El valor más grande y más pequeño de una función. Los valores mayor y menor de una función de dos variables en un dominio cerrado. El valor mayor de una función de muchas variables.

Desde un punto de vista práctico, el mayor interés está en utilizar la derivada para encontrar los valores mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado esto? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de equipos... Es decir, en muchos ámbitos de la vida tenemos que solucionar problemas de optimización de algunos parámetros. Y estas son las tareas de encontrar los valores mayor y menor de una función.

Cabe señalar que los valores mayor y menor de una función generalmente se buscan en un determinado intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio de definición. El intervalo X en sí puede ser un segmento, un intervalo abierto , un intervalo infinito.

En este artículo hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grande y más pequeño de una función definida explícitamente de una variable y=f(x).

Navegación de páginas.

El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.

Veamos brevemente las definiciones principales.

El valor más grande de la función. eso para cualquiera la desigualdad es cierta.

El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor eso para cualquiera la desigualdad es cierta.

Estas definiciones son intuitivas: el valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado en el intervalo considerado en la abscisa.

Puntos estacionarios– estos son los valores del argumento en los que la derivada de la función se vuelve cero.

¿Por qué necesitamos puntos estacionarios para encontrar los valores más grande y más pequeño? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función diferenciable tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún punto, entonces este punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor más grande (más pequeño) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.

Además, una función a menudo puede tomar sus valores más grande y más pequeño en puntos en los que la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.

Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Es siempre posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de definición de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores tanto infinitamente grandes como infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.

Para mayor claridad, daremos una ilustración gráfica. Mire las imágenes y muchas cosas quedarán más claras.

en el segmento

En la primera figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del segmento [-6;6].

Consideremos el caso representado en la segunda figura. Cambiemos el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande en el punto cuya abscisa corresponde al límite derecho del intervalo.

En la Figura 3, los puntos límite del segmento [-3;2] son ​​las abscisas de los puntos correspondientes al valor mayor y menor de la función.

En un intervalo abierto

En la cuarta figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del intervalo abierto (-6;6).

En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.

en el infinito

En el ejemplo presentado en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y) en un punto estacionario con abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y) se logra en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3.

Durante el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. A medida que x=2 se aproxima por la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la recta x=2 es una asíntota vertical), y a medida que la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3. Una ilustración gráfica de este ejemplo se muestra en la Figura 8.

Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua en un segmento.

Escribamos un algoritmo que nos permita encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento.

1. Encontramos el dominio de definición de la función y comprobamos si contiene el segmento completo.
2. Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (normalmente estos puntos se encuentran en funciones con un argumento bajo el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no existen tales puntos, pase al siguiente punto.
3. Determinamos todos los puntos estacionarios que caen dentro del segmento. Para hacer esto, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y seleccionamos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, pase al siguiente punto.
4. Calculamos los valores de la función en puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en puntos en los que la primera derivada no existe (si la hay), así como en x=a y x=b.
5. De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el mayor y el menor; serán los valores mayor y menor requeridos de la función, respectivamente.

Analicemos el algoritmo para resolver un ejemplo para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento.

Ejemplo.

Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función.

• en el segmento;
• en el segmento [-4;-1] .

Solución.

El dominio de definición de una función es el conjunto completo de números reales, es decir, con la excepción del cero. Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.

Encuentra la derivada de la función con respecto a:

Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1].

Determinamos puntos estacionarios a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.

Para el primer caso, calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4:

Por tanto, el mayor valor de la función se logra en x=1, y el valor más pequeño – en x=2.

Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene un solo punto estacionario):

Solución.

Comencemos con el dominio de la función. El trinomio cuadrado en el denominador de la fracción no debe desaparecer:

Es fácil comprobar que todos los intervalos del enunciado del problema pertenecen al dominio de definición de la función.

Diferenciamos la función:

Obviamente, la derivada existe en todo el dominio de definición de la función.

Encontremos puntos estacionarios. La derivada tiende a cero en . Este punto estacionario se encuentra dentro de los intervalos (-3;1] y (-3;2).

Ahora puedes comparar los resultados obtenidos en cada punto con la gráfica de la función. Las líneas punteadas azules indican asíntotas.

En este punto podemos terminar encontrando los valores mayor y menor de la función. Los algoritmos analizados en este artículo le permiten obtener resultados con un mínimo de acciones. Sin embargo, puede resultar útil determinar primero los intervalos de aumento y disminución de la función y solo después sacar conclusiones sobre los valores mayor y menor de la función en cualquier intervalo. Esto proporciona una imagen más clara y una justificación rigurosa de los resultados.

Dejemos que la función $z=f(x,y)$ sea definida y continua en algún dominio cerrado acotado $D$. Sea la función dada en esta región tener derivadas parciales finitas de primer orden (excepto, quizás, para un número finito de puntos). Para encontrar los valores mayor y menor de una función de dos variables en una región cerrada determinada, se requieren tres pasos de un algoritmo simple.

Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de la función $z=f(x,y)$ en un dominio cerrado $D$.

1. Encuentra los puntos críticos de la función $z=f(x,y)$ perteneciente al dominio $D$. Calcule los valores de la función en los puntos críticos.
2. Investiga el comportamiento de la función $z=f(x,y)$ en el límite de la región $D$, encontrando los puntos de posibles valores máximos y mínimos. Calcule los valores de la función en los puntos obtenidos.
3. De los valores de función obtenidos en los dos párrafos anteriores, seleccione el mayor y el menor.

¿Cuáles son los puntos críticos? mostrar ocultar

Bajo puntos críticos implican puntos en los que ambas derivadas parciales de primer orden son iguales a cero (es decir, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ y $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o al menos una derivada parcial no existe.

A menudo, los puntos en los que las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero se denominan puntos estacionarios. Por tanto, los puntos estacionarios son un subconjunto de puntos críticos.

Ejemplo No. 1

Encuentre los valores mayor y menor de la función $z=x^2+2xy-y^2-4x$ en una región cerrada delimitada por las líneas $x=3$, $y=0$ y $y=x +1$.

Seguiremos lo anterior, pero primero nos ocuparemos del dibujo de un área determinada, que denotaremos con la letra $D$. Se nos dan las ecuaciones de tres rectas que limitan esta área. La recta $x=3$ pasa por el punto $(3;0)$ paralela al eje de ordenadas (eje Oy). La recta $y=0$ es la ecuación del eje de abscisas (eje Ox). Bueno, para construir la recta $y=x+1$, encontraremos dos puntos a través de los cuales trazaremos esta recta. Por supuesto, puedes sustituir un par de valores arbitrarios en lugar de $x$. Por ejemplo, sustituyendo $x=10$, obtenemos: $y=x+1=10+1=11$. Hemos encontrado el punto $(10;11)$ que se encuentra en la línea $y=x+1$. Sin embargo, es mejor encontrar aquellos puntos en los que la línea recta $y=x+1$ intersecta las líneas $x=3$ y $y=0$. ¿Por qué es esto mejor? Porque mataremos un par de pájaros de un tiro: conseguiremos dos puntos para construir la recta $y=x+1$ y al mismo tiempo averiguaremos en qué puntos esta recta corta otras rectas que limitan el área dada. La línea $y=x+1$ se cruza con la línea $x=3$ en el punto $(3;4)$, y la línea $y=0$ se cruza con el punto $(-1;0)$. Para no entorpecer el avance de la solución con explicaciones auxiliares, plantearé la cuestión de la obtención de estos dos puntos en una nota.

¿Cómo se obtuvieron los puntos $(3;4)$ y $(-1;0)$? mostrar ocultar

Empecemos desde el punto de intersección de las líneas $y=x+1$ y $x=3$. Las coordenadas del punto deseado pertenecen tanto a la primera como a la segunda recta, por lo tanto, para encontrar las coordenadas desconocidas, es necesario resolver el sistema de ecuaciones:

$$ \left \( \begin(alineado) & y=x+1;\\ & x=3. \end(alineado) \right. $$

La solución a tal sistema es trivial: sustituyendo $x=3$ en la primera ecuación tendremos: $y=3+1=4$. El punto $(3;4)$ es el punto de intersección deseado de las líneas $y=x+1$ y $x=3$.

Ahora encontremos el punto de intersección de las líneas $y=x+1$ y $y=0$. Compongamos y resolvamos nuevamente el sistema de ecuaciones:

$$ \left \( \begin(alineado) & y=x+1;\\ & y=0. \end(alineado) \right. $$

Sustituyendo $y=0$ en la primera ecuación, obtenemos: $0=x+1$, $x=-1$. El punto $(-1;0)$ es el punto de intersección deseado de las líneas $y=x+1$ y $y=0$ (eje x).

Ya está todo listo para construir un dibujo que quedará así:

La cuestión de la nota parece obvia, porque en la imagen se ve todo. Sin embargo, conviene recordar que un dibujo no puede servir como prueba. El dibujo es sólo para fines ilustrativos.

Nuestra área se definió mediante ecuaciones de líneas rectas que la delimitaban. Obviamente estas líneas definen un triángulo, ¿verdad? ¿O no es del todo obvio? O tal vez se nos dé un área diferente, delimitada por las mismas líneas:

Por supuesto, la condición dice que el área está cerrada, por lo que la imagen que se muestra es incorrecta. Pero para evitar tales ambigüedades, es mejor definir las regiones según sus desigualdades. ¿Estamos interesados ​​en la parte del avión ubicada debajo de la recta $y=x+1$? Bien, entonces $y ≤ x+1$. ¿Nuestra área debería estar ubicada encima de la línea $y=0$? Genial, eso significa $y ≥ 0$. Por cierto, las dos últimas desigualdades se pueden combinar fácilmente en una: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(alineado) \right. $$

Estas desigualdades definen la región $D$, y la definen sin ambigüedades, sin permitir ninguna ambigüedad. Pero ¿en qué nos ayuda esto con la pregunta planteada al inicio de la nota? También ayudará :) Necesitamos verificar si el punto $M_1(1;1)$ pertenece a la región $D$. Sustituyamos $x=1$ y $y=1$ en el sistema de desigualdades que definen esta región. Si se satisfacen ambas desigualdades, entonces el punto se encuentra dentro de la región. Si al menos una de las desigualdades no se cumple, entonces el punto no pertenece a la región. Entonces:

$$ \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(alineado) \right. \;\; \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(alineado) \right $$.

