemente se desconoce la ley de distribución de la variable aleatoria en estudio. Sin embargo, es necesario destacar algunas características de esta variable aleatoria, es decir, características numéricas.
Características numéricas– estos son algunos números que caracterizan ciertas propiedades, rasgos distintivos de una variable aleatoria.
Por ejemplo, el valor promedio de una variable aleatoria, la dispersión promedio de todos los valores de una variable aleatoria alrededor de su promedio, etc. El objetivo principal de las características numéricas es expresar de forma concisa las características más importantes de la distribución de la variable aleatoria en estudio. Las características numéricas juegan un papel muy importante en la teoría de la probabilidad. Ayudan a resolver, incluso sin conocer las leyes de distribución, muchos problemas prácticos importantes.
Entre todas las características numéricas destacamos en primer lugar características de la posición. Son características que fijan la posición de una variable aleatoria en eje numérico, es decir. un determinado valor medio alrededor del cual se agrupan los valores restantes de la variable aleatoria.
De las características de una posición, la expectativa matemática desempeña el papel más importante en la teoría de la probabilidad.
Valor esperado a veces se le llama simplemente media de una variable aleatoria. Es una especie de centro de distribución.
Expectativa de una variable aleatoria discreta
Consideremos primero el concepto de expectativa matemática para una variable aleatoria discreta.
Antes de introducir una definición formal, resolvamos el siguiente problema simple.
Ejemplo 6.1. Deje que cierto tirador dispare 100 tiros a un objetivo. Como resultado, se obtuvo la siguiente imagen: 50 disparos - acertar en el "ocho", 20 disparos - acertar en el "nueve" y 30 - acertar en el "diez". ¿Cuál es la puntuación media de un disparo?
Solución Este problema es obvio y se reduce a encontrar el valor promedio de 100 números, es decir, puntos.
Transformamos la fracción dividiendo el numerador por el denominador término por término, y presentamos el valor promedio en forma de la siguiente fórmula:
Supongamos ahora que el número de puntos en un disparo son los valores de alguna variable aleatoria discreta. X. Del planteamiento del problema se desprende claramente que X 1 =8; X 2 =9; X 3=10. Se conocen las frecuencias relativas de aparición de estos valores, las cuales, como se sabe, cuando gran número las pruebas son aproximadamente iguales a las probabilidades de los valores correspondientes, es decir R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Entonces, . El valor del lado derecho es la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.
Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades de estos valores.
Sea la variable aleatoria discreta X viene dada por su serie de distribución:
| X | X 1 | X 2 | … | X norte |
| R | R 1 | R 2 | … | R norte |
Entonces la expectativa matemática METRO(X) de una variable aleatoria discreta se determina mediante la siguiente fórmula:
Si una variable aleatoria discreta toma un conjunto infinito de valores contables, entonces la expectativa matemática se expresa mediante la fórmula:
,
Además, la expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Ejemplo 6.2 . Encuentre la expectativa matemática de ganar. X bajo las condiciones del ejemplo 5.1.
Solución . Recordemos que la serie de distribución X tiene la siguiente forma:
| X | |||
| R | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Obtenemos METRO(X)=0∙0.7+10∙0.2+50∙0.1=7. Evidentemente, 7 rublos es un precio justo por un billete de esta lotería, sin varios costos, por ejemplo, relacionados con la distribución o producción de entradas. ■
Ejemplo 6.3 . Deja que la variable aleatoria X es el número de ocurrencias de algún evento A en una sola prueba. La probabilidad de este evento es R. Encontrar METRO(X).
Solución. Evidentemente, los valores posibles de la variable aleatoria son: X 1 =0 – evento A no apareció y X 2 =1 – evento A apareció. La serie de distribución se ve así:
| X | ||
| R | 1−R | R |
Entonces METRO(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■
Entonces, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en una prueba es igual a la probabilidad de este evento.
Al inicio del párrafo se dio un problema específico, donde se indicó la conexión entre la expectativa matemática y el valor promedio de una variable aleatoria. Expliquemos esto en términos generales.
