Teorema Cheva dan Menelaus. Penyelesaian masalah menggunakan teorema Menelaus Segitiga siku-siku Teorema Chevy Menelaus
— Apa persamaan teorema Menelaus dan obat-obatan?
“Semua orang tahu tentangnya, tapi tidak ada yang membicarakannya.”
Percakapan khas dengan seorang siswa
Ini adalah teorema keren yang akan membantu Anda pada saat tampaknya tidak ada yang bisa membantu. Dalam pelajaran ini kita akan merumuskan teorema itu sendiri, mempertimbangkan beberapa opsi untuk penggunaannya, dan sebagai hidangan penutup Anda akan memiliki beberapa pekerjaan rumah yang sulit. Pergi!
Pertama, kata-katanya. Mungkin saya tidak akan memberikan versi teorema yang paling "indah", tetapi yang paling mudah dipahami dan nyaman.
teorema Menelaus. Mari kita perhatikan segitiga sembarang $ABC$ dan garis lurus tertentu $l$ yang memotong dua sisi segitiga kita secara internal dan satu sisi pada kelanjutannya. Mari kita nyatakan titik potong $M$, $N$ dan $K$:
Segitiga $ABC$ dan garis potong $l$
Maka hubungan berikut ini benar:
\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]
Saya ingin mencatat: tidak perlu menjejali penempatan huruf dalam formula jahat ini! Sekarang saya akan memberi tahu Anda sebuah algoritme yang dengannya Anda selalu dapat memulihkan ketiga pecahan dengan cepat. Bahkan saat ujian dalam keadaan stres. Bahkan jika Anda duduk di geometri pada jam 3 pagi dan tidak mengerti apa pun :).
Skemanya sederhana:
- Gambarlah sebuah segitiga dan garis potong. Misalnya seperti yang ditunjukkan pada teorema. Kami menunjuk simpul dan titik dengan beberapa huruf. Bisa berupa segitiga sembarang $ABC$ dan garis lurus dengan titik $M$, $N$, $K$, atau lainnya - bukan itu intinya.
- Tempatkan pena (pensil, spidol, pena bulu) di setiap titik sudut segitiga dan mulailah melintasi sisi-sisi segitiga ini dengan wajib masuk pada titik potong dengan garis lurus. Misalnya, jika kita pertama kali berpindah dari titik $A$ ke titik $B$, kita akan mendapatkan segmen: $AM$ dan $MB$, lalu $BN$ dan $NC$, dan kemudian (perhatian!) $CK$ dan $KA$ . Karena titik $K$ terletak pada kelanjutan sisi $AC$, ketika berpindah dari $C$ ke $A$ Anda harus meninggalkan segitiga untuk sementara.
- Dan sekarang kita cukup membagi segmen yang berdekatan satu sama lain persis sesuai urutan yang kita terima saat melintasi: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - kita mendapatkan tiga pecahan, yang produknya akan memberi kita satu.
Pada gambar akan terlihat seperti ini:
Skema sederhana yang memungkinkan Anda mengembalikan formula dari Menelaus Dan hanya beberapa komentar. Lebih tepatnya, ini bahkan bukan komentar, tetapi jawaban atas pertanyaan umum:
- Apa yang terjadi jika garis $l$ melalui titik sudut segitiga? Jawaban: tidak ada. Teorema Menelaus tidak berlaku dalam kasus ini.
- Apa yang terjadi jika Anda memilih titik lain untuk memulai atau menuju ke arah lain? Jawaban: itu akan sama. Urutan pecahan akan berubah begitu saja.
Saya pikir kami sudah memilah kata-katanya. Mari kita lihat bagaimana semua bahan ini digunakan untuk memecahkan masalah geometri yang kompleks.
Mengapa semua ini diperlukan?
Peringatan. Penggunaan teorema Menelaus yang berlebihan untuk memecahkan masalah planimetri dapat menyebabkan kerusakan yang tidak dapat diperbaiki pada jiwa Anda, karena teorema ini secara signifikan mempercepat perhitungan dan memaksa Anda untuk mengingat fakta penting lainnya dari kursus geometri sekolah.
