Perpustakaan elektronik ilmiah. Teorema jumlah sudut suatu segitiga Tanda persamaan segitiga siku-siku

Dalil. Jumlah sudut dalam suatu segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.

Mari kita ambil segitiga ABC (Gbr. 208). Mari kita nyatakan sudut dalam dengan angka 1, 2 dan 3. Mari kita buktikan

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Mari kita menggambar melalui beberapa titik sudut segitiga, misalnya B, sebuah garis lurus MN yang sejajar dengan AC.

Di titik B kita mendapatkan tiga sudut: ∠4, ∠2 dan ∠5. Jumlahnya adalah sudut lurus, sehingga sama dengan 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Tetapi ∠4 = ∠1 adalah sudut bersilangan dalam dengan garis sejajar MN dan AC serta garis potong AB.

∠5 = ∠3 - ini adalah sudut melintang internal dengan garis sejajar MN dan AC dan garis potong BC.

Artinya ∠4 dan ∠5 dapat digantikan dengan persamaannya dengan ∠1 dan ∠3.

Jadi, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema tersebut telah terbukti.

2. Sifat-sifat sudut luar suatu segitiga.

Dalil. Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlahnya dua sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

Faktanya, pada segitiga ABC (Gbr. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, tetapi juga ∠ВСD, sudut luar segitiga ini, yang tidak berdekatan dengan ∠1 dan ∠2, juga sama dengan 180° - ∠3 .

Dengan demikian:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Oleh karena itu, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Sifat turunan sudut luar suatu segitiga memperjelas isi teorema sudut luar suatu segitiga yang telah dibuktikan sebelumnya, yang hanya menyatakan bahwa sudut luar suatu segitiga lebih besar dari setiap sudut dalam suatu segitiga yang tidak berdekatan dengannya; sekarang diketahui bahwa sudut luar sama dengan jumlah kedua sudut dalam yang tidak berdekatan.

3. Sifat-sifat segitiga siku-siku dengan sudut 30°.

Dalil. Kaki segitiga siku-siku yang terletak di hadapan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring.

Misalkan sudut B pada segitiga siku-siku ACB sama dengan 30° (Gbr. 210). Maka sudut lancip lainnya sama dengan 60°.

Mari kita buktikan bahwa kaki AC sama dengan setengah sisi miring AB. Mari lanjutkan kaki AC melampaui bagian atas sudut kanan C dan sisihkan ruas CM sama dengan ruas AC. Mari kita hubungkan titik M ke titik B. Segitiga yang dihasilkan sama dengan segitiga ACB. Kita melihat bahwa setiap sudut pada segitiga ABM sama dengan 60°, oleh karena itu segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi.

Kaki AC sama dengan setengah AM, dan karena AM sama dengan AB, maka kaki AC sama dengan setengah sisi miring AB.

Bukti:

• Diketahui segitiga ABC.
• Melalui titik B kita tarik garis lurus DK yang sejajar dengan alas AC.
• \angle CBK= \angle C sebagai letak melintang bagian dalam sejajar DK dan AC, serta garis potong BC.
• \angle DBA = \angle A internal melintang dengan DK \sejajar AC dan garis potong AB. Sudut DBK dibalik dan sama dengan
• \sudut DBK = \sudut DBA + \sudut B + \sudut CBK
• Karena sudut terbuka sama dengan 180 ^\circ , dan \angle CBK = \angle C dan \angle DBA = \angle A , kita peroleh 180 ^\circ = \sudut A + \sudut B + \sudut C.

Teorema tersebut terbukti

Akibat wajar dari teorema jumlah sudut segitiga:

1. Jumlah sudut tajam segitiga siku-siku sama dengan 90°.
2. Pada segitiga siku-siku sama kaki, setiap sudut lancip sama besar 45°.
3. Dalam segitiga sama sisi, setiap sudutnya sama besar 60°.
4. Dalam segitiga mana pun, semua sudutnya lancip, atau dua sudut lancip, dan sudut ketiga tumpul atau siku-siku.
5. Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Teorema Sudut Luar Segitiga

Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut tersisa segitiga yang tidak berdekatan dengan sudut luar tersebut

Bukti:

• Diberikan sebuah segitiga ABC, dimana BCD adalah sudut luarnya.
• \sudut BAC + \sudut ABC +\sudut BCA = 180^0
• Dari persamaan sudut \sudut BCD + \sudut BCA = 180^0
• Kita mendapatkan \sudut BCD = \sudut BAC+\sudut ABC.

