Condición para la existencia de una asíntota horizontal. ¿Cómo encontrar las asíntotas de la gráfica de una función? ¿Cuántas asíntotas puede tener la gráfica de una función?

04.06.2024 | Pinturas de artistas

Una asíntota de la gráfica de una función y = f(x) es una línea recta que tiene la propiedad de que la distancia desde el punto (x, f(x)) a esta línea recta tiende a cero a medida que el punto de la gráfica se mueve indefinidamente desde el origen.

En la Figura 3.10. Se dan ejemplos gráficos de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

Encontrar las asíntotas de la gráfica se basa en los siguientes tres teoremas.

Teorema de la asíntota vertical. Deje que la función y = f(x) se defina en una determinada vecindad del punto x 0 (posiblemente excluyendo este punto) y al menos uno de los límites unilaterales de la función sea igual al infinito, es decir, Entonces la recta x = x 0 es la asíntota vertical de la gráfica de la función y = f(x).

Obviamente, la recta x = x 0 no puede ser una asíntota vertical si la función es continua en el punto x 0, ya que en este caso . En consecuencia, se deben buscar asíntotas verticales en los puntos de discontinuidad de la función o en los extremos de su dominio de definición.

Teorema de la asíntota horizontal. Dejemos que la función y = f(x) se defina para x suficientemente grande y haya un límite finito de la función. Entonces la recta y = b es la asíntota horizontal de la gráfica de la función.

Comentario. Si solo uno de los límites es finito, entonces la función tiene, respectivamente, una asíntota horizontal del lado izquierdo o del lado derecho.

En el caso de , la función puede tener una asíntota oblicua.

Teorema de la asíntota oblicua. Dejemos que la función y = f(x) se defina para x suficientemente grande y haya límites finitos . Entonces la recta y = kx + b es la asíntota inclinada de la gráfica de la función.

No hay pruebas.

Una asíntota oblicua, al igual que una horizontal, puede ser diestra o zurda si la base de los límites correspondientes es el infinito de un determinado signo.

El estudio de funciones y la construcción de sus gráficas generalmente incluye los siguientes pasos:

1. Encuentra el dominio de definición de la función.

2. Examine la función para determinar la paridad par-impar.

3. Encuentre asíntotas verticales examinando los puntos de discontinuidad y el comportamiento de la función en los límites del dominio de definición, si son finitos.

4. Encuentre asíntotas horizontales u oblicuas examinando el comportamiento de la función en el infinito.

5. Encuentre extremos e intervalos de monotonicidad de la función.

6. Encuentra los intervalos de convexidad de la función y los puntos de inflexión.

7. Encuentra los puntos de intersección con los ejes de coordenadas y, posiblemente, algunos puntos adicionales que aclaren la gráfica.

Función diferencial

Se puede demostrar que si una función tiene un límite igual a un número finito para una determinada base, entonces se puede representar como la suma de este número y un valor infinitesimal para la misma base (y viceversa): .

Apliquemos este teorema a una función diferenciable: .

Así, el incremento de la función Dу consta de dos términos: 1) lineal con respecto a Dх, es decir f `(x)Dх; 2) no lineal con respecto a Dx, es decir a(Dx)Dх. Al mismo tiempo, desde , este segundo término es un infinitesimal de orden superior que Dx (como Dx tiende a cero, tiende a cero aún más rápido).

El diferencial de una función es la parte principal, lineal relativa a Dx, del incremento de la función, igual al producto de la derivada y el incremento de la variable independiente dy = f `(x)Dx.

Encontremos el diferencial de la función y = x.

Dado que dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, entonces dx = Dх, es decir el diferencial de una variable independiente es igual al incremento de esta variable.

Por tanto, la fórmula para el diferencial de una función se puede escribir como dy = f `(x)dх. Por eso una de las notaciones para la derivada es la fracción dy/dx.

Se ilustra el significado geométrico del diferencial.
Figura 3.11. Tomemos un punto arbitrario M(x, y) en la gráfica de la función y = f(x). Démosle al argumento x el incremento Dx. Entonces la función y = f(x) recibirá el incremento Dy = f(x + Dx) - f(x). Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en el punto M, que forma un ángulo a con la dirección positiva del eje de abscisas, es decir f `(x) = tan a. Del triángulo rectángulo MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Así, el diferencial de una función es el incremento en la ordenada de la tangente trazada a la gráfica de la función en un punto dado cuando x recibe el incremento Dx.

