La superficie lateral del cilindro se llama. Cuerpos geométricos

cuerpo de rotacion Se llama cuerpo formado como resultado de la rotación de una línea alrededor de una línea recta.

CILINDRO

Un cilindro (cilindro circular) es un cuerpo que consta de dos círculos que no se encuentran en el mismo plano y se combinan por traslación paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos. Los círculos se llaman bases del cilindro, y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de los círculos de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Como la traslación paralela es movimiento, las bases del cilindro son iguales. Dado que durante la transferencia paralela el plano pasa a un plano paralelo, las bases del cilindro se encuentran en planos paralelos. Dado que, durante la traslación paralela, los puntos se desplazan a lo largo de líneas paralelas la misma distancia, los generadores del cilindro son paralelos e iguales. La superficie de un cilindro consta de bases y una superficie lateral.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura de un cilindro es la distancia entre los planos de sus bases. El eje de un cilindro es una recta que pasa por los centros de las bases.

Un cilindro se dice recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de las bases. Consideraremos solo un cilindro circular recto, llamándolo simplemente cilindro por brevedad.

Se puede obtener un cilindro girando un rectángulo alrededor de uno de sus lados. La figura muestra un cilindro obtenido al rotar el rectángulo ABCD alrededor del lado AB. En este caso, la superficie lateral del cilindro se forma girando el lado CD y la base, girando los lados BC y AD.

Secciones de cilindro

1) Si el plano de corte pasa por el eje del cilindro, entonces la sección es un rectángulo (ver figura), dos de cuyos lados son generadores, y los otros dos son los diámetros de las bases del cilindro. Tal sección se llama axial.

Comenzaremos un nuevo tema en línea, y cuando llegue, realizaremos una prueba y una prueba sobre el tema "Movimiento y vectores".

• Comenzamos nuestro conocimiento de una nueva clase de cuerpos geométricos: cuerpos de revolución. El primer representante de esta clase, con el que estamos familiarizados, es un cilindro.
• ¿Por qué a un cilindro se le llama cuerpo de revolución?

C cilindro, se obtiene girando un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

• El cilindro consta de dos círculos y muchos segmentos.
• Cilindro- Este es un cuerpo geométrico que consta de dos círculos iguales ubicados en planos paralelos y un conjunto de segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos.
• Definiciones de elementos de cilindro:

Bases de cilindros- círculos iguales ubicados en planos paralelos

Altura del cilindro- esto es la distancia entre los planos de sus bases.

Eje del cilindro es una línea recta que pasa por los centros de la base del cilindro (el eje del cilindro es el eje de rotación del cilindro).

Sección axial del cilindro- sección del cilindro por un plano que pasa por el eje del cilindro (la sección axial del cilindro es el plano de simetría del cilindro). Todas las secciones axiales del cilindro son rectángulos iguales.

Cilindro generatriz- este es un segmento que conecta el punto del círculo de la base superior con el punto correspondiente del círculo de la base inferior. Todos los generadores son paralelos al eje de rotación y tienen la misma longitud, igual a la altura del cilindro.

La generatriz del cilindro durante la rotación alrededor del eje formasuperficie lateral (cilíndrica) de un cilindro.

Radio del cilindroes el radio de su base.

cilindro recto es un cilindro cuyos generadores son perpendiculares a la base.

Cilindro equivalente- un cilindro cuya altura es igual al diámetro (mostrar un cilindro igual: botón con el icono de la mano para cambiar el modelo de nuevo al modo interactivo y cambiar el valor de la altura y el radio del modelo propuesto para que ).

• Derivación de la fórmula del área de la superficie lateral.

  El desarrollo de la superficie lateral del cilindro es un rectángulo con ladosH y C, dónde Hes la altura del cilindro, yCes la circunferencia de la base. Obtenemos fórmulas para calcular las áreas de los laterales.S b y completo S n superficies: S segundo = H · C= 2π RH, S norte = S b + 2 S= 2π R(R + H).

Anclaje

Tarea número 1. Calcula el área de la superficie lateral y completa de un cilindro cuyo radio es de 3 cm y la altura es de 5 cm (pi y la respuesta se redondean a números enteros).

2. La altura del cilindro esh, radio baseR. Encuentre el área de la sección transversal de un plano dibujado paralelo al eje del cilindro a una distanciaa de ella.

Tarea: 522, 524, 526.

• Р.S/ para aquellos que estén interesados, sigan el enlace y vean el recurso electrónico sobre el cilindro Para empezar, en la página, instale el módulo OMS en su PC y descargue el módulo. En la tabla emergente, haga clic en reproducir. Y luego repasar todas las páginas en orden.
• GRACIAS A TODOS.

