La surface latérale du cylindre est appelée. Corps géométriques

Corps de rotation On appelle un corps formé à la suite de la rotation d'une ligne autour d'une ligne droite.

CYLINDRE

Un cylindre (cylindre circulaire) est un corps constitué de deux cercles qui ne se trouvent pas dans le même plan et réunis par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces cercles. Les cercles sont appelés bases du cylindre, et les segments reliant les points correspondants des circonférences des cercles sont appelés génératrices du cylindre.

Puisque la translation parallèle est un mouvement, les bases du cylindre sont égales. Puisque lors du transfert parallèle, le plan se transforme en plan parallèle, les bases du cylindre se trouvent dans des plans parallèles. Puisque lors de la translation parallèle, les points sont décalés le long de lignes parallèles de la même distance, alors les génératrices du cylindre sont parallèles et égales. La surface du cylindre se compose de la base et de la surface latérale.

Le rayon d'un cylindre est le rayon de sa base. La hauteur d'un cylindre est la distance entre les plans de ses bases. L'axe d'un cylindre est une droite passant par les centres des bases.

Un cylindre est dit droit si ses génératrices sont perpendiculaires aux plans des bases. Nous ne considérerons que le cylindre circulaire droit, en l’appelant simplement cylindre par souci de concision.

Un cylindre peut être obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés. La figure montre un cylindre obtenu en faisant tourner le rectangle ABCD autour du côté AB. Dans ce cas, la surface latérale du cylindre est formée par la rotation du côté CD, et la base - par la rotation des côtés BC et AD.

Sections de cylindre

1) Si le plan de coupe passe par l'axe du cylindre, alors la section est un rectangle (voir figure) dont deux côtés sont des génératrices, et les deux autres sont les diamètres des bases du cylindre. Cette section est dite axiale.

Commençons en ligne nouveau sujet, et quand j'arriverai, nous effectuerons un test et test sur le thème "Mouvement et vecteurs".

• Nous commençons à nous familiariser avec une nouvelle classe de corps géométriques : les corps de rotation. Le premier représentant de cette classe que nous rencontrons est le cylindre.
• Pourquoi un cylindre est-il appelé corps de rotation ?

C cylindre, obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.

• Le cylindre est constitué de deux cercles et de nombreux segments.
• Cylindreest un corps géométrique constitué de deux cercles égaux situés dans des plans parallèles et d'un ensemble de segments reliant les points correspondants de ces cercles.
• Définitions des éléments de cylindre:

Bases de cylindre– des cercles égaux situés dans des plans parallèles

Hauteur du cylindre- Ce la distance entre les plans de ses bases.

Axe du cylindre- il s'agit d'une droite passant par les centres de la base du cylindre (l'axe du cylindre est l'axe de rotation du cylindre).

Section axiale du cylindre– section du cylindre par un plan passant par l'axe du cylindre (la section axiale du cylindre est le plan de symétrie du cylindre). Toutes les sections axiales du cylindre sont des rectangles égaux

Générateur du cylindre- il s'agit d'un segment reliant un point du cercle de la base supérieure avec un point correspondant sur le cercle de la base inférieure. Toutes les génératrices sont parallèles à l'axe de rotation et ont la même longueur, égale à la hauteur du cylindre.

En tournant autour d'un axe, la génératrice du cylindre formesurface latérale (cylindrique) du cylindre.

Rayon du cylindreest le rayon de sa base.

Cylindre droit- Il s'agit d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires à la base.

Cylindre égal– un cylindre dont la hauteur est égale à son diamètre (montrer un cylindre égal : à l'aide du bouton avec l'icône en forme de main, remettez le modèle en mode interactif et modifiez les valeurs de hauteur et de rayon du modèle proposé pour que ).

• Dérivation de la formule pour la surface latérale.

  Le développement de la surface latérale du cylindre est un rectangle avec des côtésH Et C, Où Hest la hauteur du cylindre, etC– longueur de la circonférence de la base. Obtenons des formules pour calculer les aires du côtéS b et plein S n surfaces : S b = H · C= 2π RH, S n = S b + 2 S= 2π R.(R. + H).

