Multiplication de décimales, règles, exemples, solutions. Multiplier des décimales Comment multiplier des décimales par colonne

Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle pour multiplier les décimales

1) Multipliez sans faire attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Exemples.

Trouvez le produit de fractions décimales :

Pour multiplier des fractions décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule décimale qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis. Dans le premier facteur, il y a un chiffre après la virgule, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux nombres après la virgule et nous obtenons ainsi la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

On multiplie les décimales sans tenir compte du point décimal. Autrement dit, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs réunis. Le premier nombre comporte deux chiffres après la virgule, le second en comporte un. Au total, on sépare trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro après la virgule à la fin de l'entrée, nous ne l'écrivons pas dans la réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, multiplions les nombres sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, vous devez séparer quatre chiffres après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23,15∙0,07=1,6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans prêter attention au point décimal, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Le résultat obtenu doit contenir le même nombre de signes après le point décimal que dans les deux facteurs réunis - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons à multiplier des fractions décimales en multipliant des nombres naturels, puisque nous ne faisons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales, le second en a également deux. Au total, le résultat doit être quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

Multiplier des décimales se déroule en trois étapes.

Les fractions décimales sont écrites dans une colonne et multipliées comme des nombres ordinaires.

On compte le nombre de décimales pour la première fraction décimale et la seconde. Nous additionnons leur nombre.

Dans le résultat obtenu, nous comptons de droite à gauche le même nombre de nombres que celui obtenu dans le paragraphe ci-dessus et mettons une virgule.

Comment multiplier des décimales

Nous écrivons les fractions décimales dans une colonne et les multiplions sous forme de nombres naturels, en ignorant les virgules. Autrement dit, nous considérons 3,11 comme 311 et 0,01 comme 1.

Nous en avons reçu 311. Maintenant, nous comptons le nombre de signes (chiffres) après la virgule pour les deux fractions. La première décimale comporte deux chiffres et la seconde, deux. Nombre total de décimales :

On compte de droite à gauche 4 signes (chiffres) du nombre obtenu. Le résultat obtenu contient moins de nombres qu’il n’est nécessaire de les séparer par une virgule. Dans ce cas, vous avez besoin gauche ajoutez le nombre de zéros manquant.

Il nous manque un chiffre, nous ajoutons donc un zéro à gauche.

Lors de la multiplication d'une fraction décimale le 10 ; 100 ; 1000, etc Le point décimal se déplace vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros après celui.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 · 1 000 = 5 600

Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la gauche d'autant de places qu'il y a de zéros avant celui.

On compte zéro entier !

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle pour multiplier les décimales

1) Multipliez sans faire attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Trouvez le produit de fractions décimales :

Pour multiplier des fractions décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule décimale qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis. Dans le premier facteur, il y a un chiffre après la virgule, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux nombres après la virgule et nous obtenons ainsi la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

On multiplie les décimales sans tenir compte du point décimal. Autrement dit, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs réunis. Le premier nombre comporte deux chiffres après la virgule, le second en comporte un. Au total, on sépare trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro après la virgule à la fin de l'entrée, nous ne l'écrivons pas dans la réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, multiplions les nombres sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, vous devez séparer quatre chiffres après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23,15∙0,07=1,6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans prêter attention à la virgule, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Le résultat obtenu doit contenir le même nombre de signes après la virgule décimale que dans les deux facteurs réunis - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons à multiplier des fractions décimales en multipliant des nombres naturels, puisque nous ne faisons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales, le second en a également deux. Au total, le résultat doit être quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

Et quelques autres exemples de multiplication de fractions décimales :

www.for6cl.uznateshe.ru

Multiplication de décimales, règles, exemples, solutions.

Passons à l'étude Prochaine action avec les fractions décimales, nous allons maintenant jeter un œil complet multiplier des décimales. Tout d’abord, discutons des principes généraux de la multiplication des nombres décimaux. Après cela, nous passerons à la multiplication d'une fraction décimale par une fraction décimale, nous montrerons comment multiplier des fractions décimales par une colonne et nous examinerons des solutions à des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier des fractions décimales par des nombres naturels, notamment par 10, 100, etc. Enfin, parlons de la multiplication de nombres décimaux par des fractions et des nombres fractionnaires.

Disons tout de suite que dans cet article nous ne parlerons que de la multiplication de fractions décimales positives (voir positives et nombres négatifs). Les cas restants sont discutés dans les articles multiplication des nombres rationnels et multiplier des nombres réels.

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Principes généraux de multiplication de décimales

Discutons des principes généraux à suivre lors de la multiplication avec des décimales.

Puisque les décimales finies et les fractions périodiques infinies sont la forme décimale des fractions communes, multiplier ces décimales revient essentiellement à multiplier des fractions communes. Autrement dit, multiplier des nombres décimaux finis, multiplier des fractions décimales finies et périodiques, et multiplier des décimales périodiques revient à multiplier des fractions ordinaires après avoir converti les fractions décimales en fractions ordinaires.

Regardons des exemples d'application du principe énoncé de multiplication de fractions décimales.

Multipliez les décimales par 1,5 et 0,75.

Remplaçons les fractions décimales multipliées par les fractions ordinaires correspondantes. Puisque 1,5=15/10 et 0,75=75/100, alors. Vous pouvez réduire une fraction, puis sélectionner la partie entière de la fraction impropre, ou plus commodément celle résultante. fraction communeÉcrivez 1 125/1 000 sous forme de fraction décimale 1,125.

Il est à noter qu'il est pratique de multiplier les fractions décimales finales dans une colonne ; nous parlerons de cette méthode de multiplication des fractions décimales dans le paragraphe suivant.

Regardons un exemple de multiplication de fractions décimales périodiques.

Calculez le produit des fractions décimales périodiques 0,(3) et 2,(36) .

Convertissons les fractions décimales périodiques en fractions ordinaires :

Alors. Vous pouvez convertir la fraction ordinaire résultante en fraction décimale :


Si parmi les fractions décimales multipliées, il y en a une infinie non périodique, alors toutes les fractions multipliées, y compris les fractions finies et périodiques, doivent être arrondies à un certain chiffre (voir nombres arrondis), puis multipliez les fractions décimales finales obtenues après arrondi.

Multipliez les décimales 5,382... et 0,2.

Tout d'abord, arrondissons une fraction décimale non périodique infinie, l'arrondi peut être fait au centième, nous avons 5,382...≈5,38. La fraction décimale finale 0,2 n'a pas besoin d'être arrondie au centième le plus proche. Ainsi, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Il reste à calculer le produit des fractions décimales finales : 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076.