Que se produzca k pruebas en las que la variable aleatoria X aceptado k 1 valor de tiempo X 1 ; k 2 veces el valor X 2, etc y finalmente kn valor de veces xn. Es obvio que k 1 +k 2 +…+kn = k. Encontremos la media aritmética de todos estos valores, tenemos
Tenga en cuenta que una fracción es la frecuencia relativa de aparición de un valor. xyo V k pruebas. Con una gran cantidad de pruebas, la frecuencia relativa es aproximadamente igual a la probabilidad, es decir . Resulta que
.
Por lo tanto, la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria, y cuanto más precisa es la cantidad de pruebas, esto es Significado probabilístico de la expectativa matemática.
El valor esperado a veces se llama centro distribución de una variable aleatoria, ya que es obvio que los posibles valores de la variable aleatoria se ubican en el eje numérico a la izquierda y a la derecha de su expectativa matemática.
Pasemos ahora al concepto de expectativa matemática para una variable aleatoria continua.
Cada valor individual está completamente determinado por su función de distribución. Además, para resolver problemas prácticos, basta con conocer varias características numéricas, gracias a las cuales es posible presentar las características principales de una variable aleatoria de forma breve.
Estas cantidades incluyen principalmente valor esperado Y dispersión .
Valor esperado— el valor medio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Denotado como .
lo mas de una manera sencilla expectativa matemática de una variable aleatoria X(w), descubre cómo integralLebesgue en relación con la medida de probabilidad R original espacio de probabilidad
También puedes encontrar la expectativa matemática de un valor como Integral de Lebesgue de X por distribución de probabilidad rx cantidades X:
¿Dónde está el conjunto de todos los valores posibles? X.
Expectativa matemática de funciones de una variable aleatoria. X encontrado a través de la distribución rx. Por ejemplo, Si X- una variable aleatoria con valores en y f(x)- inequívoco Borelfunción X , Eso:
Si F(x)- función de distribución X, entonces la expectativa matemática es representable integralLebesgue - Stieltjes (o Riemann - Stieltjes):
en este caso integrabilidad X En términos de ( * ) corresponde a la finitud de la integral
En casos específicos, si X tiene una distribución discreta con valores probables x k, k=1, 2, . y probabilidades, entonces
Si X tiene absolutamente distribución continua con densidad de probabilidad pag(x), Eso
en este caso, la existencia de una expectativa matemática equivale a la convergencia absoluta de la serie o integral correspondiente.
Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria.
- Valor esperado valor constante igual a este valor:
C- constante;
- M=C.M[X]
- La expectativa matemática de la suma de valores tomados aleatoriamente es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:
- La expectativa matemática del producto de variables independientes tomadas al azar = el producto de sus expectativas matemáticas:
M=M[X]+M[Y]
Si X Y Y independiente.
si la serie converge:
Algoritmo para calcular la expectativa matemática.
Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores pueden renumerarse como números naturales; asigne a cada valor una probabilidad distinta de cero.
1. Multiplica los pares uno por uno: xyo en Pi.
2. Suma el producto de cada par. x i p i.
Por ejemplo, Para norte = 4 :
Función de distribución de una variable aleatoria discreta. paso a paso, aumenta abruptamente en aquellos puntos cuyas probabilidades tienen signo positivo.
Ejemplo: Encuentra la expectativa matemática usando la fórmula.
Solución:
6.1.2 Propiedades de la expectativa matemática
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.
2. El factor constante se puede eliminar como signo de la expectativa matemática. 
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Esta propiedad es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Esta propiedad también es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.
Ejemplo: M(X) = 5, MI)= 2. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria z, aplicando las propiedades de la expectativa matemática, si se sabe que Z=2X+3Y.
Solución: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas
2) el factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática
Sean realizados n ensayos independientes, cuya probabilidad de ocurrencia del evento A es igual a p. A continuación, el siguiente teorema se cumple:
Teorema. La expectativa matemática M(X) del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de que ocurra el evento en cada ensayo.
6.1.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta
La expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario ingresar un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.
Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, otras son negativas y como resultado de su cancelación mutua se obtiene cero.
Dispersión (dispersión) de una variable aleatoria discreta es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática.
En la práctica, este método de calcular la varianza es inconveniente porque conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de variables aleatorias.
