Encontrar el volumen de un cuerpo a partir de áreas de sección transversal. Cómo encontrar el área de una superficie de revolución usando la integral Área de superficie formada por rotación

11.02.2022 | Pinturas de artistas

5. Encontrar el área de superficie de los cuerpos de revolución.

Sea la curva AB la gráfica de la función y = f(x) ≥ 0, donde x [a; b], y la función y = f(x) y su derivada y" = f"(x) son continuas en este segmento.

Encontremos el área S de la superficie formada por la rotación de la curva AB alrededor del eje Ox (Fig. 8).

Apliquemos el esquema II (método diferencial).

A través de un punto arbitrario x [a; b] dibuja un plano P perpendicular al eje Ox. El plano P interseca la superficie de rotación en un círculo con radio y – f(x). El tamaño S de la superficie de la parte de la figura de revolución que se encuentra a la izquierda del plano es función de x, es decir s = s(x) (s(a) = 0 y s(b) = S).

Démosle al argumento x un incremento Δx = dx. Por el punto x + dx [a; b] también dibujamos un plano perpendicular al eje Ox. La función s = s(x) recibirá un incremento de Δs, que se muestra en la figura como un “cinturón”.

Encontremos el área diferencial ds reemplazando la figura formada entre las secciones por un cono truncado, cuya generatriz es igual a dl, y los radios de las bases son iguales a yey + dу. El área de su superficie lateral es igual a: = 2ydl + dydl.

Rechazando el producto dу d1 como un infinitesimal de orden superior a ds, obtenemos ds = 2уdl, o, dado que d1 = dx.

Integrando la igualdad resultante en el rango de x = a a x = b, obtenemos

Si se da la curva AB ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, entonces la fórmula para el área de superficie de rotación toma la forma

S=2 dt.

Ejemplo: Encuentra el área de superficie de una bola de radio R.

S=2 =

6. Encontrar el trabajo de una fuerza variable.

Trabajo de fuerza variable

Dejar punto material M se mueve a lo largo del eje Ox bajo la acción de una fuerza variable F = F(x) dirigida paralela a este eje. El trabajo realizado por una fuerza al mover el punto M desde la posición x = a hasta la posición x = b (a

¿Cuánto trabajo se debe hacer para estirar el resorte 0,05 m si una fuerza de 100 N lo estira 0,01 m?

Según la ley de Hooke, la fuerza elástica que estira el resorte es proporcional a este estiramiento x, es decir F = kх, donde k es el coeficiente de proporcionalidad. Según las condiciones del problema, una fuerza F = 100 N estira el resorte x = 0.01 m; por lo tanto, 100 = k 0,01, de donde k = 10000; por lo tanto, F = 10000x.

Trabajo requerido basado en fórmula.

Encuentre el trabajo que se debe realizar para bombear líquido sobre el borde desde un tanque cilíndrico vertical de altura N m y radio de base R m (Fig. 13).

El trabajo invertido en levantar un cuerpo de peso p a una altura h es igual a p N. Pero las diferentes capas de líquido en el tanque están a diferentes profundidades y la altura de elevación (hasta el borde del tanque) de las diferentes Las capas no son lo mismo.

Para resolver el problema aplicamos el esquema II (método diferencial). Introduzcamos un sistema de coordenadas.

1) El trabajo invertido en bombear una capa de líquido de espesor x (0 ≤ x ≤ H) de un depósito es función de x, es decir A = A(x), donde (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Encuentre la parte principal del incremento ΔA cuando x cambia en la cantidad Δx = dx, es decir encontramos el diferencial dA de la función A(x).

Debido a la pequeñez de dx, asumimos que la capa "elemental" de líquido está ubicada a la misma profundidad x (desde el borde del depósito). Entonces dA = dрх, donde dр es el peso de esta capa; es igual a g AV, donde g es la aceleración de la gravedad, es la densidad del líquido, dv es el volumen de la capa "elemental" de líquido (está resaltado en la figura), es decir dр = g. El volumen de la capa líquida indicada es obviamente igual a , donde dx es la altura del cilindro (capa), es el área de su base, es decir dv = .

