CONFERENCIA №4

LEYES BÁSICAS DE LA CINÉTICA Y LA DINÁMICA

MOVIMIENTO GIRATORIO. MECÁNICO

PROPIEDADES DE LOS BIOTISCOS. BIOMECÁNICA

PROCESOS EN EL APARATO LOCOMOTOR

HUMANO.

1. Leyes básicas de la cinemática del movimiento de rotación.

El movimiento de rotación del cuerpo alrededor de un eje fijo es el tipo de movimiento más simple. Se caracteriza por el hecho de que cualquier punto del cuerpo describe círculos, cuyos centros están ubicados en una línea recta 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , que se llama eje de rotación (Fig. 1).

En este caso, la posición del cuerpo en cualquier momento del tiempo está determinada por el ángulo de rotación φ del radio vector R de cualquier punto A relativo a su posición inicial. Su dependencia del tiempo:

(1)

es la ecuación del movimiento de rotación. La velocidad de rotación del cuerpo se caracteriza por la velocidad angular ω. La velocidad angular de todos los puntos del cuerpo giratorio es la misma. Es una cantidad vectorial. Este vector está dirigido a lo largo del eje de rotación y está relacionado con la dirección de rotación por la regla del tornillo derecho:

. (2)

Con movimiento uniforme de un punto a lo largo de un círculo

, (3)

donde Δφ=2π es el ángulo correspondiente a una rotación completa del cuerpo, Δt=T es el tiempo de una rotación completa o el período de rotación. Unidad de medida de la velocidad angular [ω]=c -1.

Con movimiento uniforme, la aceleración del cuerpo se caracteriza por la aceleración angular ε (su vector se ubica de manera similar al vector de velocidad angular y se dirige de acuerdo con él en dirección acelerada y opuesta, en cámara lenta):

. (4)

Unidad de aceleración angular [ε]=c -2 .

El movimiento de rotación también se puede caracterizar por la velocidad lineal y la aceleración de sus puntos individuales. La longitud del arco dS, descrito por cualquier punto A (Fig. 1) cuando gira un ángulo dφ, está determinada por la fórmula: dS=Rdφ. (5)

Entonces la velocidad lineal del punto :

. (6)

Aceleración lineal a:

. (7)

2. Leyes básicas de la dinámica del movimiento de rotación.

La rotación del cuerpo alrededor del eje es causada por la fuerza F aplicada a cualquier punto del cuerpo, que actúa en un plano perpendicular al eje de rotación y dirigida (o que tiene un componente en esta dirección) perpendicular al radio vector de la punto de aplicación (Fig. 1).

Momento de fuerza relativa al centro de rotación se denomina cantidad vectorial numéricamente igual al producto de la fuerza por la longitud de la perpendicular d, bajada del centro de rotación a la dirección de la fuerza, llamada brazo de la fuerza. En la Fig.1 d=R, por lo tanto

. (8)

Momento la fuerza de rotación es una cantidad vectorial. Vector unido al centro del círculo O y dirigido a lo largo del eje de rotación. dirección vectorial es consistente con la dirección de la fuerza según la regla del tornillo derecho. El trabajo elemental dA i , al girar un pequeño ángulo dφ, cuando el cuerpo pasa por un pequeño camino dS, es igual a:

Una medida de la inercia de un cuerpo en movimiento de traslación es la masa. Cuando un cuerpo gira, la medida de su inercia se caracteriza por el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación.

El momento de inercia I i de un punto material relativo al eje de rotación es un valor igual al producto de la masa del punto por el cuadrado de su distancia al eje (Fig. 2):

. (10)

El momento de inercia del cuerpo respecto al eje es la suma de los momentos de inercia de los puntos materiales que forman el cuerpo:

. (11)

O en el límite (n→∞):
, (12)

GRAMO La integración se realiza sobre todo el volumen V. De manera similar se calculan los momentos de inercia de cuerpos homogéneos de forma geométrica regular. El momento de inercia se expresa en kg m 2 .

El momento de inercia de una persona con respecto al eje de rotación vertical que pasa por el centro de masa (el centro de masa de una persona está en el plano sagital ligeramente por delante de la segunda vértebra transversal), dependiendo de la posición de la persona, tiene los siguientes valores: 1,2 kg m 2 en atención; 17 kg m 2 - en posición horizontal.

