Ejemplos de desigualdades con raíces. Desigualdades irracionales
Objetivos:
- Educación general: sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con el uso de métodos de resolución de desigualdades.
- De desarrollo: desarrollar la capacidad de los estudiantes para escuchar una conferencia escribiéndola en un cuaderno.
- Educativo: formar motivación cognitiva para estudiar matemáticas.
durante las clases
I. Conversación introductoria:
Hemos terminado el tema “Solución ecuaciones irracionales”Y hoy comenzamos a aprender cómo resolver desigualdades irracionales.
Primero, recordemos qué tipos de desigualdades puedes resolver y con qué métodos.
Respuesta: Lineal, cuadrática, racional, trigonométrica. Resolvemos las lineales a partir de las propiedades de las desigualdades, las trigonométricas las reducimos a las trigonométricas más simples, resueltas mediante el círculo trigonométrico, y el resto, principalmente, mediante el método de los intervalos.
Pregunta: ¿En qué afirmación se basa el método del intervalo?
Respuesta: Sobre un teorema que establece que una función continua que no desaparece en un determinado intervalo conserva su signo en ese intervalo.
II. Veamos una desigualdad irracional como >
Pregunta: ¿Es posible utilizar el método del intervalo para resolverlo?
Respuesta: Sí, desde la función y=– continuo para D(y).
Resolviendo esta desigualdad método de intervalo .
Conclusión: resolvimos con bastante facilidad esta desigualdad irracional utilizando el método del intervalo, reduciéndola en realidad a resolver una ecuación irracional.
Intentemos resolver otra desigualdad usando este método.
3)f(x) continuo encendido re(f)
4) Ceros de función:
- Se necesita mucho tiempo para buscar. D(f).
- Difícil calcular los puntos de control.
Surge la pregunta: “¿Existen otras formas de resolver esta desigualdad?”
Evidentemente los hay, y ahora los conoceremos.
III. Entonces, sujeto hoy lección: "Métodos para resolver desigualdades irracionales".
La lección se llevará a cabo en forma de conferencia, ya que el libro de texto no contiene un análisis detallado de todos los métodos. Por lo tanto, nuestra importante tarea es compilar un resumen detallado de esta conferencia.
IV. Ya hemos hablado del primer método para resolver desigualdades irracionales.
Este - método de intervalo , un método universal para resolver todo tipo de desigualdades. Pero no siempre conduce a la meta de forma breve y sencilla.
v. Al resolver desigualdades irracionales, se pueden utilizar las mismas ideas que al resolver ecuaciones irracionales, pero como la verificación simple de las soluciones es imposible (después de todo, las soluciones a las desigualdades suelen ser intervalos numéricos enteros), es necesario utilizar la equivalencia.
Presentamos esquemas para resolver los principales tipos de desigualdades irracionales. método de transiciones equivalentes de una desigualdad a un sistema de desigualdades.
2. De manera similar, se demuestra que
Anotemos estos diagramas en el tablero de soporte. Piensa en las pruebas de los tipos 3 y 4 en casa; las analizaremos en la próxima lección.
VI. Resolvamos la desigualdad de una manera nueva.
La desigualdad original es equivalente a una colección de sistemas.
VII. Y hay un tercer método que a menudo ayuda a resolver desigualdades irracionales complejas. Ya hemos hablado de ello en relación a las desigualdades con módulo. Este método de reemplazo de funciones (reemplazo de factores). Permítanme recordarles que la esencia del método de reemplazo es que la diferencia en los valores de funciones monótonas se puede reemplazar por la diferencia en los valores de sus argumentos.
Considere una desigualdad irracional de la forma<,
eso es -< 0.
Por teorema, si pag(x) aumenta en un cierto intervalo al que pertenecen a Y b, y a>b, entonces las desigualdades p(a) – p(b) > 0 y a–b> 0 son equivalentes a D(p), eso es
VIII. Resolvamos la desigualdad reemplazando factores.
Esto significa que esta desigualdad es equivalente al sistema
Así, hemos visto que utilizar el método de sustitución de factores para reducir la solución de una desigualdad al método del intervalo reduce significativamente la cantidad de trabajo.
IX. Ahora que hemos cubierto los tres métodos principales para resolver ecuaciones, hagamos Trabajo independiente con autocomprobación.
