L'étude de tout processus physique est associée à l'établissement de relations entre grandeurs caractérisant ce processus. Pour les processus complexes, qui incluent le transfert de chaleur par conductivité thermique, lors de l'établissement d'une relation entre les quantités, il convient d'utiliser les méthodes de physique mathématique, qui considèrent le déroulement du processus non pas dans tout l'espace étudié, mais dans un volume élémentaire de matière pendant une période de temps infinitésimale. Le lien entre les grandeurs impliquées dans le transfert de chaleur par conductivité thermique est établi dans ce cas par ce qu'on appelle équation différentielle de conductivité thermique. Dans les limites d'un volume élémentaire choisi et d'un laps de temps infiniment petit, il devient possible de négliger l'évolution de certaines quantités caractérisant le processus.

Lors de l'élaboration de l'équation différentielle de la conductivité thermique, les hypothèses suivantes sont faites : grandeurs physiques λ, avec p Et ρ permanent; il n'y a pas de sources de chaleur internes ; le corps est homogène et isotrope ; on utilise la loi de conservation de l'énergie, qui dans ce cas est formulée comme suit : la différence entre la quantité de chaleur entrant en raison de la conductivité thermique dans un parallélépipède élémentaire pendant le temps dτ et en le laissant en même temps, on le consacre à changer l'énergie interne du volume élémentaire considéré. En conséquence, nous arrivons à l’équation :

La quantité s'appelle Opérateur Laplace et est généralement abrégé en 2 t(le panneau indique « nabla ») ; taille λ /cρ appelé coefficient de diffusivité thermique et désigné par la lettre UN. Avec la notation indiquée, l'équation différentielle de la chaleur prend la forme

L'équation (1-10) est appelée équation différentielle de conductivité thermique, ou l'équation de Fourier, pour un champ de température instable tridimensionnel en l'absence de sources de chaleur internes. C'est l'équation principale dans l'étude du chauffage et du refroidissement des corps en cours de transfert de chaleur par conductivité thermique et établit un lien entre les changements temporels et spatiaux de température en tout point du champ.

Coefficient de diffusivité thermique UN= λ/cρ est un paramètre physique d'une substance et a une unité de mesure m 2 / s. Dans les processus thermiques non stationnaires, la valeur UN caractérise le taux de changement de température. Si le coefficient de conductivité thermique caractérise la capacité des corps à conduire la chaleur, alors le coefficient de diffusivité thermique UN est une mesure des propriétés d'inertie thermique des corps. De l'équation (1-10), il s'ensuit que le changement de température au fil du temps ∂t / ∂τ car tout point du corps est proportionnel à la valeur UN Par conséquent, dans les mêmes conditions, la température du corps ayant une diffusivité thermique plus élevée augmentera plus rapidement. Les gaz ont des coefficients de diffusivité thermique faibles et les métaux sont élevés.

L'équation différentielle de la conductivité thermique avec des sources de chaleur à l'intérieur du corps aura la forme

Où qv- la quantité de chaleur dégagée par unité de volume d'une substance par unité de temps, Avec- la capacité thermique massique du corps, ρ - densité corporelle .

L'équation différentielle de la conductivité thermique en coordonnées cylindriques avec une source de chaleur interne aura la forme

Où r- rayon vecteur dans un système de coordonnées cylindriques ; φ - coin.

Propagation de la chaleur par conductivité thermique dans des parois planes et cylindriques en mode stationnaire (conditions aux limites du premier type)

Paroi plane monocouche homogène. Considérons la propagation de la chaleur par conductivité thermique dans une paroi plane monocouche homogène d'épaisseur 8 avec sa largeur et sa longueur illimitées.

Axe X dirigez-le perpendiculairement au mur (Fig. 7.4). Le long des deux surfaces murales comme dans le sens de l'axe oui, et dans le sens de l'axe g Grâce à l'apport et à l'évacuation uniformes de la chaleur, les températures sont réparties uniformément.

