Las líneas que se cruzan son fáciles de reconocer por tales características. Signo 1. Si hay cuatro puntos en dos líneas que no están en el mismo plano, entonces estas líneas se intersecan (Fig. 1.21).

De hecho, si las líneas dadas se cortan o son paralelas, entonces estarían en el mismo plano, y luego los puntos dados estarían en el mismo plano, lo que contradice la condición.

Signo 2. Si la línea O está en el plano y la línea b corta al plano a en algún punto

M no se encuentra en la línea a, entonces las líneas a y b se cruzan (Fig. 1.22).

De hecho, tomando dos puntos cualesquiera de la línea a y dos puntos cualesquiera de la línea b, llegamos al criterio 1, es decir a y b se intersecan.

Los cruces de carreteras dan ejemplos reales de líneas que se cruzan (Fig. 1.23).

En el espacio, hay más pares de líneas que se cortan, en cierto sentido, que pares de líneas paralelas o que se cortan. Esto se puede explicar de la siguiente manera.

Tomemos en el espacio algún punto A y alguna recta a que no pase por el punto A. Para trazar una recta paralela a la recta a por el punto A, es necesario trazar un plano a que pase por el punto A y la recta a (Proposición 2 de la Sección 1.1 ), y luego en el plano y dibuje una línea b paralela a la línea a (Fig. 1.24).

Solo hay una línea de este tipo b. Todas las rectas que pasan por el punto A y cortan la recta O también están en el plano a y lo llenan todo, excepto la recta b. Todas las demás líneas que pasan por A y llenan todo el espacio excepto el plano a se intersecarán con la línea a. Se puede decir que las líneas que se cortan en el espacio son un caso general, y las líneas que se cortan y paralelas son casos especiales. Las "pequeñas perturbaciones" de las líneas sesgadas las dejan sesgadas. Pero las propiedades de ser paralelo o intersecarse con "pequeñas perturbaciones" en el espacio no se conservan.

En menos de un minuto, creé un nuevo archivo Verdov y continué con un tema tan emocionante. Debe capturar los momentos del estado de ánimo de trabajo, por lo que no habrá una introducción lírica. Habrá nalgadas prosaicas =)

Los dos espacios rectos pueden:

1) cruzarse;

2) se intersecan en el punto ;

3) ser paralelo;

4) partido.

El caso #1 es fundamentalmente diferente de los otros casos. Dos rectas se cortan si no están en el mismo plano.. Levante un brazo y estire el otro brazo hacia adelante; aquí hay un ejemplo de líneas que se cruzan. En los puntos 2-4, las líneas necesariamente se encuentran en un plano.

¿Cómo saber la posición relativa de las líneas en el espacio?

Considere dos espacios rectos:

es una recta dada por un punto y un vector director;
es una línea recta definida por un punto y un vector de dirección.

Para una mejor comprensión, hagamos un dibujo esquemático:

El dibujo muestra líneas oblicuas como ejemplo.

¿Cómo lidiar con estas líneas?

Como se conocen los puntos, es fácil encontrar el vector.

si recto cruzarse, entonces los vectores no coplanario(ver lección (No) dependencia lineal de vectores. base vectorial), lo que significa que el determinante compuesto por sus coordenadas es distinto de cero. O, que en realidad es lo mismo, será diferente de cero: .

En los casos No. 2-4, nuestra construcción "cae" en un plano, mientras que los vectores coplanario, y el producto mixto de vectores linealmente dependientes es igual a cero: .

Ampliamos el algoritmo aún más. pretendamos que , por lo tanto, las rectas o se cortan, o son paralelas, o coinciden.

Si los vectores de dirección colineal, entonces las rectas son paralelas o coinciden. Como último clavo, propongo la siguiente técnica: tomamos cualquier punto de una recta y sustituimos sus coordenadas en la ecuación de la segunda recta; si las coordenadas "se acercaron", entonces las líneas coinciden, si "no se acercaron", entonces las líneas son paralelas.

