La hauteur d'un angle droit d'un triangle divise l'hypoténuse. Triangle rectangle

En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien entendu, la « vraie » définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente devrait être examinée dans l’article. Mais je n’en ai vraiment pas envie, n’est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes concernant un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :

Et l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c'est-à-dire une jambe opposée (pour un angle) ? Bien sûr ! C'est une jambe !

Et l'angle ? Regarde attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Cela signifie que pour l'angle la jambe est adjacente, et

Maintenant, faites attention ! Regardez ce que nous avons :

Voyez comme c'est cool :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment puis-je écrire cela avec des mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport à l’angle ? En face, bien sûr, il « se trouve » en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu’avons-nous ?

Voyez-vous comment le numérateur et le dénominateur ont changé de place ?

Et maintenant les coins à nouveau et fait un échange :

Résumé

Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore:

Théorème principal sur triangle rectangle- Théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas très bon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est fort possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Voyez avec quelle habileté nous avons divisé ses côtés en longueurs et !

Maintenant, connectons les points marqués

Ici, nous avons cependant noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et vous demandez pourquoi il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ?

Droite, .

Qu'en est-il d'une zone plus petite ?

Certainement, .

La superficie totale des quatre coins demeure. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et que nous les appuyions l'un contre l'autre avec leurs hypoténuses.

Ce qui s'est passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des « coupes » est égale.

Rassemblons tout cela maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore et prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vraies :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport jambe adjacenteà l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent.

La cotangente d’un angle aigu est égale au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Et encore une fois tout cela sous forme de tablette :

C'est très confortable !

Signes d'égalité des triangles rectangles

I. Des deux côtés

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par l'hypoténuse et angle vif

IV. Le long de la jambe et de l'angle aigu

un)

b)

Attention! Il est très important ici que les jambes soient « appropriées ». Par exemple, si cela se passe comme ceci :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, elle était opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ?

Jetez un œil au sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles « ordinaires », trois de leurs éléments doivent être égaux : deux côtés et l'angle qui les sépare, deux angles et le côté qui les sépare, ou trois côtés.

Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, non ?

La situation est à peu près la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Selon un angle aigu

II. Des deux côtés

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi cela est-il ainsi?

Au lieu d’un triangle rectangle, considérons un rectangle entier.

Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que sait-on des diagonales d’un rectangle ?

Et qu’est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

1. - médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c’est que le contraire soit également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regarde attentivement. On a : , c'est-à-dire les distances du point à tout trois sommets les triangles se sont avérés égaux. Mais il n'y a qu'un seul point dans le triangle, dont les distances des trois sommets du triangle sont égales, et c'est le CENTRE DU CERCLE. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?

Alors commençons par ce « en plus… ».

Regardons et.

Mais les triangles semblables ont tous des angles égaux !

On peut dire la même chose de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similarité ?

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Eh bien, maintenant, en appliquant et en combinant ces connaissances avec d'autres, vous résoudrez n'importe quel problème avec un triangle rectangle !

Alors, appliquons la similarité : .

Ce qui va se passer maintenant?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Vous devez très bien vous souvenir de ces deux formules et utiliser celle qui est la plus pratique.

Écrivons-les à nouveau

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égal à la somme carrés de pattes : .

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• sur deux côtés :
• par jambe et hypoténuse : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
• le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
• par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

• un coin aigu : ou
• de la proportionnalité de deux jambes :
• de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

• Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
• Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
• La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :
• La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé : .

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet angle droit, est égal à la moitié de l'hypoténuse : .

Aire d'un triangle rectangle :

• via les jambes :

Propriété : 1. Dans tout triangle rectangle, l'altitude prise à partir de l'angle droit (l'hypoténuse) divise le triangle rectangle en trois triangles similaires.

Propriété : 2. La hauteur d'un triangle rectangle abaissé jusqu'à l'hypoténuse est égale à la moyenne géométrique des projections des jambes sur l'hypoténuse (ou à la moyenne géométrique des segments en lesquels la hauteur divise l'hypoténuse).

Propriété : 3. La jambe est égale à la moyenne géométrique de l'hypoténuse et à la projection de cette jambe sur l'hypoténuse.

