Comment résoudre des équations avec les degrés de l'examen. Résoudre des équations exponentielles

N'ayez pas peur de mes propos, vous avez déjà découvert cette méthode en 7e lorsque vous étudiiez les polynômes.

Par exemple, si vous aviez besoin de :

Regroupons : les premier et troisième termes, ainsi que les deuxième et quatrième.

Il est clair que le premier et le troisième sont la différence des carrés :

et le deuxième et le quatrième ont un facteur commun de trois :

Alors l’expression originale est équivalente à ceci :

Où dériver le facteur commun n’est plus difficile :

Ainsi,

C'est à peu près ce que nous ferons lors de la résolution d'équations exponentielles : rechercher le « point commun » entre les termes et le retirer des parenthèses, et ensuite - quoi qu'il arrive, je crois que nous aurons de la chance =))

Exemple n°14

La droite est loin d'être une puissance sept (j'ai vérifié !) et la gauche n'est guère mieux...

Vous pouvez, bien sûr, « couper » le facteur a du deuxième terme à partir du premier terme, puis gérer ce que vous avez obtenu, mais soyons plus prudents avec vous.

Je ne veux pas m'occuper des fractions qui se forment inévitablement lors de la "sélection", alors ne devrais-je pas plutôt les supprimer ?

Alors je n'aurai pas de fractions : comme on dit, les loups sont nourris et les moutons sont en sécurité :

Calculez l'expression entre parenthèses.

Comme par magie, comme par magie, il s'avère que cela (étonnamment, mais à quoi d'autre devrions-nous nous attendre ?).

Ensuite, nous réduisons les deux côtés de l’équation de ce facteur. On obtient : , de.

Voici un exemple plus compliqué (un peu, en fait) :

Quel problème! Nous n'avons pas de terrain d'entente ici !

On ne sait pas vraiment quoi faire maintenant.

Faisons ce que nous pouvons : d’abord, déplaçons les « quatre » d’un côté et les « cinq » de l’autre :

Supprimons maintenant le « général » à gauche et à droite :

Et maintenant ?

Quel est l’intérêt d’un groupe aussi stupide ? À première vue, cela n'est pas visible du tout, mais regardons plus en profondeur :

Eh bien, maintenant nous allons nous assurer qu'à gauche nous n'avons que l'expression c, et à droite - tout le reste.

Comment faisons-nous cela?

Voici comment procéder : divisez d'abord les deux côtés de l'équation par (pour éliminer l'exposant de droite), puis divisez les deux côtés par (pour éliminer le facteur numérique à gauche).

Finalement on obtient :

Incroyable!

A gauche nous avons une expression, et à droite nous avons une expression simple.

On conclut alors immédiatement que

Exemple n°15

Je vais donner sa solution brève (sans trop me soucier des explications), essayez de comprendre vous-même toutes les « subtilités » de la solution.

Passons maintenant à la consolidation finale du matériel couvert.

Résoudre indépendamment les 7 problèmes suivants (avec réponses)

1. Retirons le facteur commun entre parenthèses : Où :
2. Présentons la première expression sous la forme : , divisez les deux côtés par et obtenez cela
3. , puis l'équation d'origine est transformée sous la forme : Eh bien, maintenant un indice : cherchez où vous et moi avons déjà résolu cette équation !
4. Imaginez comment, comment, ah, eh bien, puis divisez les deux côtés par, pour obtenir l'équation exponentielle la plus simple.
5. Sortez-le des parenthèses.
6. Sortez-le des parenthèses.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU MOYEN

Je suppose qu'après avoir lu le premier article, qui parlait de que sont les équations exponentielles et comment les résoudre, vous maîtrisez les connaissances minimales nécessaires pour résoudre les exemples les plus simples.

Maintenant, je vais examiner une autre méthode pour résoudre des équations exponentielles, c'est...

Méthode d'introduction d'une nouvelle variable (ou de remplacement)

Il résout la plupart des problèmes « difficiles » sur le thème des équations exponentielles (et pas seulement des équations).

Cette méthode est l'une des le plus souvent utilisé dans la pratique. Tout d'abord, je vous recommande de vous familiariser avec le sujet.

Comme vous l'avez déjà compris d'après son nom, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation exponentielle se transformera miraculeusement en une équation que vous pourrez facilement résoudre.

Il ne vous reste plus qu'à faire un « remplacement inversé » après avoir résolu cette « équation très simplifiée » : c'est-à-dire le retour du remplacé au remplacé.

Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :

Exemple 16. Méthode de remplacement simple

Cette équation peut être résolue en utilisant "remplacement simple", comme l’appellent de manière désobligeante les mathématiciens.

En fait, le remplacement ici est le plus évident. Il suffit de voir ça

L’équation originale se transformera alors en ceci :

Si vous imaginez en plus comment, alors il est tout à fait clair qu'il faut remplacer...

Bien sûr, .

Que devient alors l’équation originale ? Voici quoi :

Vous pouvez facilement retrouver ses racines par vous-même : .

Que devons-nous faire maintenant?

Il est temps de revenir à la variable d'origine.

Qu'est-ce que j'ai oublié de mentionner ?

A savoir : lors du remplacement d'un certain degré par une nouvelle variable (c'est-à-dire lors du remplacement d'un type), je m'intéresserai à que des racines positives !

Vous pouvez facilement répondre vous-même pourquoi.

Ainsi, vous et moi ne sommes pas intéressés, mais la deuxième racine nous convient tout à fait :

Alors d'où.

Répondre:

Comme vous pouvez le voir, dans l’exemple précédent, un remplaçant demandait simplement nos mains. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas.

Cependant, n’allons pas directement aux choses tristes, mais pratiquons avec un autre exemple avec un remplacement assez simple.

Exemple 17. Méthode de remplacement simple

Il est clair qu'il devra très probablement être remplacé (il s'agit du plus petit des degrés inclus dans notre équation).

Cependant, avant d'introduire un remplacement, notre équation doit y être « préparée », à savoir : , .

Ensuite, vous pouvez remplacer, j'obtiens ainsi l'expression suivante :

Oh horreur : une équation cubique avec des formules absolument terribles pour la résoudre (enfin, en termes généraux).