Por tanto, dр = . Y

3) Integrando la igualdad resultante en el rango de x = 0 a x = H, encontramos

8. Cálculo de integrales utilizando el paquete MathCAD.

Al resolver algunos problemas aplicados, es necesario utilizar la operación de integración simbólica. En este caso, el programa MathCad puede resultar útil tanto en la etapa inicial (es bueno conocer la respuesta de antemano o saber que existe) como en la etapa final (es bueno comprobar el resultado utilizando una respuesta de otra fuente o la solución de otra persona).

Al resolver una gran cantidad de problemas, puede notar algunas características de la resolución de problemas utilizando el programa MathCad. Intentemos comprender con varios ejemplos cómo funciona este programa, analizar las soluciones obtenidas con su ayuda y comparar estas soluciones con las obtenidas por otros métodos.

Los principales problemas al utilizar el programa MathCad son los siguientes:

a) el programa da la respuesta no en forma de funciones elementales familiares, sino en forma de funciones especiales que no todos conocen;

b) en algunos casos “se niega” a dar una respuesta, aunque existe una solución al problema;

c) a veces es imposible utilizar el resultado obtenido debido a su engorroso;

d) no resuelve el problema por completo y no analiza la solución.

Para resolver estos problemas, es necesario explotar las fortalezas y debilidades del programa.

Con su ayuda es fácil y sencillo calcular integrales de funciones racionales fraccionarias. Por lo tanto, se recomienda utilizar el método de reemplazo de variables, es decir Prepare previamente la integral para la solución. Para estos fines, se pueden utilizar las sustituciones analizadas anteriormente. También debe tenerse en cuenta que los resultados obtenidos deben examinarse para determinar la coincidencia de los dominios de definición de la función original y el resultado obtenido. Además, algunas de las soluciones obtenidas requieren investigación adicional.

El programa MathCad libera al estudiante o investigador del trabajo rutinario, pero no puede liberarlo de análisis adicionales tanto al plantear un problema como al obtener resultados.

En este artículo se consideraron las principales disposiciones relacionadas con el estudio de las aplicaciones de una integral definida en un curso de matemáticas.

– se realizó un análisis de la base teórica para la resolución de integrales;

– el material fue sistematizado y generalizado.

En el proceso de realización del trabajo del curso se consideraron ejemplos de problemas prácticos en el campo de la física, la geometría y la mecánica.

Conclusión

Los ejemplos de problemas prácticos comentados anteriormente nos dan una idea clara de la importancia de la integral definida para su solubilidad.

Es difícil nombrar un campo científico en el que no se utilicen los métodos del cálculo integral, en general, y las propiedades de la integral definida, en particular. Entonces, en el proceso de completar el trabajo del curso, examinamos ejemplos de problemas prácticos en el campo de la física, la geometría, la mecánica, la biología y la economía. Por supuesto, esta está lejos de ser una lista exhaustiva de ciencias que utilizan el método integral para buscar un valor establecido al resolver un problema específico y establecer hechos teóricos.

La integral definida también se utiliza para estudiar las matemáticas. Por ejemplo, al resolver ecuaciones diferenciales, que a su vez aportan una contribución insustituible a la resolución de problemas prácticos. Podemos decir que una integral definida es una base cierta para el estudio de las matemáticas. De ahí la importancia de saber solucionarlos.

De todo lo anterior queda claro por qué el conocimiento de la integral definida se produce en el marco de la escuela secundaria, donde los estudiantes estudian no solo el concepto de integral y sus propiedades, sino también algunas de sus aplicaciones.

Literatura

1. Volkov E.A. Métodos numéricos. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Cálculo diferencial e integral. M., Integral-Prensa, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matemáticas avanzadas. M., Escuela Superior, 1990.

¡Saludos queridos estudiantes de la Universidad de Argemona!

Hoy seguiremos aprendiendo cómo materializar objetos. La última vez rotamos figuras planas y obtuvimos cuerpos volumétricos. Algunos de ellos son muy tentadores y útiles. Creo que mucho de lo que inventa un mago se puede utilizar en el futuro.

