Comparer un triangle avec un parallélogramme. Propriété des diagonales d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de sa base (a) et de sa hauteur (h). Vous pouvez également trouver son aire par deux côtés et un angle et par des diagonales.

Propriétés d'un parallélogramme

1. Les côtés opposés sont identiques

Tout d’abord, dessinons la diagonale \(AC\) . On obtient deux triangles : \(ABC\) et \(ADC\).

Puisque \(ABCD\) est un parallélogramme, ce qui suit est vrai :

\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2\) comme s'allonger en travers.

\(AB || CD \Flèche droite \angle3 = \angle 4\) comme s'allonger en travers.

Donc, (selon le deuxième critère : et \(AC\) est commun).

Et cela veut dire \(\triangle ABC = \triangle ADC\), puis \(AB = CD\) et \(AD = BC\) .

2. Les angles opposés sont identiques

D'après la preuve propriétés 1 Nous savons que \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4\). La somme des angles opposés vaut donc : \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4\). Étant donné que \(\triangle ABC = \triangle ADC\) nous obtenons \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

3. Les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection

Par propriété 1 on sait que les côtés opposés sont identiques : \(AB = CD\) . Encore une fois, notez les angles transversaux égaux.

Il est donc clair que \(\triangle AOB = \triangle COD\) selon le deuxième critère d'égalité des triangles (deux angles et le côté qui les sépare). Autrement dit, \(BO = OD\) (en face des angles \(\angle 2\) et \(\angle 1\) ) et \(AO = OC\) (en face des angles \(\angle 3\) et \( \angle 4\) respectivement).

Signes d'un parallélogramme

Si une seule fonctionnalité est présente dans votre problème, alors la figure est un parallélogramme et vous pouvez utiliser toutes les propriétés de cette figure.

Pour une meilleure mémorisation, notez que le signe du parallélogramme répondra à la question suivante – "Comment le savoir ?". C'est-à-dire comment découvrir qu'une figure donnée est un parallélogramme.

1. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les deux côtés sont égaux et parallèles

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Flèche droite ABCD\)- parallélogramme.

Regardons de plus près. Pourquoi \(AD || BC \) ?

\(\triangle ABC = \triangle ADC\) Par propriété 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) croisé lorsque \(AB \) et \(CD \) et la sécante \(AC \) sont parallèles.

Mais si \(\triangle ABC = \triangle ADC\), alors \(\angle 3 = \angle 4 \) (se trouvent en face de \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) et \(\angle 4 \) - ceux qui se trouvent en travers sont également égaux).

Le premier signe est correct.

2. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) est un parallélogramme.

Considérons ce signe. Traçons à nouveau la diagonale \(AC\).

Par propriété 1\(\triangle ABC = \triangle ACD\).

Il s'ensuit que : \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \) Et \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \), c'est-à-dire que \(ABCD\) est un parallélogramme.

Le deuxième signe est correct.

3. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les angles opposés sont égaux

\(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D \Flèche droite ABCD\)- parallélogramme.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(puisque \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) par condition).

Il s'avère, . Mais \(\alpha \) et \(\beta \) sont internes unilatéraux à la sécante \(AB \) .

Et quoi \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \) dit également que \(AD || BC \) .

Sujet de la leçon

• Propriétés des diagonales d'un parallélogramme.

Objectifs de la leçon

• Familiarisez-vous avec de nouvelles définitions et souvenez-vous de certaines déjà étudiées.
• Énoncer et prouver la propriété des diagonales d’un parallélogramme.
• Apprenez à appliquer les propriétés des formes lors de la résolution de problèmes.
• Développemental – pour développer l’attention, la persévérance, la persévérance des élèves, pensée logique, discours mathématique.
• Éducatif - à travers la leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écoute des camarades, d'entraide et d'indépendance.

Objectifs de la leçon

• Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours

1. Introduction.
2. Répétition du matériel précédemment étudié.
3. Parallélogramme, ses propriétés et caractéristiques.
4. Exemples de tâches.
5. Auto contrôle.