Ambas desigualdades son válidas. El punto $M_1(1;1)$ pertenece a la región $D$.

Ahora es el momento de estudiar el comportamiento de la función en el límite de la región, es decir vamos a . Comencemos con la línea recta $y=0$.

La recta $y=0$ (eje de abscisas) limita la región $D$ bajo la condición $-1 ≤ x ≤ 3$. Sustituyamos $y=0$ en la función dada $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Denotamos la función de una variable $x$ obtenida como resultado de la sustitución como $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ahora, para la función $f_1(x)$ necesitamos encontrar los valores más grande y más pequeño en el intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontremos la derivada de esta función y la equiparemos a cero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

El valor $x=2$ pertenece al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, por lo que también agregaremos $M_2(2;0)$ a la lista de puntos. Además, calculemos los valores de la función $z$ en los extremos del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, es decir en los puntos $M_3(-1;0)$ y $M_4(3;0)$. Por cierto, si el punto $M_2$ no perteneciera al segmento considerado, entonces, por supuesto, no habría necesidad de calcular el valor de la función $z$ en él.

Entonces, calculemos los valores de la función $z$ en los puntos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Por supuesto, puedes sustituir las coordenadas de estos puntos en la expresión original $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Por ejemplo, para el punto $M_2$ obtenemos:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Sin embargo, los cálculos se pueden simplificar un poco. Para hacer esto, vale la pena recordar que en el segmento $M_3M_4$ tenemos $z(x,y)=f_1(x)$. Escribiré esto en detalle:

\begin(alineado) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(alineado)

Por supuesto, normalmente no es necesario realizar registros tan detallados y en el futuro anotaremos brevemente todos los cálculos:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Ahora pasemos a la línea recta $x=3$. Esta línea recta limita la región $D$ bajo la condición $0 ≤ y ≤ 4$. Sustituyamos $x=3$ en la función dada $z$. Como resultado de esta sustitución obtenemos la función $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para la función $f_2(y)$ necesitamos encontrar los valores más grande y más pequeño en el intervalo $0 ≤ y ≤ 4$. Encontremos la derivada de esta función y la equiparemos a cero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

El valor $y=3$ pertenece al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, por lo que también sumaremos $M_5(3;3)$ a los puntos encontrados anteriormente. Además, es necesario calcular el valor de la función $z$ en los puntos en los extremos del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, es decir en los puntos $M_4(3;0)$ y $M_6(3;4)$. En el punto $M_4(3;0)$ ya hemos calculado el valor de $z$. Calculemos el valor de la función $z$ en los puntos $M_5$ y $M_6$. Déjame recordarte que en el segmento $M_4M_6$ tenemos $z(x,y)=f_2(y)$, por lo tanto:

\begin(alineado) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(alineado)

Y finalmente, considere el último límite de la región $D$, es decir línea recta $y=x+1$. Esta línea recta limita la región $D$ bajo la condición $-1 ≤ x ≤ 3$. Sustituyendo $y=x+1$ en la función $z$, tendremos:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Una vez más tenemos una función de una variable $x$. Y nuevamente necesitamos encontrar los valores mayor y menor de esta función en el intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontremos la derivada de la función $f_(3)(x)$ y la equiparemos a cero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

El valor $x=1$ pertenece al intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Si $x=1$, entonces $y=x+1=2$. Agreguemos $M_7(1;2)$ a la lista de puntos y averigüemos cuál es el valor de la función $z$ en este punto. Puntos en los extremos del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, es decir Los puntos $M_3(-1;0)$ y $M_6(3;4)$ fueron considerados anteriormente, ya encontramos el valor de la función en ellos.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Se completa el segundo paso de la solución. Recibimos siete valores:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Pasemos a. Escogiendo los valores mayor y menor de los números obtenidos en el tercer párrafo, tendremos:

$$z_(mín)=-4; \; z_(máx.)=6.$$

El problema está solucionado, solo queda escribir la respuesta.

Respuesta: $z_(mín)=-4; \; z_(máx)=6$.

Ejemplo No. 2

Encuentra los valores mayor y menor de la función $z=x^2+y^2-12x+16y$ en la región $x^2+y^2 ≤ 25$.

Primero, hagamos un dibujo. La ecuación $x^2+y^2=25$ (esta es la línea límite de un área determinada) define un círculo con un centro en el origen (es decir, en el punto $(0;0)$) y un radio de 5. La desigualdad $x^2 +y^2 ≤ $25 satisface todos los puntos dentro y sobre el círculo mencionado.

