Интерполяционный полином лагранжа. Интерполяция функции многочленами лагранжа Цель лабораторной работы

18.01.2024 | Детям

Пусть на отрезке функция у=f(x) задана таблично, т.е. (x i , y i), (i=0,1,..,n), где y i =f(x i). Так заданную функцию называют «сеточной ».

Постановка задачи : найти алгебраический многочлен (полином ):

степени не выше n такой, чтобы

L n (x i)=y i , при i= 0,1,..,n, (5.6)

т.е. имеющий в заданных узлах x i , (i =0,1,..,n ) те же значения, что и сеточная функция у =f(x) .

Сам многочлен L n (x) называется интерполяционным полиномом , а задача – полиномиальной интерполяцией .

Найти многочлен L n (x) – это значит найти его коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n . Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a i , (i =0, 1,…,n ):

где x i и y i (i =0,1,…,n ) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение .

Определив коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n , решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) :

(5.8)

который можно записать в виде:

Доказывается , что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.

При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:

= 43

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона , применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита .

Сплайн-интерполяция . При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию , когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Среднеквадратичное приближение функций

Постановка задачи

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер .

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений x i , y i (i =1,2,…,n ), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 5.1

x i	x 1	x 2	…	x n
y i	y 1	y 2	…	y n

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= j(х), значения которой при x=x i , возможно мало отличалось бы от опытных данных y i , (i =1,..,n ). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y= j(х) на отрезке [x 1 ,x n ]:

f(x) @ j(х) . (5.9)

Аппроксимирующая функция y= j(х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР) .

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной , если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

Сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка (экстраполяция );

Выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L : y= j(х) «возможно ближе » примыкающей к системе экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n , заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1. выбора общего вида уравнения регрессии,

2. определения его параметров .

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс или явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином (многочлен):

Вторая задача, нахождение параметров уравнения регрессии решается регулярными методами, например, методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами известных математиков прошлого – К.Гаусса и А.Лежандра.

Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента представлены в виде табл. 5.1. И уравнение регрессии записывается в виде (5.11), т.е. зависит от (m +1) параметра

Эти параметры и определяют расположение графика уравнения регрессии относительно экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n (рис.5.2).

Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе » к системе этих экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (5.11) от табличного значения y i для x i : , i= 1,2,..,n.

Рассмотрим сумму квадратов отклонений, которая зависит от(m +1) параметра

Согласно МНК наилучшими коэффициентами a i (i =0,1,..,m ) являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений, т.е. функцию .

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим так называемую нормальную систему для определения неизвестных коэффициентов :

Для аппроксимирующей функции (5.11) система (5.14) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Возможны случаи:

1. Если , то существует бесконечно много многочленов (5.11), минимизирующих функцию (5.13).

2. Если m=n –1, то существует только один многочлен (5.11), минимизирующий функцию (5.13).

Чем меньше m , тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше. Необходимо помнить, что полученная эмпирическая формула должна быть адекватной изучаемому объекту.

Подходящие кривые и поверхности к данным с помощью регрессии, интерполяции и сглаживания

Curve Fitting Toolbox™ предоставляет приложение и функции для подбора кривой кривым и поверхностям к данным. Тулбокс позволяет вам выполнить исследовательский анализ данных, предварительно обработать и постобработать данные, сравнить модели кандидата и удалить выбросы. Можно провести регрессионный анализ, пользующийся библиотекой линейных и нелинейных предоставленных моделей, или задать собственные уравнения. Библиотека обеспечивает оптимизированные параметры решателя и стартовые условия улучшить качество ваших подгонок. Тулбокс также поддерживает непараметрические техники моделирования, такие как сплайны, интерполяция и сглаживание.

После создания подгонки можно применить множество методов последующей обработки для графического вывода, интерполяции и экстраполяции; оценка доверительных интервалов; и вычисляя интегралы и производные.

Начало работы

Изучите основы Curve Fitting Toolbox

Линейная и нелинейная регрессия

Подходящие кривые или поверхности с линейными и нелинейными моделями библиотеки и пользовательскими моделями

Интерполяция

Подходящие кривые интерполяции или поверхности, оцените значения между известными точками данных

Сглаживание

Подходящее сглаживание использования шлицует и локализованная регрессия, сглаженные данные со скользящим средним значением и другими фильтрами

Подходящая постобработка

Графический вывод, выбросы, невязки, доверительные интервалы, данные о валидации, интегралы и производные, генерирует код MATLAB ®

Сплайны

Создайте сплайны с или без данных; ppform, B-форма, продукт тензора, рациональный, и сплайны тонкой пластины stform

Полином Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x i различны, существует единственный многочлен L (x ) степени не более n , для которого L (x i ) = y i .

В простейшем случае (n = 1 ) - это линейный многочлен, график которого - прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) и (7,9) , а также полиномы y j l j (x) , каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x i

Пусть для функции f (x ) известны значения y j = f (x j ) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от l j не зависят от f (x ) , и их можно вычислить заранее, зная последовательность x i .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить x i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x 0 :

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y , который строится с использованием только целочисленной арифметики . Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Полином Лагранжа" в других словарях:

Форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1,..., х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел, где все различны, существует единственный многочлен степени не более, для которого. В простейшем случае (… Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция, интерполирование в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и… … Википедия

Будем искать интерполяционный многочлен в виде

ВАНДЕРМОНД АЛЕКСАНДР ТЕОФИЛЬ (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796)- французский математик, чьи основные работы относятся к алгебре. В. заложил основы и дал логическое изложение теории детерминантов (определитель Вандермонда), а также выделил ее из теории линейных уравнений. Он ввел правило разложения детерминантов с помощью миноров второго порядка.

Здесь 1.(х) - многочлены степени л, так называемые ЛАГРАНЖЕ- ВЫ МНОГОЧЛЕНЫ ВЛИЯНИЯ, удовлетворяющие условию

Последнее условие означает, что любой многочлен l t (x) равен нулю при каждом х-у кроме х. у т. е. х 0 у x v ...» х { _ v x i + v ...» х п - корни этого многочлена. Следовательно, лагранжевы многочлены Ifjx) имеют вид

Так как по условию 1.(х.) = 1, то

Таким образом, лагранжевы многочлены влияния запишутся в виде

а интерполяционный многочлен (2.5) запишется в виде

ЛАГРАНЖ ЖОЗЕФ ЛУИ (Lagrange Joseph Louis; 1736- 1813) - выдающийся французский математик и механик, наиболее важные труды которого относятся к вариационному исчислению, к аналитической и теоретической механике. В основу статики Л. положил принцип возможных (виртуальных) перемещений. Он ввел обобщенные координаты и придал уравнениям движения механической системы форму, названную его именем. Л. получил ряд важных результатов в области анализа (формула остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных приращений, теория условных экстремумов); в теории чисел (теорема Лагранжа); в алгебре (теория непрерывных дробей, приведение квадратичной формы к сумме квадратов); в теории дифференциальных уравнений (отыскание частного решенияу изучение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, линейного относительно искомой функции и независимой переменной, с переменными коэффициентами, зависящими от производной от искомой функции); в теории интерполирования (интерполяционная формула Лагранжа).

Интерполяционный многочлен в форме (2.6) называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА. Перечислим основные достоинства этой формы записи интерполяционного многочлена.

Число арифметических операций, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально п 2 и является наименьшим для всех форм записи.
Формула (2.6) в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, что бывает удобно при некоторых вычислениях, в частности, при построении формул численного интегрирования.
Формула (2.6) применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов.
Интерполяционный многочлен Лагранжа особенно удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях.

К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисления проводить заново. Это затрудняет проведение апостериорных оценок точности (оценок, получающихся в процессе расчета).

Введем функцию ю л f , = (х - х 0)(х - Xj)...(x - х п) = fl (* “ *;)

Отметим, что ш п + : (х) есть многочлен степени п + 1. Тогда формулу (2.6) можно записать в виде

Приведем формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу:

Многочлен Лагранжа является в формуле (2.8) многочленом 1-й и в формуле (2.9) - многочленом 2-й степени.

Эти формулы наиболее часто используются на практике. Пусть задан (п + 1) узел интерполяции. На этих узлах можно построить один интерполяционный многочлен п -й степени, (п - 1) многочлен первой степени и большой набор многочленов степени меньше п, опирающихся на некоторые из этих узлов. Теоретически максимальную точность обеспечивает многочлен более высокой степени. Однако на практике наиболее часто используют многочлены невысоких степеней во избежание погрешностей при расчетах коэффициентов при больших степенях многочлена.

Пусть на отрезке в некоторой последовательностиузловзадана функциясвоими значениями, где. Задача алгебраического интерполирования состоит в построении многочленастепени, удовлетворяющего условию интерполирования:.

Известно, что существует единственный полином степени не выше , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициентыполиномаможно определить из системы уравнений:

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Пример. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функциейв точках.

Решение. Пусть , поэтому имеем

Поэтому при.

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени :.

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного, где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

Действительно, . Причислитель выражения равен 0. По аналогии получим:

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функциейв точках

Решение. Составим таблицу

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Если функция непрерывно дифференцируема до-го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполированияи точку.

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

Используя конечные разности, можно определить

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента. Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем, то есть использовать эту формулу для всех. Для других случаев вместопринять, еслипри. В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции, причем. Из-за этого при больших значенияхмы не можем вычислить высших порядков.

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть, и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функциязадана таблицей

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона впередтогдаи

Пример. Задана таблица. Найти .

При вычислении положим

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках. Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив, имеем

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции, заданной таблично.

Решение.

Вычисляя погрешность, получим:

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.