Cuando un cuerpo gira, su energía cinética es la suma de las energías cinéticas de los puntos individuales del cuerpo:

Derivando (14), obtenemos un cambio elemental en la energía cinética:

. (15)

Igualando el trabajo elemental (fórmula 9) de las fuerzas externas al cambio elemental en la energía cinética (fórmula 15), obtenemos:
, dónde:
o considerando que
obtenemos:
. (16)

Esta ecuación se llama la ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación. Esta dependencia es similar a la ley II de Newton para el movimiento de traslación.

El momento angular L i de un punto material relativo al eje es un valor igual al producto del momento del punto por su distancia al eje de rotación:

. (17)

Momento angular L de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo:

El momento angular es una cantidad vectorial orientada a lo largo de la dirección del vector de velocidad angular.

Ahora volvamos a la ecuación principal (16):

,
.

Traemos el valor constante I bajo el signo del diferencial y obtenemos:
, (19)

donde Mdt se denomina impulso del momento de fuerza. Si las fuerzas externas no actúan sobre el cuerpo (M=0), entonces el cambio en el momento angular (dL=0) también es igual a cero. Esto significa que el momento angular permanece constante:
. (20)

Esta conclusión se llama la ley de conservación del momento angular alrededor del eje de rotación. Se utiliza, por ejemplo, para movimientos de rotación sobre un eje libre en deportes, como acrobacias, etc. Así, un patinador artístico sobre hielo, cambiando la posición del cuerpo durante la rotación y, en consecuencia, el momento de inercia relativo al eje de rotación, puede regular su velocidad de rotación.

Un cuerpo rígido que gira alrededor de unos ejes que pasan por el centro de masa, si está libre de influencias externas, mantiene la rotación indefinidamente.. (Esta conclusión es similar a la primera ley de Newton para el movimiento de traslación).

La ocurrencia de rotación de un cuerpo rígido siempre es causada por la acción de fuerzas externas aplicadas a puntos individuales del cuerpo. En este caso, es inevitable la aparición de deformaciones y la aparición de fuerzas internas, que en el caso de un cuerpo sólido aseguran la conservación práctica de su forma. Cuando cesa la acción de las fuerzas externas, se conserva la rotación: las fuerzas internas no pueden causar ni destruir la rotación de un cuerpo rígido.

El resultado de la acción de una fuerza externa sobre un cuerpo con un eje de rotación fijo es un movimiento de rotación acelerado del cuerpo.. (Esta conclusión es similar a la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación).

La ley básica de la dinámica del movimiento de rotación.: en un marco de referencia inercial, la aceleración angular adquirida por un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es proporcional al momento total de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje dado :

Es posible dar una formulación más simple. la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación(también llamado Segunda ley de Newton para el movimiento de rotación): el par es igual al producto del momento de inercia y la aceleración angular:

momento angular(momento angular, momento angular) de un cuerpo se llama el producto de su momento de inercia por la velocidad angular:

El momento angular es una cantidad vectorial. Su dirección coincide con la dirección del vector velocidad angular.

El cambio en el momento angular se define como sigue:

. (I.112)

Un cambio en el momento angular (con un momento de inercia constante del cuerpo) solo puede ocurrir como resultado de un cambio en la velocidad angular y siempre se debe a la acción del momento de fuerza.

Según la fórmula, así como las fórmulas (I.110) y (I.112), el cambio en el momento angular se puede representar como:

. (I.113)

El producto de la fórmula (I.113) se llama impulso momento de fuerza o momento de conducción. Es igual al cambio en el momento angular.

La fórmula (I.113) es válida siempre que el momento de fuerza no cambie con el tiempo. Si el momento de la fuerza depende del tiempo, es decir, , después

. (I.114)

La fórmula (I.114) muestra que: el cambio en el momento angular es igual a la integral de tiempo del momento de la fuerza. Además, si esta fórmula se presenta en la forma: , entonces la definición se derivará de ella. momento de fuerza: el momento instantáneo de la fuerza es la primera derivada del momento de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo,

TRABAJO DE LABORATORIO №107

Verificación de la ecuación básica de la dinámica

movimiento rotatorio

Objetivo:Verificación experimental de la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación utilizando el péndulo de Oberbeck.

Instrumentos y accesorios: Péndulo Oberbeck con milisegundos FRM - 15, pie de rey.

Introducción teórica

Al considerar la rotación de un cuerpo rígido desde un punto de vista dinámico, junto con el concepto de fuerzas, se introduce el concepto de momentos de fuerzas, y junto con el concepto de masa, el concepto de momento de inercia.

