Equations logarithmiques réduites au plus simple en remplaçant l'inconnue. Quelques méthodes pour résoudre des équations logarithmiques

Résolution d'équations logarithmiques. Partie 1.

Équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue est contenue sous le signe du logarithme (notamment dans la base du logarithme).

Le plus simple équation logarithmique a la forme :

Résoudre n'importe quelle équation logarithmique implique un passage des logarithmes aux expressions sous le signe des logarithmes. Cependant, cette action élargit la plage des valeurs admissibles de l'équation et peut conduire à l'apparition de racines superflues. Pour éviter l’apparition de racines étrangères, vous pouvez procéder de l'une des trois manières suivantes :

1. Faire une transition équivalente de l'équation originale à un système comprenant

selon quelle inégalité ou plus simple.

Si l'équation contient une inconnue dans la base du logarithme :

puis on passe au système :

2. Trouvez séparément la plage de valeurs acceptables de l'équation, puis résolvez l’équation et vérifiez si les solutions trouvées satisfont à l’équation.

3. Résolvez l'équation, puis vérifier: remplacez les solutions trouvées dans l'équation d'origine et vérifiez si nous obtenons la bonne égalité.

Une équation logarithmique de n’importe quel niveau de complexité se réduit toujours en fin de compte à l’équation logarithmique la plus simple.

Toutes les équations logarithmiques peuvent être divisées en quatre types :

1 . Équations qui contiennent des logarithmes uniquement à la première puissance. A l'aide de transformations et d'utilisations, ils sont amenés à la forme

Exemple. Résolvons l'équation :

Égalisons les expressions sous le signe du logarithme :

Vérifions si notre racine de l'équation satisfait :

Oui, ça satisfait.

Réponse : x=5

2 . Équations qui contiennent des logarithmes à des puissances autres que 1 (notamment au dénominateur d'une fraction). De telles équations peuvent être résolues en utilisant introduire un changement de variable.

Exemple. Résolvons l'équation :

Trouvons l'équation ODZ :

L'équation contient des logarithmes au carré, elle peut donc être résolue en changeant de variable.

Important! Avant d'introduire un remplacement, vous devez « séparer » les logarithmes qui font partie de l'équation en « briques », en utilisant les propriétés des logarithmes.

Lorsque vous « démontez » des logarithmes, il est important d’utiliser les propriétés des logarithmes avec beaucoup de prudence :

De plus, il y a ici encore un point subtil, et afin d'éviter une erreur courante, nous utiliserons une égalité intermédiaire : nous écrirons le degré du logarithme sous cette forme :

De même,

Remplaçons les expressions résultantes dans l'équation d'origine. On a:

Nous voyons maintenant que l'inconnue est contenue dans l'équation dans le cadre de . Présentons le remplacement: . Puisqu’elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle, nous n’imposons aucune restriction à la variable.

Dans cette leçon, nous passerons en revue les faits théoriques de base sur les logarithmes et envisagerons de résoudre les équations logarithmiques les plus simples.

Rappelons la définition centrale - la définition d'un logarithme. Cela implique de résoudre une équation exponentielle. Cette équation a une racine unique, elle s'appelle le logarithme de b en base a :

Définition:

Le logarithme de b en base a est l'exposant auquel la base a doit être élevée pour obtenir b.

Laissez-nous vous rappeler identité logarithmique de base.

L'expression (expression 1) est la racine de l'équation (expression 2). Remplacez la valeur x de l'expression 1 au lieu de x par l'expression 2 et obtenez l'identité logarithmique principale :

On voit donc que chaque valeur est associée à une valeur. On note b par x(), c par y, et obtenons ainsi une fonction logarithmique :

Par exemple:

Rappelons les propriétés fondamentales de la fonction logarithmique.

Faisons encore attention, ici, puisque sous le logarithme il peut y avoir une expression strictement positive, comme base du logarithme.

Riz. 1. Graphique d'une fonction logarithmique avec différentes bases

Le graphique de la fonction at est représenté en noir. Riz. 1. Si l'argument augmente de zéro à l'infini, la fonction augmente de moins à plus l'infini.

Le graphique de la fonction at est affiché en rouge. Riz. 1.

Propriétés de cette fonction :

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone dans tout son domaine de définition. Lorsque la valeur de l'argument augmente de manière monotone (strictement), une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction. Lorsque la diminution est monotone (stricte), une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction.

Les propriétés de la fonction logarithmique sont la clé pour résoudre diverses équations logarithmiques.

Considérons l'équation logarithmique la plus simple, toutes les autres équations logarithmiques sont généralement réduites à cette forme.

Puisque les bases des logarithmes et les logarithmes eux-mêmes sont égales, les fonctions sous le logarithme sont également égales, mais il ne faut pas manquer le domaine de définition. Seul un nombre positif peut apparaître sous le logarithme, on a :

Nous avons découvert que les fonctions f et g sont égales, il suffit donc de choisir n'importe quelle inégalité pour respecter l'ODZ.

On a donc un système mixte dans lequel il y a une équation et une inégalité :

En règle générale, il n'est pas nécessaire de résoudre une inégalité, il suffit de résoudre l'équation et de substituer les racines trouvées dans l'inégalité, effectuant ainsi une vérification.

Formulons une méthode pour résoudre les équations logarithmiques les plus simples :

Égaliser les bases des logarithmes ;

Fonctions sublogarithmiques égales ;

Effectuer une vérification.

Regardons des exemples spécifiques.

Exemple 1 - résoudre l'équation :

Les bases des logarithmes sont initialement égales, on a le droit d'assimiler les expressions sublogarithmiques, n'oubliez pas l'ODZ, on choisit le premier logarithme pour composer l'inégalité :

Exemple 2 - résoudre l'équation :

Cette équation diffère de la précédente en ce que les bases des logarithmes sont inférieures à un, mais cela n'affecte en rien la solution :

Trouvons la racine et substituons-la dans l'inégalité :

Nous avons reçu une inégalité incorrecte, ce qui signifie que la racine trouvée ne satisfait pas à l'ODZ.