Por tanto, se utiliza otro método.
Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática..
Prueba. Teniendo en cuenta que la expectativa matemática M(X) y el cuadrado de la expectativa matemática M2(X) son cantidades constantes, podemos escribir:
Ejemplo. Encuentre la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| x2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución: .
6.1.4 Propiedades de dispersión
1. La varianza de un valor constante es cero. .
2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. 
.
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
4. La varianza de la diferencia entre dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
Teorema. La varianza del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de que ocurra el evento es constante, es igual al producto del número de ensayos por las probabilidades de ocurrencia y no- ocurrencia del evento en cada ensayo.
Ejemplo: Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en 2 ensayos independientes, si la probabilidad de que ocurra el evento en estos ensayos es la misma y se sabe que M(X) = 1,2.
Apliquemos el teorema de la sección 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; norte= 2. Busquemos pag:
1,2 = 2∙pag
pag = 1,2/2
q = 1 – pag = 1 – 0,6 = 0,4
Encontremos la varianza usando la fórmula:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta
Desviación Estándar La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza.
(25)
Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estas cantidades.
6.1.6 Moda y mediana de una variable aleatoria discreta
Moda M o DSV se llama el valor más probable de una variable aleatoria (es decir, el valor que tiene la mayor probabilidad)
Mediana M y DSV es el valor de una variable aleatoria que divide la serie de distribución por la mitad. Si el número de valores de una variable aleatoria es par, entonces la mediana se encuentra como la media aritmética de dos valores promedio.
Ejemplo: encontrar la moda y la mediana del DSV X:
| X | ||||
| pag | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
A mí = = 5,5
Progreso
1. Familiarícese con la parte teórica de este trabajo (conferencias, libro de texto).
2. Complete la tarea según su propia versión.
3. Realizar un informe del trabajo.
4. Proteja su trabajo.
2. Objeto del trabajo.
3. Avance de la obra.
4. Resolviendo tu propia opción.
6.4 Opciones de tareas para Trabajo independiente
Opción 1
1. Encuentre la expectativa matemática, dispersión, desviación estándar, moda y mediana del DSV X, dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| PAG | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en dos ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (X) = 1.
4. Se proporciona una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta. X: x1 = 1, x2 = 2, x3= 5, y también se conocen las expectativas matemáticas de este valor y su cuadrado: , . Encuentre las probabilidades , , , correspondientes a los posibles valores de , , y trace la ley de distribución DSV.
Opción número 2
| X | ||||
| PAG | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en tres ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (X) = 0,9.
4. Se da una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta X: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10, y también se conocen las expectativas matemáticas de este valor y su cuadrado: , . Encuentre las probabilidades , , , correspondientes a los posibles valores de , , y trace la ley de distribución DSV.
Opción #3
1. Encuentre la expectativa matemática, la dispersión y la desviación estándar de DSV X, dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| PAG | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en cuatro ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (x) = 1,2.
2. Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
Valor esperado
Considere una variable aleatoria con valores numéricos. A menudo resulta útil asociar un número con esta función: su "valor medio" o, como dicen, "valor medio", "índice de tendencia central". Por diversas razones, algunas de las cuales quedarán claras más adelante, la expectativa matemática suele utilizarse como “valor promedio”.
Definición 3. Expectativa matemática de una variable aleatoria. X número llamado
aquellos. la expectativa matemática de una variable aleatoria es una suma ponderada de los valores de una variable aleatoria con pesos iguales a las probabilidades de los eventos elementales correspondientes.
Ejemplo 6. Calculemos la expectativa matemática del número que aparece en el borde superior. dado. Se deduce directamente de la Definición 3 que
Declaración 2. Deja que la variable aleatoria X toma valores x 1, x 2,…, xmetro. Entonces la igualdad es verdadera.
(5)
aquellos. La expectativa matemática de una variable aleatoria es una suma ponderada de los valores de la variable aleatoria con pesos iguales a las probabilidades de que la variable aleatoria tome ciertos valores.
A diferencia de (4), donde la suma se realiza directamente sobre eventos elementales, un evento aleatorio puede constar de varios eventos elementales.
