Según la teoría de la probabilidad. Tipos de eventos, cálculo directo de la probabilidad de ocurrencia de un evento

La doctrina de las leyes a las que se denominan. eventos aleatorios. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Chudinov AN, 1910 ... Diccionario de palabras extranjeras del idioma ruso.

teoría de probabilidad- - [L. G. Sumenko. Diccionario Inglés Ruso de Tecnologías de la Información. M.: GP TsNIIS, 2003.] Temas tecnología de la información en general ES teoría de la probabilidadteoría de las posibilidadescálculo de probabilidad... Manual del traductor técnico

Teoría de probabilidad- hay una parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre las probabilidades (ver Probabilidad y Estadística) de varios eventos. Enumeramos los teoremas más importantes relacionados con esta ciencia. La probabilidad de ocurrencia de uno de varios eventos incompatibles es igual a ... ... Diccionario Enciclopédico F.A. Brockhaus e I. A. Efrón

TEORÍA DE PROBABILIDAD- matemático una ciencia que permite, de acuerdo con las probabilidades de algunos eventos aleatorios (ver), encontrar las probabilidades de eventos aleatorios asociados con k.l. camino con el primero. televisión moderna basado en la axiomática (ver Método axiomático) de A. N. Kolmogorov. Sobre el… … enciclopedia sociologica rusa

Teoría de probabilidad- una rama de las matemáticas en la que, de acuerdo con las probabilidades dadas de algunos eventos aleatorios, se encuentran las probabilidades de otros eventos, relacionados de alguna manera con el primero. La teoría de la probabilidad también estudia variables aleatorias y procesos aleatorios. Uno de los principales… … Conceptos de las ciencias naturales modernas. Glosario de términos básicos

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Teoría de probabilidad-...Wikipedia

Teoría de probabilidad- una disciplina matemática que estudia los patrones de fenómenos aleatorios... Comienzos de las ciencias naturales modernas

TEORÍA DE PROBABILIDAD- (teoría de la probabilidad) ver Probabilidad ... Gran diccionario sociológico explicativo

Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.- ("Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones"), una revista científica del Departamento de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS. Publica artículos originales y comunicaciones breves sobre teoría de probabilidades, problemas generales de estadística matemática y sus aplicaciones en ciencias naturales y... ... Gran enciclopedia soviética

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La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los patrones de los fenómenos aleatorios: eventos aleatorios, variables aleatorias, sus propiedades y operaciones sobre ellas.

Durante mucho tiempo, la teoría de la probabilidad no tuvo una definición clara. Fue formulado recién en 1929. El surgimiento de la teoría de la probabilidad como ciencia se atribuye a la Edad Media y los primeros intentos de análisis matemático de los juegos de azar (tirar, dados, ruleta). Los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat descubrieron los primeros patrones probabilísticos que surgen al lanzar los dados mientras estudiaban la predicción de ganancias en los juegos de azar.

La teoría de la probabilidad surgió como ciencia a partir de la creencia de que ciertas regularidades subyacen a eventos aleatorios masivos. La teoría de la probabilidad estudia estos patrones.

La teoría de la probabilidad se ocupa del estudio de eventos, cuya ocurrencia no se conoce con certeza. Le permite juzgar el grado de probabilidad de que ocurran algunos eventos en comparación con otros.

Por ejemplo: es imposible determinar inequívocamente el resultado de una moneda lanzando cara o cruz, pero con lanzamientos repetidos, cae aproximadamente el mismo número de caras y cruces, lo que significa que la probabilidad de que caiga cara o cruz ", es igual al 50%.

prueba en este caso, se llama la implementación de un determinado conjunto de condiciones, es decir, en este caso, el lanzamiento de una moneda. El desafío se puede jugar un número ilimitado de veces. En este caso, el complejo de condiciones incluye factores aleatorios.

El resultado de la prueba es evento. El evento sucede:

1. Confiable (siempre ocurre como resultado de las pruebas).
2. Imposible (nunca sucede).
3. Aleatorio (puede ocurrir o no como resultado de la prueba).

Por ejemplo, al lanzar una moneda, un evento imposible: la moneda terminará en el borde, un evento aleatorio: la pérdida de "cara" o "cruz". El resultado de la prueba específica se llama evento elemental. Como resultado de la prueba, solo ocurren eventos elementales. La totalidad de todos los resultados posibles, diferentes y específicos de la prueba se denomina espacio para eventos elementales.

Conceptos básicos de la teoría

Probabilidad- el grado de posibilidad de la ocurrencia del evento. Cuando las razones para que ocurra un evento posible superan las razones opuestas, entonces este evento se llama probable, de lo contrario, poco probable o improbable.

Valor aleatorio- este es un valor que, como resultado de la prueba, puede tomar uno u otro valor, y no se sabe de antemano cuál. Por ejemplo: el número de estaciones de bomberos por día, el número de aciertos con 10 disparos, etc.

Las variables aleatorias se pueden dividir en dos categorías.

1. Variable aleatoria discreta se llama tal cantidad que, como resultado de la prueba, puede tomar ciertos valores con cierta probabilidad, formando un conjunto contable (un conjunto cuyos elementos se pueden numerar). Este conjunto puede ser finito o infinito. Por ejemplo, el número de disparos antes del primer impacto en el blanco es una variable aleatoria discreta, porque este valor puede tomar un número infinito, aunque contable, de valores.
2. Variable aleatoria continua es una cantidad que puede tomar cualquier valor de algún intervalo finito o infinito. Obviamente, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinito.

espacio de probabilidad- el concepto introducido por A.N. Kolmogorov en la década de 1930 para formalizar el concepto de probabilidad, lo que dio lugar al rápido desarrollo de la teoría de la probabilidad como disciplina matemática rigurosa.

El espacio de probabilidad es un triple (a veces enmarcado entre paréntesis angulares: , donde

Este es un conjunto arbitrario, cuyos elementos se denominan eventos, resultados o puntos elementales;
- sigma-álgebra de subconjuntos llamados eventos (aleatorios);
- medida probabilística o probabilidad, es decir, medida finita sigma-aditiva tal que .

Teorema de De Moivre-Laplace- uno de los teoremas limitantes de la teoría de la probabilidad, establecido por Laplace en 1812. Ella afirma que el número de éxitos al repetir el mismo experimento aleatorio con dos resultados posibles tiene una distribución aproximadamente normal. Le permite encontrar un valor aproximado de la probabilidad.

Si, para cada uno de los ensayos independientes, la probabilidad de que ocurra algún evento aleatorio es igual a () y es el número de ensayos en los que realmente ocurre, entonces la probabilidad de validez de la desigualdad es cercana (para grandes ) al valor de la integral de Laplace.

Función de distribución en la teoría de la probabilidad- una función que caracteriza la distribución de una variable aleatoria o un vector aleatorio; la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor menor o igual que x, donde x es arbitraria Número Real. Bajo ciertas condiciones, determina completamente una variable aleatoria.