Jumlah sudut segitiga- topik penting namun cukup sederhana yang diajarkan di geometri kelas 7. Topiknya terdiri dari teorema, bukti singkat dan beberapa konsekuensi logis. Pengetahuan tentang topik ini membantu dalam memecahkan masalah geometri dalam studi subjek selanjutnya.

Teorema - berapakah sudut-sudut suatu segitiga sembarang jika dijumlahkan?

Teorema menyatakan bahwa jika Anda mengambil segitiga apa pun, apa pun jenisnya, jumlah semua sudut akan selalu 180 derajat. Hal ini terbukti sebagai berikut:

• misalnya ambil segitiga ABC, tarik garis lurus melalui titik B yang terletak di puncak dan tentukan sebagai "a", garis lurus "a" sejajar dengan sisi AC;
• antara garis lurus “a” dan sisi AB dan BC ditentukan sudutnya, ditandai dengan angka 1 dan 2;
• sudut 1 dianggap sama dengan sudut A, dan sudut 2 dianggap sama dengan sudut C, karena sudut-sudut tersebut dianggap melintang;
• Jadi, jumlah antara sudut 1, 2 dan 3 (yang menggantikan sudut B) dianggap sama dengan sudut terbuka dengan titik sudut B - dan sama dengan 180 derajat.

Jika jumlah sudut yang ditunjukkan dengan angka adalah 180 derajat, maka jumlah sudut A, B, dan C diakui sama dengan 180 derajat. Aturan ini berlaku untuk segitiga apa pun.

Berikut ini dari teorema geometri

Merupakan kebiasaan untuk menyoroti beberapa akibat wajar dari teorema di atas.

• Jika soal membahas segitiga dengan sudut siku-siku, maka salah satu sudutnya akan sama dengan 90 derajat secara default, dan jumlah sudut lancip juga akan menjadi 90 derajat.
• Jika yang sedang kita bicarakan tentang segitiga siku-siku sama kaki, maka sudut lancipnya, yang berjumlah 90 derajat, masing-masing akan sama dengan 45 derajat.
• Segitiga sama sisi terdiri dari tiga sudut yang sama besar, masing-masing sudutnya masing-masing sama dengan 60 derajat, dan totalnya 180 derajat.
• Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah antara dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Aturan berikut dapat diturunkan: segitiga apa pun memiliki setidaknya dua sudut lancip. Dalam beberapa kasus, sebuah segitiga terdiri dari tiga sudut lancip, dan jika hanya ada dua, maka sudut ketiga adalah tumpul atau siku-siku.

>>Geometri: Jumlah sudut suatu segitiga. Pelajaran lengkap

TOPIK PELAJARAN: Jumlah sudut suatu segitiga.

Tujuan pelajaran:

• Memantapkan dan menguji pengetahuan siswa pada topik: “Jumlah sudut segitiga”;
• Bukti sifat-sifat sudut suatu segitiga;
• Penerapan properti ini dalam memecahkan masalah sederhana;
• Pemanfaatan materi sejarah untuk pembangunan aktivitas kognitif siswa;
• Menanamkan keterampilan ketelitian dalam membuat gambar.

Tujuan pelajaran:

• Uji keterampilan pemecahan masalah siswa.

Rencana belajar:

1. Segi tiga;
2. Teorema jumlah sudut suatu segitiga;
3. Contoh tugas.

Segi tiga.

File: Segitiga O.gif- poligon paling sederhana yang memiliki 3 simpul (sudut) dan 3 sisi; bagian bidang yang dibatasi oleh tiga titik dan tiga ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan.
Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis lurus yang sama merupakan satu dan hanya satu bidang.
Poligon apa pun dapat dibagi menjadi segitiga - proses ini disebut triangulasi.
Ada bagian matematika yang sepenuhnya dikhususkan untuk mempelajari hukum segitiga - Trigonometri.