Introduction

"Grand découverte scientifique donne une solution un problème majeur, mais dans la résolution de tout problème, il y a une part de découverte.

Propriété des côtés opposés d'un parallélogramme

Un parallélogramme a des côtés opposés égaux.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné. Et laissez ses diagonales se couper au point O.
Puisque Δ AOB = Δ COD par le premier critère d'égalité des triangles (∠ AOB = ∠ COD, comme verticaux, AO=OC, DO=OB, par la propriété des diagonales d'un parallélogramme), alors AB=CD. De la même manière, de l'égalité des triangles BOC et DOA, il résulte que BC = DA. Le théorème a été prouvé.

Propriété des angles opposés d'un parallélogramme

Au parallélogramme angles opposés sont égaux.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné. Et laissez ses diagonales se couper au point O.
D’après ce qui a été prouvé dans le théorème sur les propriétés des côtés opposés d’un parallélogramme Δ ABC = Δ CDA sur trois côtés (AB=CD, BC=DA d’après ce qui a été prouvé, AC – général). De l'égalité des triangles il résulte que ∠ ABC = ∠ CDA.
Il est également prouvé que ∠ DAB = ∠ BCD, ce qui découle de ∠ ABD = ∠ CDB. Le théorème a été prouvé.

Propriété des diagonales d'un parallélogramme

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent et sont divisées en deux au point d'intersection.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné. Traçons la diagonale AC. Marquons dessus le O du milieu. Dans la suite du segment DO, nous mettrons de côté le segment OB 1 égal à DO.
D'après le théorème précédent, AB 1 CD est un parallélogramme. Par conséquent, la ligne AB 1 est parallèle à DC. Mais par le point A, une seule ligne parallèle à DC peut être tracée. Cela signifie que la droite AB 1 coïncide avec la droite AB.
Il est également prouvé que BC 1 coïncide avec BC. Cela signifie que le point C coïncide avec C 1. le parallélogramme ABCD coïncide avec le parallélogramme AB 1 CD. Par conséquent, les diagonales du parallélogramme se coupent et sont divisées en deux au point d'intersection. Le théorème a été prouvé.

Dans les manuels pour écoles ordinaires(par exemple, chez Pogorelov) cela se prouve ainsi : les diagonales divisent le parallélogramme en 4 triangles. Considérons une paire et découvrons - elles sont égales : leurs bases sont des côtés opposés, les angles correspondants qui lui sont adjacents sont égaux, comme les angles verticaux avec des lignes parallèles. Autrement dit, les segments diagonaux sont égaux par paires. Tous.

Est-ce tout?
Il a été prouvé ci-dessus que le point d'intersection coupe les diagonales en deux - s'il existe. Le raisonnement ci-dessus ne prouve en aucune façon son existence. Autrement dit, une partie du théorème « les diagonales d’un parallélogramme se coupent » reste non prouvée.

Le plus drôle, c’est que cette partie est beaucoup plus difficile à prouver. Cela découle d'ailleurs d'un résultat plus général : tout quadrilatère convexe aura des diagonales qui se coupent, mais pas tout quadrilatère non convexe.

Sur l'égalité des triangles le long d'un côté et de deux angles adjacents (le deuxième signe d'égalité des triangles) et autres.

Thalès a découvert un théorème important sur l'égalité de deux triangles le long d'un côté et de deux angles adjacents. utilisation pratique. Un télémètre a été construit dans le port de Milet pour déterminer la distance jusqu'à un navire en mer. Il se composait de trois piquets enfoncés A, B et C (AB = BC) et d'une droite marquée SC, perpendiculaire à CA. Lorsqu'un navire apparaissait sur la droite SK, nous trouvions le point D tel que les points D, .B et E étaient sur la même droite. Comme cela ressort clairement du dessin, la distance CD au sol est la distance souhaitée par rapport au navire.

Des questions

1. Les diagonales d'un carré sont-elles divisées en deux par le point d'intersection ?
   
2. Les diagonales d'un parallélogramme sont-elles égales ?
3. Les angles opposés d'un parallélogramme sont-ils égaux ?
4. Énoncer la définition d’un parallélogramme ?
5. Combien de signes d'un parallélogramme ?
   