Propriété : 4. Une jambe opposée à un angle de 30 degrés équivaut à la moitié de l’hypoténuse.

Formule 1.

Formule 2., où est l'hypoténuse ; , jambes.

Propriété : 5. Dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci et égale au rayon du cercle circonscrit.

Propriété : 6. Relation entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle :

44. Théorème des cosinus. Corollaires : relation entre les diagonales et les côtés d'un parallélogramme ; déterminer le type de triangle ; formule pour calculer la longueur de la médiane d'un triangle ; Calcul du cosinus d'un angle triangulaire.

Fin du travail -

Ce sujet appartient à la section :

Classe. Programme du colloque sur la planimétrie de base

Propriété des angles adjacents. définition de deux angles étant adjacents s'ils ont un côté en commun et que les deux autres forment une ligne droite.

Si tu as besoin matériels supplémentaires sur ce sujet, ou si vous n'avez pas trouvé ce que vous cherchiez, nous vous recommandons d'utiliser la recherche dans notre base de données d'œuvres :

Que ferons-nous du matériel reçu :

Si ce matériel vous a été utile, vous pouvez l'enregistrer sur votre page sur les réseaux sociaux :

Triangle rectangle- c'est un triangle dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire égal à 90 degrés.

• Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse (sur la figure indiquée par c ou AB)
• Le côté adjacent à l’angle droit s’appelle la jambe. Chaque triangle rectangle a deux branches (sur la figure, elles sont désignées par un et b ou AC et BC)

Formules et propriétés d'un triangle rectangle

Désignations des formules :

(voir photo ci-dessus)

un B- les jambes d'un triangle rectangle

c- hypoténuse

α, β - les angles aigus d'un triangle

S- carré

h- hauteur abaissée du sommet d'un angle droit à l'hypoténuse

ma un du coin opposé ( α )

mb- médian tiré sur le côté b du coin opposé ( β )

mc- médian tiré sur le côté c du coin opposé ( γ )

DANS triangle rectangle l'une des jambes est inférieure à l'hypoténuse(Formule 1 et 2). Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore.

Cosinus de l'un des angles aigus inférieur à un (Formules 3 et 4). Cette propriété découle de la précédente. Puisque l’une des jambes est inférieure à l’hypoténuse, le rapport jambe/hypoténuse est toujours inférieur à un.

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes (théorème de Pythagore). (Formule 5). Cette propriété est constamment utilisée lors de la résolution de problèmes.

Aire d'un triangle rectangleégal à la moitié du produit des jambes (Formule 6)

Somme des médianes au carré aux jambes est égal à cinq carrés de la médiane de l'hypoténuse et cinq carrés de l'hypoténuse divisé par quatre (Formule 7). En plus de ce qui précède, il y a 5 autres formules, il est donc recommandé de lire également la leçon « Médiane d'un triangle rectangle », qui décrit plus en détail les propriétés de la médiane.

Hauteur d'un triangle rectangle est égal au produit des jambes divisé par l'hypoténuse (Formule 8)

Les carrés des jambes sont inversement proportionnels au carré de la hauteur descendue jusqu'à l'hypoténuse (Formule 9). Cette identité est aussi une des conséquences du théorème de Pythagore.

Longueur de l'hypoténuseégal au diamètre (deux rayons) du cercle circonscrit (Formule 10). Hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre du cercle circonscrit. Cette propriété est souvent utilisée dans la résolution de problèmes.

Rayon inscrit V triangle rectangle cercle peut être trouvé comme la moitié de l'expression incluant la somme des jambes de ce triangle moins la longueur de l'hypoténuse. Ou comme le produit des jambes divisé par la somme de tous les côtés (périmètre) d'un triangle donné. (Formule 11)
Sinus d'angle rapport au contraire cet angle jambe à l'hypoténuse(par définition du sinus). (Formule 12). Cette propriété est utilisée lors de la résolution de problèmes. Connaissant les dimensions des côtés, vous pouvez connaître l'angle qu'ils forment.

Le cosinus de l'angle A (α, alpha) dans un triangle rectangle sera égal à attitude adjacent cet angle jambe à l'hypoténuse(par définition du sinus). (Formule 13)

(ABC) et ses propriétés, qui sont présentées sur la figure. Un triangle rectangle a une hypoténuse – le côté opposé à l’angle droit.