El curso del algoritmo no tiene pretensiones, pero los ejemplos prácticos aún no interfieren:

Ejemplo 11

Averiguar la posición relativa de dos líneas

Solución: como en muchos problemas de geometría, conviene ordenar la solución punto por punto:

1) Extraemos puntos y vectores de dirección de las ecuaciones:

2) Encuentra el vector:

Por lo tanto, los vectores son coplanares, lo que significa que las líneas se encuentran en el mismo plano y pueden cortarse, ser paralelas o coincidir.

4) Compruebe la colinealidad de los vectores de dirección.

Compongamos un sistema a partir de las coordenadas correspondientes de estos vectores:

Desde todo el mundo La ecuación implica que, por lo tanto, el sistema es consistente, las coordenadas correspondientes de los vectores son proporcionales y los vectores son colineales.

Conclusión: las rectas son paralelas o coinciden.

5) Averigüe si las rectas tienen puntos en común. Tomemos un punto perteneciente a la primera recta y sustituyamos sus coordenadas en las ecuaciones de la recta:

Así, las líneas no tienen puntos comunes, y no les queda más que ser paralelas.

Responder:

Un ejemplo interesante para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 12

Averiguar la posición relativa de las líneas.

Este es un ejemplo de bricolaje. Tenga en cuenta que la segunda línea tiene la letra como parámetro. Lógicamente. En el caso general, estas son dos líneas diferentes, por lo que cada línea tiene su propio parámetro.

Y de nuevo les insto a que no se salten los ejemplos, voy a abofetear las tareas que propongo están lejos de ser aleatorias ;-)

Problemas con una línea recta en el espacio

En la parte final de la lección, intentaré considerar el número máximo de problemas diferentes con líneas espaciales. En este caso, se observará el orden de inicio de la narración: primero consideraremos problemas con líneas que se cruzan, luego con líneas que se cortan, y al final hablaremos sobre líneas paralelas en el espacio. Sin embargo, debo decir que algunas de las tareas de esta lección se pueden formular para varios casos de líneas rectas a la vez y, en este sentido, la división de la sección en párrafos es algo arbitraria. Hay ejemplos más simples, hay ejemplos más complejos y, con suerte, todos encontrarán lo que necesitan.

lineas cruzadas

Les recuerdo que las rectas se cortan si no existe un plano en el que ambas se encuentren. Cuando estaba pensando en la práctica, me vino a la mente una tarea monstruosa, y ahora me complace presentarles un dragón con cuatro cabezas:

Ejemplo 13

Se dan líneas rectas. Requerido:

a) probar que las rectas se cortan;

b) encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto perpendicular a las rectas dadas;

c) componer las ecuaciones de una recta que contiene perpendicular común líneas secantes;

d) hallar la distancia entre las rectas.

Solución: El camino será dominado por el que camina:

a) Probemos que las rectas se cortan. Encontremos los puntos y los vectores directores de estas rectas:

Encontremos el vector:

Calcular producto mixto de vectores:

Entonces los vectores no coplanario, lo que significa que las rectas se cortan, lo cual se iba a demostrar.

Probablemente, todos hayan notado durante mucho tiempo que, para las líneas oblicuas, el algoritmo de verificación resulta ser el más corto.

b) Encontremos las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a las rectas. Hagamos un dibujo esquemático:

Para variar, publiqué un directo DETRÁS lineas rectas, ver como se borra un poco en los puntos de cruce. ¿Cruces? Sí, en el caso general, la línea "de" se cruzará con las líneas originales. Aunque no nos interesa este momento, solo necesitamos construir una línea perpendicular y listo.

¿Qué se sabe del directo "de"? El punto que le pertenece es conocido. Falta el vector de dirección.

Por condición, la recta debe ser perpendicular a las rectas, lo que significa que su vector director será ortogonal a los vectores directores. El motivo ya familiar del Ejemplo No. 9, encontremos el producto vectorial:

Compongamos las ecuaciones de la recta "de" por el punto y el vector director:

Listo. En principio, uno puede cambiar los signos en los denominadores y escribir la respuesta en la forma , pero no hay necesidad de esto.