6. Un losange peut-il être un parallélogramme ?
   

Liste des sources utilisées

1. Kuznetsov A.V., professeur de mathématiques (5e à 9e années), Kiev
2. "Célibataire Examen d'état 2006. Mathématiques. Matériel pédagogique et pédagogique pour préparer les étudiants / Rosobrnadzor, ISOP - M. : Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. «Résoudre les principaux problèmes de compétition en mathématiques de la collection éditée par M. I. Skanavi»
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina « Géométrie, 7 – 9 : manuel pour les établissements d'enseignement »

Nous avons travaillé sur la leçon

Kouznetsov A.V.

Potturnak S.A.

Evgueni Petrov

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Matières > Mathématiques > Mathématiques 8e année

Afin de déterminer si une figure donnée est un parallélogramme, il existe un certain nombre de signes. Examinons les trois principales caractéristiques d'un parallélogramme.

1 signe de parallélogramme

Si deux côtés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.

Preuve:

Considérons le quadrilatère ABCD. Soit les côtés AB et CD parallèles. Et soit AB = CD. Dessinons la diagonale BD dedans. Il divisera ce quadrilatère en deux triangles égaux : ABD et CBD.

Ces triangles sont égaux entre eux le long de deux côtés et de l'angle qui les sépare (BD est le côté commun, AB = CD par condition, angle1 = angle2 comme angles transversaux avec la transversale BD des droites parallèles AB et CD.), et donc angle3 = angle4.

Et ces angles seront transversaux lorsque les droites BC et AD couperont la sécante BD. Il s'ensuit que BC et AD sont parallèles l'un à l'autre. Nous avons que dans le quadrilatère ABCD les côtés opposés sont parallèles deux à deux, et donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Signe de parallélogramme 2

Si dans un quadrilatère les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.

Preuve:

Considérons le quadrilatère ABCD. Dessinons la diagonale BD dedans. Il divisera ce quadrilatère en deux triangles égaux : ABD et CBD.

Ces deux triangles seront égaux entre eux sur trois côtés (BD est le côté commun, AB = CD et BC = AD par condition). De là, nous pouvons conclure que angle1 = angle2. Il s’ensuit que AB est parallèle à CD. Et puisque AB = CD et AB est parallèle à CD, alors selon le premier critère d'un parallélogramme, le quadrilatère ABCD sera un parallélogramme.

signe à 3 parallélogrammes

Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.

Considérons le quadrilatère ABCD. Traçons-y deux diagonales AC et BD, qui se couperont au point O et seront divisées en deux par ce point.

Les triangles AOB et COD seront égaux entre eux, selon le premier signe d'égalité des triangles. (AO = OC, BO = OD par condition, angle AOB = angle COD comme angles verticaux.) Donc AB = CD et angle1 = angle 2. De l'égalité des angles 1 et 2, on a que AB est parallèle à CD. On a alors que dans le quadrilatère ABCD les côtés AB sont égaux à CD et parallèles, et selon le premier critère d'un parallélogramme, le quadrilatère ABCD sera un parallélogramme.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. La figure suivante montre le parallélogramme ABCD. Il a le côté AB parallèle au côté CD et le côté BC parallèle au côté AD.

Comme vous l'avez peut-être deviné, un parallélogramme est quadrangle convexe. Considérons les propriétés de base d'un parallélogramme.

Propriétés d'un parallélogramme

1. Dans un parallélogramme, les angles opposés et les côtés opposés sont égaux. Montrons cette propriété - considérons le parallélogramme présenté dans la figure suivante.

La diagonale BD le divise en deux triangles égaux : ABD et CBD. Ils sont égaux le long du côté BD et des deux angles qui lui sont adjacents, puisque les angles se trouvent transversalement à la sécante BD des droites parallèles BC et AD et AB et CD respectivement. Donc AB = CD et
avant JC = après JC. Et de l'égalité des angles 1, 2, 3 et 4 il résulte que l'angle A = angle1 + angle3 = angle2 + angle4 = angle C.

2. Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par le point d'intersection. Soit le point O le point d'intersection des diagonales AC et BD du parallélogramme ABCD.

Alors le triangle AOB et le triangle COD sont égaux entre eux, le long du côté et de deux angles adjacents. (AB = CD puisque ce sont des côtés opposés du parallélogramme. Et angle1 = angle2 et angle3 = angle4 sont comme des angles transversaux lorsque les droites AB et CD coupent respectivement les sécantes AC et BD.) Il s'ensuit que AO = OC et OB = OD, ce qui devait être prouvé.

Toutes les propriétés principales sont illustrées dans les trois figures suivantes.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur des lignes parallèles (Fig. 1).

Théorème 1. Sur les propriétés des côtés et des angles d'un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux, les angles opposés sont égaux et la somme des angles adjacents à un côté du parallélogramme est de 180°.

Preuve. Dans ce parallélogramme ABCD, nous traçons une diagonale AC et obtenons deux triangles ABC et ADC (Fig. 2).

Ces triangles sont égaux, puisque ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (angles transversaux pour les lignes parallèles) et le côté AC est commun. De l'égalité Δ ABC = Δ ADC il résulte que AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. La somme des angles adjacents à un côté, par exemple les angles A et D, est égale à 180° comme un côté pour les lignes parallèles. Le théorème a été prouvé.

Commentaire. L'égalité des côtés opposés d'un parallélogramme signifie que les segments de parallèles coupés par les parallèles sont égaux.

Corollaire 1. Si deux droites sont parallèles, alors tous les points d’une droite sont à la même distance de l’autre droite.

Preuve. En effet, soit un || b (Fig. 3).

Traçons les perpendiculaires BA et CD à la droite a à partir de deux points B et C de la droite b. Depuis AB || CD, alors la figure ABCD est un parallélogramme, et donc AB = CD.

La distance entre deux lignes parallèles est la distance entre un point arbitraire de l’une des lignes et l’autre ligne.

D'après ce qui a été prouvé, elle est égale à la longueur de la perpendiculaire tracée d'un point quelconque de l'une des droites parallèles à l'autre droite.

Exemple 1. Le périmètre du parallélogramme est de 122 cm. Un de ses côtés est 25 cm plus grand que l'autre. Trouvez les côtés du parallélogramme.

Solution. D'après le théorème 1, les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux. Notons un côté du parallélogramme par x et l'autre par y. Alors, par condition $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ En résolvant ce système, on obtient x = 43, y = 18 . Ainsi Ainsi, les côtés du parallélogramme mesurent 18, 43, 18 et 43 cm.

Exemple 2.

Solution. Laissez la figure 4 répondre aux conditions du problème.

Notons AB par x et BC par y. Selon la condition, le périmètre du parallélogramme est de 10 cm, soit 2(x + y) = 10, soit x + y = 5. Le périmètre du triangle ABD est de 8 cm et puisque AB + AD = x + y =. 5 alors BD = 8 - 5 = 3. Donc BD = 3 cm.

Exemple 3. Trouvez les angles du parallélogramme, sachant que l’un d’eux est 50° plus grand que l’autre.

Solution. Laissez la figure 5 répondre aux conditions du problème.

Notons la mesure en degré de l'angle A par x. Alors mesure de degré l'angle D est égal à x + 50°.

Les angles BAD et ADC sont des angles intérieurs unilatéraux avec des lignes parallèles AB et DC et une sécante AD. Alors la somme de ces angles nommés sera de 180°, c'est-à-dire
x + x + 50° = 180°, ou x = 65°. Ainsi, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Exemple 4. Les côtés du parallélogramme mesurent 4,5 dm et 1,2 dm. Une bissectrice est tracée à partir du sommet d’un angle aigu. En quelles parties divise-t-il le plus grand côté du parallélogramme ?

Solution. Laissez la figure 6 répondre aux conditions du problème.

AE est la bissectrice d’un angle aigu d’un parallélogramme. Par conséquent, ∠ 1 = ∠ 2.