Multiplier des fractions décimales par colonne

La multiplication de fractions décimales finies peut être effectuée dans une colonne, de la même manière que la multiplication de nombres naturels dans une colonne.

Formulons règle pour multiplier les fractions décimales par colonne. Pour multiplier des fractions décimales par colonne, vous devez :

• sans faire attention aux virgules, effectuez la multiplication selon toutes les règles de multiplication avec une colonne de nombres naturels ;
• dans le nombre obtenu, séparez par un point décimal autant de chiffres à droite qu'il y a de décimales dans les deux facteurs ensemble, et s'il n'y a pas assez de chiffres dans le produit, alors le nombre requis de zéros doit être ajouté à gauche.

Regardons des exemples de multiplication de fractions décimales par colonnes.

Multipliez les décimales 63,37 et 0,12.

Multiplions les fractions décimales dans une colonne. Tout d'abord, nous multiplions les nombres, en ignorant les virgules :


Il ne reste plus qu'à ajouter une virgule au produit résultant. Elle doit séparer 4 chiffres vers la droite car les facteurs ont un total de quatre décimales (deux dans la fraction 3,37 et deux dans la fraction 0,12). Il y a suffisamment de chiffres pour que vous n’ayez pas besoin d’ajouter des zéros à gauche. Terminons l'enregistrement :


En conséquence, nous avons 3,37·0,12=7,6044.

Calculez le produit des décimales 3,2601 et 0,0254.

Après avoir effectué une multiplication dans une colonne sans tenir compte des virgules, nous obtenons l'image suivante :


Maintenant, dans le produit, vous devez séparer les 8 chiffres de droite par une virgule, car le nombre total de décimales des fractions multipliées est de huit. Mais il n'y a que 7 chiffres dans le produit, vous devez donc ajouter autant de zéros à gauche pour pouvoir séparer 8 chiffres par une virgule. Dans notre cas, nous devons attribuer deux zéros :


Ceci termine la multiplication des fractions décimales par colonne.

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01, etc.

Très souvent, vous devez multiplier des fractions décimales par 0,1, 0,01, etc. Par conséquent, il est conseillé de formuler une règle pour multiplier une fraction décimale par ces nombres, qui découle des principes de multiplication des fractions décimales évoqués ci-dessus.

Donc, multiplier une décimale donnée par 0,1, 0,01, 0,001, et ainsi de suite donne une fraction obtenue à partir de l'original si dans sa notation la virgule est déplacée vers la gauche de 1, 2, 3 et ainsi de suite chiffres, respectivement, et s'il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule, alors vous devez ajoutez le nombre requis de zéros à gauche.

Par exemple, pour multiplier la fraction décimale 54,34 par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale de la fraction 54,34 vers la gauche d'un chiffre, ce qui vous donnera la fraction 5,434, c'est-à-dire 54,34·0,1=5,434. Donnons un autre exemple. Multipliez la fraction décimale 9,3 par 0,0001. Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la gauche dans la fraction décimale multipliée 9,3, mais la notation de la fraction 9,3 ne contient pas autant de chiffres. Par conséquent, nous devons attribuer autant de zéros à gauche de la fraction 9,3 afin de pouvoir facilement déplacer la virgule décimale sur 4 chiffres, nous avons 9,3·0,0001=0,00093.

Notez que la règle indiquée pour multiplier une fraction décimale par 0,1, 0,01, ... est également valable pour les fractions décimales infinies. Par exemple, 0.(18)·0.01=0.00(18) ou 93.938…·0.1=9.3938… .

Multiplier un nombre décimal par un nombre naturel

En son coeur multiplier des nombres décimaux par des nombres naturels ce n'est pas différent de multiplier une décimale par une décimale.

Il est plus pratique de multiplier une fraction décimale finale par un nombre naturel dans une colonne ; dans ce cas, vous devez respecter les règles de multiplication des fractions décimales dans une colonne, abordées dans l'un des paragraphes précédents.

Calculez le produit 15·2.27.

Multiplions un nombre naturel par une fraction décimale dans une colonne :


Lors de la multiplication d'une fraction décimale périodique par un nombre naturel, la fraction périodique doit être remplacée par une fraction ordinaire.

Multipliez la fraction décimale 0.(42) par l'entier naturel 22.

Tout d’abord, convertissons la fraction décimale périodique en une fraction ordinaire :

Faisons maintenant la multiplication : . Ce résultat sous forme décimale est 9,(3) .

Et lorsque vous multipliez une fraction décimale non périodique infinie par un nombre naturel, vous devez d'abord effectuer un arrondi.

Multipliez 4·2,145….

Après avoir arrondi la fraction décimale infinie originale aux centièmes, nous arrivons à la multiplication d'un nombre naturel et d'une fraction décimale finale. Nous avons 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Multiplier un nombre décimal par 10, 100, ...

Assez souvent, il faut multiplier des fractions décimales par 10, 100, ... Il est donc conseillé de s'attarder sur ces cas en détail.

Exprimons-le règle pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc. Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, ... dans sa notation, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite jusqu'à 1, 2, 3, ... chiffres, respectivement, et supprimer les zéros supplémentaires à gauche ; si la notation de la fraction multipliée ne comporte pas suffisamment de chiffres pour déplacer la virgule décimale, vous devez alors ajouter le nombre requis de zéros vers la droite.

Multipliez la fraction décimale 0,0783 par 100.

Déplaçons la fraction 0,0783 de deux chiffres vers la droite et nous obtenons 007,83. En supprimant les deux zéros à gauche, on obtient la fraction décimale 7,38. Ainsi, 0,0783·100=7,83.

Multipliez la fraction décimale 0,02 par 10 000.

Pour multiplier 0,02 par 10 000, nous devons déplacer la virgule décimale de 4 chiffres vers la droite. Évidemment, dans la fraction 0,02, il n'y a pas assez de chiffres pour déplacer la virgule décimale de 4 chiffres, nous allons donc ajouter quelques zéros à droite pour que la virgule décimale puisse être déplacée. Dans notre exemple, il suffit d'ajouter trois zéros, nous avons 0,02000. Après avoir déplacé la virgule, nous obtenons l'entrée 00200.0. En ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 200,0, qui est égal à l’entier naturel 200, qui est le résultat de la multiplication de la fraction décimale 0,02 par 10 000.

La règle indiquée est également vraie pour multiplier des fractions décimales infinies par 10, 100, ... Lorsque vous multipliez des fractions décimales périodiques, vous devez faire attention à la période de la fraction qui est le résultat de la multiplication.

Multipliez la fraction décimale périodique 5,32 (672) par 1 000.

