División fraccionaria. División de fracciones ordinarias: reglas, ejemplos, soluciones.

Multiplicación y división de fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Te recuerdo: para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Es decir:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple.. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...

Para dividir una fracción entre una fracción, debes voltear segundo(¡esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si se detecta la multiplicación o división con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción de un número entero con una unidad en el denominador, ¡y listo! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo llevar esta fracción a una forma decente? ¡Sí, muy fácil! Utilice la división a través de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto es muy importante aquí! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero en una fracción de tres pisos es fácil cometer un error. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En la segunda (expresión de la derecha):

¿Siente la diferencia? 4 y 1/9!

¿Cuál es el orden de división? O corchetes, o (como aquí) la longitud de los guiones horizontales. Desarrolla un ojo. Y si no hay corchetes o guiones, como:

luego divide-multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otro truco muy simple e importante. En acciones con grados, ¡te vendrá bien! Dividamos la unidad por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro ha dado la vuelta! Y siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, solo que invertida.

Esas son todas las acciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores más que suficientes. ¡Toma nota de los consejos prácticos y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras comunes, no son buenos deseos! ¡Esta es una necesidad severa! Haz todos los cálculos del examen como una tarea completa, con concentración y claridad. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al calcular mentalmente.

2. En ejemplos con diferentes tipos de fracciones, vaya a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones a la parada.

4. Reducimos las expresiones fraccionarias de varios niveles a las ordinarias usando la división a través de dos puntos (¡seguimos el orden de la división!).

5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que debe completar. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales de este tema y consejos prácticos. Estima cuántos ejemplos podrías resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerda la respuesta correcta obtenido de la segunda (especialmente la tercera) vez - ¡no cuenta! Así es la vida dura.

Entonces, resolver en modo examen ! Esto es preparación para el examen, por cierto. Resolvemos un ejemplo, comprobamos, resolvemos lo siguiente. Decidimos todo: revisamos nuevamente desde el primero hasta el último. Solamente Luego mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Buscando respuestas que coincidan con las tuyas. Las escribí deliberadamente en un lío, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Y ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡feliz por ti! ¡Los cálculos elementales con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Que no...

Así que tienes uno de dos problemas. O ambos a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Con fracciones, puede realizar todas las acciones, incluida la división. Este artículo muestra la división de fracciones ordinarias. Se darán definiciones, se considerarán ejemplos. Detengámonos en la división de fracciones por números naturales y viceversa. Se considerará la división de una fracción ordinaria por un número mixto.

División de fracciones ordinarias

La división es el inverso de la multiplicación. Al dividir, el factor desconocido está en el producto conocido y otro factor, donde se conserva su significado dado con fracciones ordinarias.

Si es necesario dividir la fracción ordinaria a b por c d, entonces para determinar dicho número, debe multiplicar por el divisor c d, esto eventualmente dará el dividendo a b. Vamos a obtener un número y escribirlo a b · d c , donde d c es el recíproco de c d número. Las igualdades se pueden escribir usando las propiedades de la multiplicación, a saber: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , donde la expresión a b d c es el cociente de dividir a b por c d .

De aquí obtenemos y formulamos la regla para dividir fracciones ordinarias:

Definición 1

Para dividir una fracción ordinaria a b por c d, necesitas multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

Escribamos la regla como una expresión: a b: c d = a b d c

Las reglas de la división se reducen a la multiplicación. Para cumplirlo, debe estar bien versado en la realización de multiplicaciones de fracciones ordinarias.

Pasemos a la división de fracciones ordinarias.

Ejemplo 1

Realiza la división 9 7 por 5 3 . Escribe el resultado como una fracción.

Solución

El número 5 3 es el recíproco de 3 5 . Debes usar la regla para dividir fracciones ordinarias. Escribimos esta expresión de la siguiente manera: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Responder: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Al reducir fracciones, debe seleccionar la parte entera si el numerador es mayor que el denominador.

Ejemplo 2

Divide 8 15: 24 65 . Escribe la respuesta como una fracción.