Astuce 1 : Comment trouver la hauteur d'un triangle rectangle

Les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. La photo montre les côtés AD, DC et BD, DC- les jambes et les côtés CA Et NE- l'hypoténuse.

Théorème 1. Dans un triangle rectangle faisant un angle de 30°, la branche opposée à cet angle brisera la moitié de l'hypoténuse.

hC

UN B- l'hypoténuse ;

ANNONCE Et DВ

Triangle
Il existe un théorème :
système de commentaires CACKLE

Solution : 1) Les diagonales de n'importe quel rectangle sont égales Vrai 2) Si un triangle a un angle aigu, alors ce triangle est aigu. Pas vrai. Types de triangles. Un triangle est dit aigu si ses trois angles sont aigus, c'est à dire inférieurs à 90°. 3) Si le point est situé dessus.

Ou, dans une autre entrée,

D'après le théorème de Pythagore

Quelle est la hauteur d'un triangle rectangle ?

Hauteur d'un triangle rectangle

La hauteur d'un triangle rectangle tracé jusqu'à l'hypoténuse peut être trouvée d'une manière ou d'une autre en fonction des données contenues dans l'énoncé du problème.

Ou, dans une autre entrée,

Où BK et KC sont les projections des jambes sur l'hypoténuse (les segments en lesquels la hauteur divise l'hypoténuse).

L'altitude jusqu'à l'hypoténuse peut être trouvée à travers l'aire d'un triangle rectangle. Si on applique la formule pour trouver l'aire d'un triangle

(la moitié du produit d'un côté et de la hauteur tirée de ce côté) à l'hypoténuse et la hauteur tirée à l'hypoténuse, on obtient :

À partir de là, nous pouvons trouver la hauteur comme le rapport de deux fois l'aire du triangle à la longueur de l'hypoténuse :

Puisque l'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des jambes :

C'est-à-dire que la longueur de la hauteur tirée jusqu'à l'hypoténuse est égale au rapport du produit des jambes par l'hypoténuse. Si l'on note les longueurs des jambes par a et b, la longueur de l'hypoténuse par c, la formule peut être réécrite comme

Puisque le rayon du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est égal à la moitié de l'hypoténuse, la longueur de l'altitude peut être exprimée en termes de branches et de rayon du cercle circonscrit :

Puisque la hauteur tracée jusqu'à l'hypoténuse forme deux autres triangles rectangles, sa longueur peut être trouvée grâce aux relations dans le triangle rectangle.

Du triangle rectangle ABK

Du triangle rectangle ACK

La longueur et l'altitude d'un triangle rectangle peuvent être exprimées en termes de longueurs des branches. Parce que

D'après le théorème de Pythagore

Si l’on met au carré les deux côtés de l’équation :

Vous pouvez obtenir une autre formule pour relier la hauteur d’un triangle rectangle à ses jambes :

Quelle est la hauteur d'un triangle rectangle ?

Triangle rectangle. Niveau moyen.

Voulez-vous tester votre force et connaître le résultat de votre préparation à l'examen d'État unifié ou à l'examen d'État unifié ?

Le théorème principal sur les triangles rectangles est le théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas très bon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est fort possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Voyez avec quelle habileté nous avons divisé ses côtés en longueurs et !

Maintenant, connectons les points marqués

Ici, nous avons cependant noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et vous demandez pourquoi il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? Droite, . Qu'en est-il d'une zone plus petite ? Certainement, . La superficie totale des quatre coins demeure. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et que nous les appuyions l'un contre l'autre avec leurs hypoténuses. Ce qui s'est passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des « coupes » est égale.

Rassemblons tout cela maintenant.

Nous avons donc visité Pythagore et prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vraies :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent.

La cotangente d’un angle aigu est égale au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Et encore une fois tout cela sous forme de tablette :

Avez-vous remarqué une chose très pratique ? Regardez attentivement le panneau.

C'est très confortable !

Signes d'égalité des triangles rectangles

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et de l'angle aigu

Attention! Il est très important ici que les jambes soient « appropriées ». Par exemple, si cela se passe comme ceci :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Besoin de Dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, elle était opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ? Jetez un œil au sujet « Triangle » et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles « ordinaires », trois de leurs éléments doivent être égaux : deux côtés et l'angle qui les sépare, deux angles et le côté qui les sépare, ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, non ?