Actuaremos según. Encontremos derivadas parciales y descubramos los puntos críticos.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

No hay puntos en los que las derivadas parciales encontradas no existan. Averigüemos en qué puntos ambas derivadas parciales son simultáneamente iguales a cero, es decir Encontremos puntos estacionarios.

$$ \left \( \begin(alineado) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(alineado) \right. \;\; \left \( \begin(alineado) & x =6;\\ & y=-8 \end(alineado) \right $$.

Hemos obtenido un punto estacionario $(6;-8)$. Sin embargo, el punto encontrado no pertenece a la región $D$. Esto es fácil de demostrar sin siquiera recurrir al dibujo. Comprobemos si se cumple la desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$, que define nuestra región $D$. Si $x=6$, $y=-8$, entonces $x^2+y^2=36+64=100$, es decir la desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$ no se cumple. Conclusión: el punto $(6;-8)$ no pertenece al área $D$.

Entonces, no hay puntos críticos dentro de la región $D$. Movámonos a... Necesitamos estudiar el comportamiento de una función en el límite de una región determinada, es decir en el círculo $x^2+y^2=25$. Por supuesto, podemos expresar $y$ en términos de $x$ y luego sustituir la expresión resultante en nuestra función $z$. De la ecuación de un círculo obtenemos: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sustituyendo, por ejemplo, $y=\sqrt(25-x^2)$ en la función dada, tendremos:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤x≤5.$$

La solución adicional será completamente idéntica al estudio del comportamiento de la función en el límite de la región en el ejemplo anterior No. 1. Sin embargo, me parece más razonable aplicar el método de Lagrange en esta situación. Sólo nos interesará la primera parte de este método. Después de aplicar la primera parte del método de Lagrange, obtendremos puntos en los que examinaremos la función $z$ para valores mínimos y máximos.

Componemos la función de Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Encontramos las derivadas parciales de la función de Lagrange y componemos el correspondiente sistema de ecuaciones:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (alineado) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(alineado) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( alineado)\right.$ $

Para resolver este sistema, señalemos inmediatamente que $\lambda\neq -1$. ¿Por qué $\lambda\neq -1$? Intentemos sustituir $\lambda=-1$ en la primera ecuación:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contradicción resultante $0=6$ indica que el valor $\lambda=-1$ es inaceptable. Salida: $\lambda\neq -1$. Expresemos $x$ e $y$ en términos de $\lambda$:

\begin(alineado) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(alineado)

Creo que aquí resulta obvio por qué estipulamos específicamente la condición $\lambda\neq -1$. Esto se hizo para ajustar la expresión $1+\lambda$ a los denominadores sin interferencia. Es decir, estar seguro de que el denominador $1+\lambda\neq 0$.

Sustituyamos las expresiones resultantes por $x$ y $y$ en la tercera ecuación del sistema, es decir en $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

De la igualdad resultante se deduce que $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Por lo tanto tenemos dos valores del parámetro $\lambda$, a saber: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. En consecuencia, obtenemos dos pares de valores $x$ y $y$:

\begin(alineado) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(alineado)

Entonces, hemos obtenido dos puntos de un posible extremo condicional, es decir $M_1(3;-4)$ y $M_2(-3;4)$. Encontremos los valores de la función $z$ en los puntos $M_1$ y $M_2$:

\begin(alineado) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(alineado)

Debemos seleccionar los valores mayor y menor de los que obtuvimos en el primer y segundo paso. Pero en este caso la elección es pequeña :) Tenemos:

$$ z_(mín)=-75; \; z_(máx)=125. $$

Respuesta: $z_(mín)=-75; \; z_(máx.)=$125.

Tema 28. Estudio de funciones extremas de varias variables. Extremo condicional de funciones de varias variables.

Estudiar funciones de muchas variables hasta un extremo es un procedimiento mucho más complejo que un procedimiento similar para funciones de una variable. Por tanto, nos limitaremos a considerar esta cuestión utilizando el ejemplo más simple e ilustrativo de una función de dos variables (ver Fig. 1). Aquí m 1(x1; y 1), M 2(x2; y 2), M 3(x3; y 3) son los puntos extremos de esta función. Es decir, puntos m 1 Y m3- el punto mínimo de la función, y el punto m2– su punto máximo. La Figura 1 muestra una función con tres puntos extremos, pero, naturalmente, puede haber más o menos de estos puntos.

Definamos con mayor precisión cuáles son los puntos extremos de una función de dos variables.

Definición. La función tiene máximo(mínimo) en un punto, si para cualquier punto ubicado en una determinada vecindad - una vecindad del punto, se cumple lo siguiente: (). - la vecindad puede representarse por un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la condición , donde es un número positivo suficientemente pequeño.

Los máximos y mínimos de una función se llaman extremos, A - punto extremo.

Dejar M0(x0; y 0) – un punto de cualquier extremo (punto máximo o punto mínimo) de la función. Entonces es justo

Teorema 1.