Solución

La solución es pasar de la división a la multiplicación. Lo escribimos de esta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Es necesario hacer una reducción, y esto se hace de la siguiente manera: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Seleccionamos la parte entera y obtenemos 13 9 = 1 4 9 .

Responder: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

División de una fracción extraordinaria por un número natural

Usamos la regla de dividir una fracción por un número natural: para dividir a b por un número natural n, necesita multiplicar solo el denominador por n. De aquí obtenemos la expresión: a b: n = a b · n .

La regla de la división es una consecuencia de la regla de la multiplicación. Por lo tanto, representar un número natural como una fracción dará una igualdad de este tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Considere esta división de una fracción por un número.

Ejemplo 3

Divide la fracción 1645 por el número 12.

Solución

Aplicar la regla para dividir una fracción por un número. Obtenemos una expresión como 16 45: 12 = 16 45 12 .

Reduzcamos la fracción. Obtenemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Responder: 16 45: 12 = 4 135 .

División de un número natural por una fracción común

La regla de división es similar. sobre la regla de dividir un número natural por una fracción ordinaria: para dividir un número natural n por un ordinario a b , es necesario multiplicar el número n por el recíproco de la fracción a b .

Según la regla, tenemos n: a b \u003d n b a, y gracias a la regla de multiplicar un número natural por una fracción ordinaria, obtenemos nuestra expresión en la forma n: a b \u003d n b a. Es necesario considerar esta división con un ejemplo.

Ejemplo 4

Divide 25 por 15 28 .

Solución

Necesitamos pasar de la división a la multiplicación. Escribimos en forma de expresión 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Reduzcamos la fracción y obtengamos el resultado en forma de fracción 46 2 3 .

Responder: 25: 15 28 = 46 2 3 .

División de una fracción común por un número mixto

Al dividir una fracción ordinaria por un número mixto, puedes brillar fácilmente para dividir fracciones ordinarias. Necesitas convertir un número mixto a una fracción impropia.

Ejemplo 5

Divide la fracción 35 16 entre 3 1 8 .

Solución

Como 3 1 8 es un número mixto, representémoslo como una fracción impropia. Entonces obtenemos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Ahora vamos a dividir las fracciones. Obtenemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Responder: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

La división de un número mixto se realiza de la misma manera que la de los números ordinarios.

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Una fracción es una o más partes de un todo, que normalmente se toma como una unidad (1). Al igual que con los números naturales, puede realizar todas las operaciones aritméticas básicas con fracciones (suma, resta, división, multiplicación), para esto necesita conocer las características del trabajo con fracciones y distinguir entre sus tipos. Hay varios tipos de fracciones: decimales y ordinarias, o simples. Cada tipo de fracciones tiene sus propias especificaciones, pero una vez que haya descubierto completamente cómo tratarlas una vez, podrá resolver cualquier ejemplo con fracciones, ya que conocerá los principios básicos para realizar cálculos aritméticos con fracciones. Veamos ejemplos de cómo dividir una fracción por un número entero usando diferentes tipos de fracciones.

¿Cómo dividir una fracción por un número natural?
Se llaman fracciones ordinarias o simples, escritas en forma de tal proporción de números, en la que el dividendo (numerador) se indica en la parte superior de la fracción, y el divisor (denominador) de la fracción se indica a continuación. ¿Cómo dividir tal fracción por un número entero? ¡Veamos un ejemplo! Digamos que necesitamos dividir 8/12 por 2.

Para ello, debemos realizar una serie de acciones:
Por lo tanto, si nos enfrentamos a la tarea de dividir una fracción por un número entero, el esquema de solución se verá así:

De manera similar, puede dividir cualquier fracción ordinaria (simple) por un número entero.

¿Cómo dividir un decimal por un entero?
Una fracción decimal es una fracción que se obtiene al dividir una unidad en diez, mil, etc. Las operaciones aritméticas con fracciones decimales son bastante simples.

Considere un ejemplo de cómo dividir una fracción por un número entero. Digamos que necesitamos dividir la fracción decimal 0.925 por el número natural 5.