Las propiedades de un diferencial son básicamente similares a las de una derivada:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Sin embargo, hay una propiedad importante del diferencial de una función que su derivada no tiene: esta es la invariancia de la forma del diferencial.

De la definición del diferencial para la función y = f(x), el diferencial dy = f `(x)dх. Si esta función y es compleja, es decir y = f(u), donde u = j(x), entonces y = f y f `(x) = f `(u)*u`. Entonces dy = f `(u)*u`dх. Pero para la función
u = j(x) diferencial du = u`dх. Por tanto dy = f `(u)*du.

Comparando las igualdades dy = f `(x)dх y dy = f `(u)*du, nos aseguramos de que la fórmula diferencial no cambia si en lugar de una función de la variable independiente x consideramos una función de la variable dependiente u. Esta propiedad de un diferencial se llama invariancia (es decir, inmutabilidad) de la forma (o fórmula) del diferencial.

Sin embargo, todavía hay una diferencia en estas dos fórmulas: en la primera de ellas, el diferencial de la variable independiente es igual al incremento de esta variable, es decir dx = Dx, y en segundo lugar, el diferencial de la función du es sólo la parte lineal del incremento de esta función Du y sólo para pequeños Dx du » Du.

Si la distancia d desde un punto de una curva y = f (x), que tiene una rama infinita, hasta una determinada línea recta tiende a cero a medida que el punto se aleja a lo largo de esta curva hasta el infinito, entonces la línea recta se llama asíntota. de la curva.

Hay asíntotas: 1) horizontal, 2) vertical y 3) inclinada.

1. La curva y = f (x) tiene una asíntota horizontal y = b solo si existe un límite finito de la función f (x) en , y este límite es igual a b, es decir, si

2. La curva y = f (x) tiene una asíntota vertical x = a, si en . Para determinar las asíntotas verticales, es necesario encontrar aquellos valores del argumento cerca de los cuales f (x) aumenta indefinidamente en valor absoluto. Si dichos valores del argumento son a1, a2, ..., entonces las ecuaciones de asíntotas verticales serán

x = a1, x = a2...

3. Para determinar la asíntota oblicua y = kx + b de la curva y = f (x), necesitas encontrar los números k y b de las fórmulas

(Los casos deben considerarse por separado). Las asíntotas inclinadas de la curva y = f (x) existen si y sólo si estos límites tienen un valor finito. A la hora de determinar estos límites es conveniente utilizar la regla de L'Hopital.

Ejemplo. Encuentra las asíntotas de la curva.

Solución. No hay asíntotas horizontales. Encontramos la asíntota vertical a partir de la condición.

2x + 3 = 0 => x = - 3/2, mientras que y
, Cuando
, y
, Cuando
. Determinemos las asíntotas oblicuas, cuya ecuación tiene la forma: y = kx + b

Dado que k y b tienen valores finitos y son iguales entre sí en x
y en x
, entonces existe una asíntota oblicua única cuya ecuación es

Estudio de funciones generales.

Un estudio completo de una función suele implicar resolver las siguientes cuestiones:

Determinar el dominio de existencia de una función.

Identificar la cuestión de la uniformidad y la imparidad de una función.

Determinación de puntos de ruptura de funciones.

Determinación de asíntotas de la gráfica de una función.

Determinación de intervalos de aumento y disminución de una función.

Determinación del extremo de una función.

Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una gráfica de funciones.

Determinación de puntos de inflexión.

Encontrar la intersección con los ejes de coordenadas.

Graficar una función.

Ejemplo. Exploremos la función

D(y) = (
). La función es continua en todo el dominio de definición. No hay puntos de ruptura.

La función no es par, ni impar, ni periódica.

No hay puntos de ruptura.

No hay asíntotas verticales;
, no hay asíntotas oblicuas.

5, 6.
. Puntos críticos x = -2, x = 0.

	( )		( )
Firmar		= 0
Comportamiento de la función	Creciente	3	Creciente

7, 8.
,
en x = 1,
no existe en x = 0.

	( )				( )
Firmar		=		= 0
Comportamiento de la función	Parte superior convexa	No es un punto de inflexión	Parte superior convexa	Punto de inflexión	Convexo hacia abajo

9.
x = 0 y x = -5.