Para verificar, es necesario sustituir las coordenadas del punto en las ecuaciones obtenidas de la línea recta, luego usando producto escalar de vectores asegúrese de que el vector sea realmente ortogonal a los vectores de dirección "pe one" y "pe two".

¿Cómo encontrar las ecuaciones de una línea que contiene una perpendicular común?

c) Este problema es más difícil. Recomiendo a los tontos que se salten este párrafo, no quiero enfriar su sincera simpatía por la geometría analítica =) Por cierto, quizás sea mejor que los lectores más preparados también esperen, el hecho es que la complejidad del ejemplo debería ser poner al final del artículo, pero de acuerdo con la lógica de presentación debe ubicarse aquí.

Entonces, se requiere encontrar las ecuaciones de la línea recta, que contiene la perpendicular común de las líneas oblicuas.

es un segmento de línea que conecta las líneas dadas y es perpendicular a las líneas dadas:

Aquí está nuestro guapo: - perpendicular común de líneas que se cruzan. Él es el único. No hay otro como este. También necesitamos componer las ecuaciones de una línea recta que contiene un segmento dado.

¿Qué se sabe del "uh" directo? Su vector director es conocido, encontrado en el párrafo anterior. Pero, desafortunadamente, no conocemos un solo punto que pertenezca a la línea "em", no conocemos los extremos de los puntos perpendiculares. ¿Dónde se cruza esta línea perpendicular con las dos líneas originales? ¿África, la Antártida? Desde la revisión inicial y el análisis de la condición, no está nada claro cómo resolver el problema ... Pero hay un movimiento engañoso asociado con el uso de ecuaciones paramétricas de una línea recta.

Vamos a tomar una decisión punto por punto:

1) Reescribamos las ecuaciones de la primera recta en forma paramétrica:

Consideremos un punto. No sabemos las coordenadas. PERO. Si un punto pertenece a una línea dada, entonces sus coordenadas corresponden a , denótelo con . Entonces las coordenadas del punto se escribirán como:

La vida está mejorando, una incógnita, después de todo, no tres incógnitas.

2) El mismo ultraje debe realizarse sobre el segundo punto. Reescribamos las ecuaciones de la segunda recta en forma paramétrica:

Si un punto pertenece a una recta dada, entonces con un significado muy especifico sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones paramétricas:

O:

3) El vector, al igual que el vector encontrado anteriormente, será el vector director de la línea. Cómo componer un vector a partir de dos puntos se consideró en tiempos inmemoriales en la lección Vectores para tontos. Ahora la diferencia es que las coordenadas de los vectores se escriben con valores de parámetros desconocidos. ¿Así que lo que? Nadie prohíbe restar las coordenadas correspondientes del comienzo del vector de las coordenadas del final del vector.

Hay dos puntos: .

Encontrar un vector:

4) Dado que los vectores de dirección son colineales, entonces un vector se expresa linealmente a través del otro con algún coeficiente de proporcionalidad "lambda":

O coordinadamente:

Resultó ser el más común. sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas, que tiene solución estándar, por ejemplo, método de Cramer. Pero aquí hay una oportunidad de salir con poca sangre, de la tercera ecuación expresaremos "lambda" y la sustituiremos en la primera y segunda ecuaciones:

De este modo: , y "lambda" no necesitamos. El hecho de que los valores de los parámetros resulten ser los mismos es pura casualidad.

5) El cielo se aclara completamente, sustituya los valores encontrados a nuestras ubicaciones:

El vector de dirección no es particularmente necesario, ya que ya se ha encontrado su contraparte.

Después de un largo viaje, siempre es interesante realizar una comprobación.

:

Se obtienen las igualdades correctas.

Sustituye las coordenadas del punto en las ecuaciones :

Se obtienen las igualdades correctas.

6) La cuerda final: compondremos las ecuaciones de una recta para un punto (puedes tomar) y un vector director:

En principio, puede seleccionar un punto "bueno" con coordenadas enteras, pero esto es cosmético.

¿Cómo hallar la distancia entre rectas que se cortan?

d) Cortamos la cuarta cabeza del dragón.

método uno. Ni siquiera una forma, sino un pequeño caso especial. La distancia entre rectas que se cortan es igual a la longitud de su perpendicular común: .