Es necesario completar los siguientes números (según el libro de texto de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - resolver mediante el método de transiciones equivalentes, 1791 (a) - resolver mediante el método de sustitución de factores Para resolver desigualdades irracionales, es. Se propone utilizar métodos discutidos previamente al resolver ecuaciones irracionales:
- reemplazar variables;
- uso de ODZ;
- utilizando las propiedades de monotonicidad de funciones.
La finalización del estudio del tema es una prueba.
Análisis trabajo de prueba muestra:
- Los errores típicos de los estudiantes débiles, además de la aritmética y el álgebra, son transiciones equivalentes incorrectas a un sistema de desigualdades;
- El método de sustitución de factores lo utilizan con éxito sólo los estudiantes fuertes.
Objetivos:
- Educación general: sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con el uso de métodos de resolución de desigualdades.
- De desarrollo: desarrollar la capacidad de los estudiantes para escuchar una conferencia escribiéndola en un cuaderno.
- Educativo: formar motivación cognitiva para estudiar matemáticas.
durante las clases
I. Conversación introductoria:
Hemos terminado el tema “Resolver ecuaciones irracionales” y hoy comenzamos a aprender cómo resolver desigualdades irracionales.
Primero, recordemos qué tipos de desigualdades puedes resolver y con qué métodos.
Respuesta: Lineal, cuadrática, racional, trigonométrica. Resolvemos las lineales a partir de las propiedades de las desigualdades, las trigonométricas las reducimos a las trigonométricas más simples, resueltas mediante el círculo trigonométrico, y el resto, principalmente, mediante el método de los intervalos.
Pregunta: ¿En qué afirmación se basa el método del intervalo?
Respuesta: Sobre un teorema que establece que una función continua que no desaparece en un determinado intervalo conserva su signo en ese intervalo.
II. Veamos una desigualdad irracional como >
Pregunta: ¿Es posible utilizar el método del intervalo para resolverlo?
Respuesta: Sí, desde la función y=– continuo para D(y).
Resolviendo esta desigualdad método de intervalo .
Conclusión: resolvimos con bastante facilidad esta desigualdad irracional utilizando el método del intervalo, reduciéndola en realidad a resolver una ecuación irracional.
Intentemos resolver otra desigualdad usando este método.
3)f(x) continuo encendido re(f)
4) Ceros de función:
- Se necesita mucho tiempo para buscar. D(f).
- Difícil calcular los puntos de control.
Surge la pregunta: “¿Existen otras formas de resolver esta desigualdad?”
Evidentemente los hay, y ahora los conoceremos.
III. Entonces, sujeto hoy lección: "Métodos para resolver desigualdades irracionales".
La lección se llevará a cabo en forma de conferencia, ya que el libro de texto no contiene un análisis detallado de todos los métodos. Por lo tanto, nuestra importante tarea es compilar un resumen detallado de esta conferencia.
IV. Ya hemos hablado del primer método para resolver desigualdades irracionales.
Este - método de intervalo , un método universal para resolver todo tipo de desigualdades. Pero no siempre conduce a la meta de forma breve y sencilla.
v. Al resolver desigualdades irracionales, se pueden utilizar las mismas ideas que al resolver ecuaciones irracionales, pero como la verificación simple de las soluciones es imposible (después de todo, las soluciones a las desigualdades suelen ser intervalos numéricos enteros), es necesario utilizar la equivalencia.
Presentamos esquemas para resolver los principales tipos de desigualdades irracionales. método de transiciones equivalentes de una desigualdad a un sistema de desigualdades.
2. De manera similar, se demuestra que
Anotemos estos diagramas en el tablero de soporte. Piensa en las pruebas de los tipos 3 y 4 en casa; las analizaremos en la próxima lección.
VI. Resolvamos la desigualdad de una manera nueva.
La desigualdad original es equivalente a una colección de sistemas.
VII. Y hay un tercer método que a menudo ayuda a resolver desigualdades irracionales complejas. Ya hemos hablado de ello en relación a las desigualdades con módulo. Este método de reemplazo de funciones (reemplazo de factores). Permítanme recordarles que la esencia del método de reemplazo es que la diferencia en los valores de funciones monótonas se puede reemplazar por la diferencia en los valores de sus argumentos.
Considere una desigualdad irracional de la forma<,
eso es -< 0.
