KULIAH 4

HUKUM DASAR KINETIKA DAN DINAMIKA

GERAKAN ROTARY. MEKANIS

SIFAT-SIFAT BIOTISK. BIOMEKANIK

PROSES DALAM SISTEM LOKOMOTOR

MANUSIA.

1. Hukum dasar kinematika gerak rotasi.

Gerakan rotasi tubuh di sekitar sumbu tetap adalah jenis gerakan yang paling sederhana. Hal ini ditandai oleh fakta bahwa setiap titik tubuh menggambarkan lingkaran, yang pusatnya terletak pada satu garis lurus 0 0 , yang disebut sumbu rotasi (Gbr. 1).

Dalam hal ini, posisi benda pada setiap saat ditentukan oleh sudut rotasi dari vektor jari-jari R dari sembarang titik A relatif terhadap posisi awalnya. Ketergantungannya pada waktu:

(1)

adalah persamaan gerak rotasi. Kecepatan rotasi benda dicirikan oleh kecepatan sudut . Kecepatan sudut semua titik benda yang berputar adalah sama. Ini adalah besaran vektor. Vektor ini diarahkan sepanjang sumbu rotasi dan terkait dengan arah rotasi dengan aturan sekrup kanan:

. (2)

Dengan gerak beraturan suatu titik sepanjang lingkaran

, (3)

di mana =2π adalah sudut yang berhubungan dengan satu putaran penuh benda, t=T adalah waktu satu putaran penuh, atau periode rotasi. Satuan pengukuran kecepatan sudut [ω]=c -1.

Dengan gerakan seragam, percepatan tubuh dicirikan oleh percepatan sudut (vektornya terletak mirip dengan vektor kecepatan sudut dan diarahkan sesuai dengan itu dalam dipercepat dan dalam arah yang berlawanan - dalam gerakan lambat):

. (4)

Satuan percepatan sudut [ε]=c -2 .

Gerak rotasi juga dapat dicirikan oleh kecepatan linier dan percepatan titik-titik individualnya. Panjang busur dS, dijelaskan oleh sembarang titik A (Gbr. 1) ketika diputar melalui sudut dφ, ditentukan oleh rumus: dS=Rdφ. (5)

Maka kecepatan linier titik :

. (6)

Percepatan linier sebuah:

. (7)

2. Hukum dasar dinamika gerak rotasi.

Rotasi benda di sekitar sumbu disebabkan oleh gaya F yang diterapkan pada sembarang titik benda, bekerja dalam bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi dan diarahkan (atau memiliki komponen dalam arah ini) tegak lurus terhadap vektor jari-jari benda. titik aplikasi (Gbr. 1).

Momen kekuatan relatif terhadap pusat rotasi disebut besaran vektor yang secara numerik sama dengan produk gaya dengan panjang tegak lurus d, diturunkan dari pusat rotasi ke arah gaya, yang disebut lengan gaya. Pada Gambar.1 d=R, oleh karena itu

. (8)

Momen gaya putar merupakan besaran vektor. Vektor melekat pada pusat lingkaran O dan diarahkan sepanjang sumbu rotasi. arah vektor konsisten dengan arah gaya menurut aturan sekrup kanan. Kerja dasar dA i , ketika berbelok melalui sudut kecil dφ, ketika benda melewati lintasan kecil dS, sama dengan:

Ukuran kelembaman suatu benda yang bergerak translasi adalah massa. Ketika sebuah benda berputar, ukuran inersianya dicirikan oleh momen inersia benda terhadap sumbu rotasi.

Momen inersia I i dari titik material relatif terhadap sumbu rotasi adalah nilai yang sama dengan produk massa titik dan kuadrat jaraknya dari sumbu (Gbr. 2):

. (10)

Momen inersia benda terhadap sumbu adalah jumlah momen inersia dari titik-titik material yang membentuk benda:

. (11)

Atau pada limit (n→∞):
, (12)

G de integrasi dilakukan pada seluruh volume V. Dengan cara yang sama, momen inersia benda homogen dengan bentuk geometris beraturan dihitung. Momen inersia dinyatakan dalam kg m 2 .

