Valor cos sin en trimestres. Cómo recordar los valores de cosenos y senos de los puntos principales del círculo numérico.

11.02.2022 | El mundo

Lección No. 1

Funciones trigonométricas de cualquier argumento.

Definición y propiedades de seno, coseno, tangente y cotangente.

Medida de ángulo en radianes.

Marquemos el punto A en el eje Ox desde el origen de coordenadas y dibujemos un círculo a través de él con el centro en el punto O. Llamaremos al radio OA radio inicial.

El ángulo P (OM; OE) se puede describir como el resultado de la rotación alrededor del origen del haz con el origen en el punto O desde la posición inicial OM hasta la posición final OE. Esta rotación puede ocurrir en sentido contrario a las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj, y

a) ya sea por rotación parcial,

b) ya sea por un número entero de revoluciones completas;

c) ya sea por un número entero de revoluciones completas y una revolución parcial.

Las medidas de ángulos orientados en el sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivas y las medidas orientadas en el sentido de las agujas del reloj se consideran negativas.

Consideraremos ángulos iguales aquellos ángulos para los cuales, cuando sus rayos iniciales se combinan de alguna manera, los rayos finales también se combinan, y el movimiento del rayo inicial al rayo final se realiza en la misma dirección durante el mismo número de revoluciones completas e incompletas alrededor del punto O.

Los ángulos cero se consideran iguales.

Propiedades de las medidas de los ángulos:

Hay un ángulo cuya medida es 1, la unidad de medida de los ángulos. ángulos iguales tener medidas iguales. La medida de la suma de dos ángulos es igual a la suma de las medidas de los ángulos. La medida del ángulo cero es cero.

Las medidas de ángulos más comunes son grados y radianes.

La unidad de medida de los ángulos es medida de grado es un ángulo de un grado - 1/180 del ángulo desplegado. Del curso de geometría sabemos que la medida de un ángulo en grados se expresa como un número del 01/01/01. En cuanto al ángulo de rotación, se puede expresar en grados de cualquier forma. Número Real de -∞ a + ∞.

Como círculo con centro en el origen, tomaremos un círculo de radio unitario, designando los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas. A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). Se tomará como ángulo inicial para los ángulos considerados el rayo OA.

Los ejes de coordenadas de abscisas y ordenadas son mutuamente perpendiculares y dividen el plano en cuatro cuartos de coordenadas: I, II, III, IV (ver imagen).

Dependiendo del cuarto de coordenadas en el que se encuentre el radio OM, el ánguloα También será el ángulo de este trimestre.

Entonces, si 00< α <900 , то угол α – ángulo del primer cuarto;

si 900< α <1800 , то угол α – ángulo del segundo cuarto;

si 1800< α <2700 , то угол α – ángulo del tercer cuarto;

si 2700< α <3600 , то угол α - ángulo del cuarto cuarto.

Evidentemente, al sumar un número entero de revoluciones a un ángulo se obtiene el ángulo del mismo cuarto.

Por ejemplo, un ángulo de 4300 es un ángulo I – oh trimestre, ya que 4300 = 3600 + 700 = 700;

El ángulo 9200 es el ángulo III -ésimo trimestre, ya que 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000

(es decir, ¡se puede ignorar el número de revoluciones completas!)

Ángulos 00, ± 900, ± 1800, ± 2700, ± 3600 – no pertenecen a ningún trimestre .

Determinemos qué ángulo del cuadrante es el ángulo.α si:

α =2830 (IV) α = 1900 (III) α =1000 (II) α = -200 (IV) h – dirección negativa)

Y ahora por ti mismo:

α = 1790 α = 3250 α =8000 α = -1200

En el curso de geometría se definieron seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo α en

00 ≤ α ≤ 1800 . Ahora consideraremos estas definiciones para el caso de un ángulo arbitrario α.

font-size:12.0pt;line-height:115%">Deje que al girar cerca del punto O en un ánguloα el radio inicial OA se convierte en el radio OM.

Seno del ánguloα se llama relación entre la ordenada del punto M y la longitud del radio, es decir

coseno del ánguloα se llama relación entre la abscisa del punto M y la longitud del radio, es decir

tangente del ánguloα se llama relación entre la ordenada de un punto M y su abscisa, es decir

Cotangente del ángulo α se llama relación entre la abscisa de un punto M y su ordenada, es decir

Veamos ejemplos de cálculo de funciones trigonométricas usando tablas de valores de algunos ángulos. Los guiones se hacen cuando la expresión no tiene sentido.

α (granizo)	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
(contento)	0					π		2π
pecadoα
porque α
bronceado α
ctg α

Ejemplo №1. Encuentra pecado300; cos450; tg600.

Solución: a) buscar en la columna de la tabla pecadoα y en la línea 300, en la intersección de columna y línea encontramos el valor pecado 300 es un número. Escriben así: pecado 300 =

b) buscar en la columna de la tabla cosα y en la línea 450, en la intersección de columna y línea encontramos el valor porque 450 es un número. Escriben así: porque 450 =

c) buscar en la columna de la tabla tgα y en la línea 600, en la intersección de columna y línea encontramos el valor tg 600 es el número EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Ejemplo No. 2

Calcular a) 2c os 600 + EN-US" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">cos300 = 2 tamaño de fuente:12.0pt;alto de línea:115%"> b)3 tg 450 tg 600 = 3 1 https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" width="24" height="24 src=">

Calculalo tu mismo : a) 5 sen 300 - ctg 450 b) 2 sen 300 + 6 cos 600 – 4 tg 450

c) 4tg 600 sen 600 c) 2cossin 900 + 5tg 1800

Veamos algunas propiedades de las funciones trigonométricas.

Averigüemos qué signos tienen seno, coseno, tangente y cotangente en cada uno de los cuartos de coordenadas.

Sea, al girar el radio OA igual a R, por el ángulo α , el punto A se ha movido al punto M con coordenadas xey. Porque(R = 1), entonces el signo depende del signo de y.

En I y II en trimestres y>0, y en II y IV cuartos - en<0.

Firmar depende de x, ya que, luego para los ángulos del 1er y 4to cuarto – x >0, y en

II y III trimestres x<0.

Porque ; , luego en el 1er y 3er trimestre y tener un signo “+”, y en II y IV en cuartos tienen un signo menos.

En la última lección, dominamos (o repetimos, según quién) con éxito los conceptos clave de toda la trigonometría. Este círculo trigonométrico , ángulo en un círculo , seno y coseno de este ángulo , y también dominado signos de funciones trigonométricas por cuartos . Lo dominamos en detalle. En los dedos, se podría decir.

Pero esto todavía no es suficiente. Para aplicar con éxito todos estos conceptos simples en la práctica, necesitamos una habilidad útil más. Es decir, correcto trabajando con esquinas en trigonometría. Sin esta habilidad en trigonometría, no hay manera. Incluso en los ejemplos más primitivos. ¿Por qué? Sí, ¡porque el ángulo es la cifra operativa clave en toda trigonometría! No 'no funciones trigonométricas, no seno con coseno, no tangente con cotangente, es decir la esquina misma. Sin ángulo significa que no hay funciones trigonométricas, sí...

¿Cómo trabajar con ángulos en un círculo? Para ello, debemos comprender firmemente dos puntos.

1) Cómo¿Se miden los ángulos en un círculo?

2) Qué¿Se cuentan (miden)?

La respuesta a la primera pregunta es el tema de la lección de hoy. Abordaremos la primera pregunta en detalle aquí y ahora. No daré aquí la respuesta a la segunda pregunta. Porque está bastante desarrollado. Al igual que la segunda pregunta en sí misma es muy resbaladiza, sí). No entraré en detalles todavía. Este es el tema de la siguiente lección aparte.

¿Empecemos?

¿Cómo se miden los ángulos en un círculo? Ángulos positivos y negativos.

Quienes lean el título del párrafo quizá ya tengan los pelos de punta. ¡¿Cómo es eso?! ¿Ángulos negativos? ¿Es esto siquiera posible?

a negativo números Ya nos hemos acostumbrado. Podemos representarlos en el eje numérico: a la derecha del cero están los positivos, a la izquierda del cero están los negativos. Sí, y periódicamente miramos el termómetro por la ventana. Especialmente en invierno, cuando hace frío). Y el dinero del teléfono está en negativo (es decir, deber) a veces se van. Todo esto me resulta familiar.

¿Qué pasa con las esquinas? Resulta que los ángulos negativos en matemáticas. ¡ahí hay también! Todo depende de cómo medir este ángulo... no, no en la recta numérica, ¡sino en el círculo numérico! Es decir, en círculo. El círculo: ¡aquí está, un análogo de la recta numérica en trigonometría!

Entonces, ¿Cómo se miden los ángulos en un círculo? No hay nada que podamos hacer, primero tendremos que dibujar este mismo círculo.

Haré este hermoso dibujo:

Es muy similar a las imágenes de la última lección. Hay ejes, hay un círculo, hay un ángulo. Pero también hay nueva información.

También agregué números de 0°, 90°, 180°, 270° y 360° en los ejes. Ahora esto es más interesante.) ¿Qué clase de números son estos? ¡Bien! Estos son los valores de los ángulos medidos desde nuestro lado fijo que caen a los ejes de coordenadas. Recordamos que el lado fijo del ángulo siempre está estrechamente ligado al semieje positivo OX. Y cualquier ángulo en trigonometría se mide precisamente desde este semieje. Este punto de partida básico para los ángulos debe tenerse firmemente en cuenta. Y los ejes se cruzan en ángulos rectos, ¿verdad? Entonces sumamos 90° en cada cuarto.

Y más añadido flecha roja. Con un plus. El rojo está pensado para llamar la atención. Y está bien grabado en mi memoria. Porque esto debe recordarse de forma fiable.) ¿Qué significa esta flecha?

Entonces resulta que si torcemos nuestra esquina a lo largo de la flecha con un signo más(en el sentido contrario a las agujas del reloj, según la numeración de cuartos), luego el ángulo se considerará positivo! Como ejemplo, la figura muestra un ángulo de +45°. Por cierto, tenga en cuenta que los ángulos axiales 0°, 90°, 180°, 270° y 360° también se rebobinan en dirección positiva. Sigue la flecha roja.

Ahora veamos otra imagen:

Aquí casi todo es igual. Sólo los ángulos de los ejes están numerados. invertido. Agujas del reloj. Y tienen un signo menos.) Todavía dibujado flecha azul. También con un menos. Esta flecha es la dirección de los ángulos negativos en el círculo. Ella nos muestra que si dejamos de lado nuestra esquina agujas del reloj, Eso el ángulo se considerará negativo. Por ejemplo, mostré un ángulo de -45°.

Por cierto, tenga en cuenta que la numeración de los trimestres nunca cambia. No importa si movemos los ángulos hacia más o hacia menos. Siempre estrictamente en el sentido contrario a las agujas del reloj).

Recordar:

1. El punto de partida para los ángulos es desde el semieje positivo OX. Por el reloj – “menos”, contra el reloj – “más”.

2. La numeración de los cuartos es siempre en sentido antihorario, independientemente del sentido en que se calculen los ángulos.

Por cierto, no es obligatorio marcar los ángulos en los ejes 0°, 90°, 180°, 270°, 360° cada vez que se dibuja un círculo. Esto se hace simplemente para entender el punto. Pero estos números deben estar presentes. en tu cabeza al resolver cualquier problema de trigonometría. ¿Por qué? Sí, ¡porque este conocimiento básico proporciona respuestas a muchas otras preguntas en toda la trigonometría! La pregunta más importante es ¿En qué cuarto cae el ángulo que nos interesa? Lo creas o no, responder correctamente a esta pregunta resuelve la mayor parte de todos los demás problemas de trigonometría. Nos ocuparemos de esta importante tarea (distribuir ángulos en cuartos) en la misma lección, pero un poco más tarde.

¡Debemos recordar los valores de los ángulos que se encuentran en los ejes de coordenadas (0°, 90°, 180°, 270° y 360°)! Recuérdalo firmemente, hasta que se vuelva automático. Y tanto un más como un menos.

Pero a partir de este momento comienzan las primeras sorpresas. Y junto con ellas, preguntas capciosas que me dirigen, sí...) ¿Qué pasa si en una circunferencia hay un ángulo negativo? coincide con lo positivo? Resulta que el mismo punto en un círculo se puede denotar tanto por un ángulo positivo como por un ángulo negativo???

¡Absolutamente correcto! Esto es cierto.) Por ejemplo, un ángulo positivo de +270° ocupa un círculo misma situacion , lo mismo que un ángulo negativo de -90°. O, por ejemplo, un ángulo positivo de +45° en un círculo tomará misma situacion , lo mismo que el ángulo negativo -315°.

Miramos el siguiente dibujo y vemos todo:

De la misma manera, un ángulo positivo de +150° caerá en el mismo lugar que un ángulo negativo de -210°, un ángulo positivo de +230° caerá en el mismo lugar que un ángulo negativo de -130°. Etcétera…

¿Y ahora qué puedo hacer? ¿Cómo contar exactamente los ángulos, si puedes hacerlo de esta manera? ¿Cual es correcta?

Respuesta: en todos los sentidos correcto! Las matemáticas no prohíben ninguna de las dos direcciones para contar ángulos. Y la elección de una dirección específica depende únicamente de la tarea. Si la tarea no dice nada en texto plano sobre el signo del ángulo (como "definir el más grande negativo esquina" etc.), luego trabajamos con los ángulos que nos sean más convenientes.

Por supuesto, por ejemplo, en temas tan interesantes como las ecuaciones y desigualdades trigonométricas, la dirección del cálculo de los ángulos puede tener un gran impacto en la respuesta. Y en los temas relevantes consideraremos estos escollos.

Recordar:

Cualquier punto de una circunferencia puede designarse mediante un ángulo positivo o negativo. ¡Alguien! Lo que queramos.

Ahora pensemos en esto. ¿Descubrimos que un ángulo de 45° es exactamente igual que un ángulo de -315°? ¿Cómo me enteré de estos mismos 315?° ? ¿No puedes adivinarlo? ¡Sí! A través de una rotación completa.) En 360°. Tenemos un ángulo de 45°. ¿Cuánto tiempo se tarda en completar una rotación completa? restar 45° desde 360° - entonces obtenemos 315° . Si nos movemos en dirección negativa obtenemos un ángulo de -315°. ¿Aún no lo tienes claro? Luego mira la imagen de arriba nuevamente.

Y esto siempre debe hacerse al convertir ángulos positivos en negativos (y viceversa): dibuje un círculo, marque aproximadamente un ángulo dado, calculamos cuántos grados faltan para completar una revolución completa y movemos la diferencia resultante en la dirección opuesta. Eso es todo.)

¿Qué más crees que tienen de interesante los ángulos que ocupan la misma posición en un círculo? Y el hecho de que en esos rincones exactamente lo mismo ¡Seno, coseno, tangente y cotangente! ¡Siempre!

Por ejemplo:

Sen45° = sen(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

¡Pero esto es extremadamente importante! ¿Para qué? ¡Sí, todo por lo mismo!) Para simplificar expresiones. Porque simplificar expresiones es un procedimiento clave para una solución exitosa cualquier tareas de matemáticas. Y también en trigonometría.

Entonces, descubrimos la regla general para contar los ángulos en un círculo. Bueno, si comenzamos a hablar de vueltas completas, de cuartos de vuelta, entonces es hora de torcer y dibujar estas mismas esquinas. ¿Dibujamos?)

Empecemos con positivo esquinas Serán más fáciles de dibujar.

Dibujamos ángulos dentro de una revolución (entre 0° y 360°).

Dibujemos, por ejemplo, un ángulo de 60°. Aquí todo es sencillo, sin complicaciones. Dibujamos ejes de coordenadas y un círculo. Puedes hacerlo directamente a mano, sin ningún compás ni regla. Dibujemos esquemáticamente: No vamos a dibujar contigo. No es necesario que cumpla con ningún GOST, no será castigado).

Puedes (por ti mismo) marcar los valores de los ángulos en los ejes y apuntar la flecha en la dirección contrareloj. Después de todo, ¿vamos a ahorrar como una ventaja?) No es necesario que hagas esto, pero debes tener todo en mente.

Y ahora dibujamos el segundo lado (en movimiento) de la esquina. ¿En qué trimestre? ¡En el primero, por supuesto! Porque 60 grados está estrictamente entre 0° y 90°. Así que empatamos en el primer cuarto. En un angulo aproximadamente 60 grados hacia el lado fijo. Como contar aproximadamente¿60 grados sin transportador? ¡Fácilmente! 60° es ¡Dos tercios de un ángulo recto! Dividimos mentalmente el primer diablo del círculo en tres partes, tomando dos tercios para nosotros. Y dibujamos... ¡Cuánto llegamos allí (si colocamos un transportador y medimos) - 55 grados o 64 - no importa! Es importante que todavía esté en algún lugar. alrededor de 60°.

Obtenemos la imagen:

Eso es todo. Y no se necesitaron herramientas. ¡Desarrollemos nuestro ojo! Te resultará útil en problemas de geometría.) Este dibujo antiestético es indispensable cuando necesitas garabatear rápidamente un círculo y un ángulo, sin pensar realmente en la belleza. Pero al mismo tiempo garabatea Bien, sin errores, con toda la información necesaria. Por ejemplo, como ayuda para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.

Dibujemos ahora un ángulo, por ejemplo, 265°. ¿Averigüemos dónde podría estar ubicado? Bueno, está claro que ni en el primer cuarto ni siquiera en el segundo: terminan en 90 y 180 grados. Puedes calcular que 265° son 180° más otros 85°. Es decir, al semieje negativo OX (donde 180°) hay que sumarle aproximadamente 85°. O, aún más simple, supongamos que 265° no alcanza el semieje negativo OY (donde está 270°), unos desafortunados 5°. En definitiva, en el tercer cuarto habrá este ángulo. Muy cerca del semieje negativo OY, a 270 grados, ¡pero todavía en el tercero!

Dibujemos:

Una vez más, aquí no se requiere una precisión absoluta. En realidad, este ángulo resulta ser, digamos, 263 grados. Pero a la pregunta más importante. (¿qué trimestre?) Respondimos correctamente. ¿Por qué es esta la pregunta más importante? Sí, porque cualquier trabajo con un ángulo en trigonometría (no importa si dibujamos este ángulo o no) comienza con la respuesta exactamente a esta pregunta. Siempre. Si ignoras esta pregunta o intentas responderla mentalmente, entonces los errores son casi inevitables, sí... ¿Lo necesitas?

Recordar:

Cualquier trabajo con un ángulo (incluido el dibujo de este mismo ángulo en un círculo) siempre comienza determinando el cuarto en el que cae este ángulo.

Ahora espero que puedas representar ángulos con precisión, por ejemplo, 182°, 88°, 280°. EN correcto cuarteles. En el tercero, primero y cuarto, si eso...)

El cuarto cuarto termina con un ángulo de 360°. Esta es una revolución completa. Está claro que este ángulo ocupa la misma posición en el círculo que 0° (es decir, el origen). Pero los ángulos no terminan ahí, sí...

¿Qué hacer con ángulos mayores a 360°?

"¿Existen realmente tales cosas?"- usted pregunta. ¡Suceden! Existe, por ejemplo, un ángulo de 444°. Y a veces, digamos, un ángulo de 1000°. Hay todo tipo de ángulos.) Es solo que visualmente esos ángulos exóticos se perciben un poco más difíciles que los ángulos a los que estamos acostumbrados dentro de una revolución. Pero también necesitas poder dibujar y calcular esos ángulos, sí.

Para dibujar correctamente esos ángulos en un círculo, debes hacer lo mismo: descubre ¿En qué cuarto cae el ángulo que nos interesa? ¡Aquí la capacidad de determinar con precisión el cuarto es mucho más importante que en el caso de ángulos de 0° a 360°! El procedimiento para determinar el trimestre en sí se complica con un solo paso. Verás lo que es pronto.

Entonces, por ejemplo, necesitamos determinar en qué cuadrante cae el ángulo de 444°. Empecemos a girar. ¿Dónde? ¡Un plus, por supuesto! ¡Nos dieron un ángulo positivo! +444°. Giramos, giramos... Le dimos una vuelta y llegamos a 360°.

¿Cuánto tiempo queda hasta 444°?Contamos la cola restante:

444°-360° = 84°.

Entonces, 444° es una rotación completa (360°) más otros 84°. Obviamente este es el primer trimestre. Entonces, el ángulo de 444° cae en el primer trimestre. La mitad de la batalla está hecha.

Ahora solo queda representar este ángulo. ¿Cómo? ¡Muy simple! Damos una vuelta completa a lo largo de la flecha roja (más) y agregamos otros 84°.

Como esto:

Aquí no me molesté en abarrotar el dibujo: etiquetar los cuartos, dibujar ángulos en los ejes. Todas estas cosas buenas deberían haber estado en mi cabeza durante mucho tiempo).

Pero usé un “caracol” o una espiral para mostrar exactamente cómo se forma un ángulo de 444° a partir de ángulos de 360° y 84°. La línea roja punteada es una revolución completa. A la que se atornillan adicionalmente 84° (línea continua). Por cierto, tenga en cuenta que si descarta esta revolución completa, ¡esto no afectará la posición de nuestro ángulo de ninguna manera!

¡Pero esto es importante! Posición del ángulo 444° coincide completamente con una posición de ángulo de 84°. No hay milagros, así es como resulta).

¿Es posible descartar no una revolución completa, sino dos o más?

¿Por qué no? Si el ángulo es grande, entonces no sólo es posible, ¡sino incluso necesario! ¡El ángulo no cambiará! Más precisamente, el ángulo mismo, por supuesto, cambiará de magnitud. Pero su posición en el círculo - ¡de ninguna manera!) Por eso lleno revoluciones, que no importa cuántas copias agregues, no importa cuántas restes, igual terminarás en el mismo punto. Bonito, ¿no?

Recordar:

Si sumas (restas) cualquier cantidad a un ángulo entero el número de revoluciones completas, ¡la posición del ángulo original en el círculo NO cambiará!

Por ejemplo:

¿En qué cuarto cae el ángulo de 1000°?

¡Ningún problema! Contamos cuántas revoluciones completas hay en mil grados. Una revolución es de 360°, otra ya es de 720°, la tercera es de 1080°... ¡Para! ¡Demasiado! Esto significa que se asienta en un ángulo de 1000°. dos vueltas completas. Los sacamos de 1000° y calculamos el resto:

1000°- 2 360° = 280°

Entonces, la posición del ángulo es de 1000° en el círculo. lo mismo, como en un ángulo de 280°. ¿Con cuál es mucho más agradable trabajar?) ¿Y dónde queda este rincón? Cae en el cuarto cuarto: 270° (semieje negativo OY) más otros diez.

Dibujemos:

Aquí ya no dibujé dos vueltas completas con una espiral punteada: resulta demasiado larga. Acabo de dibujar la cola restante. desde cero, descartando Todo vueltas extra. Es como si no existieran en absoluto).

Una vez más. En el buen sentido, los ángulos de 444° y 84°, así como los de 1000° y 280°, son diferentes. Pero para el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, estos ángulos son: ¡lo mismo!

Como puedes ver, para trabajar con ángulos mayores a 360° es necesario determinar ¿Cuántas revoluciones completas se encuentran en un ángulo grande dado? Este es el paso adicional que se debe realizar primero cuando se trabaja con tales ángulos. Nada complicado, ¿verdad?

Rechazar revoluciones completas es, por supuesto, una experiencia agradable). Pero en la práctica, cuando se trabaja con ángulos absolutamente terribles, surgen dificultades.

Por ejemplo:

¿En qué cuarto cae el ángulo 31240°?

Entonces, ¿vamos a sumar 360 grados muchas, muchas veces? Es posible, si no se quema demasiado. Pero no sólo podemos sumar.) ¡También podemos dividir!

¡Así que dividamos nuestro enorme ángulo en 360 grados!

Con esta acción descubriremos exactamente cuántas revoluciones completas se esconden en nuestros 31240 grados. Puedes dividirlo en una esquina, puedes (susurrarle al oído :)) en una calculadora.)

Obtenemos 31240:360 = 86,777777….

El hecho de que el número resulte ser fraccionario no da miedo. Solo nosotros entero¡Me interesan las revoluciones! Por lo tanto, no es necesario dividir completamente).

Entonces, en nuestro carbón peludo se encuentran hasta 86 revoluciones completas. Horror…

sera en grados86·360° = 30960°

Como esto. Esta es exactamente la cantidad de grados que se pueden sacar sin dolor de un ángulo determinado de 31240°. Restos:

31240° - 30960° = 280°

¡Todo! ¡La posición del ángulo 31240° está completamente identificada! Mismo lugar que 280°. Aquellos. cuarto trimestre.) ¿Creo que ya hemos representado este ángulo antes? ¿Cuándo se dibujó el ángulo de 1000°?) Allí también hicimos 280 grados. Coincidencia.)

Entonces, la moraleja de esta historia es:

Si nos dan un ángulo aterrador y considerable, entonces:

1. Determine cuántas revoluciones completas hay en esta esquina. Para hacer esto, divide el ángulo original por 360 y descarta la parte fraccionaria.

2. Contamos cuántos grados hay en el número de revoluciones resultante. Para ello, multiplica el número de revoluciones por 360.

3. Restamos estas revoluciones al ángulo original y trabajamos con el ángulo habitual que va de 0° a 360°.

¿Cómo trabajar con ángulos negativos?

¡Ningún problema! Exactamente igual que con los positivos, sólo que con una única diferencia. ¿Cuál? ¡Sí! Necesitas doblar las esquinas reverso, menos! En el sentido de las agujas del reloj.)

Dibujemos, por ejemplo, un ángulo de -200°. En primer lugar, todo es como de costumbre para los ángulos positivos: ejes, círculo. Dibujemos también una flecha azul con un signo menos y señalemos los ángulos en los ejes de manera diferente. Naturalmente, también habrá que contarlos en sentido negativo. Estos serán los mismos ángulos, pasando de 90°, pero contados en la dirección opuesta, hasta el menos: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

La imagen se verá así:

Cuando se trabaja con ángulos negativos, a menudo surge una sensación de ligero desconcierto. ¡¿Cómo es eso?! ¿Resulta que el mismo eje es, digamos, +90° y -270° al mismo tiempo? No, algo huele mal aquí...

¡Sí, todo está limpio y transparente! ¡Ya sabemos que cualquier punto de un círculo se puede llamar ángulo positivo o negativo! Absolutamente cualquiera. Incluso en algunos de los ejes de coordenadas. En nuestro caso necesitamos negativo cálculo de ángulos. Entonces ajustamos todas las esquinas a menos.)

Ahora dibujar correctamente el ángulo -200° no es difícil. Esto es -180° y menos otros 20°. Empezamos a oscilar de cero a menos: volamos por el cuarto cuarto, también perdemos el tercero, alcanzamos -180°. ¿Dónde debería gastar los veinte restantes? ¡Sí, todo está ahí! Por horas.) El ángulo total -200° cae dentro segundo cuarto.

¿Entiendes ahora lo importante que es recordar firmemente los ángulos en los ejes de coordenadas?

¡Los ángulos en los ejes de coordenadas (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) deben recordarse con precisión para determinar exactamente el cuarto donde cae el ángulo!

¿Qué pasa si el ángulo es grande, con varias vueltas completas? ¡Está bien! ¿Qué diferencia hay si estas revoluciones completas se vuelven positivas o negativas? ¡Un punto en un círculo no cambiará su posición!

Por ejemplo:

¿En qué cuarto cae el ángulo de -2000°?

¡Todos iguales! Primero, contamos cuántas revoluciones completas hay en este malvado rincón. Para no estropear los signos, dejemos el signo menos por ahora y simplemente dividamos 2000 entre 360. Obtendremos 5 con cola. No nos importa la cola por ahora, la contaremos un poco más tarde cuando dibujemos la esquina. Nosotros contamos cinco revoluciones completas en grados:

5 360° = 1800°

Guau. Esta es exactamente la cantidad de grados adicionales que podemos desechar con seguridad y sin dañar nuestra salud.

Contamos la cola restante:

2000° – 1800° = 200°

Pero ahora podemos recordar lo negativo.) ¿Dónde enrollaremos la cola de 200°? ¡Menos, por supuesto! Se nos da un ángulo negativo.)

2000° = -1800° - 200°

Entonces dibujamos un ángulo de -200°, solo que sin revoluciones adicionales. Lo acabo de dibujar, pero que así sea, lo dibujaré una vez más. Manualmente.

Está claro que el ángulo dado -2000°, así como -200°, cae dentro de segundo cuarto.

Entonces, volvamos locos... perdón... de cabeza:

Si se da un ángulo negativo muy grande, entonces la primera parte de trabajar con él (encontrar el número de revoluciones completas y descartarlas) es la misma que cuando se trabaja con un ángulo positivo. El signo menos no juega ningún papel en esta etapa de la solución. El signo se tiene en cuenta solo al final, cuando se trabaja con el ángulo que queda después de eliminar las revoluciones completas.

Como puede ver, dibujar ángulos negativos en un círculo no es más difícil que los positivos.

¡Todo es igual, sólo que en la otra dirección! ¡Por la hora!

¡Ahora viene la parte más interesante! Observamos ángulos positivos, ángulos negativos, ángulos grandes, ángulos pequeños: todo el rango. También descubrimos que cualquier punto de un círculo se puede llamar ángulo positivo y negativo, descartamos revoluciones completas... ¿Alguna idea? Hay que posponerlo...

¡Sí! Cualquiera que sea el punto del círculo que tomes, corresponderá a ¡Número infinito de ángulos! Grandes y no tan grandes, positivos y negativos, ¡de todo tipo! Y la diferencia entre estos ángulos será entero número de revoluciones completas. ¡Siempre! Así funciona el círculo trigonométrico, sí...) Por eso contrarrestar la tarea es encontrar el ángulo usando el seno/coseno/tangente/cotangente conocido - solucionable ambiguo. Y mucho más difícil. A diferencia del problema directo, dado un ángulo, encuentre el conjunto completo de sus funciones trigonométricas. Y en temas más serios de trigonometría ( arcos, trigonométrico ecuaciones Y desigualdades ) nos encontraremos con este truco todo el tiempo. Nos estamos acostumbrando).

1. ¿En qué cuarto cae el ángulo de -345°?

2. ¿En qué cuarto cae el ángulo de 666°?

3. ¿En qué cuarto cae el ángulo 5555°?

4. ¿En qué cuarto cae el ángulo de -3700°?

5. ¿Qué signo significaporque999°?

6. ¿Qué signo significactg999°?

¿Y funcionó? ¡Maravilloso! ¿Hay un problema? Entonces tú.

Respuestas:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Esta vez las respuestas se dieron en orden, rompiendo con la tradición. Porque sólo hay cuatro cuartos y sólo dos signos. No huirás demasiado...)

En la próxima lección hablaremos de radianes, del misterioso número "pi", aprenderemos cómo convertir de forma fácil y sencilla radianes a grados y viceversa. ¡Y nos sorprenderá descubrir que incluso estos simples conocimientos y habilidades serán suficientes para resolver con éxito muchos problemas de trigonometría no triviales!

Ejemplo 1.

Encuentre la medida en radianes de un ángulo igual a a) 40°, b)120°, c)105°

a) 40° = 40 π / 180 = 2π/9

b) 120° = 120 π/180 = 2π/3

c) 105° = 105π/180 = 7π/12

Ejemplo 2.

Encuentre la medida en grados del ángulo expresado en radianes a) π/6, b) π/9, c) 2 π/3

a) π/6 = 180°/6 = 30°

b) π/9 = 180°/9 = 20°

c) 2π/3 = 2 180°/6 = 120°

Definición de seno, coseno, tangente y cotangente

El seno del ángulo agudo t de un triángulo rectángulo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa (Fig.1):

El coseno del ángulo agudo t de un triángulo rectángulo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa (Fig.1):

Estas definiciones se aplican a un triángulo rectángulo y son casos especiales de las definiciones presentadas en esta sección.

Coloquemos el mismo triángulo rectángulo en el círculo numérico (Fig. 2).

Vemos que la pierna b igual a un cierto valor y en el eje Y (eje de ordenadas), pierna A igual a un cierto valor X en el eje X (eje x). y la hipotenusa Con igual al radio del círculo (R).

Así, nuestras fórmulas adquieren una forma diferente.

Dado que b = y, un = X, c = R, entonces:

yx
pecado t = -- , porque t = --.
RR

Por cierto, entonces, naturalmente, las fórmulas tangente y cotangente adquieren una forma diferente.

Dado que tg t = b/a, ctg t = a/b, entonces otras ecuaciones también son verdaderas:

tg t = y/X,

ctg = X/y.

Pero volvamos al seno y al coseno. Estamos ante un círculo numérico cuyo radio es 1. Esto significa:

y
pecado t = -- = y,
1

X
porque t = -- = X.
1

Llegamos entonces al tercer tipo, más simple, de fórmulas trigonométricas.

Estas fórmulas se aplican no sólo al ángulo agudo, sino también a cualquier otro ángulo (obtuso o desarrollado).

Definiciones y fórmulas cos t, sin t, tg t, ctg t.

De las fórmulas de tangente y cotangente se sigue otra fórmula:

Ecuaciones de círculos numéricos.

Signos de seno, coseno, tangente y cotangente en cuartos de círculo:

	1er cuarto	2do cuarto	3er trimestre	4to cuarto
costo	+	–	–	+
sint	+	+	–	–
tg t, ctg t	+	–	+	–

Coseno y seno de los puntos principales del círculo numérico:

Cómo recordar los valores de cosenos y senos de los puntos principales del círculo numérico.

En primer lugar, debes saber que en cada par de números los valores del coseno van primero y los valores del seno van después.

1) Tenga en cuenta: con todos los puntos en el círculo numérico, estamos tratando solo con cinco números (por módulo):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Haga este "descubrimiento" usted mismo y eliminará el miedo psicológico a la abundancia de números: en realidad, solo hay cinco.

2) Comencemos con los números enteros 0 y 1. Están solo en los ejes de coordenadas.

No es necesario aprender de memoria dónde, por ejemplo, el coseno del módulo tiene uno y dónde tiene 0.

En los extremos del eje cosenos(ejes X), por supuesto, cosenos iguales módulo 1, y los senos son iguales a 0.

En los extremos del eje senos paranasales(ejes en) los senos son iguales al módulo 1, y los cosenos son iguales a 0.

Ahora sobre las señales. Zero no tiene signo. En cuanto a 1, aquí solo necesitas recordar lo más simple: desde el curso de séptimo grado sabes que en el eje X a la derecha del centro del plano de coordenadas están los números positivos, a la izquierda están los números negativos; en el eje en Los números positivos suben desde el centro, los números negativos bajan. Y entonces no te confundirás con el signo 1.

3) Ahora pasemos a los valores fraccionarios.

Todos los denominadores de fracciones contienen el mismo número 2. Ya no nos equivocaremos sobre qué escribir en el denominador.

En el medio de los cuartos, el coseno y el seno tienen absolutamente el mismo valor absoluto: √2/2. En cuyo caso tienen un signo más o menos; consulte la tabla anterior. Pero apenas necesitas una mesa así: lo sabes por el mismo curso de séptimo grado.

Todo lo más cercano al eje. X los puntos tienen valores de coseno y seno absolutamente idénticos: (√3/2; 1/2).

Valores de todos los más cercanos al eje. en Los puntos también son absolutamente idénticos en módulo y tienen los mismos números, sólo que tienen lugares "intercambiados": (1/2; √3/2).

Ahora en cuanto a las señales: aquí hay una alternancia interesante (aunque creemos que de todos modos deberías poder descifrar las señales fácilmente).

Si en el primer trimestre los valores tanto del coseno como del seno tienen un signo más, entonces en el diametralmente opuesto (tercero) tienen un signo menos.

Si en el segundo cuarto con signo menos solo hay cosenos, entonces en el diametralmente opuesto (cuarto) solo hay senos.

Sólo queda recordar que en cada combinación de valores de coseno y seno, el primer número es el valor del coseno y el segundo número es el valor del seno.

Preste atención a una regularidad más: el seno y el coseno de todos los puntos diametralmente opuestos del círculo son absolutamente iguales en magnitud. Tomemos, por ejemplo, los puntos opuestos π/3 y 4π/3:

porque π/3 = 1/2, sen π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sen 4π/3 = -√3/2

Los valores de los cosenos y senos de dos puntos opuestos difieren sólo en el signo. Pero aquí también hay un patrón: los senos y cosenos de puntos diametralmente opuestos siempre tienen signos opuestos.

Es importante saber:

Los valores de los cosenos y senos de puntos en el círculo numérico aumentan o disminuyen secuencialmente en un orden estrictamente definido: desde el valor más pequeño hasta el más grande y viceversa (consulte la sección "Funciones trigonométricas crecientes y decrecientes"; sin embargo, esto es fácil de verificar con sólo mirar el círculo numérico de arriba).

En orden descendente se obtiene la siguiente alternancia de valores:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Aumentan estrictamente en orden inverso.

Una vez que comprendas este patrón simple, aprenderás cómo determinar los valores del seno y el coseno con bastante facilidad.

En pocas palabras, se trata de verduras cocidas en agua según una receta especial. Consideraré dos componentes iniciales (ensalada de verduras y agua) y el resultado final: borscht. Geométricamente, se puede considerar como un rectángulo, en el que un lado representa la lechuga y el otro representa el agua. La suma de estos dos lados indicará borscht. La diagonal y el área de dicho rectángulo de "borscht" son conceptos puramente matemáticos y nunca se utilizan en recetas de borscht.

¿Cómo se convierte la lechuga y el agua en borscht desde un punto de vista matemático? ¿Cómo puede la suma de dos segmentos de recta convertirse en trigonometría? Para entender esto, necesitamos funciones angulares lineales.

No encontrará nada sobre funciones angulares lineales en los libros de texto de matemáticas. Pero sin ellos no puede haber matemáticas. Las leyes de las matemáticas, al igual que las leyes de la naturaleza, funcionan independientemente de si conocemos o no su existencia.

Las funciones angulares lineales son leyes de la suma. Vea cómo el álgebra se convierte en geometría y la geometría en trigonometría.

¿Es posible prescindir de funciones angulares lineales? Es posible, porque los matemáticos todavía se las arreglan sin ellos. El truco de los matemáticos es que siempre nos hablan sólo de aquellos problemas que ellos mismos saben resolver, y nunca hablan de aquellos que no pueden resolver. Mirar. Si conocemos el resultado de la suma y un término, usamos la resta para encontrar el otro término. Todo. No conocemos otros problemas y no sabemos cómo solucionarlos. ¿Qué debemos hacer si solo conocemos el resultado de la suma y no conocemos ambos términos? En este caso, el resultado de la suma debe descomponerse en dos términos utilizando funciones angulares lineales. A continuación, nosotros mismos elegimos cuál puede ser un término, y las funciones angulares lineales muestran cuál debería ser el segundo término para que el resultado de la suma sea exactamente el que necesitamos. Puede haber un número infinito de tales pares de términos. En la vida cotidiana nos las arreglamos bien sin descomponer la suma; Pero en la investigación científica sobre las leyes de la naturaleza, descomponer una suma en sus componentes puede resultar muy útil.

Otra ley de la suma de la que a los matemáticos no les gusta hablar (otro de sus trucos) requiere que los términos tengan las mismas unidades de medida. Para ensalada, agua y borscht, pueden ser unidades de peso, volumen, valor o unidad de medida.

La figura muestra dos niveles de diferencia para matemáticas. El primer nivel son las diferencias en el campo de los números, que se indican a, b, C. Esto es lo que hacen los matemáticos. El segundo nivel son las diferencias en el campo de las unidades de medida, que se muestran entre corchetes y se indican con la letra Ud.. Esto es lo que hacen los físicos. Podemos comprender el tercer nivel: las diferencias en el área de los objetos que se describen. Diferentes objetos pueden tener el mismo número de unidades de medida idénticas. Lo importante que es esto lo podemos ver en el ejemplo de la trigonometría del borscht. Si agregamos subíndices a la misma designación de unidad para diferentes objetos, podemos decir exactamente qué cantidad matemática describe un objeto en particular y cómo cambia con el tiempo o debido a nuestras acciones. Carta W. Designaré el agua con una letra. S Designaré la ensalada con una letra. B- borscht. Así se verán las funciones angulares lineales para borscht.

Si tomamos una parte del agua y una parte de la ensalada, juntas se convertirán en una porción de borscht. Aquí te sugiero que te tomes un pequeño descanso del borscht y recuerdes tu infancia lejana. ¿Recuerdas cómo nos enseñaron a juntar conejitos y patos? Era necesario encontrar cuántos animales habría. ¿Qué nos enseñaron a hacer entonces? Nos enseñaron a separar unidades de medida de números y a sumar números. Sí, cualquier número se puede sumar a cualquier otro número. Este es un camino directo al autismo de las matemáticas modernas: hacemos incomprensiblemente qué, incomprensiblemente por qué, y entendemos muy mal cómo se relaciona esto con la realidad, debido a los tres niveles de diferencia, los matemáticos operan con solo uno. Sería más correcto aprender a pasar de una unidad de medida a otra.

Se pueden contar en trozos conejitos, patos y animalitos. Una unidad de medida común para diferentes objetos nos permite sumarlos. Esta es una versión infantil del problema. Veamos un problema similar para los adultos. ¿Qué obtienes cuando agregas conejitos y dinero? Hay dos posibles soluciones aquí.

Primera opción. Determinamos el valor de mercado de los conejitos y lo sumamos a la cantidad de dinero disponible. Obtuvimos el valor total de nuestra riqueza en términos monetarios.

Segunda opción. Puedes sumar el número de conejitos al número de billetes que tenemos. Recibiremos el importe de los bienes muebles en trozos.

Como puedes ver, la misma ley de la suma te permite obtener resultados diferentes. Todo depende de qué queremos saber exactamente.

Pero volvamos a nuestro borscht. Ahora podemos ver qué sucederá con diferentes valores de ángulos de funciones angulares lineales.

El ángulo es cero. Tenemos ensalada, pero no agua. No podemos cocinar borscht. La cantidad de borscht también es cero. Esto no significa en absoluto que cero borscht sea igual a cero agua. Puede haber cero borscht con cero ensalada (ángulo recto).

Para mí personalmente, esta es la principal prueba matemática de que . El cero no cambia el número cuando se suma. Esto sucede porque la suma en sí es imposible si solo hay un término y falta el segundo término. Puede sentir esto como quiera, pero recuerde: todas las operaciones matemáticas con cero fueron inventadas por los propios matemáticos, así que deseche su lógica y abarrote estúpidamente las definiciones inventadas por los matemáticos: "la división por cero es imposible", "cualquier número multiplicado por cero es igual a cero”, “más allá del punto de punción cero” y otras tonterías. Es suficiente recordar una vez que el cero no es un número, y nunca más tendrá la pregunta de si el cero es un número natural o no, porque esa pregunta pierde todo significado: ¿cómo puede algo que no es un número considerarse un número? ? Es como preguntar de qué color se debe clasificar un color invisible. Agregar un cero a un número es lo mismo que pintar con pintura que no está. Agitamos un pincel seco y les dijimos a todos que “pintamos”. Pero me desvío un poco.

El ángulo es mayor que cero pero menor que cuarenta y cinco grados. Tenemos mucha lechuga, pero poca agua. Como resultado, obtendremos un borscht espeso.

El ángulo es de cuarenta y cinco grados. Disponemos de cantidades iguales de agua y ensalada. Este es el borscht perfecto (perdónenme, chefs, son solo matemáticas).

El ángulo es mayor que cuarenta y cinco grados, pero menor que noventa grados. Disponemos mucha agua y poca ensalada. Obtendrás borscht líquido.

Ángulo recto. Tenemos agua. De la ensalada lo único que queda son recuerdos, mientras seguimos midiendo el ángulo de la línea que una vez marcó la ensalada. No podemos cocinar borscht. La cantidad de borscht es cero. En este caso aguanta y bebe agua mientras la tengas)))

Aquí. Algo como esto. Puedo contar otras historias aquí que serían más que apropiadas aquí.

Dos amigos tenían acciones en un negocio común. Después de matar a uno de ellos, todo pasó al otro.

El surgimiento de las matemáticas en nuestro planeta.

Todas estas historias se cuentan en el lenguaje de las matemáticas utilizando funciones angulares lineales. En otra ocasión les mostraré el lugar real de estas funciones en la estructura de las matemáticas. Mientras tanto, volvamos a la trigonometría del borscht y consideremos las proyecciones.

sábado, 26 de octubre de 2019

Vi un video interesante sobre serie gruesa Uno menos uno más uno menos uno - Numberphile. Los matemáticos mienten. No realizaron una verificación de igualdad durante su razonamiento.

Esto hace eco de mis pensamientos sobre .

Echemos un vistazo más de cerca a las señales de que los matemáticos nos están engañando. Al comienzo del argumento, los matemáticos dicen que la suma de una secuencia DEPENDE de si tiene un número par de elementos o no. Este es un HECHO OBJETIVAMENTE ESTABLECIDO. ¿Qué pasa después?

Luego, los matemáticos restan la secuencia de la unidad. ¿A qué conduce esto? Esto conduce a un cambio en el número de elementos de la secuencia: un número par se convierte en impar, un número impar se convierte en par. Después de todo, agregamos un elemento igual a uno a la secuencia. A pesar de toda la similitud externa, la secuencia antes de la transformación no es igual a la secuencia después de la transformación. Incluso si hablamos de una secuencia infinita, debemos recordar que una secuencia infinita con un número impar de elementos no es igual a una secuencia infinita con un número par de elementos.

Al poner un signo igual entre dos secuencias con diferente número de elementos, los matemáticos afirman que la suma de la secuencia NO DEPENDE del número de elementos de la secuencia, lo que contradice un HECHO OBJETIVAMENTE ESTABLECIDO. Un razonamiento adicional sobre la suma de una secuencia infinita es falso, ya que se basa en una igualdad falsa.

Si ves que los matemáticos, durante las pruebas, colocan paréntesis, reordenan elementos de una expresión matemática, añaden o quitan algo, ten mucho cuidado, lo más probable es que estén intentando engañarte. Al igual que los magos de las cartas, los matemáticos utilizan diversas manipulaciones de expresión para distraer su atención y, en última instancia, darle un resultado falso. Si no puedes repetir un truco con cartas sin conocer el secreto del engaño, entonces en matemáticas todo es mucho más simple: ni siquiera sospechas nada sobre el engaño, pero repetir todas las manipulaciones con una expresión matemática te permite convencer a otros de la exactitud de el resultado obtenido, igual que cuando te convencieron.

Pregunta de la audiencia: ¿El infinito (como el número de elementos de la secuencia S) es par o impar? ¿Cómo se puede cambiar la paridad de algo que no tiene paridad?

El infinito es para los matemáticos, como el Reino de los Cielos es para los sacerdotes: nadie ha estado allí nunca, pero todos saben exactamente cómo funciona todo allí))) Estoy de acuerdo, después de la muerte serás absolutamente indiferente si viviste un número par o impar de días, pero... Agregando solo un día al comienzo de su vida, obtendremos una persona completamente diferente: su apellido, nombre y patronímico son exactamente iguales, solo la fecha de nacimiento es completamente diferente: era nacido un día antes que tú.

Ahora vayamos al punto))) Digamos que una secuencia finita que tiene paridad pierde esta paridad cuando va al infinito. Entonces cualquier segmento finito de una secuencia infinita debe perder la paridad. No vemos esto. El hecho de que no podamos decir con seguridad si una secuencia infinita tiene un número par o impar de elementos no significa que la paridad haya desaparecido. La paridad, si existe, no puede desaparecer sin dejar rastro hacia el infinito, como en la manga de un rotulador. Existe una muy buena analogía para este caso.

¿Alguna vez le has preguntado al cuco sentado en el reloj en qué dirección gira la manecilla del reloj? Para ella, la flecha gira en sentido contrario a lo que llamamos “en el sentido de las agujas del reloj”. Por paradójico que parezca, la dirección de rotación depende únicamente de desde qué lado observamos la rotación. Y entonces tenemos una rueda que gira. No podemos decir en qué dirección se produce la rotación, ya que podemos observarla tanto desde un lado del plano de rotación como desde el otro. Sólo podemos dar testimonio de que hay rotación. Completa analogía con la paridad de una secuencia infinita. S.

Ahora agreguemos una segunda rueda giratoria, cuyo plano de rotación es paralelo al plano de rotación de la primera rueda giratoria. Todavía no podemos decir con seguridad en qué dirección giran estas ruedas, pero podemos decir con certeza si ambas ruedas giran en la misma dirección o en la dirección opuesta. Comparando dos secuencias infinitas S Y 1-S, demostré con ayuda de las matemáticas que estas secuencias tienen diferentes paridades y poner un signo igual entre ellas es un error. Personalmente, confío en las matemáticas, no confío en los matemáticos))) Por cierto, para comprender completamente la geometría de las transformaciones de secuencias infinitas, es necesario introducir el concepto "simultaneidad". Esto será necesario dibujarlo.

miércoles, 7 de agosto de 2019

Para concluir la conversación, debemos considerar un conjunto infinito. La cuestión es que el concepto de “infinito” afecta a los matemáticos como una boa constrictor afecta a un conejo. El horror tembloroso al infinito priva a los matemáticos de sentido común. He aquí un ejemplo:

Se localiza la fuente original. Alfa significa número real. El signo igual en las expresiones anteriores indica que si sumas un número o infinito al infinito, nada cambiará, el resultado será el mismo infinito. Si tomamos como ejemplo el conjunto infinito de números naturales, entonces los ejemplos considerados se pueden representar de esta forma:

Para demostrar claramente que tenían razón, los matemáticos idearon muchos métodos diferentes. Personalmente, considero todos estos métodos como chamanes bailando con panderetas. Básicamente, todo se reduce al hecho de que algunas de las habitaciones están desocupadas y se están instalando nuevos invitados, o que algunos de los visitantes son arrojados al pasillo para dejar espacio a los invitados (muy humanamente). Presenté mi opinión sobre tales decisiones en forma de una historia de fantasía sobre la Rubia. ¿En qué se basa mi razonamiento? Reubicar a un número infinito de visitantes requiere una cantidad de tiempo infinita. Después de que hayamos dejado libre la primera habitación para un huésped, uno de los visitantes siempre caminará por el pasillo desde su habitación a la siguiente hasta el fin de los tiempos. Por supuesto, el factor tiempo puede ignorarse estúpidamente, pero esto entrará en la categoría de "ninguna ley está escrita para tontos". Todo depende de lo que estemos haciendo: ajustar la realidad a las teorías matemáticas o viceversa.

¿Qué es un “hotel sin fin”? Un hotel infinito es un hotel que siempre tiene cualquier número de camas vacías, independientemente de cuántas habitaciones estén ocupadas. Si todas las habitaciones del interminable corredor de "visitantes" están ocupadas, hay otro corredor interminable con habitaciones de "invitados". Habrá un número infinito de tales corredores. Además, el “hotel infinito” tiene un número infinito de pisos en un número infinito de edificios en un número infinito de planetas en un número infinito de universos creados por un número infinito de Dioses. Los matemáticos no pueden distanciarse de los problemas cotidianos banales: siempre hay un solo Dios-Alá-Buda, solo hay un hotel, solo hay un pasillo. Por eso los matemáticos están tratando de hacer malabarismos con los números de serie de las habitaciones de hotel, convenciéndonos de que es posible "meter lo imposible".

Les demostraré la lógica de mi razonamiento usando el ejemplo de un conjunto infinito de números naturales. Primero debes responder una pregunta muy simple: ¿cuántos conjuntos de números naturales hay, uno o muchos? No hay una respuesta correcta a esta pregunta, ya que nosotros mismos inventamos los números; los números no existen en la naturaleza. Sí, la naturaleza es excelente para contar, pero para ello utiliza otras herramientas matemáticas que no nos son familiares. En otra ocasión os contaré lo que piensa la Naturaleza. Como inventamos los números, nosotros mismos decidiremos cuántos conjuntos de números naturales hay. Consideremos ambas opciones, como corresponde a verdaderos científicos.

Opcion uno. “Se nos dará” un único conjunto de números naturales, que yace serenamente en el estante. Sacamos este juego del estante. Eso es todo, no quedan otros números naturales en el estante ni ningún lugar donde llevarlos. No podemos agregar uno a este conjunto porque ya lo tenemos. ¿Qué pasa si realmente quieres? Ningún problema. Podemos coger uno del juego que ya hemos cogido y devolverlo a la estantería. Después de eso, podemos coger uno del estante y añadirlo a lo que nos queda. Como resultado, obtendremos nuevamente un conjunto infinito de números naturales. Puedes anotar todas nuestras manipulaciones así:

Anoté las acciones en notación algebraica y en notación de teoría de conjuntos, con un listado detallado de los elementos del conjunto. El subíndice indica que tenemos un único conjunto de números naturales. Resulta que el conjunto de números naturales permanecerá sin cambios solo si se le resta uno y se le suma la misma unidad.

Opción dos. Tenemos muchos conjuntos infinitos diferentes de números naturales en nuestro estante. Destaco - DIFERENTES, a pesar de que son prácticamente indistinguibles. Tomemos uno de estos conjuntos. Luego tomamos uno de otro conjunto de números naturales y lo sumamos al conjunto que ya hemos tomado. Incluso podemos sumar dos conjuntos de números naturales. Esto es lo que obtenemos:

Los subíndices "uno" y "dos" indican que estos elementos pertenecían a conjuntos diferentes. Sí, si sumas uno a un conjunto infinito, el resultado también será un conjunto infinito, pero no será el mismo que el conjunto original. Si agrega otro conjunto infinito a un conjunto infinito, el resultado es un nuevo conjunto infinito que consta de los elementos de los dos primeros conjuntos.

El conjunto de los números naturales se utiliza para contar de la misma manera que una regla para medir. Ahora imagina que agregaste un centímetro a la regla. Esta será una línea diferente, no igual a la original.

Puede aceptar o no mi razonamiento: es asunto suyo. Pero si alguna vez te encuentras con problemas matemáticos, piensa si estás siguiendo el camino del razonamiento falso recorrido por generaciones de matemáticos. Después de todo, estudiar matemáticas, en primer lugar, forma en nosotros un estereotipo estable de pensamiento, y sólo entonces aumenta nuestras capacidades mentales (o, por el contrario, nos priva del libre pensamiento).

pozg.ru

domingo, 4 de agosto de 2019

Estaba terminando una posdata de un artículo sobre y vi este maravilloso texto en Wikipedia:

Leemos: "... la rica base teórica de las matemáticas de Babilonia no tenía un carácter holístico y se reducía a un conjunto de técnicas dispares, desprovistas de un sistema común y una base de evidencia".

¡Guau! Qué inteligentes somos y qué tan bien podemos ver los defectos de los demás. ¿Es difícil para nosotros mirar las matemáticas modernas desde la misma perspectiva? Parafraseando ligeramente el texto anterior, personalmente obtuve lo siguiente:

La rica base teórica de las matemáticas modernas no es de naturaleza holística y se reduce a un conjunto de secciones dispares, desprovistas de un sistema común y una base de evidencia.

No iré muy lejos para confirmar mis palabras: tiene un lenguaje y convenciones que son diferentes del lenguaje y las convenciones de muchas otras ramas de las matemáticas. Los mismos nombres en diferentes ramas de las matemáticas pueden tener significados diferentes. Quiero dedicar toda una serie de publicaciones a los errores más evidentes de las matemáticas modernas. Nos vemos pronto.

Sábado, 3 de agosto de 2019.

¿Cómo dividir un conjunto en subconjuntos? Para hacer esto, debe ingresar una nueva unidad de medida que esté presente en algunos de los elementos del conjunto seleccionado. Veamos un ejemplo.

Que tengamos mucho A compuesto por cuatro personas. Este conjunto se forma a partir de "personas". Denotaremos los elementos de este conjunto con la letra. A, el subíndice con un número indicará el número de serie de cada persona en este conjunto. Introduzcamos una nueva unidad de medida "género" y designémosla con la letra b. Dado que las características sexuales son inherentes a todas las personas, multiplicamos cada elemento del conjunto. A basado en el género b. Observe que nuestro conjunto de "personas" ahora se ha convertido en un conjunto de "personas con características de género". Después de esto podemos dividir las características sexuales en masculinas. bm y de mujeres peso corporal características sexuales. Ahora podemos aplicar un filtro matemático: seleccionamos una de estas características sexuales, sin importar cuál sea masculina o femenina. Si una persona lo tiene, lo multiplicamos por uno, si no existe tal signo, lo multiplicamos por cero. Y luego utilizamos las matemáticas escolares habituales. Mira lo que paso.

Después de la multiplicación, reducción y reordenamiento, terminamos con dos subconjuntos: el subconjunto de hombres bm y un subconjunto de mujeres bw. Los matemáticos razonan aproximadamente de la misma manera cuando aplican la teoría de conjuntos en la práctica. Pero no nos cuentan los detalles, sino que nos dan el resultado final: "muchas personas están formadas por un subconjunto de hombres y un subconjunto de mujeres". Naturalmente, es posible que tengas una pregunta: ¿con qué precisión se han aplicado las matemáticas en las transformaciones descritas anteriormente? Me atrevo a asegurarles que esencialmente todo se hizo correctamente; basta con conocer las bases matemáticas de la aritmética, el álgebra de Boole y otras ramas de las matemáticas. ¿Lo que es? En otra ocasión os hablaré de esto.

En cuanto a los superconjuntos, puedes combinar dos conjuntos en un superconjunto seleccionando la unidad de medida presente en los elementos de estos dos conjuntos.

Como puede ver, las unidades de medida y las matemáticas ordinarias hacen de la teoría de conjuntos una reliquia del pasado. Una señal de que no todo va bien en la teoría de conjuntos es que los matemáticos han creado su propio lenguaje y notación para la teoría de conjuntos. Los matemáticos actuaron como antes lo hacían los chamanes. Sólo los chamanes saben cómo aplicar "correctamente" su "conocimiento". Nos enseñan este “conocimiento”.

En conclusión, quiero mostrarles cómo manipulan los matemáticos.
Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
Te mostraré el proceso con un ejemplo. Seleccionamos el "sólido rojo en un grano": este es nuestro "todo". Al mismo tiempo, vemos que estas cosas tienen arco y las hay sin arco. Después de eso, seleccionamos parte del “todo” y formamos un conjunto “con un lazo”. Así es como los chamanes obtienen su alimento vinculando su teoría de conjuntos a la realidad.

Ahora hagamos un pequeño truco. Tomemos "sólido con un grano con un lazo" y combinemos estos "enteros" según el color, seleccionando los elementos rojos. Tenemos mucho "rojo". Ahora la pregunta final: ¿los conjuntos resultantes “con lazo” y “rojo” son el mismo conjunto o son dos conjuntos diferentes? Sólo los chamanes saben la respuesta. Más precisamente, ellos mismos no saben nada, pero como dicen, así será.

Este sencillo ejemplo muestra que la teoría de conjuntos es completamente inútil cuando se trata de la realidad. ¿Cuál es el secreto? Formamos un conjunto de "sólidos rojos con un grano y un lazo". La formación se realizó en cuatro unidades de medida diferentes: color (rojo), fuerza (sólido), rugosidad (con granos), decoración (con lazo). Sólo un conjunto de unidades de medida nos permite describir adecuadamente objetos reales en el lenguaje de las matemáticas.. Esto es lo que parece.

La letra "a" con diferentes índices denota diferentes unidades de medida. Entre paréntesis se destacan las unidades de medida por las que se distingue el "todo" en la etapa preliminar. Entre paréntesis se saca la unidad de medida por la que se forma el conjunto. La última línea muestra el resultado final: un elemento del conjunto. Como puedes ver, si usamos unidades de medida para formar un conjunto, entonces el resultado no depende del orden de nuestras acciones. Y esto son matemáticas, y no danzas de chamanes con panderetas. Los chamanes pueden llegar “intuitivamente” al mismo resultado, argumentando que es “obvio”, porque las unidades de medida no forman parte de su arsenal “científico”.

Usando unidades de medida, es muy fácil dividir un conjunto o combinar varios conjuntos en un superconjunto. Echemos un vistazo más de cerca al álgebra de este proceso.

El signo de una función trigonométrica depende únicamente del cuadrante de coordenadas en el que se encuentra el argumento numérico. La última vez aprendimos a convertir argumentos de una medida en radianes a una medida en grados (consulte la lección " Medida en radianes y grados de un ángulo") y luego determinar este mismo cuarto de coordenadas. Ahora determinemos el signo del seno, el coseno y la tangente.

El seno del ángulo α es la ordenada (coordenada y) de un punto en un círculo trigonométrico que ocurre cuando el radio se gira en el ángulo α.

El coseno del ángulo α es la abscisa (coordenada x) de un punto en un círculo trigonométrico, que ocurre cuando el radio se gira en el ángulo α.

La tangente del ángulo α es la relación entre el seno y el coseno. O, lo que es lo mismo, la relación entre la coordenada y y la coordenada x.

Notación: sen α = y ; porque α = x ; tg α = y : x .

Todas estas definiciones le resultan familiares gracias al álgebra de la escuela secundaria. Sin embargo, no nos interesan las definiciones en sí, sino las consecuencias que surgen sobre el círculo trigonométrico. Echar un vistazo:

El color azul indica la dirección positiva del eje OY (eje de ordenadas), el rojo indica la dirección positiva del eje OX (eje de abscisas). En este "radar" los signos de las funciones trigonométricas se vuelven evidentes. En particular:

sen α > 0 si el ángulo α se encuentra en el cuadrante de coordenadas I o II. Esto se debe a que, por definición, el seno es una ordenada (coordenada y). Y la coordenada y será positiva precisamente en los cuartos de coordenadas I y II;
cos α > 0, si el ángulo α se encuentra en el 1.º o 4.º cuadrante de coordenadas. Porque sólo allí la coordenada x (también conocida como abscisa) será mayor que cero;
tan α > 0 si el ángulo α se encuentra en el cuadrante de coordenadas I o III. Esto se desprende de la definición: después de todo, tan α = y : x, por lo tanto, es positivo sólo cuando coinciden los signos de xey. Esto sucede en el primer cuarto de coordenadas (aquí x > 0, y > 0) y en el tercer cuarto de coordenadas (x< 0, y < 0).

Para mayor claridad, observemos los signos de cada función trigonométrica (seno, coseno y tangente) en "radares" separados. Obtenemos la siguiente imagen:

Tenga en cuenta: en mis discusiones nunca hablé sobre la cuarta función trigonométrica: la cotangente. El hecho es que los signos cotangentes coinciden con los signos tangentes; no existen reglas especiales allí.

Ahora propongo considerar ejemplos similares a los problemas B11 de examen de prueba del estado unificado en matemáticas, que tuvo lugar el 27 de septiembre de 2011. Después de todo, La mejor manera comprender la teoría es práctica. Es recomendable tener mucha práctica. Por supuesto, las condiciones de las tareas cambiaron ligeramente.

Tarea. Determine los signos de funciones y expresiones trigonométricas (no es necesario calcular los valores de las funciones en sí):

pecado(3π/4);

cos(7π/6);

tg(5π/3);

pecado (3π/4) cos (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

pecado (5π/6) cos (7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

El plan de acción es este: primero convertimos todos los ángulos de medidas en radianes a grados (π → 180°), y luego miramos en qué cuarto de coordenadas se encuentra el número resultante. Conociendo los cuartos, podemos encontrar fácilmente las señales, de acuerdo con las reglas que acabamos de describir. Tenemos:

sen (3π/4) = sen (3 · 180°/4) = sen 135°. Dado que 135° ∈ , este es un ángulo del cuadrante de coordenadas II. Pero el seno en el segundo cuarto es positivo, por lo que sen (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Porque 210° ∈ , este es el ángulo del tercer cuadrante de coordenadas, en el que todos los cosenos son negativos. Por lo tanto cos(7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Desde 300° ∈ , estamos en el cuarto trimestre, donde la tangente toma valores negativos. Por lo tanto tan (5π/3)< 0;
sen (3π/4) cos (5π/6) = sen (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sen 135° cos 150°. Tratemos con el seno: porque 135° ∈ , este es el segundo cuarto en el que los senos son positivos, es decir sin (3π/4) > 0. Ahora trabajamos con coseno: 150° ∈ - nuevamente el segundo cuarto, los cosenos allí son negativos. Por lo tanto cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Nos fijamos en el coseno: 120° ∈ es el II cuarto de coordenadas, entonces cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Nuevamente obtuvimos un producto en el que los factores tienen signos diferentes. Como “menos por más da menos”, tenemos: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sen (5π/6) cos (7π/4) = sen (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sen 150° cos 315°. Trabajamos con seno: desde 150° ∈ , estamos hablando acerca de sobre el II cuarto de coordenadas, donde los senos son positivos. Por lo tanto, sen (5π/6) > 0. De manera similar, 315° ∈ es el cuarto de coordenadas IV, los cosenos allí son positivos. Por tanto cos (7π/4) > 0. Obtuvimos el producto de dos numeros positivos- Esa expresión es siempre positiva. Concluimos: sen (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Pero el ángulo 135° ∈ es el segundo cuarto, es decir tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Como “menos por más da un signo menos”, tenemos: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Observamos el argumento de la cotangente: 240° ∈ es el cuarto de coordenadas III, por lo tanto ctg (4π/3) > 0. De manera similar, para la tangente tenemos: 30° ∈ es el cuarto de coordenadas I, es decir el ángulo más simple. Por lo tanto tan (π/6) > 0. Nuevamente tenemos dos expresiones positivas; su producto también será positivo. Por lo tanto cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

En conclusión, veamos algunos más. tareas complejas. Además de descubrir el signo de la función trigonométrica, aquí tendrás que hacer un poco de cálculo, exactamente como se hace en los problemas reales B11. En principio, se trata de problemas casi reales que realmente aparecen en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.

Tarea. Encuentre sen α si sen 2 α = 0,64 y α ∈ [π/2; π].

Como sen 2 α = 0,64, tenemos: sen α = ±0,8. Sólo queda decidir: ¿más o menos? Por condición, ángulo α ∈ [π/2; π] es el cuarto de coordenadas II, donde todos los senos son positivos. Por lo tanto, sen α = 0,8: se elimina la incertidumbre con los signos.

Tarea. Encuentre cos α si cos 2 α = 0,04 y α ∈ [π; 3π/2].

Actuamos de manera similar, es decir. extracto Raíz cuadrada: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por condición, ángulo α ∈ [π; 3π/2], es decir Estamos hablando del tercer cuarto coordinado. Todos los cosenos son negativos, por lo que cos α = −0,2.

Tarea. Encuentre sen α si sen 2 α = 0,25 y α ∈.

Tenemos: sen 2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5. Volvemos a mirar el ángulo: α ∈ es el cuarto de coordenadas IV, en el que, como sabemos, el seno será negativo. Por tanto, concluimos: sen α = −0,5.

Tarea. Encuentre tan α si tan 2 α = 9 y α ∈ .

Todo es igual, solo por la tangente. Extraiga la raíz cuadrada: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Pero según la condición, el ángulo α ∈ es el cuarto de coordenadas I. Todas las funciones trigonométricas, incl. tangentes, las hay positivas, entonces tan α = 3. ¡Eso es todo!