El nombre de la ciencia "geometría" se traduce como "medida de la tierra". Nació gracias a los esfuerzos de los primeros agrimensores antiguos. Y sucedió así: durante las inundaciones del Nilo sagrado, las corrientes de agua a veces arrastraban los límites de las parcelas de los agricultores, y los nuevos límites podían no coincidir con los antiguos. Los campesinos pagaban impuestos al tesoro del faraón en proporción al tamaño de la parcela de tierra. Después del derrame, personas especiales se dedicaron a medir las áreas de tierra cultivable dentro de los nuevos límites. Fue como resultado de sus actividades que el nueva ciencia desarrollado en la antigua Grecia. Allí recibió su nombre, y adquirió un aspecto casi moderno. En el futuro, el término se convirtió en el nombre internacional de la ciencia de las figuras planas y tridimensionales.

La planimetría es una rama de la geometría que se ocupa del estudio de las figuras planas. Otra rama de la ciencia es la estereometría, que considera las propiedades de las figuras espaciales (volumétricas). El cilindro descrito en este artículo también pertenece a tales figuras.

Hay multitud de ejemplos de la presencia de objetos cilíndricos en la vida cotidiana. Casi todas las partes de rotación: ejes, casquillos, cuellos, ejes, etc. tienen una forma cilíndrica (mucho menos cónica). El cilindro se usa ampliamente en la construcción: torres, columnas de soporte, decorativas. Y además, platos, algunos tipos de envases, tuberías de varios diámetros. Y, por último, los famosos sombreros, que durante mucho tiempo se han convertido en un símbolo de la elegancia masculina. La lista es interminable.

Definición de cilindro como figura geométrica

Un cilindro (cilindro circular) generalmente se llama una figura que consta de dos círculos que, si se desea, se combinan mediante la traducción paralela. Estos círculos son las bases del cilindro. Pero las líneas (segmentos rectos) que conectan los puntos correspondientes se llaman "generadores".

Es importante que las bases del cilindro sean siempre iguales (si no se cumple esta condición, entonces tenemos - tronco, otra cosa, pero no un cilindro) y están en planos paralelos. Los segmentos que conectan los puntos correspondientes en los círculos son paralelos e iguales.

La totalidad de un conjunto infinito de generadores no es más que la superficie lateral de un cilindro, uno de los elementos de una figura geométrica dada. Su otro componente importante son los círculos discutidos anteriormente. Se llaman bases.

tipos de cilindros

El tipo de cilindro más simple y común es el circular. Está formado por dos círculos regulares que actúan como bases. Pero en lugar de ellos puede haber otras figuras.

Las bases de los cilindros pueden formar (excepto círculos) elipses y otras figuras cerradas. Pero el cilindro puede no tener necesariamente una forma cerrada. Por ejemplo, una parábola, una hipérbola u otra función abierta pueden servir como base de un cilindro. Dicho cilindro estará abierto o desplegado.

Según el ángulo de inclinación de las generatrices a las bases, los cilindros pueden ser rectos o inclinados. Para un cilindro recto, los generadores son estrictamente perpendiculares al plano de la base. Si este ángulo difiere de 90°, el cilindro está inclinado.

¿Qué es una superficie de revolución?

Un cilindro circular recto es sin duda la superficie de revolución más común utilizada en ingeniería. A veces, según las indicaciones técnicas, se utilizan superficies cónicas, esféricas y de otro tipo, pero el 99% de todos los ejes, ejes, etc. giratorios. hecho en forma de cilindros. Para comprender mejor qué es una superficie de revolución, podemos considerar cómo se forma el cilindro en sí.

Digamos que hay una línea a colocado verticalmente. ABCD es un rectángulo, uno de cuyos lados (segmento AB) se encuentra en una línea recta a. Si giramos un rectángulo alrededor de una línea recta, como se muestra en la figura, el volumen que ocupará mientras gira será nuestro cuerpo de revolución: un cilindro circular recto con altura H = AB = DC y radio R = AD = BC.

En este caso, como resultado de la rotación de la figura, un rectángulo, se obtiene un cilindro. Girando un triángulo, puedes obtener un cono, girando un semicírculo: una bola, etc.

Superficie del cilindro

Para calcular el área superficial de un cilindro circular recto ordinario, es necesario calcular las áreas de las bases y la superficie lateral.