Resumiendo, nos centraremos en dos puntos principales que son importantes a la hora de realizar la operación de dividir fracciones decimales por un número entero:

• para dividir una fracción decimal por un número natural se utiliza la división en columna;
  
• se coloca una coma en el privado cuando se completa la división de la parte entera del dividendo.
  

Al aplicar estas reglas simples, siempre puedes dividir fácilmente cualquier decimal o fracción por un número entero.

) y el denominador por el denominador (obtenemos el denominador del producto).

Fórmula de multiplicación de fracciones:

Por ejemplo:

Antes de proceder con la multiplicación de numeradores y denominadores, es necesario verificar la posibilidad de reducción de fracciones. Si logras reducir la fracción, entonces te será más fácil seguir haciendo cálculos.

División de una fracción ordinaria por una fracción.

División de fracciones que involucran un número natural.

No es tan aterrador como parece. Como en el caso de la suma, convertimos un número entero en una fracción con una unidad en el denominador. Por ejemplo:

Multiplicación de fracciones mixtas.

Reglas para multiplicar fracciones (mixtas):

• convertir fracciones mixtas a impropias;
• multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones;
• reducimos la fracción;
• si obtenemos una fracción impropia, entonces convertimos la fracción impropia en una mixta.

¡Nota! Para multiplicar una fracción mixta por otra fracción mixta, primero debe llevarlas a la forma de fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias.

La segunda forma de multiplicar una fracción por un número natural.

Es más conveniente usar el segundo método de multiplicar una fracción ordinaria por un número.

¡Nota! Para multiplicar una fracción por un número natural, es necesario dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador sin cambios.

Del ejemplo anterior, está claro que esta opción es más conveniente cuando el denominador de una fracción se divide sin resto por un número natural.

Fracciones multinivel.

En la escuela secundaria, a menudo se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:

Para llevar dicha fracción a su forma habitual, se usa la división a través de 2 puntos:

¡Nota! Al dividir fracciones, el orden de división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.

Nota, por ejemplo:

Al dividir uno entre cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, solo que invertida:

Consejos prácticos para multiplicar y dividir fracciones:

1. Lo más importante al trabajar con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención. Haga todos los cálculos con cuidado y precisión, concentración y claridad. Es mejor escribir algunas líneas adicionales en un borrador que confundirse con los cálculos en la cabeza.

2. En tareas con diferentes tipos de fracciones: vaya al tipo de fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que ya no sea posible reducir.

4. Traemos expresiones fraccionarias de varios niveles a expresiones ordinarias, usando la división a través de 2 puntos.

5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Contenido de la lección

Sumar fracciones con los mismos denominadores

La suma de fracciones es de dos tipos:

1. Sumar fracciones con los mismos denominadores;
2. Suma de fracciones con distinto denominador.

Primero, estudiaremos la suma de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios.

Por ejemplo, sumemos fracciones y . Sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si le agregas pizza a la pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 2 Sumar fracciones y .

La respuesta es una fracción impropia. Si llega el final de la tarea, es costumbre deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella. En nuestro caso, la parte completa se destaca fácilmente: dos divididos por dos serán uno:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en dos partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene una pizza entera:

Ejemplo 3. Sumar fracciones y .

Nuevamente, agregue los numeradores y deje el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene pizzas:

Ejemplo 4 Encontrar el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:

Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.

Como puedes ver, sumar fracciones con los mismos denominadores no es difícil. Es suficiente entender las siguientes reglas:

1. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;

Sumar fracciones con diferente denominador

Ahora vamos a aprender a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de esas fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.

Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.

Pero las fracciones no se pueden sumar a la vez, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que el resto de los métodos pueden parecer complicados para un principiante.

La esencia de este método radica en que se busca el primero (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional. Hacen lo mismo con la segunda fracción: se divide el NOC por el denominador de la segunda fracción y se obtiene el segundo factor adicional.

Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones que tenían distintos denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones.

Ejemplo 1. suma fracciones y

En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6

MCM (2 y 3) = 6

Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción y obtenemos el primer factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 6 entre 3, obtenemos 2.

El número resultante 2 es el primer factor adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Divida 6 entre 2, obtenemos 3.

