¿Cuál es el límite cero? Resolución de problemas para encontrar límites muestra

Solución límites de funciones en línea. Encuentre el valor límite de una función o secuencia funcional en un punto, calcule último el valor de la función en el infinito. determinar la convergencia de una serie numérica y se puede hacer mucho más gracias a nuestro servicio online. Le permitimos encontrar límites de funciones en línea de forma rápida y precisa. Tú mismo introduces la variable de la función y el límite al que tiende, y nuestro servicio realiza todos los cálculos por ti, dándote una respuesta precisa y sencilla. Y para encontrar el límite en línea puede ingresar tanto series numéricas como funciones analíticas que contengan constantes en expresión literal. En este caso, el límite encontrado de la función contendrá estas constantes como argumentos constantes en la expresión. Nuestro servicio resuelve cualquier problema complejo de búsqueda. límites en línea, basta con indicar la función y el punto en el que es necesario calcular valor límite de la función. Calculador límites en línea, puedes utilizar varios métodos y reglas para resolverlos, mientras compruebas el resultado obtenido con resolviendo límites en línea en el sitio www., lo que le permitirá completar con éxito la tarea; evitará sus propios errores y errores administrativos. O puede confiar plenamente en nosotros y utilizar nuestro resultado en su trabajo, sin gastar esfuerzo ni tiempo extra en calcular de forma independiente el límite de la función. Permitimos la entrada de valores límite como el infinito. Es necesario ingresar un miembro común de una secuencia numérica y www.sitio calculará el valor límite en línea a más o menos infinito.

Uno de los conceptos básicos del análisis matemático es límite de función Y límite de secuencia en un punto y en el infinito, es importante poder resolver correctamente límites. Con nuestro servicio esto no será difícil. Se está tomando una decisión límites en línea en unos segundos, la respuesta es precisa y completa. El estudio del análisis matemático comienza con transición al límite, límites se utilizan en casi todas las áreas de las matemáticas superiores, por lo que es útil tener un servidor a mano para soluciones de límite en línea, que es matematikam.ru.

Al calcular los límites, se debe tener en cuenta. las siguientes reglas básicas:

1. El límite de la suma (diferencia) de funciones es igual a la suma (diferencia) de los límites de los términos:

2. El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de los factores:

3. El límite de la relación de dos funciones es igual a la relación de los límites de estas funciones:

.

4. El factor constante se puede llevar más allá del signo límite:

.

5. El límite de una constante es igual a la propia constante:

6. Para funciones continuas, los símbolos de límite y función se pueden intercambiar:

.

Para encontrar el límite de una función se debe comenzar sustituyendo el valor en la expresión de la función. Además, si se obtiene el valor numérico 0 o ¥, entonces se ha encontrado el límite deseado.

Ejemplo 2.1. Calcula el límite.

Solución.

.

Las expresiones de la forma , , , , , se llaman incertidumbres.

Si obtienes una incertidumbre de la forma , entonces para encontrar el límite necesitas transformar la función para revelar esta incertidumbre.

La incertidumbre de forma generalmente se obtiene cuando se da el límite de la razón de dos polinomios. En este caso, para calcular el límite se recomienda factorizar los polinomios y reducirlos por un factor común. Este multiplicador es cero en el valor límite. X .

Ejemplo 2.2. Calcula el límite.

Solución.

Sustituyendo , obtenemos incertidumbre:

.

Factoricemos el numerador y el denominador:

;

Reduzcamos por un factor común y obtengamos

.

Se obtiene una incertidumbre de la forma cuando el límite de la razón de dos polinomios se da en . En este caso, para calcularlo se recomienda dividir ambos polinomios entre X en el grado superior.

Ejemplo 2.3. Calcula el límite.

Solución. Al sustituir ∞, obtenemos una incertidumbre de la forma , por lo que dividimos todos los términos de la expresión entre x3.

.

Aquí se tiene en cuenta que .

Al calcular los límites de una función que contiene raíces, se recomienda multiplicar y dividir la función por su conjugado.

Ejemplo 2.4. Calcular límite

Solución.

Al calcular límites para revelar incertidumbre de la forma o (1) ∞, a menudo se utilizan el primer y segundo límites notables:

Muchos problemas asociados con el crecimiento continuo de alguna cantidad conducen al segundo límite notable.