Valor esperado- el valor medio de una variable aleatoria (esta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, considerada en la teoría de la probabilidad). En la literatura inglesa, se denota por, en ruso -. En estadística, la notación se usa a menudo.

Sea dado un espacio de probabilidad y una variable aleatoria definida en él. Eso es, por definición, una función medible. Entonces, si existe una integral de Lebesgue sobre el espacio, entonces se llama la expectativa matemática, o valor medio, y se denota por .

Varianza de una variable aleatoria- una medida de la dispersión de una variable aleatoria dada, es decir, su desviación de la expectativa matemática. Designado en la literatura rusa y en el extranjero. En estadística, la designación o se usa a menudo. La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación estándar, desviación estándar o dispersión estándar.

Sea una variable aleatoria definida en algún espacio de probabilidad. Entonces

donde el símbolo denota la expectativa matemática.

En la teoría de la probabilidad, dos eventos aleatorios se denominan independiente si la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. De manera similar, dos variables aleatorias se llaman dependiente si el valor de uno de ellos afecta la probabilidad de los valores del otro.

La forma más simple de la ley de los grandes números es el teorema de Bernoulli, que establece que si la probabilidad de un evento es la misma en todos los intentos, a medida que aumenta el número de intentos, la frecuencia del evento tiende a la probabilidad del evento y deja de ser aleatorio.

La ley de los grandes números en la teoría de la probabilidad establece que la media aritmética de una muestra finita de una distribución fija está cerca de la media teórica de esa distribución. Según el tipo de convergencia, se distingue una ley débil de los grandes números, cuando se produce la convergencia en probabilidad, y una ley fuerte de los grandes números, cuando se produce casi con seguridad la convergencia.

El sentido general de la ley de los grandes números es que la acción conjunta de un gran número de factores aleatorios idénticos e independientes conduce a un resultado que, en el límite, no depende del azar.

Los métodos de estimación de probabilidad basados ​​en el análisis de una muestra finita se basan en esta propiedad. Un buen ejemplo es la predicción de resultados electorales basada en una encuesta a una muestra de votantes.

Teoremas del límite central- una clase de teoremas en la teoría de la probabilidad que establece que la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias débilmente dependientes que tienen aproximadamente la misma escala (ninguno de los términos domina, no hace una contribución decisiva a la suma) tiene una distribución cercana a normal.

Dado que muchas variables aleatorias en las aplicaciones se forman bajo la influencia de varios factores aleatorios débilmente dependientes, su distribución se considera normal. En este caso, debe observarse la condición de que ninguno de los factores sea dominante. Los teoremas del límite central en estos casos justifican la aplicación de la distribución normal.

Cuando se lanza una moneda, se puede decir que caerá cara, o probabilidad de esto es 1/2. Por supuesto, esto no significa que si una moneda se lanza 10 veces, necesariamente caerá en cara 5 veces. Si la moneda es "justa" y si se lanza muchas veces, la cara saldrá muy cerca la mitad de las veces. Por lo tanto, hay dos tipos de probabilidades: experimental y teórico .

Probabilidad experimental y teórica

Si lanzamos una moneda una gran cantidad de veces, digamos 1000, y contamos cuántas veces sale cara, podemos determinar la probabilidad de que salga cara. Si sale cara 503 veces, podemos calcular la probabilidad de que salga:
503/1000, o 0,503.

Este es experimental definición de probabilidad. Esta definición de probabilidad se deriva de la observación y el estudio de los datos y es bastante común y muy útil. Por ejemplo, aquí hay algunas probabilidades que se determinaron experimentalmente:

1. La probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama es 1/11.

2. Si besas a alguien que está resfriado, la probabilidad de que tú también estés resfriado es 0,07.

3. Una persona que acaba de salir de prisión tiene un 80% de posibilidades de volver a prisión.

Si consideramos el lanzamiento de una moneda al aire y teniendo en cuenta que es igualmente probable que salga cara o cruz, podemos calcular la probabilidad de que salga cara: 1/2. Esta es la definición teórica de probabilidad. Aquí hay algunas otras probabilidades que se han determinado teóricamente usando matemáticas:

1. Si hay 30 personas en una habitación, la probabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumpleaños (excluyendo el año) es 0.706.

2. Durante un viaje conoces a alguien y en el transcurso de la conversación descubres que tienen un conocido en común. Reacción típica: "¡Eso no puede ser!" De hecho, esta frase no encaja, porque la probabilidad de tal evento es bastante alta, un poco más del 22%.

Por lo tanto, la probabilidad experimental se determina mediante la observación y la recopilación de datos. Las probabilidades teóricas se determinan mediante razonamiento matemático. Los ejemplos de probabilidades experimentales y teóricas, como las discutidas anteriormente, y especialmente aquellas que no esperamos, nos llevan a la importancia de estudiar la probabilidad. Usted puede preguntar, "¿Qué es la verdadera probabilidad?" En realidad, no hay ninguno. Es experimentalmente posible determinar las probabilidades dentro de ciertos límites. Pueden o no coincidir con las probabilidades que obtenemos teóricamente. Hay situaciones en las que es mucho más fácil definir un tipo de probabilidad que otro. Por ejemplo, sería suficiente encontrar la probabilidad de resfriarse utilizando la probabilidad teórica.

Cálculo de probabilidades experimentales

Considere primero la definición experimental de probabilidad. El principio básico que usamos para calcular tales probabilidades es el siguiente.

Principio P (experimental)

Si en un experimento en el que se realizan n observaciones, la situación o evento E ocurre m veces en n observaciones, entonces se dice que la probabilidad experimental del evento es P (E) = m/n.

Ejemplo 1 Encuesta sociológica. Se realizó un estudio experimental para determinar el número de zurdos, diestros y personas en las que ambas manos están igualmente desarrolladas, los resultados se muestran en el gráfico.

a) Determine la probabilidad de que la persona sea diestra.

b) Determinar la probabilidad de que la persona sea zurda.

c) Determinar la probabilidad de que la persona sea igualmente fluida en ambas manos.

d) La mayoría de los torneos de la PBA tienen 120 jugadores. Con base en este experimento, ¿cuántos jugadores pueden ser zurdos?

Decisión

a) El número de personas que son diestras es 82, el número de zurdos es 17 y el número de personas que tienen la misma fluidez en ambas manos es 1. El número total de observaciones es 100. Por lo tanto, la probabilidad que una persona sea diestra es P
P = 82/100, o 0,82, o 82 %.

b) La probabilidad de que una persona sea zurda es P, donde
P = 17/100 o 0,17 o 17%.

c) La probabilidad de que una persona sea igualmente fluida con ambas manos es P, donde
P = 1/100 o 0,01 o 1%.

d) 120 jugadores de bolos y de (b) podemos esperar que el 17% sean zurdos. De aquí
17% de 120 = 0.17.120 = 20.4,
es decir, podemos esperar que unos 20 jugadores sean zurdos.