Primero, veamos cómo se calcula el área de la superficie lateral. Este es el producto de la circunferencia y la altura del cilindro. La circunferencia, a su vez, es igual al doble del producto del número universal PAGS al radio de la circunferencia.

Se sabe que el área de un círculo es igual al producto PAGS al cuadrado del radio. Entonces, sumando las fórmulas para el área de determinar la superficie lateral con el doble de la expresión del área base (hay dos) y realizando transformaciones algebraicas simples, obtenemos la expresión final para determinar el área de la superficie del cilindro.

Determinar el volumen de una figura.

El volumen de un cilindro está determinado por el esquema estándar: el área de la superficie de la base se multiplica por la altura.

Así, la fórmula final queda así: lo deseado se define como el producto de la altura del cuerpo por el número universal PAGS y el cuadrado del radio de la base.

La fórmula resultante, hay que decirlo, es aplicable a la solución de los problemas más inesperados. De la misma manera que el volumen de un cilindro, por ejemplo, se determina el volumen de cableado eléctrico. Esto puede ser necesario para calcular la masa de los cables.

La única diferencia en la fórmula es que en lugar del radio de un cilindro, está el diámetro del núcleo del cableado dividido en dos y el número de núcleos en el cable aparece en la expresión norte. Además, se utiliza la longitud del cable en lugar de la altura. Por lo tanto, el volumen del "cilindro" no se calcula por uno, sino por la cantidad de cables en la trenza.

Dichos cálculos a menudo se requieren en la práctica. Después de todo, una parte importante de los tanques de agua está hecha en forma de tubería. Y a menudo es necesario calcular el volumen de un cilindro incluso en el hogar.

Sin embargo, como ya se mencionó, la forma del cilindro puede ser diferente. Y en algunos casos se requiere calcular a qué es igual el volumen del cilindro inclinado.

La diferencia es que el área de superficie de la base no se multiplica por la longitud de la generatriz, como en el caso de un cilindro recto, sino por la distancia entre los planos, un segmento perpendicular construido entre ellos.

Como puede verse en la figura, dicho segmento es igual al producto de la longitud de la generatriz por el seno del ángulo de inclinación de la generatriz con respecto al plano.

Cómo construir un barrido de cilindro

En algunos casos, se requiere cortar un escariador de cilindro. La siguiente figura muestra las reglas por las cuales se construye un espacio en blanco para la fabricación de un cilindro con una altura y un diámetro determinados.

Tenga en cuenta que la figura se muestra sin costuras.

Diferencias de cilindros biselados

Imaginemos un cilindro recto limitado por un lado por un plano perpendicular a los generadores. Pero el plano que limita al cilindro por el otro lado no es perpendicular a los generadores y no es paralelo al primer plano.

La figura muestra un cilindro biselado. Plano a en algún ángulo distinto de 90° a los generadores, intersecta la figura.

Esta forma geométrica es más común en la práctica en forma de conexiones de tuberías (codos). Pero incluso hay edificios construidos en forma de cilindro biselado.

Características geométricas del cilindro biselado

La pendiente de uno de los planos del cilindro biselado cambia ligeramente el orden de cálculo tanto del área de superficie de dicha figura como de su volumen.

El nombre de la ciencia "geometría" se traduce como "medida de la tierra". Nació gracias a los esfuerzos de los primeros agrimensores antiguos. Y sucedió así: durante las inundaciones del Nilo sagrado, las corrientes de agua a veces arrastraban los límites de las parcelas de los agricultores, y los nuevos límites podían no coincidir con los antiguos. Los campesinos pagaban impuestos al tesoro del faraón en proporción al tamaño de la parcela de tierra. Después del derrame, personas especiales se dedicaron a medir las áreas de tierra cultivable dentro de los nuevos límites. Fue como resultado de sus actividades que surgió una nueva ciencia, que se desarrolló en la antigua Grecia. Allí recibió su nombre, y adquirió un aspecto casi moderno. En el futuro, el término se convirtió en el nombre internacional de la ciencia de las figuras planas y tridimensionales.

La planimetría es una rama de la geometría que se ocupa del estudio de las figuras planas. Otra rama de la ciencia es la estereometría, que considera las propiedades de las figuras espaciales (volumétricas). El cilindro descrito en este artículo también pertenece a tales figuras.

Hay multitud de ejemplos de la presencia de objetos cilíndricos en la vida cotidiana. Casi todas las partes de rotación: ejes, casquillos, cuellos, ejes, etc. tienen una forma cilíndrica (mucho menos cónica). El cilindro se usa ampliamente en la construcción: torres, columnas de soporte, decorativas. Y además, platos, algunos tipos de envases, tuberías de varios diámetros. Y, por último, los famosos sombreros, que durante mucho tiempo se han convertido en un símbolo de la elegancia masculina. La lista es interminable.