Avant de multiplier, écrivons la fraction décimale périodique sous la forme 5,32672672672..., cela nous permettra d'éviter les erreurs. Déplacez maintenant la virgule vers la droite de 3 places, nous avons 5 326.726726…. Ainsi, après multiplication, la fraction décimale périodique 5 326,(726) est obtenue.

5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

Lorsque vous multipliez des fractions infinies non périodiques par 10, 100, ..., vous devez d'abord arrondir la fraction infinie à un certain chiffre, puis effectuer la multiplication.

Multiplier un nombre décimal par une fraction ou un nombre fractionnaire

Pour multiplier une fraction décimale finie ou une fraction décimale périodique infinie par une fraction commune ou un nombre fractionnaire, vous devez représenter la fraction décimale comme une fraction commune, puis effectuer la multiplication.

Multipliez la fraction décimale 0,4 par un nombre fractionnaire.

Puisque 0,4=4/10=2/5 et puis. Le nombre résultant peut être écrit sous forme de fraction décimale périodique 1,5(3).

Lorsque vous multipliez une fraction décimale non périodique infinie par une fraction ou un nombre fractionnaire, remplacez la fraction ou le nombre fractionnaire par une fraction décimale, puis arrondissez les fractions multipliées et terminez le calcul.

Puisque 2/3=0,6666..., alors. Après avoir arrondi les fractions multipliées aux millièmes, on arrive au produit de deux fractions décimales finales 3,568 et 0,667. Faisons une multiplication en colonnes :


Le résultat obtenu doit être arrondi au millième le plus proche, puisque les fractions multipliées ont été prises au millième près, nous avons 2,379856≈2,380.

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29. Multiplier des décimales. Règles




Trouver l'aire d'un rectangle de côtés égaux
1,4 dm et 0,3 dm. Convertissons les décimètres en centimètres :

1,4 millimètres = 14 cm ; 0,3 dm = 3 cm.

Calculons maintenant la superficie en centimètres.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Convertir des centimètres carrés en centimètres carrés
décimètres :

ré m 2 = 0,42 ré m 2.

Cela signifie S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

La multiplication de deux fractions décimales se fait comme ceci :
1) les nombres sont multipliés sans tenir compte des virgules.
2) la virgule dans le produit est placée de manière à la séparer à droite
le même nombre de signes qui sont séparés dans les deux facteurs
combiné. Par exemple:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Exemples de multiplication de fractions décimales dans une colonne :



Au lieu de multiplier n’importe quel nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
vous pouvez diviser ce nombre par 10 ; 100 ; ou 1000 respectivement.
Par exemple:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Lorsqu’on multiplie une fraction décimale par un nombre naturel, il faut :

1) multiplier les nombres sans faire attention à la virgule ;

2) dans le produit obtenu, placez une virgule de sorte qu'à droite
elle avait le même nombre de chiffres qu’une fraction décimale.

Trouvons le produit 3.12 10. Selon la règle ci-dessus
Nous multiplions d’abord 312 par 10. On obtient : 312 10 = 3120.
Maintenant, nous séparons les deux chiffres de droite par une virgule et obtenons :

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Cela signifie qu'en multipliant 3,12 par 10, nous avons déplacé la virgule décimale d'une
numéro à droite. Si on multiplie 3,12 par 100, on obtient 312, soit
La virgule a été déplacée de deux chiffres vers la droite.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, 1000, etc., vous devez
dans cette fraction déplacer la virgule vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros
vaut le multiplicateur. Par exemple:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Problèmes sur le thème «Multiplication de décimales»

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Additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres décimaux

L'ajout et la soustraction de nombres décimaux sont similaires à l'ajout et à la soustraction de nombres naturels, mais sous certaines conditions.

Règle. est effectué selon les chiffres des parties entières et fractionnaires sous forme de nombres naturels.

En cours d'écriture ajouter et soustraire des décimales la virgule séparant la partie entière de la partie fractionnaire doit être située aux additions et à la somme ou à la fin, à la sous-transcription et à la différence dans une colonne (une virgule sous la virgule depuis l'écriture de la condition jusqu'à la fin du calcul).

Additionner et soustraire des décimalesà la ligne :

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Additionner et soustraire des décimales dans une colonne :

L'ajout de décimales nécessite une ligne supérieure supplémentaire pour enregistrer les nombres lorsque la somme des valeurs de position dépasse dix. La soustraction de décimales nécessite une ligne supérieure supplémentaire pour marquer l'endroit où le 1 est emprunté.

S'il n'y a pas assez de chiffres de la partie fractionnaire à droite de l'addition ou du minuend, alors à droite dans la partie fractionnaire, vous pouvez ajouter autant de zéros (augmenter le chiffre de la partie fractionnaire) qu'il y a de chiffres dans l'autre addition. ou le menu.

Multiplier des décimales s'effectue de la même manière que la multiplication d'entiers naturels, selon les mêmes règles, mais dans le produit une virgule est placée en fonction de la somme des chiffres des facteurs de la partie fractionnaire, en comptant de droite à gauche (la somme des chiffres des multiplicateurs est le nombre de chiffres après la virgule des facteurs pris ensemble).

À multiplier des décimales dans une colonne, le premier chiffre significatif à droite est signé sous le premier chiffre significatif à droite, comme dans les nombres naturels :

Enregistrer multiplier des décimales dans une colonne :

Enregistrer division des décimales dans une colonne :

Les caractères soulignés sont les caractères suivis d'une virgule car le diviseur doit être un nombre entier.

Règle. À diviser des fractions Le diviseur décimal est augmenté d'autant de chiffres qu'il y a de chiffres dans la partie fractionnaire. Pour garantir que la fraction ne change pas, le dividende est augmenté du même nombre de chiffres (dans le dividende et le diviseur, la virgule décimale est déplacée vers le même nombre de chiffres). Une virgule est placée dans le quotient à ce stade de la division où toute la partie de la fraction est divisée.

Pour les fractions décimales, comme pour les nombres naturels, la règle reste : Vous ne pouvez pas diviser une fraction décimale par zéro !

Vous savez déjà qu'un * 10 = une + une + une + une + une + une + une + une + une + une. Par exemple, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Il est facile de deviner que cette somme est égale à 2, soit 0,2 * 10 = 2.

De même, vous pouvez vérifier que :

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Vous avez probablement deviné que lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la droite d'un chiffre.

Comment multiplier une fraction décimale par 100 ?

On a : a * 100 = a * 10 * 10. Alors:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

En raisonnant de la même manière, on obtient ceci :

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Multipliez la fraction 7,1212 par le nombre 1 000.

Nous avons : 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.

Ces exemples illustrent la règle suivante.

Pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la droite de 1, 2, 3, etc., respectivement. Nombres.

Donc, si la virgule est déplacée vers la droite de 1, 2, 3, etc. nombres, alors la fraction augmentera en conséquence de 10, 100, 1 000, etc. une fois.

Ainsi, si la virgule est déplacée vers la gauche de 1, 2, 3, etc. nombres, alors la fraction diminuera en conséquence de 10, 100, 1 000, etc. une fois .

Montrons que la forme décimale d'écriture des fractions permet de les multiplier, guidée par la règle de multiplication des nombres naturels.

Trouvons, par exemple, le produit 3,4 * 1,23. Augmentons le premier facteur de 10 fois et le second de 100 fois. Cela signifie que nous avons multiplié par 1 000 le produit.

Le produit des nombres naturels 34 et 123 est donc 1 000 fois supérieur au produit souhaité.

On a : 34 * 123 = 4182. Ensuite, pour obtenir la réponse, vous devez réduire le nombre 4 182 de 1 000 fois. Écrivons : 4 182 = 4 182,0. En déplaçant la virgule décimale du nombre 4 182,0 de trois chiffres vers la gauche, nous obtenons le nombre 4,182, qui est 1 000 fois plus petit que le nombre 4 182. Donc 3,4 * 1,23 = 4,182.

Le même résultat peut être obtenu en utilisant la règle suivante.

Pour multiplier deux fractions décimales :

1) multipliez-les comme des nombres naturels, en ignorant les virgules ;

2) dans le produit obtenu, séparez par une virgule à droite autant de chiffres qu'il y a après les virgules dans les deux facteurs réunis.

Dans les cas où le produit contient moins de chiffres que le nombre requis pour être séparés par une virgule, le nombre requis de zéros est ajouté à gauche avant le produit, puis la virgule est déplacée vers la gauche du nombre de chiffres requis.

Par exemple, 2 * 3 = 6, puis 0,2 * 3 = 0,006 ; 25 * 33 = 825, puis 0,025 * 0,33 = 0,00825.

Dans les cas où l'un des multiplicateurs est de 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., il est pratique d’utiliser la règle suivante.

Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la gauche, respectivement, vers 1, 2, 3, etc. Nombres.

Par exemple, 1,58 * 0,1 = 0,158 ; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Les propriétés de multiplication des nombres naturels s'appliquent également aux nombres fractionnaires :

ab = ba est la propriété commutative de la multiplication,

(ab) с = a(b с) – propriété associative de multiplication,

a(b + c) = ab + ac est la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition.

§ 1 Application de la règle de multiplication des fractions décimales

Dans cette leçon, vous vous familiariserez avec et apprendrez à appliquer la règle de multiplication des décimales et la règle de multiplication d'une décimale par une unité de valeur de position telle que 0,1, 0,01, etc. De plus, nous examinerons les propriétés de la multiplication lors de la recherche des valeurs d'expressions contenant des décimales.

Résolvons le problème :

La vitesse du véhicule est de 59,8 km/h.

Quelle distance la voiture parcourra-t-elle en 1,3 heure ?

Comme vous le savez, pour trouver un chemin, il faut multiplier la vitesse par le temps, c'est-à-dire 59,8 fois 1,3.

Écrivons les nombres dans une colonne et commençons à les multiplier, sans faire attention aux virgules : 8 multiplié par 3, cela devient 24, 4 on écrit 2 dans notre tête, 3 multiplié par 9 fait 27, plus plus 2, on obtient 29, on écrivez 9, 2 dans nos têtes. Maintenant, nous multiplions 3 par 5, cela devient 15 et ajoutons 2, nous obtenons 17.

Passons à la deuxième ligne : 1 multiplié par 8, on obtient 8, 1 multiplié par 9, on obtient 9, 1 multiplié par 5, on obtient 5, additionnons ces deux lignes, on obtient 4, 9+8 égale 17, 7 on écrit 1 dans notre tête, 7 +9 fait 16 et 1 de plus, ce sera 17, 7 on écrit 1 dans sa tête, 1+5 et 1 de plus on obtient 7.

Voyons maintenant combien de décimales il y a dans les deux fractions décimales ! La première fraction a un chiffre après la virgule décimale et la deuxième fraction a un chiffre après la virgule décimale, soit seulement deux chiffres. Cela signifie que sur le côté droit du résultat, vous devez compter deux chiffres et mettre une virgule, c'est-à-dire sera 77,74. Ainsi, en multipliant 59,8 par 1,3, nous obtenons 77,74. Cela signifie que la réponse au problème est 77,74 km.

Ainsi, pour multiplier deux fractions décimales il vous faut :

Premièrement : faites la multiplication sans faire attention aux virgules

Deuxièmement : dans le produit obtenu, séparez par une virgule autant de chiffres à droite qu'il y a après la virgule décimale dans les deux facteurs réunis.

S'il y a moins de chiffres dans le produit résultant qu'il ne faut séparer par une virgule, alors un ou plusieurs zéros doivent être ajoutés devant.

Par exemple : 0,145 multiplié par 0,03 dans notre produit, nous obtenons 435, et une virgule doit séparer 5 chiffres vers la droite, nous ajoutons donc 2 zéros supplémentaires devant le chiffre 4, mettons une virgule et ajoutons un autre zéro. Nous obtenons la réponse 0,00435.

§ 2 Propriétés de la multiplication des fractions décimales

Lors de la multiplication de fractions décimales, toutes les mêmes propriétés de multiplication qui s'appliquent aux nombres naturels sont préservées. Terminons quelques tâches.

Tâche n°1 :

Résolvons cet exemple en appliquant la propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition.

Retirons 5,7 (facteur commun) des parenthèses, laissant 3,4 plus 0,6 entre parenthèses. La valeur de cette somme est 4, et maintenant 4 doit être multiplié par 5,7, on obtient 22,8.

Tâche n°2 :

Appliquons la propriété commutative de multiplication.

Nous multiplions d’abord 2,5 par 4, nous obtenons 10 nombres entiers, et maintenant nous devons multiplier 10 par 32,9 et nous obtenons 329.

De plus, lors de la multiplication de fractions décimales, vous pouvez remarquer ce qui suit :

Lors de la multiplication d'un nombre par une fraction décimale impropre, c'est-à-dire supérieur ou égal à 1, il augmente ou ne change pas, par exemple :

Lors de la multiplication d'un nombre par une fraction décimale appropriée, c'est-à-dire inférieur à 1, il diminue, par exemple :

Résolvons un exemple :

23,45 multiplié par 0,1.

Il faut multiplier 2,345 par 1 et séparer trois virgules vers la droite, on obtient 2,345.

Résolvons maintenant un autre exemple : 23,45 divisé par 10, nous devons déplacer la décimale d'une place vers la gauche car il y a 1 zéro dans l'unité numérique, nous obtenons 2,345.

De ces deux exemples on peut conclure que multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01, 0,001, etc. signifie diviser le nombre par 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire Dans une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros avant le 1 dans le facteur.

A l'aide de la règle résultante, on retrouve les valeurs des produits :

13,45 fois 0,01

il y a 2 zéros devant le chiffre 1, donc déplacez la virgule décimale de 2 places vers la gauche, nous obtenons 0,1345.

0,02 fois 0,001

Il y a 3 zéros devant le chiffre 1, ce qui signifie qu'on déplace la virgule de trois places vers la gauche, on obtient 0,00002.

Ainsi, dans cette leçon, vous avez appris à multiplier des fractions décimales. Pour ce faire, il vous suffit d'effectuer la multiplication, sans faire attention aux virgules, et dans le produit obtenu, de séparer par une virgule autant de chiffres à droite qu'il y a après la virgule décimale dans les deux facteurs réunis. De plus, nous nous sommes familiarisés avec la règle de multiplication d'une fraction décimale par 0,1, 0,01, etc., et avons également examiné les propriétés de multiplication de fractions décimales.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques 5ème année. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I. et autres, 31e éd., effacé. - M : 2013.
2. Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteur - Popov M.A. - année 2013
3. Nous calculons sans erreurs. Travaillez avec l'autotest dans les classes de mathématiques 5-6. Auteur - Minaeva S.S. - année 2014
4. Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteurs : Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Tests et travaux indépendants en mathématiques 5e année. Auteurs - Popov M.A. - année 2012
6. Mathématiques. 5e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2009

Dans ce tutoriel, nous examinerons chacune de ces opérations séparément.

Contenu de la leçon

Ajouter des décimales

Comme nous le savons, une fraction décimale est constituée d’un nombre entier et d’une partie fractionnaire. Lors de l'ajout de décimales, les parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément.

Par exemple, additionnons les fractions décimales 3,2 et 5,3. Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne.

Écrivons d'abord ces deux fractions dans une colonne, les parties entières étant nécessairement sous les entiers, et les parties fractionnaires sous les fractions. À l'école, cette exigence s'appelle "virgule sous virgule" .

Écrivons les fractions dans une colonne pour que la virgule soit sous la virgule :

On additionne les parties fractionnaires : 2 + 3 = 5. On écrit les cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous additionnons les parties entières : 3 + 5 = 8. Nous écrivons un huit dans toute la partie de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle "virgule sous virgule" :

Nous avons reçu une réponse de 8,5. Cela signifie que l'expression 3,2 + 5,3 est égale à 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

En fait, tout n’est pas aussi simple qu’il y paraît à première vue. Il y a aussi des pièges ici, dont nous parlerons maintenant.

Places en décimales

Les fractions décimales, comme les nombres ordinaires, ont leurs propres chiffres. Ce sont des places de dixièmes, des places de centièmes, des places de millièmes. Dans ce cas, les chiffres commencent après la virgule.

Le premier chiffre après la virgule est responsable de la position des dixièmes, le deuxième chiffre après la virgule est responsable de la position des centièmes et le troisième chiffre après la virgule est responsable de la position des millièmes.

Les décimales contiennent des informations utiles. Plus précisément, ils vous indiquent combien de dixièmes, centièmes et millièmes il y a dans une décimale.

Par exemple, considérons la fraction décimale 0,345

La position où se trouvent les trois est appelée dixième place

La position où se trouve le quatre est appelée place des centièmes

La position où se trouve le cinq s'appelle millième place

Regardons ce dessin. On voit qu'il y a un trois à la dixième place. Cela signifie qu'il y a trois dixièmes dans la fraction décimale 0,345.

Si nous additionnons les fractions, nous obtenons la fraction décimale originale 0,345

Au début, nous avons eu la réponse, mais nous l'avons convertie en fraction décimale et avons obtenu 0,345.

Lors de l'ajout de fractions décimales, les mêmes règles s'appliquent que lors de l'ajout de nombres ordinaires. L'addition des fractions décimales s'effectue en chiffres : les dixièmes s'ajoutent aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Par conséquent, lors de l'ajout de fractions décimales, vous devez suivre la règle "virgule sous virgule". La virgule sous la virgule indique l'ordre même dans lequel les dixièmes sont ajoutés aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 1,5 + 3,4

Tout d'abord, on additionne les parties fractionnaires 5 + 4 = 9. Nous écrivons neuf dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 1 + 3 = 4. Nous écrivons les quatre dans la partie entière de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle de la « virgule sous virgule » :

Nous avons reçu une réponse de 4,9. Cela signifie que la valeur de l'expression 1,5 + 3,4 est 4,9

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression : 3,51 + 1,22

Nous écrivons cette expression dans une colonne en respectant la règle de la « virgule sous virgule ».

Tout d’abord, on additionne la partie fractionnaire, à savoir les centièmes de 1+2=3. Nous écrivons un triplet dans la centième partie de notre réponse :

Ajoutez maintenant les dixièmes 5+2=7. Nous écrivons un sept dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 3+1=4. Nous écrivons les quatre dans toute la partie de notre réponse :

On sépare la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule, en respectant la règle « virgule sous virgule » :

La réponse que nous avons reçue était 4,73. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,51 + 1,22 est égale à 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Comme pour les nombres normaux, lors de l'ajout de décimales, . Dans ce cas, un chiffre est écrit dans la réponse et le reste est transféré au chiffre suivant.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 2,65 + 3,27

On écrit cette expression dans la colonne :

Additionnez les centièmes 5+7=12. Le nombre 12 ne rentrera pas dans la centième partie de notre réponse. Par conséquent, dans la centième partie, nous écrivons le nombre 2 et déplaçons l'unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous ajoutons les dixièmes de 6+2=8 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 9. Nous écrivons le nombre 9 dans le dixième de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 2+3=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la partie entière de notre réponse :

La réponse que nous avons reçue était 5,92. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,65 + 3,27 est égale à 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 9,5 + 2,8

Nous écrivons cette expression dans la colonne

Nous additionnons les parties fractionnaires 5 + 8 = 13. Le nombre 13 ne rentrera pas dans la partie fractionnaire de notre réponse, nous écrivons donc d'abord le nombre 3 et déplaçons l'unité au chiffre suivant, ou plutôt, la transférons au partie entière :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 9+2=11 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 12. Nous écrivons le nombre 12 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu la réponse 12.3. Cela signifie que la valeur de l'expression 9,5 + 2,8 est 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Lors de l'ajout de décimales, le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions doit être le même. S'il n'y a pas assez de nombres, ces emplacements dans la partie fractionnaire sont remplis de zéros.

Exemple 5. Trouvez la valeur de l'expression : 12,725 + 1,7

Avant d’écrire cette expression dans une colonne, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions soit identique. La fraction décimale 12,725 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 1,7 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 1,7, vous devez ajouter deux zéros à la fin. On obtient alors la fraction 1,700. Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et commencer à calculer :

Additionnez les millièmes 5+0=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la millième partie de notre réponse :

Additionnez les centièmes 2+0=2. Nous écrivons le chiffre 2 dans la centième partie de notre réponse :

Additionnez les dixièmes 7+7=14. Le nombre 14 ne rentrera pas dans un dixième de notre réponse. Par conséquent, nous écrivons d’abord le nombre 4 et déplaçons l’unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 12+1=13 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 14. Nous écrivons le nombre 14 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 14 425 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 12,725+1,700 est 14,425.

12,725+ 1,700 = 14,425

Soustraire des décimales

Lors de la soustraction de fractions décimales, vous devez suivre les mêmes règles que lors de l'ajout : « virgule sous la virgule décimale » et « un nombre égal de chiffres après la virgule décimale ».

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 − 2,2

On écrit cette expression dans une colonne, en respectant la règle de la « virgule sous virgule » :

On calcule la partie fractionnaire 5−2=3. Nous écrivons le chiffre 3 dans la dixième partie de notre réponse :

On calcule la partie entière 2−2=0. Nous écrivons zéro dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,3. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,5 − 2,2 est égale à 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 7,353 - 3,1

Cette expression comporte un nombre différent de décimales. La fraction 7,353 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 3,1 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 3.1, vous devez ajouter deux zéros à la fin pour que le nombre de chiffres dans les deux fractions soit le même. Ensuite, nous obtenons 3 100.

Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et la calculer :

Nous avons reçu une réponse de 4 253 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 7,353 − 3,1 est égale à 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Comme pour les nombres ordinaires, vous devrez parfois en emprunter un à un chiffre adjacent si la soustraction devient impossible.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 3,46 − 2,39

Soustrayez les centièmes de 6−9. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 9 du nombre 6. Par conséquent, vous devez en emprunter un au chiffre adjacent. En empruntant un au chiffre adjacent, le nombre 6 se transforme en nombre 16. Vous pouvez maintenant calculer les centièmes de 16−9=7. Nous écrivons un sept dans la centième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes. Puisque nous avons pris une unité à la dixième place, le chiffre qui s'y trouvait a diminué d'une unité. Autrement dit, à la dixième place se trouve désormais non plus le nombre 4, mais le nombre 3. Calculons les dixièmes de 3−3=0. Nous écrivons zéro dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les parties entières 3−2=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 1,07. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,46−2,39 est égale à 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 3−1.2

Cet exemple soustrait une décimale d’un nombre entier. Écrivons cette expression dans une colonne pour que toute la partie de la fraction décimale 1,23 soit sous le chiffre 3

Maintenant, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit identique. Pour ce faire, après le chiffre 3 on met une virgule et on ajoute un zéro :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes : 0−2. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 2 de zéro, vous devez donc en emprunter un au chiffre adjacent. Après avoir emprunté un au chiffre voisin, 0 se transforme en nombre 10. Vous pouvez maintenant calculer les dixièmes de 10−2=8. Nous écrivons un huit dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons toutes les parties. Auparavant, le numéro 3 était situé dans l'ensemble, mais nous en avons retiré une unité. En conséquence, il est devenu le nombre 2. Par conséquent, de 2 nous soustrayons 1. 2−1=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

La réponse que nous avons reçue était 1,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 3−1,2 est 1,8

Multiplier des décimales

Multiplier des décimales est simple et même amusant. Pour multiplier des nombres décimaux, vous les multipliez comme des nombres réguliers, en ignorant les virgules.

Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 × 1,5

Multiplions ces fractions décimales comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules. Pour ignorer les virgules, on peut temporairement imaginer qu'elles sont totalement absentes :

Nous en avons obtenu 375. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 2,5 et 1,5. La première fraction a un chiffre après la virgule et la deuxième fraction en a également un. Total deux nombres.

Nous revenons au numéro 375 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 3,75. La valeur de l'expression 2,5 × 1,5 est donc 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 12,85 × 2,7

Multiplions ces fractions décimales en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 34695. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 12,85 et 2,7. La fraction 12,85 a deux chiffres après la virgule et la fraction 2,7 a un chiffre, soit un total de trois chiffres.

Nous revenons au numéro 34695 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter trois chiffres en partant de la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 34 695 personnes. La valeur de l'expression 12,85 × 2,7 est donc 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Multiplier un nombre décimal par un nombre régulier

Parfois, des situations surviennent lorsque vous devez multiplier une fraction décimale par un nombre régulier.

Pour multiplier une décimale et un nombre, on les multiplie sans faire attention à la virgule dans la décimale. Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Par exemple, multipliez 2,54 par 2

Multipliez la fraction décimale 2,54 par le nombre habituel 2, en ignorant la virgule :

Nous avons obtenu le nombre 508. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,54. La fraction 2,54 comporte deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au numéro 508 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 5,08. Donc la valeur de l'expression 2,54 × 2 est 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Multiplier des décimales par 10, 100, 1000

La multiplication de nombres décimaux par 10, 100 ou 1 000 s'effectue de la même manière que la multiplication de nombres décimaux par des nombres réguliers. Vous devez effectuer la multiplication sans faire attention à la virgule dans la fraction décimale, puis dans la réponse, séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant à droite le même nombre de chiffres qu'il y avait de chiffres après la virgule décimale.

Par exemple, multipliez 2,88 par 10

Multipliez la fraction décimale 2,88 par 10, en ignorant la virgule dans la fraction décimale :

Nous avons obtenu 2880. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,88. On voit que la fraction 2,88 a deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au nombre 2880 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 28h80. Laissons tomber le dernier zéro et obtenons 28,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,88×10 est 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Il existe une deuxième façon de multiplier des fractions décimales par 10, 100, 1 000. Cette méthode est beaucoup plus simple et plus pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 2,88×10 de cette façon. Sans donner aucun calcul, regardons immédiatement le facteur 10. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, nous obtenons 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Essayons de multiplier 2,88 par 100. Nous regardons immédiatement le facteur 100. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de deux chiffres, nous obtenons 288

2,88 × 100 = 288

Essayons de multiplier 2,88 par 1000. Nous regardons immédiatement le facteur 1000. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de trois chiffres. Il n’y a pas de troisième chiffre, nous ajoutons donc un autre zéro. En conséquence, nous obtenons 2880.

2,88 × 1 000 = 2 880

Multiplier des décimales par 0,1 0,01 et 0,001

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001 fonctionne de la même manière que multiplier une décimale par une décimale. Il faut multiplier les fractions comme des nombres ordinaires, et mettre une virgule dans la réponse, en comptant autant de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule dans les deux fractions.

Par exemple, multipliez 3,25 par 0,1

On multiplie ces fractions comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 325. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 3,25 et 0,1. La fraction 3,25 a deux chiffres après la virgule et la fraction 0,1 a un chiffre. Total trois nombres.

Nous revenons au nombre 325 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter trois chiffres à partir de la droite et mettre une virgule. Après avoir compté trois chiffres, nous constatons que les chiffres sont épuisés. Dans ce cas, vous devez ajouter un zéro et ajouter une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,325. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,25 × 0,1 est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Il existe une deuxième façon de multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001. Cette méthode est beaucoup plus simple et pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 3,25 × 0,1 de cette façon. Sans donner de calculs, regardons immédiatement le multiplicateur de 0,1. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale d’un chiffre vers la gauche. En déplaçant la virgule d’un chiffre vers la gauche, on voit qu’il n’y a plus de chiffres avant les trois. Dans ce cas, ajoutez un zéro et mettez une virgule. Le résultat est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,01. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,01. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers les deux chiffres de gauche, nous obtenons 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,001. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,001. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de trois chiffres, nous obtenons 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ne confondez pas la multiplication de fractions décimales par 0,1, 0,001 et 0,001 avec la multiplication par 10, 100, 1 000. Une erreur typique pour la plupart des gens.

Lors de la multiplication par 10, 100, 1000, la virgule décimale est déplacée vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Et lors de la multiplication par 0,1, 0,01 et 0,001, la virgule décimale est déplacée vers la gauche du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Si au début cela est difficile à retenir, vous pouvez utiliser la première méthode, dans laquelle la multiplication est effectuée comme avec des nombres ordinaires. Dans la réponse, vous devrez séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant le même nombre de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans les deux fractions.

Diviser un petit nombre par un plus grand nombre. Niveau avancé.

Dans l'une des leçons précédentes, nous avons dit qu'en divisant un nombre plus petit par un nombre plus grand, on obtient une fraction dont le numérateur est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Par exemple, pour diviser une pomme en deux, vous devez écrire 1 (une pomme) au numérateur et 2 (deux amis) au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction . Cela signifie que chaque ami recevra une pomme. Autrement dit, une demi-pomme. La fraction est la réponse au problème "comment diviser une pomme en deux"

Il s'avère que vous pouvez résoudre ce problème davantage si vous divisez 1 par 2. Après tout, la ligne fractionnaire dans n'importe quelle fraction signifie une division, et donc cette division est autorisée dans la fraction. Mais comment? Nous sommes habitués au fait que le dividende est toujours supérieur au diviseur. Mais ici, au contraire, le dividende est inférieur au diviseur.

Tout deviendra clair si l'on se souvient qu'une fraction signifie écrasement, division, division. Cela signifie que l'unité peut être divisée en autant de parties que vous le souhaitez, et pas seulement en deux parties.

Lorsque vous divisez un nombre plus petit par un nombre plus grand, vous obtenez une fraction décimale dont la partie entière est 0 (zéro). La partie fractionnaire peut être n'importe quoi.

Alors divisons 1 par 2. Résolvons cet exemple avec un coin :

Un ne peut pas être complètement divisé en deux. Si tu poses une question "combien y a-t-il de deux en un" , alors la réponse sera 0. Par conséquent, dans le quotient, nous écrivons 0 et mettons une virgule :

Maintenant, comme d'habitude, on multiplie le quotient par le diviseur pour obtenir le reste :

Le moment est venu où l’ensemble peut être divisé en deux parties. Pour ce faire, ajoutez un autre zéro à droite de celui obtenu :

Nous avons 10. Divisons 10 par 2, nous obtenons 5. Nous écrivons le cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous retirons le dernier reste pour terminer le calcul. Multipliez 5 par 2 pour obtenir 10

Nous avons reçu une réponse de 0,5. La fraction est donc 0,5

Une demi-pomme peut également s’écrire en utilisant la fraction décimale 0,5. Si nous ajoutons ces deux moitiés (0,5 et 0,5), nous obtenons à nouveau la pomme entière originale :

Ce point peut également être compris si l’on imagine comment 1 cm est divisé en deux parties. Si vous divisez 1 centimètre en 2 parties, vous obtenez 0,5 cm

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 4:5

Combien y a-t-il de cinq dans un quatre ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit un zéro sous les quatre. Soustrayez immédiatement ce zéro du dividende :

Commençons maintenant à diviser (diviser) les quatre en 5 parties. Pour ce faire, ajoutez un zéro à droite de 4 et divisez 40 par 5, on obtient 8. On écrit huit dans le quotient.

On complète l'exemple en multipliant 8 par 5 pour obtenir 40 :

Nous avons reçu une réponse de 0,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 4:5 est de 0,8

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 5 : 125

Combien de nombres font 125 sur cinq ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit 0 sous les cinq. Soustrayez immédiatement 0 de cinq

Commençons maintenant à diviser (diviser) les cinq en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un zéro à droite de ce cinq :

Divisez 50 par 125. Combien y a-t-il de nombres 125 dans le nombre 50 ? Pas du tout. Donc dans le quotient on écrit encore 0

Multipliez 0 par 125, nous obtenons 0. Écrivez ce zéro sous 50. Soustrayez immédiatement 0 de 50

Divisez maintenant le nombre 50 en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un autre zéro à droite de 50 :

Divisez 500 par 125. Combien y a-t-il de nombres 125 dans le nombre 500 ? Il y a quatre nombres 125 dans le nombre 500. Écrivez les quatre dans le quotient :

On complète l'exemple en multipliant 4 par 125 pour obtenir 500

Nous avons reçu une réponse de 0,04. Cela signifie que la valeur de l'expression 5 : 125 est 0,04

Diviser des nombres sans reste

Alors, mettons une virgule après l'unité dans le quotient, indiquant ainsi que la division des parties entières est terminée et que l'on passe à la partie fractionnaire :

Ajoutons zéro au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient :

40−40=0. Il nous en reste 0. Cela signifie que la division est complètement terminée. En divisant 9 par 5, on obtient la fraction décimale 1,8 :

9: 5 = 1,8

Exemple 2. Divisez 84 par 5 sans reste

Tout d’abord, divisez 84 par 5 comme d’habitude avec un reste :

Nous en avons eu 16 en privé et il en reste 4 autres. Divisons maintenant ce reste par 5. Mettez une virgule dans le quotient et ajoutez 0 au reste 4

Maintenant on divise 40 par 5, on obtient 8. On écrit le huit dans le quotient après la virgule décimale :

et complétez l'exemple en vérifiant s'il reste encore un reste :

Diviser un nombre décimal par un nombre régulier

Une fraction décimale, comme nous le savons, se compose d’un nombre entier et d’une partie fractionnaire. Lorsque vous divisez une fraction décimale par un nombre régulier, vous devez d'abord :

• divisez toute la partie de la fraction décimale par ce nombre ;
• une fois la partie entière divisée, vous devez immédiatement mettre une virgule dans le quotient et continuer le calcul, comme dans une division normale.

Par exemple, divisez 4,8 par 2

Écrivons cet exemple dans un coin :

Maintenant, divisons la partie entière par 2. Quatre divisé par deux est égal à deux. On en écrit deux dans le quotient et on met immédiatement une virgule :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur et voyons s'il y a un reste de la division :

4−4=0. Le reste est nul. Nous n'écrivons pas encore zéro, puisque la solution n'est pas terminée. Ensuite, nous continuons à calculer comme dans une division ordinaire. Retirez 8 et divisez-le par 2

8 : 2 = 4. On écrit le quatre dans le quotient et on le multiplie immédiatement par le diviseur :

Nous avons reçu une réponse de 2,4. La valeur de l'expression 4,8:2 est 2,4

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 8,43 : 3

Divisez 8 par 3, nous obtenons 2. Mettez immédiatement une virgule après le 2 :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur 2 × 3 = 6. Nous écrivons le six sous le huit et trouvons le reste :

Divisez 24 par 3, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient. Multipliez-le immédiatement par le diviseur pour trouver le reste de la division :

24−24=0. Le reste est nul. Nous n’écrivons pas encore zéro. On soustrait les trois derniers du dividende et on divise par 3, on obtient 1. Multipliez immédiatement 1 par 3 pour compléter cet exemple :

La réponse que nous avons reçue était 2,81. Cela signifie que la valeur de l'expression 8,43 : 3 est 2,81

Diviser une décimale par une décimale

Pour diviser une fraction décimale par une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule décimale du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par le nombre habituel.

Par exemple, divisez 5,95 par 1,7

Écrivons cette expression avec un coin

Maintenant, dans le dividende et dans le diviseur, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que dans le dividende et le diviseur, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite d'un chiffre. Nous transférons :

Après avoir déplacé la virgule vers la droite d’un chiffre, la fraction décimale 5,95 est devenue la fraction 59,5. Et la fraction décimale 1,7, après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, s'est transformée en le nombre habituel 17. Et nous savons déjà comment diviser une fraction décimale par un nombre régulier. Un calcul ultérieur n'est pas difficile :

La virgule est déplacée vers la droite pour faciliter la division. Ceci est autorisé car lors de la multiplication ou de la division du dividende et du diviseur par le même nombre, le quotient ne change pas. Qu'est-ce que ça veut dire?

C’est l’une des caractéristiques intéressantes de la division. C'est ce qu'on appelle la propriété du quotient. Considérons l'expression 9 : 3 = 3. Si dans cette expression le dividende et le diviseur sont multipliés ou divisés par le même nombre, alors le quotient 3 ne changera pas.

Multiplions le dividende et le diviseur par 2 et voyons ce qui en résulte :

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Comme le montre l’exemple, le quotient n’a pas changé.

La même chose se produit lorsque l’on déplace la virgule dans le dividende et dans le diviseur. Dans l’exemple précédent, où nous avons divisé 5,91 par 1,7, nous avons déplacé la virgule du dividende et du diviseur d’un chiffre vers la droite. Après avoir déplacé la virgule décimale, la fraction 5,91 a été transformée en fraction 59,1 et la fraction 1,7 a été transformée en le nombre habituel 17.

En fait, à l’intérieur de ce processus, il y a eu une multiplication par 10. Voici à quoi cela ressemblait :

5,91 × 10 = 59,1

Par conséquent, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur détermine par quoi le dividende et le diviseur seront multipliés. En d’autres termes, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur déterminera le nombre de chiffres dans le dividende et dans le diviseur, la virgule décimale sera déplacée vers la droite.

Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000

Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 se fait de la même manière que . Par exemple, divisez 2,1 par 10. Résolvez cet exemple en utilisant un coin :

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 2.1 : 10. Nous regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 2,1, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la gauche. Nous déplaçons la virgule d’un chiffre vers la gauche et voyons qu’il ne reste plus de chiffres. Dans ce cas, ajoutez un autre zéro avant le nombre. En conséquence, nous obtenons 0,21

Essayons de diviser 2,1 par 100. Il y a deux zéros dans 100. Cela signifie que dans le dividende 2.1, nous devons déplacer la virgule de deux chiffres vers la gauche :

2,1: 100 = 0,021

Essayons de diviser 2,1 par 1000. Il y a trois zéros dans 1000. Cela signifie que dans le dividende 2.1, vous devez déplacer la virgule de trois chiffres vers la gauche :

2,1: 1000 = 0,0021

Diviser une décimale par 0,1, 0,01 et 0,001

Diviser une fraction décimale par 0,1, 0,01 et 0,001 se fait de la même manière que . Dans le dividende et dans le diviseur, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur.

Par exemple, divisons 6,3 par 0,1. Tout d’abord, déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu’il y a après la virgule décimale du diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que nous déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite d'un chiffre.

Après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, la fraction décimale 6,3 devient le nombre habituel 63, et la fraction décimale 0,1 après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre se transforme en un. Et diviser 63 par 1 est très simple :

Cela signifie que la valeur de l'expression 6,3 : 0,1 est 63

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 6,3 : 0,1. Regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 6,3, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la droite. Déplacez la virgule vers la droite d'un chiffre et obtenez 63

Essayons de diviser 6,3 par 0,01. Le diviseur de 0,01 comporte deux zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de deux chiffres. Mais dans le dividende, il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule. Dans ce cas, vous devez ajouter un autre zéro à la fin. En conséquence, nous obtenons 630

Essayons de diviser 6,3 par 0,001. Le diviseur de 0,001 comporte trois zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de trois chiffres :

6,3: 0,001 = 6300

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