Consideremos el ejemplo de Ya. I. Perelman, dando una interpretación del número. mi en el problema de interés compuesto. En las cajas de ahorros, el dinero de los intereses se añade anualmente al capital fijo. Si la adhesión se realiza con más frecuencia, el capital crece más rápido, ya que en la formación de intereses interviene una cantidad mayor. Tomemos un ejemplo puramente teórico y muy simplificado.

Depositemos 100 denarios en el banco. unidades basado en el 100% anual. Si el dinero de los intereses se añade al capital fijo sólo después de un año, entonces en este período 100 den. unidades se convertirá en 200 unidades monetarias.

Ahora veamos en qué se convertirán 100 denize. unidades, si el dinero de los intereses se añade al capital fijo cada seis meses. Después de seis meses, 100 den. unidades crecerá en 100 × 1,5 = 150, y después de otros seis meses, en 150 × 1,5 = 225 (unidades den.). Si la adhesión se realiza cada 1/3 del año, luego de un año 100 den. unidades se convertirá en 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unidades den.).

Aumentaremos los plazos para agregar dinero de intereses a 0,1 año, a 0,01 año, a 0,001 año, etc. Luego de 100 den. unidades después de un año será:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unidades pobladas),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unidades pobladas),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unidades poblacionales).

Con una reducción ilimitada en los plazos para agregar intereses, el capital acumulado no crece indefinidamente, sino que se acerca a un cierto límite igual a aproximadamente 271. El capital depositado al 100% anual no puede aumentar más de 2,71 veces, incluso si los intereses acumulados fueron agregados a la capital cada segundo porque

Ejemplo 2.5. Calcular el límite de una función.

Solución.

Ejemplo 2.6. Calcular el límite de una función. .

Solución. Sustituyendo obtenemos la incertidumbre:

.

Usando la fórmula trigonométrica, transformamos el numerador en producto:

Como resultado obtenemos

Aquí se tiene en cuenta el segundo límite destacable.

Ejemplo 2.7. Calcular el límite de una función.

Solución.

.

Para revelar la incertidumbre de la forma o, puede utilizar la regla de L'Hopital, que se basa en el siguiente teorema.

Teorema. El límite de la razón de dos funciones infinitesimales o infinitamente grandes es igual al límite de la razón de sus derivadas.

Tenga en cuenta que esta regla se puede aplicar varias veces seguidas.

Ejemplo 2.8. Encontrar

Solución. Al sustituir tenemos una incertidumbre de la forma. Aplicando la regla de L'Hopital se tiene

Continuidad de la función

Una propiedad importante de una función es la continuidad.

Definición. La función se considera continuo, si un pequeño cambio en el valor del argumento implica un pequeño cambio en el valor de la función.

Matemáticamente esto se escribe de la siguiente manera: cuando

Por y se entiende el incremento de variables, es decir, la diferencia entre los valores anteriores y posteriores: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Incremento de variables

De la definición de función continua en el punto se deduce que . Esta igualdad significa que se cumplen tres condiciones:

Solución. Para función el punto es sospechoso de una discontinuidad, comprobemos esto y encontremos límites unilaterales

Por eso, , Medio - punto de quiebre

Derivada de una función

Límite de función- número a será el límite de alguna cantidad variable si, en el proceso de su cambio, esta cantidad variable se acerca indefinidamente a.

O en otras palabras, el número A es el límite de la función y = f(x) en el punto x0, si para cualquier secuencia de puntos del dominio de definición de la función, no es igual x0, y que converge al punto x 0 (lím x n = x0), la secuencia de valores de función correspondientes converge al número A.

La gráfica de una función cuyo límite, dado un argumento que tiende al infinito, es igual a l:

Significado A es límite (valor límite) de la función f(x) en el punto x0 en caso de cualquier secuencia de puntos , que converge a x0, pero que no contiene x0 como uno de sus elementos (es decir, en la zona perforada x0), secuencia de valores de función converge a A.

Límite de una función de Cauchy.

Significado A será límite de la función f(x) en el punto x0 si para cualquier número no negativo tomado por adelantado ε se encontrará el número no negativo correspondiente δ = δ(ε) tal que para cada argumento X, satisfaciendo la condición 0 < | x - x0 | < δ , la desigualdad quedará satisfecha | f(x)A |< ε .