A veces se toma la relación (5) como definición de expectativa matemática. Sin embargo, utilizando la Definición 3, como se muestra a continuación, es más fácil establecer las propiedades de la expectativa matemática necesaria para construir modelos probabilísticos de fenómenos reales que utilizando la relación (5).
Para probar la relación (5), agrupamos en (4) términos con valores idénticos de la variable aleatoria:
Dado que el factor constante se puede quitar del signo de la suma, entonces
Determinando la probabilidad de un evento.
Usando las dos últimas relaciones obtenemos lo requerido:
El concepto de expectativa matemática en la teoría estadística-probabilística corresponde al concepto de centro de gravedad en mecánica. Pongámoslo en puntos. x 1, x 2,…, xmetro en el eje del número de masa PAG(X= X 1 ), PAG(X= X 2 ),…, PAG(X= xm) respectivamente. Entonces la igualdad (5) muestra que el centro de gravedad de este sistema puntos materiales coincide con la expectativa matemática, lo que muestra la naturalidad de la Definición 3.
Declaración 3. Dejar X- valor aleatorio, M(X)– su expectativa matemática, A– un cierto número. Entonces
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= METRO[(X- METRO(X)) 2 ]+(a- METRO(X)) 2 .
Para probar esto, consideremos primero una variable aleatoria que es constante, es decir la función mapea el espacio de eventos elementales a un solo punto A. Dado que el multiplicador constante se puede llevar más allá del signo de la suma, entonces
Si cada miembro de una suma se divide en dos términos, entonces la suma total se divide en dos sumas, de las cuales la primera está formada por los primeros términos y la segunda por el segundo. Por lo tanto, la expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias X+Y, definido en el mismo espacio de eventos elementales, es igual a la suma de expectativas matemáticas M(X) Y METRO(U) estas variables aleatorias:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Y por lo tanto M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Como se muestra arriba, M(M(X)) = M(X). Por eso, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Porque el (X - a) 2 = ((X – METRO(X)) + (METRO(X) - a)} 2 = (X - METRO(X)) 2 + 2(X - METRO(X))(METRO(X) - a) + (METRO(X) – a) 2 , Eso METRO[(X - a) 2 ] =METRO(X - METRO(X)) 2 + METRO{2(X - METRO(X))(METRO(X) - a)} + METRO[(METRO(X) – a) 2 ]. Simplifiquemos la última igualdad. Como se muestra al comienzo de la prueba del enunciado 3, la expectativa matemática de una constante es la constante misma y, por lo tanto, METRO[(METRO(X) – a) 2 ] = (METRO(X) – a) 2 . Dado que el multiplicador constante se puede llevar más allá del signo de la suma, entonces METRO{2(X - METRO(X))(METRO(X) - a)} = 2(METRO(X) - a)METRO(X - METRO(X)). El lado derecho de la última igualdad es 0 porque, como se muestra arriba, M(X-M(X))=0. Por eso, METRO[(X- a) 2 ]= METRO[(X- METRO(X)) 2 ]+(a- METRO(X)) 2 , que era lo que había que demostrar.
De lo anterior se deduce que METRO[(X- a) 2 ] alcanza un mínimo A, igual METRO[(X- METRO(X)) 2 ], en a = M(X), ya que el segundo término en la igualdad 3) siempre es no negativo y es igual a 0 solo para el valor especificado A.
Declaración 4. Deja que la variable aleatoria X toma valores x 1, x 2,…, xmetro, y f es alguna función del argumento numérico. Entonces
Para demostrar esto, agrupemos en el lado derecho de la igualdad (4), que define la expectativa matemática, términos con los mismos valores:
Usando el hecho de que el factor constante se puede sacar del signo de la suma y la definición de la probabilidad de un evento aleatorio (2), obtenemos
Q.E.D.
Declaración 5. Dejar X Y Ud.– variables aleatorias definidas en el mismo espacio de eventos elementales, A Y b- algunos números. Entonces METRO(hacha+ por)= soy(X)+ bm(Y).
Usando la definición de la expectativa matemática y las propiedades del símbolo de suma, obtenemos una cadena de igualdades:
Se ha demostrado lo requerido.