Ejemplo 2 Control de calidad . Es muy importante para un fabricante mantener la calidad de sus productos a un alto nivel. De hecho, las empresas contratan inspectores de control de calidad para garantizar este proceso. El objetivo es liberar el mínimo número posible de productos defectuosos. Pero dado que la empresa produce miles de artículos todos los días, no puede permitirse el lujo de inspeccionar cada artículo para determinar si es defectuoso o no. Para averiguar qué porcentaje de productos son defectuosos, la empresa prueba muchos menos productos.
El USDA requiere que el 80% de las semillas que venden los cultivadores germinen. Para determinar la calidad de las semillas que produce la empresa agrícola se siembran 500 semillas de las que se han producido. Después de eso, se calculó que germinaron 417 semillas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la semilla germine?

b) ¿Cumplen las semillas con los estándares gubernamentales?

Decisión a) Sabemos que de 500 semillas que se sembraron, brotaron 417. La probabilidad de germinación de semillas P, y
P = 417/500 = 0,834 o 83,4 %.

b) Dado que el porcentaje de semillas germinadas superó el 80% a pedido, las semillas cumplen con los estándares estatales.

Ejemplo 3 clasificaciones de televisión. Según las estadísticas, hay 105,500,000 hogares con TV en los Estados Unidos. Cada semana, se recopila y procesa información sobre la visualización de programas. En una semana, 7.815.000 hogares sintonizaron la exitosa serie de comedia de CBS Everybody Loves Raymond y 8.302.000 hogares sintonizaron el éxito Law & Order de NBC (Fuente: Nielsen Media Research). ¿Cuál es la probabilidad de que el televisor de una casa esté sintonizado en "Todos aman a Raymond" durante una semana dada? o "La ley y el orden"?

Solución La probabilidad de que el televisor de una casa esté puesto en "Todo el mundo quiere a Raymond" es P, y
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La posibilidad de que el televisor de la casa estuviera puesto en "Ley y orden" es P, y
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Estos porcentajes se denominan calificaciones.

probabilidad teórica

Supongamos que estamos haciendo un experimento, como lanzar una moneda o un dardo, sacar una carta de una baraja o probar elementos en una línea de montaje. Cada resultado posible de tal experimento se llama éxodo . El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio de resultados . Evento es un conjunto de resultados, es decir, un subconjunto del espacio de resultados.

Ejemplo 4 Lanzar dardos. Supongamos que en el experimento de "lanzamiento de dardos", el dardo da en el blanco. Encuentre cada uno de los siguientes:

b) Espacio de resultados

Decisión
a) Los resultados son: acertar con negro (H), acertar con rojo (K) y acertar con blanco (B).

b) Hay un espacio de resultado (golpe negro, golpe rojo, golpe blanco), que se puede escribir simplemente como (B, R, B).

Ejemplo 5 Tirando dados. Un dado es un cubo con seis lados, cada uno de los cuales tiene de uno a seis puntos.


Supongamos que estamos lanzando un dado. Encontrar
a) Resultados
b) Espacio de resultados

Decisión
a) Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Espacio de resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Denotamos la probabilidad de que un evento E ocurra como P(E). Por ejemplo, "la moneda caerá en cruz" se puede denotar con H. Entonces P(H) es la probabilidad de que la moneda caiga en cruz. Cuando todos los resultados de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que son igualmente probables. Para ver la diferencia entre eventos que son igualmente probables y eventos que no son igualmente probables, considere el objetivo que se muestra a continuación.

Para el objetivo A, los eventos de acierto negro, rojo y blanco son igualmente probables, ya que los sectores negro, rojo y blanco son iguales. Sin embargo, para el objetivo B, las zonas con estos colores no son las mismas, es decir, no es igual de probable golpearlas.

Principio P (Teórico)

Si un evento E puede ocurrir en m formas de n posibles resultados equiprobables del espacio de resultados S, entonces probabilidad teórica evento, P(E) es
P(E) = m/n.

Ejemplo 6¿Cuál es la probabilidad de sacar un 3 al lanzar un dado?

Decisión Hay 6 resultados igualmente probables en el dado y solo hay una posibilidad de sacar el número 3. Entonces la probabilidad P será P(3) = 1/6.

Ejemplo 7¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par en el dado?

Decisión El evento es el lanzamiento de un número par. Esto puede suceder de 3 maneras (si sacas 2, 4 o 6). El número de resultados equiprobables es 6. Entonces la probabilidad P(par) = 3/6, o 1/2.

Usaremos una serie de ejemplos relacionados con una baraja estándar de 52 cartas. Tal mazo consta de las cartas que se muestran en la figura a continuación.

Ejemplo 8¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja de cartas bien barajada?

Decisión Hay 52 resultados (el número de cartas en la baraja), son igualmente probables (si la baraja está bien mezclada) y hay 4 formas de sacar un as, así que de acuerdo con el principio P, la probabilidad
P(sacar un as) = ​​4/52, o 1/13.

Ejemplo 9 Supongamos que elegimos sin mirar una canica de una bolsa de 3 canicas rojas y 4 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?

Decisión Hay 7 resultados igualmente probables para obtener cualquier bola, y dado que el número de formas de sacar una bola roja es 3, obtenemos
P(elegir una bola roja) = 3/7.

Las siguientes declaraciones son resultados del principio P.

Propiedades de probabilidad

a) Si el evento E no puede ocurrir, entonces P(E) = 0.
b) Si el evento E tiene que suceder, entonces P(E) = 1.
c) La probabilidad de que ocurra el evento E es un número entre 0 y 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Por ejemplo, al lanzar una moneda, el evento de que la moneda caiga sobre su borde tiene probabilidad cero. La probabilidad de que una moneda salga cara o cruz tiene una probabilidad de 1.

Ejemplo 10 Supongamos que se extraen 2 cartas de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean picas?

Decisión El número de formas n de sacar 2 cartas de un mazo de 52 cartas bien barajado es 52 C 2 . Dado que 13 de las 52 cartas son espadas, el número m de formas de sacar 2 espadas es 13 C 2 . Entonces,
P(estiramiento de 2 picos) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Ejemplo 11 Supongamos que se seleccionan al azar 3 personas de un grupo de 6 hombres y 4 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que resulten elegidos 1 hombre y 2 mujeres?

Decisión Número de formas de elegir a tres personas de un grupo de 10 personas 10 C 3 . Un hombre puede ser elegido en 6 C 1 formas y 2 mujeres pueden ser elegidas en 4 C 2 formas. De acuerdo con el principio fundamental de contar, el número de formas de elegir el 1er hombre y 2 mujeres es 6 C 1 . 4C2. Entonces, la probabilidad de que se elijan 1 hombre y 2 mujeres es
PAG = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Ejemplo 12 Tirando dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de 8 en dos dados?