Será muy sencillo si comprendes la esencia del límite y las reglas básicas para encontrarlo. ¿Cuál es el límite de la función? f (X) en X luchando por a es igual A, está escrito así:

Además, el valor al que tiende la variable X, puede ser no solo un número, sino también infinito (∞), a veces +∞ o -∞, o puede que no haya ningún límite.

para entender como encontrar los límites de una función, lo mejor es mirar ejemplos de soluciones.

Es necesario encontrar los límites de la función. f (x) = 1/X en:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Busquemos una solución al primer límite. Para hacer esto, simplemente puede sustituir X el número al que tiende, es decir 2, obtenemos:

Encontremos el segundo límite de la función.. Aquí sustituya 0 puro en su lugar. X es imposible, porque No puedes dividir por 0. Pero podemos tomar valores cercanos a cero, por ejemplo, 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 y así sucesivamente, y el valor de la función. f (X) aumentará: 100; 1000; 10000; 100.000 y así sucesivamente. Así, se puede entender que cuando X→ 0 el valor de la función que está bajo el signo de límite aumentará sin límite, es decir esforzarse hacia el infinito. Lo que significa:

Respecto al tercer límite. Misma situación que en el caso anterior, no es posible sustituir ∞ en su forma más pura. Necesitamos considerar el caso de aumento ilimitado. X. Sustituimos 1000 uno por uno; 10000; 100000 y así sucesivamente, tenemos que el valor de la función f (x) = 1/X disminuirá: 0,001; 0,0001; 0,00001; y así sucesivamente, tendiendo a cero. Es por eso:

Es necesario calcular el límite de la función.

Al comenzar a resolver el segundo ejemplo, vemos incertidumbre. Desde aquí encontramos el grado más alto del numerador y denominador: esto es x3, lo sacamos de los corchetes en el numerador y denominador y luego lo reducimos por:

Respuesta

El primer paso en encontrar este límite, sustituye el valor 1 en su lugar X, lo que genera incertidumbre. Para resolverlo, factoricemos el numerador y hagamos esto usando el método de encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. x2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x2= 1.

Entonces el numerador será:

Respuesta

Esta es la definición de su valor específico o un área determinada donde cae la función, que está limitada por el límite.

Para resolver límites, siga las reglas:

Habiendo entendido la esencia y principal. reglas para resolver el límite, obtendrá una comprensión básica de cómo resolverlos.

Conceptos de límites de sucesiones y funciones. Cuando es necesario encontrar el límite de una secuencia, se escribe de la siguiente manera: lim xn=a. En tal secuencia de secuencias, xn tiende a ayn tiende a infinito. Una secuencia generalmente se representa como una serie, por ejemplo:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Las secuencias se dividen en crecientes y decrecientes. Por ejemplo:
xn=n^2 - secuencia creciente
yn=1/n - secuencia
Entonces, por ejemplo, el límite de la secuencia xn=1/n^ :
límite 1/n^2=0

x→∞
Este límite es igual a cero, ya que n→∞, y la secuencia 1/n^2 tiende a cero.

Normalmente, una cantidad variable x tiende a un límite finito a, y x se acerca constantemente a a, y la cantidad a es constante. Esto se escribe de la siguiente manera: limx =a, mientras que n también puede tender a cero o al infinito. Hay infinitas funciones cuyo límite tiende al infinito. En otros casos, cuando, por ejemplo, la función frena un tren, es posible que el límite tienda a cero.
Los límites tienen varias propiedades. Normalmente, cualquier función tiene un solo límite. Ésta es la propiedad principal del límite. Sus otras propiedades se enumeran a continuación:
* El límite de monto es igual a la suma de los límites:
lím(x+y)=lím x+lím y
* El límite del producto es igual al producto de los límites:
lim(xy)=lim x*lim y
* El límite del cociente es igual al cociente de los límites:
lím(x/y)=lím x/lím y
* El factor constante se toma fuera del signo límite:
lím(Cx)=C lím x
Dada una función 1 /x en la que x →∞, su límite es cero. Si x→0, el límite de dicha función es ∞.
Existen excepciones a estas reglas para funciones trigonométricas. Dado que la función sen x siempre tiende a la unidad cuando se acerca a cero, la identidad se cumple para ella:
límite sen x/x=1