Consolidation

Tâche n°1. Calculer la surface latérale et totale d'un cylindre dont le rayon est de 3 cm et la hauteur de 5 cm (pi et arrondir la réponse aux nombres entiers).

2. La hauteur du cylindre esth, rayon de baseR.. Trouver l'aire de la section transversale d'un plan tracé parallèlement à l'axe du cylindre à distanceun d'elle.

Devoirs : 522, 524, 526.

• R.S/ Si quelqu'un est intéressé, essayez de suivre le lien et de consulter la ressource électronique sur le cylindre. Tout d'abord, sur la page, installez le module OMS sur votre PC et téléchargez le module. Sur le tableau qui apparaît, cliquez sur jouer. Et puis parcourez toutes les pages dans l’ordre.
• MERCI À TOUS.

Le nom de la science « géométrie » se traduit par « mesure de la terre ». Son origine est le fruit des efforts des tout premiers gestionnaires fonciers de l’Antiquité. Et cela s'est passé ainsi : lors des crues du Nil sacré, les cours d'eau ont parfois emporté les limites des parcelles des agriculteurs, et les nouvelles limites pouvaient ne pas coïncider avec les anciennes. Les impôts étaient payés par les paysans au trésor du pharaon proportionnellement à la taille de la parcelle de terre. Des personnes spéciales ont été impliquées dans la mesure des superficies de terres arables à l'intérieur des nouvelles limites après le déversement. C'est grâce à leurs activités que les nouvelle science, qui a été développé en La Grèce ancienne. C'est là qu'il reçut son nom et acquit pratiquement look moderne. Par la suite, le terme est devenu un nom international pour la science des figures plates et tridimensionnelles.

La planimétrie est une branche de la géométrie traitant de l'étude chiffres plats. Une autre branche de la science est la stéréométrie, qui examine les propriétés des figures spatiales (volumétriques). Ces figures incluent celle décrite dans cet article - un cylindre.

Exemples de présence d'objets cylindriques dans Vie courante beaucoup. Presque toutes les pièces rotatives - arbres, bagues, tourillons, axes, etc. - ont une forme cylindrique (beaucoup moins souvent conique). Le cylindre est également largement utilisé dans la construction : tours, colonnes de support, colonnes décoratives. Et aussi de la vaisselle, certains types d'emballages, des tuyaux de différents diamètres. Et enfin, les célèbres chapeaux, devenus depuis longtemps un symbole de l'élégance masculine. La liste se rallonge de plus en plus.

Définition d'un cylindre comme figure géométrique

Un cylindre (cylindre circulaire) est généralement appelé une figure composée de deux cercles qui, si vous le souhaitez, sont combinés par translation parallèle. Ces cercles sont les bases du cylindre. Mais les lignes (segments droits) reliant les points correspondants sont appelées « générateurs ».

Il est important que les bases du cylindre soient toujours égales (si cette condition n'est pas remplie, alors on a - tronc de tronc, toute autre chose, mais pas un cylindre) et sont dans des plans parallèles. Les segments reliant les points correspondants sur les cercles sont parallèles et égaux.

L'ensemble d'un nombre infini d'éléments formant n'est rien d'autre que la surface latérale du cylindre - l'un des éléments d'une figure géométrique donnée. Les cercles évoqués ci-dessus constituent un autre élément important. On les appelle des bases.

Types de cylindres

Le type de cylindre le plus simple et le plus courant est circulaire. Il est formé de deux cercles réguliers faisant office de bases. Mais à leur place, il peut y avoir d'autres personnages.

Les bases des cylindres peuvent former (en plus des cercles) des ellipses et autres figures fermées. Mais le cylindre n'a pas nécessairement une forme fermée. Par exemple, la base d'un cylindre peut être une parabole, une hyperbole ou une autre fonction ouverte. Un tel cylindre sera ouvert ou déployé.