Exemple 3 - résoudre l'équation :

Les bases des logarithmes sont initialement égales, on a le droit d'assimiler les expressions sublogarithmiques, n'oubliez pas l'ODZ, on choisit le deuxième logarithme pour composer l'inégalité :

Trouvons la racine et substituons-la dans l'inégalité :

Évidemment, seule la première racine satisfait l’ODZ.

Avec cette vidéo, je commence une longue série de leçons sur les équations logarithmiques. Vous avez maintenant devant vous trois exemples, sur la base desquels nous apprendrons à résoudre les problèmes les plus simples, appelés - protozoaires.

log 0,5 (3x − 1) = −3

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Permettez-moi de vous rappeler que l'équation logarithmique la plus simple est la suivante :

log une f (x) = b

Dans ce cas, il est important que la variable x soit présente uniquement à l'intérieur de l'argument, c'est-à-dire uniquement dans la fonction f (x). Et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas des fonctions contenant la variable x.

Méthodes de résolution de base

Il existe de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Par exemple, la plupart des enseignants de l'école proposent cette méthode : Exprimer immédiatement la fonction f (x) à l'aide de la formule F ( x) = un B . Autrement dit, lorsque vous rencontrez la construction la plus simple, vous pouvez immédiatement passer à la solution sans actions ni constructions supplémentaires.

Oui, bien sûr, la décision sera la bonne. Cependant, le problème de cette formule est que la plupart des étudiants ne comprennent pas, d'où il vient et pourquoi on élève la lettre a à la lettre b.

En conséquence, je constate souvent des erreurs très gênantes lorsque, par exemple, ces lettres sont échangées. Cette formule doit être soit comprise, soit bourrée, et la seconde méthode conduit à des erreurs aux moments les plus inopportuns et les plus cruciaux : lors des examens, des tests, etc.

C'est pourquoi je suggère à tous mes élèves d'abandonner la formule scolaire standard et d'utiliser la deuxième approche pour résoudre des équations logarithmiques, qui, comme vous l'avez probablement deviné d'après son nom, s'appelle Forme canonique.

L'idée de la forme canonique est simple. Regardons à nouveau notre problème : à gauche nous avons log a, et par la lettre a nous entendons un nombre, et en aucun cas une fonction contenant la variable x. Par conséquent, cette lettre est soumise à toutes les restrictions imposées sur la base du logarithme. à savoir:

1 ≠ une > 0

D'autre part, à partir de la même équation, nous voyons que le logarithme doit être égal au nombre b, et aucune restriction n'est imposée à cette lettre, car elle peut prendre n'importe quelle valeur - positive ou négative. Tout dépend des valeurs que prend la fonction f(x).

Et ici, nous nous souvenons de notre merveilleuse règle selon laquelle tout nombre b peut être représenté comme un logarithme à la base a de a à la puissance b :

b = journal a a b

Comment retenir cette formule ? Oui, très simple. Écrivons la construction suivante :

b = b 1 = b journal a a

Bien entendu, dans ce cas, toutes les restrictions que nous avons notées au début surviennent. Utilisons maintenant la propriété de base du logarithme et introduisons le multiplicateur b comme puissance de a. On a:

b = b 1 = b journal a a = journal a a b

En conséquence, l’équation originale sera réécrite comme suit :

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

C'est tout. La nouvelle fonction ne contient plus de logarithme et peut être résolue à l'aide de techniques algébriques standards.

Bien sûr, quelqu'un objectera maintenant : pourquoi était-il nécessaire de proposer une sorte de formule canonique, pourquoi effectuer deux étapes supplémentaires inutiles s'il était possible de passer immédiatement de la conception originale à la formule finale ? Oui, ne serait-ce que parce que la plupart des étudiants ne comprennent pas d’où vient cette formule et, de ce fait, commettent régulièrement des erreurs en l’appliquant.

Mais cette séquence d'actions, composée de trois étapes, permet de résoudre l'équation logarithmique originale, même si vous ne comprenez pas d'où vient la formule finale. D'ailleurs, cette entrée s'appelle la formule canonique :

log a f (x) = log a a b

La commodité de la forme canonique réside également dans le fait qu'elle peut être utilisée pour résoudre une très large classe d'équations logarithmiques, et pas seulement les plus simples que nous considérons aujourd'hui.

Exemples de solutions

Regardons maintenant des exemples réels. Alors décidons :

log 0,5 (3x − 1) = −3

Réécrivons-le comme ceci :

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

De nombreux étudiants sont pressés et tentent d'élever immédiatement le nombre 0,5 à la puissance qui nous est venue du problème initial. En effet, lorsque vous êtes déjà bien formé à la résolution de tels problèmes, vous pouvez immédiatement effectuer cette étape.

Cependant, si vous commencez tout juste à étudier ce sujet, il est préférable de ne vous précipiter nulle part afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes. Nous avons donc la forme canonique. Nous avons:

3x − 1 = 0,5 −3

Il ne s'agit plus d'une équation logarithmique, mais linéaire par rapport à la variable x. Pour le résoudre, regardons d’abord le nombre 0,5 à la puissance −3. Notez que 0,5 est 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertissez toutes les fractions décimales en fractions communes lors de la résolution d'une équation logarithmique.

On réécrit et on obtient :

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Ça y est, nous avons la réponse. Le premier problème a été résolu.

Deuxième tâche

Passons à la deuxième tâche :

Comme on le voit, cette équation n’est plus la plus simple. Ne serait-ce que parce qu'il y a une différence à gauche, et pas un seul logarithme par base.

Par conséquent, nous devons d’une manière ou d’une autre éliminer cette différence. Dans ce cas, tout est très simple. Regardons de plus près les bases : à gauche se trouve le nombre sous la racine :

Recommandation générale : dans toutes les équations logarithmiques, essayez de vous débarrasser des radicaux, c'est-à-dire des entrées avec racines et passez aux fonctions puissance, tout simplement parce que les exposants de ces puissances sont facilement retirés du signe du logarithme et, finalement, de telles une entrée simplifie et accélère considérablement les calculs. Écrivons-le ainsi :

Rappelons maintenant la propriété remarquable du logarithme : les puissances peuvent être dérivées de l'argument, aussi bien que de la base. En cas de motif, il se passe ce qui suit :

log a k b = 1/k loga b

En d’autres termes, le nombre qui était dans la puissance de base est à la fois avancé et inversé, c’est-à-dire qu’il devient un nombre réciproque. Dans notre cas, le diplôme de base était de 1/2. Par conséquent, nous pouvons le retirer à 2/1. On a:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Attention : vous ne devez en aucun cas vous débarrasser des logarithmes à cette étape. N'oubliez pas les mathématiques de 4e à 5e années et l'ordre des opérations : la multiplication est effectuée en premier, et ensuite seulement l'addition et la soustraction. Dans ce cas, on soustrait un des mêmes éléments de 10 éléments :

9 journal 5 x = 18
journal 5 x = 2

Notre équation se présente maintenant comme elle le devrait. C'est la construction la plus simple, et nous la résolvons en utilisant la forme canonique :

journal 5 x = journal 5 5 2
x = 5 2
x = 25

C'est tout. Le deuxième problème a été résolu.

Troisième exemple

Passons à la troisième tâche :

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Je vous rappelle la formule suivante :

journal b = journal 10 b

Si, pour une raison quelconque, vous êtes confus par la notation log b , alors lorsque vous effectuez tous les calculs, vous pouvez simplement écrire log 10 b . Vous pouvez travailler avec des logarithmes décimaux de la même manière qu'avec les autres : prendre des puissances, additionner et représenter n'importe quel nombre sous la forme lg 10.

Ce sont ces propriétés que nous allons maintenant utiliser pour résoudre le problème, puisque ce n'est pas le plus simple que nous ayons noté au tout début de notre leçon.

Tout d'abord, notons que le facteur 2 devant lg 5 peut être ajouté et devient une puissance de base 5. De plus, le terme libre 3 peut également être représenté sous forme de logarithme - ceci est très facile à observer à partir de notre notation.

Jugez par vous-même : n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de log en base 10 :

3 = journal 10 10 3 = journal 10 3

Réécrivons le problème d'origine en tenant compte des changements obtenus :

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
journal (x − 3) = journal 25 000

Nous avons à nouveau la forme canonique devant nous, et nous l'avons obtenue sans passer par l'étape de transformation, c'est-à-dire l'équation logarithmique la plus simple n'est apparue nulle part.

C'est exactement ce dont j'ai parlé au tout début de la leçon. La forme canonique vous permet de résoudre une classe de problèmes plus large que la formule scolaire standard proposée par la plupart des enseignants.

Bon, ça y est, on se débarrasse du signe du logarithme décimal, et on obtient une construction linéaire simple :

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Tous! Le problème est résolu.

Une note sur la portée

Je voudrais ici faire une remarque importante concernant la portée de la définition. Il y aura sûrement maintenant des étudiants et des enseignants qui diront : « Lorsque nous résolvons des expressions avec des logarithmes, nous devons nous rappeler que l'argument f (x) doit être supérieur à zéro ! À cet égard, une question logique se pose : pourquoi n’avons-nous pas exigé que cette inégalité soit satisfaite dans aucun des problèmes considérés ?

Ne t'inquiète pas. Dans ces cas, aucune racine supplémentaire n’apparaîtra. Et c'est une autre astuce intéressante qui vous permet d'accélérer la solution. Sachez simplement que si dans le problème la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit (ou plutôt dans un seul argument d'un seul logarithme), et nulle part ailleurs dans notre cas la variable x n'apparaît, alors notez le domaine de définition pas besoin, car il sera exécuté automatiquement.

Jugez par vous-même : dans la première équation, nous avons obtenu que 3x − 1, c'est-à-dire que l'argument doit être égal à 8. Cela signifie automatiquement que 3x − 1 sera supérieur à zéro.

Avec le même succès, nous pouvons écrire que dans le deuxième cas, x doit être égal à 5 ​​2, c'est-à-dire qu'il est certainement supérieur à zéro. Et dans le troisième cas, où x + 3 = 25 000, c'est-à-dire encore une fois évidemment supérieur à zéro. En d’autres termes, la portée est automatiquement satisfaite, mais seulement si x n’apparaît que dans l’argument d’un seul logarithme.

C'est tout ce que vous devez savoir pour résoudre les problèmes les plus simples. Cette règle à elle seule, ainsi que les règles de transformation, vous permettront de résoudre une très large classe de problèmes.

Mais soyons honnêtes : pour enfin comprendre cette technique, pour apprendre à appliquer la forme canonique de l'équation logarithmique, il ne suffit pas de regarder une seule leçon vidéo. Par conséquent, téléchargez dès maintenant les options de solutions indépendantes jointes à cette leçon vidéo et commencez à résoudre au moins un de ces deux travaux indépendants.

Cela vous prendra littéralement quelques minutes. Mais l'effet d'une telle formation sera bien plus important que si vous regardiez simplement cette leçon vidéo.

J'espère que cette leçon vous aidera à comprendre les équations logarithmiques. Utilisez la forme canonique, simplifiez les expressions en utilisant les règles de travail avec les logarithmes - et vous n'aurez peur d'aucun problème. C'est tout ce que j'ai pour aujourd'hui.

Prise en compte du domaine de définition

Parlons maintenant du domaine de définition de la fonction logarithmique et de la manière dont cela affecte la solution des équations logarithmiques. Considérons une construction de la forme

log une f (x) = b

Une telle expression est appelée la plus simple - elle ne contient qu'une seule fonction, et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas une fonction qui dépend de la variable x. Cela peut être résolu très simplement. Il vous suffit d'utiliser la formule :

b = journal a a b

Cette formule est l'une des propriétés clés du logarithme, et en la remplaçant par notre expression originale, nous obtenons ce qui suit :

log a f (x) = log a a b

f (x) = un b

Il s’agit d’une formule familière des manuels scolaires. De nombreux étudiants se poseront probablement une question : puisque dans l'expression originale la fonction f (x) est sous le signe log, les restrictions suivantes lui sont imposées :

f(x) > 0

Cette limitation s'applique car le logarithme des nombres négatifs n'existe pas. Alors, peut-être qu’en raison de cette limitation, un contrôle des réponses devrait être introduit ? Peut-être faut-il les insérer dans la source ?

Non, dans les équations logarithmiques les plus simples, une vérification supplémentaire n'est pas nécessaire. Et c'est pourquoi. Jetez un œil à notre formule finale:

f (x) = un b

Le fait est que le nombre a est de toute façon supérieur à 0 - cette exigence est également imposée par le logarithme. Le nombre a est la base. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur le nombre b. Mais cela n’a pas d’importance, car quelle que soit la puissance à laquelle nous élevons un nombre positif, nous obtiendrons toujours un nombre positif en sortie. Ainsi, l'exigence f (x) > 0 est automatiquement satisfaite.

Ce qui vaut vraiment la peine d'être vérifié, c'est le domaine de la fonction sous le signe du journal. Il peut y avoir des structures assez complexes et vous devez absolument les surveiller pendant le processus de résolution. Jetons un coup d'oeil.

Première tâche :

Première étape : convertir la fraction de droite. On a:

On se débarrasse du signe du logarithme et on obtient l'équation irrationnelle habituelle :

Parmi les racines obtenues, seule la première nous convient, puisque la seconde racine est inférieure à zéro. La seule réponse sera le chiffre 9. Ça y est, le problème est résolu. Aucun contrôle supplémentaire n'est requis pour s'assurer que l'expression sous le signe du logarithme est supérieure à 0, car elle n'est pas seulement supérieure à 0, mais selon la condition de l'équation elle est égale à 2. Par conséquent, l'exigence « supérieur à zéro » » est satisfait automatiquement.

Passons à la deuxième tâche :

Tout est pareil ici. On réécrit la construction en remplaçant le triple :

On se débarrasse des signes du logarithme et on obtient une équation irrationnelle :

Nous mettons au carré les deux côtés en tenant compte des restrictions et obtenons :

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x2 = x2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​​​6x + x 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

On résout l'équation résultante par le discriminant :

ré = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x2 = −6

Mais x = −6 ne nous convient pas, car si l'on substitue ce nombre dans notre inégalité, on obtient :

−6 + 4 = −2 < 0

Dans notre cas, il faut qu'il soit supérieur à 0 ou, dans les cas extrêmes, égal. Mais x = −1 nous convient :

−1 + 4 = 3 > 0

La seule réponse dans notre cas sera x = −1. C'est la solution. Revenons au tout début de nos calculs.

Le principal point à retenir de cette leçon est que vous n'avez pas besoin de vérifier les contraintes sur une fonction dans des équations logarithmiques simples. Parce que pendant le processus de résolution, toutes les contraintes sont automatiquement satisfaites.

Cependant, cela ne signifie en aucun cas que vous pouvez oublier complètement la vérification. En travaillant sur une équation logarithmique, celle-ci pourrait très bien devenir irrationnelle, qui aura ses propres restrictions et exigences pour le côté droit, comme nous l'avons vu aujourd'hui dans deux exemples différents.

N'hésitez pas à résoudre de tels problèmes et soyez particulièrement prudent s'il y a une racine dans le différend.

Équations logarithmiques avec différentes bases

Nous continuons à étudier les équations logarithmiques et examinons deux autres techniques très intéressantes avec lesquelles il est à la mode de résoudre des constructions plus complexes. Mais rappelons d’abord comment les problèmes les plus simples sont résolus :

log une f (x) = b

Dans cette entrée, a et b sont des nombres, et dans la fonction f (x) la variable x doit être présente, et seulement là, c'est-à-dire que x ne doit être que dans l'argument. Nous transformerons ces équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Pour ce faire, notez que

b = journal a a b

De plus, a b est précisément un argument. Réécrivons cette expression comme suit :

log a f (x) = log a a b

C’est exactement ce que nous essayons de réaliser, afin qu’il y ait un logarithme pour baser a à la fois à gauche et à droite. Dans ce cas, on peut, au sens figuré, rayer les signes du journal, et d'un point de vue mathématique on peut dire que l'on égalise simplement les arguments :

f (x) = un b

En conséquence, nous obtiendrons une nouvelle expression qui sera beaucoup plus facile à résoudre. Appliquons cette règle à nos problèmes d'aujourd'hui.

Donc, la première conception :

Tout d’abord, je remarque qu’à droite se trouve une fraction dont le dénominateur est log. Lorsque vous voyez une expression comme celle-ci, c’est une bonne idée de vous rappeler une merveilleuse propriété des logarithmes :

Traduit en russe, cela signifie que tout logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes de n'importe quelle base c. Bien sûr 0< с ≠ 1.

Donc : cette formule a un merveilleux cas particulier, lorsque la variable c est égale à la variable b. Dans ce cas on obtient une construction comme :

C’est exactement la construction que nous voyons grâce au signe de droite dans notre équation. Remplaçons cette construction par log a b , nous obtenons :

En d’autres termes, par rapport à la tâche initiale, nous avons interverti l’argument et la base du logarithme. Au lieu de cela, nous avons dû inverser la fraction.

Rappelons que tout diplôme peut être dérivé de la base selon la règle suivante :

Autrement dit, le coefficient k, qui est la puissance de la base, est exprimé sous forme de fraction inversée. Rendons-le sous forme de fraction inversée :

Le facteur fractionnaire ne peut pas être laissé devant, car dans ce cas nous ne pourrons pas représenter cette notation comme une forme canonique (après tout, sous la forme canonique il n'y a pas de facteur supplémentaire avant le deuxième logarithme). Par conséquent, ajoutons la fraction 1/4 à l'argument sous forme de puissance :

Maintenant, nous assimilons les arguments dont les bases sont les mêmes (et nos bases sont réellement les mêmes), et écrivons :

x + 5 = 1

x = −4

C'est tout. Nous avons obtenu la réponse à la première équation logarithmique. Attention : dans le problème d'origine, la variable x n'apparaît que dans un seul journal, et elle apparaît dans son argument. Par conséquent, il n’est pas nécessaire de vérifier le domaine, et notre nombre x = −4 est bien la réponse.

Passons maintenant à la deuxième expression :

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Ici, en plus des logarithmes habituels, nous devrons travailler avec log f (x). Comment résoudre une telle équation ? Pour un étudiant non préparé, cela peut sembler une tâche difficile, mais en fait, tout peut être résolu de manière élémentaire.

Examinez attentivement le terme lg 2 log 2 7. Que pouvons-nous en dire ? Les bases et arguments de log et lg sont les mêmes, et cela devrait donner quelques idées. Rappelons encore une fois comment les puissances sont extraites sous le signe du logarithme :

log a b n = nlog a b

En d’autres termes, ce qui était une puissance de b dans l’argumentation devient un facteur devant log lui-même. Appliquons cette formule à l'expression lg 2 log 2 7. N'ayez pas peur de lg 2 - c'est l'expression la plus courante. Vous pouvez le réécrire comme suit :

Toutes les règles qui s'appliquent à tout autre logarithme lui sont valables. En particulier, le facteur précédent peut être ajouté au degré de l'argumentation. Écrivons-le :

Très souvent, les étudiants ne voient pas directement cette action, car il n'est pas bon d'inscrire un journal sous le signe d'un autre. En fait, cela n’a rien de criminel. De plus, nous obtenons une formule facile à calculer si l'on se souvient d'une règle importante :

Cette formule peut être considérée à la fois comme une définition et comme l'une de ses propriétés. Dans tous les cas, si vous convertissez une équation logarithmique, vous devez connaître cette formule tout comme vous connaîtriez la représentation logarithmique de n'importe quel nombre.

Revenons à notre tâche. On le réécrit en tenant compte du fait que le premier terme à droite du signe égal sera simplement égal à lg 7. On a :

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Déplaçons LG 7 vers la gauche, nous obtenons :

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

On soustrait les expressions de gauche car elles ont la même base :

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Examinons maintenant de plus près l'équation que nous avons obtenue. C'est pratiquement la forme canonique, mais il y a un facteur −3 à droite. Ajoutons-le à l'argument lg de droite :

journal 8 = journal (x + 4) −3

Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique, nous biffons donc les signes lg et assimilons les arguments :

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

C'est tout! Nous avons résolu la deuxième équation logarithmique. Dans ce cas, aucune vérification supplémentaire n’est requise, car dans le problème initial, x n’était présent que dans un seul argument.

Permettez-moi d'énumérer à nouveau les points clés de cette leçon.

La formule principale enseignée dans toutes les leçons de cette page dédiées à la résolution d'équations logarithmiques est la forme canonique. Et ne soyez pas effrayé par le fait que la plupart des manuels scolaires vous apprennent à résoudre ces problèmes différemment. Cet outil fonctionne très efficacement et vous permet de résoudre une classe de problèmes beaucoup plus large que les plus simples que nous avons étudiés au tout début de notre leçon.

De plus, pour résoudre des équations logarithmiques, il sera utile d’en connaître les propriétés de base. À savoir:

1. La formule pour passer à une base et le cas particulier où l'on inverse le log (cela nous a été très utile dans le premier problème) ;
2. Formule pour ajouter et soustraire des puissances au signe du logarithme. Ici, de nombreux étudiants restent bloqués et ne voient pas que le diplôme retiré et introduit peut lui-même contenir log f (x). Aucun problème avec cela. On peut introduire un log selon le signe de l'autre et en même temps simplifier considérablement la solution du problème, ce que l'on observe dans le second cas.

En conclusion, je voudrais ajouter qu'il n'est pas nécessaire de vérifier le domaine de définition dans chacun de ces cas, car partout la variable x est présente dans un seul signe de log, et en même temps dans son argument. En conséquence, toutes les exigences du champ d’application sont automatiquement remplies.

Problèmes avec la base variable

Aujourd'hui, nous examinerons les équations logarithmiques qui, pour de nombreux étudiants, semblent non standard, voire totalement insolubles. Nous parlons d'expressions basées non pas sur des nombres, mais sur des variables et même des fonctions. Nous résoudrons de telles constructions en utilisant notre technique standard, à savoir via la forme canonique.

Tout d'abord, rappelons comment les problèmes les plus simples sont résolus, sur la base de nombres ordinaires. La construction la plus simple s’appelle donc

log une f (x) = b

Pour résoudre de tels problèmes, nous pouvons utiliser la formule suivante :

b = journal a a b

Nous réécrivons notre expression originale et obtenons :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous égalisons les arguments, c'est-à-dire que nous écrivons :

f (x) = un b

Ainsi, nous nous débarrassons du panneau de journal et résolvons le problème habituel. Dans ce cas, les racines obtenues à partir de la solution seront les racines de l’équation logarithmique originale. De plus, un enregistrement où la gauche et la droite sont dans le même logarithme avec la même base est précisément appelé forme canonique. C'est à un tel record que nous tenterons de réduire les conceptions d'aujourd'hui. Alors allons-y.

Première tâche :

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Remplacez 1 par log x − 2 (x − 2) 1 . Le degré que nous observons dans l’argumentation est en fait le nombre b qui se trouve à droite du signe égal. Réécrivons donc notre expression. On a:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Que voit-on ? Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique, nous pouvons donc assimiler les arguments en toute sécurité. On a:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Mais la solution ne s’arrête pas là, car cette équation n’est pas équivalente à l’équation originale. Après tout, la construction résultante est constituée de fonctions définies sur toute la droite numérique, et nos logarithmes originaux ne sont pas définis partout ni toujours.

Par conséquent, nous devons écrire le domaine de définition séparément. Ne coupons pas les cheveux en quatre et notons d'abord toutes les exigences :

Premièrement, l'argument de chacun des logarithmes doit être supérieur à 0 :

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Deuxièmement, la base doit non seulement être supérieure à 0, mais également différente de 1 :

X − 2 ≠ 1

En conséquence, nous obtenons le système :

Mais ne vous inquiétez pas : lors du traitement d’équations logarithmiques, un tel système peut être considérablement simplifié.

Jugez par vous-même : d'une part, on exige que la fonction quadratique soit supérieure à zéro, et d'autre part, cette fonction quadratique est assimilée à une certaine expression linéaire, qui doit également être supérieure à zéro.

Dans ce cas, si nous exigeons que x − 2 > 0, alors l'exigence 2x 2 − 13x + 18 > 0 sera automatiquement satisfaite. Par conséquent, nous pouvons rayer en toute sécurité l'inégalité contenant la fonction quadratique. Ainsi, le nombre d'expressions contenues dans notre système sera réduit à trois.

Bien sûr, avec le même succès, nous pourrions rayer l’inégalité linéaire, c’est-à-dire rayer x − 2 > 0 et exiger que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Mais vous conviendrez que résoudre l’inégalité linéaire la plus simple est beaucoup plus rapide. et plus simple que quadratique, même à condition qu'en résolvant tout ce système, nous obtenions les mêmes racines.

En général, essayez d’optimiser les calculs autant que possible. Et dans le cas des équations logarithmiques, rayez les inégalités les plus difficiles.

Réécrivons notre système :

Voici un système de trois expressions, dont deux d'ailleurs nous avons déjà traité. Écrivons l'équation quadratique séparément et résolvons-la :

2x 2 − 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique réduit et, par conséquent, nous pouvons utiliser les formules de Vieta. On a:

(x − 5)(x − 2) = 0

x1 = 5

x2 = 2

Revenons maintenant à notre système et constatons que x = 2 ne nous convient pas, car on nous impose que x soit strictement supérieur à 2.

Mais x = 5 nous convient parfaitement : le nombre 5 est supérieur à 2, et en même temps 5 n'est pas égal à 3. Par conséquent, la seule solution à ce système sera x = 5.

Ça y est, le problème est résolu, y compris en tenant compte de l'ODZ. Passons à la deuxième équation. Des calculs plus intéressants et informatifs nous attendent ici :

Première étape : comme la dernière fois, nous mettons toute cette affaire sous forme canonique. Pour ce faire, on peut écrire le nombre 9 ainsi :

Il n’est pas nécessaire de toucher la base avec la racine, mais il vaut mieux transformer l’argument. Passons de la racine à la puissance avec un exposant rationnel. Écrivons :

Permettez-moi de ne pas réécrire toute notre grande équation logarithmique, mais simplement d'assimiler immédiatement les arguments :

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique nouvellement réduit, utilisons les formules de Vieta et écrivons :

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x2 = −1

Nous avons donc obtenu les racines, mais personne ne nous a garanti qu'elles correspondraient à l'équation logarithmique originale. Après tout, les panneaux de journal imposent des restrictions supplémentaires (ici, nous aurions dû écrire le système, mais en raison de la lourdeur de l'ensemble de la structure, j'ai décidé de calculer le domaine de définition séparément).

Tout d'abord, rappelez-vous que les arguments doivent être supérieurs à 0, à savoir :

Ce sont les exigences imposées par le champ d’application de la définition.

Notons immédiatement que puisque l'on assimile les deux premières expressions du système, on peut rayer n'importe laquelle d'entre elles. Rayons le premier car il semble plus menaçant que le second.

De plus, notons que la solution des deuxième et troisième inégalités sera les mêmes ensembles (le cube d'un certain nombre est supérieur à zéro, si ce nombre lui-même est supérieur à zéro ; de même, avec une racine du troisième degré - ces inégalités sont tout à fait analogues, nous pouvons donc le rayer).

Mais avec la troisième inégalité, cela ne fonctionnera pas. Débarrassons-nous du signe radical de gauche en élevant les deux parties en cube. On a:

Nous obtenons donc les exigences suivantes :

−2 ≠x > −3

Laquelle de nos racines : x 1 = −3 ou x 2 = −1 répond à ces exigences ? Évidemment, seul x = −1, car x = −3 ne satisfait pas la première inégalité (puisque notre inégalité est stricte). Donc, en revenant à notre problème, nous obtenons une racine : x = −1. Voilà, problème résolu.

Encore une fois, les points clés de cette tâche :

1. N'hésitez pas à appliquer et à résoudre des équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Les étudiants qui font une telle notation, plutôt que de passer directement du problème initial à une construction comme log a f (x) = b, commettent beaucoup moins d'erreurs que ceux qui se précipitent quelque part, sautant les étapes intermédiaires des calculs ;
2. Dès qu'une base variable apparaît dans un logarithme, le problème cesse d'être le plus simple. Par conséquent, lors de sa résolution, il est nécessaire de prendre en compte le domaine de définition : les arguments doivent être supérieurs à zéro, et les bases doivent non seulement être supérieures à 0, mais elles ne doivent pas non plus être égales à 1.

Les exigences finales peuvent être appliquées aux réponses finales de différentes manières. Par exemple, vous pouvez résoudre un système entier contenant toutes les exigences du domaine de définition. D'un autre côté, vous pouvez d'abord résoudre le problème lui-même, puis mémoriser le domaine de définition, le travailler séparément sous la forme d'un système et l'appliquer aux racines obtenues.

La méthode à choisir pour résoudre une équation logarithmique particulière dépend de vous. Dans tous les cas, la réponse sera la même.

Les mathématiques sont plus que la science, c'est le langage de la science.

Physicien et personnalité publique danoise Niels Bohr

Équations logarithmiques

Parmi les tâches typiques, offert aux tests d'entrée (concours), sont les tâches, liés à la résolution d’équations logarithmiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez avoir une bonne connaissance des propriétés des logarithmes et avoir les compétences nécessaires pour les utiliser.

Cet article présente d'abord les concepts et propriétés de base des logarithmes., puis des exemples de résolution d'équations logarithmiques sont considérés.

Concepts et propriétés de base

Tout d'abord, nous présentons les propriétés de base des logarithmes, dont l'utilisation permet de résoudre avec succès des équations logarithmiques relativement complexes.

L'identité logarithmique principale s'écrit

, (1)

Parmi les propriétés les plus connues des logarithmes figurent les égalités suivantes :

1. Si , , et , alors , ,

2. Si , , et , alors .

3. Si , et , alors .

4. Si , et entier naturel, Que

5. Si , et entier naturel, Que

6. Si , et , alors .

7. Si , et , alors .

Les propriétés plus complexes des logarithmes sont formulées à travers les déclarations suivantes :

8. Si , , et , alors

9. Si , et , alors

10. Si , , et , alors

La preuve des deux dernières propriétés des logarithmes est donnée dans le manuel de l'auteur « Mathématiques pour les lycéens : sections complémentaires de mathématiques scolaires » (M. : Lenand / URSS, 2014).

A noter également quelle est la fonction augmente, si , et décroissant , si .

Regardons des exemples de problèmes pour résoudre des équations logarithmiques, classés par ordre de difficulté croissante.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1. Résous l'équation

. (2)

Solution. De l'équation (2), nous avons . Transformons l'équation comme suit : , ou .

Parce que , alors la racine de l'équation (2) est.

Répondre: .

Exemple 2. Résous l'équation

Solution. L'équation (3) est équivalente aux équations

Ou .

De là, nous obtenons .

Répondre: .

Exemple 3. Résous l'équation

Solution. De l'équation (4), il résulte, Quoi . Utilisation de l'identité logarithmique de base (1), nous pouvons écrire

ou .

Si tu mets alors à partir de là, nous obtenons une équation quadratique, qui a deux racines Et . Toutefois donc et une racine appropriée de l'équation est seulement . Depuis , alors ou .

Répondre: .

Exemple 4. Résous l'équation

Solution.Plage de valeurs admissibles de la variabledans l'équation (5) sont.

Qu'il en soit ainsi . Puisque la fonctionsur le domaine de définition est décroissant, et la fonction augmente tout au long de la droite numérique, alors l'équation ne peut pas avoir plus d'une racine.

Par sélection on trouve la seule racine.

Répondre: .

Exemple 5. Résous l'équation.

Solution. Si les deux côtés de l’équation sont pris logarithmiquement en base 10, alors

Ou .

En résolvant l’équation quadratique de , nous obtenons et . Par conséquent, nous avons ici et .

Répondre: , .

Exemple 6. Résous l'équation

. (6)

Solution.Utilisons l'identité (1) et transformons l'équation (6) comme suit :

Ou .

Répondre: , .

Exemple 7. Résous l'équation

. (7)

Solution. En prenant en compte la propriété 9, nous avons . À cet égard, l'équation (7) prend la forme

De là, nous obtenons ou .

Répondre: .

Exemple 8. Résous l'équation

. (8)

Solution.Utilisons la propriété 9 et réécrivons l'équation (8) sous la forme équivalente.

Si l'on désigne alors, alors on obtient une équation quadratique, Où . Puisque l'équationn'a qu'une seule racine positive, alors ou . Cela implique .

Répondre: .

Exemple 9. Résous l'équation

. (9)

Solution. Puisque de l’équation (9) il résulte alors ici. D'après la propriété 10, peut être écrit.

À cet égard, l'équation (9) sera équivalente aux équations

Ou .

De là, nous obtenons la racine de l’équation (9).

Exemple 10. Résous l'équation

. (10)

Solution. La plage des valeurs admissibles de la variable dans l'équation (10) est . D’après la propriété 4, nous avons ici

. (11)

Puisque , alors l'équation (11) prend la forme d'une équation quadratique, où . Les racines d'une équation quadratique sont et .

Depuis, alors et . De là, nous obtenons et .

Répondre: , .

Exemple 11. Résous l'équation

. (12)

Solution. Notons alors et l'équation (12) prend la forme

Ou

. (13)

Il est facile de voir que la racine de l’équation (13) est . Montrons que cette équation n'a pas d'autres racines. Pour ce faire, divisez les deux côtés par et obtenez l'équation équivalente

. (14)

Puisque la fonction est décroissante et que la fonction est croissante sur tout l'axe numérique, alors l'équation (14) ne peut pas avoir plus d'une racine. Puisque les équations (13) et (14) sont équivalentes, l’équation (13) a une racine unique.

Depuis, alors et .

Répondre: .

Exemple 12. Résous l'équation

. (15)

Solution. Notons et . Puisque la fonction diminue sur le domaine de définition et que la fonction augmente pour n'importe quelle valeur, l'équation ne peut pas avoir la même racine. Par sélection directe, nous établissons que la racine souhaitée de l'équation (15) est .

Répondre: .

Exemple 13. Résous l'équation

. (16)

Solution. En utilisant les propriétés des logarithmes, on obtient

Depuis lors et nous avons des inégalités

L'inégalité résultante coïncide avec l'équation (16) uniquement dans le cas où ou .

Par substitution de valeurdans l’équation (16), nous sommes convaincus que, Quoi est sa racine.

Répondre: .

Exemple 14. Résous l'équation

. (17)

Solution. Puisque ici , alors l'équation (17) prend la forme .

Si on met , alors on obtient l'équation

, (18)

Où . De l'équation (18) il résulte : ou . Depuis, l’équation a une racine appropriée. Cependant, c'est pourquoi.

Exemple 15. Résous l'équation

. (19)

Solution. Notons , alors l'équation (19) prend la forme . Si on met cette équation en base 3, on obtient

Ou

Il s'ensuit cela et . Depuis, alors et . À cet égard, et.

Répondre: , .

Exemple 16. Résous l'équation

. (20)

Solution. Entrons le paramètreet réécrire l'équation (20) sous la forme d'une équation quadratique par rapport au paramètre, c'est à dire.

. (21)

Les racines de l'équation (21) sont

ou , . Puisque , nous avons les équations et . De là, nous obtenons et .

Répondre: , .

Exemple 17. Résous l'équation

. (22)

Solution. Pour établir le domaine de définition de la variable dans l'équation (22), il est nécessaire de considérer un ensemble de trois inégalités : , et .

Application de la propriété 2, à partir de l'équation (22), nous obtenons

Ou

. (23)

Si dans l’équation (23) on met, alors on obtient l'équation

. (24)

L'équation (24) sera résolue comme suit :

Ou

Il s'ensuit que et , c'est-à-dire l'équation (24) a deux racines : et .

Depuis , alors , ou , .

Répondre: , .

Exemple 18. Résous l'équation

. (25)

Solution. En utilisant les propriétés des logarithmes, nous transformons l'équation (25) comme suit :

, , .

De là, nous obtenons .

Exemple 19. Résous l'équation

. (26)

Solution. Depuis lors.

Ensuite, nous l'avons fait. Ainsi , l'égalité (26) n'est satisfaite que si, lorsque les deux côtés de l’équation sont égaux à 2 en même temps.

Ainsi , l'équation (26) est équivalente au système d'équations

De la deuxième équation du système on obtient

Ou .

C'est facile à voir quel est le sens satisfait également la première équation du système.

Répondre: .

Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution d'équations logarithmiques, vous pouvez vous référer aux manuels de la liste de la littérature recommandée.

1. Kushnir A.I. Chefs-d'œuvre des mathématiques scolaires (problèmes et solutions en deux livres). – Kyiv : Astarté, tome 1, 1995. – 576 p.

2. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Paix et Education, 2013. – 608 p.

3. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires du programme scolaire. – M. : Lénand / URSS, 2014. – 216 p.

4. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : tâches de complexité accrue. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 200 p.

5. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : méthodes non standards pour résoudre des problèmes. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 296 p.

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Exemples:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Comment résoudre des équations logarithmiques :

Lors de la résolution d'une équation logarithmique, vous devez vous efforcer de la transformer sous la forme \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), puis faire la transition vers \(f(x )=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemple:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Solution: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Examen:\(10>2\) - convient pour DL Répondre:\(x=10\)

ODZ : \(x-2>0\) \(x>2\)

Très important! Cette transition ne peut être effectuée que si :

Vous avez écrit pour l'équation originale, et à la fin vous vérifierez si celles trouvées sont incluses dans le DL. Si cela n'est pas fait, des racines supplémentaires peuvent apparaître, ce qui signifie une mauvaise décision.

Le nombre (ou l'expression) à gauche et à droite est le même ;

Les logarithmes de gauche et de droite sont « purs », c'est-à-dire qu'il ne doit y avoir aucune multiplication, division, etc. – uniquement des logarithmes simples de part et d’autre du signe égal.

Par exemple:

Notez que les équations 3 et 4 peuvent être facilement résolues en appliquant les propriétés nécessaires des logarithmes.

Exemple . Résolvez l'équation \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Solution :

		Écrivons l'ODZ : \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ : \(x>0\)		A gauche devant le logarithme se trouve le coefficient, à droite se trouve la somme des logarithmes. Cela nous dérange. Déplaçons les deux vers l'exposant \(x\) selon la propriété : \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Représentons la somme des logarithmes comme un logarithme selon la propriété : \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Nous avons réduit l'équation à la forme \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) et avons noté l'ODZ, ce qui signifie que nous pouvons passer à la forme \(f(x) =g(x)\ ).
		Arrivé . Nous le résolvons et récupérons les racines.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Nous vérifions si les racines conviennent à l'ODZ. Pour ce faire, dans \(x>0\) au lieu de \(x\) nous remplaçons \(5\) et \(-5\). Cette opération peut être réalisée oralement.
\(5>0\), \(-5>0\)		La première inégalité est vraie, la seconde ne l’est pas. Cela signifie que \(5\) est la racine de l’équation, mais \(-5\) ne l’est pas. Nous écrivons la réponse.

Répondre : \(5\)

Exemple : Résolvez l'équation \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Solution :

		Écrivons l'ODZ : \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ : \(x>0\)		Une équation typique résolue en utilisant . Remplacez \(\log_2⁡x\) par \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Nous avons reçu l'habituel. Nous recherchons ses racines.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Effectuer un remplacement inversé
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Nous transformons les membres de droite en les représentant sous forme de logarithmes : \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) et \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Maintenant, nos équations sont \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), et nous pouvons passer à \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Nous vérifions la correspondance des racines de l'ODZ. Pour ce faire, remplacez \(4\) et \(2\) dans l'inégalité \(x>0\) au lieu de \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Les deux inégalités sont vraies. Cela signifie que \(4\) et \(2\) sont tous deux des racines de l'équation.

Répondre : \(4\); \(2\).