Desigualdades exponenciales Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades. Resolver desigualdades exponenciales: métodos básicos

Donde el papel de $b$ puede ser un número ordinario, o tal vez algo más difícil. ¿Ejemplos? Sí, por favor:

\[\begin(alinear) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ cuádruple ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fin(alinear)\]

Creo que el significado es claro: hay una función exponencial $((a)^(x))$, se compara con algo y luego se le pide que encuentre $x$. En casos especialmente clínicos, en lugar de la variable $x$, pueden poner alguna función $f\left(x \right)$ y así complicar un poco la desigualdad. :)

Por supuesto, en algunos casos, la desigualdad puede parecer más severa. Por ejemplo:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

O incluso esto:

En general, la complejidad de tales desigualdades puede ser muy diferente, pero al final se reducen a una construcción simple $((a)^(x)) \gt b$. Y de alguna manera nos ocuparemos de tal diseño (especialmente en casos clínicos, cuando no se nos ocurra nada, los logaritmos nos ayudarán). Por lo tanto, ahora aprenderemos cómo resolver construcciones tan simples.

Solución de las desigualdades exponenciales más simples

Veamos algo muy simple. Por ejemplo, aquí está:

\[((2)^(x)) \gt4\]

Obviamente, el número de la derecha se puede reescribir como una potencia de dos: $4=((2)^(2))$. Por lo tanto, la desigualdad original se reescribe en una forma muy conveniente:

\[((2)^(x)) \gt((2)^(2))\]

Y ahora las manos están ansiosas por "tachar" los doses, parados en las bases de los grados, para obtener la respuesta $x \gt 2$. Pero antes de tachar nada, recordemos las potencias de dos:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Como puede ver, cuanto mayor sea el número en el exponente, mayor será el número de salida. "¡Gracias, Cap!" uno de los estudiantes exclamará. ¿Ocurre de manera diferente? Desafortunadamente, sucede. Por ejemplo:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ derecha))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Aquí también todo es lógico: cuanto mayor es el grado, más veces se multiplica el número 0,5 por sí mismo (es decir, se divide por la mitad). Por lo tanto, la secuencia de números resultante es decreciente, y la diferencia entre la primera y la segunda secuencia está solo en la base:

• Si la base de grado $a \gt 1$, entonces a medida que crece el exponente $n$, el número $((a)^(n))$ también crecerá;
• Por el contrario, si $0 \lt a \lt 1$, entonces a medida que el exponente $n$ crece, el número $((a)^(n))$ disminuirá.

Resumiendo estos hechos, obtenemos la declaración más importante en la que se basa toda la decisión. desigualdades exponenciales:

Si $a \gt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \lt n$.

En otras palabras, si la base es mayor que uno, simplemente puede eliminarla; el signo de desigualdad no cambiará. Y si la base es menor que uno, entonces también se puede quitar, pero también habrá que cambiar el signo de la desigualdad.

Tenga en cuenta que no hemos considerado las opciones $a=1$ y $a\le 0$. Porque en estos casos hay incertidumbre. Supongamos cómo resolver una desigualdad de la forma $((1)^(x)) \gt 3$? Un uno elevado a cualquier potencia dará de nuevo un uno; nunca obtendremos un tres o más. Aquellos. no hay soluciones

Con bases negativas, es aún más interesante. Considere, por ejemplo, la siguiente desigualdad:

\[((\izquierda(-2 \derecha))^(x)) \gt 4\]

A primera vista, todo es simple:

¿Correctamente? ¡Pero no! Basta con sustituir un par de números pares y un par de números impares en lugar de $x$ para asegurarse de que la solución es incorrecta. Echar un vistazo:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Como puede ver, los signos se alternan. Pero todavía hay grados fraccionarios y otros de estaño. ¿Cómo, por ejemplo, ordenaría contar $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dos elevado a la raíz de siete)? ¡De ninguna manera!