Selon l'angle d'inclinaison des cylindres formant les socles, ceux-ci peuvent être droits ou inclinés. Pour un cylindre droit, les génératrices sont strictement perpendiculaires au plan de la base. Si cet angle est différent de 90°, le cylindre est incliné.

Qu'est-ce qu'une surface de révolution

Le cylindre circulaire droit est sans aucun doute la surface de rotation la plus couramment utilisée en ingénierie. Parfois, pour des raisons techniques, des surfaces coniques, sphériques et certains autres types de surfaces sont utilisées, mais 99 % de tous les arbres, axes, etc. sont réalisés sous forme de cylindres. Afin de mieux comprendre ce qu’est une surface de révolution, nous pouvons considérer comment le cylindre lui-même est formé.

Disons qu'il y a une certaine ligne droite un, situé verticalement. ABCD est un rectangle dont l'un des côtés (segment AB) se trouve sur une ligne un. Si nous faisons tourner un rectangle autour d'une ligne droite, comme le montre la figure, le volume qu'il occupera pendant la rotation sera notre corps de révolution - un cylindre circulaire droit de hauteur H = AB = DC et de rayon R = AD = BC.

Dans ce cas, en faisant tourner la figure - un rectangle - on obtient un cylindre. En faisant tourner un triangle, vous pouvez obtenir un cône, en faisant tourner un demi-cercle - une boule, etc.

Surface du cylindre

Afin de calculer l'aire d'un cylindre circulaire droit ordinaire, il est nécessaire de calculer les aires des bases et des surfaces latérales.

Voyons d’abord comment la surface latérale est calculée. C'est le produit de la circonférence du cylindre et de la hauteur du cylindre. La circonférence, quant à elle, est égale au double du produit du nombre universel P. par le rayon du cercle.

On sait que l'aire d'un cercle est égale au produit P. par rayon carré. Ainsi, en additionnant les formules de l'aire de la surface latérale avec la double expression de l'aire de la base (il y en a deux) et en effectuant des transformations algébriques simples, on obtient l'expression finale pour déterminer l'aire de la surface du cylindre.

Déterminer le volume d'une figure

Le volume d'un cylindre est déterminé selon le schéma standard : la surface de la base est multipliée par la hauteur.

Ainsi, la formule finale ressemble à ceci : la valeur souhaitée est définie comme le produit de la hauteur du corps par le nombre universel P. et par le carré du rayon de la base.

La formule qui en résulte, il faut le dire, est applicable à la résolution des problèmes les plus inattendus. De la même manière que le volume du cylindre par exemple, le volume du câblage électrique est déterminé. Cela peut être nécessaire pour calculer la masse des fils.

La seule différence dans la formule est qu'au lieu du rayon d'un cylindre, le diamètre du toron de câblage est divisé en deux et le nombre de torons du fil apparaît dans l'expression N. De plus, au lieu de la hauteur, la longueur du fil est utilisée. De cette façon, le volume du « cylindre » est calculé non seulement par un, mais par le nombre de fils dans la tresse.

De tels calculs sont souvent nécessaires dans la pratique. Après tout, une partie importante des réservoirs d’eau se présente sous la forme d’un tuyau. Et il est souvent nécessaire de calculer le volume d'un cylindre même à la maison.

Cependant, comme déjà mentionné, la forme du cylindre peut être différente. Et dans certains cas, il est nécessaire de calculer quel est le volume d'un cylindre incliné.

La différence est que la surface de la base n'est pas multipliée par la longueur de la génératrice, comme dans le cas d'un cylindre droit, mais par la distance entre les plans - un segment perpendiculaire construit entre eux.

Comme le montre la figure, un tel segment est égal au produit de la longueur de la génératrice et du sinus de l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport au plan.

Comment construire un développement de cylindre

Dans certains cas, il est nécessaire de découper une alésoir cylindrique. La figure ci-dessous montre les règles selon lesquelles une ébauche est construite pour la fabrication d'un cylindre d'une hauteur et d'un diamètre donnés.