Mais ne désespérons pas tout de suite, mais réfléchissons à ce que nous devrions faire.

Je suggère de tricher : nous savons que pour obtenir une « belle » réponse, nous devons l'obtenir sous la forme d'une puissance de trois (pourquoi, hein ?).

Essayons de deviner au moins une racine de notre équation (je vais commencer par deviner avec des puissances de trois).

Première supposition. Pas une racine. Hélas et ah...

.
Le côté gauche est égal.
Partie droite : !

Manger! J'ai deviné la première racine. Maintenant, les choses vont devenir plus faciles !

Connaissez-vous le système de division en « coin » ? Bien sûr que c’est le cas, vous l’utilisez lorsque vous divisez un nombre par un autre.

Mais peu de gens savent qu’on peut faire la même chose avec les polynômes.

Il existe un théorème merveilleux :

S'appliquant à ma situation, cela me dit qu'il est divisible sans reste par.

Comment s’effectue la division ? C'est comme ça:

Je regarde par quel monôme je dois multiplier pour obtenir

Il est clair que, alors :

Je soustrais l'expression résultante, j'obtiens :

Maintenant, par quoi dois-je multiplier pour obtenir ?

Il est clair que sur, alors j'obtiendrai :

et soustrayez à nouveau l'expression résultante de l'expression restante :

Eh bien, la dernière étape consiste à multiplier par et à soustraire de l'expression restante :

Hourra, la division est terminée ! Qu’avons-nous accumulé en privé ?

Par lui-même: .

Nous obtenons alors le développement suivant du polynôme original :

Résolvons la deuxième équation :

Il a des racines :

Alors l'équation originale :

a trois racines :

Nous écarterons bien entendu la dernière racine, puisqu’elle est inférieure à zéro.

Et les deux premiers après remplacement inverse nous donneront deux racines :

Répondre: ..

Je ne voulais pas vous effrayer avec cet exemple !

Au contraire, mon objectif était de montrer que même si nous avions beaucoup remplacement facile, cependant, cela a conduit à une équation assez complexe, dont la solution exigeait de notre part des compétences particulières.

Eh bien, personne n’est à l’abri de cela. Mais le remplacement dans ce cas était tout à fait évident.

Exemple n°18 (avec un remplacement moins évident)

Ce que nous devons faire n’est pas du tout clair : le problème est que dans notre équation il y a deux bases différentes et qu’une base ne peut pas être obtenue à partir de l’autre en l’élevant à une puissance (raisonnable, naturellement).

Cependant, que voit-on ?

Les deux bases ne diffèrent que par le signe, et leur produit est la différence des carrés égal à un :

Définition:

Ainsi, les nombres qui sont les bases dans notre exemple sont conjugués.

Dans ce cas, la démarche intelligente serait multipliez les deux côtés de l'équation par le nombre conjugué.

Par exemple, le côté gauche de l'équation deviendra égal à et le côté droit.

Si nous effectuons une substitution, alors notre équation originale deviendra comme ceci :

ses racines, alors, et en nous souvenant de cela, nous comprenons cela.

Répondre: , .

En règle générale, la méthode de remplacement est suffisante pour résoudre la plupart des équations exponentielles « scolaires ».

Tâches suivantes niveau supérieur les difficultés sont tirées des options de l'examen d'État unifié.

Trois tâches de complexité accrue issues des variantes de l'examen d'État unifié

Vous êtes déjà suffisamment instruit pour résoudre ces exemples par vous-même. Je ne donnerai que le remplacement requis.

1. Résous l'équation:
2. Trouvez les racines de l'équation :
3. Résous l'équation: . Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment :

Et maintenant quelques brèves explications et réponses :

Exemple n°19

Ici, il nous suffit de constater que...

Alors l’équation originale sera équivalente à ceci :

Cette équation peut être résolue en remplaçant

Faites vous-même les autres calculs.

Au final, votre tâche se résumera à résoudre des problèmes trigonométriques simples (en fonction du sinus ou du cosinus). Nous examinerons des solutions à des exemples similaires dans d’autres sections.

Exemple n°20

Ici, vous pouvez même vous passer de remplacement...

Il suffit de déplacer le sous-trahend vers la droite et de représenter les deux bases par des puissances de deux : , puis de passer immédiatement à l'équation quadratique.

Exemple n°21

Ceci est également résolu de manière assez standard : imaginons comment.

Puis en remplaçant nous obtenons équation quadratique: Alors,

Vous savez déjà ce qu'est un logarithme, n'est-ce pas ? Non? Alors lisez le sujet de toute urgence !

La première racine n’appartient évidemment pas au segment, mais la seconde n’est pas claire !

Mais nous le saurons très bientôt !

Puisque alors (c'est une propriété du logarithme !)

Soustrayons des deux côtés, on obtient alors :

Le côté gauche peut être représenté comme suit :

multiplier les deux côtés par :

peut être multiplié par, alors

Comparez ensuite :

depuis lors:

Alors la deuxième racine appartient à l'intervalle requis

Répondre:

Comme tu vois, la sélection des racines des équations exponentielles nécessite suffisamment connaissance approfondie propriétés des logarithmes, je vous conseille donc d'être aussi prudent que possible lors de la résolution d'équations exponentielles.

Vous l’aurez compris, en mathématiques, tout est lié !

Comme le disait mon professeur de mathématiques : « les mathématiques, comme l’histoire, ne peuvent pas être lues du jour au lendemain ».

En règle générale, tout La difficulté de résoudre des problèmes d'un niveau de complexité accru réside précisément dans la sélection des racines de l'équation.

Un autre exemple pour la pratique...

Exemple 22

Il est clair que l’équation elle-même est résolue tout simplement.

En effectuant une substitution, nous réduisons notre équation originale à la suivante :

Regardons d'abord première racine.

Comparons et : depuis, alors. (propriété d'une fonction logarithmique, at).

Il est alors clair que la racine première n’appartient pas à notre intervalle.

Maintenant la deuxième racine : . Il est clair que (puisque la fonction at est croissante).

Reste à comparer et...

depuis, en même temps.

De cette façon, je peux « enfoncer une cheville » entre le et.

Cette cheville est un nombre.

La première expression est inférieure et la seconde est plus grande.

Alors la deuxième expression est supérieure à la première et la racine appartient à l’intervalle.

Répondre: .

Enfin, regardons un autre exemple d'équation où la substitution est assez inhabituelle.

Exemple n°23 (Équation avec remplacement non standard !)

Commençons tout de suite par ce qui peut être fait et ce qui, en principe, peut être fait, mais il vaut mieux ne pas le faire.

Vous pouvez tout imaginer grâce aux puissances de trois, deux et six.

Où cela mène-t-il ?

Cela ne mènera à rien : un fouillis de diplômes dont certains seront bien difficiles à se débarrasser.

Que faut-il alors ?

Remarquons qu'un

Et qu’est-ce que cela va nous donner ?

Et le fait qu’on puisse réduire la solution de cet exemple à la solution d’une équation exponentielle assez simple !

Tout d’abord, réécrivons notre équation comme suit :

Divisons maintenant les deux côtés de l'équation résultante par :

Eurêka ! Maintenant on peut remplacer, on obtient :

Eh bien, c'est maintenant à votre tour de résoudre les problèmes de démonstration, et je ne leur ferai que de brefs commentaires pour que vous ne vous égariez pas ! Bonne chance!

Exemple n°24

Le plus difficile!

C'est tellement difficile de voir un remplaçant ici ! Néanmoins, cet exemple peut être complètement résolu en utilisant mettre en évidence un carré complet.

Pour le résoudre, il suffit de noter que :

Alors voici votre remplaçant :

(Veuillez noter qu'ici, lors de notre remplacement, nous ne pouvons pas éliminer la racine négative !!! Pourquoi en pensez-vous ?)

Maintenant, pour résoudre l’exemple, il vous suffit de résoudre deux équations :

Les deux problèmes peuvent être résolus par un « remplacement standard » (mais le deuxième dans un exemple !)

Exemple n°25

2. Notez-le et effectuez un remplacement.

Exemple n°26

3. Décomposez le nombre en facteurs premiers entre eux et simplifiez l'expression résultante.

Exemple n°27

4. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par (ou, si vous préférez) et effectuez la substitution ou.

Exemple n°28

5. Notez que les nombres et sont conjugués.

RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS EXPONENTAIRES À L'AIDE DE LA MÉTHODE LOGARIFHM. NIVEAU AVANCÉ

De plus, regardons une autre manière - résoudre des équations exponentielles à l'aide de la méthode du logarithme.

Je ne peux pas dire que la résolution d’équations exponentielles à l’aide de cette méthode soit très populaire, mais dans certains cas seulement, elle peut nous conduire à la solution correcte de notre équation.

Il est particulièrement souvent utilisé pour résoudre ce qu'on appelle « équations mixtes" : c'est-à-dire ceux où se produisent des fonctions de différents types.

Exemple n°29

dans le cas général, il ne peut être résolu qu'en prenant des logarithmes des deux côtés (par exemple, à la base), dans lesquels l'équation originale se transformera en ce qui suit :

Regardons l'exemple suivant :

Il est clair que seule l'ODZ de la fonction logarithmique nous intéresse.

Cependant, cela découle non seulement de l'ODZ du logarithme, mais aussi d'une autre raison.

Je pense qu’il ne vous sera pas difficile de deviner de quoi il s’agit.

Prenons le logarithme des deux côtés de notre équation à la base :

Comme vous pouvez le constater, prendre le logarithme de notre équation originale nous a rapidement conduit à la bonne (et belle !) réponse.

Pratiquons avec un autre exemple.

Exemple n°30

Il n’y a rien de mal ici non plus : prenons le logarithme des deux côtés de l’équation à la base, nous obtenons alors :

Faisons un remplacement :

Cependant, nous avons raté quelque chose ! Avez-vous remarqué où j'ai fait une erreur ? Après tout, alors :

qui ne satisfait pas à l’exigence (pensez à d’où cela vient !)

Répondre:

Essayez d'écrire la solution des équations exponentielles ci-dessous :

Comparez maintenant votre décision avec ceci :

Exemple n°31

Logarithmonons les deux côtés à la base, en tenant compte de cela :

(la deuxième racine ne nous convient pas en raison du remplacement)

Exemple n°32

Prenons les logarithmes à la base :

Transformons l'expression résultante sous la forme suivante :

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULES DE BASE

Équation exponentielle

Équation de la forme :

appelé l'équation exponentielle la plus simple.

Propriétés des diplômes

Approches de solution

• Réduction sur la même base
• Réduction au même exposant
• Remplacement variable
• Simplifier l'expression et appliquer l'une des solutions ci-dessus.

Au stade de la préparation à l'épreuve finale, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le sujet » Équations exponentielles" L'expérience des années passées indique que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de problème, les diplômés peuvent compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen d'État unifié en mathématiques.

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En examinant les matières qu'ils ont couvertes, de nombreux étudiants sont confrontés au problème de trouver les formules nécessaires pour résoudre des équations. Un manuel scolaire n'est pas toujours à portée de main et la sélection des informations nécessaires sur un sujet sur Internet prend beaucoup de temps.

Le portail pédagogique Shkolkovo invite les étudiants à utiliser notre base de connaissances. Nous mettons en œuvre complètement nouvelle méthode préparation à l'examen final. En étudiant sur notre site Web, vous pourrez identifier les lacunes dans les connaissances et prêter attention aux tâches qui posent le plus de difficultés.

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Les définitions et formules de base sont présentées dans la section « Contexte théorique ».

Pour mieux comprendre la matière, nous vous recommandons de vous entraîner à réaliser les devoirs. Examinez attentivement les exemples d'équations exponentielles avec solutions présentés sur cette page pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, procédez à l'exécution des tâches dans la section « Répertoires ». Vous pouvez commencer par les tâches les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes à plusieurs inconnues ou . La base de données d'exercices sur notre site Internet est constamment complétée et mise à jour.

Les exemples avec des indicateurs qui vous ont posé des difficultés peuvent être ajoutés aux « Favoris ». De cette façon, vous pourrez les trouver rapidement et discuter de la solution avec votre professeur.

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Cette leçon est destinée à ceux qui commencent tout juste à apprendre les équations exponentielles. Comme toujours, commençons par la définition et des exemples simples.

Si vous lisez cette leçon, alors je suppose que vous avez déjà au moins une compréhension minimale des équations les plus simples - linéaires et quadratiques : $56x-11=0$ ; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etc. Être capable de résoudre de telles constructions est absolument nécessaire pour ne pas « rester coincé » dans le sujet qui va maintenant être abordé.

Donc, des équations exponentielles. Laissez-moi vous donner quelques exemples :

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Certains d’entre eux peuvent vous paraître plus complexes, tandis que d’autres, au contraire, sont trop simples. Mais ils ont tous une caractéristique importante en commun : leur notation contient la fonction exponentielle $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ainsi, introduisons la définition :

Une équation exponentielle est toute équation contenant une fonction exponentielle, c'est-à-dire expression de la forme $((a)^(x))$. En plus de la fonction indiquée, ces équations peuvent contenir toute autre construction algébrique - polynômes, racines, trigonométrie, logarithmes, etc.

Alors ok. Nous avons réglé la définition. Maintenant la question est : comment résoudre toutes ces conneries ? La réponse est à la fois simple et complexe.

Commençons par la bonne nouvelle : d'après mon expérience d'enseignement à de nombreux étudiants, je peux dire que la plupart d'entre eux trouvent les équations exponentielles beaucoup plus faciles que les mêmes logarithmes, et encore plus la trigonométrie.

Mais il y a de mauvaises nouvelles : parfois, les rédacteurs de problèmes pour toutes sortes de manuels et d'examens sont frappés par « l'inspiration », et leur cerveau enflammé par la drogue commence à produire des équations si brutales que leur résolution devient problématique non seulement pour les étudiants, mais aussi pour de nombreux enseignants. rester coincé sur de tels problèmes.

Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Et revenons à ces trois équations données au tout début de l'histoire. Essayons de résoudre chacun d'eux.

Première équation : $((2)^(x))=4$. Eh bien, à quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir le chiffre 4 ? Probablement le deuxième ? Après tout, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - et nous avons obtenu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire en effet $x=2$. Eh bien, merci Cap, mais cette équation était si simple que même mon chat pouvait la résoudre :)

Regardons l'équation suivante :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mais ici, c'est un peu plus compliqué. De nombreux étudiants savent que $((5)^(2))=25$ est la table de multiplication. Certains soupçonnent également que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ est essentiellement la définition pouvoirs négatifs(par analogie avec la formule $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalement, seuls quelques privilégiés réalisent que ces faits peuvent être combinés et donner le résultat suivant :

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Ainsi, notre équation originale sera réécrite comme suit :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Mais c'est déjà tout à fait résoluble ! À gauche dans l'équation il y a une fonction exponentielle, à droite dans l'équation il y a une fonction exponentielle, il n'y a rien d'autre nulle part à part elles. On peut donc « rejeter » les bases et assimiler bêtement les indicateurs :

Nous avons obtenu l’équation linéaire la plus simple qu’un étudiant puisse résoudre en quelques lignes seulement. Bon, en quatre lignes :

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si vous ne comprenez pas ce qui s'est passé dans les quatre dernières lignes, assurez-vous de revenir au sujet " équations linéaires" et répétez-le. Car sans une compréhension claire de ce sujet, il est trop tôt pour aborder les équations exponentielles.

\[((9)^(x))=-3\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Première pensée : $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, donc l'équation originale peut être réécrite comme suit :

\[((\gauche(((3)^(2)) \droite))^(x))=-3\]

On se souvient ensuite que lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Et pour une telle décision, nous en recevrons deux honnêtement mérités. Car, avec la sérénité d'un Pokémon, nous avons envoyé le signe moins devant le trois à la puissance de ce même trois. Mais vous ne pouvez pas faire ça. Et c'est pourquoi. Jetez un œil aux différents pouvoirs de trois :

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

En compilant cette tablette, je n'ai pas perverti autant que possible : j'ai considéré les degrés positifs, et les négatifs, et même les fractionnaires... enfin, où y a-t-il au moins un un nombre négatif? Il est parti! Et cela ne peut pas être le cas, car la fonction exponentielle $y=((a)^(x))$, premièrement, ne prend toujours que des valeurs positives (peu importe combien un est multiplié ou divisé par deux, ce sera toujours un nombre positif), et d'autre part, la base d'une telle fonction - le nombre $a$ - est par définition un nombre positif !

Eh bien, comment alors résoudre l'équation $((9)^(x))=-3$ ? Mais pas question : il n’y a pas de racines. Et en ce sens, les équations exponentielles sont très similaires aux équations quadratiques : il se peut également qu'il n'y ait pas de racines. Mais si dans les équations quadratiques le nombre de racines est déterminé par le discriminant (discriminant positif - 2 racines, négatif - pas de racines), alors dans les équations exponentielles tout dépend de ce qui se trouve à droite du signe égal.

Ainsi, nous formulons la conclusion clé : l'équation exponentielle la plus simple de la forme $((a)^(x))=b$ a une racine si et seulement si $b \gt 0$. Connaissant ce simple fait, vous pouvez facilement déterminer si l'équation qui vous est proposée a des racines ou non. Ceux. Vaut-il la peine de le résoudre ou d'écrire immédiatement qu'il n'y a pas de racines.

Cette connaissance nous aidera à plusieurs reprises lorsque nous devrons décider davantage tâches complexes. Pour l'instant, assez de paroles - il est temps d'étudier l'algorithme de base pour résoudre les équations exponentielles.

Comment résoudre des équations exponentielles

Alors, formulons le problème. Il faut résoudre l'équation exponentielle :

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Selon l'algorithme « naïf » que nous avons utilisé précédemment, il faut représenter le nombre $b$ comme une puissance du nombre $a$ :

De plus, si au lieu de la variable $x$ il y a une expression, nous obtiendrons une nouvelle équation qui peut déjà être résolue. Par exemple:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\fin (aligner)\]

Et curieusement, ce système fonctionne dans environ 90 % des cas. Qu’en est-il alors des 10 % restants ? Les 10 % restants sont des équations exponentielles légèrement « schizophréniques » de la forme :

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Eh bien, à quelle puissance faut-il augmenter 2 pour obtenir 3 ? D'abord? Mais non : $((2)^(1))=2$ ne suffit pas. Deuxième? Non non plus : $((2)^(2))=4$, c'est trop. Lequel alors ?

Les étudiants avertis l'ont probablement déjà deviné : dans de tels cas, lorsqu'il n'est pas possible de le résoudre « magnifiquement », l'« artillerie lourde » - les logarithmes - entre en jeu. Permettez-moi de vous rappeler qu'en utilisant des logarithmes, tout nombre positif peut être représenté comme la puissance de n'importe quel autre. nombre positif(sauf un) :

Vous vous souvenez de cette formule ? Quand je parle des logarithmes à mes élèves, je préviens toujours : cette formule (c'est aussi la principale identité logarithmique ou, si vous préférez, la définition d'un logarithme) vous hantera très longtemps et « surgira » dans le plus des endroits inattendus. Eh bien, elle a refait surface. Regardons notre équation et cette formule :

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si nous supposons que $a=3$ est notre numéro d'origine à droite et que $b=2$ est la base même fonction exponentielle, auquel on veut réduire le membre de droite, on obtient ce qui suit :

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu une réponse légèrement étrange : $x=((\log )_(2))3$. Dans une autre tâche, beaucoup auraient des doutes sur une telle réponse et commenceraient à revérifier leur solution : et si une erreur s'était glissée quelque part ? Je m'empresse de vous faire plaisir : il n'y a pas d'erreur ici, et les logarithmes dans les racines des équations exponentielles sont une situation tout à fait typique. Alors habituez-vous :)

Résolvons maintenant les deux équations restantes par analogie :

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! D'ailleurs, la dernière réponse peut s'écrire différemment :

Nous avons introduit un multiplicateur à l'argument du logarithme. Mais personne ne nous empêche d’ajouter ce facteur à la base :

De plus, les trois options sont correctes - ce ne sont que des formes différentes d'écriture du même nombre. C'est à vous de décider lequel choisir et noter dans cette solution.

Ainsi, nous avons appris à résoudre toutes les équations exponentielles de la forme $((a)^(x))=b$, où les nombres $a$ et $b$ sont strictement positifs. Cependant, la dure réalité de notre monde est qu'une telle tâches simples vous vous rencontrerez très, très rarement. Le plus souvent, vous rencontrerez quelque chose comme ceci :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Est-ce que cela peut être résolu ? Et si oui, comment ?

Ne pas paniquer. Toutes ces équations se réduisent rapidement et facilement aux formules simples que nous avons déjà envisagées. Vous avez juste besoin de vous rappeler quelques astuces du cours d'algèbre. Et bien sûr, il n’y a pas de règles pour travailler avec des diplômes. Je vais vous parler de tout ça maintenant :)

Conversion d'équations exponentielles

La première chose à retenir : toute équation exponentielle, aussi complexe soit-elle, doit d'une manière ou d'une autre être réduite aux équations les plus simples - celles que nous avons déjà considérées et que nous savons résoudre. En d'autres termes, le schéma de résolution de toute équation exponentielle ressemble à ceci :

1. Écrivez l’équation originale. Par exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fais des conneries bizarres. Ou même des conneries appelées « convertir une équation » ;
3. En sortie, obtenez les expressions les plus simples de la forme $((4)^(x))=4$ ou quelque chose d'autre comme ça. De plus, une équation initiale peut donner plusieurs expressions de ce type à la fois.

Tout est clair avec le premier point : même mon chat peut écrire l'équation sur un morceau de papier. Le troisième point semble également plus ou moins clair - nous avons déjà résolu tout un tas de ces équations ci-dessus.

Mais qu’en est-il du deuxième point ? Quel genre de transformation ? Transformer quoi en quoi ? Et comment?

Eh bien, découvrons-le. Tout d’abord, je voudrais noter ce qui suit. Toutes les équations exponentielles sont divisées en deux types :

1. L'équation est composée de fonctions exponentielles de même base. Exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. La formule contient des fonctions exponentielles avec différentes bases. Exemples : $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ et $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Commençons par les équations du premier type : ce sont les plus faciles à résoudre. Et pour les résoudre, nous serons aidés par une technique telle que la mise en évidence d'expressions stables.

Isoler une expression stable

Regardons à nouveau cette équation :

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Que voit-on ? Les quatre sont élevés à des degrés différents. Mais toutes ces puissances sont de simples sommes de la variable $x$ avec d'autres nombres. Par conséquent, il est nécessaire de rappeler les règles pour travailler avec des diplômes :

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fin (aligner)\]

En termes simples, l’addition peut être convertie en produit de puissances et la soustraction peut facilement être convertie en division. Essayons d'appliquer ces formules aux degrés de notre équation :

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fin (aligner)\]

Réécrivons l'équation originale en tenant compte de ce fait, puis rassemblons tous les termes à gauche :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fin (aligner)\]

Les quatre premiers termes contiennent l'élément $((4)^(x))$ - retirons-le des parenthèses :

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fin (aligner)\]

Il reste à diviser les deux côtés de l'équation par la fraction $-\frac(11)(4)$, c'est-à-dire multiplier essentiellement par la fraction inversée - $-\frac(4)(11)$. On a:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Nous avons réduit l’équation originale à sa forme la plus simple et obtenu la réponse finale.

En même temps, au cours du processus de résolution, nous avons découvert (et même retiré du support) le facteur commun $((4)^(x))$ - c'est une expression stable. Elle peut être désignée comme une nouvelle variable, ou vous pouvez simplement l'exprimer avec soin et obtenir la réponse. Dans tous les cas, le principe clé de la solution est le suivant :

Trouvez dans l'équation originale une expression stable contenant une variable qui se distingue facilement de toutes les fonctions exponentielles.

La bonne nouvelle est que presque toutes les équations exponentielles vous permettent d’isoler une expression aussi stable.

Mais la mauvaise nouvelle est que ces expressions peuvent être assez délicates et difficiles à identifier. Examinons donc un autre problème :

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Peut-être que quelqu'un aura maintenant une question : « Pacha, es-tu défoncé ? Il y a différentes bases ici – 5 et 0,2. Mais essayons de convertir la puissance en base 0,2. Par exemple, débarrassons-nous de la fraction décimale en la réduisant à une fraction régulière :

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Comme vous pouvez le constater, le chiffre 5 apparaissait toujours, bien qu'au dénominateur. Dans le même temps, l’indicateur a été réécrit en négatif. Et maintenant rappelons-nous l'un des les règles les plus importantes travailler avec des diplômes :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ici, bien sûr, je mentais un peu. Car pour une compréhension complète, la formule pour se débarrasser des indicateurs négatifs devait s'écrire ainsi :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ à droite))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

En revanche, rien ne nous empêchait de travailler uniquement avec des fractions :

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mais dans ce cas, il faut pouvoir élever une puissance à une autre puissance (je vous le rappelle : dans ce cas, les indicateurs s'additionnent). Mais je n'ai pas eu à "inverser" les fractions - ce sera peut-être plus facile pour certains :)

Dans tous les cas, l’équation exponentielle originale sera réécrite comme suit :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fin (aligner)\]

Il s'avère donc que l'équation originale peut être résolue encore plus simplement que celle considérée précédemment : ici, vous n'avez même pas besoin de sélectionner une expression stable - tout a été réduit de lui-même. Il ne reste plus qu'à rappeler que $1=((5)^(0))$, d'où on obtient :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Nous avons obtenu la réponse finale : $x=-2$. En parallèle, je voudrais souligner une technique qui nous a grandement simplifié tous les calculs :

Dans les équations exponentielles, assurez-vous de vous débarrasser de décimales, convertissez-les en fichiers normaux. Cela vous permettra de voir les mêmes bases de diplômes et de simplifier grandement la solution.

Passons maintenant à des équations plus complexes dans lesquelles il existe différentes bases qui ne peuvent pas du tout être réduites les unes aux autres à l'aide de puissances.

Utilisation de la propriété Degrees

Permettez-moi de vous rappeler que nous avons deux équations plus particulièrement dures :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

La principale difficulté ici est qu’il n’est pas clair quoi donner et sur quelle base. Où sont les expressions stables ? Où sont les mêmes motifs ? Il n’y a rien de tout cela.

Mais essayons d'emprunter une voie différente. S’il n’existe pas de bases identiques toutes faites, vous pouvez essayer de les retrouver en factorisant les bases existantes.

Commençons par la première équation :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\fin (aligner)\]

Mais vous pouvez faire l'inverse : former le nombre 21 à partir des nombres 7 et 3. C'est particulièrement facile à faire à gauche, puisque les indicateurs des deux degrés sont les mêmes :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Vous avez sorti l'exposant du produit et obtenu immédiatement une belle équation qui peut être résolue en quelques lignes.

Examinons maintenant la deuxième équation. Tout est beaucoup plus compliqué ici :

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dans ce cas, les fractions se sont avérées irréductibles, mais si quelque chose pouvait être réduit, assurez-vous de le réduire. Souvent, des raisons intéressantes apparaîtront avec lesquelles vous pouvez déjà travailler.

Malheureusement, rien de spécial ne nous est apparu. Mais on voit que les exposants de gauche dans le produit sont opposés :

Je vous le rappelle : pour supprimer le signe moins dans l'indicateur, il suffit de « retourner » la fraction. Eh bien, réécrivons l'équation originale :

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fin (aligner)\]

Dans la deuxième ligne, nous avons simplement retiré l'exposant total du produit de la parenthèse selon la règle $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, et dans le dernier, ils ont simplement multiplié le nombre 100 par une fraction.

Notez maintenant que les chiffres à gauche (à la base) et à droite sont quelque peu similaires. Comment? Oui, c’est évident : ce sont des puissances du même nombre ! Nous avons:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \droite))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Ainsi, notre équation sera réécrite comme suit :

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\droite))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Dans ce cas, à droite vous pouvez également obtenir un diplôme avec la même base, pour lequel il suffit simplement de « retourner » la fraction :

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Notre équation prendra finalement la forme :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

C'est la solution. Son idée principale se résume au fait que même avec des bases différentes on essaie, par crochet ou par escroc, de réduire ces bases à la même chose. Les transformations élémentaires des équations et des règles pour travailler avec les puissances nous y aident.

Mais quelles règles et quand l’utiliser ? Comment comprenez-vous que dans une équation, vous devez diviser les deux côtés par quelque chose, et dans une autre, vous devez factoriser la base de la fonction exponentielle ?

La réponse à cette question viendra avec l’expérience. Essayez-vous d'abord équations simples, puis compliquez progressivement les tâches - et très bientôt vos compétences seront suffisantes pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle du même examen d'État unifié ou de tout travail indépendant/test.

Et pour vous aider dans cette tâche difficile, je vous propose de télécharger sur mon site un ensemble d'équations pour la résoudre vous-même. Toutes les équations ont des réponses, vous pouvez donc toujours vous tester.

De manière générale, je vous souhaite une formation réussie. Et rendez-vous dans la prochaine leçon - nous y analyserons des équations exponentielles vraiment complexes, où les méthodes décrites ci-dessus ne suffisent plus. Et une simple formation ne suffira pas non plus :)

Résoudre des équations exponentielles. Exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé équation exponentielle? Il s'agit d'une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions qui les accompagnent sont en indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.

Te voilà exemples d'équations exponentielles:

3x2x = 8x+3

Note! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. DANS indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec un X. Si tout d’un coup, un X apparaît dans l’équation ailleurs qu’un indicateur, par exemple :

ce sera une équation type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici résoudre des équations exponentielles dans sa forme la plus pure.

En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours résolues clairement. Mais il existe certains types d’équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous considérerons.

Résoudre des équations exponentielles simples.

Tout d’abord, résolvons quelque chose de très basique. Par exemple:

Même sans aucune théorie, par simple sélection, il est clair que x = 2. Rien de plus, n'est-ce pas !? Aucune autre valeur de X ne fonctionne. Examinons maintenant la solution de cette équation exponentielle délicate :

Qu'avons-nous fait? En fait, nous avons simplement jeté les mêmes bases (triples). Complètement jeté. Et la bonne nouvelle, c’est que nous avons mis le doigt sur le problème !

En effet, si dans une équation exponentielle il y a gauche et droite le même nombres dans n'importe quelle puissance, ces nombres peuvent être supprimés et les exposants peuvent être égalisés. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. Super, non ?)

Cependant, rappelons-le fermement : Vous ne pouvez supprimer des bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont dans un splendide isolement ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :

2 x +2 x+1 = 2 3, ou

les deux ne peuvent pas être supprimés !

Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment passer d'expressions exponentielles maléfiques à des équations plus simples.

"C'est le moment !" - vous dites. "Qui donnerait une leçon aussi primitive sur les tests et les examens !?"

Je suis d'accord. Personne ne le donnera. Mais vous savez désormais où viser lorsque vous résolvez des exemples délicats. Il faut l'amener sous la forme où le même numéro de base est à gauche et à droite. Alors tout sera plus facile. En fait, c’est un classique des mathématiques. Nous prenons l'exemple original et le transformons en celui souhaité nous esprit. Selon les règles mathématiques, bien sûr.

Regardons des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Appelons-les équations exponentielles simples.

Résoudre des équations exponentielles simples. Exemples.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, les règles principales sont des actions avec des diplômes. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.

Aux actions graduées, il faut ajouter l’observation personnelle et l’ingéniosité. Avons-nous besoin des mêmes nombres de base ? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous forme explicite ou cryptée.

Voyons comment cela se fait en pratique ?

Donnons-nous un exemple :

2 2x - 8 x+1 = 0

Le premier regard attentif est sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir

Deux et huit sont parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :

8x+1 = (2 3)x+1

Si l'on rappelle la formule des opérations avec degrés :

(une n) m = une nm ,

ça marche très bien :

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'exemple original commençait à ressembler à ceci :

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les opérations élémentaires des mathématiques !), on obtient :

2 2x = 2 3(x+1)

C'est pratiquement tout. Retrait des bases :

Nous résolvons ce monstre et obtenons

C'est la bonne réponse.

Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidé. Nous identifié dans huit, il y a un deux crypté. Cette technique (chiffrement des terrains communs sous différents numéros) est une technique très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, et en logarithmes aussi. Vous devez être capable de reconnaître les puissances d’autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.

Le fait est qu’élever n’importe quel nombre à n’importe quelle puissance n’est pas un problème. Multipliez, même sur papier, et c'est tout. Par exemple, n’importe qui peut élever 3 à la puissance cinq. 243 fonctionnera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, bien plus souvent, il n'est pas nécessaire d'élever à une puissance, mais vice versa... Découvrez, quel nombre à quel degré se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.

Vous devez connaître les puissances de certains nombres à vue, n'est-ce pas... Pratiquons ?

Déterminez à quelles puissances et à quels nombres correspondent les nombres :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Réponses (en désordre, bien sûr !) :

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si vous regardez attentivement, vous remarquerez un fait étrange. Il y a bien plus de réponses que de tâches ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6, 4 3, 8 2 - c'est tout 64.

Supposons que vous ayez pris note des informations sur la familiarité avec les nombres.) Permettez-moi également de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous utilisons tous action connaissances mathématiques. Y compris ceux des classes juniors et moyennes. Tu n'es pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?)

Par exemple, lors de la résolution d’équations exponentielles, il est souvent utile de mettre le facteur commun entre parenthèses (bonjour les élèves de 7e !). Regardons un exemple :

3 2x+4 -11 9x = 210

Et encore une fois, le premier regard se porte sur les fondations ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Et nous voulons qu'ils soient les mêmes. Eh bien, dans ce cas, le désir est complètement exaucé !) Parce que :

9 x = (3 2) x = 3 2x

Utiliser les mêmes règles pour traiter les diplômes :

3 2x+4 = 3 2x 3 4

C'est super, vous pouvez l'écrire :

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nous avons donné un exemple de pour les mêmes raisons. Alors, quelle est la prochaine étape !? Vous ne pouvez pas jeter des trois... Une impasse ?

Pas du tout. Rappelez-vous la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tout le monde tâches mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !

Écoutez, tout s'arrangera).

Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle Peut faire? Oui, sur le côté gauche, il ne demande qu’à être retiré des parenthèses ! Le multiplicateur global de 3 2x le laisse clairement entendre. Essayons, et ensuite nous verrons :

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L’exemple ne cesse de s’améliorer !

Nous rappelons que pour éliminer les motifs, nous avons besoin d'un diplôme pur, sans aucun coefficient. Le chiffre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l’équation par 70, on obtient :

Oops! Tout s'est amélioré !

C'est la réponse finale.

Il arrive cependant que des roulages sur la même base soient réalisés, mais leur élimination n'est pas possible. Cela se produit dans d'autres types d'équations exponentielles. Maîtrisons ce type.

Remplacement d'une variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.

Résolvons l'équation :

4 x - 3 2 x +2 = 0

D'abord - comme d'habitude. Passons à une base. À deux.

4 x = (2 2) x = 2 2x

On obtient l'équation :

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Et c'est ici que nous nous accrochons. Les techniques précédentes ne fonctionneront pas, quelle que soit la façon dont vous regardez les choses. Il va falloir sortir de notre arsenal une autre méthode puissante et universelle. C'est appelé remplacement variable.

L’essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas - 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple - t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !

Alors laisse

Alors 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dans notre équation, nous remplaçons toutes les puissances par x par t :

Eh bien, cela vous vient-il à l'esprit ?) Avez-vous déjà oublié les équations quadratiques ? En résolvant par le discriminant, on obtient :

L'essentiel ici est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, nous avons besoin d'un x, pas d'un t. Revenons aux X, c'est-à-dire nous effectuons un remplacement inversé. D'abord pour t 1 :

C'est,

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :

Hm... 2 x à gauche, 1 à droite... Problème ? Pas du tout! Il suffit de rappeler (des opérations avec pouvoirs, oui...) qu'une unité est n'importe lequel nombre à la puissance zéro. N'importe lequel. Tout ce qui est nécessaire, nous l'installerons. Il nous en faut un deux. Moyens:

C'est tout maintenant. Nous avons 2 racines :

C'est la réponse.

À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on se retrouve parfois avec une sorte d'expression maladroite. Taper:

Sept ne peut pas être converti en deux par un simple pouvoir. Ce ne sont pas des parents... Comment pouvons-nous l'être ? Quelqu'un peut être confus... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet « Qu'est-ce qu'un logarithme ? , sourit simplement avec parcimonie et écrit d'une main ferme la réponse absolument correcte :

Il ne peut pas y avoir une telle réponse dans les tâches « B » de l'examen d'État unifié. Là, un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches « C », c'est facile.

Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons les points principaux.

Conseils pratiques :

1. Tout d’abord, examinons terrains degrés. Nous nous demandons s'il est possible de les réaliser identique. Essayons de le faire en utilisant activement des actions avec des diplômes. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent également être convertis en puissances !

2. On essaie de mettre l'équation exponentielle sous la forme quand à gauche et à droite il y a le même nombres dans toutes les puissances. Nous utilisons actions avec diplômes Et factorisation. Ce qui peut être compté en chiffres, nous le comptons.

3. Si le deuxième conseil ne fonctionne pas, essayez d'utiliser le remplacement variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également au carré.

4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître visuellement les puissances de certains nombres.

Comme d'habitude, à la fin du cours vous êtes invité à décider un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.

Résoudre des équations exponentielles :

Plus difficile:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Trouver le produit des racines :

2 3 + 2 x = 9

Arrivé?

Eh bien l'exemple le plus compliqué(décidé cependant dans l'esprit...) :

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez tentant pour une difficulté accrue. Laissez-moi vous laisser entendre que dans cet exemple, ce qui vous sauve, c'est l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre tous les problèmes mathématiques.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemple plus simple, pour la détente) :

9 2 x - 4 3 x = 0

Et pour le dessert. Trouvez la somme des racines de l'équation :

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oui oui! Il s'agit d'une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas pris en compte dans cette leçon. Pourquoi les considérer, il faut les résoudre !) Cette leçon est largement suffisante pour résoudre l'équation. Eh bien, il vous faut de l'ingéniosité... Et que la septième année vous aide (c'est un indice !).

Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :

1; 2 ; 3 ; 4 ; il n'y a pas de solutions ; 2 ; -2 ; -5 ; 4 ; 0.

Est-ce que tout est réussi ? Super.

Il ya un problème? Aucun problème! La section spéciale 555 résout toutes ces équations exponentielles avec des explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il existe des informations supplémentaires précieuses sur l’utilisation de toutes sortes d’équations exponentielles. Pas seulement ceux-là.)

Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n’ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est d'ailleurs une chose très importante...

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

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Rappelons d’abord les formules de base des pouvoirs et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit sur lui-même n fois, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. une 0 = 1 (une ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Equations de puissance ou exponentielles– ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

DANS dans cet exemple le chiffre 6 est la base, il est toujours en bas, et la variable X degré ou indicateur.

Donnons plus d'exemples d'équations exponentielles.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2x = 2 3

Cet exemple peut être résolu même dans votre tête. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment formaliser cette décision :

2x = 2 3
x = 3

Afin de résoudre une telle équation, nous avons supprimé motifs identiques(c'est-à-dire deux) et j'ai noté ce qui restait, ce sont des diplômes. Nous avons obtenu la réponse que nous recherchions.

Résumons maintenant notre décision.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si l'équation a des bases à droite et à gauche. Si les raisons ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont devenues les mêmes, assimiler degrés et résolvez la nouvelle équation résultante.

Voyons maintenant quelques exemples :

Commençons par quelque chose de simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au chiffre 2, ce qui signifie que nous pouvons écarter la base et égaliser leurs puissances.

x+2=4 L'équation la plus simple est obtenue.
x=4 – 2
x=2
Réponse : x=2

Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes : 3 et 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Tout d’abord, déplaçons le neuf vers la droite, nous obtenons :

Maintenant, vous devez créer les mêmes bases. Nous savons que 9=3 2. Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

On obtient 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Il est maintenant clair que sur les côtés gauche et droit, les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les écarter et égaliser les degrés.

3x=2x+16 on obtient l'équation la plus simple
3x-2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Tout d’abord, nous examinons les bases, les bases deux et quatre. Et nous avons besoin qu’ils soient les mêmes. Nous transformons les quatre en utilisant la formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajoutez à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais les autres nombres 10 et 24 nous dérangent. Que faire d’eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche nous avons 2 2x répétés, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x entre parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginons 4=2 2 :

2 2x = 2 2 bases sont les mêmes, nous les écartons et assimilons les degrés.
2x = 2 est l'équation la plus simple. Divisez-le par 2 et nous obtenons
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9 x – 12*3 x +27= 0

Convertissons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à trois. Dans cet exemple, vous pouvez voir que les trois premiers ont un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez résoudre méthode de remplacement. On remplace le nombre par le plus petit degré :

Alors 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Nous remplaçons toutes les puissances x dans l'équation par t :

t2 - 12t+27 = 0
Nous obtenons une équation quadratique. En résolvant par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenir à la variable X.

Prenez le t1 :
t 1 = 9 = 3x

C'est,

3x = 9
3x = 3 2
x1 = 2

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :
t 2 = 3 = 3x
3x = 3 1
x2 = 1
Réponse : x 1 = 2 ; x2 = 1.

Sur le site, vous pouvez poser toutes vos questions dans la section AIDE À DÉCIDER, nous vous répondrons certainement.

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