Momen inersia seseorang relatif terhadap sumbu vertikal rotasi yang melewati pusat massa (pusat massa seseorang berada di bidang sagital sedikit di depan vertebra silang kedua), tergantung pada posisi orang tersebut, memiliki nilai sebagai berikut: 1,2 kg m 2 pada perhatian; 17 kg m 2 - dalam posisi horizontal.

Ketika sebuah benda berotasi, energi kinetiknya adalah jumlah energi kinetik dari masing-masing titik tubuh:

Membedakan (14), kita memperoleh perubahan dasar dalam energi kinetik:

. (15)

Dengan menyamakan kerja dasar (rumus 9) gaya eksternal dengan perubahan dasar energi kinetik (rumus 15), kita peroleh:
, di mana:
atau mempertimbangkan itu
kita mendapatkan:
. (16)

Persamaan ini disebut persamaan dasar dinamika gerak rotasi. Ketergantungan ini mirip dengan hukum II Newton untuk gerak translasi.

Momentum sudut L i dari titik material relatif terhadap sumbu adalah nilai yang sama dengan produk momentum titik dan jaraknya ke sumbu rotasi:

. (17)

Momen sudut L dari benda yang berputar pada sumbu tetap:

Momentum sudut adalah besaran vektor yang berorientasi sepanjang arah vektor kecepatan sudut.

Sekarang mari kita kembali ke persamaan utama (16):

,
.

Kami membawa nilai konstan I di bawah tanda diferensial dan mendapatkan:
, (19)

di mana Mdt disebut impuls momen gaya. Jika gaya luar tidak bekerja pada benda (M=0), maka perubahan momentum sudut (dL=0) juga sama dengan nol. Ini berarti bahwa momentum sudut tetap konstan:
. (20)

Kesimpulan ini disebut hukum kekekalan momentum sudut terhadap sumbu rotasi. Ini digunakan, misalnya, untuk gerakan rotasi tentang sumbu bebas dalam olahraga, seperti akrobat, dll. Dengan demikian, seorang skater sosok di atas es, dengan mengubah posisi tubuh selama rotasi dan, dengan demikian, momen inersia relatif terhadap sumbu rotasi, dapat mengatur kecepatan rotasinya.

Sebuah benda tegar yang berputar di sekitar beberapa sumbu yang melewati pusat massa, jika dibebaskan dari pengaruh luar, mempertahankan rotasi tanpa batas.. (Kesimpulan ini mirip dengan hukum pertama Newton untuk gerak translasi).

Terjadinya rotasi benda tegar selalu disebabkan oleh aksi gaya eksternal yang diterapkan pada titik-titik individual tubuh. Dalam hal ini, munculnya deformasi dan munculnya kekuatan internal tidak dapat dihindari, yang dalam kasus benda padat memastikan pelestarian praktis bentuknya. Ketika aksi kekuatan eksternal berhenti, rotasi dipertahankan: kekuatan internal tidak dapat menyebabkan atau menghancurkan rotasi benda tegar.

Hasil kerja gaya luar pada benda dengan sumbu rotasi tetap adalah gerak rotasi benda dipercepat. (Kesimpulan ini mirip dengan hukum kedua Newton untuk gerak translasi).

Hukum dasar dinamika gerak rotasi: dalam kerangka acuan inersia, percepatan sudut yang diperoleh benda yang berputar pada sumbu tetap sebanding dengan momen total semua gaya luar yang bekerja pada benda, dan berbanding terbalik dengan momen inersia benda terhadap sumbu tertentu :

Dimungkinkan untuk memberikan formulasi yang lebih sederhana hukum dasar dinamika gerak rotasi(disebut juga Hukum kedua Newton untuk gerak rotasi): torsi sama dengan produk momen inersia dan percepatan sudut:

momentum sudut(momentum sudut, momentum sudut) suatu benda disebut hasil kali momen inersianya dengan kecepatan sudut:

Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arahnya bertepatan dengan arah vektor kecepatan sudut.