Definición de cilindro como figura geométrica

Un cilindro (cilindro circular) generalmente se llama una figura que consta de dos círculos que, si se desea, se combinan mediante la traducción paralela. Estos círculos son las bases del cilindro. Pero las líneas (segmentos rectos) que conectan los puntos correspondientes se llaman "generadores".

Es importante que las bases del cilindro sean siempre iguales (si no se cumple esta condición, entonces tenemos frente a nosotros un cono truncado, otra cosa, pero no un cilindro) y estén en planos paralelos. Los segmentos que conectan los puntos correspondientes en los círculos son paralelos e iguales.

La totalidad de un conjunto infinito de generadores no es más que la superficie lateral de un cilindro, uno de los elementos de una figura geométrica dada. Su otro componente importante son los círculos discutidos anteriormente. Se llaman bases.

tipos de cilindros

El tipo de cilindro más simple y común es el circular. Está formado por dos círculos regulares que actúan como bases. Pero en lugar de ellos puede haber otras figuras.

Las bases de los cilindros pueden formar (excepto círculos) elipses y otras figuras cerradas. Pero el cilindro puede no tener necesariamente una forma cerrada. Por ejemplo, una parábola, una hipérbola u otra función abierta pueden servir como base de un cilindro. Dicho cilindro estará abierto o desplegado.

Según el ángulo de inclinación de las generatrices a las bases, los cilindros pueden ser rectos o inclinados. Para un cilindro recto, los generadores son estrictamente perpendiculares al plano de la base. Si este ángulo difiere de 90°, el cilindro está inclinado.

¿Qué es una superficie de revolución?

Un cilindro circular recto es sin duda la superficie de revolución más común utilizada en ingeniería. A veces, según las indicaciones técnicas, se utilizan superficies cónicas, esféricas y de otro tipo, pero el 99% de todos los ejes, ejes, etc. giratorios. hecho en forma de cilindros. Para comprender mejor qué es una superficie de revolución, podemos considerar cómo se forma el cilindro en sí.

Digamos que hay una línea a colocado verticalmente. ABCD es un rectángulo, uno de cuyos lados (segmento AB) se encuentra en una línea recta a. Si giramos un rectángulo alrededor de una línea recta, como se muestra en la figura, el volumen que ocupará mientras gira será nuestro cuerpo de revolución: un cilindro circular recto con altura H = AB = DC y radio R = AD = BC.

En este caso, como resultado de la rotación de la figura, un rectángulo, se obtiene un cilindro. Girando un triángulo, puedes obtener un cono, girando un semicírculo: una bola, etc.

Superficie del cilindro

Para calcular el área superficial de un cilindro circular recto ordinario, es necesario calcular las áreas de las bases y la superficie lateral.

Primero, veamos cómo se calcula el área de la superficie lateral. Este es el producto de la circunferencia y la altura del cilindro. La circunferencia, a su vez, es igual al doble del producto del número universal PAGS al radio de la circunferencia.

Se sabe que el área de un círculo es igual al producto PAGS al cuadrado del radio. Entonces, sumando las fórmulas para el área de determinar la superficie lateral con el doble de la expresión del área base (hay dos) y realizando transformaciones algebraicas simples, obtenemos la expresión final para determinar el área de la superficie del cilindro.

Determinar el volumen de una figura.

El volumen de un cilindro está determinado por el esquema estándar: el área de la superficie de la base se multiplica por la altura.

Así, la fórmula final queda así: lo deseado se define como el producto de la altura del cuerpo por el número universal PAGS y el cuadrado del radio de la base.

La fórmula resultante, hay que decirlo, es aplicable a la solución de los problemas más inesperados. De la misma manera que el volumen de un cilindro, por ejemplo, se determina el volumen de cableado eléctrico. Esto puede ser necesario para calcular la masa de los cables.

La única diferencia en la fórmula es que en lugar del radio de un cilindro, está el diámetro del núcleo del cableado dividido en dos y el número de núcleos en el cable aparece en la expresión norte. Además, se utiliza la longitud del cable en lugar de la altura. Por lo tanto, el volumen del "cilindro" no se calcula por uno, sino por la cantidad de cables en la trenza.

Dichos cálculos a menudo se requieren en la práctica. Después de todo, una parte importante de los tanques de agua está hecha en forma de tubería. Y a menudo es necesario calcular el volumen de un cilindro incluso en el hogar.