Teorema jumlah sudut suatu segitiga.

File:T.gif Teorema jumlah sudut segitiga merupakan teorema klasik geometri Euclidean yang menyatakan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Bukti" :

Misalkan Δ ABC diberikan. Mari kita tarik garis sejajar (AC) melalui titik sudut B dan tandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi berlawanan dari garis BC. Maka sudut (DBC) dan sudut (ACB) sama besar dengan garis lintang dalam yang sejajar dengan garis BD dan AC serta garis potong (BC). Maka jumlah sudut segitiga pada titik sudut B dan C sama dengan sudut (ABD). Tetapi sudut (ABD) dan sudut (BAC) pada titik sudut A segitiga ABC adalah satu sisi dalam dengan garis sejajar BD dan AC serta garis potong (AB), dan jumlah keduanya adalah 180°. Jadi, jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi.

Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.

Bukti:

Misalkan Δ ABC diberikan. Titik D terletak pada garis AC sehingga A terletak di antara C dan D. Maka BAD berada di luar sudut segitiga di titik sudut A dan A + BAD = 180°. Tetapi A + B + C = 180°, maka B + C = 180° – A. Maka BAD = B + C. Akibat wajarnya terbukti.

Konsekuensi.

Sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut mana pun dalam segitiga yang tidak berdekatan dengannya.

Tugas.

Sudut luar suatu segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan salah satu sudut segitiga tersebut. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.
(Gbr.1)

Larutan:

Biarkan Δ ABC ∠DAС menjadi eksternal (Gbr. 1). Maka ∠DAC = 180°-∠BAC (berdasarkan sifat sudut-sudut yang berdekatan), dengan teorema jumlah sudut-sudut suatu segitiga ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Dari persamaan ini kita peroleh ∠DAС=∠В+∠С

Fakta yang menarik:

Jumlah sudut suatu segitiga" :

Dalam geometri Lobachevsky, jumlah sudut suatu segitiga selalu kurang dari 180. Dalam geometri Euclidean selalu sama dengan 180. Dalam geometri Riemann, jumlah sudut suatu segitiga selalu lebih besar dari 180.

Dari sejarah matematika:

Euclid (abad ke-3 SM) dalam karyanya “Elements” memberikan definisi sebagai berikut: “Garis sejajar adalah garis-garis yang berada pada bidang yang sama dan diperpanjang pada kedua arah tanpa batas waktu, tidak bertemu satu sama lain pada kedua sisinya.”
Posidonius (abad ke-1 SM) “Dua garis lurus yang terletak pada bidang yang sama, berjarak sama satu sama lain”
Ilmuwan Yunani kuno Pappus (abad III SM) memperkenalkan simbol paralel tanda lurus=. Selanjutnya, ekonom Inggris Ricardo (1720-1823) menggunakan simbol ini sebagai tanda sama dengan.
Baru pada abad ke-18 mereka mulai menggunakan simbol garis sejajar - tanda ||.
Hubungan hidup antar generasi tidak terputus sesaat pun; setiap hari kita mempelajari pengalaman yang dikumpulkan oleh nenek moyang kita. Orang Yunani kuno, berdasarkan pengamatan dan pengalaman praktis, menarik kesimpulan, menyatakan hipotesis, dan kemudian, pada pertemuan para ilmuwan - simposium (secara harfiah berarti "pesta") - mereka mencoba untuk mendukung dan membuktikan hipotesis ini. Saat itu, muncul pernyataan: “Kebenaran lahir dari perselisihan.”

Pertanyaan:

1. Apa itu segitiga?
2. Apa yang dimaksud dengan teorema jumlah sudut segitiga?
3. Berapakah sudut luar segitiga tersebut?