Por teorema, si pag(x) aumenta en un cierto intervalo al que pertenecen a Y b, y a>b, entonces las desigualdades p(a) – p(b) > 0 y a–b> 0 son equivalentes a D(p), eso es
VIII. Resolvamos la desigualdad reemplazando factores.
Esto significa que esta desigualdad es equivalente al sistema
Así, hemos visto que utilizar el método de sustitución de factores para reducir la solución de una desigualdad al método del intervalo reduce significativamente la cantidad de trabajo.
IX. Ahora que hemos cubierto los tres métodos principales para resolver ecuaciones, hagamos Trabajo independiente con autocomprobación.
Es necesario completar los siguientes números (según el libro de texto de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - resolver mediante el método de transiciones equivalentes, 1791 (a) - resolver mediante el método de sustitución de factores Para resolver desigualdades irracionales, es. Se propone utilizar métodos discutidos previamente al resolver ecuaciones irracionales:
- reemplazar variables;
- uso de ODZ;
- utilizando las propiedades de monotonicidad de funciones.
La finalización del estudio del tema es una prueba.
El análisis del trabajo de prueba muestra:
- Los errores típicos de los estudiantes débiles, además de la aritmética y el álgebra, son transiciones equivalentes incorrectas a un sistema de desigualdades;
- El método de sustitución de factores lo utilizan con éxito sólo los estudiantes fuertes.
TD ivanova
MÉTODOS PARA RESOLVER DESIGUALDADES IRRACIONALES
CDO y NIT SRPTL
UDC 511 (O75.3)
BBK 22. 1Y72
Compilado por T.D.Ivanova
Crítico: Baisheva M.I.– Candidato de Ciencias Pedagógicas, Profesor Asociado del Departamento
análisis matemático de la Facultad de Matemáticas
Instituto de Matemáticas e Informática de Yakutsk
Universidad Estatal
Métodos para resolver desigualdades irracionales: manual metodológico
M 34 para estudiantes de los grados 9-11 / comp. Ivanova T.D. de Suntar Suntarsky ulus
RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.
El manual está dirigido a estudiantes de secundaria de escuelas secundarias, así como a quienes ingresan a las universidades como una guía metodológica para la resolución de desigualdades irracionales. El manual examina en detalle los principales métodos para resolver desigualdades irracionales, proporciona ejemplos de cómo resolver desigualdades irracionales con parámetros y también ofrece ejemplos para resolverlas usted mismo. Los profesores pueden utilizar el manual como material didáctico para la enseñanza. Trabajo independiente, con una revisión del tema “Desigualdades irracionales”.
El manual refleja la experiencia del profesor al estudiar el tema “Desigualdades irracionales” con los estudiantes.
Problemas tomados de materiales. exámenes de admisión, periódicos y revistas metodológicos, material didáctico, cuya lista se encuentra al final del manual
UDC 511 (O75.3)
BBK 22. 1Y72
TD Ivanova, comp., 2006.
CDO NIT SRPTL, 2007.
Prefacio 5
Introducción 6
Sección I. Ejemplos de resolución de las desigualdades irracionales más simples 7
Sección II. Desigualdades de la forma 
>g(x), 
g(x), 
gramo(x) 9
Sección III. Desigualdades de la forma 
;
;
;
13
Sección IV. Desigualdades que contienen varias raíces de grado par 16
Sección V. Método de sustitución (introducción de una nueva variable) 20
Sección VI. Desigualdades de la forma f(x) 
0; f(x)0;
Sección VII. Desigualdades de la forma 
25
Sección VIII. Usar transformaciones de expresión radicales
en desigualdades irracionales 26
Sección IX. Solución gráfica de desigualdades irracionales 27.
Sección X. Desigualdades tipo mixto 31
Sección XI. Usando la propiedad de monotonicidad de una función 41
Sección XII. Método de reemplazo de funciones 43
Sección XIII. Ejemplos de resolución directa de desigualdades.
método de intervalo 45
Sección XIV. Ejemplos de resolución de desigualdades irracionales con parámetros 46
Literatura 56
REVISAR
Este material didáctico está destinado a estudiantes de los grados 10 y 11. Como muestra la práctica, los estudiantes y los solicitantes experimentan dificultades especiales para resolver desigualdades irracionales. Esto se debe al hecho de que en las matemáticas escolares esta sección no se considera lo suficiente; no se consideran con más detalle varios métodos para resolver tales desigualdades. Además, los profesores de escuela sienten una falta de literatura metodológica, que se manifiesta en una cantidad limitada de material de problemas que indica diversos enfoques y métodos de solución.