Perubahan momentum sudut didefinisikan sebagai berikut:

. (I.112)

Perubahan momentum sudut (dengan momen inersia konstan benda) hanya dapat terjadi sebagai akibat dari perubahan kecepatan sudut dan selalu disebabkan oleh aksi momen gaya.

Menurut rumus, serta rumus (I.110) dan (I.112), perubahan momentum sudut dapat direpresentasikan sebagai:

. (I.113)

Produk dalam rumus (I.113) disebut momen gaya impuls atau momen mengemudi. Ini sama dengan perubahan momentum sudut.

Rumus (I.113) berlaku asalkan momen gaya tidak berubah terhadap waktu. Jika momen gaya bergantung pada waktu, mis. , kemudian

. (I.114)

Rumus (I.114) menunjukkan bahwa: perubahan momentum sudut sama dengan integral waktu dari momen gaya. Selain itu, jika rumus ini disajikan dalam bentuk: , maka definisi akan mengikutinya momen kekuatan: momen gaya sesaat adalah turunan pertama dari momen momentum terhadap waktu,

PEKERJAAN LABORATORIUM 107

Verifikasi persamaan dasar dinamika

gerakan berputar

Objektif:Verifikasi eksperimental hukum dasar dinamika gerak rotasi menggunakan pendulum Oberbeck.

Instrumen dan aksesori: Pendulum Oberbeck dengan FRM milidetik - 15, kaliper vernier.

Pengantar teoretis

Ketika mempertimbangkan rotasi benda tegar dari sudut pandang dinamis, bersama dengan konsep gaya, konsep momen gaya diperkenalkan, dan bersama dengan konsep massa, konsep momen inersia.

Biarkan titik material dengan massa t di bawah aksi gaya eksternal, ia bergerak secara lengkung relatif terhadap titik tetap O. Sebuah momen gaya bekerja pada suatu titik material dan titik tersebut memiliki momen momentum. Posisi titik material yang bergerak ditentukan oleh vektor radius yang ditarik dari titik O (Gbr. 1). Momen gaya relatif terhadap titik tetap O disebut besaran vektor yang sama dengan hasil kali vektor jari-jari vektor vektor gaya

Vektor diarahkan tegak lurus terhadap bidang vektor dan dan arahnya sesuai dengan aturan sekrup kanan. Modulus momen gaya sama dengan

di mana sebuah - sudut antara vektor dan , h = rsin sebuah - bahu gaya, sama dengan jarak terpendek dari titik O ke garis aksi (di mana gaya bekerja) gaya.

Momentum sudut relatif terhadap titik O disebut besaran vektor yang sama dengan hasil kali vektor jari-jari vektor dengan vektor momentum, yaitu

Vektor diarahkan tegak lurus terhadap bidang vektor dan (Gbr. 2). Modulus momentum sudut sama dengan

di mana b - sudut antara arah vektor dan .

Hukum dasar dinamika gerak rotasi

Misalkan sistem mekanik yang terdiri dari N titik material di bawah aksi gaya eksternal, yang resultannya, membuat gerakan lengkung relatif terhadap titik tetap O, yaitu

di mana adalah vektor jari-jari yang ditarik dari titik O ke saya titik material, adalah vektor gaya yang bekerja pada saya-titik materi.

Anda juga dapat menemukan momentum sudut sistem

dimana momentum sudut saya-titik materi.

Momentum sudut bergantung pada waktu t karena kecepatan adalah fungsi waktu. Mengambil turunan dari momentum sistem terhadap waktu t, kita mendapatkan

Rumus (7) adalah ekspresi matematis dari hukum dasar dinamika gerak rotasi sistem, yang menurutnya laju perubahan momentum sudut sistem dari waktu ke waktu sama dengan momen yang dihasilkan dari gaya eksternal yang bekerja pada sistem.