Sea un punto material con masa t bajo la acción de una fuerza externa, se mueve curvilíneamente con respecto a un punto fijo O. Un momento de fuerza actúa sobre un punto material y el punto tiene un momento de momento. La posición de un punto de material en movimiento está determinada por el radio vector dibujado desde el punto O (Fig. 1). El momento de la fuerza relativo a un punto fijo O se denomina cantidad vectorial igual al producto vectorial del vector radio del vector fuerza.

El vector está dirigido perpendicularmente al plano de los vectores y su dirección corresponde a la regla del tornillo derecho. El módulo del momento de las fuerzas es igual a

dónde a - ángulo entre los vectores y , h=rsin a - el hombro de la fuerza, igual a la distancia más corta desde el punto O hasta la línea de acción (a lo largo de la cual actúa la fuerza) de la fuerza.

El momento angular relativo al punto O se denomina cantidad vectorial igual al producto vectorial del radio del vector por el vector momento, es decir

El vector está dirigido perpendicularmente al plano de los vectores y (Fig. 2). El módulo del momento angular es igual a

dónde b - el ángulo entre la dirección de los vectores y .

La ley básica de la dinámica del movimiento de rotación.

Sea el sistema mecánico formado por norte puntos materiales bajo la acción de fuerzas externas, cuya resultante realiza un movimiento curvilíneo con respecto a un punto fijo O, es decir

donde se dibuja el radio vector desde el punto O hasta i th punto material, es el vector de la fuerza que actúa sobre i-ésimo punto material.

También puede encontrar el momento angular del sistema.

donde esta el momento angular i-ésimo punto material.

El momento angular depende del tiempo. t porque la velocidad es una función del tiempo. Derivando la cantidad de movimiento del sistema con respecto al tiempo t, obtenemos

La fórmula (7) es una expresión matemática de la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación del sistema, según la cual la tasa de cambio del momento angular del sistema a lo largo del tiempo es igual al momento resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

La ley (7) también es válida para un cuerpo rígido, ya que un cuerpo rígido se puede considerar como una colección de puntos materiales.

Sea en un caso particular, un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masa, bajo la acción de una fuerza externa. El cuerpo rígido se divide en puntos materiales. Para un punto material con masa metro i la ecuación de movimiento se escribirá

Momento angular para i- el punto material es igual a

Ya que durante la rotaciónb = 90 0 , entonces la velocidad lineal está relacionada con la velocidad angular por la fórmula Entonces (9) se puede escribir como

El valor es el momento de inercia del punto material con respecto al eje Z. Entonces (10) toma la forma

Teniendo en cuenta (11), la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo se escribe

donde es el momento de inercia del cuerpo rígido con respecto al eje Z.

A

donde es la aceleración angular. Según la ecuación principal dinámica del movimiento de rotación (12), el momento resultante de la fuerza externa que actúa sobre el cuerpo es igual al producto del momento de inercia J del cuerpo y su aceleración angular.

De la ecuación (12) se sigue que en j = constante aceleración angular del cuerpo

directamente proporcional al momento de las fuerzas externas en relación con el eje de rotación, es decir

A M = constante la aceleración angular es inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo, es decir

El propósito de este trabajo es verificar las relaciones (13) y (14), y, en consecuencia, la ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación (12), de la cual son consecuencias.

Descripción de la configuración operativa y el método de medición

Para comprobar las relaciones (13) y (14) se utiliza un péndulo de Oberbeck, que es una rueda inercial en forma de cruz. En cuatro barras 1 perpendiculares entre sí hay cuatro cargas cilíndricas idénticas 2, que se pueden mover a lo largo de las barras y fijarse a una cierta distancia del eje. Las cargas se fijan simétricamente, es decir, de modo que su centro de masa coincida con el eje de rotación. En el eje horizontal de la cruz hay un disco 3 de dos etapas, en el que se enrolla el hilo. Un extremo del hilo está unido al disco, y una carga 4 está suspendida del segundo extremo del hilo, bajo cuya acción el dispositivo gira. En la Fig.3 se muestra una vista general del péndulo Oberbeck FRM-06. Se utiliza un electroimán de frenado para mantener unido el sistema de cruceta con los pesos en reposo. Para leer la altura de caída de las mercancías, se aplica en la columna una escala milimétrica 5. El tiempo de caída de la carga 4 se mide con el reloj de milisegundos FRM-15, al que se conectan los sensores fotoeléctricos n.° 1 (6). ) y No. 2 (7) están conectados. El sensor fotoeléctrico nº 2 (7) genera un impulso eléctrico de las medidas de fin de tiempo y enciende el electroimán del freno.

