Membandingkan segitiga dengan jajar genjang. Sifat-sifat diagonal jajar genjang

Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali alas (a) dan tinggi (h). Anda juga dapat mencari luasnya melalui dua sisi, sudut, dan diagonal.

Sifat-sifat jajar genjang

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama persis

Pertama-tama, mari kita menggambar diagonalnya \(AC\) . Kita mendapatkan dua segitiga: \(ABC\) dan \(ADC\).

Karena \(ABCD\) adalah jajar genjang, maka pernyataan berikut ini benar:

\(AD || BC \Panah Kanan \sudut 1 = \sudut 2\) seperti berbaring melintang.

\(AB || CD \Panah Kanan \sudut3 = \sudut 4\) seperti berbaring melintang.

Oleh karena itu, (menurut kriteria kedua: dan \(AC\) adalah umum).

Dan itu artinya \(\segitiga ABC = \segitiga ADC\), lalu \(AB = CD\) dan \(AD = BC\) .

2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

Menurut buktinya properti 1 Kami tahu itu \(\sudut 1 = \sudut 2, \sudut 3 = \sudut 4\). Jadi jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah: \(\sudut 1 + \sudut 3 = \sudut 2 + \sudut 4\). Mengingat bahwa \(\segitiga ABC = \segitiga ADC\) kita mendapatkan \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

3. Diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya

Oleh properti 1 kita tahu bahwa sisi-sisi yang berhadapan adalah sama: \(AB = CD\) . Sekali lagi, perhatikan sudut-sudut yang sama letaknya melintang.

Jadi jelas bahwa \(\segitiga AOB = \segitiga COD\) menurut kriteria kedua persamaan segitiga (dua sudut dan sisi di antara keduanya). Artinya, \(BO = OD\) (berlawanan dengan sudut \(\angle 2\) dan \(\angle 1\) ) dan \(AO = OC\) (berlawanan dengan sudut \(\angle 3\) dan \( \sudut 4\) masing-masing).

Tanda-tanda jajaran genjang

Jika hanya ada satu fitur dalam soal Anda, maka gambar tersebut adalah jajar genjang dan Anda dapat menggunakan semua properti dari gambar tersebut.

Untuk menghafal lebih baik, perhatikan bahwa tanda jajar genjang akan menjawab pertanyaan berikut - "bagaimana cara mengetahuinya?". Yaitu, cara mengetahui suatu bangun datar adalah jajar genjang.

1. Jajargenjang adalah segi empat yang kedua sisinya sama panjang dan sejajar

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Panah Kanan ABCD\)- jajaran genjang.

Mari kita lihat lebih dekat. Mengapa \(AD || BC \) ?

\(\segitiga ABC = \segitiga ADC\) Oleh properti 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) terletak melintang jika \(AB \) dan \(CD \) serta garis potong \(AC \) sejajar.

Tapi jika \(\segitiga ABC = \segitiga ADC\), maka \(\angle 3 = \angle 4 \) (terletak berlawanan \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) dan \(\angle 4 \) - yang terletak melintang juga sama).

Tanda pertama benar.

2. Jajargenjang adalah segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sama panjang

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Panah Kanan ABCD \) adalah jajar genjang.

Mari kita perhatikan tanda ini. Mari kita menggambar diagonal \(AC\) lagi.

Oleh properti 1\(\segitiga ABC = \segitiga ACD\).

Oleh karena itu: \(\sudut 1 = \sudut 2 \Panah Kanan IKLAN || BC \) Dan \(\sudut 3 = \sudut 4 \Panah Kanan AB || CD \), yaitu \(ABCD\) adalah jajar genjang.

Tanda kedua benar.

3. Jajargenjang adalah segi empat yang sudut-sudutnya berhadapan sama besar

\(\sudut A = \sudut C\) , \(\sudut B = \sudut D \Panah Kanan ABCD\)- jajaran genjang.

\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(karena \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) dengan syarat).

Ternyata, . Namun \(\alpha \) dan \(\beta \) bersifat internal satu sisi pada garis potong \(AB \) .

Dan apa \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \) juga mengatakan bahwa \(AD || BC \) .

Topik pelajaran

• Sifat-sifat diagonal jajar genjang.

Tujuan Pelajaran

• Kenali definisi baru dan ingat beberapa definisi yang sudah dipelajari.
• Nyatakan dan buktikan sifat-sifat diagonal jajar genjang.
• Belajar menerapkan sifat-sifat bentuk ketika memecahkan masalah.
• Perkembangan – untuk mengembangkan perhatian, ketekunan, ketekunan, berpikir logis, pidato matematika.
• Edukasi – melalui pembelajaran menumbuhkan sikap penuh perhatian terhadap sesama, menanamkan kemampuan mendengarkan kawan, gotong royong, dan kemandirian.