El manual analiza métodos para resolver desigualdades irracionales. Ivanova T.D. Al comienzo de cada sección, presenta a los estudiantes la idea principal del método, luego muestra ejemplos con explicaciones y también ofrece problemas para su solución independiente.
El compilador utiliza los métodos más “espectaculares” para resolver las desigualdades irracionales que se producen al ingresar a la educación superior establecimientos educativos con mayores exigencias sobre el conocimiento de los estudiantes.
Los estudiantes, después de leer este manual, pueden adquirir experiencia y habilidades invaluables para resolver desigualdades irracionales complejas. Creo que este manual también será útil para los profesores de matemáticas que trabajan en clases especializadas, así como para los desarrolladores de cursos optativos.
Candidato de Ciencias Pedagógicas, Profesor Asociado del Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Instituto de Matemáticas e Informática, Universidad Estatal de Yakut
Baisheva M.I.
PREFACIO
El manual está dirigido a estudiantes de secundaria de escuelas secundarias, así como a quienes ingresan a las universidades como una guía metodológica para la resolución de desigualdades irracionales. El manual examina en detalle los principales métodos para resolver desigualdades irracionales, proporciona ejemplos aproximados de cómo resolver desigualdades irracionales, proporciona ejemplos de cómo resolver desigualdades irracionales con parámetros y también ofrece ejemplos para resolverlos usted mismo para algunos de ellos, respuestas breves e instrucciones; son dados.
Al analizar ejemplos y resolver desigualdades de forma independiente, se supone que el estudiante sabe cómo resolver desigualdades lineales, cuadráticas y de otro tipo, y conoce varios métodos para resolver desigualdades, en particular, el método de intervalos. Se propone resolver la desigualdad de varias formas.
Los docentes pueden utilizar el manual como material didáctico para el trabajo independiente mientras revisan el tema “Desigualdades irracionales”.
El manual refleja la experiencia del profesor al estudiar el tema “Desigualdades irracionales” con los estudiantes.
Los problemas se seleccionaron a partir de materiales de exámenes de ingreso a instituciones de educación superior, periódicos y revistas metodológicas sobre matemáticas "Primero de septiembre", "Matemáticas en la escuela", "Quantum", libros de texto, cuya lista se encuentra al final del manual. .
INTRODUCCIÓN
Las desigualdades irracionales son aquellas en las que variables o una función de una variable entran bajo el signo de la raíz.
El principal método estándar para resolver desigualdades irracionales es elevar sucesivamente ambos lados de la desigualdad a una potencia para eliminar la raíz. Pero esta operación a menudo conduce a la aparición de raíces extrañas o incluso a la pérdida de raíces, es decir. conduce a una desigualdad que es desigual a la original. Por tanto, debemos seguir con mucha atención la equivalencia de las transformaciones y considerar sólo aquellos valores de la variable para los que la desigualdad tiene sentido:
si la raíz es de grado par, entonces la expresión radical debe ser no negativa y el valor de la raíz también debe ser un número no negativo.
si la raíz del grado es número impar, entonces la expresión radical puede tomar cualquier número real y el signo de la raíz coincide con el signo de la expresión radical.
es posible elevar ambos lados de la desigualdad a una potencia par sólo después de asegurarse primero de que no sean negativos;
Elevar ambos lados de una desigualdad a la misma potencia impar es siempre una transformación equivalente.
CapítuloI. Ejemplos de resolución de desigualdades irracionales simples
Ejemplos 1- 6:
Solución:
1.a) 
.
b) 
.
2.a) 
b) 
3.a) 
.
b) 
.
4.a) 
b) 
5.a) 
.
b) 
6.a) 
.
b) 
.
7.
8.a) 
.
b) 
9.a) 
.
b) 
11.