La situation est à peu près la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Au lieu d’un triangle rectangle, considérons un rectangle entier.

Traçons une diagonale et considérons le point d'intersection des diagonales. Que sait-on des diagonales d’un rectangle ?

Le point d'intersection des diagonales est divisé en deux. Les diagonales sont égales.

Et qu’est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c’est que le contraire soit également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regarde attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais il n'y a qu'un seul point dans le triangle, dont les distances des trois sommets du triangle sont égales, et c'est le CENTRE DU CERCLE. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?

Commençons par ce « en plus ». "

Mais les triangles semblables ont tous des angles égaux !

On peut dire la même chose de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Ils ont les mêmes angles vifs !

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similarité ?

Eh bien, par exemple - Deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons La première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Comment en obtenir un deuxième ?

Appliquons maintenant la similitude des triangles et.

Alors, appliquons la similarité : .

Ce qui va se passer maintenant?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Vous devez très bien vous souvenir de ces deux formules et utiliser celle qui est la plus pratique. Écrivons-les à nouveau

Eh bien, maintenant, en appliquant et en combinant ces connaissances avec d'autres, vous résoudrez n'importe quel problème avec un triangle rectangle !

commentaires

La distribution de documents sans approbation est autorisée s'il existe un lien dofollow vers la page source.

politique de confidentialité

Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

Collecté par nos soins informations personnelles nous permet de vous contacter et de vous informer des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir. De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes. Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.

Propriété de la hauteur d'un triangle rectangle descendu jusqu'à l'hypoténuse

Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, aux procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes de organismes gouvernementaux sur le territoire de la Fédération de Russie - divulguez vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique. En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Merci pour le message!

Votre commentaire a été accepté et après modération il sera publié sur cette page.

Voulez-vous découvrir ce qui se cache sous la coupe et recevoir du matériel exclusif sur la préparation à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié ? Laissez votre email

Propriétés d'un triangle rectangle

Considérons un triangle rectangle (ABC) et ses propriétés, qui sont présentées sur la figure. Un triangle rectangle a une hypoténuse – le côté opposé à l’angle droit. Les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. La photo montre les côtés AD, DC et BD, DC- les jambes et les côtés CA Et NE- l'hypoténuse.

Signes d'égalité d'un triangle rectangle :

Théorème 1. Si l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle sont similaires à l'hypoténuse et à la branche d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Théorème 2. Si deux branches d'un triangle rectangle sont égales à deux branches d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Théorème 3. Si l'hypoténuse et l'angle aigu d'un triangle rectangle sont similaires à l'hypoténuse et à l'angle aigu d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Théorème 4. Si une branche et un angle aigu adjacent (opposé) d'un triangle rectangle sont égaux à une branche et un angle aigu adjacent (opposé) d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Propriétés d'une jambe opposée à un angle de 30° :

Théorème 1.

Hauteur dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle faisant un angle de 30°, la jambe opposée à cet angle brisera la moitié de l'hypoténuse.

Théorème 2. Si dans un triangle rectangle la jambe est égale à la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle qui lui fait face est de 30°.

Si l'altitude est tracée à partir du sommet de l'angle droit jusqu'à l'hypoténuse, alors un tel triangle est divisé en deux plus petits, semblables à celui sortant et semblables l'un à l'autre. Il en découle les conclusions suivantes :

1. La hauteur est la moyenne géométrique (moyenne proportionnelle) des deux segments de l'hypoténuse.
2. Chaque jambe du triangle est la moyenne proportionnelle à l'hypoténuse et aux segments adjacents.

Dans un triangle rectangle, les jambes font office d'altitudes. L'orthocentre est le point où se produit l'intersection des altitudes du triangle. Il coïncide avec le sommet de l'angle droit de la figure.

hC- la hauteur émergeant de l'angle droit du triangle ;

UN B- l'hypoténuse ;

ANNONCE Et DВ- les segments qui surviennent lors de la division de l'hypoténuse par la hauteur.