Puntos extremos de la perpendicular común encontrado en el párrafo anterior, y la tarea es elemental:

método dos. En la práctica, la mayoría de las veces se desconocen los extremos de la perpendicular común, por lo que se utiliza un enfoque diferente. Es posible dibujar planos paralelos a través de dos rectas que se cortan, y la distancia entre los planos dados es igual a la distancia entre las rectas dadas. En particular, una perpendicular común sobresale entre estos planos.

En el curso de la geometría analítica, a partir de las consideraciones anteriores, se derivó una fórmula para encontrar la distancia entre líneas oblicuas:
(en lugar de nuestros puntos "em uno, dos" podemos tomar puntos arbitrarios de líneas).

Producto mixto de vectores ya se encuentra en el párrafo "a": .

producto cruz de vectores que se encuentra en el párrafo "ser": , calcula su longitud:

De este modo:

Coloque con orgullo los trofeos en una fila:

Responder:
pero) , por lo tanto, las líneas se cortan, lo que se requería probar;
B) ;
en) ;
GRAMO)

¿Qué más se puede decir acerca de las rectas que se cruzan? Se define un ángulo entre ellos. Pero considere la fórmula del ángulo universal en el siguiente párrafo:

Las líneas rectas que se cortan necesariamente se encuentran en el mismo plano:

El primer pensamiento es apoyarse en el punto de intersección con todas sus fuerzas. E inmediatamente pensé, ¿por qué negarte los deseos correctos? ¡Vamos a saltar sobre él ahora mismo!

¿Cómo encontrar el punto de intersección de líneas espaciales?

Ejemplo 14

Encuentra el punto de intersección de las rectas

Solución: Reescribamos las ecuaciones de las rectas en forma paramétrica:

Esta tarea se consideró en detalle en el Ejemplo No. 7 de esta lección (ver. Ecuaciones de una recta en el espacio). Y las líneas rectas en sí mismas, por cierto, las tomé del Ejemplo No. 12. No mentiré, soy demasiado perezoso para inventar otras nuevas.

La solución es estándar y ya se encontró cuando calculamos las ecuaciones de la perpendicular común de las líneas oblicuas.

El punto de intersección de las rectas pertenece a la recta, por lo tanto sus coordenadas satisfacen las ecuaciones paramétricas de esta recta, y corresponden a un valor de parámetro muy específico:

Pero el mismo punto pertenece a la segunda línea, por lo tanto:

Igualamos las ecuaciones correspondientes y hacemos simplificaciones:

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si las líneas se intersecan (como se demuestra en el Ejemplo 12), entonces el sistema es necesariamente consistente y tiene una solución única. se puede resolver método de Gauss, pero no pecaremos con semejante fetichismo infantil, hagámoslo más fácil: de la primera ecuación expresamos “te cero” y lo sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones:

Las últimas dos ecuaciones resultaron ser esencialmente las mismas, y de ellas se sigue que . Luego:

Sustituyamos el valor encontrado del parámetro en las ecuaciones:

Responder:

Para verificar, sustituimos el valor encontrado del parámetro en las ecuaciones:
Se obtuvieron las mismas coordenadas requeridas para ser verificadas. Los lectores meticulosos pueden sustituir las coordenadas del punto en las ecuaciones canónicas originales de las líneas.

Por cierto, era posible hacer lo contrario: encontrar el punto a través de "es cero" y verificarlo a través de "te cero".

Un conocido cartel matemático dice: donde se habla de la intersección de rectas, siempre huele a perpendiculares.

¿Cómo construir una línea de espacio perpendicular a una dada?

(líneas se cruzan)

Ejemplo 15

a) Componer las ecuaciones de una recta que pasa por un punto perpendicular a la recta (las líneas se cruzan).

b) Hallar la distancia del punto a la recta.

