Rumus untuk mengurangi logaritma. Perhitungan logaritma, contoh, solusi

Properti utama logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, ekspansi dan representasi deret pangkat melalui bilangan kompleks.

Isi

Domain, kumpulan nilai, naik, turun

Logaritma adalah fungsi monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Jarak nilai	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Nada datar	meningkat secara monoton	berkurang secara monoton
Nol, y= 0	x= 1	x= 1
Titik potong dengan sumbu y, x = 0	Tidak	Tidak
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Nilai pribadi

Logaritma basis 10 disebut logaritma desimal dan ditandai seperti ini:

logaritma dasar e ditelepon logaritma natural:

Rumus logaritma dasar

Sifat-sifat logaritma berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus pengganti dasar

Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, produk faktor dikonversi menjadi jumlah suku.
Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah istilah diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang terkait dengan logaritma mengikuti dari rumus untuk fungsi eksponensial dan dari definisi fungsi terbalik.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus perubahan basis.
;
.
Pengaturan c = b , kita memiliki:

Fungsi terbalik

Kebalikan dari basis a logaritma adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari modulo logaritma x :
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Derivasi rumus > > >

Untuk menemukan turunan dari logaritma, itu harus direduksi ke basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian : .
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Perhatikan fungsi bilangan kompleks z:
.
Cepat bilangan kompleks z melalui modul r dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau

Namun, argumen φ tidak didefinisikan dengan jelas. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk yang berbeda n.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Education Institutions, Lan, 2009.

Lihat juga:

\(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:		\(\log_(5)(25)=2\)		karena \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		karena \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumen dan basis logaritma

Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:

Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basis ditulis dalam subskrip yang lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sampai sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?

Sebagai contoh, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ kuadrat (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Berapa daya yang harus \(4\) dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Berapakah \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka menjadi satu unit? Nol, tentu saja!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Berapakah \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Berapakah \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu bahwa itu adalah pangkat pecahan, dan karena itu akar kuadratnya adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Panah kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apa tautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua angka dapat diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri, kita menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Basisnya sama, kami melanjutkan ke kesetaraan indikator
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahaminya, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\) Berapa x sama dengan? Itulah intinya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya angka ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka datang dengan logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal, maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat direduksi menjadi basis yang sama. Jadi di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Balikkan persamaan sehingga x di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Pindahkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan itu seperti angka biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bagi persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Berikut adalah akar kami. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi jawabannya tidak dipilih.

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa apa saja nomor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang sering terjadi sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan mereka:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.

Identitas logaritma dasar

Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Identitas logaritma dasar" dan terlihat seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana formula ini muncul.

Ingat definisi singkat dari logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritma utama.

Anda dapat menemukan sisa properti logaritma. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit untuk dihitung secara langsung.

Contoh : Temukan nilai dari ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Sebagai contoh, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga dapat menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menulis keduanya sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana saja (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - kita hanya menulis basis kuadrat sebagai argumen.

Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Setiap bilangan \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)

Logaritma bilangan positif b ke basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian sehingga a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma dari bilangan non-positif tidak ditentukan. Juga, basis logaritma harus bilangan positif, tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita kuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa basis -2 logaritma dari 4 adalah 2.

Identitas logaritma dasar

a log a b = b (a > 0, a 1) (2)

Adalah penting bahwa domain definisi bagian kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri didefinisikan hanya untuk b>0, a>0 dan a 1. Ruas kanan didefinisikan untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan "identitas" logaritma dasar dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan DPV.

Dua konsekuensi yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a 1) (4)

Memang, ketika menaikkan angka a ke pangkat pertama, kami mendapatkan angka yang sama, dan ketika menaikkannya ke pangkat nol, kami mendapatkan satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik. Ketika digunakan "dari kiri ke kanan", ODZ menyempit, dan ketika berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma produk atau hasil bagi, ODZ mengembang.

Memang, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x) , kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Ada penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan ini sangat tidak dapat diterima, karena dapat menyebabkan hilangnya solusi. Masalah serupa ada untuk rumus (6).

Derajat dapat diambil dari tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta akurasi. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Sisi kiri persamaan jelas didefinisikan untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Mengambil kekuatan dari logaritma, kami kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini tidak hanya berlaku untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap.

Rumus untuk pindah ke pangkalan baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1) (8)

Kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama konversi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus untuk pindah ke basis baru sangat aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis c baru, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1 Hitung: lg2 + lg50.
Larutan. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Kami menggunakan rumus untuk jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2 Hitung: lg125/lg5.
Larutan. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan rumus transisi basis baru (8).

Tabel rumus yang terkait dengan logaritma

a log a b = b (a > 0, a 1)

log a a = 1 (a > 0, a 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1)

sifat dasar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

alasan yang sama

log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x >

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

Transisi ke yayasan baru

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

Lihat juga:

Sifat dasar logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy.

Sifat dasar logaritma

Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen yang tepat dan tanggal lahir Leo Tolstoy.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.

3.

Contoh 2 Temukan x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan angka biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kunci di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kami memiliki:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut.

Rumus logaritma. Logaritma adalah contoh solusi.

Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan dasar yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Lihat juga:

Logaritma dari angka b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti menemukan pangkat x () yang persamaannya benar

Sifat dasar logaritma

Sifat-sifat di atas perlu diketahui, karena atas dasar mereka, hampir semua masalah dan contoh diselesaikan berdasarkan logaritma. Sifat-sifat eksotik yang tersisa dapat diturunkan dengan manipulasi matematis dengan rumus-rumus ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Saat menghitung rumus untuk jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering ditemui. Sisanya agak rumit, tetapi dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.

Kasus umum logaritma

Beberapa logaritma umum adalah yang basisnya genap sepuluh, eksponensial atau deuce.
Logaritma basis sepuluh biasanya disebut logaritma basis sepuluh dan hanya dilambangkan lg(x).

Hal ini dapat dilihat dari catatan bahwa dasar-dasar tidak tertulis dalam catatan. Sebagai contoh

Logaritma natural adalah logaritma yang basisnya eksponen (dilambangkan ln(x)).

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen yang tepat dan tanggal lahir Leo Tolstoy.

Dan logaritma basis dua penting lainnya adalah

Turunan dari logaritma fungsi sama dengan satu dibagi variabel

Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh ketergantungan

Materi di atas sudah cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai kelas masalah yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk mengasimilasi materi, saya hanya akan memberikan beberapa contoh umum dari kurikulum sekolah dan universitas.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.
Dengan properti perbedaan logaritma, kami memiliki

3.
Menggunakan properti 3.5 kami menemukan

Ekspresi yang tampaknya kompleks menggunakan serangkaian aturan disederhanakan menjadi bentuk

Mencari Nilai Logaritma

Contoh 2 Temukan x jika

Larutan. Untuk perhitungannya, kami menerapkan properti 5 dan 13 hingga suku terakhir

Pengganti dalam catatan dan berkabung

Karena basisnya sama, kami menyamakan ekspresi

Logaritma. Tingkat pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Solusi: Ambil logaritma dari variabel untuk menulis logaritma melalui jumlah istilah

Ini hanyalah awal dari pengenalan logaritma dan propertinya. Berlatih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan logaritmik. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami akan memperluas pengetahuan Anda untuk topik lain yang sama pentingnya - ketidaksetaraan logaritmik ...

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan angka biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kunci di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi: log6 4 + log6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kami memiliki:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan berbicara tentang perhitungan logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama, kita akan berurusan dengan perhitungan logaritma menurut definisi. Selanjutnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah itu, kita akan membahas perhitungan logaritma melalui nilai-nilai logaritma lain yang awalnya diberikan. Terakhir, mari belajar bagaimana menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori diberikan dengan contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, adalah mungkin untuk melakukan dengan cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah untuk mewakili angka b dalam bentuk a c , di mana, menurut definisi logaritma, angka c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, menemukan logaritma sesuai dengan rantai persamaan berikut: log a b=log a a c =c .

Jadi, perhitungan logaritma, menurut definisi, turun untuk menemukan angka c sehingga a c \u003d b, dan angka c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Mengingat informasi dari paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa derajat dasar logaritma, maka Anda dapat segera menunjukkan apa yang sama dengan logaritma - itu sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 3 , dan juga hitung logaritma natural dari e 5.3 .

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 3 = 3 . Memang, angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat 3.

Demikian pula, kami menemukan logaritma kedua: jalur 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 3 = 3 dan jalur 5.3 =5.3 .

Jika angka b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mempertimbangkan dengan cermat apakah mungkin untuk membuat representasi angka b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama ketika angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2 , ini memungkinkan Anda untuk menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Kami melanjutkan ke perhitungan logaritma kedua. Suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Akibatnya, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari mana kita menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, dengan definisi logaritma .

Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut:

Menjawab:

log 5 25=2 , dan .

Ketika bilangan asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk mewakili angka seperti beberapa kekuatan dasar logaritma, dan oleh karena itu, untuk menghitung logaritma ini dengan definisi.

Contoh.

Cari nilai logaritmanya.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Properti ini termasuk properti logaritma satu dan properti logaritma angka yang sama dengan basis: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Artinya, ketika angka 1 atau angka a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan basis logaritma, maka dalam kasus ini logaritmanya masing-masing adalah 0 dan 1.

Contoh.

Apa logaritma dan lg10 ?

Larutan.

Karena , itu mengikuti dari definisi logaritma .

Dalam contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal dari sepuluh sama dengan satu, yaitu, lg10=lg10 1 =1 .

Menjawab:

Dan lg10=1 .

Perhatikan bahwa menghitung logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan log kesetaraan a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika angka di bawah tanda logaritma dan basis logaritma dengan mudah direpresentasikan sebagai kekuatan beberapa angka, sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh menemukan logaritma, yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritma dari .

Larutan.

Menjawab:

.

Sifat-sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya dalam paragraf berikut.

Menemukan logaritma dalam hal logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan sifat-sifat logaritma dalam perhitungannya. Tetapi di sini perbedaan utamanya adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita tahu bahwa log 2 3≈1.584963 , maka kita dapat menemukan, misalnya, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma produk. Namun, jauh lebih sering Anda harus menggunakan gudang properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli dalam hal yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma dari 27 hingga basis 60 jika diketahui bahwa log 60 2=a dan log 60 5=b .

Larutan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27=3 3 , dan logaritma asli, karena sifat dari logaritma derajat, dapat ditulis ulang sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 dapat dinyatakan dalam logaritma yang diketahui. Properti logaritma dari angka yang sama dengan basis memungkinkan Anda untuk menulis log kesetaraan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Lewat sini, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Akibatnya, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Akhirnya, kami menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Menjawab:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma bentuk . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya, dari logaritma asli, menurut rumus transisi, mereka beralih ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini ada tabel logaritma yang memungkinkannya dihitung dengan tingkat akurasi tertentu. Di bagian selanjutnya, kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Tabel logaritma, kegunaannya

Untuk perkiraan perhitungan nilai logaritma, seseorang dapat menggunakan tabel logaritma. Yang paling umum digunakan adalah tabel logaritma basis 2, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel logaritma ke basis sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar menemukan nilai-nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan, dengan akurasi sepersepuluh ribu, untuk menemukan nilai-nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal). Kami akan menganalisis prinsip menemukan nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menggunakan contoh spesifik - lebih jelas. Mari temukan lg1,256 .

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kami menemukan dua digit pertama dari angka 1.256, yaitu, kami menemukan 1.2 (angka ini dilingkari dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari angka asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (angka ini dilingkari dengan warna hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka dalam sel tabel logaritma di persimpangan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot dalam warna oranye). Jumlah angka yang ditandai memberikan nilai yang diinginkan dari logaritma desimal hingga tempat desimal keempat, yaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk menemukan nilai logaritma desimal dari angka yang memiliki lebih dari tiga digit setelah titik desimal, dan juga melampaui batas dari 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332 . Pertama, Anda perlu menulis nomor dalam bentuk standar: 102.76332=1.0276332 10 2 . Setelah itu, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, kita punya 1.0276332 10 2 1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal asli kira-kira sama dengan logaritma dari angka yang dihasilkan, yaitu, kita mengambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang terapkan properti logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhirnya, kami menemukan nilai logaritma lg1.028 menurut tabel logaritma desimal lg1.028≈0,0086+0,0034=0,012. Akibatnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa menggunakan tabel logaritma desimal, Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk pergi ke logaritma desimal, menemukan nilainya dalam tabel, dan melakukan perhitungan yang tersisa.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma, kami memiliki . Dari tabel logaritma desimal kita menemukan lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Lewat sini, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).