Por lo tanto, por definición, asumimos que en todas las desigualdades exponenciales (y ecuaciones, por cierto, también) $1\ne a \gt 0$. Y luego todo se resuelve de manera muy simple:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fin(alinear) \derecha.\]

En general, recuerde una vez más la regla principal: si la base en la ecuación exponencial es mayor que uno, simplemente puede eliminarla; y si la base es menor que uno, también se puede quitar, pero esto cambiará el signo de la desigualdad.

Ejemplos de solución

Entonces, considere algunas desigualdades exponenciales simples:

\[\begin(alinear) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fin(alinear)\]

La tarea principal es la misma en todos los casos: reducir las desigualdades a la forma más simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Esto es lo que haremos ahora con cada desigualdad, y al mismo tiempo repetiremos las propiedades de las potencias y la función exponencial. ¡Entonces vamos!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

¿Qué se puede hacer aquí? Bueno, a la izquierda ya tenemos una expresión demostrativa: no es necesario cambiar nada. Pero a la derecha hay algún tipo de basura: una fracción, ¡e incluso una raíz en el denominador!

Sin embargo, recuerda las reglas para trabajar con fracciones y potencias:

\[\begin(alinear) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fin(alinear)\]

¿Qué significa? Primero, podemos deshacernos fácilmente de la fracción convirtiéndola en un exponente negativo. Y en segundo lugar, dado que el denominador es la raíz, sería bueno convertirlo en un grado, esta vez con un exponente fraccionario.

Apliquemos estas acciones secuencialmente al lado derecho de la desigualdad y veamos qué sucede:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

No olvides que al elevar un grado a una potencia, se suman los exponentes de estos grados. Y en general, cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades exponenciales, es absolutamente necesario conocer al menos las reglas más simples para trabajar con potencias:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fin(alinear)\]

En realidad, acabamos de aplicar la última regla. Por lo tanto, nuestra desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ fracción(1)(3)))\]

Ahora nos deshacemos del dos en la base. Como 2 > 1, el signo de desigualdad sigue siendo el mismo:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

¡Esa es toda la solución! La dificultad principal no está en absoluto en la función exponencial, sino en la transformación competente de la expresión original: debe llevarla con cuidado y lo más rápido posible a su forma más simple.

Considere la segunda desigualdad:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Bien bien. Aquí estamos esperando fracciones decimales. Como he dicho muchas veces, en cualquier expresión con potencias, debes deshacerte de las fracciones decimales; a menudo, esta es la única forma de encontrar una solución rápida y fácil. Esto es de lo que nos desharemos:

\[\begin(alinear) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ derecha))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fin(alinear)\]

Ante nosotros está nuevamente la desigualdad más simple, e incluso con la base 1/10, es decir menos que uno. Bueno, quitamos las bases, cambiando simultáneamente el signo de "menor" a "mayor", y obtenemos:

\[\begin(alinear) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fin(alinear)\]

Obtuvimos la respuesta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Tenga en cuenta que la respuesta es exactamente el conjunto, y en ningún caso lo es la construcción de la forma $x \lt -1$. Porque formalmente tal construcción no es un conjunto en absoluto, sino una desigualdad con respecto a la variable $x$. Sí, es muy simple, ¡pero no es la respuesta!

Nota IMPORTANTE. Esta desigualdad podría resolverse de otra manera: reduciendo ambas partes a una potencia con una base mayor que uno. Echar un vistazo:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Después de tal transformación, nuevamente obtenemos una desigualdad exponencial, pero con una base de 10> 1. Y esto significa que simplemente puede tachar la decena: el signo de desigualdad no cambiará. Obtenemos:

\[\begin(alinear) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fin(alinear)\]

Como puedes ver, la respuesta es exactamente la misma. Al mismo tiempo, nos salvamos de la necesidad de cambiar el letrero y, en general, recordamos algunas reglas allí. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Sin embargo, no dejes que eso te asuste. Independientemente de lo que esté en los indicadores, la tecnología para resolver la desigualdad en sí sigue siendo la misma. Por lo tanto, notamos primero que 16 = 2 4 . Reescribamos la desigualdad original teniendo en cuenta este hecho:

\[\begin(alinear) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(alinear)\]

¡Hurra! ¡Obtuvimos la desigualdad cuadrada habitual! El signo no ha cambiado en ninguna parte, ya que la base es un dos, un número mayor que uno.