El número resultante 3 es el segundo factor adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:

Ahora estamos listos para agregar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales:

Fíjate bien a lo que hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:

Así termina el ejemplo. Para agregar resulta.

Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si le agregas pizzas a una pizza, obtienes una pizza entera y otro sexto de pizza:

La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar usando una imagen. Llevando las fracciones y a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por las mismas rebanadas de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).

El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de seis). Juntando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que hemos resaltado la parte entera en ella. El resultado fue (una pizza entera y otra sexta pizza).

Tenga en cuenta que hemos pintado este ejemplo con demasiado detalle. En las instituciones educativas no se acostumbra escribir de manera tan detallada. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Estando en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:

Pero también está la otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces las preguntas del tipo “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.

Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las siguientes instrucciones paso a paso:

1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción;
3. Multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
4. Suma fracciones que tienen los mismos denominadores;
5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;

Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. .

Usemos las instrucciones anteriores.

Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones

Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4

Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción

Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2, obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la primera fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 por 3, obtenemos 4. Obtuvimos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos sobre la segunda fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Obtuvimos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la tercera fracción:

Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por tus factores adicionales

Multiplicamos los numeradores y denominadores por nuestros factores adicionales:

Paso 4. Suma fracciones que tienen el mismo denominador

Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Queda por sumar estas fracciones. Agregar:

La suma no cabía en una línea, así que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se traslada a la línea siguiente y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al comienzo de una nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.

Paso 5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione la parte entera en ella

Nuestra respuesta es una fracción impropia. Debemos destacar toda la parte de ella. Resaltamos:

tengo una respuesta

Resta de fracciones con el mismo denominador

Hay dos tipos de resta de fracciones:

1. Resta de fracciones con el mismo denominador
2. Resta de fracciones con diferente denominador

Primero, aprendamos a restar fracciones con los mismos denominadores.

Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios.

Por ejemplo, busquemos el valor de la expresión . Para resolver este ejemplo, es necesario restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 2 Halla el valor de la expresión.

Nuevamente, del numerador de la primera fracción, reste el numerador de la segunda fracción y deje el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción, debe restar los numeradores de las fracciones restantes:

Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Es suficiente entender las siguientes reglas:

1. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
2. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces debe seleccionar la parte completa.

Resta de fracciones con diferente denominador

Por ejemplo, una fracción se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero una fracción no se puede restar de una fracción, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

El denominador común se encuentra de acuerdo con el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe sobre la primera fracción. De igual forma, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, el cual se escribe sobre la segunda fracción.

Luego, las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones.

Ejemplo 1 Encuentra el valor de una expresión:

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes llevarlas al mismo denominador (común).

Primero, encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12

MCM (3 y 4) = 12

Ahora volvamos a las fracciones y

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 12 entre 3, obtenemos 4. Escribimos el cuatro sobre la primera fracción:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divida 12 entre 4, obtenemos 3. Escriba un triple sobre la segunda fracción:

Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:

tengo una respuesta

Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas.

Esta es la versión detallada de la solución. Estando en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de una manera más corta. Tal solución se vería así:

La reducción de fracciones ya un denominador común también se puede representar usando una imagen. Llevando estas fracciones a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez estarán divididas en las mismas fracciones (reducidas al mismo denominador):

El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.

Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión.

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes llevarlas al mismo denominador (común).

Encuentra el MCM de los denominadores de estas fracciones.

Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de cada fracción.

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Al dividir 30 entre 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la primera fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Al dividir 30 entre 3, obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividiendo 30 entre 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la tercera fracción:

Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Terminemos este ejemplo.

La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que movemos la continuación a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:

La respuesta resultó ser una fracción correcta, y todo parece encajarnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más fácil. ¿Qué se puede hacer? Puedes reducir esta fracción.

Para reducir una fracción, necesitas dividir su numerador y denominador por (mcd) los números 20 y 30.