Si permite que la carga 4 se mueva, entonces este movimiento ocurrirá con aceleración a.

dónde t- tiempo de movimiento de la carga desde una altura h. En este caso, la polea con las varillas y las cargas ubicadas sobre ellas girarán con una aceleración angularmi .

dónde r- radio de la polea.

El par de la fuerza aplicada a la cruz y reportando la aceleración angular de la parte giratoria del dispositivo, lo encontramos por la fórmula

dónde T- la fuerza de tensión de la cuerda. De acuerdo con la segunda ley de Newton para la carga 4 tenemos

dónde

dónde gramo- aceleración de la gravedad.

De las fórmulas (12), (15), (16), (17) y (19) tenemos

El procedimiento para realizar el trabajo y procesar los resultados de la medición.

1. Mida el radio de las poleas grandes y pequeñas con un calibrador r 1 y r 2 .

2. Determine la masa de la carga 4 pesando en balanzas técnicas con precisión± 0,1 gramos

3. Compruebe la relación (13). Para esto:

- fijar pesos móviles cilíndricos en las varillas a la distancia más cercana del eje de rotación de modo que el travesaño esté en una posición de equilibrio indiferente;

- enrolle el hilo alrededor de una polea de gran radio r1 y medir el tiempo de movimiento de la carga t desde lo alto h reloj de milisegundos, ¿por qué?

- conecte el cable de alimentación del medidor a la fuente de alimentación;

- presione la tecla “RED” y verifique si todos los indicadores del medidor muestran cero y si todos los indicadores de ambos sensores fotoeléctricos están encendidos;

- mueva el peso a la posición superior y verifique si el circuito está en reposo;

- presione la tecla "START" y mida el tiempo de movimiento de la carga con un reloj de milisegundos;

- presione la tecla "RESET" y verifique si las lecturas del medidor se han puesto a cero y el electroimán ha liberado el bloqueo;

- mueva la carga a la posición superior, presione la tecla "START" y verifique si el circuito se ha bloqueado nuevamente;

- repite el experimento 5 veces. Altura h no se recomienda cambiar durante toda la operación;

- utilizando las fórmulas (15), (16), (20) calcular los valores a 1 , mi 1 , METRO 1 ;

- sin cambiar la ubicación de las cargas en movimiento y, por lo tanto, sin cambiar el momento de inercia del sistema, repita el experimento enrollando el hilo con la carga en una polea pequeña con un radio r2;

- utilizando las fórmulas (15), (16), (20) calcular los valores a 2 , mi 2 , METRO 2 ;

- comprobar la validez de la consecuencia de la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación:

, a

- ingrese los datos de los resultados de las mediciones y cálculos en las tablas 1 y 2.

4. Comprobar relación (1 cuatro). Para esto:

- empujar los pesos móviles hasta el tope en los extremos de las varillas, pero de modo que el travesaño se encuentre nuevamente en una posición de equilibrio indiferente;

- para polea pequeña r2 determinar el tiempo de movimiento de la carga t/ según 5 experimentos;

- utilizando las fórmulas (15), (20), (21) determine los valores a / , mi / , J1;

- al comprobar la relación cuando puede usar los valores de la experiencia anterior configurando y ;

- utilizando la fórmula (21) determine el valor j 2 ;

- calcular los valores de y .

- Registre los resultados de las mediciones y los cálculos en la Tabla 3.

tabla 1

r1	metro	h	t 1	< t 1 >	a 1	mi 1	METRO 1
	kg				m/s 2	de -2	H × metro

Tabla 2

r2	t 2	< t 2 >	a 2	mi 2	METRO 2	METRO 1 /METRO 2	mi 1 / mi 2
			m/s 2	de -2	H × metro

Tabla 3

r 2	t /	< t / >	a /	mi /	j 1	a //	j 2	mi //	mi / / mi //	j 2 / j 1
			m/s 2	de -2	kg × metro 2	m/s 2	kg × metro 2	de -2

Preguntas para la admisión al trabajo.

1. ¿Cuál es el propósito del trabajo?