12. Encuentre el valor entero positivo más pequeño de x que satisfaga la desigualdad 
13. a) Encuentra el punto medio del intervalo de solución de la desigualdad. 
b) Encuentre la media aritmética de todos los valores enteros de x para los cuales la desigualdad tiene solución 4 
14. Encuentra la solución negativa más pequeña a la desigualdad. 
15.a) 
;
b) 
Sección II. Desigualdades de la forma >g(x), g(x),gramo(x)
De la misma forma que al resolver los ejemplos 1-4, razonamos al resolver desigualdades del tipo indicado.
Ejemplo 7
:
Resolver desigualdad 
>
X + 1
Solución: Desigualdad DZ: X-3. Para el lado derecho hay dos casos posibles:
A) X+ 10 (el lado derecho no es negativo) ob) X + 1
Considere a) Si X+10, es decir X- 1, entonces ambos lados de la desigualdad no son negativos. Cuadramos ambos lados: X
+ 3 >X
+
2X+ 1. Obtenemos la desigualdad cuadrática X+
X – 2
X x - 1, obtenemos -1 
Considere b) si X+1 x -3
Combinando soluciones al caso a) -1 y b) X-3, anotemos la respuesta: X
.
Es conveniente escribir todos los argumentos al resolver el Ejemplo 7 de la siguiente manera:
La desigualdad original es equivalente a un conjunto de sistemas de desigualdades.
.
X 
Respuesta: .
Razonamiento para resolver desigualdades de la forma.
1.> gramo(X); 2. gramo(X); 3. gramo(X); 4. gramo(X) se puede escribir brevemente en forma de los siguientes diagramas:
I.
>
gramo(X)
2.
gramo(X)
3.
gramo(X)
4.
gramo(X)
.
Ejemplo 8
:
X.
Solución:
La desigualdad original es equivalente al sistema. 
x>0
Respuesta:
X
.
Tareas para solución independiente:
b) 
b) 
.
b) 
b) 
20.a) 
X
b) 
21.a) 
Cualquier desigualdad que incluya una función debajo de la raíz se llama irracional. Hay dos tipos de tales desigualdades:
En el primer caso, la raíz es menor que la función g(x), en el segundo es mayor. Si g(x) - constante, la desigualdad se simplifica enormemente. Tenga en cuenta: exteriormente, estas desigualdades son muy similares, pero sus esquemas de solución son fundamentalmente diferentes.
Hoy aprenderemos cómo resolver desigualdades irracionales del primer tipo: son las más simples y comprensibles. El signo de desigualdad puede ser estricto o no estricto. Para ellos es cierta la siguiente afirmación:
Teorema. Cualquier desigualdad irracional de la forma
Equivalente al sistema de desigualdades:
¿No es débil? Veamos de dónde viene este sistema:
- f (x) ≤ g 2 (x): aquí todo está claro. Ésta es la desigualdad original al cuadrado;
- f (x) ≥ 0 es la ODZ de la raíz. Déjame recordarte: aritmética Raíz cuadrada existe sólo de no negativo números;
- g(x) ≥ 0 es el rango de la raíz. Al elevar al cuadrado la desigualdad, quemamos los aspectos negativos. Como resultado, pueden aparecer raíces adicionales. La desigualdad g(x) ≥ 0 los corta.
Muchos estudiantes “se obsesionan” con la primera desigualdad del sistema: f (x) ≤ g 2 (x) y se olvidan por completo de las otras dos. El resultado es predecible: decisión equivocada, puntos perdidos.
Dado que las desigualdades irracionales son un tema bastante complejo, veamos 4 ejemplos a la vez. Desde lo básico hasta lo realmente complejo. Todos los problemas se han extraído de los exámenes de acceso de la Universidad Estatal de Moscú. M. V. Lomonósov.
Ejemplos de resolución de problemas
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Ante nosotros hay un clásico. desigualdad irracional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 es una constante. Tenemos:
De las tres desigualdades, sólo dos quedaron al final de la solución. Porque la desigualdad 2 ≥ 0 siempre se cumple. Crucemos las desigualdades restantes:
Entonces, x ∈ [−1,5; 0,5]. Todos los puntos están sombreados porque las desigualdades no son estrictas.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Aplicamos el teorema:
Resolvamos la primera desigualdad. Para ello, revelaremos el cuadrado de la diferencia. Tenemos:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x2-10x< 0;
x (x-10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Ahora resolvamos la segunda desigualdad. Ahí también trinomio cuadrático:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