Puisque la paroi dans la direction de ces axes a des dimensions infiniment grandes, les gradients de température correspondants F/yu = (k/(k= = 0 et, par conséquent, il n'y a aucune influence sur le processus de conductivité thermique des surfaces d'extrémité du mur. Dans ces conditions simplifiant le problème, le champ de température stationnaire est fonction uniquement de la coordonnée X, ceux. un problème unidimensionnel est considéré. Par rapport à ce cas, l'équation différentielle de conductivité thermique prendra la forme (à d^dh = 0)

Les conditions aux limites du premier type sont données :

Riz. 7.4.

Trouvons l'équation de la température zéro et déterminons le flux de chaleur Ф traversant une section du mur d'une superficie UN(En figue. 1L le mur n'est pas marqué car il est situé dans un plan perpendiculaire au plan du dessin). La première intégration donne

ceux. le gradient de température est constant sur toute l'épaisseur de la paroi.

Après la deuxième intégration, nous obtenons l'équation du champ de température requise

Où UN Et b- intégrations constantes.

Ainsi, le changement de température le long de l’épaisseur de la paroi suit une loi linéaire et les surfaces isothermes sont des plans parallèles aux faces des parois.

Pour déterminer des constantes d'intégration arbitraires, nous utilisons les conditions aux limites :

Parce que? > ? ST2, puis la projection du gradient sur l'axe X négatif comme

il fallait s'y attendre pour la direction de l'axe choisie, qui coïncide avec la direction du vecteur densité de flux thermique de surface.

En substituant la valeur des constantes dans (7.24), on obtient l'expression finale de la température zéro

Doubler un B En figue. 7.4, dit courbe de température, montre l'évolution de la température en fonction de l'épaisseur de la paroi.

Connaissant le gradient de température, il est possible, à l'aide de l'équation de Fourier (7.10), de trouver la quantité de chaleur 8() passant pendant le temps t à travers l'élément de surface ??4 perpendiculaire à l'axe T.

et pour une superficie de UN

La formule (7.28) pour le flux de chaleur et la densité du flux de chaleur superficiel prendra la forme

Considérons la propagation de la chaleur par conductivité thermique dans une paroi plate multicouche constituée de plusieurs (par exemple trois) couches étroitement adjacentes les unes aux autres (voir Fig. 7.5).

Riz. 7.5.

Évidemment, dans le cas d'un champ de température stationnaire, le flux de chaleur traversant des surfaces d'une même surface UN, sera le même pour toutes les couches. Par conséquent, l’équation (7.29) peut être utilisée pour chacune des couches.

Pour la première couche

pour les deuxième et troisième couches

Où X2, A 3 - conductivité thermique des couches ; 8 1? 8 2, 8 3 - épaisseur de couche.

Les températures aux limites extérieures du mur à trois couches considérées sont-elles connues ? St1 et ? ST4. Les températures sont-elles établies le long des plans de séparation entre les couches ? ST2 Et? ST considérés comme inconnus. Nous résolvons les équations (7.31)-(7.33) concernant les différences de température :

puis les additionner terme par terme et éliminer ainsi les températures intermédiaires inconnues :

En généralisant (7.36) pour un mur en couche y, on obtient

Pour déterminer des températures intermédiaires ? ST2, ? STZ sur les plans des sections de couches nous utilisons les formules (7.34) :

Enfin, en généralisant la dérivation au mur de la i-couche, nous obtenons une formule pour la température à la limite des ième et (r + 1)ième couches :

Parfois, la notion de conductivité thermique équivalente Req est utilisée. Pour la densité de flux thermique surfacique traversant une paroi multicouche plane,

où est l'épaisseur totale de toutes les couches du mur multicouche. En comparant les expressions (7.37) et (7.40), nous concluons que

En figue. La figure 7.5 montre un graphique des changements de température le long de l'épaisseur d'une paroi multicouche sous la forme d'une ligne brisée. Au sein de la couche, comme cela a été prouvé ci-dessus, le changement de température suit une loi linéaire. Tangente de l'angle d'inclinaison cp, la droite de température à l'horizontale

ceux. égale à la valeur absolue du gradient de température ^1"ac1 Ainsi, selon la pente des droites ab, avant JC et avec

Ainsi,

ceux. les gradients de température pour les couches individuelles d'une paroi plate multicouche sont inversement proportionnels aux conductivités thermiques de ces couches.

Cela signifie que pour obtenir des gradients de température importants (ce qui est nécessaire, par exemple, lors de l'isolation des conduites de vapeur, etc.), des matériaux ayant de faibles valeurs de conductivité thermique sont nécessaires.

Paroi cylindrique monocouche homogène. Trouvons pour le mode stationnaire de conductivité thermique le champ de température et la densité de flux thermique de surface pour une paroi cylindrique monocouche homogène (Fig. 7.6). Pour résoudre le problème, nous utilisons l'équation différentielle de conduction thermique en coordonnées cylindriques.

L'axe 2 sera dirigé le long de l'axe du tuyau. Supposons que la longueur du tuyau par rapport au diamètre soit infiniment grande. Dans ce cas, on peut négliger l'influence des extrémités du tuyau sur la répartition de la température le long de l'axe 2. Supposons qu'en raison de l'apport et de l'évacuation uniformes de la chaleur, la température sur la surface intérieure soit égale partout ? ST1, et sur la surface extérieure - ? ST2 (conditions aux limites du premier type). Avec ces simplifications (k/ = 0, et en raison de la symétrie du champ de température par rapport à tout diamètre ?/?/?Ар = 0. Les surfaces isothermes dans ce cas seront les surfaces des cylindres, coaxiales à l'axe du tuyau. Ainsi , le problème se réduit à déterminer le champ de température unidimensionnel = / (d), où g- rayon actuel de la paroi cylindrique.

Riz. 7.6.

Équation de chaleur différentielle (7.19) sous la condition dt/j t = 0 prendra la forme

Introduisons une nouvelle variable

quel est le gradient de température (grad ?).

Substitution d'une variable Et dans (7.43), on obtient une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

ou

En intégrant, on obtient

Pour une paroi cylindrique, le gradient de température est une valeur variable qui augmente avec le rayon décroissant. G. Par conséquent, le gradient de température sur la surface intérieure est plus important que sur la surface extérieure.

Remplacement de la valeur Et de (7.44) à (7.45), on obtient Et

Où un b- intégrations constantes.

Par conséquent, la courbe de répartition de la température sur l’épaisseur de la paroi est une courbe logarithmique (courbe un B En figue. 7.6).

Définissons les constantes UN Et b, inclus dans l’équation du champ de température, basé sur les conditions aux limites du premier type. Notons le rayon interne de la surface gx, externe - g2. Nous désignons les diamètres correspondants (1 litre Et (1 2 . On a alors un système d'équations

En résolvant ce système d'équations, on obtient

L’équation de température zéro prendra la forme Le gradient de température est déterminé par la formule (7.45) :

Parce que? ST1 > ? ST2, et r, r 2, alors le grade de projection ? sur le rayon vecteur a une valeur négative.

Ce dernier montre que dans ce cas le flux de chaleur est dirigé du centre vers la périphérie.

Pour déterminer le flux de chaleur traversant une section d'une surface cylindrique d'une longueur b, utilisons l'équation

De (7.46), il s'ensuit que le flux de chaleur traversant une surface cylindrique dépend du rapport des rayons extérieur et intérieur r 2 / g x(ou diamètres c1 2 / (1 {), et non sur l'épaisseur de la paroi.

La densité du flux thermique de surface pour une surface cylindrique peut être trouvée en reliant le flux thermique Ф à la surface de la surface intérieure Un vice-président ou à la surface extérieure Un np. Dans les calculs, la densité de flux thermique linéaire est parfois utilisée :

De (7.47)-(7.49) il résulte

Paroi cylindrique multicouche. Considérons la répartition de la chaleur par conductivité thermique dans une paroi cylindrique (tuyau) à trois couches de longueur A (Fig. 7.7) avec un diamètre interne c1x et diamètre extérieur (1 L. Diamètres intermédiaires des couches individuelles - c1 2 et X2, X3.