2. Formule la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación. Explique el significado físico de las cantidades incluidas en esta ley, indique las unidades de su medida en "SI".

3. Describa el dispositivo de la instalación de trabajo.

Preguntas para proteger la obra

1. Dé las definiciones del momento de las fuerzas, el momento del momento de un punto material relativo a un punto fijo O.

2. Formule la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido con respecto a un punto fijo O y un eje fijo Z.

3. Definir el momento de inercia de un punto material y un cuerpo rígido.

4. Derivar fórmulas de trabajo.

5. Derive la razón para y para

6. ¿Hay alguna crítica a este trabajo?

Momento de poder

La acción de rotación de una fuerza está determinada por su cantidad de movimiento. El momento de fuerza respecto a un punto es el producto cruz

Radio vector dibujado de punto a punto de aplicación de la fuerza (Fig. 2.12). La unidad de medida del momento de la fuerza.

Figura 2.12

La magnitud del momento de la fuerza.

o puedes escribir

donde está el hombro de la fuerza (la distancia más corta desde el punto hasta la línea de acción de la fuerza).

La dirección del vector está determinada por la regla del producto vectorial o por la regla del "tornillo derecho" (combinamos los vectores y la traslación paralela en el punto O, la dirección del vector está determinada de modo que desde su extremo el la rotación del vector a es visible en sentido contrario a las agujas del reloj: en la Fig. 2.12, el vector se dirige perpendicularmente al plano que dibuja "desde nosotros" (de manera similar, de acuerdo con la regla de gimlet: el movimiento de traslación corresponde a la dirección del vector, la rotación corresponde a un giro de a)).

El momento de una fuerza con respecto a un punto es cero si la línea de acción de la fuerza pasa por ese punto.

La proyección de un vector sobre cualquier eje, por ejemplo, el eje z, se denomina momento de fuerza sobre este eje. Para determinar el momento de la fuerza con respecto al eje, primero proyecte la fuerza sobre un plano perpendicular al eje (figura 2.13) y luego encuentre el momento de esta proyección en relación con el punto de intersección del eje con el plano perpendicular a él. . Si la línea de acción de la fuerza es paralela al eje o lo cruza, entonces el momento de la fuerza con respecto a este eje es igual a cero.

Figura 2.13

momento angular

Momento de impulso punto material una masa que se mueve a una velocidad relativa a cualquier punto de referencia se llama producto vectorial

El radio vector de un punto material (figura 2.14) es su cantidad de movimiento.

Figura 2.14

El valor del momento angular del punto material.

donde es la distancia más corta desde la línea vectorial hasta el punto .

La dirección del momento angular se determina de manera similar a la dirección del momento de la fuerza.

Si la expresión para L 0 se multiplica y se divide por l, obtenemos:

Donde - el momento de inercia de un punto material - un análogo de masa en movimiento de rotación.

Velocidad angular.

Momento de inercia de un cuerpo rígido

Se puede observar que las fórmulas resultantes son muy similares a las expresiones para la cantidad de movimiento y para la segunda ley de Newton, respectivamente, solo que en lugar de la velocidad lineal y la aceleración se utilizan la velocidad angular y la aceleración, y en lugar de la masa, la cantidad I=mR 2, llamado momento de inercia de un punto material .

Si el cuerpo no puede considerarse un punto material, pero puede considerarse absolutamente rígido, entonces su momento de inercia puede considerarse la suma de los momentos de inercia de sus partes infinitamente pequeñas, ya que las velocidades angulares de rotación de estas partes son las mismas. (Figura 2.16). La suma de infinitesimales es la integral:

Para cualquier cuerpo, existen ejes que pasan por su centro de inercia, los cuales tienen la siguiente propiedad: cuando el cuerpo gira alrededor de dichos ejes en ausencia de influencias externas, los ejes de rotación no cambian de posición. Tales ejes se llaman ejes libres del cuerpo . Se puede probar que para un cuerpo de cualquier forma y con cualquier distribución de densidad hay tres ejes libres perpendiculares entre sí, llamados ejes principales de inercia cuerpo. Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes principales se denominan momentos principales (intrínsecos) de inercia cuerpo.

Los principales momentos de inercia de algunos cuerpos se dan en la tabla:

Teorema de Huygens-Steiner.

Esta expresión se llama Teoremas de Huygens-Steiner : momento de inercia del cuerpo respecto a un eje arbitrario es igual a la suma el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al dado y que pasa por el centro de masa del cuerpo, y el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes.

La ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación.

La ley básica de la dinámica del movimiento de rotación se puede obtener a partir de la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación de un cuerpo rígido

Dónde F es la fuerza aplicada al cuerpo por la masa metro; a es la aceleración lineal del cuerpo.

Si a un cuerpo rígido de masa metro en el punto A (Fig. 2.15) aplicar fuerza F, entonces como resultado de una conexión rígida entre todos los puntos materiales del cuerpo, todos ellos recibirán aceleración angular ε y aceleraciones lineales correspondientes, como si una fuerza F 1 …F n actuara sobre cada punto. Para cada punto material, puede escribir:

Donde por lo tanto

Dónde yo- peso i- punto th; ε es la aceleración angular; yo es su distancia al eje de rotación.

Multiplicando los lados izquierdo y derecho de la ecuación por yo, obtenemos

Donde - el momento de la fuerza - es el producto de la fuerza sobre su hombro.

Arroz. 2.15. Un cuerpo rígido que gira bajo la acción de una fuerza. F sobre el eje “ОО”

- momento de inercia i th punto material (análogo a la masa en movimiento de rotación).

La expresión se puede escribir así:

Sumemos las partes izquierda y derecha sobre todos los puntos del cuerpo:

La ecuación es la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido. Valor - la suma geométrica de todos los momentos de las fuerzas, es decir, el momento de la fuerza F, dando una aceleración ε a todos los puntos del cuerpo. es la suma algebraica de los momentos de inercia de todos los puntos del cuerpo. La ley se formula de la siguiente manera: "El momento de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en rotación es igual al producto del momento de inercia del cuerpo y la aceleración angular".

Por otra parte

A su vez, un cambio en el momento angular del cuerpo.

Entonces, la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación se puede reescribir como:

O bien, el impulso del momento de la fuerza, que actúa sobre un cuerpo giratorio, es igual al cambio en su momento angular.

Ley de conservación del momento angular

Similar a ZSI.

De acuerdo con la ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación, el momento de la fuerza con respecto al eje Z: . Por lo tanto, en un sistema cerrado y, por lo tanto, el momento angular total alrededor del eje Z de todos los cuerpos incluidos en un sistema cerrado es un valor constante. Eso expresa ley de conservación del momento angular . Esta ley es válida sólo en marcos de referencia inerciales.

Dibujemos una analogía entre las características del movimiento de traslación y el movimiento de rotación.

Las bases y cimentaciones se calculan según 2 estados límite

	Por capacidad de carga:	norte- la carga de diseño especificada sobre la base en la combinación más desfavorable; - capacidad portante (carga última) de la cimentación para una dirección de carga dada norte; - coeficiente de condiciones de trabajo de la fundación (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Según deformaciones límite:	- liquidación absoluta estimada de la fundación; - diferencia relativa calculada de asentamientos de cimientos; , - valores límite, respectivamente, de la diferencia absoluta y relativa de los asentamientos de cimentación (SNiP 2.02.01-83 *)

Dinámica rotacional

Prefacio

Llamo la atención de los estudiantes sobre el hecho de que ESTE material no fue considerado ABSOLUTAMENTE en la escuela (excepto por el concepto de momento de fuerza).

1. La ley de la dinámica del movimiento de rotación.

una. Ley de la dinámica del movimiento de rotación

b. Momento de poder

C. Momento de un par de fuerzas

d. Momento de inercia

2. Momentos de inercia de algunos cuerpos:

una. Anillo (cilindro de paredes delgadas)

b. Cilindro de pared gruesa

C. cilindro solido

mi. varilla delgada

3. Teorema de Steiner

4. Momento angular del cuerpo. Cambio en el momento angular del cuerpo. impulso de momento. Ley de conservación del momento angular

5. Operación giratoria

6. Energía cinética de rotación

7. Comparación de cantidades y leyes para el movimiento de traslación y rotación.

1a. Considere un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo OO (figura 3.1). Dividamos este cuerpo sólido en masas elementales separadas Δ metro i . La resultante de todas las fuerzas aplicadas a Δ metro i , denotada por . Basta con considerar el caso en que la fuerza se encuentra en un plano perpendicular al eje de rotación: las componentes de la fuerza paralelas al eje no pueden afectar la rotación del cuerpo, ya que el eje está fijo. Entonces la ecuación de la segunda ley de Newton para las componentes tangenciales de la fuerza y ​​la aceleración se escribirá como:

La componente normal de la fuerza proporciona aceleración centrípeta y no afecta la aceleración angular. De (1.27): , donde es el radio de rotación i- ese punto. Después

Multipliquemos ambos lados de (3.2) por:

Darse cuenta de

donde α es el ángulo entre el vector fuerza y ​​el radio vector del punto (Fig. 3.1), es la perpendicular caída a la línea de acción de la fuerza desde el centro de rotación (hombro de la fuerza). Introduzcamos el concepto de momento de fuerza.