Hoy rotaremos curvas. Está claro que de esta forma podemos conseguir algún objeto con bordes muy finos (un cono o botella para pociones, un florero, un vaso para bebidas, etc.), porque una curva giratoria puede crear exactamente este tipo de objetos. En otras palabras, al girar la curva podemos obtener algún tipo de superficie, cerrada por todos lados o no. Por qué ahora mismo recordé la taza que goteaba de la que bebía Sir Shurf Lonli-Lokli todo el tiempo.

Entonces crearemos un cuenco con agujeros y un cuenco sin agujeros, y calcularemos el área de la superficie creada. Creo que (la superficie en general) será necesaria para algo, bueno, al menos para aplicar pintura mágica especial. Por otro lado, es posible que sea necesario calcular las áreas de los artefactos mágicos para calcular las fuerzas mágicas que se les aplican o algo más. Aprenderemos a encontrarlo y encontraremos dónde aplicarlo.

Entonces, un trozo de parábola puede darnos la forma de un cuenco. Tomemos el y=x 2 más simple en el intervalo. Se puede ver que cuando lo giras alrededor del eje OY, obtienes solo un cuenco. Sin fondo.

El hechizo para calcular la superficie de rotación es el siguiente:

Aquí |y| - esta es la distancia desde el eje de rotación hasta cualquier punto de la curva que gira. Como sabes, la distancia es una perpendicular.
Un poco más difícil con el segundo elemento del hechizo: ds es el diferencial de arco. Estas palabras no nos aportan nada, así que no nos molestemos, pero pasemos al lenguaje de las fórmulas, donde este diferencial se presenta claramente para todos los casos que conocemos:
- Sistema de coordenadas Cartesianas;
- registrar la curva en forma paramétrica;
- sistema de coordenadas polares.

Para nuestro caso, la distancia desde el eje de rotación a cualquier punto de la curva es x. Calculamos el área de superficie del cuenco con agujeros resultante:

Para hacer un cuenco con fondo, necesitas tomar otra pieza, pero con una curva diferente: en el intervalo esta es la recta y=1.

Está claro que cuando gira alrededor del eje OY, el fondo del recipiente tendrá la forma de un círculo de radio unitario. Y sabemos cómo se calcula el área de un círculo (usando la fórmula pi*r^2. Para nuestro caso, el área del círculo será igual a pi), pero calculémoslo usando una nueva fórmula: verificar.
La distancia desde el eje de rotación hasta cualquier punto de este tramo de la curva también es igual a x.

Bueno, nuestros cálculos son correctos, lo cual es una buena noticia.

Y ahora tarea.

1. Encuentre el área de superficie obtenida al rotar la línea discontinua ABC, donde A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), alrededor del eje OX.
Consejo. Escriba todos los segmentos en forma paramétrica.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
antes de Cristo: x=t, y=2, 1≤t≤6
Por cierto, ¿cómo es el objeto resultante?

2. Bueno, ahora inventa algo tú mismo. Creo que tres elementos serán suficientes.

Por tanto, pasaré inmediatamente a los conceptos básicos y ejemplos prácticos.

Veamos la imagen simple.

Y recuerda: ¿qué se puede calcular usando? integral definida ?

En primer lugar, por supuesto, área de un trapecio curvo . Familiar de la época escolar.

Si esta figura gira alrededor del eje de coordenadas, entonces estamos hablando de encontrar volumen del cuerpo de revolución . Sencillo también.

¿Qué otra cosa? Fue revisado no hace mucho. problema de longitud de arco .

Y hoy aprenderemos a calcular otra característica: otra área. imagina esa linea gira alrededor del eje. Como resultado de esta acción se obtiene una figura geométrica, llamada superficie de rotación. En este caso, parece una olla sin fondo. Y sin tapa. Como diría el burro Eeyore, una visión desgarradora =)

Para eliminar cualquier interpretación ambigua, haré una aclaración aburrida pero importante:

desde un punto de vista geométrico, nuestra “olla” tiene infinitamente delgada pared y dos superficies con áreas iguales: externas e internas. Entonces, todos los cálculos posteriores implican el área solo superficie externa.

En un sistema de coordenadas rectangular, el área de la superficie de revolución se calcula mediante la fórmula:

o, más compactamente: .