Decisión Hay 6 resultados posibles en cada dado. Los resultados se duplican, es decir, hay 6,6 o 36 formas posibles en las que pueden caer los números de dos dados. (Es mejor si los cubos son diferentes, digamos que uno es rojo y el otro azul; esto ayudará a visualizar el resultado).

Los pares de números que suman 8 se muestran en la siguiente figura. Hay 5 formas posibles de obtener la suma igual a 8, por lo que la probabilidad es 5/36.

INTRODUCCIÓN

Muchas cosas nos resultan incomprensibles, no porque nuestros conceptos sean débiles;
sino porque estas cosas no entran en el círculo de nuestros conceptos.
Kozma Prutkov

El objetivo principal de estudiar matemáticas en instituciones educativas secundarias especializadas es brindar a los estudiantes un conjunto de conocimientos y habilidades matemáticos necesarios para estudiar otras disciplinas del programa que usan matemáticas en un grado u otro, para la capacidad de realizar cálculos prácticos, para la formación y desarrollo. del pensamiento lógico.

En este documento, todos los conceptos básicos de la sección de matemáticas "Fundamentos de teoría de la probabilidad y estadística matemática", proporcionados por el programa y los estándares educativos estatales de educación vocacional secundaria (Ministerio de Educación de la Federación Rusa. M., 2002 ), se introducen consistentemente, se formulan los principales teoremas, la mayoría de los cuales no se prueban. Se consideran las principales tareas y métodos para su solución y las tecnologías para aplicar estos métodos a la resolución de problemas prácticos. La presentación va acompañada de comentarios detallados y numerosos ejemplos.

Las instrucciones metódicas se pueden utilizar para el conocimiento inicial del material estudiado, al tomar notas de conferencias, para preparar ejercicios prácticos, para consolidar los conocimientos, habilidades y capacidades adquiridos. Además, el manual será útil para los estudiantes de pregrado como una herramienta de referencia que le permite restaurar rápidamente en la memoria lo que se estudió anteriormente.

Al final del trabajo se dan ejemplos y tareas que los alumnos pueden realizar en modo autocontrol.

Las instrucciones metodológicas están destinadas a estudiantes de educación por correspondencia ya tiempo completo.

CONCEPTOS BÁSICOS

La teoría de la probabilidad estudia las regularidades objetivas de eventos masivos aleatorios. Es una base teórica para la estadística matemática, que se ocupa del desarrollo de métodos para recopilar, describir y procesar los resultados de las observaciones. A través de observaciones (pruebas, experimentos), es decir, experiencia en el sentido amplio de la palabra, hay un conocimiento de los fenómenos del mundo real.

En nuestras actividades prácticas, a menudo nos encontramos con fenómenos cuyo resultado no se puede predecir, cuyo resultado depende del azar.

Un fenómeno aleatorio se puede caracterizar por la relación entre el número de sus ocurrencias y el número de ensayos, en cada uno de los cuales, bajo las mismas condiciones de todos los ensayos, podría ocurrir o no ocurrir.

La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas en la que se estudian fenómenos aleatorios (eventos) y se revelan regularidades cuando se repiten masivamente.

La estadística matemática es una rama de las matemáticas que tiene como objeto el estudio de métodos para recopilar, sistematizar, procesar y utilizar datos estadísticos para obtener conclusiones científicamente sólidas y tomar decisiones.

Al mismo tiempo, los datos estadísticos se entienden como un conjunto de números que representan las características cuantitativas de las características de los objetos estudiados que nos interesan. Los datos estadísticos se obtienen como resultado de experimentos y observaciones especialmente diseñados.

Los datos estadísticos en su esencia dependen de muchos factores aleatorios, por lo que la estadística matemática está estrechamente relacionada con la teoría de la probabilidad, que es su base teórica.

I. PROBABILIDAD. TEOREMAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDAD

1.1. Conceptos básicos de combinatoria

En la sección de matemáticas denominada combinatoria, se resuelven algunos problemas relacionados con la consideración de conjuntos y la compilación de varias combinaciones de elementos de estos conjuntos. Por ejemplo, si tomamos 10 números diferentes 0, 1, 2, 3,:, 9 y hacemos combinaciones de ellos, obtendremos diferentes números, por ejemplo 143, 431, 5671, 1207, 43, etc.

Vemos que algunas de estas combinaciones se diferencian únicamente en el orden de los dígitos (por ejemplo, 143 y 431), otras en los números incluidos en ellas (por ejemplo, 5671 y 1207), y otras también se diferencian en el número de dígitos ( por ejemplo, 143 y 43).

Así, las combinaciones obtenidas cumplen varias condiciones.

Dependiendo de las reglas de compilación, se pueden distinguir tres tipos de combinaciones: permutaciones, colocaciones, combinaciones.

Primero vamos a familiarizarnos con el concepto. factorial.

El producto de todos los números naturales del 1 al n inclusive se llama n-factorial y escribe.

Calcular: a) ; b) ; en) .

Decisión. un) .

b) así como , entonces puedes sacarlo de los corchetes

Entonces obtenemos

en) .

permutaciones.

Una combinación de n elementos que difieren entre sí solo en el orden de los elementos se llama permutación.

Las permutaciones se denotan con el símbolo Pn , donde n es el número de elementos en cada permutación. ( R- la primera letra de la palabra francesa permutación- permutación).

El número de permutaciones se puede calcular usando la fórmula

o con factorial:

recordemos que 0!=1 y 1!=1.

Ejemplo 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar seis libros diferentes en un estante?

Decisión. El número deseado de formas es igual al número de permutaciones de 6 elementos, es decir

Alojamientos.

Ubicaciones de metro elementos en norte en cada uno, se llaman compuestos que difieren entre sí por los elementos mismos (al menos uno) o por el orden de la ubicación.

Las ubicaciones se indican con el símbolo , donde metro es el número de todos los elementos disponibles, norte es el número de elementos en cada combinación. ( PERO- primera letra de la palabra francesa arreglo, que significa "colocación, puesta en orden").

Al mismo tiempo, se supone que Nuevo Méjico.

El número de ubicaciones se puede calcular usando la fórmula

,

aquellas. el número de todas las colocaciones posibles de metro elementos por norte es igual al producto norte enteros consecutivos, de los cuales el mayor es metro.

Escribimos esta fórmula en forma factorial:

Ejemplo 3. ¿Cuántas opciones para la distribución de tres vales a un sanatorio de varios perfiles se pueden realizar para cinco solicitantes?

Decisión. El número deseado de opciones es igual al número de ubicaciones de 5 elementos por 3 elementos, es decir

.

Combinaciones.

Las combinaciones son todas las combinaciones posibles de metro elementos por norte, que se diferencian entre sí por al menos un elemento (aquí metro y norte- números naturales y Nuevo Méjico).