Retour à l'affichage des informations sur la discipline "Géométrie"

Triangle- Ce figure géométrique, composé de trois points (sommets) qui ne sont pas sur la même droite et de trois segments reliant ces points. Un triangle rectangle est un triangle dont l'un de ses angles est à 90° (un angle droit).
Il existe un théorème : la somme des angles aigus d'un triangle rectangle est de 90°.
système de commentaires CACKLE

Mots clés: triangle, angle droit, jambe, hypoténuse, théorème de Pythagore, cercle

Le triangle s'appelle rectangulaire s'il a un angle droit.
Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires entre eux appelés jambes; son troisième côté s'appelle hypoténuse.

• Selon les propriétés de perpendiculaire et d'oblique, l'hypoténuse est plus longue que chacune des pattes (mais moins que leur somme).
• La somme de deux angles aigus d’un triangle rectangle est égale à un angle droit.
• Deux altitudes d'un triangle rectangle coïncident avec ses jambes. Par conséquent, l’un des quatre points remarquables se situe aux sommets de l’angle droit du triangle.
• Le centre circonscrit d'un triangle rectangle se situe au milieu de l'hypoténuse.
• La médiane d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse est le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

Considérons un triangle rectangle arbitraire ABC et dessinons la hauteur CD = hc à partir du sommet C de son angle droit.

Elle va casser triangle donné en deux triangles rectangles ACD et BCD ; chacun de ces triangles a un angle aigu commun avec le triangle ABC et est donc semblable au triangle ABC.

Les trois triangles ABC, ACD et BCD sont semblables les uns aux autres.

De la similitude des triangles, les relations suivantes sont déterminées :

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + avant JC ;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

théorème de Pythagore l'un des théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne, établissant la relation entre les côtés d'un triangle rectangle.

Formulation géométrique. Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les pattes.

Formulation algébrique. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des pattes.
Autrement dit, désignant la longueur de l'hypoténuse du triangle par c, et les longueurs des jambes par a et b :
a2 + b2 = c2

Théorème de Pythagore inverse.

Hauteur d'un triangle rectangle

Pour tous les trois nombres positifs a, b et c, tels que
a2 + b2 = c2,
Il existe un triangle rectangle avec les pattes a et b et l'hypoténuse c.

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• le long de la jambe et de l'hypoténuse ;
• sur deux jambes;
• le long de la jambe et de l'angle aigu ;
• le long de l'hypoténuse et de l'angle aigu.

Voir également:
Aire d'un triangle, Triangle isocèle, Triangle équilatéral

Géométrie. 8 Classe. Test 4. Option 1 .

ANNONCE : CD = CD : B.D. Donc CD2 = AD ∙ B.D. Ils disent:

ANNONCE : CA = CA : UN B. Donc AC2 = AB ∙ ANNONCE. Ils disent:

BD : BC = BC : UN B. Donc BC2 = AB ∙ B.D.

Résoudre des problèmes:

1.

UN) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45cm; E) 53 cm.

2. La hauteur d'un triangle rectangle tracé vers l'hypoténuse divise l'hypoténuse en segments 9 et 36.

Déterminez la longueur de cette hauteur.

UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. La jambe d'un triangle rectangle vaut 30.

Comment trouver la hauteur d'un triangle rectangle ?

Trouvez la distance entre le sommet de l'angle droit et l'hypoténuse si le rayon du cercle circonscrit à ce triangle est de 17.

UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Vérifiez les réponses !

G8.04.1. Segments proportionnels dans un triangle rectangle

Géométrie. 8 Classe. Test 4. Option 1 .

Dans Δ ABC ∠ACV = 90°. Jambes AC et BC, hypoténuse AB.

CD est la hauteur du triangle tracé vers l'hypoténuse.

Projection AD de la jambe AC ​​sur l'hypoténuse,

Projection BD de la jambe BC sur l'hypoténuse.

L'altitude CD divise le triangle ABC en deux triangles similaires à celui-ci (et entre eux) : Δ ADC et Δ CDB.

De la proportionnalité des côtés de Δ ADC et Δ CDB similaires, il s'ensuit :

ANNONCE : CD = CD : B.D.

Propriété de la hauteur d'un triangle rectangle descendu jusqu'à l'hypoténuse.

Donc CD2 = AD ∙ B.D. Ils disent: altitude d'un triangle rectangle tiré par l'hypoténuse,est la valeur proportionnelle moyenne entre les projections des jambes sur l'hypoténuse.

De la similitude de Δ ADC et Δ ACB il résulte :

ANNONCE : CA = CA : UN B. Donc AC2 = AB ∙ ANNONCE. Ils disent: chaque jambe est la valeur proportionnelle moyenne entre l'hypoténuse entière et la projection de cette jambe sur l'hypoténuse.

De même, de la similitude de Δ CDB et Δ ACB il résulte :

BD : BC = BC : UN B. Donc BC2 = AB ∙ B.D.

Résoudre des problèmes:

1. Trouvez la hauteur d'un triangle rectangle tracé vers l'hypoténuse s'il divise l'hypoténuse en segments de 25 cm et 81 cm.

UN) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45cm; E) 53 cm.

2. La hauteur d'un triangle rectangle tracé jusqu'à l'hypoténuse divise l'hypoténuse en segments 9 et 36. Déterminez la longueur de cette hauteur.

UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. La hauteur d'un triangle rectangle tracé vers l'hypoténuse est de 22, la projection de l'une des jambes est de 16. Trouvez la projection de l'autre jambe.

UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. La jambe d'un triangle rectangle mesure 18 et sa projection sur l'hypoténuse est 12. Trouvez l'hypoténuse.

UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. L'hypoténuse est égale à 32. Trouvez le côté dont la projection sur l'hypoténuse est égale à 2.

UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est 45. Trouvez le côté dont la projection sur l'hypoténuse est 9.

8. La jambe d'un triangle rectangle est 30. Trouvez la distance entre le sommet de l'angle droit et l'hypoténuse si le rayon du cercle circonscrit à ce triangle est 17.

UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est de 41 et la projection de l'une des branches est de 16. Trouvez la longueur de l'altitude tirée du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse.

UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. La différence entre les projections des jambes sur l'hypoténuse est de 15 et la distance entre le sommet de l'angle droit et l'hypoténuse est de 4. Trouvez le rayon du cercle circonscrit.

UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Triangles.

Concepts de base.

Triangle est une figure composée de trois segments et de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Les segments sont appelés des soirées, et les points sont pics.

Somme des angles le triangle fait 180º.

Hauteur du triangle.

Hauteur du triangle- c'est une perpendiculaire tracée du sommet vers le côté opposé.

Dans un triangle aigu, la hauteur est contenue dans le triangle (Fig. 1).

Dans un triangle rectangle, les jambes sont les altitudes du triangle (Fig. 2).

Dans un triangle obtus, l'altitude s'étend à l'extérieur du triangle (Fig. 3).

Propriétés de la hauteur d'un triangle :

Bissectrice d'un triangle.

Bissectrice d'un triangle- il s'agit d'un segment qui divise le coin du sommet en deux et relie le sommet à un point du côté opposé (Fig. 5).

Propriétés de la bissectrice :

Médiane d'un triangle.

Médiane d'un triangle- il s'agit d'un segment reliant le sommet au milieu du côté opposé (Fig. 9a).

La longueur de la médiane peut être calculée à l'aide de la formule : 2b 2 + 2c 2 - un 2 ma 2 = —————— 4 Où ma- médian tiré sur le côté UN. Dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse : c mc = — 2 Où mc- médiane tirée vers l'hypoténuse c(Fig.9c) Les médianes du triangle se coupent en un point (au centre de masse du triangle) et sont divisées par ce point dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet. Autrement dit, le segment allant du sommet au centre est deux fois plus grand que le segment allant du centre au côté du triangle (Fig. 9c). Les trois médianes d'un triangle le divisent en six triangles égaux.

La ligne médiane du triangle.

Ligne médiane du triangle- il s'agit d'un segment reliant les milieux de ses deux côtés (Fig. 10).

La ligne médiane du triangle est parallèle au troisième côté et égale à la moitié de celui-ci

Angle externe d'un triangle.

Coin extérieur d'un triangle est égale à la somme de deux angles internes non adjacents (Fig. 11).

L'angle extérieur d'un triangle est plus grand que tout angle non adjacent.

Triangle rectangle.

Triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (Fig. 12).

Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse.

Les deux autres côtés sont appelés jambes.

Segments proportionnels dans un triangle rectangle.

1) Dans un triangle rectangle, l'altitude tirée de l'angle droit forme trois triangles semblables : ABC, ACH et HCB (Fig. 14a). En conséquence, les angles formés par la hauteur sont égaux aux angles A et B.

Figure 14a

Triangle isocèle.

Triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux (Fig. 13).

Ces côtés égaux sont appelés côtés, et le troisième - base Triangle.

Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux. (Dans notre triangle, l'angle A est égal à l'angle C).

Dans un triangle isocèle, la médiane tracée à la base est à la fois la bissectrice et la hauteur du triangle.

Triangle équilatéral.

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux (Fig. 14).

Propriétés d'un triangle équilatéral :

Propriétés remarquables des triangles.

Les triangles ont des propriétés uniques qui vous aideront à résoudre avec succès des problèmes impliquant ces formes. Certaines de ces propriétés sont décrites ci-dessus. Mais nous les répétons encore, en y ajoutant quelques autres fonctionnalités merveilleuses :

1) Dans un triangle rectangle avec des angles de 90º, 30º et 60º b, opposé à un angle de 30º, est égal à la moitié de l'hypoténuse. Une jambeun plus de jambeb√3 fois (Fig. 15 UN). Par exemple, si la jambe b vaut 5, alors l'hypoténuse c est nécessairement égal à 10, et la jambe UN est égal à 5√3. 2) Dans un triangle rectangle isocèle avec des angles de 90º, 45º et 45º, l'hypoténuse est √2 fois plus grande que la jambe (Fig. 15 b). Par exemple, si les jambes sont 5, alors l'hypoténuse est 5√2. 3) La ligne médiane du triangle est égale à la moitié côté parallèle(Fig. 15 Avec). Par exemple, si le côté d’un triangle est 10, alors la ligne médiane qui lui est parallèle est 5. 4) Dans un triangle rectangle, la médiane tracée jusqu'à l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse (Fig. 9c) : mc= s/2. 5) Les médianes d'un triangle se coupant en un point sont divisées par ce point dans un rapport de 2:1. Autrement dit, le segment allant du sommet au point d'intersection des médianes est deux fois plus grand que le segment allant du point d'intersection des médianes au côté du triangle (Fig. 9c). 6) Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit (Fig. 15 d).

Signes d'égalité des triangles.

Premier signe d'égalité: si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Deuxième signe d'égalité: si un côté et ses angles adjacents d'un triangle sont égaux au côté et ses angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Troisième signe d'égalité: Si trois côtés d'un triangle sont égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Inégalité triangulaire.

Dans tout triangle, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres côtés.

Théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :

c 2 = un 2 + b 2 .

Aire d'un triangle.

1) L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de son côté et de l'altitude tracée de ce côté :

ah
S = ——
2

2) L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux de ses côtés et du sinus de l'angle qui les sépare :

1
S = — UN B · A.C. · péché UN
2

Un triangle circonscrit à un cercle.

Un cercle est dit inscrit dans un triangle s'il touche tous ses côtés (Fig. 16 UN).

Un triangle inscrit dans un cercle.

Un triangle est dit inscrit dans un cercle s'il le touche par tous ses sommets (Fig. 17). un).

Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle (Fig. 18).

Sinus angle aigu X opposé jambe à l'hypoténuse.
Il est noté comme suit : péchéX.

Cosinus angle aigu X d'un triangle rectangle est le rapport adjacent jambe à l'hypoténuse.
Noté comme suit : cos X.

Tangente angle aigu X- c'est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Il est désigné ainsi : tgX.

Cotangente angle aigu X- c'est le rapport du côté adjacent au côté opposé.
Désigné comme suit : ctgX.

Règles:

Jambe opposée au coin X, est égal au produit de l'hypoténuse et du sin X:

b = c péché X

Jambe adjacente au coin X, est égal au produit de l'hypoténuse et de cos X:

une = c parce que X

Coin opposé de la jambe X, est égal au produit du match retour par tg X:

b = une tg X

Jambe adjacente au coin X, est égal au produit du match retour par ctg X:

une = b· ctg X.

Pour tout angle aigu X:

péché (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = péché X