Bukti

Membiarkan ABC" - segitiga sembarang. Mari kita bahas dari atas B garis sejajar dengan garis AC (garis lurus seperti itu disebut garis lurus Euclidean). Mari kita tandai satu hal di situ D sehingga poinnya A Dan D terletak pada sisi berlawanan dari garis lurus SM.Sudut DBC Dan ACB sama dengan letak melintang bagian dalam yang dibentuk oleh garis potong SM dengan garis sejajar AC Dan BD. Oleh karena itu, jumlah sudut suatu segitiga pada titik sudutnya B Dan DENGAN sama dengan sudut ABD.Jumlah ketiga sudut suatu segitiga sama dengan jumlah sudut-sudutnya ABD Dan BAC. Karena sudut-sudut ini interiornya satu sisi untuk sejajar AC Dan BD di garis potong AB, maka jumlahnya adalah 180°. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi

Dari teorema tersebut dapat disimpulkan bahwa setiap segitiga memiliki dua sudut lancip. Memang benar, dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, mari kita asumsikan bahwa segitiga hanya mempunyai satu sudut lancip atau tidak ada sudut lancip sama sekali. Maka segitiga tersebut mempunyai paling sedikit dua sudut yang masing-masing sudutnya paling sedikit 90°. Jumlah sudut-sudut ini tidak kurang dari 180°. Namun hal ini tidak mungkin, karena jumlah seluruh sudut suatu segitiga adalah 180°. Q.E.D.

Generalisasi ke dalam teori simpleks

Dimana sudut antara muka i dan j pada simpleks.

Catatan

• Pada bola, jumlah sudut suatu segitiga selalu melebihi 180°, selisihnya disebut kelebihan bola dan sebanding dengan luas segitiga.
• Pada bidang Lobachevsky, jumlah sudut suatu segitiga selalu kurang dari 180°. Selisihnya juga sebanding dengan luas segitiga.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

• Taylor
• Jembatan Nizhny Lebyazhy

Lihat apa “Teorema jumlah sudut segitiga” di kamus lain:

Teorema penjumlahan sudut poligon- Sifat poligon dalam geometri Euclidean: Jumlah n sudut suatu poligon adalah 180°(n 2). Isi 1 Bukti 2 Catatan... Wikipedia

teori Pitagoras- Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Isi 1 ... Wikipedia

Luas segitiga

teori Pitagoras- Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Isi 1 Pernyataan 2 Bukti... Wikipedia

Teorema kosinus- Teorema kosinus merupakan generalisasi dari teorema Pythagoras. Kuadrat suatu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya tanpa dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara keduanya. Untuk segitiga bidang dengan sisi a,b,c dan sudut α... ... Wikipedia

Segi tiga- Istilah ini memiliki arti lain, lihat Segitiga (arti). Sebuah segitiga (dalam ruang Euclidean) adalah sosok geometris, dibentuk oleh tiga ruas yang menghubungkan tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus. Tiga titik,... ... Wikipedia

Tanda-tanda persamaan segitiga- Notasi standar Segitiga adalah poligon paling sederhana yang memiliki 3 titik sudut (sudut) dan 3 sisi; bagian bidang yang dibatasi oleh tiga titik yang tidak terletak pada satu garis dan tiga ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan. Simpul segitiga ... Wikipedia

Euclid- Ahli matematika Yunani kuno. Bekerja di Alexandria pada abad ke-3. SM e. Karya utama “Prinsip” (15 buku), berisi dasar-dasar matematika kuno, geometri dasar, teori bilangan, teori umum hubungan dan metode penentuan luas dan volume,... ... kamus ensiklopedis

EUCLID- (meninggal antara 275 dan 270 SM) ahli matematika Yunani kuno. Informasi mengenai waktu dan tempat kelahirannya belum sampai kepada kita, namun diketahui bahwa Euclid tinggal di Aleksandria dan masa kejayaan aktivitasnya terjadi pada masa pemerintahan Ptolemy I di Mesir... ... Kamus Ensiklopedis Besar

GEOMETRI NON-EUCLIDEAN- geometri mirip dengan geometri Euclidian karena ia mendefinisikan pergerakan bangun ruang, tetapi berbeda dari geometri Euclidean karena salah satu dari lima postulatnya (yang kedua atau kelima) digantikan oleh negasinya. Negasi salah satu postulat Euclidean... ... Ensiklopedia Collier