Si en el punto extremo M0(x0; y 0) hay derivadas parciales Y , entonces ambos son iguales a cero:

2) Consideremos ahora la función . Porque es el valor extremo de esta función, entonces la derivada de esta función en y = y 0, si existe, es igual a cero:

(3)

El teorema ha sido demostrado.

Tenga en cuenta que las condiciones (1) son solo necesario condiciones extremas en el punto M0(x0; y 0) función diferenciable en este punto. Es decir, estas condiciones no son condiciones suficientes para lo que está en el punto M0(x0; y 0) la función tendrá un extremo (máximo o mínimo). En otras palabras, período M0(x0; y 0), en el que se satisfacen ambas igualdades (1), es solo sospechoso al punto extremo de la función. La conclusión final sobre la naturaleza de un punto tan sospechoso para un extremo se puede llegar utilizando el siguiente teorema (lo presentamos sin derivación):

Teorema 2.(Condiciones suficientes para un extremo)

Dejar M0(x0; y 0) – tal punto de la región D al definir una función se satisfacen las condiciones necesarias (1) para el extremo de esta función. Eso es M0(x0; y 0) – un punto sospechoso para un extremo. Encontremos los números en este punto.

(4)

1) si > 0 y > 0 (o С>0 en A=0), Eso M0(x0; y 0) – punto mínimo de la función .

2) si > 0 y < 0 (o CON<0 en A=0), Eso M0(x0; y 0) – punto máximo de la función .

3) si < 0, luego punto M0(x0; y 0) – no es el punto extremo de la función .

4) si = 0, entonces la pregunta permanece abierta: se necesita investigación adicional.

Ejemplo 1. Dejar X Y en– la cantidad de dos bienes producidos; pag 1 = 8 frotar. Y pag 2 = 10 frotar. – precio unitario de cada uno de estos bienes, respectivamente; C= 0,01(x2 + xy + y2) es función de los costos (en rublos) de producción de estos bienes. entonces ingresos R de la venta de bienes será R = 8x+10y(frotar.), y beneficio PAG será (en rublos)

P = R – C = 8x+ 10y – 0,01(x 2 +xy+y 2).

Encontremos los volúmenes. X Y en bienes con los que obtener beneficios PAG será máximo.

1) Primero encontramos los valores ( x;y), sospechoso de un extremo de la función PAG:

2) Ahora examinamos la función extrema sospechosa encontrada. PAG punto M 0(200; 400). Para ello encontramos en este punto los valores determinados por las expresiones (4). Porque

y esto es cierto para cualquier ( X; en), y por lo tanto en el punto M 0(200; 400), entonces

Porque de lo contrario el punto M 0(200; 400) – punto máximo de la función PAG. Es decir, ganancias PAG de las ventas será máximo en x = 200(unidades) Y y = 400(unidades) y es igual a 2800 rublos.

Ejemplo 2. Encuentra puntos extremos y valores extremos de una función.

Solución. Esta función es una función de dos variables, definida para cualquier X Y en, es decir, en todo el avión cómo, y teniendo derivadas parciales de primer orden en cada punto:

Primero encontramos los puntos del plano. cómo, sospechoso de un extremo para esta función:

Luego, habiendo encontrado las derivadas parciales de segundo orden de la función, escribimos expresiones para:

Calculando ahora los valores numéricos de estas cantidades para cada uno de los cuatro puntos sospechosos de un extremo, obtenemos las siguientes conclusiones sobre estos puntos:

Punto mín..

Punto máximo.

No es un punto extremo.

No es un punto extremo.

Ahora encontremos dos valores extremos (máximos) de la función que determinan la altura de los dos vértices de la gráfica de esta función:

Determinación de los valores mayor y menor de una función de dos variables en una región cerrada.

Consideremos el siguiente problema. Sea alguna función continua de dos variables, considerada en un dominio cerrado, donde es el interior del dominio, y GRAMO– su borde (Fig. 8.6).

El hecho de que una función sea continua en la región significa que la gráfica de esta función (superficie en el espacio) es una superficie continua (sin discontinuidades) para todos. Es decir, el concepto de continuidad de una función de dos variables es similar al concepto de continuidad de una función de una variable. Al igual que las funciones de una variable, las funciones de dos variables formadas a partir de funciones elementales son continuas para todos los valores de los argumentos para los que están definidas. Esto también se aplica a funciones de tres, cuatro o más variables.

Volvamos a la figura. 2. Planteemos la siguiente pregunta: ¿en qué puntos de la región la función alcanza sus valores mayor y menor? z máx Y nombre z? ¿Y cuáles son estos valores? Tenga en cuenta que este problema es similar al que se consideró para una función de una variable considerada en un intervalo cerrado [ a; b] ejes Oh.