Función ceros en la recta numérica

Ordenamos los signos de la función $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, por lo que habrá “ventajas " en los lados. Estamos interesados ​​en la región donde la función es menor que cero, es decir $x\in \left(2;5 \right)$ es la respuesta al problema original.

Finalmente, considere otra desigualdad:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Nuevamente vemos una función exponencial con una fracción decimal en la base. Convirtamos esta fracción en una fracción común:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(alinear)\]

En este caso, aprovechamos el comentario hecho anteriormente: redujimos la base al número 5\u003e 1 para simplificar nuestra decisión adicional. Hagamos lo mismo con el lado derecho:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Reescribamos la desigualdad original, teniendo en cuenta ambas transformaciones:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Las bases en ambos lados son iguales y mayores que uno. No hay otros términos a la derecha ni a la izquierda, así que simplemente "tachamos" los cincos y obtenemos una expresión muy simple:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(alinear)\]

Aquí es donde hay que tener cuidado. A muchos estudiantes les gusta simplemente sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad y escribir algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nunca debes hacer esto, ya que la raíz del cuadrado exacto es el módulo, y de ninguna manera la variable original:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\izquierda| x\derecha|\]

Sin embargo, trabajar con módulos no es la experiencia más agradable, ¿verdad? Así que no trabajaremos. En cambio, simplemente movemos todos los términos hacia la izquierda y resolvemos la desigualdad habitual usando el método de intervalo:

$\begin(alinear) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(alinear)$

Nuevamente, marcamos los puntos obtenidos en la recta numérica y observamos los signos:

Como estábamos resolviendo una desigualdad no estricta, todos los puntos del gráfico están sombreados. Por tanto, la respuesta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ no es un intervalo, sino un segmento.

En general, me gustaría señalar que no hay nada complicado en las desigualdades exponenciales. El significado de todas las transformaciones que realizamos hoy se reduce a un algoritmo simple:

• Encuentre la base a la que reduciremos todos los grados;
• Realiza cuidadosamente las transformaciones para obtener una desigualdad de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Por supuesto, en lugar de las variables $x$ y $n$, puede haber funciones mucho más complejas, pero esto no cambia el significado;
• Tacha las bases de los grados. En este caso, el signo de la desigualdad puede cambiar si la base $a \lt 1$.

De hecho, este es un algoritmo universal para resolver todas esas desigualdades. Y todo lo demás que se le dirá sobre este tema son solo trucos y trucos específicos para simplificar y acelerar la transformación. Aquí tienes uno de esos trucos de los que hablaremos ahora. :)

método de racionalización

Considere otro lote de desigualdades:

\[\begin(alinear) & ((\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( ))^(x+7)) \gt ((\texto( )\!\!\pi \!\!\texto( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Bueno, ¿qué tienen de especial? También son ligeros. Aunque, ¡para! ¿Pi está elevado a una potencia? ¿Qué clase de tontería?

¿Y cómo elevar el número $2\sqrt(3)-3$ a una potencia? ¿O $3-2\sqrt(2)$? Los compiladores de los problemas obviamente bebieron demasiado "Espino" antes de sentarse a trabajar. :)

De hecho, no hay nada malo con estas tareas. Déjame recordarte: una función exponencial es una expresión de la forma $((a)^(x))$, donde la base $a$ es cualquier numero positivo, a excepción de la unidad. El número π es positivo, ya lo sabemos. Los números $2\sqrt(3)-3$ y $3-2\sqrt(2)$ también son positivos; esto es fácil de ver si los comparamos con cero.

¿Resulta que todas estas desigualdades "aterradoras" no son diferentes de las simples discutidas anteriormente? ¿Y lo hacen de la misma manera? Sí, absolutamente correcto. Sin embargo, usando su ejemplo, me gustaría considerar un truco que ahorra mucho tiempo en trabajos y exámenes independientes. Hablaremos sobre el método de racionalización. Así que atención:

Cualquier desigualdad exponencial de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ derecha) \gt 0 $.