Lo anterior muestra cómo la expectativa matemática depende de la transición a otro punto de referencia y a otra unidad de medida (transición Y=hacha+b), así como a funciones de variables aleatorias. Los resultados obtenidos se utilizan constantemente en análisis técnicos y económicos, en la evaluación de las actividades económicas y financieras de una empresa, durante la transición de una moneda a otra en cálculos económicos extranjeros, en documentación reglamentaria y técnica, etc. Los resultados considerados permiten uso de las mismas fórmulas de cálculo para varios parámetros de escala y desplazamiento.
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La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, a menudo se desconoce la ley de distribución y hay que limitarse a proporcionar menos información. A veces es incluso más rentable utilizar números que describen una variable aleatoria en total, tales números se denominan; características numéricas variable aleatoria. Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.
La expectativa matemática, como se mostrará a continuación, es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria. Para resolver muchos problemas, basta con conocer la expectativa matemática. Por ejemplo, si se sabe que la expectativa matemática del número de puntos anotados por el primer tirador es mayor que la del segundo, entonces el primer tirador, en promedio, obtiene más puntos que el segundo y, por lo tanto, dispara mejor. que el segundo.
Definición 4.1: Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Deja que la variable aleatoria X sólo puede tomar valores x 1, x 2, … x n, cuyas probabilidades son respectivamente iguales p 1, p 2, … p n. Entonces la expectativa matemática M(X) variable aleatoria X está determinado por la igualdad
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Si una variable aleatoria discreta X toma un conjunto contable de valores posibles, entonces
,
Además, la expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento. A en un ensayo, si la probabilidad del evento A igual a pag.
Solución: Valor aleatorio X– número de ocurrencias del evento A tiene una distribución de Bernoulli, por lo que
De este modo, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en un ensayo es igual a la probabilidad de este evento.
Significado probabilístico de la expectativa matemática.
Que se produzca norte pruebas en las que la variable aleatoria X aceptado metro 1 valor de veces x1, metros 2 valor de veces x2 ,…, mk valor de veces x k, y metro 1 + metro 2 + …+ metro k = norte. Luego la suma de todos los valores tomados. X, es igual x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
La media aritmética de todos los valores tomados por la variable aleatoria será
Actitud m i/n- Frecuencia relativa yo valores xyo aproximadamente igual a la probabilidad de que ocurra el evento Pi, Dónde , Es por eso
El significado probabilístico del resultado obtenido es el siguiente: la expectativa matemática es aproximadamente igual(cuanto más preciso, mayor será el número de pruebas) media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria.
Propiedades de la expectativa matemática
Propiedad1:La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.
Propiedad2:El factor constante se puede llevar más allá del signo de la expectativa matemática.
Definición 4.2: Dos variables aleatorias son llamados independiente, si la ley de distribución de una de ellas no depende de los posibles valores que tomó la otra cantidad. De lo contrario las variables aleatorias son dependientes.
Definición 4.3: Varias variables aleatorias llamado mutuamente independientes, si las leyes de distribución de cualquier número de ellas no dependen de los posibles valores que tomaron las demás cantidades.
Propiedad3:La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Consecuencia:La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Propiedad4:La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas.
Consecuencia:La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas.
Ejemplo. Calculemos la expectativa matemática de una variable aleatoria binomial. X - fecha de ocurrencia del evento A V norte experimentos.
Solución: Numero total X ocurrencias del evento A en estos ensayos es la suma del número de ocurrencias del evento en ensayos individuales. Introduzcamos variables aleatorias X yo– número de ocurrencias del evento en iª prueba, que son variables aleatorias de Bernoulli con expectativa matemática, donde . Por la propiedad de la expectativa matemática tenemos
De este modo, la expectativa matemática de una distribución binomial con parámetros n y p es igual al producto np.
Ejemplo. Probabilidad de dar en el blanco al disparar un arma. p = 0,6. Encuentre la expectativa matemática del número total de impactos si se disparan 10 tiros.
Solución: El acierto de cada disparo no depende de los resultados de otros disparos, por lo que los eventos considerados son independientes y, en consecuencia, la expectativa matemática deseada.