Es obvio que los puntos deseados de la región en la que la función alcanza sus valores máximo y mínimo están contenidos entre los puntos extremos de esta función ubicados dentro de la región (en la región), o están ubicados en algún lugar del límite. GRAMO esta área. En una región cerrada, tales puntos seguramente existirán (teorema de Weierstrass). Y en un área abierta (sin frontera GRAMO) puede que no existan tales puntos.

De lo anterior se desprende lo siguiente: diagrama para encontrar estos puntos, similar al descrito para funciones de una variable.

1. Encuentre todos los puntos de la función que sean sospechosos de ser extremos y estén ubicados en el área D. Estos son los puntos en los que ambas derivadas parciales y son iguales a cero (o una es cero y la otra no existe; o ambas no existen).

2. Encontramos todos los puntos de la función que son sospechosos de ser extremos y están ubicados en el límite. GRAMOáreas. En este caso utilizamos la ecuación de frontera GRAMO.

3. Sin examinar los puntos sospechosos encontrados en los pasos 1 y 2 (esto no es necesario), encontramos los valores de función en todos los puntos sospechosos encontrados y seleccionamos aquellos donde z será el más grande y el más pequeño.

Ejemplo 3. Encontrar z máx Y nombre z función considerada en una región cerrada, que es una placa triangular con vértices oh(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)(Figura 3).

Solución. Sigamos el diagrama anterior.

1. Encuentra dentro del triángulo (en el área D) puntos sospechosos de un extremo para nuestra función z. Para hacer esto, primero encontramos las derivadas parciales de primer orden y:

Estas derivadas existen (se pueden calcular) para cualquier (x;y). En consecuencia, los puntos sospechosos para un extremo sólo serán aquellos para los cuales ambas derivadas parciales sean iguales a cero:

El punto obviamente pertenece a la región. D(al triángulo en cuestión). Es decir, es un punto sospechoso para un extremo para una determinada función. z dentro del triángulo, y ella es la única allí.

2. Busquemos ahora puntos sospechosos de ser un extremo en el borde del triángulo.

a) Exploremos el área primero OA fronteras ( en= 0; £0 X£ 1). En esta sección, una función de una variable. X. Su derivada existe para todos. X I . Por tanto, sus valores extremos son una función. z puede tener ya sea en el punto donde , es decir, en el punto, o en los extremos del segmento OA, es decir, en puntos ACERCA DE(0; 0) y A(1; 0).

b) Ahora exploremos el área. transmisión exterior límites del triángulo (hay X= 0; £0 en£ 1). En esta sección la función (0 £ en£ 1) – función de una variable en. Repitiendo el razonamiento del punto (a), llegamos a la conclusión de que sus valores extremos son una función z puede tener en el punto o en los extremos del segmento transmisión exterior, es decir, en puntos ACERCA DE(0; 0) y B(0; 1).

c) Finalmente, exploramos la zona. AB fronteras. Desde entonces AB(asegúrate de esto) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), entonces hay una función z toma la forma: (0 £ X£ 1). Su derivada, por tanto, es función de sus valores extremos. z puede llegar sólo al punto donde , es decir, al punto o a los extremos del segmento AB, es decir, en puntos A Y EN.

Entonces, el conjunto completo de puntos de la función sospechosos de extremo
en un triangulo OVA es:

; ; ; ; ; ; .

3. Ahora encontremos los valores de la función. z en todos los puntos sospechosos encontrados y seleccione el valor más grande de estos valores z máx y el valor más pequeño nombre z:

De este modo, z máx = 3 y se logra mediante la función z en un triangulo OVA en dos puntos a la vez - en sus vértices A Y EN. Y se logra mediante la función z en un triangulo OVA en su punto interno.

Ejemplo 4. El presupuesto de la ciudad tiene la oportunidad de gastar no más de 600 millones de rublos en viviendas sociales, al mismo tiempo que tiene proyectos y terrenos para 10 edificios de cinco pisos con 90 apartamentos cada uno y 8 edificios de nueve pisos con 120 apartamentos cada uno. El costo promedio estimado de un apartamento en un edificio de cinco pisos es de 400 mil rublos, y en un edificio de nueve pisos, de 500 mil rublos. ¿Cuántos edificios de cinco y nueve pisos debería construir la ciudad para obtener el máximo número de apartamentos?

Solución. Dejar X– el número requerido de edificios de cinco pisos, y – nueve pisos y z – Número total de apartamentos en estos edificios:

z = 90x+ 120y

El costo de todos los apartamentos en edificios de cinco pisos será 90 × 0,4 X = 36X millones de rublos, y en edificios de nueve pisos 120 × 0,5 en = 60en millones de rublos. Según las condiciones del problema tenemos:

0 £ X£10; £0 en£8; 36 X + 60en£600

Estas desigualdades restrictivas obviamente se satisfacen en el pentágono. (Figura 4). En esta zona cerrada necesitas encontrar un punto. M(x;y), para lo cual la función z = 90x+ 120y tomará el mayor valor z máx.

Implementemos el esquema anterior para resolver tales problemas.