Bukti
Saya tidak akan membuktikannya. :)
Oke, saya akan buktikan:
Sekarang tinggal membandingkan dua nilai yang diperoleh untuk segmen $CT$:
\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]
\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]
Oke, semuanya sudah berakhir. Sekarang. Yang tersisa hanyalah “menyisir” rumus ini dengan menempatkan huruf-huruf di dalam segmen dengan benar - dan rumusnya sudah siap :)
Kelas: 9
Tujuan pelajaran:
- menggeneralisasi, memperluas dan mensistematisasikan pengetahuan dan keterampilan siswa; mengajarkan bagaimana menggunakan pengetahuan ketika memecahkan masalah yang kompleks;
- mempromosikan pengembangan keterampilan penerapan pengetahuan secara mandiri dalam memecahkan masalah;
- mengembangkan pemikiran logis dan ucapan matematis siswa, kemampuan menganalisis, membandingkan dan menggeneralisasi;
- menanamkan rasa percaya diri dan kerja keras pada siswa; kemampuan bekerja dalam tim.
Tujuan pelajaran:
- Pendidikan: ulangi teorema Menelaus dan Cheva; menerapkannya ketika memecahkan masalah.
- Pembangunan: belajar mengajukan hipotesis dan dengan terampil mempertahankan pendapat Anda dengan bukti; uji kemampuan Anda untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan Anda.
- Pendidikan: meningkatkan minat pada subjek dan mempersiapkan diri untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.
Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.
Peralatan: kartu untuk kerja kolektif dalam pelajaran tentang topik ini, kartu individu untuk kerja mandiri, komputer, proyektor multimedia, layar.
Selama kelas
Tahap I. Momen organisasi (1 menit)
Guru mengumumkan topik dan tujuan pelajaran.
Tahap II. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar (10 menit)
Guru: Selama pelajaran, kita akan mengingat teorema Menelaus dan Cheva agar berhasil melanjutkan pemecahan masalah. Mari kita lihat layar yang menampilkannya. Teorema manakah yang diberikan pada angka ini? (Teorema Menelaus). Cobalah untuk merumuskan teorema dengan jelas.
Gambar 1
Misalkan titik A 1 terletak pada sisi BC segitiga ABC, titik C 1 pada sisi AB, titik B 1 pada kelanjutan sisi AC di luar titik C. Titik A 1 , B 1 dan C 1 terletak pada satu garis lurus jika dan hanya jika kesetaraan berlaku 
Guru: Mari kita simak bersama-sama gambar berikut ini. Nyatakan teorema untuk gambar ini.
Gambar 2
Garis AD memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari sisi ketiga segitiga IUD.
Menurut teorema Menelaus 
Garis lurus MB memotong dua sisi dan perpanjangan sisi ketiga segitiga ADC.
Menurut teorema Menelaus 
Guru: Teorema apa yang sesuai dengan gambar tersebut? (Teorema Ceva). Nyatakan teoremanya.
Gambar 3
Misalkan titik A 1 pada segitiga ABC terletak pada sisi BC, titik B 1 pada sisi AC, titik C 1 pada sisi AB. Ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan berlaku 
Tahap III. Penyelesaian masalah. (22 menit)
Kelas dibagi menjadi 3 tim, masing-masing menerima kartu dengan dua tugas berbeda. Waktu diberikan untuk memutuskan, kemudian yang berikut ini muncul di layar:<Рисунки 4-9>. Berdasarkan gambar tugas yang telah diselesaikan, perwakilan tim secara bergiliran menjelaskan solusi mereka. Setiap penjelasan dilanjutkan dengan diskusi, menjawab pertanyaan, dan mengecek kebenaran solusi di layar. Semua anggota tim mengambil bagian dalam diskusi. Semakin aktif sebuah tim, semakin tinggi peringkatnya saat menyimpulkan hasil.
Kartu 1.
1. Pada segitiga ABC, titik N diambil pada sisi BC sehingga NC = 3BN; pada kelanjutan sisi AC, titik M diambil sebagai titik A sehingga MA = AC. Garis MN memotong sisi AB di titik F. Tentukan perbandingannya
2. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Solusi 1
Gambar 4
Sesuai dengan kondisi soal MA = AC, NC = 3BN. Misalkan MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Garis MN memotong dua sisi segitiga ABC dan lanjutan segitiga ketiga.
Menurut teorema Menelaus 
Menjawab:
Bukti 2
Gambar 5
Misalkan AM 1, BM 2, CM 3 adalah median segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa ruas-ruas tersebut berpotongan pada satu titik, cukup ditunjukkan hal tersebut 
Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), ruas AM 1, BM 2 dan CM 3 berpotongan di satu titik.
Kita punya: 
Jadi, median suatu segitiga terbukti berpotongan di satu titik.
Kartu 2.