Ejercicio 1

Calcular el determinante de segundo orden de la matriz A.

Calcular el determinante de la matriz B de tercer orden.

Calcule el determinante de la matriz B expandiéndola sobre cualquier fila y cualquier columna.

Calcule el determinante de la matriz B usando las propiedades de los determinantes. Reducir el cálculo del determinante de tercer orden al cálculo de un determinante de segundo orden

Opción 1

opcion 2

Opción 3

Opción 4

Opción 5

Opción 6

Opción 7

Opción 8



Opción 9



Opción 10

Tarea 2

1. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer. Ah = un

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer. ENX = b

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss. ENX = b

Tarea 3.

Ah = un

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método matricial. ENX = b

Tarea 4.

Calcule el rango de la matriz.

1., 2.
;

3.
4.

5.
6.

7.
8

9.
10.

Tarea 5

Dados dos vértices de un triángulo Δ ABC: Un (X 1 ,y 1 ), EN(X 2 ,y 2 ) y punto D (X 3 , y 3 )intersecciones de altura:

a) crear una ecuación de alturas, medianas y bisectrices de un triángulo Δ A B C.

b) encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo y son paralelas a los lados.

c) determinar la longitud de las altitudes del triángulo y la distancia desde el punto METRO (X 4 , y 4 ) a los lados del triángulo.

X 1	y 1	X 2	y 2	X 3	y 3	X 4	y 4

Tarea 6.

Se dan las coordenadas de los vértices de la pirámide. A B CD: A (X 1 ,y 1 , z 1 ), EN(X 2 ,y 2 , z 3 ) ,C (X 2 , y 2 , z 2 ) ,D (X 4 , y 4 , z 3 )

1) longitud del borde AB;.

2) ángulo entre las costillas AB Y AD;

3) ángulo entre bordes ANUNCIO y el borde A B C;

4) área de la cara A B C;

5) volumen de la pirámide;

6) ecuación de una recta AB;

7) ecuación plana A B C;

8) ecuación de la altura caída desde el vértice D al borde A B C.

norte

X 1

y 1

z 1

X 2

y 2

z 2

X 3

y 3

z 3

X 4

y 4

z 4

Tarea 7.

Tarea 8. Encuentra el dominio de la función.

10.

Tarea 9. Grafica la función

10.

Tarea 10. Encuentra los límites de la función.

1.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

2.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

3.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

4.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

5.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

6.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

7.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

8.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

9.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

10 a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)

Tarea 11. Encuentra la derivada.

1.
, b),

V)
, GRAMO)
, d)
, mi)

2.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)
,mi)

3. a), b)
, V)
, GRAMO)
, d)
, mi)

4.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)
, mi)

5.a)
, b)
, V)
, GRAMO)
, d)
,

mi)

6.a)
, b)
, V)
, GRAMO)
, d)
,

mi)

7.a)
, b),

V)
, GRAMO)
, d)
,

mi)

8.a)
, b)
, V)
, GRAMO)
, d)
,

mi)

9.a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)
, mi)

10 a)
, b)
, V)
,

GRAMO)
, d)
, mi)

Tarea 12. Demuestre que la función satisface la igualdad.

Tarea 13. Encuentra la segunda derivada de una función definida paramétricamente.

1 .
6.

2.
7

3.
8

4.
9.

5.
10.

Tarea 14. Encuentra límites usando la regla de L'Hopital

Tarea 15. Encuentra los extremos de las funciones dadas.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Tarea 16. Encuentre el valor más grande y más pequeño en los segmentos indicados y en los intervalos indicados.

Tarea 17. Realizar un estudio completo de estas funciones y dibujar sus gráficas.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Literatura:

Bavrin I.I. Curso de matemáticas superiores.-M.: Ilustración, 1992.-400 p.

Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Manual de Matemáticas. M, 1967, 608s.

Curso general de matemáticas superiores para economistas, editado por V.I. "Infra-M".

Teush V.L. Curso de matemáticas superiores. - M.: Ciencia soviética, 1958, 270 p.

Shipachev V.S. Matemáticas superiores: Libro de texto M. Escuela superior, 1990.-479 p.

Matemáticas superiores para economistas: libro de texto para universidades / N.Sh. Kremer, B.A. Putko y otros; M: UNIDAD, 2002. – 461 p.

Valiev K.G., Dzhalladova I.A. Vishcha Matemáticas: Maestría en Ciencias. Pos_bnik.

El concepto de asíntotas.

Una de las etapas importantes en la construcción de gráficas de funciones es la búsqueda de asíntotas. Nos hemos encontrado con asíntotas más de una vez: al construir gráficas de funciones, y=tgx, y=сtgx. Las definimos como líneas a las que la gráfica de una función “tiende”, pero nunca cruza. Ha llegado el momento de dar una definición precisa de asíntotas.

Hay tres tipos de asíntotas: vertical, horizontal y oblicua. En el dibujo, las asíntotas suelen indicarse mediante líneas de puntos.

Consideremos la siguiente gráfica de la función construida artificialmente (Fig. 16.1), en la que todos los tipos de asíntotas son claramente visibles:

Definamos cada tipo de asíntota:

1. directo x=un llamado asíntota vertical funciona si.

2. directo y=c llamado asíntota horizontal funciona si.

3. directo y=kx+b llamado asíntota oblicua funciona si.

Geométricamente, la definición de asíntota oblicua significa que en →∞ la gráfica de la función se aproxima a una línea recta tan cerca como se desee y=kx+b, es decir. son casi identicos. La diferencia entre expresiones prácticamente idénticas tiende a cero.

Tenga en cuenta que las asíntotas horizontales y oblicuas se consideran sólo bajo la condición →∞. A veces se distinguen en asíntotas horizontales y oblicuas en →+∞ y →-∞.

Algoritmo para buscar asíntotas.

Para encontrar asíntotas, puede utilizar el siguiente algoritmo:

Puede haber una, varias o ninguna asíntota vertical.

Si c es un número, entonces y=c- asíntota horizontal;
Si c es infinito, entonces no hay asíntotas horizontales.

Si una función es una razón de dos polinomios, entonces si la función tiene asíntotas horizontales, no buscaremos asíntotas oblicuas: no existen.

Veamos ejemplos de cómo encontrar asíntotas de una función:

Ejemplo 16.1. Encuentra las asíntotas de la curva.

Solución X-1≠0; X≠1.

Comprobemos si la línea es recta. x= 1 asíntota vertical. Para ello calculamos el límite de la función en el punto x= 1: .

x= 1 - asíntota vertical.

Con= .

Con= = . Porque Con=2 (número), entonces y=2- asíntota horizontal.

Dado que una función es una razón de polinomios, si hay asíntotas horizontales, afirmamos que no hay asíntotas oblicuas.

x= 1 y asíntota horizontal y=2. Para mayor claridad, la gráfica de esta función se presenta en la Fig. 16.2.

Ejemplo 16.2. Encuentra las asíntotas de la curva.

Solución. 1. Encuentra el dominio de definición de la función: X-2≠0; X≠2.

Comprobemos si la línea es recta. x= 2 asíntotas verticales. Para ello calculamos el límite de la función en el punto x= 2: .

Tenemos eso, por lo tanto, x= 2 - asíntota vertical.

2. Para buscar asíntotas horizontales, encontramos: Con= .

Como la incertidumbre aparece en el límite, utilizamos la regla de L'Hopital: Con= = . Porque Con– infinito, entonces no hay asíntotas horizontales.

3. Para buscar asíntotas oblicuas, encontramos:

Hemos obtenido una incertidumbre de la forma , usemos la regla de L'Hopital: = =1 Entonces, 1. Encontremos. b según la fórmula: .

b= = =

Lo tengo b= 2. Entonces y=kx+b – asíntota oblicua. En nuestro caso se ve así: y=x+2.

Arroz. 16.3

Por tanto, esta función tiene una asíntota vertical. x= 2 y asíntota oblicua y=x+2. Para mayor claridad, la gráfica de la función se muestra en la Fig. 16.3.

Preguntas de control:

Tema 17. ESQUEMA GENERAL PARA ESTUDIAR UNA FUNCIÓN Y CONSTRUIR UNA GRÁFICA

En esta conferencia resumiremos todo el material estudiado previamente. El objetivo final de nuestro largo viaje es poder examinar cualquier función dada analíticamente y construir su gráfica. Partes importantes de nuestra investigación serán el estudio de la función para extremos, la determinación de intervalos de monotonicidad, convexidad y concavidad de la gráfica, la búsqueda de puntos de inflexión y asíntotas de la gráfica de la función.

Teniendo en cuenta todos los aspectos anteriores, presentamos esquema para estudiar una función y trazar una gráfica .

1. Encuentra el dominio de definición de la función.

2. Examine la función par-impar:

· si , entonces la función es par (la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje UNED);

· si , entonces la función es impar (la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen);

· de lo contrario la función no es ni par ni impar.

3. Investigar la periodicidad de la función (entre las funciones que estudiamos, solo las funciones trigonométricas pueden ser periódicas).

4. Encuentre los puntos de intersección de la gráfica de funciones con los ejes de coordenadas:

· Oh: en=0 (resolvemos la ecuación sólo si podemos usar métodos que conocemos);

· UNED: X=0.

5. Encuentra la primera derivada de la función y los puntos críticos del primer tipo.

6. Encuentre intervalos de monotonicidad y extremos de la función.

7. Encuentra la segunda derivada de la función y los puntos críticos del segundo tipo.

8. Encuentre los intervalos de convexidad-concavidad de la gráfica de funciones y los puntos de inflexión.

9. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función.

10. Construya una gráfica de la función. Al construir, debes tener en cuenta. casos de posible ubicación del gráfico cerca de asíntotas :

11. Si es necesario, seleccione puntos de control para una construcción más precisa.

Consideremos un esquema para estudiar una función y construir su gráfica usando ejemplos específicos:

Ejemplo 17.1. Grafica la función.

Solución. 1. Esta función se define en toda la recta numérica excepto X=3, porque en este punto el denominador llega a cero.

2. Para determinar si una función es par o impar, encontramos:

Vemos que y, por lo tanto, no es una función par ni impar.

3. La función no es periódica.

4. Encuentra los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Para encontrar el punto de intersección con el eje. Oh aceptemos en=0. Obtenemos la ecuación: . Entonces, el punto (0; 0) es el punto de intersección con los ejes de coordenadas.

5. Encontremos la derivada de la función usando la regla de diferenciación de fracciones: = = = = .

Para encontrar puntos críticos, encontramos puntos en los que la derivada de la función es igual a 0 o no existe.

Si = 0, por lo tanto. El producto es entonces igual a 0 cuando al menos uno de los factores es igual a 0: o .

X-3) 2 es igual a 0, es decir no existe cuando X=3.

Entonces, la función tiene tres puntos críticos del primer tipo: ; ; .

6. En el eje numérico marcamos puntos críticos del primer tipo y marcamos el punto con un punto perforado, porque la función no está definida en él.

Colocamos los signos de derivada = en cada intervalo:

t.min

t.max

En intervalos donde , la función original aumenta (en (-∞;0]), donde - disminuye (en ).

Punto X=0 es el punto máximo de la función. Para encontrar el máximo de la función, encontramos el valor de la función en el punto 0: .

Punto X=6 es el punto mínimo de la función. Para encontrar el mínimo de la función, encontramos el valor de la función en el punto 6: .

Los resultados de la investigación se pueden ingresar en una tabla. El número de filas de la tabla es fijo e igual a cuatro, y el número de columnas depende de la función que se esté estudiando. En las celdas de la primera línea, se ingresan secuencialmente intervalos en los que los puntos críticos dividen el dominio de definición de la función, incluidos los propios puntos críticos. Para evitar errores al construir puntos que no pertenecen al dominio de definición, no puede incluirlos en la tabla.

La segunda línea de la tabla contiene los signos de la derivada en cada uno de los intervalos considerados y el valor de la derivada en los puntos críticos. De acuerdo con los signos de la derivada de la función, los intervalos de aumento, disminución y extremos de la función están marcados en la tercera línea.

La última línea sirve para indicar el máximo y mínimo de la función.

X	(-∞;0)		(0;3)	(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-	-		+
f(x)
conclusiones		máximo			mín.

7. Encontremos la segunda derivada de la función como derivada de la primera derivada: = =

Pongámoslo en el numerador. X-3 para corchetes y realizar la reducción:

Presentemos términos similares en el numerador: .

Encontremos puntos críticos del segundo tipo: puntos en los que la segunda derivada de la función es igual a cero o no existe.

0 si = 0. Esta fracción no puede ser igual a cero, por lo tanto, no hay puntos en los que la segunda derivada de la función sea igual a cero.

No existe si el denominador ( X-3) 3 es igual a 0, es decir no existe cuando X=3. :Oh , UNED, origen, unidades de medida para cada eje.

Antes de trazar una función, es necesario:

Dibuja las asíntotas con líneas de puntos;

· marcar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas;

Arroz. 17.1

marque el máximo y mínimo de la función, y se recomienda indicar el máximo y mínimo de la función directamente en el dibujo con arcos: k o ;

· utilizando los datos obtenidos sobre los intervalos de aumento, disminución, convexidad y concavidad, construye una gráfica de la función. Las ramas del gráfico deben “tender” a asíntotas, pero no intersectarlas.

· comprobar si la gráfica de la función corresponde a la investigación realizada: si la función es par o impar, entonces si se observa simetría; ¿Los intervalos de aumento y disminución, convexidad y concavidad y puntos de inflexión corresponden a los encontrados teóricamente?

11. Para una construcción más precisa, puede seleccionar varios puntos de control. Por ejemplo, encontremos los valores de la función en los puntos -2 y 7:

Ajustamos el horario teniendo en cuenta los puntos de control.

Preguntas de control:

¿Cuál es el algoritmo para graficar una función?

¿Puede una función tener un extremo en puntos fuera de su dominio de definición?

CAPÍTULO 3. 3. CÁLCULO INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

Definición. Una asíntota de la gráfica de una función es una línea recta que tiene la propiedad de que la distancia desde un punto en la gráfica de una función a esta línea recta tiende a cero a medida que el punto de la gráfica se mueve indefinidamente desde el origen..

Según los métodos para encontrarlas, se distinguen tres tipos de asíntotas: vertical, horizontal, oblicua.

Evidentemente, los horizontales son casos especiales de los inclinados (en ).

Encontrar las asíntotas de la gráfica de una función se basa en las siguientes afirmaciones.

Teorema 1. Dejemos que la función se defina al menos en alguna semi-vecindad de un punto y al menos uno de sus límites unilaterales en este punto sea infinito, es decir igualado. Entonces la recta es la asíntota vertical de la gráfica de la función..

Así, las asíntotas verticales de la gráfica de una función deben buscarse en los puntos de discontinuidad de la función o en los extremos de su dominio de definición (si se trata de números finitos).

Teorema 2. Dejemos que la función se defina para valores de argumentos suficientemente grandes en valor absoluto y que exista un límite finito de la función. . Entonces la recta es la asíntota horizontal de la gráfica de la función.

Puede suceder que , A , y son números finitos, entonces la gráfica tiene dos asíntotas horizontales diferentes: para zurdos y para diestros. Si solo existe uno de los límites finitos, entonces la gráfica tiene una asíntota horizontal para zurdos o para diestros.

Teorema 3. Dejemos que la función se defina para valores del argumento que sean suficientemente grandes en valor absoluto y que existan límites finitos. Y . Entonces la recta es la asíntota oblicua de la gráfica de la función..

Tenga en cuenta que si al menos uno de estos límites es infinito, entonces no hay asíntota oblicua.

Una asíntota oblicua, como una horizontal, puede ser unilateral.

Ejemplo. Encuentra todas las asíntotas de la gráfica de la función.

Solución .

La función está definida en . Encontremos sus límites unilaterales en los puntos.

Porque Y (Es posible que ya no se encuentren los otros dos límites unilaterales), entonces las líneas rectas son asíntotas verticales de la gráfica de la función.

calculemos

(aplicar la regla de L'Hopital) = .

Esto significa que la línea recta es una asíntota horizontal.

Como existe la asíntota horizontal, ya no buscamos asíntotas inclinadas (no existen).

Respuesta: La gráfica tiene dos asíntotas verticales y una horizontal.

Investigación de funciones generales. y = F(X).

El alcance de la función. Encuentra su dominio de definición. D(F). Si no es demasiado difícil, es útil encontrar también el rango mi(F). (Sin embargo, en muchos casos, la cuestión de encontrar mi(F) se pospone hasta que se encuentren los extremos de la función.)