1. Encuentre puntos dentro del pentágono que sean sospechosos de ser un extremo de la función. z. Porque , y estas derivadas parciales obviamente no son iguales a cero, entonces no hay puntos sospechosos para un extremo dentro del pentágono.

2. Encuentre puntos sospechosos de ser extremos en los límites del pentágono. En cada uno de los cinco segmentos que forman el límite del pentágono, la función z– función lineal de la forma z = hacha + por, y por tanto, alcanza sus valores mayor y menor en los límites de los segmentos. Es decir, el valor máximo deseado. z máx función z llega a uno de los puntos de las esquinas (O; A; M 1; M 2; B). Calcular el valor z en estos puntos obtenemos:

z(ACERCA DE) = 0; z( A) = 960; z( m 1) = 1260; z( m2) = 1380; z( B) = 900.

De este modo naimbo= 1380 y se alcanza en el punto m2(10; 4). Es decir, se obtendrá el mayor número de apartamentos (1380) si se construyen 10 edificios de cinco pisos y 4 edificios de nueve pisos.

Ejemplo 5. Demuestre que de todos los triángulos que tienen un perímetro dado 2p, el triángulo equilátero tiene el área más grande M(2p/3, 2p/3), porque. los puntos restantes no satisfacen el significado del problema: no puede haber un triángulo cuyo lado sea igual a la mitad del perímetro.

Examinamos el punto extremo. METRO(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B2 = ;

D>0, y porqué A<0 , entonces en el punto en estudio la función alcanza un máximo. Entonces, en un solo punto estacionario la función alcanza su máximo y, por tanto, su mayor valor; así, con x=2p/3, y=2p/3 la función alcanza su valor máximo. Pero entonces z=2p-x-y=2p/3. Y porqué x=y=z, entonces el triángulo es equilátero.

Definición 1.11 Sea dada una función de dos variables z=z(x,y), (x,y) D . Punto METRO 0 (X 0 ;y 0 ) - punto interno del área D .

si en D existe tal vecindario UM 0 puntos METRO 0 , que para todos los puntos

luego señale METRO 0 se llama punto máximo local. Y el significado mismo z(M 0 ) - máximo local.

Pero si por todos los puntos

luego señale METRO 0 se llama punto mínimo local de la función z(x,y) . Y el significado mismo z(M 0 ) - mínimo local.

El máximo local y el mínimo local se denominan extremos locales de la función. z(x,y) . En la Fig. 1.4 explica el significado geométrico del máximo local: METRO 0 - punto máximo, ya que en la superficie z=z(x,y) su punto correspondiente C 0 es más alto que cualquier punto vecino C (esta es la localidad del máximo).

Tenga en cuenta que generalmente hay puntos en la superficie (por ejemplo, EN ), que se encuentran arriba C 0 , pero estos puntos (por ejemplo, EN ) no son "vecinos" al punto C 0 .

En particular, punto EN Corresponde al concepto de máximo global:

El mínimo global se define de manera similar:

La búsqueda de máximos y mínimos globales se analizará en la sección 1.10.

Teorema 1.3 (condiciones necesarias para un extremo).

Sea dada la función z = z (x,y), (x,y) D . Punto METRO 0 (X 0 ;y 0 D - punto extremo local.

Si en este momento hay z" X Y z" y , Eso

La prueba geométrica es "obvia". si en el punto C 0 dibuje un plano tangente en (Fig. 1.4), entonces pasará "naturalmente" horizontalmente, es decir, en un ángulo 0° al eje Oh y al eje UNED .

Luego, de acuerdo con el significado geométrico de las derivadas parciales (figura 1.3):

Q.E.D.

Definición 1.12.

si en el punto METRO 0 Se cumplen las condiciones (1.41), entonces se llama punto estacionario de la función. z(x,y) .

Teorema 1.4 (condiciones suficientes para un extremo).

que se dé z = z (x,y), (x,y) D , que tiene derivadas parciales de segundo orden en alguna vecindad del punto METRO 0 (X 0 , y 0 ) D . Además METRO 0 - punto estacionario (es decir, se cumplen las condiciones necesarias (1.41)). Calculemos:

La demostración del teorema utiliza temas (la fórmula de Taylor para funciones de varias variables y la teoría de formas cuadráticas) que no se tratan en este tutorial.

Ejemplo 1.13.

Explora al extremo:

1. Encuentre puntos estacionarios resolviendo el sistema (1.41):

es decir, se encuentran cuatro puntos estacionarios. 2.

por el teorema 1.4 en el punto donde hay un mínimo. Además

por el teorema 1.4 en el punto

Máximo. Además

§10 Los valores mayor y menor de una función de dos variables en un dominio cerrado

Teorema 1.5 Dejemos entrar una región cerrada D función especificada z=z(x,y) , teniendo derivadas parciales continuas de primer orden. Borde GRAMO región D es liso por partes (es decir, consta de trozos de curvas o líneas rectas “suaves al tacto”). Luego en la zona D función z(x,y) alcanza su mayor METRO y lo menos metro valores.

No hay pruebas.