1. Titik N diambil pada sisi PQ segitiga PQR, dan titik L diambil pada sisi PR, dan NQ = LR. Titik potong ruas QL dan NR membagi QL dengan perbandingan m:n, dihitung dari titik Q. Tentukan
2. Buktikan bahwa garis-bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Solusi 1
Gambar 6
Dengan syarat NQ = LR, Misalkan NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Garis NR memotong dua sisi segitiga PQL dan lanjutan segitiga ketiga.
Menurut teorema Menelaus 
Menjawab:
Bukti 2
Gambar 7
Mari kita tunjukkan itu 
Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), AL 1, BL 2, CL 3 berpotongan di satu titik. Berdasarkan sifat garis bagi segitiga
Mengalikan persamaan yang diperoleh suku demi suku, kita peroleh 
Untuk garis-bagi suatu segitiga, persamaan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, keduanya berpotongan di satu titik.
Kartu 3.
1. Pada segitiga ABC, AD adalah mediannya, titik O adalah titik tengah mediannya. Garis lurus BO memotong sisi AC di titik K. Berapa perbandingan titik K membagi AC dihitung dari titik A?
2. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran terdapat pada sebuah segitiga, maka ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga tersebut dengan titik-titik singgung sisi-sisi yang berhadapan berpotongan di satu titik.
Solusi 1
Angka 8
Misalkan BD = DC = a, AO = OD = m. Garis lurus BK memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari ketiga sisi segitiga ADC.
Menurut teorema Menelaus 
Menjawab:
Bukti 2
Gambar 9
Misalkan A 1, B 1 dan C 1 adalah titik singgung lingkaran segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik, cukup dibuktikan persamaan Cheva berlaku: 
Dengan menggunakan sifat garis singgung lingkaran dari satu titik, kita perkenalkan notasi berikut: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Persamaan Cheva terpenuhi, artinya garis-bagi segitiga berpotongan di satu titik.
Tahap IV. Pemecahan masalah (kerja mandiri) (8 menit)
Guru: Pekerjaan tim telah selesai dan sekarang kita akan memulai pekerjaan mandiri pada kartu individu untuk 2 pilihan.
Bahan pelajaran hasil karya mandiri siswa
Pilihan 1. Pada segitiga ABC yang luasnya 6, pada sisi AB ada titik K yang membagi sisi tersebut dengan perbandingan AK:BK = 2:3, dan pada sisi AC ada titik L yang membagi AC dengan perbandingan AL:LC = 5:3. Titik Q perpotongan garis lurus СК dan BL dihilangkan dari garis lurus AB pada jarak . Tentukan panjang sisi AB. (Jawaban: 4.)
Pilihan 2. Pada sisi AC pada segitiga ABC diambil titik K = 1, KS = 3. Pada sisi AB diambil titik L:LB = 2:3, Q merupakan titik potong garis lurus BK dan CL. Hitunglah panjang tinggi segitiga ABC yang dijatuhkan dari titik sudut B. (Jawaban: 1.5.)
Pekerjaan diserahkan kepada guru untuk diperiksa.
tahap V. Ringkasan pelajaran (2 menit)
Kesalahan yang dibuat dianalisis, jawaban dan komentar asli dicatat. Hasil kerja masing-masing tim dirangkum dan diberi nilai.
Tahap VI. Pekerjaan rumah (1 menit)
Pekerjaan rumah terdiri dari soal No.11, 12 hal.289-290, No.10 hal.301.
Kata-kata terakhir dari guru (1 menit).
Hari ini Anda mendengar pidato matematika satu sama lain dari luar dan menilai kemampuan Anda. Di masa depan, kami akan menggunakan diskusi semacam ini untuk lebih memahami subjek ini. Argumen dalam pembelajaran berteman dengan fakta, dan teori dengan praktik. Terima kasih semua.
Literatur:
- Tkachuk V.V. Matematika untuk pelamar. – M.: MTsNMO, 2005.
Kelas: 9
Tujuan pelajaran:
- menggeneralisasi, memperluas dan mensistematisasikan pengetahuan dan keterampilan siswa; mengajarkan bagaimana menggunakan pengetahuan ketika memecahkan masalah yang kompleks;
- mempromosikan pengembangan keterampilan penerapan pengetahuan secara mandiri dalam memecahkan masalah;
- mengembangkan pemikiran logis dan ucapan matematis siswa, kemampuan menganalisis, membandingkan dan menggeneralisasi;
- menanamkan rasa percaya diri dan kerja keras pada siswa; kemampuan bekerja dalam tim.
Tujuan pelajaran:
- Pendidikan: ulangi teorema Menelaus dan Cheva; menerapkannya ketika memecahkan masalah.