Propiedades especiales de la función. Descubra las propiedades generales de una función: uniformidad, impar, periodicidad, etc. No todas las funciones tienen propiedades como par o impar. Obviamente una función no es ni par ni impar si su dominio de definición es asimétrico con respecto al punto 0 del eje. Buey. De la misma manera, para cualquier función periódica el dominio de definición consiste en todo el eje real o en la unión de sistemas de intervalos que se repiten periódicamente.

Asíntotas verticales. Descubra cómo se comporta la función cuando el argumento se acerca a los puntos límite del dominio de definición. D(F), si existen tales puntos límite. En este caso pueden aparecer asíntotas verticales. Si una función tiene puntos de discontinuidad en los que no está definida, entonces estos puntos también deben verificarse para detectar la presencia de asíntotas verticales de la función.

Asíntotas oblicuas y horizontales. Si el dominio de definición D(F) incluye rayos de la forma (a;+) o (−;b), entonces puedes intentar encontrar asíntotas oblicuas (o asíntotas horizontales) para x+ o x−, respectivamente, es decir encuentre limxf(x). Asíntotas oblicuas: y = kx + b, donde k=limx+xf(x) y b=limx+(f(x)−x). Las asíntotas son horizontales.: y = b, donde limxf(x)=b.

Encontrar los puntos de intersección del gráfico con los ejes. Encontrar el punto de intersección del gráfico con el eje. Oye. Para hacer esto necesitas calcular el valor. F(0). Encuentra también los puntos de intersección de la gráfica con el eje. Buey, ¿por qué encontrar las raíces de la ecuación? F(X) = 0 (o asegúrese de que no haya raíces). La ecuación a menudo sólo se puede resolver de forma aproximada, pero separar las raíces ayuda a comprender mejor la estructura de la gráfica. A continuación, debe determinar el signo de la función en los intervalos entre las raíces y los puntos de interrupción.

Encontrar los puntos de intersección de la gráfica con la asíntota. En algunos casos, puede ser necesario encontrar puntos característicos del gráfico que no fueron mencionados en los párrafos anteriores. Por ejemplo, si una función tiene una asíntota inclinada, entonces puedes intentar averiguar si la gráfica tiene puntos de intersección con esta asíntota.

Encontrar intervalos de convexidad y concavidad. Esto se hace examinando el signo de la segunda derivada f(x). Encuentre puntos de inflexión en las uniones de los intervalos convexo y cóncavo. Calcula el valor de la función en los puntos de inflexión. Si una función tiene otros puntos de continuidad (excepto los puntos de inflexión) en los que la segunda derivada es 0 o no existe, entonces también es útil calcular el valor de la función en esos puntos. Habiendo encontrado f(x) resolvemos la desigualdad f(x)0. En cada uno de los intervalos de solución la función será convexa hacia abajo. Resolviendo la desigualdad inversa f(x)0, encontramos los intervalos en los que la función es convexa hacia arriba (es decir, cóncava). Definimos puntos de inflexión como aquellos puntos en los que la función cambia la dirección de la convexidad (y es continua).

En julio de 2020, la NASA lanza una expedición a Marte. La nave espacial entregará a Marte un soporte electrónico con los nombres de todos los participantes registrados en la expedición.

La inscripción de participantes está abierta. Consigue tu billete a Marte utilizando este enlace.

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Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción monitorea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.

La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.

Otra Nochevieja... clima helado y copos de nieve en el cristal de la ventana... Todo esto me impulsó a escribir nuevamente sobre... fractales y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. Hay un artículo interesante sobre este tema, que contiene ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí veremos ejemplos más complejos de fractales tridimensionales.

Un fractal se puede representar (describir) visualmente como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la propia figura original. Es decir, se trata de una estructura autosimilar, cuyos detalles, al ampliarla, veremos la misma forma que sin ampliación. Mientras que en el caso de una figura geométrica ordinaria (no un fractal), al ampliarla veremos detalles que tienen una forma más simple que la propia figura original. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que se repetirá una y otra vez con cada aumento.

Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, escribió en su artículo Fractales y arte en nombre de la ciencia: “Los fractales son formas geométricas que son tan complejas en sus detalles como en su forma general, es decir, si forman parte del fractal. "Se ampliará al tamaño del conjunto, aparecerá como un todo, ya sea exactamente o quizás con una ligera deformación".