Nota : cláusula "las líneas se cruzan" - significativo. a través del punto
es posible dibujar un número infinito de líneas perpendiculares que se cruzarán con la línea "el". La única solución ocurre cuando se dibuja una línea a través de un punto dado perpendicular a dos líneas rectas dadas (ver Ejemplo No. 13, párrafo "b").

pero) Solución: Denote la línea desconocida por . Hagamos un dibujo esquemático:

¿Qué se sabe de la línea? Por condición, se da un punto. Para componer las ecuaciones de una línea recta, es necesario encontrar el vector director. Como tal vector, el vector es bastante adecuado, y nos ocuparemos de él. Más precisamente, tomemos el extremo desconocido del vector por el cogote.

1) Extraeremos su vector director de las ecuaciones de la recta "el", y reescribiremos las ecuaciones mismas en forma paramétrica:

Muchos adivinaron que ahora por tercera vez en una lección el mago sacará un cisne blanco de su sombrero. Considere un punto con coordenadas desconocidas. Dado que el punto , entonces sus coordenadas satisfacen las ecuaciones paramétricas de la recta "el" y corresponden a un valor de parámetro específico:

O en una línea:

2) Por condición, las rectas deben ser perpendiculares, por tanto, sus vectores directores son ortogonales. Y si los vectores son ortogonales, entonces sus producto escalar es igual a cero:

¿Qué sucedió? La ecuación lineal más simple con una incógnita:

3) Se conoce el valor del parámetro, encontremos el punto:

Y el vector dirección:
.

4) Compondremos las ecuaciones de la recta por el punto y el vector dirección:

Los denominadores de la proporción resultaron ser fraccionarios, y este es exactamente el caso cuando es apropiado deshacerse de las fracciones. Los multiplicaré por -2:

Responder:

Nota : un final más riguroso de la solución se elabora de la siguiente manera: componemos las ecuaciones de una línea recta por un punto y un vector director . De hecho, si un vector es un vector director de una línea recta, entonces el vector colineal a él, por supuesto, también será un vector director de esta línea recta.

La verificación consta de dos etapas:

1) verificar la ortogonalidad de los vectores de dirección de las líneas;

2) sustituimos las coordenadas del punto en las ecuaciones de cada recta, deberían “encajar” tanto aquí como allá.

Se habló mucho sobre las acciones típicas, así que revisé un borrador.

Por cierto, olvidé otra moda: construir un punto "sue" simétrico al punto "en" con respecto a la línea recta "el". Sin embargo, hay un buen "análogo plano", que se puede encontrar en el artículo Los problemas más simples con una línea recta en un plano.. Aquí, toda la diferencia estará en la coordenada "Z" adicional.

¿Cómo encontrar la distancia de un punto a una línea en el espacio?

B) Solución: Encuentra la distancia de un punto a una línea.

método uno. Esta distancia es exactamente igual a la longitud de la perpendicular: . La solución es obvia: si se conocen los puntos , luego:

método dos. En problemas prácticos, la base de la perpendicular suele ser un misterio, por lo que es más racional utilizar una fórmula preparada.

La distancia de un punto a una recta se expresa mediante la fórmula:
, donde es el vector director de la recta "el", y - arbitrario un punto en una línea dada.

1) De las ecuaciones de la recta obtenemos el vector de dirección y el punto más accesible.

2) El punto se conoce a partir de la condición, agudice el vector:

3) Vamos a encontrar producto vectorial y calcula su longitud:

4) Calcular la longitud del vector de dirección:

5) Así, la distancia de un punto a una línea:

Disposición mutua de dos líneas rectas en el espacio.

La disposición mutua de dos líneas y el espacio se caracteriza por las siguientes tres posibilidades.

Las líneas se encuentran en el mismo plano y no tienen puntos comunes: líneas paralelas.

Las líneas se encuentran en el mismo plano y tienen un punto común: las líneas se intersecan.

En el espacio, todavía se pueden ubicar dos líneas rectas de tal manera que no se encuentren en el mismo plano. Tales líneas se llaman intersecantes (no se intersecan y no son paralelas).

