Fórmula de factorización lineal. Factorización lineal de algunos trinomios cuadrados
Se dan 8 ejemplos de factorización de polinomios. Incluyen ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas y bicuadráticas, ejemplos de polinomios recursivos y ejemplos de cómo encontrar raíces enteras de polinomios de tercer y cuarto grado.
Contenido
Ver también: Métodos para factorizar polinomios
Las raíces de una ecuación cuadrática
Solución de ecuaciones cúbicas
1. Ejemplos con la solución de una ecuación cuadrática
Ejemplo 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
sacar x 2
para corchetes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Raíces de ecuaciones:
, .
.
Ejemplo 1.2
Factorización de un polinomio de tercer grado:
X 3 + 6x2 + 9x.
Sacamos x de los paréntesis:
.
Resolvemos la ecuación cuadrática x 2 + 6 x + 9 = 0:
Su discriminante es .
Como el discriminante es igual a cero, las raíces de la ecuación son múltiplos: ;
.
De aquí obtenemos la descomposición del polinomio en factores:
.
Ejemplo 1.3
Factorizando un polinomio de quinto grado:
X 5 - 2x4 + 10x3.
sacar x 3
para corchetes:
.
Resolvemos la ecuación cuadrática x 2 - 2 x + 10 = 0.
Su discriminante es .
Como el discriminante es menor que cero, las raíces de la ecuación son complejas: ;
, .
La factorización de un polinomio tiene la forma:
.
Si estamos interesados en factorizar con coeficientes reales, entonces:
.
Ejemplos de factorización de polinomios usando fórmulas
Ejemplos con polinomios bicuadráticos
Ejemplo 2.1
Factoriza el polinomio bicuadrático:
X 4 + x 2 - 20.
Aplicar las fórmulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Ejemplo 2.2
Factorización de un polinomio que se reduce a bicuadrático:
X 8 + x 4 + 1.
Aplicar las fórmulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Ejemplo 2.3 con polinomio recursivo
Factorizando el polinomio recursivo:
.
El polinomio recursivo tiene un grado impar. Por lo tanto tiene una raíz x = - 1
. Dividimos el polinomio por x - (-1) = x + 1. Como resultado, obtenemos:
.
Hacemos una sustitución:
, ;
;
;
.
Ejemplos de factorización de polinomios con raíces enteras
Ejemplo 3.1
Factorización de un polinomio:
.
Supongamos que la ecuación
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Entonces, hemos encontrado tres raíces:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Como el polinomio original es de tercer grado, no tiene más de tres raíces. Como hemos encontrado tres raíces, son simples. Después
.
Ejemplo 3.2
Factorización de un polinomio:
.
Supongamos que la ecuación
tiene al menos una raíz entera. entonces es el divisor del numero 2
(un miembro sin x). Es decir, la raíz entera puede ser uno de los números:
-2, -1, 1, 2
.
Sustituye estos valores uno por uno:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.
Entonces, hemos encontrado una raíz:
X 1 = -1
.
Dividimos el polinomio por x - x 1 = x - (-1) = x + 1:
Después,
.
Ahora tenemos que resolver la ecuación de tercer grado:
.
Si asumimos que esta ecuación tiene una raíz entera, entonces es un divisor del número 2
(un miembro sin x). Es decir, la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2
.
Sustituye x = -1
:
.
Así que hemos encontrado otra raíz x 2
= -1
. Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio por , pero agruparemos los términos:
.
CUADRADO TRIPON III
§ 54. Descomposición de un trinomio cuadrado en factores lineales
En esta sección, consideramos la siguiente pregunta: en cuyo caso el trinomio cuadrado hacha 2 + bx+c se puede representar como un producto
(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)
dos lineales relativamente X factores con coeficientes reales a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Suponga que el trinomio cuadrado dado hacha 2 + bx+c representar en forma
hacha 2 + bx+c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)
El lado derecho de la fórmula (1) desaparece cuando X = - b 1 / a 1 y X = - b 2 / a 2 (a 1 y a 2 no son iguales a cero por condición). Pero en este caso, los números b 1 / a 1 y - b 2 / a 2 son las raices de la ecuacion
hacha 2 + bx+c = 0.
Por lo tanto, el discriminante del trinomio cuadrado hacha 2 + bx+c debe ser no negativo.
2. Por el contrario, supongamos que el discriminante D = b 2 - 4as trinomio cuadrado hacha 2 + bx+c es no negativo. Entonces este trinomio tiene raíces reales X 1 y X 2. Usando el teorema de Vieta, obtenemos:
hacha 2 + bx+c =a (X 2 + b / a X + C / a ) = a [X 2 - (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 ] =
= a [(X 2 - X 1 X ) - (X 2 X - X 1 X 2)] = a [X (X - X 1) - X 2 (X - X 1) =
=a (X - X 1)(X - X 2).
hacha 2 + bx+c = a (X - X 1)(X - X 2), (2)
dónde X 1 y X 2 - raíces del trinomio hacha 2 + bx+c . Coeficiente a puede atribuirse a cualquiera de dos factores lineales, por ejemplo,
a (X - X 1)(X - X 2) = (ah - hacha 1)(X - X 2).
Pero esto significa que en el caso bajo consideración el trinomio cuadrado hacha 2 + bx+c representar como un producto de dos factores lineales con coeficientes reales.
Combinando los resultados obtenidos en los apartados 1 y 2, llegamos al siguiente teorema.
Teorema. trinomio cuadrado hacha 2 + bx+c entonces y solo entonces se puede representar como un producto de dos factores lineales con coeficientes reales,
hacha 2 + bx+c = (ah - hacha 1)(X - X 2),
cuando el discriminante de este trinomio cuadrado es no negativo (es decir, cuando este trinomio tiene raíces reales).
Ejemplo 1. Factorizar en factores lineales 6 X 2 - X -1.
Las raíces de este trinomio cuadrado son X 1 = 1 / 2 y X 2 = - 1 / 3 .
Por lo tanto, de acuerdo con la fórmula (2)
6X 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3X + 1).
Ejemplo 2. Factorizar en factores lineales X 2 + X + 1. El discriminante de este trinomio cuadrado es negativo:
re = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Por lo tanto, este trinomio cuadrado no se puede descomponer en factores lineales con coeficientes reales.
Ejercicios
Expanda las siguientes expresiones en factores lineales (No. 403 - 406):
403. 6X 2 - 7X + 2. 405. X 2 - X + 1.
404. 2X 2 - 7Vaya + 6a 2 . 406. X 2 - 3Vaya + 2a 2 - abdominales - b 2 .
Reducir fracciones (No. 407, 408):
Resolver ecuaciones:
El trinomio cuadrado se puede factorizar de la siguiente manera:
UN X 2 + segundo X + C = un ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
donde a es el número, coeficiente antes del coeficiente más alto,
x es una variable (es decir, una letra),
x 1 y x 2 - números, raíces de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c \u003d 0, que se encuentran a través del discriminante.
Si la ecuación cuadrática tiene solo una raíz, entonces la descomposición se ve así:
un X 2 + segundo X + C = un ⋅ (X − X 0) 2
Ejemplos de factorización de un trinomio cuadrado:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
- − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒x0 = 2
− X 2 + 4 X − 4 = (− 1) ⋅ (X − 2) 2 = − (X − 2) 2
Si un trinomio cuadrado es incompleto (b = 0 o c = 0), entonces se puede factorizar de las siguientes maneras:
- c = 0 ⇒ un x 2 + segundo x = x (un x + segundo)
- b = 0 ⇒ aplicar la fórmula de multiplicación reducida para la diferencia de cuadrados.
Tareas para solución independiente
n° 1 El trinomio cuadrado se factoriza: x 2 + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) . Encontrar un .
Solución:
Primero necesitas igualar el trinomio cuadrado a cero para encontrar x 1 y x 2.
x 2 + 6 x - 27 = 0
a = 1, b = 6, c = − 27
re = segundo 2 − 4 un do = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144
D > 0 significa que habrá dos raíces diferentes.
x 1,2 = − segundo ± re 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9
Conociendo las raíces, factorizamos el trinomio cuadrado:
x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)
n° 2 La ecuación x 2 + p x + q \u003d 0 tiene raíces - 5; 7. Encuentra q.
Solución:
1 manera:(necesitas saber cómo se factoriza el trinomio cuadrado)
Si x 1 y x 2 son las raíces de un trinomio cuadrado a x 2 + b x + c, entonces se puede factorizar de la siguiente manera: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .
Dado que en un trinomio cuadrado dado el coeficiente principal (el factor delante de x 2) es igual a uno, la descomposición será la siguiente:
x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x - 35 = x 2 - 2 x - 35
x 2 + pags x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ pags = − 2, q = − 35
2 vías: (necesitas conocer el teorema de Vieta)
Teorema de Vieta:
La suma de las raíces del trinomio cuadrado reducido x 2 + p x + q es igual a su segundo coeficiente p de signo contrario, y el producto es igual al término libre q.
( X 1 + X 2 = - pags X 1 ⋅ X 2 = q
q = X 1 ⋅ X 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.
En primer lugar, señalemos algunos nombres de uso común. Consideremos los polinomios, que incluyen solo una letra, por ejemplo, la letra x. Entonces, el más simple es un polinomio en el que hay dos términos, y uno de ellos contiene la letra x hasta el primer grado, y el otro no tiene la letra x en absoluto, por ejemplo, 3x - 5 o 15 - 7x o 8z + 7 (aquí en lugar de la letra x se toma la letra z), etc. Tales polinomios se llaman binomios lineales .
3x² - 5x + 7 o x² + 2x - 1
o 5y² + 7y + 8 o z² - 5z - 2 etc.
Tales polinomios se llaman trinomios cuadrados.
Entonces, podemos componer un cuádruple cúbico, por ejemplo:
x³ + 2x² - x + 1 o 3x³ - 5x² - 2x - 3 etc.,
polinomio de cuarto grado, por ejemplo:
x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 etc.
Es posible designar los coeficientes en x, en x², en x³, etc. también con letras, por ejemplo, con las letras a, b, c, etc. Entonces obtenemos:
1) la forma general del binomio lineal en x ax + b,
2) forma general de un trinomio cuadrado (con respecto a x): ax² + bx + c,
3) la forma general del trinomio cúbico (con respecto a x): ax³ + bx² + cx + d, etc.
Sustituyendo las letras a, b, c, d… en estas fórmulas por números diferentes, obtenemos todo tipo de binomios lineales, trinomios cuadrados, etc. Por ejemplo, en la fórmula ax²+bx+c, que expresa la forma general de un trinomio cuadrado, reemplazamos la letra a por el número +3, la letra b por el número -2 y la letra c por el número -1, obtenemos el trinomio cuadrado 3x² - 2x - 1. En un caso particular, también es posible obtener un binomio, reemplazando una de las letras con cero, por ejemplo, si a = +1, b = 0 y c \u003d -3, entonces obtenemos el binomio cuadrado x² - 3.
Uno puede aprender a factorizar algunos trinomios cuadrados con bastante rapidez en factores lineales. Sin embargo, nos limitaremos a considerar solo los trinomios cuadrados que satisfagan las siguientes condiciones:
1) el coeficiente en el término más alto (en x²) es +1,
2) puedes encontrar dos enteros (con signos, o dos enteros relativos) tales que su suma sea igual al coeficiente de x a la primera potencia y su producto sea igual al término libre de x (donde no hay letra x en todos).
Ejemplos. 1. x² + 5x + 6; es fácil en la mente encontrar dos números (con signos) para que su suma sea igual a +5 (coeficiente en x) y para que su producto = +6 (un término libre de x), - estos números son: + 2 y +3 [en sí mismo, de hecho, +2 + 3 = +5 y (+2) ∙ (+3) = +6]. Usando estos dos números, reemplazamos el término +5x con dos términos, a saber: +2x + 3x (por supuesto, +2x + 3x = +5x); entonces nuestro término técnico se convertirá artificialmente en un cuadrión x² + 2x + 3x + 6. Apliquémosle ahora la técnica de agrupación, colocando los dos primeros términos en un grupo y los dos últimos en otro:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
En el primer grupo, pusimos entre paréntesis x y en el segundo +3, obtuvimos dos términos que resultaron tener un factor común (x + 2), que también fue entre paréntesis, y nuestro trinomio x² + 5x + 6 se descompuso en 2 lineales factores: x + 2 y x + 3.
2. x² - x - 12. Aquí necesitas encontrar dos números (relativo) para que su suma sea -1 y su producto sea -12. Tales números son: -4 y +3.