Número de combinaciones de metro elementos por norte se denotan ( Con- la primera letra de la palabra francesa combinación- combinación).

En general, el número de metro elementos por norte igual al número de ubicaciones de metro elementos por norte dividido por el número de permutaciones de norte elementos:

Usando fórmulas factoriales para números de ubicación y permutación, obtenemos:

Ejemplo 4. En un equipo de 25 personas, debe asignar cuatro para trabajar en un área determinada. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Decisión. Dado que el orden de las cuatro personas elegidas no importa, esto se puede hacer de varias maneras.

Hallamos por la primera formula

.

Además, al resolver problemas, se utilizan las siguientes fórmulas que expresan las principales propiedades de las combinaciones:

(por definición, y se suponen);

.

1.2. Resolver problemas combinatorios

Tarea 1. En la facultad se estudian 16 materias. El lunes, necesitas poner 3 materias en el horario. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Decisión. Hay tantas formas de programar tres elementos de 16 como ubicaciones de 16 elementos de 3 cada uno.

Tarea 2. De 15 objetos, se deben seleccionar 10 objetos. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Tarea 3. Cuatro equipos participaron en la competencia. ¿Cuántas opciones de distribución de asientos entre ellos son posibles?

.

Problema 4. ¿De cuántas maneras se puede formar una patrulla de tres soldados y un oficial si hay 80 soldados y 3 oficiales?

Decisión. Se puede seleccionar soldado en patrulla

caminos, y caminos oficiales. Dado que cualquier oficial puede ir con cada equipo de soldados, solo hay formas.

Tarea 5. Averiguar si se sabe que .

Dado que , obtenemos

,

,

Por definición de combinación se sigue que , . Ese. .

1.3. El concepto de un evento aleatorio. Tipos de eventos. Probabilidad de eventos

Cualquier acción, fenómeno, observación con varios resultados diferentes, realizada bajo un conjunto dado de condiciones, se llamará prueba.

El resultado de esta acción u observación se llama evento .

Si un evento bajo ciertas condiciones puede ocurrir o no ocurrir, entonces se llama aleatorio . En el caso de que un evento deba ocurrir con certeza, se le llama auténtico , y en el caso de que ciertamente no pueda suceder, - imposible.

Los eventos se llaman incompatible si solo uno de ellos puede aparecer cada vez.

Los eventos se llaman junta si, en las condiciones dadas, la ocurrencia de uno de estos eventos no excluye la ocurrencia del otro en la misma prueba.

Los eventos se llaman opuesto , si bajo las condiciones de la prueba, siendo sus únicos resultados, son incompatibles.

Los eventos generalmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto latino: A B C D, : .

Un sistema completo de eventos A 1 , A 2 , A 3 , : , A n es un conjunto de eventos incompatibles, la ocurrencia de al menos uno de los cuales es obligatoria para una prueba dada.

Si un sistema completo consta de dos eventos incompatibles, estos eventos se llaman opuestos y se denotan por A y .

Ejemplo. Hay 30 bolas numeradas en una caja. Determine cuáles de los siguientes eventos son imposibles, ciertos, opuestos:

tengo una bola numerada (PERO);

sacar una bola par (EN);

sacó una bola con un número impar (CON);

Tengo una pelota sin número (D).

¿Cuáles de ellos forman un grupo completo?

Decisión . PERO- cierto evento; D- evento imposible;

Y en Con- eventos opuestos.

El grupo completo de eventos es PERO y D, V y Con.

La probabilidad de un evento se considera como una medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento aleatorio.

1.4. La definición clásica de probabilidad

El número, que es una expresión de la medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento, se llama probabilidad este evento y se denota con el símbolo PENSILVANIA).

Definición. Probabilidad de un evento PERO es la razón del número de resultados m que favorecen la ocurrencia de un evento dado PERO, al número norte todos los resultados (incompatibles, únicos e igualmente posibles), es decir .

Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, después de considerar los diversos resultados de la prueba, calcular todos los posibles resultados incompatibles. norte, elegir el número de resultados que nos interesan m y calcular la razón metro para norte.

Las siguientes propiedades se derivan de esta definición:

La probabilidad de cualquier ensayo es un número no negativo que no exceda uno.

De hecho, el número m de los eventos deseados se encuentra dentro de . Dividiendo ambas partes en norte, obtenemos

2. La probabilidad de un cierto evento es igual a uno, porque .

3. La probabilidad de un evento imposible es cero porque .

Problema 1. Hay 200 ganadores de 1000 boletos en la lotería. Se extrae un boleto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que gane este boleto?

Decisión. El número total de resultados diferentes es norte=1000. El número de resultados a favor del ganador es m=200. De acuerdo con la fórmula, obtenemos

.

Tarea 2. En un lote de 18 piezas, hay 4 defectuosas. Se eligen 5 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que dos de estas 5 partes sean defectuosas.

Decisión. Número de todos los resultados independientes igualmente posibles norte es igual al número de combinaciones de 18 a 5, es decir

Calculemos el número m que favorece el evento A. Entre las 5 partes seleccionadas al azar, debe haber 3 de alta calidad y 2 defectuosas. El número de formas de seleccionar dos piezas defectuosas de 4 piezas defectuosas disponibles es igual al número de combinaciones de 4 a 2:

El número de formas de seleccionar tres piezas de calidad de 14 piezas de calidad disponibles es igual a

.

Cualquier grupo de piezas de calidad se puede combinar con cualquier grupo de piezas defectuosas, por lo que el número total de combinaciones metro es

La probabilidad deseada del evento A es igual a la razón del número de resultados m que favorecen este evento al número n de todos los resultados independientes igualmente posibles:

.

La suma de un número finito de eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de ellos.

La suma de dos eventos se denota con el símbolo A + B, y la suma norte símbolo de eventos A 1 +A 2 + : +A n .

El teorema de la suma de probabilidades.

La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos.

Corolario 1. Si los eventos А 1 , А 2 , : , А n forman un sistema completo, entonces la suma de las probabilidades de estos eventos es igual a uno.

Corolario 2. La suma de las probabilidades de eventos opuestos y es igual a uno.

.

Problema 1. Hay 100 billetes de lotería. Se sabe que 5 boletos obtienen una ganancia de 20,000 rublos, 10 - 15,000 rublos, 15 - 10,000 rublos, 25 - 2,000 rublos. y nada para el resto. Encuentre la probabilidad de que el boleto comprado gane al menos 10,000 rublos.

Decisión. Sean A, B y C sucesos consistentes en que sobre el billete comprado cae un premio igual a 20.000, 15.000 y 10.000 rublos. como los eventos A, B y C son incompatibles, entonces

Tarea 2. El departamento de correspondencia de la escuela técnica recibe pruebas de matemáticas de las ciudades. un, b y Con. La probabilidad de recibir trabajo de control de la ciudad. PERO igual a 0.6, de la ciudad EN- 0.1. Encuentre la probabilidad de que el próximo trabajo de control provenga de la ciudad Con.

¿Qué es una probabilidad?

Ante este término por primera vez, no entendería de qué se trata. Así que voy a tratar de explicar de una manera comprensible.

La probabilidad es la posibilidad de que ocurra el evento deseado.

Por ejemplo, decidiste visitar a un amigo, recuerda la entrada e incluso el piso en el que vive. Pero olvidé el número y la ubicación del apartamento. Y ahora estás parado en el hueco de la escalera, y frente a ti están las puertas para elegir.

¿Cuál es la posibilidad (probabilidad) de que si tocas el primer timbre, tu amigo te abra? Piso entero, y un amigo vive solo detrás de uno de ellos. Con igualdad de posibilidades, podemos elegir cualquier puerta.

Pero, ¿cuál es esta oportunidad?

Puertas, la puerta derecha. Probabilidad de adivinar llamando a la primera puerta: . Es decir, una vez de cada tres lo adivinarás con seguridad.

Queremos saber llamando una vez, ¿con qué frecuencia adivinaremos la puerta? Veamos todas las opciones:

1. llamaste a 1º una puerta
2. llamaste a 2do una puerta
3. llamaste a 3ro una puerta

Y ahora considera todas las opciones donde puede estar un amigo:

una. Detrás 1º puerta
b. Detrás 2do puerta
en. Detrás 3ro puerta

Comparemos todas las opciones en forma de tabla. Una marca indica las opciones cuando su elección coincide con la ubicación de un amigo, una cruz, cuando no coincide.

como ves todo posiblemente opciones la ubicación de su amigo y su elección de a qué puerta llamar.

PERO resultados favorables de todos . Es decir, adivinarás los tiempos tocando la puerta una vez, es decir. .

Esta es la probabilidad: la proporción de un resultado favorable (cuando su elección coincidió con la ubicación de un amigo) al número de eventos posibles.

La definición es la fórmula. La probabilidad generalmente se denota p, entonces:

No es muy conveniente escribir una fórmula de este tipo, así que tomemos para - el número de resultados favorables y para - el número total de resultados.

La probabilidad se puede escribir como un porcentaje, para esto necesitas multiplicar el resultado resultante por:

Probablemente, la palabra "resultados" le llamó la atención. Dado que los matemáticos llaman experimentos a varias acciones (para nosotros, tal acción es un timbre de puerta), es costumbre llamar resultado al resultado de tales experimentos.

Bueno, los resultados son favorables y desfavorables.

Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que llamamos a una de las puertas, pero un extraño nos abrió. No lo adivinamos. ¿Cuál es la probabilidad de que si tocamos una de las puertas restantes, nuestro amigo nos abra?

Si pensabas eso, entonces esto es un error. Averigüémoslo.

Nos quedan dos puertas. Así que tenemos posibles pasos:

1) Llamar a 1º una puerta
2) Llamar 2do una puerta

Un amigo, con todo esto, definitivamente está detrás de uno de ellos (después de todo, no estaba detrás del que llamamos):

a) un amigo 1º puerta
b) un amigo para 2do puerta

Dibujemos la tabla de nuevo:

Como puede ver, hay todas las opciones, de las cuales - favorables. Es decir, la probabilidad es igual.

¿Por qué no?

La situación que hemos considerado es Ejemplo de eventos dependientes. El primer evento es el primer timbre, el segundo evento es el segundo timbre.

Y se llaman dependientes porque afectan a las siguientes acciones. Después de todo, si un amigo abriera la puerta después del primer timbre, ¿cuál sería la probabilidad de que estuviera detrás de uno de los otros dos? Correctamente, .

Pero si hay eventos dependientes, entonces debe haber independiente? Cierto, los hay.

Un ejemplo de libro de texto es lanzar una moneda.

1. Lanzamos una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que, por ejemplo, salgan caras? Así es, porque las opciones para todo (ya sea cara o cruz, descuidaremos la probabilidad de que una moneda se quede de lado), pero solo nos conviene.
2. Pero las colas se cayeron. Bien, hagámoslo de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara ahora? Nada ha cambiado, todo sigue igual. ¿Cuántas opciones? Dos. ¿Con cuánto estamos satisfechos? Uno.

Y que se caigan las colas al menos mil veces seguidas. La probabilidad de que caigan caras a la vez será la misma. Siempre hay opciones, pero favorables.

Distinguir eventos dependientes de eventos independientes es fácil:

1. Si el experimento se lleva a cabo una vez (una vez que se lanza una moneda, el timbre suena una vez, etc.), entonces los eventos son siempre independientes.
2. Si el experimento se lleva a cabo varias veces (una moneda se lanza una vez, el timbre se toca varias veces), entonces el primer evento siempre es independiente. Y luego, si el número de favorables o el número de todos los resultados cambia, entonces los eventos son dependientes, y si no, son independientes.

Practiquemos un poco para determinar la probabilidad.

Ejemplo 1

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara dos veces seguidas?

Decisión:

Considere todas las opciones posibles:

1. águila águila
2. colas águila
3. águila de cola
4. colas-colas

Como puedes ver, todas las opciones. De estos, estamos satisfechos solamente. Esa es la probabilidad:

Si la condición pide simplemente encontrar la probabilidad, entonces la respuesta debe darse como una fracción decimal. Si se indicara que la respuesta debe darse en porcentaje, entonces multiplicaríamos por.

Responder:

Ejemplo 2

En una caja de bombones, todos los caramelos se envasan en el mismo envoltorio. Sin embargo, de los dulces, con nueces, coñac, cerezas, caramelo y turrón.

¿Cuál es la probabilidad de tomar un dulce y obtener un dulce con nueces? Da tu respuesta en porcentaje.

Decisión:

¿Cuántos resultados posibles hay? .

Es decir, tomando un caramelo, será uno de los de la caja.

¿Y cuántos resultados favorables?

Porque la caja solo contiene chocolates con nueces.

Responder:

Ejemplo 3

En una caja de bolas. de los cuales son blanco y negro.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?
2. Agregamos más bolas negras a la caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca ahora?

Decisión:

a) Sólo hay bolas en la caja. de los cuales son blancos.

La probabilidad es:

b) Ahora hay bolas en la caja. Y quedan otros tantos blancos.

Responder:

Probabilidad completa

La probabilidad de todos los eventos posibles es ().

Por ejemplo, en una caja de bolas rojas y verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? bola verde? ¿Pelota roja o verde?

Probabilidad de sacar una bola roja

bola verde:

Bola roja o verde:

Como puede ver, la suma de todos los eventos posibles es igual a (). Entender este punto te ayudará a resolver muchos problemas.

Ejemplo 4

Hay rotuladores en la caja: verde, rojo, azul, amarillo, negro.

¿Cuál es la probabilidad de sacar NO un marcador rojo?