1b. Momento de fuerza relativo al eje se llama vector dirigido a lo largo del eje de rotación y asociado a la dirección de la fuerza por la regla de gimlet, cuyo módulo es igual al producto de la fuerza por su brazo: . Hombro de fuerza yo relativa al eje de rotación es la distancia más corta desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje de rotación. Dimensión del momento de fuerza:

En forma vectorial, el momento de la fuerza con respecto a un punto:

El vector del momento de la fuerza es perpendicular tanto a la fuerza como al radio vector del punto de su aplicación:

Si el vector de fuerza es perpendicular al eje, entonces el vector del momento de fuerza se dirige a lo largo del eje de acuerdo con la regla del tornillo derecho, y la magnitud del momento de fuerza en relación con este eje (proyección sobre el eje) está determinado por la fórmula (3.4):

El momento de la fuerza depende tanto de la magnitud de la fuerza como del brazo de la fuerza. Si la fuerza es paralela al eje, entonces .

1c. pareja de poder - estas son dos fuerzas de igual magnitud y dirección opuesta, cuyas líneas de acción no coinciden (Fig. 3.2). El brazo de un par de fuerzas es la distancia entre las líneas de acción de las fuerzas. Encontremos el momento total del par de fuerzas y () en la proyección sobre el eje que pasa por el punto O:

Es decir, el momento de un par de fuerzas es igual al producto de la magnitud de la fuerza y ​​el plccho del par:

Volvamos a (3.3). Teniendo en cuenta (3.4) y (3.6):

1d. Definición: se llama un valor escalar igual al producto de la masa de un punto material y el cuadrado de su distancia al eje momento de inercia de un punto material relativo al eje OO:

Dimensión del momento de inercia

Los vectores y coinciden en dirección con el eje de rotación, están relacionados con la dirección de rotación según la regla de gimlet, por lo que la igualdad (3.9) se puede reescribir en forma vectorial:

Sumemos (3.10) sobre todas las masas elementales en que se divide el cuerpo:

Aquí se tiene en cuenta que la aceleración angular de todos los puntos de un cuerpo rígido es la misma, y ​​se puede sacar del signo de la suma. En el lado izquierdo de la ecuación está la suma de los momentos de todas las fuerzas (tanto externas como internas) aplicadas a cada punto del cuerpo. Pero según la tercera ley de Newton, las fuerzas con las que los puntos del cuerpo interactúan entre sí (fuerzas internas) son iguales en magnitud y dirección opuesta y se encuentran en la misma línea recta, por lo que sus momentos se anulan entre sí. Así, en la parte izquierda de (3.11) queda el momento total de sólo fuerzas externas: .

La suma de los productos de las masas elementales y el cuadrado de sus distancias al eje de rotación se llama momento de inercia de un cuerpo rigido sobre este eje:

De este modo, ; - esta es la ley básica de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido (análoga a la segunda ley de Newton): La aceleración angular de un cuerpo es directamente proporcional al momento total de las fuerzas externas e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo. :

Momento de inercia yosólido es una medida de las propiedades inertes de un cuerpo sólido durante el movimiento de rotación y es similar a la masa de un cuerpo en la segunda ley de Newton. Depende esencialmente no solo de la masa del cuerpo, sino también de su distribución relativa al eje de rotación (en la dirección perpendicular al eje).

En el caso de una distribución continua de masa, la suma en (3.12) se reduce a una integral sobre todo el volumen del cuerpo:

2a. El momento de inercia de un anillo delgado alrededor de un eje que pasa por su centro perpendicular al plano del anillo.

ya que para cualquier elemento del anillo su distancia al eje es la misma e igual al radio del anillo: .

2b. Cilindro de paredes gruesas (disco) con radio interior y radio exterior.

