Comment résoudre une équation quadratique en utilisant le discriminant et un quart du discriminant. Résolution d'équations quadratiques Résolution d'équations quadratiques
Juste. Selon des formules et des règles claires et simples. À la première étape
nécessaire équation donnée conduire à un formulaire standard, c'est-à-dire au formulaire :
Si l’équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n’avez pas besoin de faire la première étape. Le plus important est de bien faire les choses
déterminer tous les coefficients, UN, b Et c.
Formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.
L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant . Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, nous
nous utilisons seulement a, b et c. Ceux. coefficients de équation quadratique. Il suffit de le mettre soigneusement
valeurs a, b et c Nous calculons dans cette formule. Nous remplaçons par leur panneaux!
Par exemple, dans l'équation :
UN =1; b = 3; c = -4.
On substitue les valeurs et on écrit :
L'exemple est presque résolu :
C'est la réponse.
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes un B Et Avec. Ou plutôt, avec substitution
valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Un enregistrement détaillé de la formule vient à la rescousse ici
avec des numéros précis. Si vous avez des problèmes avec les calculs, faites-le !
Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :
Ici un = -6; b = -5; c = -1
Nous décrivons tout en détail, avec soin, sans rien manquer avec tous les signes et parenthèses :
Les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :
Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs.
Premier rendez-vous. Ne sois pas paresseux avant résoudre une équation quadratique mettez-le sous forme standard.
Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :
Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c.
Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:
Débarrassez-vous du moins. Comment? Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:
Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple.
Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.
Réception deuxième. Vérifiez les racines ! Par Théorème de Vieta.
Pour résoudre les équations quadratiques données, c'est-à-dire si le coefficient
x 2 +bx+c=0,
Alorsx 1 x 2 =c
x 1 + x 2 =−b
Pour une équation quadratique complète dans laquelle une≠1:
x2 +bx+c=0,
diviser l'équation entière par UN:
→ 
→
Où x1 Et X 2 - racines de l'équation.
Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multiplier
équation avec un dénominateur commun.
Conclusion. Conseils pratiques :
1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.
2. S'il y a un coefficient négatif devant le X au carré, on l'élimine en multipliant le tout
équations par -1.
3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le correspondant
facteur.
4. Si x au carré est pur, son coefficient égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par
Une équation quadratique est une équation qui ressemble à hache 2 + dx + c = 0. Cela a un sens une,c Et Avec tous les chiffres, et UN pas égal à zéro.
Toutes les équations quadratiques sont divisées en plusieurs types, à savoir :
Équations avec une seule racine.
-Équations avec deux racines différentes.
-Équations dans lesquelles il n'y a aucune racine.
Cela distingue les équations linéaires dans lesquelles la racine est toujours la même des équations carrées. Afin de comprendre combien de racines il y a dans l'expression, vous avez besoin Discriminant d'une équation quadratique.
Supposons notre équation ax 2 + dx + c =0. Moyens discriminant d'une équation quadratique -
D = b 2 - 4 ac
Et cela doit rester dans les mémoires pour toujours. En utilisant cette équation, nous déterminons le nombre de racines dans l’équation quadratique. Et nous procédons de cette façon :
Lorsque D est inférieur à zéro, il n’y a pas de racine dans l’équation.
- Lorsque D est nul, il n’y a qu’une seule racine.
- Lorsque D est supérieur à zéro, l'équation a deux racines.
N'oubliez pas que le discriminant montre combien de racines se trouvent dans l'équation sans changer les signes.
Considérons pour plus de clarté :
Nous devons découvrir combien de racines il y a dans cette équation quadratique.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Nous entrons les valeurs dans la première équation et trouvons le discriminant.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Le discriminant a un signe plus, ce qui signifie qu'il y a deux racines dans cette égalité.
On fait la même chose avec la deuxième équation
une = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
La valeur est négative, ce qui signifie qu’il n’y a pas de racines dans cette égalité.
Développons l'équation suivante par analogie.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
en conséquence, nous avons une racine dans l’équation.
Il est important que dans chaque équation nous écrivions les coefficients. Bien sûr, ce n'est pas grand-chose Processus long, mais cela nous a aidé à ne pas nous tromper et à éviter l'apparition d'erreurs. Si vous résolvez très souvent des équations similaires, vous pouvez alors effectuer les calculs mentalement et savoir à l'avance combien de racines l'équation a.
Regardons un autre exemple :
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Disons le premier
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, ce qui est supérieur à zéro, ce qui signifie deux racines, dérivons-les
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Nous posons le deuxième
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, qui est supérieur à zéro et a également deux racines. Affichons-les :
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Nous posons le troisième
une = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, qui est égal à zéro et a une racine
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Résoudre ces équations n’est pas difficile.
Si on nous donne une équation quadratique incomplète. Tel que
1x2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Ces équations diffèrent de celles ci-dessus, car elles ne sont pas complètes et ne contiennent pas de troisième valeur. Mais malgré cela, c'est plus simple qu'une équation quadratique complète et il n'est pas nécessaire d'y chercher un discriminant.
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et comment le résoudre.
Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?
Important!
Le degré d’une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l’inconnue.
Si la puissance maximale dans laquelle l’inconnue est « 2 », alors vous avez une équation quadratique.
- Exemples d'équations quadratiques
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
= 01 3 - −x 2 + x +
- x2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0
Important! La forme générale d'une équation quadratique ressemble à ceci :
« a », « b » et « c » reçoivent des numéros.- « a » est le premier ou le coefficient le plus élevé ;
- « b » est le deuxième coefficient ;
- «c» est un membre gratuit.
Pour trouver « a », « b » et « c », vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique « ax 2 + bx + c = 0 ».
Pratiquons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.
| L'équation | Chances | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- une = −1
- b = 1
- c =
1 3
- une = 1
- b = 0,25
- c = 0
- une = 1
- b = 0
- c = −8
Comment résoudre des équations quadratiques
Contrairement à équations linéaires pour résoudre des équations quadratiques, un spécial formule pour trouver des racines.
Souviens-toi!
Pour résoudre une équation quadratique, vous avez besoin de :
- amener l'équation quadratique à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ». Autrement dit, seul « 0 » doit rester sur le côté droit ;
- utiliser la formule pour les racines :
Regardons un exemple d'utilisation de la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons une équation quadratique.
X 2 − 3x − 4 = 0
L'équation « x 2 − 3x − 4 = 0 » a déjà été réduite à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 » et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.
Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
Il peut être utilisé pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.
Dans la formule « x 1;2 = », l'expression radicale est souvent remplacée
« b 2 − 4ac » pour la lettre « D » et est appelé discriminant. La notion de discriminant est abordée plus en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'un discriminant ».
Regardons un autre exemple d'équation quadratique.
x2 + 9 + x = 7x
Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients « a », « b » et « c ». Réduisons d'abord l'équation à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».
X2 + 9 +x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.
X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
X =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Réponse : x = 3
Il arrive parfois que les équations quadratiques n’aient pas de racines. Cette situation se produit lorsque la formule contient un nombre négatif sous la racine.