EJEMPLO:

PROBLEMA 434 El triángulo ABC está en el plano, un

El triángulo ABC está en el plano y el punto D no está en este plano. Puntos M, N y K, respectivamente, los puntos medios de los segmentos DA, DB y DC

Teorema. Si una de dos líneas se encuentra en un cierto plano, y la otra se cruza con este plano y un punto que no se encuentra en la primera línea, entonces estas líneas se intersecan.

En la fig. 26 la recta a se encuentra en el plano, y la recta c se corta en el punto N. Las rectas a y c se cortan.

Teorema. Por cada una de las dos rectas que se cortan sólo pasa un plano paralelo a la otra recta.

En la fig. 26 rectas a y b se intersecan. Línea recta de Cheren y plano dibujado a (alfa) || b (la recta a1 || b se indica en el plano B (beta).

Teorema 3.2.

Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas.

Esta propiedad se llama transitividad lineas paralelas.

Prueba

Sean las rectas a y b simultáneamente paralelas a la recta c. Suponga que a no es paralelo a b, entonces la línea a corta a la línea b en algún punto A que no se encuentra en la línea c por suposición. Por lo tanto, tenemos dos rectas a y b que pasan por el punto A que no está sobre la recta dada c y simultáneamente son paralelas a ella. Esto contradice el Axioma 3.1. El teorema ha sido probado.

Teorema 3.3.

Por un punto que no está en una línea dada, se puede trazar una y sólo una línea paralela a la línea dada.

Prueba

Sea (AB ) una recta dada y C un punto que no está sobre ella. La recta AC divide el plano en dos semiplanos. El punto B se encuentra en uno de ellos. De acuerdo con el axioma 3.2, es posible posponer el ángulo (ACD ) igual al ángulo (CAB ) del rayo С A a otro semiplano. ACD y CAB son iguales internamente en cruz en las rectas AB y CD y la secante (AC ) Entonces, en virtud del Teorema 3.1 (AB ) || (DISCOS COMPACTOS). Teniendo en cuenta el axioma 3.1. El teorema ha sido probado.

La propiedad de las rectas paralelas viene dada por el siguiente teorema, inverso al Teorema 3.1.

Teorema 3.4.

Si dos rectas paralelas se cortan con una tercera recta, entonces los ángulos interiores que se cortan son iguales.

Prueba

Sea (AB) || (DISCOS COMPACTOS). Suponga que ACD ≠ BAC. Trace una línea AE a través del punto A de modo que EAC = ACD. Pero entonces por el Teorema 3.1 (AE) || (CD ), y por condición - (AB ) || (DISCOS COMPACTOS). Según el Teorema 3.2 (AE ) || (AB). Esto contradice el Teorema 3.3, según el cual, a través de un punto A que no está sobre la línea CD, se puede trazar una sola línea paralela a él. El teorema ha sido probado.

Figura 3.3.1.

Sobre la base de este teorema, las siguientes propiedades se fundamentan fácilmente.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, entonces los ángulos correspondientes son iguales.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, entonces la suma de los ángulos interiores de un lado es 180°.

Corolario 3.2.

Si una recta es perpendicular a una de las paralelas, también lo es a la otra.

El concepto de paralelismo nos permite introducir el siguiente concepto nuevo, que será necesario más adelante en el Capítulo 11.

Los dos rayos se llaman igualmente dirigido, si hay una línea tal que, en primer lugar, son perpendiculares a esta línea, y en segundo lugar, los rayos se encuentran en un semiplano con respecto a esta línea.

Los dos rayos se llaman direcciones opuestas, si cada uno de ellos está igualmente dirigido con un rayo complementario al otro.

Denotaremos los rayos igualmente dirigidos AB y CD: y los rayos opuestos AB y CD -

Figura 3.3.2.

Signo de líneas que se cruzan.

Si una de las dos líneas se encuentra en un cierto plano, y la otra línea se cruza con este plano en un punto que no se encuentra en la primera línea, entonces estas líneas están sesgadas.

Casos de disposición mutua de líneas en el espacio.

1. Hay cuatro casos diferentes de ubicación de dos líneas en el espacio:

   
   

   - intersección directa, es decir no te acuestes en el mismo plano;

   – las rectas se intersecan, es decir están en el mismo plano y tienen un punto común;

   - recta paralela, es decir se encuentran en el mismo plano y no se cruzan;

   - las líneas coinciden.