- Pembangunan: belajar mengajukan hipotesis dan dengan terampil mempertahankan pendapat Anda dengan bukti; uji kemampuan Anda untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan Anda.
- Pendidikan: meningkatkan minat pada subjek dan mempersiapkan diri untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.
Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.
Peralatan: kartu untuk kerja kolektif dalam pelajaran tentang topik ini, kartu individu untuk kerja mandiri, komputer, proyektor multimedia, layar.
Selama kelas
Tahap I. Momen organisasi (1 menit)
Guru mengumumkan topik dan tujuan pelajaran.
Tahap II. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar (10 menit)
Guru: Selama pelajaran, kita akan mengingat teorema Menelaus dan Cheva agar berhasil melanjutkan pemecahan masalah. Mari kita lihat layar yang menampilkannya. Teorema manakah yang diberikan pada angka ini? (Teorema Menelaus). Cobalah untuk merumuskan teorema dengan jelas.
Gambar 1
Misalkan titik A 1 terletak pada sisi BC segitiga ABC, titik C 1 pada sisi AB, titik B 1 pada kelanjutan sisi AC di luar titik C. Titik A 1 , B 1 dan C 1 terletak pada satu garis lurus jika dan hanya jika kesetaraan berlaku 
Guru: Mari kita simak bersama-sama gambar berikut ini. Nyatakan teorema untuk gambar ini.
Gambar 2
Garis AD memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari sisi ketiga segitiga IUD.
Menurut teorema Menelaus 
Garis lurus MB memotong dua sisi dan perpanjangan sisi ketiga segitiga ADC.
Menurut teorema Menelaus 
Guru: Teorema apa yang sesuai dengan gambar tersebut? (Teorema Ceva). Nyatakan teoremanya.
Gambar 3
Misalkan titik A 1 pada segitiga ABC terletak pada sisi BC, titik B 1 pada sisi AC, titik C 1 pada sisi AB. Ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan berlaku 
Tahap III. Penyelesaian masalah. (22 menit)
Kelas dibagi menjadi 3 tim, masing-masing menerima kartu dengan dua tugas berbeda. Waktu diberikan untuk memutuskan, kemudian yang berikut ini muncul di layar:<Рисунки 4-9>. Berdasarkan gambar tugas yang telah diselesaikan, perwakilan tim secara bergiliran menjelaskan solusi mereka. Setiap penjelasan dilanjutkan dengan diskusi, menjawab pertanyaan, dan mengecek kebenaran solusi di layar. Semua anggota tim mengambil bagian dalam diskusi. Semakin aktif sebuah tim, semakin tinggi peringkatnya saat menyimpulkan hasil.
Kartu 1.
1. Pada segitiga ABC, titik N diambil pada sisi BC sehingga NC = 3BN; pada kelanjutan sisi AC, titik M diambil sebagai titik A sehingga MA = AC. Garis MN memotong sisi AB di titik F. Tentukan perbandingannya
2. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Solusi 1
Gambar 4
Sesuai dengan kondisi soal MA = AC, NC = 3BN. Misalkan MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Garis MN memotong dua sisi segitiga ABC dan lanjutan segitiga ketiga.
Menurut teorema Menelaus 
Menjawab:
Bukti 2
Gambar 5
Misalkan AM 1, BM 2, CM 3 adalah median segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa ruas-ruas tersebut berpotongan pada satu titik, cukup ditunjukkan hal tersebut 
Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), ruas AM 1, BM 2 dan CM 3 berpotongan di satu titik.
Kita punya: 
Jadi, median suatu segitiga terbukti berpotongan di satu titik.
Kartu 2.
1. Titik N diambil pada sisi PQ segitiga PQR, dan titik L diambil pada sisi PR, dan NQ = LR. Titik potong ruas QL dan NR membagi QL dengan perbandingan m:n, dihitung dari titik Q. Tentukan
2. Buktikan bahwa garis-bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Solusi 1
Gambar 6
Dengan syarat NQ = LR, Misalkan NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Garis NR memotong dua sisi segitiga PQL dan lanjutan segitiga ketiga.
Menurut teorema Menelaus 
Menjawab:
Bukti 2
Gambar 7
Mari kita tunjukkan itu 
Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), AL 1, BL 2, CL 3 berpotongan di satu titik. Berdasarkan sifat garis bagi segitiga
Mengalikan persamaan yang diperoleh suku demi suku, kita peroleh 
Untuk garis-bagi suatu segitiga, persamaan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, keduanya berpotongan di satu titik.
Kartu 3.