Comprueba: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. Usando estos números, reemplazamos el término -x con dos términos: -x \u003d -4x + 3x, - obtenemos:
x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 \u003d x (x - 4) + 3 (x - 4) \u003d (x - 4) (x + 3).
3. x² - 7x + 6; aquí los números requeridos son: -6 y -1. [Comprobar: -6 + (-1) = -7; (–6) (–1) = +6].
x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1).
Aquí, los miembros del segundo grupo -x + 6 debían encerrarse entre paréntesis, con un signo menos delante de ellos.
4. x² + 8x - 48. Aquí necesitas encontrar dos números para que su suma sea +8 y su producto sea -48. Como el producto debe tener signo menos, entonces los números deseados deben estar con signos diferentes, ya que la suma de nuestros números tiene signo +, entonces valor absoluto numero positivo debería ser más. Expandiendo el número aritmético 48 en dos factores (y esto se puede hacer de diferentes maneras), obtenemos: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. , a saber: 48 = 4 ∙ 12. Entonces nuestros números son: +12 y -4. Lo que sigue es sencillo:
x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4).
5. x² + 7x - 12. Aquí necesitas encontrar 2 números para que su suma sea +7 y el producto = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Aparentemente, 3 y 4 serían números adecuados, pero deben tomarse con signos diferentes para que su producto sea igual a -12, y entonces su suma de ninguna manera es puede ser +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Otras factorizaciones tampoco dan los números requeridos; por tanto, llegamos a la conclusión de que aún no somos capaces de factorizar estos trinomios cuadrados en factores lineales, ya que nuestro método no le es aplicable (no cumple la segunda de las condiciones que se establecieron al principio).
Tiene un cuadrado, y consta de tres términos (). Entonces resulta que es un trinomio cuadrado.
Ejemplos no trinomios cuadrados:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - cuaternario cúbico
\(2x+1\) - binomio lineal
La raíz del trinomio cuadrado:
Ejemplo:
El trinomio \(x^2-2x+1\) tiene raíz \(1\), porque \(1^2-2 1+1=0\)
El trinomio \(x^2+2x-3\) tiene raíces \(1\) y \(-3\), porque \(1^2+2-3=0\) y \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Por ejemplo: si necesitas encontrar las raíces del trinomio cuadrado \(x^2-2x+1\), lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Listo. La raíz es \(1\).
Descomposición de un trinomio cuadrado en:
El trinomio cuadrado \(ax^2+bx+c\) se puede expandir como \(a(x-x_1)(x-x_2)\) si las ecuaciones \(ax^2+bx+c=0\) son mayor que cero \(x_1\) y \(x_2\) son raíces de la misma ecuación).
Por ejemplo, considera el trinomio \(3x^2+13x-10\).
La ecuación cuadrática \(3x^2+13x-10=0\) tiene un discriminante igual a 289 (mayor que cero), y las raíces son iguales a \(-5\) y \(\frac(2)(3) )\). Entonces \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Es fácil verificar la exactitud de esta afirmación: si tenemos , entonces obtenemos el trinomio original.
El trinomio cuadrado \(ax^2+bx+c\) se puede representar como \(a(x-x_1)^2\) si el discriminante de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) es igual a cero
Por ejemplo, considere el trinomio \(x^2+6x+9\).La ecuación cuadrática \(x^2+6x+9=0\) tiene un discriminante igual a \(0\), y la única raíz es igual a \(-3\). Entonces, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (aquí el coeficiente \(a=1\), así que no hay necesidad de escribir antes del paréntesis). Tenga en cuenta que la misma transformación se puede hacer con .
El trinomio cuadrado \(ax^2+bx+c\) no se factoriza si el discriminante de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) es menor que cero.
Por ejemplo, los trinomios \(x^2+x+4\) y \(-5x^2+2x-1\) tienen un discriminante menor que cero. Por lo tanto, es imposible descomponerlos en factores.
Ejemplo
. Factoriza \(2x^2-11x+12\).
Solución
:
Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Entonces \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Responder
: \(2(x-1.5)(x-4)\)
La respuesta recibida se puede escribir de otra forma: \((2x-3)(x-4)\).
Ejemplo
. (Encargo de la OGE) El trinomio cuadrado se factoriza \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Encontrar un\).
Solución:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Responder
: \(-1,6\)