Puedes sugerir el siguiente plano de ubicación METRO Y metro . 1. Construimos un dibujo, seleccionamos todas las partes del límite del área. D y encuentre todos los puntos "esquinas" de la frontera. 2. Encuentra puntos estacionarios en el interior. D . 3. Encuentra puntos estacionarios en cada uno de los límites. 4. Calculamos en todos los puntos estacionarios y de esquina, y luego seleccionamos el más grande METRO y menos metro significados.

Ejemplo 1.14 Encuentra el mayor METRO y menos metro valores de función z = 4x2-2xy+y2-8x en un área cerrada D , limitado: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Construyamos un área D (Fig. 1.5) en un avión Ohhh .

Puntos de esquina: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Borde GRAMO región D consta de tres partes:

2. Encuentra puntos estacionarios dentro de la región. D :

3. Puntos estacionarios en los límites. yo 1 , yo 2 , yo 3 :

4. Calculamos seis valores:

De los seis valores obtenidos, seleccione el mayor y el menor.

Sea la función y=f(x) continua en el segmento. Como sabes, esta función alcanza su mayor potencial. y nombre valores. La función puede tomar estos valores ya sea en el punto interno del segmento o en el límite del segmento, es decir cuando =a o =b. Si , entonces el punto debe buscarse entre los puntos críticos de esta función.

Obtenemos la siguiente regla para encontrar los valores mayor y menor de una función en:

1) encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo (a,b);

2) calcular los valores de la función en los puntos críticos encontrados;

3) calcular los valores de la función en los extremos del segmento, es decir en los puntos x=a y x=b;

4) entre todos los valores calculados de la función, seleccione el mayor y el menor.

Notas:

1. Si una función y=f(x) en un segmento tiene solo un punto crítico y es un punto máximo (mínimo), entonces en este punto la función toma el valor más grande (más pequeño).

2. Si la función y=f(x) en un segmento no tiene puntos críticos, entonces esto significa que la función aumenta o disminuye monótonamente en él. En consecuencia, la función toma su valor mayor (M) en un extremo del segmento y su valor menor (m) en el otro.

60. Números complejos. Las fórmulas de Moivre.
Número complejo nombre expresión de la forma z = x + iy, donde xey son números reales e i es el llamado. unidad imaginaria, . Si x=0, entonces se llama al número 0+iy=iy. un número imaginario; si y=0, entonces el número x+i0=x se identifica con el número real x, lo que significa que el conjunto R de todos es real. números de fenómenos un subconjunto del conjunto C de todos los números complejos, es decir . Número x nombre parte real z, . Dos números complejos se llaman iguales (z1=z2) si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales: x1=x2, y1=y2. En particular, el número complejo Z=x+iy es igual a cero si y sólo si x=y=0. Los conceptos de "más" y "menos" no se introducen para números complejos. Dos números complejos z=x+iy y , que difieren sólo en el signo de la parte imaginaria, se llaman conjugados.

Representación geométrica de números complejos.

Cualquier número complejo z = x + iy puede representarse mediante un punto M(x,y) del plano Oxy tal que x=Re z, y=Im z. Y, a la inversa, cada punto M(x;y) del plano coordenado puede considerarse como una imagen de un número complejo z = x + iy. El plano en el que se representan los números complejos se llama plano complejo porque los números reales z = x + 0i = x se encuentran en él. El eje de ordenadas se llama eje imaginario, ya que sobre él se encuentran los números complejos puramente imaginarios z = 0 + iy. El número complejo Z=x+iy se puede especificar usando el vector de radio r=OM=(x,y). La longitud del vector r que representa un número complejo z se llama módulo de este número y se denota por |z| o r. El tamaño del ángulo entre el La dirección del eje real y el vector r que representa un número complejo se denomina argumento de este número complejo, denotado por Arg z o . El argumento del número complejo Z=0 no está definido. El argumento de un número complejo es una cantidad multivaluada y se determina hasta el término donde arg z es el valor principal del argumento contenido en el intervalo (), es decir - (a veces se toma como valor principal del argumento un valor perteneciente al intervalo (0; ).

Escribir el número z en la forma z=x+iy se llama forma algebraica de un número complejo.

Operaciones con números complejos

Suma. La suma de dos números complejos z1=x1+iy1 y z2=x2+iy2 es un número complejo definido por la igualdad: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). La suma de números complejos tiene propiedades conmutativas y combinativas: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Sustracción. La resta se define como la inversa de la suma. La diferencia de los números complejos z1 y z2 es un número complejo z que, sumado a z2, da el número z1, es decir z=z1-z2, si z+z2=z1. Si z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, entonces a partir de esta definición es fácil obtener z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Multiplicación. El producto de números complejos z1=x1+iy1 y z2=x2+iy2 es el número complejo definido por la igualdad z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). De aquí, en particular, se sigue: . Si los números se dan en forma trigonométrica: .

Al multiplicar números complejos, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos. La fórmula de Moivre.(si hay n factores y todos son iguales): .