1. Pada segitiga ABC, AD adalah mediannya, titik O adalah titik tengah mediannya. Garis lurus BO memotong sisi AC di titik K. Berapa perbandingan titik K membagi AC dihitung dari titik A?
2. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran terdapat pada sebuah segitiga, maka ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga tersebut dengan titik-titik singgung sisi-sisi yang berhadapan berpotongan di satu titik.
Solusi 1
Angka 8
Misalkan BD = DC = a, AO = OD = m. Garis lurus BK memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari ketiga sisi segitiga ADC.
Menurut teorema Menelaus 
Menjawab:
Bukti 2
Gambar 9
Misalkan A 1, B 1 dan C 1 adalah titik singgung lingkaran segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik, cukup dibuktikan persamaan Cheva berlaku: 
Dengan menggunakan sifat garis singgung lingkaran dari satu titik, kita perkenalkan notasi berikut: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Persamaan Cheva terpenuhi, artinya garis-bagi segitiga berpotongan di satu titik.
Tahap IV. Pemecahan masalah (kerja mandiri) (8 menit)
Guru: Pekerjaan tim telah selesai dan sekarang kita akan memulai pekerjaan mandiri pada kartu individu untuk 2 pilihan.
Bahan pelajaran hasil karya mandiri siswa
Pilihan 1. Pada segitiga ABC yang luasnya 6, pada sisi AB ada titik K yang membagi sisi tersebut dengan perbandingan AK:BK = 2:3, dan pada sisi AC ada titik L yang membagi AC dengan perbandingan AL:LC = 5:3. Titik Q perpotongan garis lurus СК dan BL dihilangkan dari garis lurus AB pada jarak . Tentukan panjang sisi AB. (Jawaban: 4.)
Pilihan 2. Pada sisi AC pada segitiga ABC diambil titik K = 1, KS = 3. Pada sisi AB diambil titik L:LB = 2:3, Q merupakan titik potong garis lurus BK dan CL. Hitunglah panjang tinggi segitiga ABC yang dijatuhkan dari titik sudut B. (Jawaban: 1.5.)
Pekerjaan diserahkan kepada guru untuk diperiksa.
tahap V. Ringkasan pelajaran (2 menit)
Kesalahan yang dibuat dianalisis, jawaban dan komentar asli dicatat. Hasil kerja masing-masing tim dirangkum dan diberi nilai.
Tahap VI. Pekerjaan rumah (1 menit)
Pekerjaan rumah terdiri dari soal No.11, 12 hal.289-290, No.10 hal.301.
Kata-kata terakhir dari guru (1 menit).
Hari ini Anda mendengar pidato matematika satu sama lain dari luar dan menilai kemampuan Anda. Di masa depan, kami akan menggunakan diskusi semacam ini untuk lebih memahami subjek ini. Argumen dalam pembelajaran berteman dengan fakta, dan teori dengan praktik. Terima kasih semua.
Literatur:
- Tkachuk V.V. Matematika untuk pelamar. – M.: MTsNMO, 2005.
TEOREMA CHEVA DAN MENELAUS
teorema Ceva
Sebagian besar titik segitiga yang luar biasa dapat diperoleh dengan menggunakan prosedur berikut. Misalkan ada aturan yang dengannya kita dapat memilih titik A tertentu 1 , pada sisi BC (atau perpanjangannya) segitiga ABC (misalnya, pilih titik tengah sisi ini). Kemudian kita akan membuat titik B yang serupa 1, C 1 di dua sisi segitiga lainnya (dalam contoh kita, ada dua titik tengah lagi dari sisi-sisinya). Jika aturan seleksi berhasil, maka lurus AA 1, BB 1, CC 1 akan berpotongan di suatu titik Z (pemilihan titik tengah sisi-sisinya dalam pengertian ini, tentu saja berhasil, karena median segitiga berpotongan di satu titik).
Saya ingin memiliki beberapa metode umum yang memungkinkan seseorang untuk menentukan dari posisi titik-titik pada sisi-sisi segitiga apakah tripel garis yang bersesuaian berpotongan di satu titik atau tidak.
Kondisi universal yang “menutup” masalah ini ditemukan pada tahun 1678 oleh seorang insinyur ItaliaGiovanni Cheva .
Definisi. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut suatu segitiga dengan titik-titik pada sisi-sisi yang berhadapan (atau perpanjangan-perpanjangannya) disebut cevians jika mereka berpotongan di satu titik.
Ada dua kemungkinan lokasi cevians. Dalam satu versi, intinya
persimpangannya bersifat internal, dan ujung cevian terletak pada sisi segitiga. Pada pilihan kedua, titik potongnya berada di luar, ujung salah satu cevian terletak di samping, dan ujung dua cevian lainnya terletak pada perpanjangan sisi-sisinya (lihat gambar).
Teorema 3. (teorema langsung Ceva) Pada segitiga sembarang ABC, titik A diambil masing-masing pada sisi BC, CA, AB atau perpanjangannya 1 , DI DALAM 1 , DENGAN 1 , seperti itu langsung AA 1 , BB 1 , SS 1 berpotongan di beberapa titik yang sama, kalau begitu
.
Bukti: Meskipun beberapa bukti asli teorema Ceva diketahui, kita akan mempertimbangkan bukti berdasarkan penerapan ganda teorema Menelaus. Mari kita tuliskan hubungan teorema Menelaus untuk pertama kalinya untuk sebuah segitigaABB 1 dan garis potong CC 1 (kami menunjukkan titik perpotongan ceviansZ):
,
dan kedua kalinya untuk segitigaB 1 SM dan garis potong A A. 1 :
.
Mengalikan kedua rasio ini dan melakukan pengurangan yang diperlukan, kita memperoleh rasio yang terkandung dalam pernyataan teorema.
Teorema 4. (Teorema kebalikan Ceva) . Kalau untuk yang dipilih pada sisi-sisi segitiga ABC atau perluasan poinnya A 1 , DI DALAM 1 Dan C 1 Kondisi Cheva terpenuhi:
,
lalu lurus A A. 1 , BB 1 Dan CC 1 berpotongan di satu titik .
Pembuktian teorema ini dilakukan dengan cara kontradiksi, seperti halnya pembuktian teorema Menelaus.
Mari kita perhatikan contoh penerapan teorema langsung dan invers Ceva.
Contoh 3. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Larutan. Pertimbangkan hubungannya
untuk titik sudut suatu segitiga dan titik tengah sisi-sisinya. Tentunya pada setiap pecahan pembilang dan penyebutnya mempunyai ruas-ruas yang sama, sehingga semua pecahan tersebut sama dengan satu. Oleh karena itu, hubungan Cheva dipenuhi, oleh karena itu, dengan teorema kebalikannya, median berpotongan di satu titik.
Teorema (teorema Ceva) . Biarkan poinnya berbaring miring dan segitiga masing-masing. Biarkan segmennya Dan berpotongan di satu titik. Kemudian
(kita mengelilingi segitiga searah jarum jam).
Bukti. Mari kita nyatakan dengan titik potong segmen Dan . Mari kita hilangkan poinnya Dan tegak lurus terhadap suatu garissebelum memotongnya di titik-titik Dan sesuai (lihat gambar).
Karena segitiga Dan mempunyai sisi yang sama, maka luasnya dihubungkan dengan ketinggian yang ditarik ke sisi ini, yaitu. Dan :
Persamaan terakhir benar, karena segitiga siku-siku Dan serupa pada sudut lancip.
Demikian pula yang kita dapatkan
Dan 
Mari kalikan ketiga persamaan ini:
Q.E.D.
Tentang median:
1. Tempatkan satuan massa pada titik sudut segitiga ABC.
2. Pusat massa titik A dan B berada di tengah AB. Pusat massa seluruh sistem harus berada di median sisi AB, karena pusat massa segitiga ABC adalah pusat massa dari pusat massa titik A dan B, serta titik C.
(itu menjadi membingungkan)
3. Demikian pula - CM harus terletak di median sisi AC dan BC
4. Karena CM adalah satu titik, maka ketiga median tersebut harus berpotongan di titik tersebut.
Ngomong-ngomong, berdasarkan persimpangan mereka dibagi dengan perbandingan 2:1. Karena massa pusat massa titik A dan B adalah 2, dan massa titik C adalah 1, maka pusat massa persekutuan menurut teorema proporsi akan membagi median dengan perbandingan 2/1 .
Terima kasih banyak, disajikan dengan cara yang mudah dipahami, saya rasa tidak ada salahnya jika disajikan pembuktiannya dengan menggunakan metode geometri massa, misalnya:
Garis AA1 dan CC1 berpotongan di titik O; AC1: C1B = p dan BA1: A1C = q. Kita perlu membuktikan bahwa garis BB1 melalui titik O jika dan hanya jika CB1:B1A = 1:pq.