Tujuan Pelajaran

• Uji keterampilan pemecahan masalah siswa.

Rencana belajar

1. Perkenalan.
2. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.
3. Jajar genjang, sifat dan ciri-cirinya.
4. Contoh tugas.
5. Periksa sendiri.

Perkenalan

"Besar penemuan ilmiah memberikan solusi masalah besar, namun dalam memecahkan masalah apa pun, ada sedikit penemuan.”

Sifat sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang

Jajargenjang mempunyai sisi-sisi berhadapan yang sama besar.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajaran genjang yang diberikan. Dan biarkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.
Karena Δ AOB = Δ COD dengan kriteria pertama persamaan segitiga (∠ AOB = ∠ COD, sebagai segitiga vertikal, AO=OC, DO=OB, berdasarkan sifat diagonal jajar genjang), maka AB=CD. Begitu pula dari persamaan segitiga BOC dan DOA diperoleh BC = DA. Teorema tersebut telah terbukti.

Sifat-sifat sudut berhadapan pada jajar genjang

Di jajaran genjang sudut yang berlawanan adalah sama.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajaran genjang yang diberikan. Dan biarkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.
Dari yang dibuktikan pada teorema sifat-sifat sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang Δ ABC = Δ CDA pada tiga sisi (AB=CD, BC=DA dari yang dibuktikan, AC – umum). Dari persamaan segitiga diperoleh ∠ ABC = ∠ CDA.
Terbukti juga bahwa ∠ DAB = ∠ BCD yang berasal dari ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema tersebut telah terbukti.

Sifat-sifat diagonal jajar genjang

Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan dan dibagi dua di titik perpotongannya.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajaran genjang yang diberikan. Mari kita menggambar diagonal AC. Mari kita tandai bagian tengah O di atasnya. Pada kelanjutan segmen DO, kita sisihkan segmen OB 1 sama dengan DO.
Berdasarkan teorema sebelumnya, AB 1 CD adalah jajar genjang. Oleh karena itu, garis AB 1 sejajar dengan DC. Tetapi melalui titik A hanya dapat ditarik satu garis yang sejajar DC. Artinya garis AB 1 berimpit dengan garis AB.
Terbukti juga bahwa SM 1 bertepatan dengan SM. Artinya titik C berimpit dengan C1. jajar genjang ABCD berimpit dengan jajar genjang AB 1 CD. Akibatnya, diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan dan dibagi dua di titik perpotongannya. Teorema tersebut telah terbukti.

Dalam buku teks untuk sekolah reguler(misalnya di Pogorelov) dibuktikan seperti ini: diagonal membagi jajar genjang menjadi 4 segitiga. Mari kita perhatikan satu pasang dan cari tahu - keduanya sama besar: alasnya adalah sisi yang berhadapan, sudut-sudut yang berdekatan di dekatnya sama besar, seperti sudut vertikal dengan garis sejajar. Artinya, ruas-ruas diagonalnya berpasangan sama besar. Semua.

Apakah itu semuanya?
Di atas telah dibuktikan bahwa titik potong membagi dua diagonalnya – jika ada. Alasan di atas tidak membuktikan keberadaannya sama sekali. Artinya, sebagian teorema “diagonal jajar genjang berpotongan” masih belum terbukti.

Lucunya, bagian ini lebih sulit dibuktikan. Ini mengikuti hasil yang lebih umum: setiap segi empat cembung akan mempunyai diagonal-diagonal yang berpotongan, tetapi segiempat non-cembung tidak akan berpotongan.

Tentang persamaan segitiga sepanjang satu sisi dan dua sudut yang berdekatan (tanda kedua persamaan segitiga) dan lain-lain.

Thales menemukan teorema penting tentang persamaan dua segitiga sepanjang satu sisi dan dua sudut yang berdekatan penggunaan praktis. Pengintai dibangun di pelabuhan Miletus untuk menentukan jarak ke kapal di laut. Terdiri dari tiga pasak yang digerakkan A, B dan C (AB = BC) dan garis lurus bertanda SC, tegak lurus CA. Ketika sebuah kapal muncul pada garis lurus SK, kita menemukan titik D sedemikian rupa sehingga titik D, .B dan E berada pada garis lurus yang sama. Terlihat jelas dari gambar, jarak CD di darat adalah jarak yang diinginkan ke kapal.

Pertanyaan

1. Apakah diagonal-diagonal suatu persegi dibagi dua oleh titik potongnya?
   
2. Apakah diagonal-diagonal jajar genjang sama besar?
3. Apakah sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar?
4. Sebutkan definisi jajar genjang?
5. Berapa banyak tanda jajar genjang?
   
6. Bisakah belah ketupat menjadi jajar genjang?
   

Daftar sumber yang digunakan

1. Kuznetsov A.V., guru matematika (kelas 5-9), Kyiv
2. "Lajang Ujian negara 2006. Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk mempersiapkan siswa / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. “Memecahkan masalah kompetisi utama dalam matematika dari koleksi yang diedit oleh M. I. Skanavi”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: buku teks untuk lembaga pendidikan”

Kami mengerjakan pelajaran

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Ajukan pertanyaan tentang pendidikan modern, mengungkapkan ide atau memecahkan masalah yang mendesak, Anda bisa forum pendidikan, tempat dewan pendidikan yang berisi pemikiran dan tindakan segar bertemu secara internasional. Setelah dibuat blog, Anda tidak hanya akan meningkatkan status Anda sebagai guru yang kompeten, tetapi juga memberikan kontribusi yang signifikan bagi perkembangan sekolah masa depan. Persatuan Pemimpin Pendidikan membuka pintu bagi para spesialis peringkat atas dan mengundang mereka untuk bekerja sama dalam menciptakan sekolah terbaik di dunia.

Mata Pelajaran > Matematika > Matematika kelas 8

Untuk menentukan apakah suatu bangun merupakan jajar genjang, ada beberapa tanda. Mari kita lihat tiga fitur utama jajaran genjang.

1 tanda jajar genjang

Jika dua sisi suatu segi empat sama panjang dan sejajar, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.

Bukti:

Perhatikan segi empat ABCD. Misalkan sisi AB dan CD sejajar. Dan misalkan AB=CD. Mari menggambar BD diagonal di dalamnya. Ini akan membagi segiempat ini menjadi dua segitiga sama besar: ABD dan CBD.

Segitiga-segitiga ini sama besar satu sama lain sepanjang dua sisi dan sudut di antara keduanya (BD adalah sisi persekutuan, AB = CD dengan syarat, sudut1 = sudut2 sebagai sudut bersilangan dengan transversal BD garis sejajar AB dan CD.), dan oleh karena itu sudut3 = sudut4.

Dan sudut-sudut tersebut akan terletak bersilangan jika garis BC dan AD berpotongan dengan garis potong BD. Oleh karena itu BC dan AD sejajar satu sama lain. Diketahui bahwa pada segi empat ABCD, sisi-sisi yang berhadapan sejajar berpasangan, sehingga segi empat ABCD adalah jajar genjang.

Tanda jajar genjang 2

Jika pada suatu segi empat sisi-sisi yang berhadapan sama besar berpasangan, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.

Bukti:

Perhatikan segi empat ABCD. Mari menggambar BD diagonal di dalamnya. Ini akan membagi segiempat ini menjadi dua segitiga sama besar: ABD dan CBD.

Kedua segitiga ini akan sama panjang pada ketiga sisinya (BD adalah sisi persekutuan, AB = CD dan BC = AD dengan syarat). Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa sudut1 = sudut2. Maka AB sejajar dengan CD. Dan karena AB = CD dan AB sejajar dengan CD, maka menurut kriteria pertama jajar genjang, maka segi empat ABCD adalah jajar genjang.

3 tanda jajaran genjang

Jika diagonal-diagonal suatu segi empat berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.

Perhatikan segiempat ABCD. Mari kita menggambar dua diagonal AC dan BD di dalamnya, yang berpotongan di titik O dan dibagi dua oleh titik ini.

Segitiga AOB dan COD akan sama besar, sesuai dengan tanda pertama persamaan segitiga. (AO = OC, BO = OD dengan syarat, sudut AOB = sudut COD sebagai sudut vertikal.) Jadi AB = CD dan sudut1 = sudut 2. Dari persamaan sudut 1 dan 2 diperoleh AB sejajar CD. Maka kita mendapatkan bahwa pada segi empat ABCD sisi-sisi AB sama dengan CD dan sejajar, dan menurut kriteria pertama jajar genjang, segi empat ABCD adalah jajar genjang.

Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan. Gambar berikut menunjukkan jajaran genjang ABCD. mempunyai sisi AB sejajar dengan sisi CD dan sisi BC sejajar dengan sisi AD.

Seperti yang sudah Anda duga, jajaran genjang adalah segi empat cembung. Mari kita perhatikan sifat-sifat dasar jajaran genjang.

Sifat-sifat jajar genjang

1. Pada jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan dan sisi-sisi yang berhadapan sama besar. Mari kita buktikan sifat ini - perhatikan jajaran genjang yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Diagonal BD membaginya menjadi dua segitiga sama besar: ABD dan CBD. Kedua sudut tersebut sama besar sepanjang sisi BD dan kedua sudut yang berdekatan, karena sudut-sudut tersebut terletak bersilangan pada garis potong BD dari garis sejajar BC dan AD serta AB dan CD. Oleh karena itu AB = CD dan
SM = IKLAN. Dan dari persamaan sudut 1, 2, 3 dan 4 diperoleh sudut A = sudut1 + sudut3 = sudut2 + sudut4 = sudut C.

2. Diagonal-diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya. Misalkan titik O adalah titik potong diagonal AC dan BD jajar genjang ABCD.

Maka segitiga AOB dan segitiga COD sama besar, sepanjang sisinya dan dua sudut yang berdekatan. (AB = CD karena keduanya merupakan sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang. Dan sudut1 = sudut2 dan sudut3 = sudut4 adalah sudut bersilangan jika garis AB dan CD masing-masing berpotongan dengan garis potong AC dan BD.) Oleh karena itu, AO = OC dan OB = OD yang perlu dibuktikan.

Semua properti utama diilustrasikan dalam tiga gambar berikut.

Jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar, yaitu terletak pada garis sejajar (Gbr. 1).

Teorema 1. Tentang sifat-sifat sisi dan sudut jajar genjang. Pada jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, dan jumlah sudut-sudut yang berdekatan pada salah satu sisi jajar genjang adalah 180°.

Bukti. Pada jajar genjang ABCD ini kita menggambar diagonal AC dan mendapatkan dua segitiga ABC dan ADC (Gbr. 2).

Segitiga-segitiga ini sama besar, karena ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (sudut bersilangan untuk garis sejajar), dan sisi AC bersekutu. Dari persamaan Δ ABC = Δ ADC maka AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan pada salah satu sisi, misalnya sudut A dan D, sama dengan 180° jika satu sisi untuk garis sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Komentar. Persamaan sisi-sisi yang berhadapan pada suatu jajar genjang berarti bahwa ruas-ruas sejajar yang dipotong oleh jajar genjang adalah sama besar.

Akibat wajar 1. Jika dua garis sejajar, maka semua titik pada satu garis berjarak sama terhadap garis lainnya.

Bukti. Memang, biarkan || b (Gbr. 3).

Mari kita tarik garis tegak lurus BA dan CD pada garis lurus a dari dua titik B dan C pada garis b. Sejak AB || CD, maka bangun ABCD merupakan jajar genjang, maka AB = CD.

Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak dari suatu titik sembarang pada salah satu garis ke garis lainnya.

Berdasarkan pembuktian, sama dengan panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar ke garis yang lain.

Contoh 1. Keliling jajar genjang adalah 122 cm. Salah satu sisinya lebih besar 25 cm dari sisi jajar genjang lainnya.

Larutan. Berdasarkan Teorema 1, sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang adalah sama besar. Mari kita nyatakan satu sisi jajar genjang dengan x dan sisi lainnya dengan y. Kemudian, dengan kondisi $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Menyelesaikan sistem ini, kita memperoleh x = 43, y = 18 Jadi, sisi-sisi jajar genjang tersebut adalah 18, 43, 18 dan 43 cm.

Contoh 2.

Larutan. Biarkan Gambar 4 memenuhi kondisi masalah.

Mari kita nyatakan AB dengan x, dan BC dengan y. Sesuai syarat, keliling jajar genjang adalah 10 cm, yaitu 2(x + y) = 10, atau x + y = 5. Keliling segitiga ABD adalah 8 cm, maka AB + AD = x + y = 5 maka BD = 8 - 5 = 3. Jadi BD = 3 cm.

Contoh 3. Temukan sudut-sudut jajar genjang, dengan mengetahui bahwa salah satunya lebih besar 50° dari yang lain.

Larutan. Biarkan Gambar 5 memenuhi kondisi masalah.

Mari kita nyatakan besar derajat sudut A dengan x. Kemudian ukuran derajat sudut D sama dengan x + 50°.

Sudut BAD dan ADC merupakan sudut dalam satu sisi dengan garis sejajar AB dan DC serta garis potong AD. Maka jumlah sudut-sudut yang disebutkan ini adalah 180°, yaitu.
x + x + 50° = 180°, atau x = 65°. Jadi, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Contoh 4. Panjang sisi jajar genjang adalah 4,5 dm dan 1,2 dm. Garis bagi diambil dari titik sudut lancip. Sisi jajar genjang yang lebih besar dibagi menjadi bagian apa?

Larutan. Biarkan Gambar 6 memenuhi kondisi masalah.

AE adalah garis bagi sudut lancip suatu jajar genjang. Oleh karena itu, ∠ 1 = ∠ 2.