Riz. 7.7.

Les températures sont-elles considérées comme connues ? ST) interne et température ? Surface extérieure ST4. Faut-il déterminer le flux thermique F et la température ? ST2 Et? STz aux limites des couches. Composons pour chaque couche une équation de la forme (7.46) :

En résolvant (7.51)-(7.53) les différences de température, puis en ajoutant terme par terme, nous obtenons

De (7.54) nous avons une expression calculée pour déterminer le flux de chaleur pour un mur à trois couches :

Généralisons la formule (7.55) à la paroi du tuyau en couche de U :
Où je- numéro de série de la couche.

De (7.51)-(7.53) on trouve une expression pour déterminer la température aux limites des couches intermédiaires :

Température? Art. +) à la frontière ? (G+ 1)ème couche peut être déterminée en utilisant une formule similaire

La littérature fournit des solutions à l'équation de chaleur différentielle pour une boule creuse dans des conditions aux limites du premier type, ainsi que des solutions pour tous les corps considérés dans des conditions aux limites du troisième type. Nous ne considérons pas ces problèmes. Les questions de conductivité thermique stationnaire dans les tiges (nervures) de sections constantes et variables, ainsi que les questions de conductivité thermique non stationnaire, sont également restées en dehors du cadre de notre cours.

Fixer les objectifs du TMO

Nous avons un volume qui est affecté par des charges thermiques, il faut déterminer la valeur numérique qV et sa répartition en volume.

Fig. 2 - Sources de friction externes et internes

1. Déterminez la géométrie du volume étudié dans n'importe quel système de coordonnées sélectionné.

2. Déterminer les caractéristiques physiques du volume étudié.

3. Déterminez les conditions qui lancent le processus TMT.

4. Clarifier les lois qui déterminent le transfert de chaleur dans le volume étudié.

5. Déterminer l'état thermique initial dans le volume étudié.

Problèmes résolus lors de l'analyse des déchets solides :

1. Tâches « directes » du TMO

Donné : 1,2,3,4,5

Déterminer : la répartition de la température dans l'espace et dans le temps (6 autres).

2. Problèmes TMT « inverses » (inverse) :

a) inverse frontière Tâches

Donné : 1,2,4,5,6

Définissez : 3 ;

b) inverse chances Tâches

Donné : 1,3,4,5,6

Définir : 2 ;

c) inverser rétrospective tâche

Donné : 1,2,3,4,6

Définir : 5.

3. Tâches « inductives » du TMO

Donné : 1,2,3,5,6

Définir : 4.

FORMES DE TRANSFERT DE CHALEUR ET PROCÉDÉS THERMIQUES

Il existe 3 formes de transfert de chaleur :

1) conductivité thermique dans les solides (déterminée par les microparticules et dans les métaux par les électrons libres) ;

2) convection (déterminée par les macroparticules du milieu en mouvement) ;

3) rayonnement thermique (déterminé par les ondes électromagnétiques).

Conductivité thermique des solides

Concepts généraux

Champ de température est un ensemble de valeurs de température dans le volume étudié, prises à un moment donné.

t(x, y, z, τ)- une fonction qui détermine le champ de température.

Il existe des champs de température stationnaires et non stationnaires :

Stationnaire - t(x,y,z);

non stationnaire - t(x, y, z, τ).

La condition de stationnarité est :

Prenons un certain corps et connectons des points avec des températures égales

Fig. 3-Gradient de température et flux de chaleur

diplômé t- gradient de température;

d'un autre côté: .

loi de Fourier - le flux thermique dans les solides est proportionnel au gradient de température, à la surface qu'il traverse et à l'intervalle de temps considéré.

Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de conductivité thermique λ , W/m·K.

montre que la chaleur se propage dans la direction opposée au vecteur gradient de température.

;

Pour une surface et un intervalle de temps infinitésimaux :

Équation de chaleur (équation de Fourier)

Considérons un volume infinitésimal : dv = dx dy dz

Fig. 4 - Etat thermique d'un volume infinitésimal

Nous avons une série de Taylor :

De même:

; ; .

Dans le cas général on a dans un cube qV. La conclusion est basée sur la loi généralisée de conservation de l'énergie :

.

D'après la loi de Fourier :

; ; .

Après transformations on a :

.

Pour un processus stationnaire :

La dimension spatiale des problèmes est déterminée par le nombre de directions dans lesquelles le transfert de chaleur se produit.

Problème unidimensionnel : ;

pour un processus stationnaire : ;

Pour :

Pour : ;

un- coefficient de diffusivité thermique, .Système cartésien ;

k = 1, ξ =x- système cylindrique;

k = 2, ξ =x- système sphérique.

Conditions d'unicité

Condition d'unicité – Ce sont des conditions qui permettent de sélectionner parmi l'ensemble des solutions réalisables celle qui correspond à la tâche à accomplir.

La résolution des problèmes de détermination du champ de température s'effectue sur la base de l'équation différentielle de conductivité thermique, dont les conclusions sont présentées dans la littérature spécialisée. Ce manuel fournit des options pour les équations différentielles sans conclusions.

Lors de la résolution de problèmes de conductivité thermique dans des fluides en mouvement qui caractérisent un champ de température tridimensionnel non stationnaire avec des sources de chaleur internes, l'équation est utilisée

L’équation (4.10) est une équation différentielle d’énergie dans un système de coordonnées cartésiennes (équation de Fourier  Kirchhoff). Sous cette forme, il est utilisé pour étudier le processus de conductivité thermique dans n'importe quel corps.

Si  x = y = z =0, c'est-à-dire qu'un corps solide est considéré, et en l'absence de sources de chaleur internes q v =0, alors l'équation énergétique (4.10) se transforme en équation de conduction thermique pour les solides (équation de Fourier)

(4.11)

La valeur C=a, m 2 sec dans l'équation (4.10) est appelée coefficient de diffusivité thermique, qui est un paramètre physique d'une substance qui caractérise le taux de changement de température dans le corps lors de processus instables.

Si le coefficient de conductivité thermique caractérise la capacité des corps à conduire la chaleur, alors le coefficient de diffusivité thermique est une mesure des propriétés d'inertie thermique du corps. De l'équation (4.10), il s'ensuit que le changement de température dans le temps t pour n'importe quel point de l'espace est proportionnel à la valeur « a », c'est-à-dire le taux de changement de température en tout point du corps sera plus grand, le plus le coefficient de conductivité thermique est élevé. Par conséquent, toutes choses étant égales par ailleurs, l’égalisation de la température en tous points de l’espace se produira plus rapidement dans le corps ayant un coefficient de diffusivité thermique élevé. Le coefficient de diffusivité thermique dépend de la nature de la substance. Par exemple, les liquides et les gaz ont une inertie thermique élevée et donc un faible coefficient de diffusivité thermique. Les métaux ont une faible inertie thermique, car ils ont un coefficient de diffusivité thermique élevé.

Pour désigner la somme des dérivées secondes par rapport aux coordonnées dans les équations (4.10) et (4.11), vous pouvez utiliser le symbole  2, l'opérateur dit de Laplace, puis dans le système de coordonnées cartésiennes

L'expression  2 t dans un système de coordonnées cylindriques a la forme

Pour un corps solide dans des conditions stationnaires avec une source de chaleur interne, l'équation (4.10) est transformée en équation de Poisson

(4.12)

Enfin, pour une conductivité thermique stationnaire et en l'absence de sources de chaleur internes, l'équation (4.10) prend la forme de l'équation de Laplace

(4.13)

Équation différentielle de conductivité thermique en coordonnées cylindriques avec une source de chaleur interne

(4.14)

4.2.6. Conditions d'unicité pour les processus de conduction thermique

L'équation différentielle de conductivité thermique étant dérivée des lois générales de la physique, elle caractérise le phénomène de conductivité thermique sous sa forme la plus générale. On peut donc dire que l’équation différentielle résultante caractérise toute une classe de phénomènes de conduction thermique. Afin de distinguer le processus spécifiquement considéré parmi un nombre incalculable et de donner sa description mathématique complète, il est nécessaire d'ajouter à l'équation différentielle une description mathématique de toutes les caractéristiques particulières du processus considéré. Ces caractéristiques particulières, qui, avec l'équation différentielle, fournissent une description mathématique complète d'un processus de conduction thermique spécifique, sont appelées unicité ou conditions aux limites, qui comprennent :

a) les conditions géométriques caractérisant la forme et la taille du corps dans lequel le processus se déroule ;

b) les conditions physiques caractérisant les propriétés physiques de l'environnement et du corps (, C z, , a, etc.) ;

c) conditions temporaires (initiales) caractérisant la répartition des températures dans le corps étudié à l'instant initial ;

d) les conditions aux limites caractérisant l'interaction du corps en question avec l'environnement.

Les conditions initiales sont nécessaires lorsqu'on considère des processus non stationnaires et consistent à préciser la loi de répartition de la température à l'intérieur du corps à l'instant initial. Dans le cas général, la condition initiale peut s’écrire analytiquement comme suit pour =0 :

t =  1 x, y, z. (4.15)

Dans le cas d'une répartition uniforme de la température dans le corps, la condition initiale est simplifiée : à =0 ; t=t 0 =idem.

Les conditions aux limites peuvent être spécifiées de plusieurs manières.

A. Conditions aux limites du premier type, spécifiant la répartition de la température à la surface du corps t c pour chaque instant :

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

Dans le cas particulier où la température en surface est constante pendant toute la durée des processus de transfert thermique, l'équation (4.16) est simplifiée et prend la forme t c = idem.

B. Conditions aux limites du deuxième type, spécifiant la valeur de la densité du flux thermique pour chaque point de la surface et à tout instant. Analytiquement, cela peut être représenté comme suit :

q n = x, y, z, , (4.17)

où q n  densité de flux thermique à la surface du corps.

Dans le cas le plus simple, la densité de flux thermique sur la surface et dans le temps reste constante q n = idem. Ce cas d'échange thermique se produit par exemple lors du chauffage de divers produits métalliques dans des fours à haute température.

B. Conditions aux limites du troisième type, précisant la température ambiante tf et la loi des échanges thermiques entre la surface du corps et l'environnement. La loi de Newton est utilisée pour décrire le processus d'échange thermique entre la surface d'un corps et l'environnement.

Selon la loi de Newton, la quantité de chaleur dégagée par une unité de surface d'un corps par unité de temps est proportionnelle à la différence de température du corps t c et de l'environnement t f

q = t c  t f . (4.18)

Le coefficient de transfert thermique caractérise l'intensité de l'échange thermique entre la surface du corps et l'environnement. Numériquement, elle est égale à la quantité de chaleur dégagée (ou perçue) par une unité de surface par unité de temps lorsque la différence de température entre la surface du corps et l'environnement est égale à un degré.

Selon la loi de conservation de l'énergie, la quantité de chaleur qui est évacuée d'une surface unitaire par unité de temps en raison du transfert de chaleur (4.18) doit être égale à la chaleur fournie à une surface unitaire par unité de temps en raison de la conductivité thermique de la volumes internes du corps (4.7), c'est-à-dire

, (4.19)

où n  normal à la surface du corps ; l'indice « C » indique que la température et le gradient se rapportent à la surface du corps (avec n=0).

Enfin, la condition aux limites du troisième type peut s’écrire

. (4.20)

L’équation (4.20), par essence, est une expression particulière de la loi de conservation de l’énergie à la surface d’un corps.

D. Conditions aux limites du quatrième type, caractérisant les conditions d'échange thermique entre un système de corps ou un corps avec l'environnement selon la loi de conductivité thermique. On suppose qu'il existe un contact parfait entre les corps (les températures des surfaces en contact sont les mêmes). Dans les conditions considérées, il existe une égalité des flux de chaleur traversant la surface de contact :

. (4.21)