Mari kita tempatkan massa 1, p dan pq berturut-turut di titik A, B dan C. Maka titik C1 adalah pusat massa titik A dan B, dan titik A1 adalah pusat massa titik B dan C. Jadi, pusat massa titik A, B, dan C dengan massa tersebut adalah titik potong O dari jalur CC1 dan AA1. Sebaliknya, titik O terletak pada ruas yang menghubungkan titik B dengan pusat massa titik A dan C. Jika B1 adalah pusat massa titik A dan C yang bermassa 1 dan pq, maka AB1: B1C = pq: 1. Perlu diperhatikan bahwa pada ruas AC terdapat satu titik yang membaginya dengan perbandingan AB1:B1C.
2. Teorema Ceva
Ruas garis yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik pada sisi yang berhadapan disebutceviana . Jadi, jika berbentuk segitigaABC X , Y dan Z - titik-titik yang terletak di sampingSM , C.A. , AB karenanya, maka segmennyaKAPAK , OLEH , CZ adalah Chevian. Istilah ini berasal dari matematikawan Italia Giovanni Ceva, yang pada tahun 1678 menerbitkan teorema yang sangat berguna berikut ini:
Dalil 1.21. Jika tiga cevian AX, BY, CZ (satu dari masing-masing titik sudut) pada segitiga ABC bersifat kompetitif, maka
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .
| Beras. 3. |
Ketika kita mengatakan bahwa tiga garis (atau segmen)kompetitif , maka yang kami maksud adalah semuanya melewati satu titik, yang kami nyatakan denganP . Untuk membuktikan teorema Ceva, ingatlah bahwa luas segitiga yang sama tingginya sebanding dengan alas segitiga. Mengacu pada Gambar 3, kita memiliki:
|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.
Juga,
|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.
Sekarang jika kita mengalikannya, kita mendapatkannya
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .
Kebalikan dari teorema ini juga benar:
Dalil 1.22. Jika tiga cevians AX, BY, CZ memenuhi relasi tersebut
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,
maka mereka kompetitif .
Untuk menunjukkan hal ini, misalkan dua cevian pertama berpotongan di suatu titikP , seperti sebelumnya, dan cevian ketiga melewati titik tersebutP , akanCZ′ . Kemudian, berdasarkan Teorema 1.21,
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .
Tapi berdasarkan asumsi
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .
Karena itu,
|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,
dotZ′ bertepatan dengan intinyaZ , dan kami membuktikan bahwa segmen tersebutKAPAK , OLEH DanCZ kompetitif (, hal. 54 dan, hal. 48, 317).
Teorema Menelaus atau teorema segiempat lengkap telah dikenal sejak zaman Yunani Kuno. Ia menerima namanya untuk menghormati penulisnya, seorang ahli matematika dan astronom Yunani kuno. Menelaus dari Aleksandria(sekitar tahun 100 M). Teorema ini sangat indah dan sederhana, namun sayangnya tidak mendapat perhatian yang cukup dalam kursus sekolah modern. Sementara itu, dalam banyak kasus membantu memecahkan masalah geometri yang cukup rumit dengan sangat mudah dan elegan.
Teorema 1 (Teorema Menelaus). Misalkan ∆ABC dipotong oleh sebuah garis yang tidak sejajar dengan sisi AB dan masing-masing memotong kedua sisinya AC dan BC di titik F dan E, dan garis AB di titik D (Gbr. 1),
maka A F FC * CE EB * BD DA = 1
Catatan. Untuk memudahkan mengingat rumus ini, Anda dapat menggunakan aturan berikut: bergerak sepanjang kontur segitiga dari titik sudut ke titik potong dengan garis dan dari titik potong ke titik sudut berikutnya.
Bukti. Dari titik sudut A, B, C segitiga kita tarik masing-masing tiga garis sejajar sampai berpotongan dengan garis potong. Kita mendapatkan tiga pasang segitiga sebangun (tanda kesebangunan pada dua sudut). Persamaan berikut mengikuti persamaan segitiga:
Sekarang mari kalikan persamaan yang dihasilkan ini:
Teorema tersebut telah terbukti.
Untuk merasakan keindahan teorema ini, mari kita coba menyelesaikan masalah geometri yang diajukan di bawah ini dengan dua cara berbeda: menggunakan konstruksi bantu dan dengan bantuan Teorema Menelaus.
Tugas 1.
Pada ∆ABC, garis bagi AD membagi sisi BC dengan perbandingan 2:1. Berapakah median CE yang membagi garis bagi tersebut?
Larutan.