Ese es todo el método. :) ¿Pensaste que habría algún tipo de próximo juego? ¡Nada como esto! Pero este simple hecho, escrito literalmente en una sola línea, simplificará enormemente nuestro trabajo. Echar un vistazo:

\[\begin(matriz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\texto( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matriz)\]

¡Aquí no hay más funciones exponenciales! Y no tienes que recordar si el signo cambia o no. Pero surge un nuevo problema: ¿qué hacer con el puto multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? No sabemos cuál es el valor exacto de pi. Sin embargo, el capitán parece insinuar lo obvio:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1\gt3-1=2\]

En general, el valor exacto de π no nos molesta mucho - solo es importante que entendamos que en cualquier caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. es una constante positiva, y podemos dividir ambos lados de la desigualdad por ella:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Como puedes ver, en cierto punto, tuvimos que dividir por menos uno, y el signo de desigualdad cambió. Al final, expandí el trinomio cuadrado según el teorema de Vieta - es obvio que las raíces son iguales a $((x)_(1))=5$ y $((x)_(2))=- 1$. Entonces todo se resuelve por el método clásico de los intervalos:

Todos los puntos están perforados porque la desigualdad original es estricta. Estamos interesados ​​en el área con valores negativos, por lo que la respuesta es $x\in \left(-1;5 \right)$. Esa es la solución. :)

Pasemos a la siguiente tarea:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Todo es simple aquí, porque hay una unidad a la derecha. Y recordamos que una unidad es cualquier número elevado a la potencia de cero. Incluso si este número es una expresión irracional, de pie en la base a la izquierda:

\[\begin(alinear) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \derecho))^(0)); \\\fin(alinear)\]

Así que vamos a racionalizar:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Solo queda ocuparse de los signos. El multiplicador $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ no contiene la variable $x$; es solo una constante y necesitamos averiguar su signo. Para hacer esto, tenga en cuenta lo siguiente:

\[\begin(matriz) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matriz)\]

¡Resulta que el segundo factor no es solo una constante, sino una constante negativa! Y al dividir por ella, el signo de la desigualdad original cambiará al contrario:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(alinear)\]

Ahora todo se vuelve bastante obvio. Raíces trinomio cuadrado a la derecha: $((x)_(1))=0$ y $((x)_(2))=2$. Los marcamos en la recta numérica y observamos los signos de la función $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Nos interesan los intervalos marcados con un signo más. Solo queda escribir la respuesta:

Pasemos al siguiente ejemplo:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ derecha))^(16-x))\]

Bueno, aquí todo es bastante obvio: las bases son potencias del mismo número. Por lo tanto, escribiré todo brevemente:

\[\begin(matriz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matriz)\]

\[\begin(alinear) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ izquierda(16-x\derecha))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Como puedes ver, en el proceso de transformaciones, tuvimos que multiplicar por un número negativo, por lo que cambió el signo de la desigualdad. Al final, volví a aplicar el teorema de Vieta para factorizar un trinomio cuadrado. Como resultado, la respuesta será la siguiente: $x\in \left(-8;4 \right)$ - aquellos que lo deseen pueden verificar esto dibujando una recta numérica, marcando puntos y contando signos. Mientras tanto, pasaremos a la última desigualdad de nuestro "conjunto":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Como puedes ver, la base es nuevamente un número irracional y la unidad está nuevamente a la derecha. Por lo tanto, reescribimos nuestra desigualdad exponencial de la siguiente manera:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ derecha))^(0))\]

Racionalicemos:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Sin embargo, es bastante obvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, ya que $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Por tanto, el segundo factor vuelve a ser una constante negativa, por la que se pueden dividir ambas partes de la desigualdad:

\[\begin(matriz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fin(matriz)\]

\[\begin(alinear) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(alinear)\]

Cambiar a otra base

Un problema aparte en la resolución de desigualdades exponenciales es la búsqueda de la base "correcta". Desafortunadamente, a primera vista de la tarea, no siempre es obvio qué tomar como base y qué hacer como el grado de esta base.