Decisión:

Contemos el numero resultados favorables.

NO es un marcador rojo, eso significa verde, azul, amarillo o negro.

Probabilidad de todos los eventos. Y la probabilidad de eventos que consideramos desfavorables (cuando sacamos un rotulador rojo) es .

Por tanto, la probabilidad de sacar NO un rotulador rojo es -.

Responder:

La probabilidad de que un evento no ocurra es menos la probabilidad de que ocurra.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes

Ya sabes qué son los eventos independientes.

¿Y si necesita encontrar la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos independientes seguidos?

Digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire, veamos un águila dos veces.

Ya hemos considerado - .

¿Y si tiramos una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de ver un águila dos veces seguidas?

Total de opciones posibles:

1. Águila-águila-águila
2. Águila-cabeza-colas
3. Cabeza-cola-águila
4. cabeza-colas-colas
5. colas-águila-águila
6. Colas-cabezas-colas
7. Colas-colas-cabezas
8. colas-colas-colas

No sé ustedes, pero yo hice mal esta lista una vez. ¡Guau! Y la única variante (la primera) nos conviene.

Para 5 tiradas, puedes hacer una lista de posibles resultados tú mismo. Pero los matemáticos no son tan laboriosos como tú.

Por lo tanto, primero notaron, y luego probaron, que la probabilidad de cierta secuencia de eventos independientes disminuye cada vez por la probabilidad de un evento.

En otras palabras,

Considere el ejemplo de la misma moneda desafortunada.

¿Probabilidad de salir cara en una prueba? . Ahora estamos lanzando una moneda.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cruces en una fila?

Esta regla no solo funciona si se nos pide encontrar la probabilidad de que el mismo evento ocurra varias veces seguidas.

Si quisiéramos encontrar la secuencia COLAS-ÁGUILA-COLAS en lanzamientos consecutivos, haríamos lo mismo.

La probabilidad de obtener cruz - , cara - .

La probabilidad de obtener la secuencia COLAS-ÁGUILA-COLAS-COLAS:

Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una tabla.

La regla para sumar las probabilidades de eventos incompatibles.

¡Así que deja de! Nueva definición.

Averigüémoslo. Tomemos nuestra moneda desgastada y lancemos una vez.
Posibles opciones:

1. Águila-águila-águila
2. Águila-cabeza-colas
3. Cabeza-cola-águila
4. cabeza-colas-colas
5. colas-águila-águila
6. Colas-cabezas-colas
7. Colas-colas-cabezas
8. colas-colas-colas

Así que aquí hay eventos incompatibles, esta es una determinada secuencia de eventos. son eventos incompatibles.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de dos (o más) eventos incompatibles, sumamos las probabilidades de estos eventos.

Debe comprender que la pérdida de un águila o colas son dos eventos independientes.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de que una secuencia se caiga (o cualquier otra), entonces usamos la regla de multiplicar probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo y el tercero?

Pero si queremos saber cuál es la probabilidad de obtener una de varias secuencias, por ejemplo, cuando sale cara exactamente una vez, es decir opciones y, luego debemos sumar las probabilidades de estas sucesiones.

Las opciones totales nos convienen.

Podemos obtener lo mismo sumando las probabilidades de ocurrencia de cada secuencia:

Por lo tanto, sumamos probabilidades cuando queremos determinar la probabilidad de algunas secuencias de eventos incompatibles.

Hay una gran regla para ayudarte a no confundirte cuando multiplicar y cuando sumar:

Volvamos al ejemplo en el que lanzamos una moneda varias veces y queremos saber la probabilidad de ver cara una vez.
Que es lo que va a pasar?

Debería caer:
(cara Y cruz Y cruz) O (cruz Y cara Y cruz) O (cruz Y cruz Y cara).
Y así resulta:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5

Hay lápices en la caja. rojo, verde, naranja y amarillo y negro. ¿Cuál es la probabilidad de sacar lápices rojos o verdes?

Decisión:

Que es lo que va a pasar? Tenemos que sacar (rojo O verde).

Ahora está claro, sumamos las probabilidades de estos eventos:

Responder:

Ejemplo 6

Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga un total de 8?

Decisión.

¿Cómo podemos conseguir puntos?

(y) o (y) o (y) o (y) o (y).

La probabilidad de caerse de una (cualquier) cara es .

Calculamos la probabilidad:

Responder:

Ejercicio.

Creo que ahora te ha quedado claro cuándo necesitas contar las probabilidades, cuándo sumarlas y cuándo multiplicarlas. ¿No lo es? Hagamos un poco de ejercicio.

Tareas:

Tomemos una baraja de cartas en la que las cartas son picas, corazones, 13 tréboles y 13 panderetas. Del al As de cada palo.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar tréboles seguidos (ponemos la primera carta extraída de nuevo en la baraja y barajamos)?
2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra (picas o tréboles)?
3. ¿Cuál es la probabilidad de hacer un dibujo (jota, reina, rey o as)?
4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos dibujos seguidos (quitamos la primera carta sacada de la baraja)?
5. ¿Cuál es la probabilidad, tomando dos cartas, de obtener una combinación - (Jota, Reina o Rey) y As? La secuencia en la que se extraerán las cartas no importa.

Respuestas:

1. En una baraja de cartas de cada valor, significa:
2. Los eventos son dependientes, ya que después de la primera carta extraída, la cantidad de cartas en el mazo ha disminuido (así como la cantidad de "fotos"). Total de jotas, reinas, reyes y ases en la baraja inicialmente, lo que significa la probabilidad de dibujar la "imagen" con la primera carta:

   Dado que estamos sacando la primera carta del mazo, significa que ya queda una carta en el mazo, de la cual hay imágenes. Probabilidad de hacer un dibujo con la segunda carta:

   Como estamos interesados ​​en la situación cuando obtenemos del mazo: "imagen" Y "imagen", entonces necesitamos multiplicar las probabilidades:

   Responder:

3. Después de sacar la primera carta, el número de cartas en el mazo disminuirá, por lo que tenemos dos opciones:
   1) Con la primera carta sacamos As, la segunda - jota, reina o rey
   2) Con la primera carta sacamos una jota, una reina o un rey, la segunda, un as. (as y (jota o reina o rey)) o ((jota o reina o rey) y as). ¡No te olvides de reducir el número de cartas en el mazo!

Si pudiste resolver todos los problemas por ti mismo, ¡entonces eres un gran compañero! ¡Ahora las tareas sobre la teoría de la probabilidad en el examen harán clic como locos!

TEORÍA DE PROBABILIDAD. NIVEL MEDIO

Considere un ejemplo. Digamos que tiramos un dado. ¿Qué tipo de hueso es este, lo sabes? Este es el nombre de un cubo con números en las caras. ¿Cuántas caras, tantos números: de a cuántos? Antes.