Menggunakan konstruksi bantu:
Misalkan S adalah titik potong garis bagi AD dan median CE. Mari kita buat ∆ASB menjadi jajar genjang ASBK. (Gbr. 2)
Jelasnya SE = EK, karena titik potong jajar genjang membagi dua diagonalnya. Sekarang mari kita perhatikan segitiga ∆CBK dan ∆CDS. Sangat mudah untuk melihat bahwa keduanya serupa (tanda kesamaan pada dua sudut: dan sebagai sudut satu sisi dalam dengan garis sejajar AD dan KB dan garis potong CB). Dari persamaan segitiga berikut ini:
Dengan menggunakan kondisi tersebut, kita peroleh:
CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3
Sekarang perhatikan bahwa KB = AS, seperti sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang. Kemudian
SEBAGAI SD = KB SD = CB CD = 3
Menggunakan teorema Menelaus.
Mari kita perhatikan ∆ABD dan terapkan teorema Menelaus pada garis tersebut (garis yang melalui titik C, S, E adalah garis potong):
JADILAH EA * SEBAGAI SD * DC CB = 1
Berdasarkan ketentuan teorema, kita mempunyai BE/EA = 1, karena CE adalah median, dan DC/CB = 1/3, seperti yang telah kita hitung sebelumnya.
1 * SEBAGAI SD * 1 3 = 1
Dari sini kita mendapatkan AS/SD = 3 Sekilas, kedua solusi tersebut cukup kompak dan kurang lebih setara. Namun gagasan tentang konstruksi tambahan untuk anak sekolah seringkali ternyata sangat kompleks dan sama sekali tidak kentara, padahal dengan mengetahui teorema Menelaus, ia hanya perlu menerapkannya dengan benar.
Mari kita pertimbangkan masalah lain di mana teorema Menelaus bekerja dengan sangat elegan.
Tugas 2.
Pada sisi AB dan BC ∆ABC terdapat titik M dan N berturut-turut, sehingga persamaan berikut berlaku:
AM MB = CN NA = 1 2
Berapa perbandingan titik potong S ruas BN dan CM membagi masing-masing ruas tersebut (Gbr. 3)?
Larutan.
Mari kita pertimbangkan ∆ABN. Mari kita terapkan teorema Menelaus pada segitiga ini (garis yang melalui titik M, S, C adalah garis potong)
AM MB * BC SN * CN CA = 1
Dari kondisi masalah yang kita peroleh: AM MB = 1 2
NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3
Mari kita gantikan hasil ini dan dapatkan:
1 2 * BS SN * 1 3 = 1
Jadi BS/SN = 6. Jadi, titik S perpotongan ruas BN dan CM membagi ruas BN dengan perbandingan 6:1.
Mari kita pertimbangkan ∆ACM. Mari kita terapkan teorema Menelaus pada segitiga ini (garis yang melalui titik N, S, B adalah garis potong):
AN NC * CS SM * MB BA = 1
Dari kondisi masalah yang kita peroleh: AN NC = 2
MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3
Mari kita gantikan hasil ini dan dapatkan:
2 * CS SM * 2 3 = 1
Jadi CS/SM = 3/4
Jadi, titik S perpotongan ruas BN dan CM membagi ruas CM dengan perbandingan 3:4.
Teorema kebalikan dari teorema Menelaus juga benar. Seringkali hal ini ternyata lebih bermanfaat. Ini bekerja sangat baik dalam masalah pembuktian. Seringkali, dengan bantuannya, bahkan masalah Olimpiade diselesaikan dengan indah, mudah dan cepat.
Teorema 2(Kebalikan teorema Menelaus). Misalkan terdapat segitiga ABC dan titik D, E, F berturut-turut termasuk dalam garis BC, AC, AB (perhatikan bahwa titik-titik tersebut dapat terletak pada sisi-sisi segitiga ABC dan pada perpanjangannya) (Gbr. 4).
Maka jika AF FC * CE EB * BD DA = 1
maka titik D, E, F terletak pada garis yang sama.
Bukti. Mari kita buktikan teorema dengan kontradiksi. Mari kita asumsikan bahwa hubungan dari kondisi teorema terpenuhi, tetapi titik F tidak terletak pada garis DE (Gbr. 5).
Mari kita nyatakan titik potong garis DE dan AB dengan huruf O. Sekarang kita terapkan teorema Menelaus dan dapatkan: AE EC * CD DB * BO OA = 1
Namun sebaliknya persamaan BF FA = BO OA
tidak dapat dieksekusi.
Oleh karena itu, hubungan dari kondisi teorema tidak dapat dipenuhi. Kami mendapat kontradiksi.
Teorema tersebut telah terbukti.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