En una serie de problemas hay funciones, al calcular cuyos límites surge la incertidumbre, una situación en la que el límite no se puede calcular. La única salida a esta situación es aplicar la regla de L'Hopital. Hay dos tipos de incertidumbres:
* incertidumbre de la forma 0/0
* incertidumbre de la forma ∞/∞
Por ejemplo, se da un límite de la siguiente forma: lim f(x)/l(x), y f(x0)=l(x0)=0. En este caso surge una incertidumbre de la forma 0/0. Para resolver tal problema, se diferencian ambas funciones, después de lo cual se encuentra el límite del resultado. Para incertidumbres de tipo 0/0, el límite es:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (en x→0)
La misma regla también es válida para incertidumbres del tipo ∞/∞. Pero en este caso se cumple la siguiente igualdad: f(x)=l(x)=∞
Utilizando la regla de L'Hopital, se pueden encontrar los valores de cualquier límite en el que aparezcan incertidumbres. Un requisito previo para

volumen: sin errores al encontrar derivados. Entonces, por ejemplo, la derivada de la función (x^2)" es igual a 2x. De aquí podemos concluir que:
f"(x)=nx^(n-1)

Para aquellos que quieran aprender a encontrar límites, en este artículo se lo contamos. No profundizaremos en la teoría; los profesores suelen darla en las conferencias. Así que la “teoría aburrida” deberías anotarla en tus cuadernos. Si este no es el caso, puede leer libros de texto extraídos de la biblioteca de una institución educativa o de otros recursos de Internet.

Entonces, el concepto de límite es bastante importante al estudiar un curso superior de matemáticas, especialmente cuando te encuentras con el cálculo integral y comprendes la conexión entre el límite y la integral. Este material analizará ejemplos sencillos, así como formas de resolverlos.

Ejemplos de soluciones

Ejemplo 1

Calcular a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Solución

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ La gente suele enviarnos estos límites solicitándonos que les ayudemos a resolverlos. Decidimos resaltarlos como un ejemplo separado y explicar que estos límites, por regla general, simplemente deben recordarse. Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna!

Respuesta

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Qué hacer con la incertidumbre de la forma: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Ejemplo 3

Resuelva $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solución

Como siempre, comenzamos sustituyendo el valor $ x $ en la expresión bajo el signo de límite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ ¿Qué sigue ahora? ¿Qué debería pasar al final? Como se trata de incertidumbre, todavía no es una respuesta y continuamos con el cálculo. Como tenemos un polinomio en los numeradores, lo factorizaremos usando la fórmula familiar para todos en la escuela $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. ¿Te acuerdas? ¡Excelente! Ahora sigue adelante y úsalo con la canción :) Encontramos que el numerador $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Seguimos resolviendo teniendo en cuenta la transformación anterior: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Respuesta

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Llevemos el límite en los dos últimos ejemplos hasta el infinito y consideremos la incertidumbre: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Ejemplo 5

Calcular $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solución

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ ¿Qué hacer? ¿Qué tengo que hacer? No entres en pánico, porque lo imposible es posible. Es necesario quitar la x tanto en el numerador como en el denominador y luego reducirla. Después de esto, intenta calcular el límite. Intentemos... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Usando la definición del Ejemplo 2 y sustituyendo x por infinito, obtenemos: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Respuesta

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmo para calcular límites.

Entonces, resumamos brevemente los ejemplos y creemos un algoritmo para resolver los límites:

1. Sustituye el punto x en la expresión que sigue al signo de límite. Si se obtiene un cierto número o infinito, entonces el límite se resuelve por completo. De lo contrario, tenemos incertidumbre: “cero dividido por cero” o “infinito dividido por infinito” y pasamos a los siguientes pasos de las instrucciones.
2. Para eliminar la incertidumbre de “cero dividido por cero”, debes factorizar el numerador y el denominador. Reducir los similares. Sustituye el punto x en la expresión bajo el signo de límite.
3. Si la incertidumbre es “infinito dividido por infinito”, entonces eliminamos tanto el numerador como el denominador x en el mayor grado. Acortamos las X. Sustituimos los valores de x por debajo del límite en la expresión restante.

En este artículo, aprendiste los conceptos básicos para resolver límites, que se utilizan a menudo en el curso de Cálculo. Por supuesto, estos no son todos los tipos de problemas propuestos por los examinadores, sino sólo los límites más simples. Hablaremos de otros tipos de tareas en artículos futuros, pero primero debes aprender esta lección para poder seguir adelante. Discutamos qué hacer si hay raíces, grados, estudiemos funciones equivalentes infinitesimales, límites notables, regla de L'Hopital.

Si no puede determinar los límites usted mismo, no entre en pánico. ¡Siempre estaremos felices de ayudar!