   
   

   Obtengamos signos de estos casos de disposición mutua de rectas dados por las ecuaciones canónicas

   
   
   donde son puntos pertenecientes a rectas Y respectivamente, un- vectores de dirección (Fig. 4.34). Denotamos porun vector que conecta los puntos dados.
   
   

   Los casos anteriores de disposición mutua de líneas corresponden a las siguientes características:

   
   

   – los vectores directo y cruzado no son coplanares;

   
   

   – las líneas y los vectores de intersección son coplanares, pero los vectores no son colineales;

   
   

   – los vectores rectos y paralelos son colineales, pero los vectores no son colineales;

   
   

   son lineas rectas y los vectores coincidentes son colineales.

   
   

   Estas condiciones se pueden escribir usando las propiedades de los productos mixtos y vectoriales. Recuerda que el producto mixto de vectores en el sistema de coordenadas rectangular derecho se encuentra mediante la fórmula:

   
   
   e intersecan el determinante es igual a cero, y su segunda y tercera fila no son proporcionales, es decir
   

   - las líneas rectas y la segunda y tercera filas paralelas del determinante son proporcionales, es decir, y las dos primeras líneas no son proporcionales, es decir

   
   

   son rectas y coinciden; todas las filas del determinante son proporcionales, es decir

Prueba del criterio para líneas oblicuas.

Si una de las dos rectas se encuentra en un plano, y la otra corta este plano en un punto que no pertenece a la primera recta, entonces estas dos rectas se cortan.

Prueba

Sean a pertenecientes a α, b se intersecan con α = A, A no pertenece a a (dibujo 2.1.2). Suponga que las rectas a y b no se intersecan, es decir, se intersecan. Entonces existe un plano β al que pertenecen las rectas a y b. La línea ay el punto A se encuentran en este plano β.Como la línea ay el punto A fuera de ella definen un único plano, entonces β = α. Pero b se adelanta a β y b no pertenece a α, por lo que la igualdad β = α es imposible.

Si dos rectas en el espacio tienen un punto en común, se dice que estas dos rectas se cortan. En la siguiente figura, las líneas a y b se intersecan en el punto A. Las líneas a y c no se intersecan.

Dos rectas cualesquiera tienen un solo punto en común o no tienen puntos en común.

Lineas paralelas

Dos líneas en el espacio se llaman paralelas si están en el mismo plano y no se cortan. Para designar líneas paralelas use un icono especial - ||.

La notación a||b significa que la línea a es paralela a la línea b. En la figura anterior, las rectas a y c son paralelas.

teorema de las lineas paralelas

Por cualquier punto del espacio que no esté sobre una línea dada, pasa una línea paralela a la línea dada y, además, una sola.

lineas cruzadas

Dos rectas que se encuentran en el mismo plano pueden intersecarse o ser paralelas. Pero en el espacio, dos rectas no tienen por qué pertenecer al mismo plano. Se pueden ubicar en dos planos diferentes.

Obviamente, las líneas ubicadas en diferentes planos no se cortan y no son líneas paralelas. Dos rectas que no están en el mismo plano se llaman líneas que se cruzan.

La siguiente figura muestra dos líneas de intersección a y b que se encuentran en diferentes planos.

El signo y el teorema de las líneas oblicuas

Si una de las dos líneas se encuentra en un cierto plano, y la otra línea se cruza con este plano en un punto que no se encuentra en la primera línea, entonces estas líneas están sesgadas.

Teorema de las líneas que se cruzan: a través de cada una de las dos líneas que se cortan pasa un plano paralelo a la otra línea, y además, solo uno.

Así, hemos considerado todos los casos posibles de disposición mutua de líneas en el espacio. Solo hay tres de ellos.

1. Las rectas se intersecan. (Es decir, solo tienen un punto en común).

2. Las líneas son paralelas. (Es decir, no tienen puntos comunes y se encuentran en el mismo plano).

3. Las líneas rectas se cruzan. (Es decir, están ubicados en diferentes planos).