Entonces, encontramos el MCD de los números 20 y 30:

Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y el denominador de la fracción por el MCD encontrado, es decir, por 10

tengo una respuesta

Multiplicar una fracción por un número

Para multiplicar una fracción por un número, debe multiplicar el numerador de la fracción dada por este número y dejar el denominador sin cambios.

Ejemplo 1. Multiplica la fracción por el número 1.

Multiplica el numerador de la fracción por el número 1

La entrada puede entenderse como tomando la mitad 1 vez. Por ejemplo, si tomas pizza 1 vez, obtienes pizza

De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicando y el multiplicador se intercambian, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:

Esta entrada puede entenderse como tomando la mitad de la unidad. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomamos la mitad, entonces tendremos pizza:

Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la fracción por 4

La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:

La expresión se puede entender como tomando dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas pizzas 4 veces, obtienes dos pizzas enteras.

Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador en lugares, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:

Un número que se multiplica por una fracción y el denominador de la fracción se resuelven si tienen un divisor común mayor que uno.

Por ejemplo, una expresión se puede evaluar de dos maneras.

primera forma. Multiplica el número 4 por el numerador de la fracción y deja el denominador de la fracción sin cambios:

segunda forma. El cuádruple que se multiplica y el cuádruple en el denominador de la fracción se puede reducir. Puedes reducir estos cuatros por 4, ya que el máximo común divisor de dos cuatros es el propio cuatro:

Obtuvimos el mismo resultado 3. Después de reducir los cuatros, se forman nuevos números en su lugar: dos unos. Pero multiplicar uno por un triple y luego dividir por uno no cambia nada. Por lo tanto, la solución se puede escribir más corta:

La reducción se puede realizar incluso cuando decidimos usar el primer método, pero en la etapa de multiplicar el número 4 y el numerador 3, decidimos usar la reducción:

Pero, por ejemplo, la expresión solo se puede calcular de la primera manera: multiplicar 7 por el denominador de la fracción y dejar el denominador sin cambios:

Esto se debe a que el número 7 y el denominador de la fracción no tienen un divisor común mayor que uno y, en consecuencia, no se reducen.

Algunos estudiantes abrevian por error el número que se multiplica y el numerador de la fracción. No puedes hacer esto. Por ejemplo, la siguiente entrada no es correcta:

La reducción de la fracción implica que y numerador y denominador se dividirá por el mismo número. En la situación con la expresión, la división se realiza solo en el numerador, ya que escribir esto es lo mismo que escribir . Vemos que la división se realiza solo en el numerador, y no se produce división en el denominador.

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta es una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella.

Ejemplo 1 Halla el valor de la expresión.

Obtuve una respuesta. Es deseable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:

La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:

¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:

Y toma dos de estas tres piezas:

Conseguiremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:

Una rebanada de esta pizza y las dos rebanadas que tomamos tendrán las mismas dimensiones:

En otras palabras, estamos hablando del mismo tamaño de pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es

Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:

Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta resultó ser una fracción correcta, pero será buena si se reduce. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el máximo común divisor (MCD) de los números 105 y 450.

Entonces, encontremos el MCD de los números 105 y 450:

Ahora dividimos el numerador y el denominador de nuestra respuesta al MCD que ahora hemos encontrado, es decir, por 15

Representar un número entero como una fracción

Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como . De esto, cinco no cambiará su significado, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y esto, como sabes, es igual a cinco:

números inversos

Ahora nos familiarizaremos con un tema muy interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".

Definición. Invertir al númeroa es el número que, cuando se multiplica pora da una unidad.

Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable a número 5 e intenta leer la definición:

Invertir al número 5 es el número que, cuando se multiplica por 5 da una unidad.

¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé como resultado uno? Resulta que puedes. Representemos cinco como una fracción:

Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, solo que invertida:

¿Cuál será el resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:

Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número, ya que al multiplicar 5 por uno se obtiene uno.

El recíproco también se puede encontrar para cualquier otro número entero.

También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente darle la vuelta.

División de una fracción por un número

Digamos que tenemos media pizza:

Dividámoslo a partes iguales entre dos. ¿Cuántas pizzas recibirá cada uno?

Se puede observar que después de partir la mitad de la pizza, se obtuvieron dos partes iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.