Pero no te preocupes: aquí no hay tecnologías mágicas ni "secretas". En matemáticas, cualquier habilidad que no pueda ser algorítmica puede desarrollarse fácilmente a través de la práctica. Pero para ello tendrás que resolver problemas de diferentes niveles de complejidad. Por ejemplo, estos son:

\[\begin(alinear) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(alinear)\]

¿Difícil? ¿Aterrador? ¡Sí, es más fácil que un pollo en el asfalto! Intentemos. Primera desigualdad:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Bueno, creo que todo está claro aquí:

Reescribimos la desigualdad original, reduciendo todo a la base "dos":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Sí, sí, entendiste bien: acabo de aplicar el método de racionalización descrito anteriormente. Ahora tenemos que trabajar con cuidado: tenemos una desigualdad fraccionaria-racional (esta es una que tiene una variable en el denominador), así que antes de igualar algo a cero, necesitas reducir todo a un denominador común y deshacerte del factor constante .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(alinear)\]

Ahora usamos el método de intervalo estándar. Numerador ceros: $x=\pm 4$. El denominador tiende a cero solo cuando $x=0$. En total, hay tres puntos que deben marcarse en la recta numérica (todos los puntos están tachados, porque el signo de desigualdad es estricto). Obtenemos:

Como puede suponer, el sombreado marca los intervalos en los que la expresión de la izquierda toma valores negativos. Por lo tanto, dos intervalos entrarán en la respuesta final a la vez:

Los extremos de los intervalos no están incluidos en la respuesta porque la desigualdad original era estricta. No se requiere más validación de esta respuesta. En este sentido, las desigualdades exponenciales son mucho más simples que las logarítmicas: sin DPV, sin restricciones, etc.

Pasemos a la siguiente tarea:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Aquí tampoco hay problemas, ya que sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, por lo que toda la desigualdad se puede reescribir así:

\[\begin(alinear) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Flecha derecha ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\izquierda(-2\derecha)\derecha. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(alinear)\]

Tenga en cuenta: en la tercera línea, decidí no perder el tiempo en tonterías e inmediatamente dividí todo por (−2). Minul entró en el primer grupo (ahora hay ventajas en todas partes) y el dos se redujo con un multiplicador constante. Esto es exactamente lo que debe hacer cuando realiza cálculos reales para el trabajo independiente y de control: no necesita pintar cada acción y transformación directamente.

A continuación, entra en juego el conocido método de los intervalos. Ceros del numerador: pero no los hay. Porque el discriminante será negativo. A su vez, el denominador se establece en cero solo cuando $x=0$, como la última vez. Bueno, está claro que la fracción tomará valores positivos a la derecha de $x=0$, y negativos a la izquierda. Como solo nos interesan los valores negativos, la respuesta final es $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

¿Y qué se debe hacer con fracciones decimales en desigualdades exponenciales? Así es: deshazte de ellos convirtiéndolos en ordinarios. Aquí estamos traduciendo:

\[\begin(alinear) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\izquierda(\frac(4)(25) \derecha))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \derecha))^(x)). \\\fin(alinear)\]

Bueno, ¿qué obtuvimos en las bases de las funciones exponenciales? Y tenemos dos números mutuamente recíprocos:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ derecha))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ izquierda(\frac(4)(25) \derecha))^(-x))\]

Por lo tanto, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(alinear) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \derecho))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fin(alinear)\]

Por supuesto, al multiplicar potencias con la misma base, sus indicadores se suman, lo que sucedió en la segunda línea. Además, hemos representado la unidad de la derecha, también como potencia en base 4/25. Solo queda racionalizar:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Tenga en cuenta que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, es decir el segundo factor es una constante negativa, y al dividirlo, el signo de la desigualdad cambiará:

\[\begin(alinear) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Finalmente, la última desigualdad del "conjunto" actual:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

En principio, la idea de una solución aquí también es clara: todas las funciones exponenciales que componen la desigualdad deben reducirse a la base "3". Pero para ello hay que trastear un poco con raíces y grados:

\[\begin(alinear) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fin(alinear)\]

Dados estos hechos, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(alinear) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fin(alinear)\]

Preste atención a la segunda y tercera líneas de cálculo: antes de hacer algo con la desigualdad, asegúrese de llevarla a la forma de la que hablamos desde el principio de la lección: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Siempre que tenga multiplicadores a la izquierda o a la derecha, constantes adicionales, etc., no se puede realizar ninguna racionalización y "tachadura" de los motivos! Innumerables tareas se han hecho mal debido a un malentendido de este simple hecho. Yo mismo observo constantemente este problema con mis alumnos cuando recién comenzamos a analizar desigualdades exponenciales y logarítmicas.

Pero volvamos a nuestra tarea. Intentemos esta vez prescindir de la racionalización. Recordamos: la base del grado es mayor que uno, por lo que los triples simplemente se pueden tachar; el signo de desigualdad no cambiará. Obtenemos:

\[\begin(alinear) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(alinear)\]

Eso es todo. Respuesta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Resaltar una expresión estable y reemplazar una variable

En conclusión, propongo resolver cuatro desigualdades exponenciales más, que ya son bastante difíciles para estudiantes no preparados. Para hacerles frente, debe recordar las reglas para trabajar con títulos. En particular, poniendo factores comunes fuera de paréntesis.

Pero lo más importante es aprender a entender: qué es exactamente lo que se puede poner entre paréntesis. Tal expresión se llama estable: puede denotarse con una nueva variable y, por lo tanto, deshacerse de la función exponencial. Entonces, veamos las tareas:

\[\begin(alinear) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Comencemos con la primera línea. Escribamos esta desigualdad por separado:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Tenga en cuenta que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, por lo que el lado derecho puede ser reescrito:

Tenga en cuenta que no hay otras funciones exponenciales excepto $((5)^(x+1))$ en la desigualdad. Y, en general, la variable $x$ no aparece en ningún otro lugar, así que introduzcamos una nueva variable: $((5)^(x+1))=t$. Obtenemos la siguiente construcción:

\[\begin(alinear) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(alinear)\]

Volvemos a la variable original ($t=((5)^(x+1))$), y al mismo tiempo recordamos que 1=5 0 . Tenemos:

\[\begin(alinear) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fin(alinear)\]

¡Esa es toda la solución! Respuesta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pasemos a la segunda desigualdad:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Todo es lo mismo aquí. Tenga en cuenta que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Entonces el lado izquierdo se puede reescribir:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fin(alinear)\]

Así es aproximadamente como necesita tomar una decisión sobre el control real y el trabajo independiente.

Bueno, intentemos algo más difícil. Por ejemplo, aquí hay una desigualdad:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

¿Cuál es el problema aquí? En primer lugar, las bases de las funciones exponenciales de la izquierda son diferentes: 5 y 25. Sin embargo, 25 \u003d 5 2, por lo que el primer término se puede transformar:

\[\begin(alinear) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(alinear )\]

Como puede ver, al principio trajimos todo a la misma base, y luego notó que el primer término se reduce fácilmente al segundo: es suficiente para expandir el exponente. Ahora podemos introducir con seguridad una nueva variable: $((5)^(2x+2))=t$, y toda la desigualdad se reescribirá así:

\[\begin(alinear) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(alinear)\]

De nuevo, ¡no hay problema! Respuesta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pasando a la desigualdad final en la lección de hoy:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Lo primero a lo que debes prestar atención es, por supuesto, a la fracción decimal en la base del primer grado. Es necesario deshacerse de él y, al mismo tiempo, llevar todas las funciones exponenciales a la misma base: el número "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(alinear)\]

Genial, hemos dado el primer paso, todo ha llevado a la misma base. Ahora necesitamos resaltar la expresión estable. Tenga en cuenta que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si introducimos una nueva variable $((2)^(4x+6))=t$, entonces la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(alinear) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\fin(alinear)\]