Se imponen los mismos requisitos a la función y su derivada que al encontrar longitud del arco de la curva , pero, además, la curva debe ubicarse más alto ejes ¡Esto es significativo! Es fácil entender que si la línea está ubicada bajo eje, entonces el integrando será negativo : , y por lo tanto tendrás que agregar un signo menos a la fórmula para preservar el significado geométrico del problema.

Veamos una cifra inmerecidamente pasada por alto:

Área de superficie de un toroide

En una palabra, el toro es un donut. Un ejemplo de libro de texto, discutido en casi todos los libros de texto sobre matan, está dedicado a encontrar volumen toro, y por lo tanto, en aras de la variedad, analizaré el problema más raro de su superficie. Primero con valores numéricos específicos:

Ejemplo 1

Calcular el área de superficie de un toro que se obtiene al girar un círculo alrededor del eje.

Solución: como sabes, la ecuación conjuntos círculo radio unitario con centro en el punto . En este caso, es fácil obtener dos funciones:

– establece el semicírculo superior;
– establece el semicírculo inferior:

El punto es muy claro: círculo gira alrededor del eje x y forma superficie rosquilla. Lo único que hay que hacer aquí, para evitar groseras reservas, es tener cuidado con la terminología: si se rota círculo, delimitado por un círculo , entonces será geométrico cuerpo, es decir, el propio panecillo. Y ahora estamos hablando de su área. superficies, que obviamente debe calcularse como la suma de áreas:

1) Encuentra el área de superficie que se obtiene al girar el arco “azul” alrededor del eje de abscisas. Usamos la fórmula . Como ya he aconsejado en repetidas ocasiones, es más conveniente realizar las acciones por etapas:

Tomemos la función y encontrarla derivado :

Y finalmente cargamos el resultado en la fórmula:

Tenga en cuenta que en este caso resultó ser más racional. duplicar la integral de una función par durante la solución, en lugar de razonar preliminarmente sobre la simetría de la figura con respecto al eje de ordenadas.

2) Encuentra el área de superficie que se obtiene al girar el arco “rojo” alrededor del eje de abscisas. De hecho, todas las acciones se diferenciarán en un solo signo. Escribiré la solución en un estilo diferente, que, por supuesto, también tiene derecho a la vida:

3) Así, la superficie del toroide es:

Respuesta:

El problema podría resolverse en forma general: calcule el área de superficie de un toro obtenida al girar un círculo alrededor del eje de abscisas y obtenga la respuesta. . Sin embargo, para mayor claridad y simplicidad, realicé la solución en números específicos.

Si necesita calcular el volumen del donut, consulte el libro de texto como referencia rápida:

Según la observación teórica, consideramos el semicírculo superior. Se "dibuja" cuando el valor del parámetro cambia dentro de los límites (es fácil ver que en este intervalo), así:

Respuesta:

Si resuelves el problema en forma general, obtendrás exactamente la fórmula escolar para el área de una esfera, donde está su radio.

Era una tarea tan dolorosamente sencilla que incluso me sentí avergonzado... Te sugiero que arregles este error =)

Ejemplo 4

Calcule el área de superficie obtenida al girar el primer arco de la cicloide alrededor del eje.

La tarea es creativa. Intente derivar o adivinar intuitivamente la fórmula para calcular el área de superficie obtenida al rotar una curva alrededor del eje de ordenadas. Y, por supuesto, cabe señalar nuevamente la ventaja de las ecuaciones paramétricas: no es necesario modificarlas de ninguna manera; no hay necesidad de molestarse en encontrar otros límites a la integración.

El gráfico de la cicloide se puede ver en la página. Área y volumen, si la línea se especifica paramétricamente . La superficie de rotación se parecerá... Ni siquiera sé con qué compararla... algo sobrenatural: de forma redonda con una depresión puntiaguda en el medio. Para el caso de la rotación de una cicloide alrededor de un eje, inmediatamente me vino a la mente una asociación: una pelota de rugby alargada.

La solución y la respuesta están al final de la lección.

Concluimos nuestra fascinante reseña con el caso. coordenadas polares . Sí, solo una reseña, si miras los libros de texto sobre análisis matemático (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, otros autores), puedes obtener una buena docena (o incluso muchos más) de ejemplos estándar, entre los que bien puedes encontrar el problema que necesitas. .

Cómo calcular el área de superficie de revolución,
si la recta se da en un sistema de coordenadas polares?

Si la curva está dada en coordenadas polares ecuación, y la función tiene una derivada continua en un intervalo dado, entonces el área de superficie obtenida al rotar esta curva alrededor del eje polar se calcula mediante la fórmula , donde están los valores angulares correspondientes a los extremos de la curva.

De acuerdo con el significado geométrico del problema, la función integrando , y esto se logra solo bajo la condición (y obviamente no son negativos). Por lo tanto, es necesario considerar los valores de los ángulos del rango, en otras palabras, la curva debe ubicarse más alto Eje polar y su continuación. Como podéis ver, la misma historia que en los dos párrafos anteriores.

Ejemplo 5

Calcule el área de superficie formada al girar el cardioide alrededor del eje polar.

Solución: la gráfica de esta curva se puede ver en el Ejemplo 6 de la lección sobre sistema de coordenadas polares . El cardioide es simétrico con respecto al eje polar, por lo que consideramos su mitad superior en el intervalo (lo cual, de hecho, se debe a la observación anterior).

La superficie de rotación se parecerá a una diana.

La técnica de solución es estándar. Encontremos la derivada con respecto a "phi":

Compongamos y simplifiquemos la raíz:

espero con los regulares

Sea un cuerpo dado en el espacio. Sean sus secciones construidas por planos perpendiculares al eje que pasa por los puntos.
sobre su. El área de la figura formada en la sección depende del punto. X, definiendo el plano de sección. Que esta dependencia sea conocida y dada continua en función. Entonces el volumen de la parte del cuerpo ubicada entre los planos. x=un Y x=b calculado por la fórmula

Ejemplo. Encontremos el volumen de un cuerpo acotado encerrado entre la superficie de un cilindro de radio :, un plano horizontal y un plano inclinado z = 2y y situado sobre el plano horizontal.

Es obvio que el cuerpo considerado se proyecta sobre el segmento del eje.
y atx
la sección transversal del cuerpo es un triángulo rectángulo con catetos y y z = 2y, donde y se puede expresar a través de x a partir de la ecuación del cilindro:

Por tanto, el área de la sección transversal S(x) es:

Usando la fórmula encontramos el volumen del cuerpo:

Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución.

Vamos al segmento[ a, b] se especifica una función continua de signo constante y= F(X). Volúmenes de un cuerpo de revolución formado por rotación alrededor de un eje. Oh(o ejes UNED) un trapecio curvo delimitado por una curva y= F(X) (F(X) 0) y recto y=0, x=a, x=b, se calculan en consecuencia utilizando las fórmulas:

, ( 19)

(20)

Si un cuerpo se forma girando alrededor de un eje UNED trapezoide curvilíneo delimitado por una curva
y recto X=0, y= C, y= d, entonces el volumen del cuerpo de revolución es igual a

. (21)

Ejemplo. Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar una figura delimitada por líneas alrededor de un eje. Oh.

Según la fórmula (19), el volumen requerido

Ejemplo. Consideremos la recta y=cosx del segmento en el plano xOy .

mi Esa línea gira en el espacio alrededor de un eje, y la superficie de rotación resultante limita algún cuerpo de revolución (ver figura). Encontremos el volumen de este cuerpo de rotación.

Según la fórmula obtenemos:

Área de superficie de rotación

,
, gira alrededor del eje Ox, luego el área de la superficie de rotación se calcula mediante la fórmula
, Dónde a Y b- abscisa del inicio y final del arco.

Si el arco de una curva definido por una función no negativa
,
, gira alrededor del eje Oy, luego el área de la superficie de rotación se calcula mediante la fórmula

donde c y d son las abscisas del inicio y final del arco.

Si se da el arco de la curva ecuaciones paramétricas
,
, y
, Eso

Si el arco se especifica en coordenadas polares
, Eso

Ejemplo. Calculemos el área de superficie formada por la rotación en el espacio alrededor del eje de parte de la recta y= ubicado encima de la barra de corte.

Porque
, entonces la fórmula nos da la integral

Hagamos el cambio t=x+(1/2) en la última integral y obtengamos:

En la primera de las integrales del lado derecho hacemos la sustitución z=t 2 -:

Para calcular la segunda de las integrales del lado derecho, la denotamos y integramos por partes, obteniendo la ecuación para:

Moviéndonos hacia el lado izquierdo y dividiendo por 2, obtenemos

donde, finalmente,

Aplicaciones de una integral definida a la solución de algunos problemas en mecánica y física.

Trabajo de fuerza variable. Consideremos el movimiento de un punto material a lo largo del eje. BUEY bajo la influencia de una fuerza variable F, dependiendo de la posición del punto X en el eje, es decir fuerza, que es una función X. Entonces trabaja A, necesario para mover el punto material desde la posición X = a en posición X = b calculado por la fórmula:

Calcular fuerzas de presión del fluido utilizar la ley de Pascal, según la cual la presión de un fluido sobre una plataforma es igual a su área S, multiplicado por la profundidad de inmersión h, en densidad ρ y aceleración de la gravedad gramo, es decir.

1. Momentos y centros de masa de curvas planas.. Si el arco de la curva viene dado por la ecuación y=f(x), a≤x≤b, y tiene una densidad
, Eso momentos estáticos de este arco M x y M y con respecto a los ejes de coordenadas Ox y Oy son iguales

;

Momentos de inercia I X e I y con respecto a los mismos ejes Ox y Oy se calculan mediante las fórmulas

A centro de coordenadas de masa Y - según fórmulas

donde l es la masa del arco, es decir

Ejemplo 1. Encuentre los momentos estáticos y los momentos de inercia respecto de los ejes Ox y Oy del arco de la catenaria y=chx para 0≤x≤1.

Si no se especifica la densidad, se supone que la curva es uniforme y
. Tenemos: Por lo tanto,

Ejemplo 2. Encuentre las coordenadas del centro de masa del arco circular x=acost, y=asint, ubicado en el primer cuarto. Tenemos:

De aquí obtenemos:

En las aplicaciones, lo siguiente suele ser útil Teorema florín. El área de la superficie formada por la rotación de un arco de una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el plano del arco y que no lo corta es igual al producto de la longitud del arco por la longitud del círculo descrito. por su centro de masa.

Ejemplo 3. Encuentra las coordenadas del centro de masa del semicírculo.

Debido a la simetría
. Cuando se gira un semicírculo alrededor del eje Ox, se obtiene una esfera cuya superficie es igual y la longitud del semicírculo es igual a na. Por el teorema de Gulden tenemos 4

De aquí
, es decir. el centro de masa C tiene coordenadas C
.

2. Tareas físicas. En los siguientes ejemplos se ilustran algunas aplicaciones de la integral definida en la resolución de problemas físicos.

Ejemplo 4. La velocidad del movimiento rectilíneo de un cuerpo se expresa mediante la fórmula (m/s). Encuentra el camino recorrido por el cuerpo en 5 segundos desde el inicio del movimiento.

Porque el camino recorrido por el cuerpo con velocidad v(t) durante un período de tiempo, se expresa por la integral

entonces nosotros tenemos:

PAG
ejemplo. Encontremos el área del área acotada que se encuentra entre el eje y la recta y=x 3 -x. Porque el

la recta corta el eje en tres puntos: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

El área limitada entre la línea y el eje se proyecta sobre el segmento.
,y en el segmento
,liney=x 3 -x va por encima del eje (es decir, liney=0, y en - abajo. Por tanto, el área de la región se puede calcular de la siguiente manera:

PAG
ejemplo. Encontremos el área de la región encerrada entre la primera y segunda vuelta de la espiral de Arquímedes r=a (a>0) y un segmento del eje horizontal
.

La primera vuelta de la espiral corresponde a un cambio de ángulo que va de 0 a, y la segunda, de. Para dar un cambio de argumento a un espacio, escribimos la ecuación de la segunda vuelta de la espiral en la forma
,

. Luego el área se puede encontrar usando la fórmula, poniendo
Y
: