Bibliothèque électronique scientifique. Théorème sur la somme des angles d'un triangle Signes d'égalité des triangles rectangles

22.03.2023 | Essais

Théorème. La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à deux angles droits.

Prenons un triangle ABC (Fig. 208). Notons ses angles intérieurs par les nombres 1, 2 et 3. Montrons que

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Traçons par un sommet du triangle, par exemple B, une droite MN parallèle à AC.

Au sommet B, nous avons trois angles : ∠4, ∠2 et ∠5. Leur somme est un angle droit, donc égal à 180° :

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Mais ∠4 = ∠1 sont des angles transversaux internes de droites parallèles MN et AC et sécantes AB.

∠5 = ∠3 - ce sont des angles transversaux internes avec des lignes parallèles MN et AC et sécantes BC.

Cela signifie que ∠4 et ∠5 peuvent être remplacés par leurs égaux ∠1 et ∠3.

Par conséquent, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Le théorème a été prouvé.

2. Propriété de l'angle extérieur d'un triangle.

Théorème. Angle externe d'un triangle égal à la somme deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents.

En effet, dans le triangle ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, mais aussi ∠ВСD, l'angle extérieur de ce triangle, non adjacent à ∠1 et ∠2, est également égal à 180° - ∠3 .

Ainsi:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 ;

∠BCD = 180° - ∠3.

Par conséquent, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

La propriété dérivée de l'angle extérieur d'un triangle clarifie le contenu du théorème précédemment prouvé sur l'angle extérieur d'un triangle, qui stipulait seulement que l'angle extérieur d'un triangle est plus grand que chaque angle intérieur d'un triangle qui ne lui est pas adjacent ; or il est établi que l'angle externe est égal à la somme des deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents.

3. Propriété d'un triangle rectangle d'un angle de 30°.

Théorème. Un côté d'un triangle rectangle opposé à un angle de 30° est égal à la moitié de l'hypoténuse.

Soit l'angle B du triangle rectangle ACB égal à 30° (Fig. 210). Alors son autre angle aigu sera égal à 60°.

Montrons que la jambe AC est égale à la moitié de l'hypoténuse AB. Continuons l'étape AC au-delà du sommet angle droit C et mettons de côté le segment CM égal au segment AC. Relions le point M au point B. Le triangle résultant ВСМ est égal au triangle ACB. On voit que chaque angle du triangle ABM est égal à 60°, donc ce triangle est un triangle équilatéral.

La jambe AC est égale à la moitié de AM, et puisque AM est égale à AB, la jambe AC sera égale à la moitié de l'hypoténuse AB.

Preuve:

Étant donné le triangle ABC.
Par le sommet B on trace une droite DK parallèle à la base AC.
\angle CBK= \angle C comme interne transversal avec parallèles DK et AC, et sécant BC.
\angle DBA = \angle A interne croisé avec DK \parallel AC et sécant AB. L'angle DBK est inversé et égal à
\angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
Puisque l'angle déplié est égal à 180 ^\circ , et que \angle CBK = \angle C et \angle DBA = \angle A , on obtient 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Le théorème est prouvé

Corollaires du théorème sur la somme des angles d'un triangle :

Somme coins pointus d'un triangle rectangle est égal à 90°.
Dans un triangle rectangle isocèle, chaque angle aigu est égal à 45°.
Dans un triangle équilatéral, chaque angle est égal 60°.
Dans tout triangle, soit tous les angles sont aigus, soit deux angles sont aigus et le troisième est obtus ou droit.
L’angle extérieur d’un triangle est égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

Théorème de l'angle extérieur du triangle

Un angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles restants du triangle qui ne sont pas adjacents à cet angle extérieur

Preuve:

Étant donné un triangle ABC, où BCD est l'angle extérieur.
\angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
Du point de vue des égalités, l'angle \angle BCD + \angle BCA = 180^0
On a \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Somme des angles du triangle- un sujet important mais assez simple qui est enseigné en géométrie de 7e année. Le sujet se compose d'un théorème, d'une courte preuve et de plusieurs conséquences logiques. La connaissance de ce sujet aide à résoudre des problèmes géométriques lors d'études ultérieures sur le sujet.

Théorème - quels sont les angles d'un triangle arbitraire additionnés ?

Le théorème stipule que si l’on prend un triangle, quel que soit son type, la somme de tous les angles sera invariablement de 180 degrés. Ceci est prouvé comme suit :

par exemple, prenons le triangle ABC, tracez une droite passant par le point B situé au sommet et désignons-le par « a », la droite « a » est strictement parallèle au côté AC ;
entre la droite « a » et les côtés AB et BC, les angles sont désignés en les marquant par les chiffres 1 et 2 ;
l'angle 1 est considéré comme égal à l'angle A, et l'angle 2 est considéré comme égal à l'angle C, puisque ces angles sont considérés comme étant transversaux ;
Ainsi, la somme entre les angles 1, 2 et 3 (qui est désigné à la place de l'angle B) est reconnue comme égale à l'angle déplié de sommet B - et est de 180 degrés.

Si la somme des angles indiqués par les nombres est de 180 degrés, alors la somme des angles A, B et C est reconnue comme égale à 180 degrés. Cette règle est vraie pour n’importe quel triangle.

Ce qui découle du théorème géométrique

Il est d’usage de souligner plusieurs corollaires du théorème ci-dessus.

Si le problème considère un triangle à angle droit, alors l'un de ses angles sera par défaut égal à 90 degrés, et la somme des angles aigus sera également de 90 degrés.
Si nous parlons de autour d'un triangle rectangle isocèle, alors ses angles aigus, qui totalisent 90 degrés, seront individuellement égaux à 45 degrés.
Un triangle équilatéral se compose respectivement de trois angles égaux, chacun d'eux sera égal à 60 degrés et au total ils feront 180 degrés.
L'angle extérieur de tout triangle sera égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

On peut en déduire la règle suivante : tout triangle a au moins deux angles aigus. Dans certains cas, un triangle est constitué de trois angles aigus, et s'il n'y en a que deux, alors le troisième angle sera obtus ou droit.

>>Géométrie : Somme des angles d'un triangle. Cours complets

SUJET DE LA LEÇON : Somme des angles d'un triangle.

Objectifs de la leçon:

Consolider et tester les connaissances des étudiants sur le thème : « Somme des angles d'un triangle » ;
Preuve des propriétés des angles d'un triangle ;
Application de cette propriété à la résolution de problèmes simples ;
Utiliser du matériel historique pour le développement activité cognitiveétudiants;
Inculquer la compétence de précision lors de la construction de dessins.

Objectifs de la leçon:

Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours:

Triangle;
Théorème sur la somme des angles d'un triangle ;
Exemples de tâches.

Triangle.

Fichier:O.gif Triangle- le polygone le plus simple ayant 3 sommets (angles) et 3 côtés ; partie du plan délimitée par trois points et trois segments reliant ces points deux à deux.
Trois points de l'espace qui ne se trouvent pas sur la même droite correspondent à un et un seul plan.
N'importe quel polygone peut être divisé en triangles - ce processus est appelé triangulation.
Il existe une section de mathématiques entièrement consacrée à l'étude des lois des triangles - Trigonométrie.

Théorème sur la somme des angles d'un triangle.

Fichier:T.gif Le théorème de la somme des angles du triangle est un théorème classique de la géométrie euclidienne qui stipule que la somme des angles d'un triangle est de 180°.

Preuve" :

Soit Δ ABC. Traçons une ligne parallèle à (AC) passant par le sommet B et marquons dessus le point D de sorte que les points A et D se trouvent sur les côtés opposés de la ligne BC. Alors l'angle (DBC) et l'angle (ACB) sont égaux comme étant internes transversalement aux droites parallèles BD et AC et à la sécante (BC). Alors la somme des angles du triangle aux sommets B et C est égale à l'angle (ABD). Mais l'angle (ABD) et l'angle (BAC) au sommet A du triangle ABC sont internes unilatéraux aux droites parallèles BD et AC et à la sécante (AB), et leur somme est de 180°. La somme des angles d’un triangle vaut donc 180°. Le théorème a été prouvé.

Conséquences.

Un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme de deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents.

Preuve:

Soit Δ ABC. Le point D se trouve sur la droite AC de sorte que A se situe entre C et D. Alors BAD est extérieur à l'angle du triangle au sommet A et A + BAD = 180°. Mais A + B + C = 180°, et donc B + C = 180° – A. Donc BAD = B + C. Le corollaire est prouvé.

Conséquences.

L’angle extérieur d’un triangle est plus grand que tout angle du triangle qui ne lui est pas adjacent.

Tâche.

Un angle extérieur d'un triangle est un angle adjacent à n'importe quel angle de ce triangle. Montrer que l'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme de deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents.
(Fig. 1)

Solution:

Soit Δ ABC ∠DAС externe (Fig. 1). Alors ∠DAC = 180°-∠BAC (par la propriété des angles adjacents), par le théorème sur la somme des angles d'un triangle ∠B+∠C = 180°-∠BAC. De ces égalités on obtient ∠DAС=∠В+∠С

Fait intéressant:

Somme des angles d'un triangle" :

En géométrie Lobatchevski, la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180. En géométrie euclidienne, elle est toujours égale à 180. En géométrie Riemann, la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180.

De l'histoire des mathématiques :

Euclide (IIIe siècle avant JC) dans son ouvrage « Éléments » donne la définition suivante : « Les lignes parallèles sont des lignes qui sont dans le même plan et, s'étendant indéfiniment dans les deux directions, ne se rencontrent d'aucun côté. »
Posidonius (1er siècle avant JC) « Deux lignes droites situées dans le même plan, également espacées l'une de l'autre »
L'ancien scientifique grec Pappus (IIIe siècle avant JC) a introduit le symbole du parallèle signe droit=. Par la suite, l’économiste anglais Ricardo (1720-1823) utilisa ce symbole comme signe égal.
Ce n'est qu'au XVIIIe siècle qu'ils ont commencé à utiliser le symbole des lignes parallèles - le signe ||.
Le lien vivant entre les générations n'est pas interrompu un instant ; chaque jour, nous apprenons l'expérience accumulée par nos ancêtres. Les anciens Grecs, sur la base d'observations et d'expériences pratiques, tiraient des conclusions, exprimaient des hypothèses, puis, lors de réunions de scientifiques - des colloques (littéralement « festin ») - ils essayaient de justifier et de prouver ces hypothèses. À cette époque, la déclaration est apparue : « La vérité naît dans la contestation ».

Des questions:

Qu'est-ce qu'un triangle ?
Que dit le théorème sur la somme des angles d’un triangle ?
Quel est l'angle extérieur du triangle ?

Preuve

Laisser ABC" - triangle arbitraire. Passons par le haut B ligne parallèle à la ligne A.C. (une telle ligne droite est appelée ligne droite euclidienne). Marquons un point là-dessus D pour que les points UN Et D s'étendre sur les côtés opposés d'une ligne droite AVANT JC..Angles DBC Et PBRégal à l'intérieur transversal formé par une sécante AVANT JC. avec des lignes parallèles A.C. Et BD. Donc la somme des angles d’un triangle aux sommets B Et AVECégal à l'angle ABD.La somme des trois angles d'un triangle est égale à la somme des angles ABD Et BAC. Puisque ces angles sont intérieurs unilatéraux pour les parallèles A.C. Et BDà sécante UN B, alors leur somme est de 180°. Le théorème a été prouvé.

Conséquences

Du théorème, il s'ensuit que tout triangle a deux angles aigus. En effet, en utilisant la preuve par contradiction, supposons que le triangle n'ait qu'un seul angle aigu ou aucun angle aigu du tout. Alors ce triangle a au moins deux angles dont chacun mesure au moins 90°. La somme de ces angles n'est pas inférieure à 180°. Mais cela est impossible puisque la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°. Q.E.D.

Généralisation en théorie du simplexe

Où est l’angle entre les faces i et j du simplexe.

Remarques

Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle dépasse toujours 180°, la différence est appelée excès sphérique et est proportionnelle à l'aire du triangle.
Dans le plan Lobatchevski, la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°. La différence est également proportionnelle à l’aire du triangle.

voir également

Fondation Wikimédia. 2010.

Taylor
Pont Nijni Lebyazhy

Voyez ce qu'est le « Théorème sur la somme des angles d'un triangle » dans d'autres dictionnaires :

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Euclide- Mathématicien grec ancien. A travaillé à Alexandrie au IIIe siècle. avant JC e. L'ouvrage principal « Principes » (15 livres), contenant les fondements des mathématiques anciennes, de la géométrie élémentaire, de la théorie des nombres, de la théorie générale des relations et de la méthode de détermination des aires et des volumes,... ... Dictionnaire encyclopédique

EUCLIDE- (mort entre 275 et 270 avant JC) mathématicien grec ancien. Les informations sur l'heure et le lieu de sa naissance ne nous sont pas parvenues, mais on sait qu'Euclide a vécu à Alexandrie et que l'apogée de son activité s'est produite sous le règne de Ptolémée Ier en Égypte... ... Grand dictionnaire encyclopédique

GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE- une géométrie proche de la géométrie euclidienne en ce qu'elle définit le mouvement des figures, mais diffère de la géométrie euclidienne en ce qu'un de ses cinq postulats (le deuxième ou le cinquième) est remplacé par sa négation. Négation d'un des postulats euclidiens... ... Encyclopédie de Collier