Veuillez noter que le dessin est présenté sans coutures.

Différences entre un cylindre biseauté

Imaginons un certain cylindre droit, limité d'un côté par un plan perpendiculaire aux génératrices. Mais le plan délimitant le cylindre de l’autre côté n’est pas perpendiculaire aux génératrices ni parallèle au premier plan.

La figure montre un cylindre biseauté. Avion UNà un certain angle, différent de 90° par rapport aux génératrices, coupe la figure.

Cette forme géométrique se retrouve le plus souvent en pratique sous forme de raccords de canalisations (coudes). Mais il existe même des bâtiments construits en forme de cylindre biseauté.

Caractéristiques géométriques d'un cylindre biseauté

L'inclinaison de l'un des plans d'un cylindre biseauté modifie légèrement la procédure de calcul à la fois de la surface d'une telle figure et de son volume.

Le nom de la science « géométrie » se traduit par « mesure de la terre ». Son origine est le fruit des efforts des tout premiers gestionnaires fonciers de l’Antiquité. Et cela s'est passé ainsi : lors des crues du Nil sacré, les cours d'eau ont parfois emporté les limites des parcelles des agriculteurs, et les nouvelles limites pouvaient ne pas coïncider avec les anciennes. Les impôts étaient payés par les paysans au trésor du pharaon proportionnellement à la taille de la parcelle de terre. Des personnes spéciales ont été impliquées dans la mesure des superficies de terres arables à l'intérieur des nouvelles limites après le déversement. C'est à la suite de leurs activités qu'une nouvelle science est née, développée dans la Grèce antique. C'est là qu'il reçut son nom et acquit une apparence presque moderne. Par la suite, le terme est devenu un nom international pour la science des figures plates et tridimensionnelles.

La planimétrie est une branche de la géométrie traitant de l'étude des figures planes. Une autre branche de la science est la stéréométrie, qui examine les propriétés des figures spatiales (volumétriques). Ces figures incluent celle décrite dans cet article - un cylindre.

Il existe de nombreux exemples de présence d’objets cylindriques dans la vie quotidienne. Presque toutes les pièces rotatives - arbres, bagues, tourillons, axes, etc. - ont une forme cylindrique (beaucoup moins souvent conique). Le cylindre est également largement utilisé dans la construction : tours, colonnes de support, colonnes décoratives. Et aussi de la vaisselle, certains types d'emballages, des tuyaux de différents diamètres. Et enfin, les célèbres chapeaux, devenus depuis longtemps un symbole de l'élégance masculine. La liste se rallonge de plus en plus.

Définition d'un cylindre comme figure géométrique

Un cylindre (cylindre circulaire) est généralement appelé une figure composée de deux cercles qui, si vous le souhaitez, sont combinés par translation parallèle. Ces cercles sont les bases du cylindre. Mais les lignes (segments droits) reliant les points correspondants sont appelées « générateurs ».

Il est important que les bases du cylindre soient toujours égales (si cette condition n'est pas remplie, alors nous avons un tronc de cône, autre chose, mais pas un cylindre) et soient dans des plans parallèles. Les segments reliant les points correspondants sur les cercles sont parallèles et égaux.

L'ensemble d'un nombre infini d'éléments formant n'est rien d'autre que la surface latérale du cylindre - l'un des éléments d'une figure géométrique donnée. Les cercles évoqués ci-dessus constituent un autre élément important. On les appelle des bases.

Types de cylindres

Le type de cylindre le plus simple et le plus courant est circulaire. Il est formé de deux cercles réguliers faisant office de bases. Mais à leur place, il peut y avoir d'autres personnages.

Les bases des cylindres peuvent former (en plus des cercles) des ellipses et autres figures fermées. Mais le cylindre n'a pas nécessairement une forme fermée. Par exemple, la base d'un cylindre peut être une parabole, une hyperbole ou une autre fonction ouverte. Un tel cylindre sera ouvert ou déployé.

Selon l'angle d'inclinaison des cylindres formant les socles, ceux-ci peuvent être droits ou inclinés. Pour un cylindre droit, les génératrices sont strictement perpendiculaires au plan de la base. Si cet angle est différent de 90°, le cylindre est incliné.

Qu'est-ce qu'une surface de révolution

Le cylindre circulaire droit est sans aucun doute la surface de rotation la plus couramment utilisée en ingénierie. Parfois, pour des raisons techniques, des surfaces coniques, sphériques et certains autres types de surfaces sont utilisées, mais 99 % de tous les arbres, axes, etc. sont réalisés sous forme de cylindres. Afin de mieux comprendre ce qu’est une surface de révolution, nous pouvons considérer comment le cylindre lui-même est formé.

Disons qu'il y a une certaine ligne droite un, situé verticalement. ABCD est un rectangle dont l'un des côtés (segment AB) se trouve sur une ligne un. Si nous faisons tourner un rectangle autour d'une ligne droite, comme le montre la figure, le volume qu'il occupera pendant la rotation sera notre corps de révolution - un cylindre circulaire droit de hauteur H = AB = DC et de rayon R = AD = BC.

Dans ce cas, en faisant tourner la figure - un rectangle - on obtient un cylindre. En faisant tourner un triangle, vous pouvez obtenir un cône, en faisant tourner un demi-cercle - une boule, etc.

Surface du cylindre

Afin de calculer l'aire d'un cylindre circulaire droit ordinaire, il est nécessaire de calculer les aires des bases et des surfaces latérales.

Voyons d’abord comment la surface latérale est calculée. C'est le produit de la circonférence du cylindre et de la hauteur du cylindre. La circonférence, quant à elle, est égale au double du produit du nombre universel P. par le rayon du cercle.

On sait que l'aire d'un cercle est égale au produit P. par rayon carré. Ainsi, en additionnant les formules de l'aire de la surface latérale avec la double expression de l'aire de la base (il y en a deux) et en effectuant des transformations algébriques simples, on obtient l'expression finale pour déterminer l'aire de la surface du cylindre.

Déterminer le volume d'une figure

Le volume d'un cylindre est déterminé selon le schéma standard : la surface de la base est multipliée par la hauteur.

Ainsi, la formule finale ressemble à ceci : la valeur souhaitée est définie comme le produit de la hauteur du corps par le nombre universel P. et par le carré du rayon de la base.

La formule qui en résulte, il faut le dire, est applicable à la résolution des problèmes les plus inattendus. De la même manière que le volume du cylindre par exemple, le volume du câblage électrique est déterminé. Cela peut être nécessaire pour calculer la masse des fils.

La seule différence dans la formule est qu'au lieu du rayon d'un cylindre, le diamètre du toron de câblage est divisé en deux et le nombre de torons du fil apparaît dans l'expression N. De plus, au lieu de la hauteur, la longueur du fil est utilisée. De cette façon, le volume du « cylindre » est calculé non seulement par un, mais par le nombre de fils dans la tresse.

De tels calculs sont souvent nécessaires dans la pratique. Après tout, une partie importante des réservoirs d’eau se présente sous la forme d’un tuyau. Et il est souvent nécessaire de calculer le volume d'un cylindre même à la maison.

Cependant, comme déjà mentionné, la forme du cylindre peut être différente. Et dans certains cas, il est nécessaire de calculer quel est le volume d'un cylindre incliné.

La différence est que la surface de la base n'est pas multipliée par la longueur de la génératrice, comme dans le cas d'un cylindre droit, mais par la distance entre les plans - un segment perpendiculaire construit entre eux.

Comme le montre la figure, un tel segment est égal au produit de la longueur de la génératrice et du sinus de l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport au plan.

Comment construire un développement de cylindre

Dans certains cas, il est nécessaire de découper une alésoir cylindrique. La figure ci-dessous montre les règles selon lesquelles une ébauche est construite pour la fabrication d'un cylindre d'une hauteur et d'un diamètre donnés.

Veuillez noter que le dessin est présenté sans coutures.

Différences entre un cylindre biseauté

Imaginons un certain cylindre droit, limité d'un côté par un plan perpendiculaire aux génératrices. Mais le plan délimitant le cylindre de l’autre côté n’est pas perpendiculaire aux génératrices ni parallèle au premier plan.

La figure montre un cylindre biseauté. Avion UNà un certain angle, différent de 90° par rapport aux génératrices, coupe la figure.

Cette forme géométrique se retrouve le plus souvent en pratique sous forme de raccords de canalisations (coudes). Mais il existe même des bâtiments construits en forme de cylindre biseauté.

Caractéristiques géométriques d'un cylindre biseauté

L'inclinaison de l'un des plans d'un cylindre biseauté modifie légèrement la procédure de calcul à la fois de la surface d'une telle figure et de son volume.

Le cylindre (cylindre circulaire) est un corps constitué de deux cercles, combinés par translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces cercles. Les cercles sont appelés bases du cylindre, et les segments reliant les points correspondants des circonférences des cercles sont appelés génératrices du cylindre.

Les bases du cylindre sont égales et se trouvent dans des plans parallèles, et les génératrices du cylindre sont parallèles et égales. La surface du cylindre se compose de la base et de la surface latérale. La surface latérale est constituée de génératrices.

Un cylindre est dit droit si ses génératrices sont perpendiculaires aux plans de la base. Un cylindre peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés comme axe. Il existe d'autres types de cylindres : elliptiques, hyperboliques, paraboliques. Un prisme est également considéré comme un type de cylindre.

La figure 2 montre un cylindre incliné. Les cercles de centres O et O 1 sont ses bases.

Le rayon d'un cylindre est le rayon de sa base. La hauteur du cylindre est la distance entre les plans des bases. L'axe d'un cylindre est une droite passant par les centres des bases. Il est parallèle aux générateurs. La section transversale d'un cylindre avec un plan passant par l'axe du cylindre est appelée section axiale. Le plan passant par la génératrice d'un cylindre droit et perpendiculaire à la section axiale tracée par cette génératrice est appelé plan tangent au cylindre.

Un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre coupe sa surface latérale le long d'un cercle égal à la circonférence de la base.

Un prisme inscrit dans un cylindre est un prisme dont les bases sont des polygones égaux inscrits dans les bases du cylindre. Ses nervures latérales forment le cylindre. Un prisme est dit circonscrit à un cylindre si ses bases sont des polygones égaux circonscrits aux bases du cylindre. Les plans de ses faces touchent la surface latérale du cylindre.

La surface latérale d'un cylindre peut être calculée en multipliant la longueur de la génératrice par le périmètre de la section du cylindre par un plan perpendiculaire à la génératrice.

La surface latérale d'un cylindre droit peut être trouvée par son développement. Le développement d’un cylindre est un rectangle de hauteur h et de longueur P, égale au périmètre de la base. Par conséquent, l'aire de la surface latérale du cylindre est égale à l'aire de son développement et est calculée par la formule :

En particulier, pour un cylindre circulaire droit :

P = 2πR et S b = 2πRh.

La surface totale d'un cylindre est égale à la somme des aires de sa surface latérale et de ses bases.

Pour un cylindre circulaire droit :

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Il existe deux formules pour trouver le volume d’un cylindre incliné.

Vous pouvez trouver le volume en multipliant la longueur de la génératrice par l'aire de la section transversale du cylindre par un plan perpendiculaire à la génératrice.

Le volume d'un cylindre incliné est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur (la distance entre les plans dans lesquels se trouvent les bases) :

V = Sh = S l sin α,

où l est la longueur de la génératrice, et α est l'angle entre la génératrice et le plan de la base. Pour un cylindre droit h = l.

La formule pour trouver le volume d’un cylindre circulaire est la suivante :

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

où d est le diamètre de la base.

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