Así que lanzamos un dado y queremos que salga con un o. Y nos caemos.

En la teoría de la probabilidad dicen lo que pasó evento favorable(no debe confundirse con bueno).

Si se cae, el evento también sería auspicioso. En total, solo pueden ocurrir dos eventos favorables.

¿Cuántos malos? Dado que todos los eventos posibles, entonces los desfavorables de ellos son eventos (esto es si se cae o).

Definición:

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.. Es decir, la probabilidad muestra qué proporción de todos los eventos posibles son favorables.

La probabilidad se denota con una letra latina (aparentemente, de palabra inglesa probabilidad - probabilidad).

Es costumbre medir la probabilidad como un porcentaje (ver temas y). Para hacer esto, el valor de probabilidad debe ser multiplicado por. En el ejemplo de los dados, probabilidad.

Y en porcentaje: .

Ejemplos (decide por ti mismo):

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda caiga cara? ¿Y cuál es la probabilidad de que salga cruz?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par? ¿Y con qué, extraño?
3. En un cajón de lápices lisos, azules y rojos. Sacamos un lápiz al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar uno simple?

Soluciones:

1. ¿Cuántas opciones hay? Cara y cruz: solo dos. ¿Y cuántos de ellos son favorables? Sólo uno es un águila. Entonces la probabilidad

   Lo mismo con las colas: .

2. Opciones totales: (cuántos lados tiene un cubo, tantas opciones diferentes). Favorables: (estos son todos números pares :).
   Probabilidad. Con extraño, por supuesto, lo mismo.
3. Total: . Favorable: . Probabilidad: .

Probabilidad completa

Todos los lápices en el cajón son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz rojo? No hay posibilidades: probabilidad (después de todo, eventos favorables -).

Tal evento se llama imposible.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz verde? Hay exactamente tantos eventos favorables como eventos totales (todos los eventos son favorables). Entonces la probabilidad es o.

Tal evento se llama cierto.

Si hay lápices verdes y rojos en la caja, ¿cuál es la probabilidad de sacar uno verde o uno rojo? Una vez más Note lo siguiente: la probabilidad de sacar verde es , y rojo es .

En suma, estas probabilidades son exactamente iguales. Es decir, la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es igual a o.

Ejemplo:

En una caja de lápices, entre ellos hay azul, rojo, verde, simple, amarillo y el resto naranja. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar verde?

Decisión:

Recuerda que todas las probabilidades suman. Y la probabilidad de sacar verde es igual. Esto significa que la probabilidad de no sacar verde es igual.

Recuerda este truco: La probabilidad de que el evento no ocurra es igual a la probabilidad de que el evento ocurra.

Eventos independientes y la regla de la multiplicación

Lanzas una moneda dos veces y quieres que salga cara las dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de esto?

Repasemos todas las opciones posibles y determinemos cuántas hay:

Águila-Águila, Colas-Águila, Águila-Colas, Colas-Colas. ¿Qué más?

Toda la variante. De estos, solo uno nos conviene: Eagle-Eagle. Entonces, la probabilidad es igual.

Bien. Ahora vamos a lanzar una moneda. Cuente usted mismo. ¿Sucedió? (responder).

Es posible que hayas notado que con la suma de cada lanzamiento siguiente, la probabilidad disminuye por un factor. La regla general se llama regla de multiplicación:

Las probabilidades de eventos independientes cambian.

¿Qué son los eventos independientes? Todo es lógico: estos son los que no dependen unos de otros. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda varias veces, cada vez se realiza un nuevo lanzamiento, cuyo resultado no depende de todos los lanzamientos anteriores. Con el mismo éxito, podemos lanzar dos monedas diferentes al mismo tiempo.

Más ejemplos:

1. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga las dos veces?
2. Se lanza una moneda varias veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara primero y luego cruz dos veces?
3. El jugador tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en ellos sea igual?

Respuestas:

1. Los eventos son independientes, lo que significa que la regla de la multiplicación funciona: .
2. La probabilidad de un águila es igual. Probabilidad de colas también. Multiplicamos:
3. 12 solo se puede obtener si dos -ki caen: .

Sucesos incompatibles y la regla de la suma

Los eventos incompatibles son eventos que se complementan entre sí con plena probabilidad. Como su nombre lo indica, no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, si lanzamos una moneda, puede salir cara o cruz.

Ejemplo.

En una caja de lápices, entre ellos hay azul, rojo, verde, simple, amarillo y el resto naranja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar verde o rojo?

Decisión .

La probabilidad de sacar un lápiz verde es igual. Rojo - .

Eventos auspiciosos de todos: verde + rojo. Entonces la probabilidad de sacar verde o rojo es igual.

La misma probabilidad se puede representar de la siguiente forma: .

Esta es la regla de la suma: las probabilidades de eventos incompatibles se suman.

tareas mixtas

Ejemplo.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de las tiradas sea diferente?

Decisión .

Esto significa que si sale cara primero, cruce debe ser segundo y viceversa. Resulta que aquí hay dos pares de eventos independientes, y estos pares son incompatibles entre sí. Cómo no confundirse sobre dónde multiplicar y dónde sumar.

Hay una regla simple para tales situaciones. Trate de describir lo que debería suceder conectando los eventos con las uniones "Y" u "O". Por ejemplo, en este caso:

Debe rodar (cara y cruz) o (cruz y cara).

Donde hay unión "y", habrá multiplicación, y donde "o" es suma:

Inténtalo tú mismo:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas salga el mismo lado las dos veces?
2. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma caiga puntos?

Soluciones:

1. (cara arriba y cara arriba) o (cruz arriba y cruz arriba): .
2. ¿Cuales son las opciones? y. Entonces:
   Arrollado (y) o (y) o (y): .

Otro ejemplo:

Lanzamos una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al menos una vez?

Decisión:

Oh, cómo no quiero clasificar las opciones ... Cabeza-cruz-cruz, Águila-cabeza-cruz, ... ¡Pero no tienes que hacerlo! Hablemos de probabilidad total. ¿Recordado? ¿Cuál es la probabilidad de que el águila nunca caerá? Es simple: las colas vuelan todo el tiempo, eso significa.

TEORÍA DE PROBABILIDAD. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.

eventos independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.

Probabilidad completa

La probabilidad de todos los eventos posibles es ().

La probabilidad de que un evento no ocurra es menos la probabilidad de que ocurra.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes

La probabilidad de una cierta secuencia de eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de cada uno de los eventos

Eventos incompatibles

Los eventos incompatibles son aquellos eventos que posiblemente no pueden ocurrir simultáneamente como resultado de un experimento. Una serie de eventos incompatibles forman un grupo completo de eventos.

Las probabilidades de eventos incompatibles se suman.

Habiendo descrito lo que debería suceder, usando las uniones "Y" o "O", en lugar de "Y" ponemos el signo de multiplicación, y en lugar de "O" - suma.

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