Naturalmente, puede surgir la pregunta: ¿cómo descubrimos que 256 = 2 8 ? Desafortunadamente, aquí solo necesitas saber las potencias de dos (y al mismo tiempo las potencias de tres y cinco). Bueno, o divide 256 entre 2 (puedes dividir, ya que 256 es un número par) hasta obtener el resultado. Se verá algo como esto:

\[\begin(alinear) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(alinear )\]

Lo mismo ocurre con el tres (los números 9, 27, 81 y 243 son sus potencias), y con el siete (también sería bueno recordar los números 49 y 343). Bueno, los cinco también tienen títulos “hermosos” que debes conocer:

\[\begin(alinear) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fin(alinear)\]

Por supuesto, todos estos números, si se desea, pueden restaurarse en la mente, simplemente multiplicándolos sucesivamente entre sí. Sin embargo, cuando tienes que resolver varias desigualdades exponenciales, y cada una de ellas es más difícil que la anterior, lo último en lo que quieres pensar es en las potencias de algunos números. Y en este sentido, estos problemas son más complejos que las desigualdades "clásicas", que se resuelven por el método del intervalo.

Espero que esta lección te haya ayudado a dominar este tema. Si algo no está claro, pregunte en los comentarios. Y nos vemos en los próximos tutoriales. :)

Maneras de resolver sistemas de ecuaciones.

Para empezar, recordemos brevemente qué métodos existen generalmente para resolver sistemas de ecuaciones.

Existir cuatro formas principales soluciones de sistemas de ecuaciones:

Método de sustitución: tome cualquiera de estas ecuaciones y exprese $y$ en términos de $x$, luego $y$ se sustituye en la ecuación del sistema, de donde se encuentra la variable $x.$.Después de eso, podemos fácilmente calcular la variable $y.$

Método de adición: en este método es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por números tales que al sumar ambas, una de las variables "desaparezca".

Método gráfico: ambas ecuaciones del sistema se representan en Plano coordinado y encontrar su punto de intersección.

El método de introducción de nuevas variables: en este método, reemplazamos algunas expresiones para simplificar el sistema y luego aplicamos uno de los métodos anteriores.

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Definición 1

Los sistemas de ecuaciones que consisten en ecuaciones exponenciales se denominan sistema de ecuaciones exponenciales.

Consideraremos la solución de sistemas de ecuaciones exponenciales usando ejemplos.

Ejemplo 1

Resolver un sistema de ecuaciones

Foto 1.

Solución.

Usaremos el primer método para resolver este sistema. Primero, expresemos $y$ en la primera ecuación en términos de $x$.

Figura 2.

Sustituye $y$ en la segunda ecuación:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Responder: $(-4,6)$.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones

figura 3

Solución.

Este sistema es equivalente al sistema

Figura 4

Aplicamos el cuarto método para resolver ecuaciones. Sean $2^x=u\ (u >0)$ y $3^y=v\ (v >0)$, obtenemos:

Figura 5

Resolvemos el sistema resultante por el método de la suma. Sumemos las ecuaciones:

\ \

Luego de la segunda ecuación, obtenemos que

Volviendo al reemplazo, recibí un nuevo sistema de ecuaciones exponenciales:

Figura 6

Obtenemos:

Figura 7

Responder: $(0,1)$.

Sistemas de desigualdades exponenciales

Definición 2

Los sistemas de desigualdades que consisten en ecuaciones exponenciales se denominan sistema de desigualdades exponenciales.

Consideraremos la solución de sistemas de desigualdades exponenciales usando ejemplos.

Ejemplo 3

Resolver el sistema de desigualdades

Figura 8

Solución:

Este sistema de desigualdades es equivalente al sistema

Figura 9

Para resolver la primera desigualdad, recuerda el siguiente teorema de equivalencia para desigualdades exponenciales:

Teorema 1. La desigualdad $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, donde $a >0,a\ne 1$ es equivalente al conjunto de dos sistemas

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