Sin embargo, como ya se mencionó, la forma del cilindro puede ser diferente. Y en algunos casos se requiere calcular a qué es igual el volumen del cilindro inclinado.

La diferencia es que el área de superficie de la base no se multiplica por la longitud de la generatriz, como en el caso de un cilindro recto, sino por la distancia entre los planos, un segmento perpendicular construido entre ellos.

Como puede verse en la figura, dicho segmento es igual al producto de la longitud de la generatriz por el seno del ángulo de inclinación de la generatriz con respecto al plano.

Cómo construir un barrido de cilindro

En algunos casos, se requiere cortar un escariador de cilindro. La siguiente figura muestra las reglas por las cuales se construye un espacio en blanco para la fabricación de un cilindro con una altura y un diámetro determinados.

Tenga en cuenta que la figura se muestra sin costuras.

Diferencias de cilindros biselados

Imaginemos un cilindro recto limitado por un lado por un plano perpendicular a los generadores. Pero el plano que limita al cilindro por el otro lado no es perpendicular a los generadores y no es paralelo al primer plano.

La figura muestra un cilindro biselado. Plano a en algún ángulo distinto de 90° a los generadores, intersecta la figura.

Esta forma geométrica es más común en la práctica en forma de conexiones de tuberías (codos). Pero incluso hay edificios construidos en forma de cilindro biselado.

Características geométricas del cilindro biselado

La pendiente de uno de los planos del cilindro biselado cambia ligeramente el orden de cálculo tanto del área de superficie de dicha figura como de su volumen.

Cilindro (cilindro circular) - un cuerpo que consta de dos círculos combinados por transferencia paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos. Los círculos se llaman bases del cilindro, y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de los círculos de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Las bases del cilindro son iguales y se encuentran en planos paralelos, y los generadores del cilindro son paralelos e iguales. La superficie de un cilindro consta de bases y una superficie lateral. La superficie lateral está formada por generadores.

Un cilindro se dice recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de la base. Se puede considerar un cilindro como un cuerpo obtenido al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados como eje. Hay otros tipos de cilindros: elípticos, hiperbólicos, parabólicos. Un prisma también se considera como una especie de cilindro.

La figura 2 muestra un cilindro inclinado. Las circunferencias de centro O y O 1 son sus bases.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura del cilindro es la distancia entre los planos de las bases. El eje de un cilindro es una recta que pasa por los centros de las bases. Es paralelo a los generadores. La sección de un cilindro por un plano que pasa por el eje del cilindro se llama sección axial. El plano que pasa por la generatriz de un cilindro recto y perpendicular a la sección axial trazada por esta generatriz se denomina plano tangente al cilindro.

Un plano perpendicular al eje del cilindro corta su superficie lateral a lo largo de un círculo igual a la circunferencia de la base.

Un prisma inscrito en un cilindro es un prisma cuyas bases son polígonos iguales inscritos en las bases del cilindro. Sus bordes laterales son generatrices del cilindro. Se dice que un prisma está circunscrito cerca de un cilindro si sus bases son polígonos iguales circunscritos cerca de las bases del cilindro. Los planos de sus caras tocan la superficie lateral del cilindro.

El área de la superficie lateral del cilindro se puede calcular multiplicando la longitud de la generatriz por el perímetro de la sección del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El área de la superficie lateral de un cilindro recto se puede encontrar a partir de su desarrollo. El desarrollo del cilindro es un rectángulo de altura h y longitud P, que es igual al perímetro de la base. Por lo tanto, el área de la superficie lateral del cilindro es igual al área de su desarrollo y se calcula mediante la fórmula:

En particular, para un cilindro circular recto:

P = 2πR y Sb = 2πRh.

El área total de la superficie de un cilindro es igual a la suma de las áreas de su superficie lateral y sus bases.

Para un cilindro circular recto:

S pags = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Hay dos fórmulas para encontrar el volumen de un cilindro inclinado.

Puede encontrar el volumen multiplicando la longitud de la generatriz por el área de la sección transversal del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El volumen de un cilindro inclinado es igual al producto del área de la base y la altura (la distancia entre los planos en los que se encuentran las bases):

V = Sh = S l sen α,

donde l es la longitud de la generatriz y α es el ángulo entre la generatriz y el plano de la base. Para un cilindro recto h = l.

La fórmula para encontrar el volumen de un cilindro circular es la siguiente:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

donde d es el diámetro de la base.

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