Calculemos el momento de inercia de un disco homogéneo con densidad ρ , altura h, radio interior y radio exterior (Fig.3.3) relativos al eje que pasa por el centro de masas perpendicular al plano del disco. Dividamos el disco en anillos delgados de grosor y altura de modo que el radio interior del anillo sea , y el exterior sea . El volumen de tal anillo es , donde es el área de la base del anillo delgado. Su masa:

Sustituimos en (3.14) e integramos sobre r():

Masa del disco, luego finalmente:

2c. Cilindro macizo (disco).

En el caso especial de un disco sólido o cilindro con un radio R sustituyamos en (3.17) R 1 =0, R 2 =R y obten:

Momento de inercia de una bola de radio R y la masa relativa al eje que pasa por su centro (Fig. 3.4), es (sin demostración):

2e. El momento de inercia de una barra delgada con masa y longitud relativa al eje que pasa por su extremo perpendicular a la barra (Fig. 3.5).

Dividimos la varilla en segmentos infinitamente pequeños de longitud . La masa de tal área. Sustituya en (3.14) e integre de 0 a:

Si el eje pasa por el centro de la barra perpendicular a él, puedes calcular el momento de inercia de la mitad de la barra usando (3.20) y luego duplicar:

3. Si el eje de rotación no pasa a través del centro de masa del cuerpo (Fig.3.6), los cálculos utilizando la fórmula (3.14) pueden ser bastante complicados. En este caso, el cálculo del momento de inercia se facilita utilizando teoremas de steiner : el momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje arbitrario es igual a la suma del momento de inercia yo C cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo paralelo a este eje, y el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ejes:

Veamos cómo funciona el teorema de Steiner si lo aplicamos a una barra:

Es fácil ver que se obtiene una identidad, ya que en este caso la distancia entre los ejes es igual a la mitad de la longitud de la varilla.

4. Momento angular del cuerpo. Cambio en el momento angular del cuerpo. impulso de momento. Ley de conservación del momento angular.

De la ley de la dinámica del movimiento de rotación y la definición de aceleración angular, se sigue:

Si, entonces. Introduzcamos el momento angular del cuerpo rígido como

La relación (3.24) es la ley básica de la dinámica de cuerpos rígidos para el movimiento de rotación. Se puede reescribir así:

y entonces será un análogo de la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación en forma impulsiva (2.5)

La expresión (3.24) se puede integrar:

y formular la ley de cambio de momento angular: el cambio en el momento del momento del cuerpo es igual al momento del momento total de las fuerzas externas . La cantidad se denomina impulso del momento de la fuerza y ​​es similar al impulso de la fuerza en la formulación de la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación (2.2); el momento angular es análogo al momento.

Dimensión del momento angular

El momento angular de un cuerpo rígido alrededor de su eje de rotación es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación según la regla de gimlet.

El momento angular de un punto material relativo al punto O (Fig. 3.6) es:

donde es el radio vector de un punto material, es su momento. El vector de momento angular se dirige de acuerdo con la regla de gimlet perpendicular al plano en el que se encuentran los vectores y: en la Fig. 3.7, hacia nosotros debido a la figura. La magnitud del momento angular

Dividimos un cuerpo rígido que gira sobre un eje en masas elementales y sumamos el momento angular de cada masa sobre todo el cuerpo (lo mismo se puede escribir como una integral; esto no es fundamental):

Dado que la velocidad angular de todos los puntos es la misma y está dirigida a lo largo del eje de rotación, se puede escribir en forma vectorial:

Así, se prueba la equivalencia de las definiciones (3.23) y (3.26).

Si el momento total de las fuerzas externas es cero, entonces el momento angular del sistema no cambia(ver 3.25):

. Esta es la ley de conservación de la cantidad de movimiento. . Esto es posible cuando:

a) el sistema está cerrado (o);

b) las fuerzas externas no tienen componentes tangenciales (el vector fuerza pasa por el eje/centro de rotación);

c) las fuerzas externas son paralelas al eje fijo de rotación.

Ejemplos del uso/operación de la ley de conservación del momento angular:

1. giroscopio;

2. banco de Zhukovsky;

3. patinador sobre hielo.

5. Trabajar con movimiento rotatorio.

Sea el cuerpo un ángulo bajo la acción de una fuerza y ​​el ángulo entre el desplazamiento y la fuerza es ; - el radio vector del punto de aplicación de la fuerza (Fig. 3.8), entonces el trabajo de la fuerza es igual a: