Las desigualdades con raíces son ejemplos. Desigualdades irracionales
Metas:
- Educación general: para sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con la aplicación de métodos para resolver desigualdades.
- Desarrollando: desarrollar en los estudiantes la capacidad de escuchar una conferencia, escribiéndola de manera concisa en un cuaderno.
- Educativo: para formar motivación cognitiva para estudiar matemáticas.
durante las clases
I. Conversación introductoria:
Hemos terminado el tema “Resolviendo ecuaciones irracionales” y hoy estamos comenzando a aprender cómo resolver desigualdades irracionales.
Primero, recordemos qué tipos de desigualdades puedes resolver y con qué métodos.
Responder: Lineal, cuadrática, racional, trigonométrica. Las lineales se resuelven en base a las propiedades de las desigualdades, las trigonométricas se reducen a las trigonométricas más simples, se resuelven mediante un círculo trigonométrico, y el resto, principalmente por el método de los intervalos.
Pregunta: ¿En qué enunciado se basa el método de los intervalos?
Responder: Sobre un teorema que establece que una función continua que no se anula en algún intervalo conserva su signo en ese intervalo.
II. Consideremos una desigualdad irracional como >
Pregunta: ¿Es posible aplicar el método del intervalo para resolverlo?
Responder: Sí, ya que la función y=- encendido continuo D(y).
Resolvemos esta desigualdad método de intervalo .
Conclusión: resolvimos con bastante facilidad esta desigualdad irracional mediante el método del intervalo, reduciéndola realmente a resolver una ecuación irracional.
Intentemos resolver otra desigualdad con este método.
3)f(x) continuo en D(f)
4) Ceros de función:
- Búsqueda larga D(f).
- Es difícil calcular los puntos de ruptura.
Surge la pregunta: “¿Hay otras formas de resolver esta desigualdad?”.
Obviamente, la hay, y ahora vamos a conocerlas.
tercero Asi que, Asunto de hoy lección: "Métodos para resolver desigualdades irracionales".
La lección se llevará a cabo en forma de conferencia, ya que el libro de texto no contiene un análisis detallado de todos los métodos. Por lo tanto, nuestra importante tarea es redactar un resumen detallado de esta conferencia.
IV. Ya hemos hablado del primer método para resolver desigualdades irracionales.
Este es - método de intervalo , un método universal para resolver todo tipo de desigualdades. Pero no siempre conduce a la meta de una manera breve y sencilla.
v. Al resolver desigualdades irracionales, puede usar las mismas ideas que cuando resuelve ecuaciones irracionales, pero dado que una verificación simple de las soluciones es imposible (después de todo, las soluciones a las desigualdades suelen ser intervalos numéricos enteros), es necesario usar la equivalencia.
Presentamos esquemas para resolver los principales tipos de desigualdades irracionales método de transiciones equivalentes de una desigualdad a un sistema de desigualdades.
2. Análogamente se prueba que
Escribamos estos diagramas en el tablero de referencia. Piensa en las pruebas de Tipo 3 y 4 en casa, las discutiremos en la próxima lección.
VI. Resolvamos la desigualdad de una nueva manera.
La desigualdad original es equivalente a un conjunto de sistemas.
VIII. Y hay un tercer método que a menudo ayuda a resolver desigualdades irracionales complejas. Ya lo hemos hablado en relación a las desigualdades con módulo. Este es método de sustitución de funciones (sustitución del multiplicador). Permítanme recordarles que la esencia del método de reemplazo es que la diferencia en los valores de las funciones monótonas se puede reemplazar por la diferencia en los valores de sus argumentos.
Considere una desigualdad irracional de la forma<,
es decir -< 0.
Por teoría, si p(x) aumenta en algún intervalo al que pertenecen un y b, y un>b, entonces las desigualdades p(a) – p(b) > 0 y a-b> 0 son equivalentes a D(pag), es decir
VIII. Resolvemos la desigualdad por el método de cambio de factores.
Por lo tanto, esta desigualdad es equivalente al sistema
Así, hemos visto que el uso del método de reemplazo de factores para reducir la solución de una desigualdad al método de los intervalos reduce significativamente la cantidad de trabajo.
IX. Ahora que hemos cubierto los tres métodos básicos para resolver ecuaciones, hagamos trabajo independiente con autoexamen.
Es necesario realizar los siguientes números (según el libro de texto de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - resolver_ por el método de_ transiciones equivalentes,_ 1791 (a) - resolver por el método de reemplazo de factores Para resolver desigualdades irracionales, se propone utilizar los métodos analizados anteriormente a la hora de resolver ecuaciones irracionales:
- cambio de variables;
- uso de ODZ;
- uso de las propiedades de monotonicidad de las funciones.
La realización del estudio del tema es una prueba.
El análisis del trabajo de control muestra:
- los errores típicos de los estudiantes débiles, además de los aritméticos y algebraicos, son transiciones equivalentes incorrectas a un sistema de desigualdades;
- el método de sustitución de factores es utilizado con éxito solo por estudiantes fuertes.
Metas:
- Educación general: para sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con la aplicación de métodos para resolver desigualdades.
- Desarrollando: desarrollar en los estudiantes la capacidad de escuchar una conferencia, escribiéndola de manera concisa en un cuaderno.
- Educativo: para formar motivación cognitiva para estudiar matemáticas.
durante las clases
I. Conversación introductoria:
Hemos terminado el tema “Resolviendo ecuaciones irracionales” y hoy estamos comenzando a aprender cómo resolver desigualdades irracionales.
Primero, recordemos qué tipos de desigualdades puedes resolver y con qué métodos.
Responder: Lineal, cuadrática, racional, trigonométrica. Las lineales se resuelven en base a las propiedades de las desigualdades, las trigonométricas se reducen a las trigonométricas más simples, se resuelven mediante un círculo trigonométrico, y el resto, principalmente por el método de los intervalos.
Pregunta: ¿En qué enunciado se basa el método de los intervalos?
Responder: Sobre un teorema que establece que una función continua que no se anula en algún intervalo conserva su signo en ese intervalo.
II. Consideremos una desigualdad irracional como >
Pregunta: ¿Es posible aplicar el método del intervalo para resolverlo?
Responder: Sí, ya que la función y=- encendido continuo D(y).
Resolvemos esta desigualdad método de intervalo .
Conclusión: resolvimos con bastante facilidad esta desigualdad irracional mediante el método del intervalo, reduciéndola realmente a resolver una ecuación irracional.
Intentemos resolver otra desigualdad con este método.
3)f(x) continuo en D(f)
4) Ceros de función:
- Búsqueda larga D(f).
- Es difícil calcular los puntos de ruptura.
Surge la pregunta: “¿Hay otras formas de resolver esta desigualdad?”.
Obviamente, la hay, y ahora vamos a conocerlas.
tercero Asi que, Asunto de hoy lección: "Métodos para resolver desigualdades irracionales".
La lección se llevará a cabo en forma de conferencia, ya que el libro de texto no contiene un análisis detallado de todos los métodos. Por lo tanto, nuestra importante tarea es redactar un resumen detallado de esta conferencia.
IV. Ya hemos hablado del primer método para resolver desigualdades irracionales.
Este es - método de intervalo , un método universal para resolver todo tipo de desigualdades. Pero no siempre conduce a la meta de una manera breve y sencilla.
v. Al resolver desigualdades irracionales, puede usar las mismas ideas que cuando resuelve ecuaciones irracionales, pero dado que una verificación simple de las soluciones es imposible (después de todo, las soluciones a las desigualdades suelen ser intervalos numéricos enteros), es necesario usar la equivalencia.
Presentamos esquemas para resolver los principales tipos de desigualdades irracionales método de transiciones equivalentes de una desigualdad a un sistema de desigualdades.
2. Análogamente se prueba que
Escribamos estos diagramas en el tablero de referencia. Piensa en las pruebas de Tipo 3 y 4 en casa, las discutiremos en la próxima lección.
VI. Resolvamos la desigualdad de una nueva manera.
La desigualdad original es equivalente a un conjunto de sistemas.
VIII. Y hay un tercer método que a menudo ayuda a resolver desigualdades irracionales complejas. Ya lo hemos hablado en relación a las desigualdades con módulo. Este es método de sustitución de funciones (sustitución del multiplicador). Permítanme recordarles que la esencia del método de reemplazo es que la diferencia en los valores de las funciones monótonas se puede reemplazar por la diferencia en los valores de sus argumentos.
Considere una desigualdad irracional de la forma<,
es decir -< 0.
Por teoría, si p(x) aumenta en algún intervalo al que pertenecen un y b, y un>b, entonces las desigualdades p(a) – p(b) > 0 y a-b> 0 son equivalentes a D(pag), es decir
VIII. Resolvemos la desigualdad por el método de cambio de factores.
Por lo tanto, esta desigualdad es equivalente al sistema
Así, hemos visto que el uso del método de reemplazo de factores para reducir la solución de una desigualdad al método de los intervalos reduce significativamente la cantidad de trabajo.
IX. Ahora que hemos cubierto los tres métodos básicos para resolver ecuaciones, hagamos trabajo independiente con autoexamen.
Es necesario realizar los siguientes números (según el libro de texto de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - resolver_ por el método de_ transiciones equivalentes,_ 1791 (a) - resolver por el método de reemplazo de factores Para resolver desigualdades irracionales, se propone utilizar los métodos analizados anteriormente a la hora de resolver ecuaciones irracionales:
- cambio de variables;
- uso de ODZ;
- uso de las propiedades de monotonicidad de las funciones.
La realización del estudio del tema es una prueba.
El análisis del trabajo de control muestra:
- los errores típicos de los estudiantes débiles, además de los aritméticos y algebraicos, son transiciones equivalentes incorrectas a un sistema de desigualdades;
- el método de sustitución de factores es utilizado con éxito solo por estudiantes fuertes.
T.D. Ivanova
MÉTODOS PARA RESOLVER DESIGUALDADES IRRACIONALES
CDO y NIT SRPTL
UDC 511 (O75.3)
BBC 22. 1Y72
Compilado por TD Ivanova
Revisor: Baisheva M.I.– Candidato a Ciencias Pedagógicas, Profesor Asociado del Departamento
Análisis Matemático Facultad de Matemáticas
Instituto de Matemáticas e Informática de Yakutsk
Universidad Estatal
Métodos para resolver desigualdades irracionales: Guía metodológica
M 34 para estudiantes en los grados 9-11 / comp. Ivanova T. D. de Suntar Suntarsky ulus
RS (Y): TsDO NIT SRPTL, 2007, - 56 p.
El manual está dirigido a estudiantes de bachillerato de una escuela secundaria, así como a los que ingresan a las universidades como guía metodológica para la solución de desigualdades irracionales. El manual analiza en detalle los principales métodos para resolver desigualdades irracionales, da ejemplos de cómo resolver desigualdades irracionales con parámetros y también ofrece ejemplos para una solución independiente. Los profesores pueden utilizar el manual como material didáctico para el trabajo independiente, con una repetición general del tema "Desigualdades irracionales".
El manual refleja la experiencia del docente al estudiar el tema "Desigualdades irracionales" con los alumnos.
Las tareas se toman de los materiales de los exámenes de ingreso, periódicos y revistas metódicos, libros de texto, cuya lista se encuentra al final del manual
UDC 511 (O75.3)
BBC 22. 1Y72
T. D. Ivanova, comp., 2006.
CDO NIT SRPTL, 2007.
Prefacio 5
Introducción 6
Sección I. Ejemplos de resolución de las desigualdades irracionales más simples 7
Sección II Desigualdades de forma 
>g(x), 
g(x), 
g(x) 9
Sección III. Desigualdades de la forma 
;
;
;
13
Sección IV. Desigualdades que contienen varias raíces pares 16
Sección V. Método de sustitución (introducción de una nueva variable) 20
Sección VI. Desigualdades de la forma f(x) 
0; f(x)0;
Sección VII. Desigualdades de la forma 
25
Sección VIII. Uso de transformaciones radicales
en desigualdades irracionales 26
Sección IX. Solución gráfica de desigualdades irracionales 27
Sección X. Desigualdades tipo mixto 31
Sección XI. Usando la propiedad de monotonicidad de una función 41
Sección XII. Método de sustitución de funciones 43
Sección XIII. Ejemplos de resolución de desigualdades directamente
método de intervalo 45
Sección XIV. Ejemplos de resolución de desigualdades irracionales con parámetros 46
Literatura 56
REVISIÓN
Este manual está destinado a estudiantes en los grados 10-11. Como muestra la práctica, los escolares, los solicitantes experimentan dificultades particulares para resolver desigualdades irracionales. Esto se debe al hecho de que en las matemáticas escolares esta sección se considera insuficiente, varios métodos para resolver tales desigualdades no se consideran más ampliamente. Los profesores de escuela también sienten una falta de literatura metodológica, lo que se manifiesta en una cantidad limitada de material de tareas que indica varios enfoques y métodos de solución.
El manual considera métodos para resolver desigualdades irracionales. Ivanova T. D. al comienzo de cada sección presenta a los estudiantes la idea principal del método, luego se muestran ejemplos con explicaciones y se proponen tareas para una solución independiente.
El compilador utiliza los métodos más "espectaculares" para resolver las desigualdades irracionales que ocurren al ingresar a instituciones de educación superior con mayores requisitos para el conocimiento de los estudiantes.
Los estudiantes, después de haber leído este manual, pueden obtener una experiencia y una habilidad invaluables para resolver desigualdades irracionales complejas. Creo que este manual también será útil para los profesores de matemáticas que trabajan en clases especializadas, así como para los desarrolladores de cursos electivos.
Candidato a Ciencias Pedagógicas, Profesor Asociado, Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Instituto de Matemáticas e Informática, Universidad Estatal de Yakut
Baisheva M.I.
PREFACIO
El manual está dirigido a estudiantes de bachillerato de una escuela secundaria, así como a los que ingresan a las universidades como guía metodológica para la solución de desigualdades irracionales. El manual analiza en detalle los principales métodos para resolver desigualdades irracionales, brinda patrones ejemplares para resolver desigualdades irracionales, brinda ejemplos de resolución de desigualdades irracionales con parámetros y también ofrece ejemplos para una solución independiente, para algunos de ellos se dan respuestas cortas e instrucciones.
Al analizar ejemplos, resolver desigualdades de forma independiente, se supone que el estudiante puede resolver desigualdades lineales, cuadradas y otras, posee varios métodos para resolver desigualdades, en particular, el método de intervalos. Se propone resolver la desigualdad de varias formas.
Los profesores pueden utilizar el manual como material didáctico para el trabajo independiente, con una repetición general del tema "Desigualdades irracionales".
El manual refleja la experiencia del docente al estudiar el tema "Desigualdades irracionales" con los alumnos.
Las tareas se seleccionan de los materiales de los exámenes de ingreso a instituciones de educación superior, periódicos metódicos y revistas de matemáticas "Primero de septiembre", "Matemáticas en la escuela", "Quantum", libros de texto, cuya lista se encuentra al final del manual. .
INTRODUCCIÓN
Las irracionales son desigualdades en las que las variables o una función de una variable entran bajo el signo de la raíz.
El principal método estándar para resolver desigualdades irracionales es elevar sucesivamente ambas partes de la desigualdad a una potencia para eliminar la raíz. Pero esta operación a menudo conduce a la aparición de raíces extrañas o incluso a la pérdida de raíces, es decir. conduce a una desigualdad que no es equivalente a la original. Por lo tanto, es necesario monitorear cuidadosamente la equivalencia de las transformaciones y considerar solo aquellos valores de la variable para los cuales la desigualdad tiene sentido:
si la raíz es de grado par, entonces la expresión radical debe ser no negativa y el valor de la raíz también debe ser un número no negativo.
si la raíz del grado es un número impar, entonces la expresión radical puede tomar cualquier número real y el signo de la raíz coincide con el signo de la expresión radical.
es posible elevar ambas partes de la desigualdad a una potencia par solo después de asegurarse primero de que no son negativas;
elevar ambos lados de una desigualdad a la misma potencia impar es siempre una transformación equivalente.
Capítuloyo. Ejemplos de resolución de las desigualdades irracionales más simples
Ejemplos 1- 6:
Decisión:
1. a) 
.
b) 
.
2. a) 
b) 
3. a) 
.
b) 
.
4. a) 
b) 
5. a) 
.
b) 
6.a) 
.
b) 
.
7.
8. a) 
.
b) 
9. a) 
.
b) 
11.
12. Encuentra el entero positivo más pequeño x que satisface la desigualdad 
13. a) Encuentra el punto medio del intervalo solución de la desigualdad 
b) Encuentra la media aritmética de todos los valores enteros de x para los cuales la desigualdad tiene solución de 4 
14. Encuentra la solución negativa más pequeña a la desigualdad 
15.a) 
;
b) 
Sección II. Desigualdades de la forma >g(x), g(x),g(x)
De manera similar, como en la resolución de los ejemplos 1-4, argumentamos al resolver desigualdades del tipo indicado.
Ejemplo 7
:
Resuelve la desigualdad 
>
X + 1
Decisión: Desigualdades OHS: X-3. Para el lado derecho, hay dos casos posibles:
un) X+ 10 (el lado derecho no es negativo) o b) X + 1
Considere a) Si X+10, es decir X- 1, entonces ambas partes de la desigualdad son no negativas. Elevemos al cuadrado ambos lados: X
+ 3 >X
+
2X+ 1. Obtenemos la desigualdad cuadrática X+
X – 2
X x - 1, obtenemos -1 
Considere b) Si X+1xx-3
Combinando las soluciones del caso a) -1 y b) X-3, escribe la respuesta: X
.
Es conveniente escribir todos los argumentos al resolver el Ejemplo 7 de la siguiente manera:
La desigualdad original es equivalente al conjunto de sistemas de desigualdades
.
X 
Responder: .
Razonamiento al resolver desigualdades de la forma
1.> gramo(X); 2. gramo(X); 3. gramo(X); 4. gramo(X) se puede escribir brevemente como los siguientes diagramas:
YO.
>
gramo(X)
2.
gramo(X)
3.
gramo(X)
4.
gramo(X)
.
Ejemplo 8
:
X.
Decisión:
La desigualdad original es equivalente al sistema 
x>0
Responder:
X
.
Tareas para solución independiente:
b) 
b) 
.
b) 
b) 
20. a) 
X
b) 
21. a) 
Cualquier desigualdad, que incluye una función debajo de la raíz, se llama irracional. Hay dos tipos de tales desigualdades:
En el primer caso, la raíz es menor que la función g (x), en el segundo, más. Si g(x) - constante, la desigualdad se simplifica dramáticamente. Tenga en cuenta que, en apariencia, estas desigualdades son muy similares, pero sus esquemas de solución son fundamentalmente diferentes.
Hoy aprenderemos a resolver desigualdades irracionales del primer tipo: son las más simples y comprensibles. El signo de desigualdad puede ser estricto o no estricto. La siguiente afirmación es cierta para ellos:
Teorema. Cualquier desigualdad irracional de la forma
Equivalente al sistema de desigualdades:
¿No es débil? Veamos de dónde viene tal sistema:
- f (x) ≤ g 2 (x) - todo está claro aquí. Esta es la desigualdad original al cuadrado;
- f(x) ≥ 0 es la ODZ de la raíz. Déjame recordarte: la raíz cuadrada aritmética existe solo a partir de no negativo números;
- g(x) ≥ 0 es el rango de la raíz. Al elevar al cuadrado la desigualdad, quemamos los contras. Como resultado, pueden aparecer raíces adicionales. La desigualdad g (x) ≥ 0 los corta.
Muchos estudiantes "van en ciclos" en la primera desigualdad del sistema: f (x) ≤ g 2 (x) - y se olvidan por completo de las otras dos. El resultado es predecible: decisión equivocada, puntos perdidos.
Dado que las desigualdades irracionales son un tema bastante complicado, analicemos 4 ejemplos a la vez. Desde elemental hasta realmente complejo. Todas las tareas se toman de los exámenes de ingreso de la Universidad Estatal de Moscú. MV Lomonosov.
Ejemplos de resolución de problemas
Tarea. Resuelve la desigualdad:
tenemos un clasico desigualdad irracional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 es una constante. Tenemos:
Solo dos de las tres desigualdades permanecieron al final de la solución. Porque la desigualdad 2 ≥ 0 siempre se cumple. Intersequemos las desigualdades restantes:
Entonces, x ∈ [−1,5; 0,5]. Todos los puntos están sombreados porque las desigualdades no son estrictas.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Aplicamos el teorema:
Resolvemos la primera desigualdad. Para ello, abriremos el cuadrado de la diferencia. Tenemos:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Ahora resolvamos la segunda desigualdad. Ahí también trinomio cuadrado:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