Hukum (7) juga berlaku untuk benda tegar, karena benda tegar dapat dianggap sebagai kumpulan titik material.

Biarkan dalam kasus tertentu, benda tegar berputar pada sumbu tetap yang melewati pusat massa, di bawah aksi gaya eksternal. Tubuh kaku dibagi menjadi poin material. Untuk titik material dengan massa m i persamaan gerak akan ditulis

Momen sudut untuk saya- titik material sama dengan

Sejak saat rotasib = 90 0 , maka kecepatan linier berhubungan dengan kecepatan sudut dengan rumus Maka (9) dapat ditulis sebagai

Nilainya adalah momen inersia titik material terhadap sumbu Z. Kemudian (10) berbentuk

Dengan mempertimbangkan (11), hukum dasar dinamika gerak rotasi benda tegar relatif terhadap sumbu tetap ditulis

di mana adalah momen inersia benda tegar terhadap sumbu Z.

Pada

dimana adalah percepatan sudut. Menurut persamaan utama dinamika gerak rotasi (12), momen yang dihasilkan dari gaya eksternal yang bekerja pada benda sama dengan produk momen inersia J benda dan percepatan sudutnya.

Dari persamaan (12) diperoleh bahwa pada j = konstanta percepatan sudut benda

berbanding lurus dengan momen gaya eksternal relatif terhadap sumbu rotasi, mis.

Pada M = konstanta percepatan sudut berbanding terbalik dengan momen inersia benda, mis.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk memeriksa hubungan (13) dan (14), dan, akibatnya, persamaan dasar dinamika gerak rotasi (12), konsekuensinya.

Deskripsi pengaturan operasi dan metode pengukuran

Untuk memeriksa hubungan (13) dan (14), digunakan pendulum Oberbeck, yang merupakan roda inersia berbentuk salib. Pada empat batang yang saling tegak lurus 1 ada empat beban silinder identik 2, yang dapat dipindahkan sepanjang batang dan dipasang pada jarak tertentu dari sumbu. Beban diperbaiki secara simetris, mis. sehingga pusat massanya berimpit dengan sumbu rotasi. Pada sumbu horizontal salib ada disk dua tahap 3, di mana benang dililit. Salah satu ujung utas terpasang ke disk, dan beban 4 ditangguhkan dari ujung kedua utas, di bawah tindakan yang mendorong perangkat ke rotasi. Pandangan umum pendulum Oberbeck FRM-06 ditunjukkan pada Gbr.3. Elektromagnet pengereman digunakan untuk menahan sistem crosshead bersama-sama dengan beban saat diam. Untuk membaca ketinggian jatuhnya barang, skala milimeter 5 diterapkan pada kolom Waktu jatuhnya beban 4 diukur dengan arloji FRM-15 milidetik, yang sensor fotolistrik No. 1 (6 ) dan No. 2 (7) terhubung. Sensor fotolistrik No. 2 (7) menghasilkan impuls listrik dari pengukuran akhir waktu dan menyalakan elektromagnet rem.

Jika Anda membiarkan beban 4 bergerak, maka gerakan ini akan terjadi dengan percepatan sebuah.

di mana t- waktu pergerakan kargo dari ketinggian h. Dalam hal ini, katrol dengan batang dan beban yang terletak di atasnya akan berputar dengan percepatan sudute .

di mana r- radius katrol.

Torsi gaya yang diterapkan pada salib dan melaporkan percepatan sudut dari bagian perangkat yang berputar, kami temukan dengan rumus

di mana T- gaya tegangan tali. Menurut hukum kedua Newton untuk beban 4 kita memiliki

di mana

di mana g- percepatan gravitasi.

Dari rumus (12), (15), (16), (17) dan (19) kita peroleh

Prosedur untuk melakukan pekerjaan dan memproses hasil pengukuran

1. Ukur jari-jari katrol besar dan kecil dengan jangka sorong r 1 dan r 2 .

2. Tentukan massa kargo 4 dengan menimbang timbangan teknis dengan akurat± 0,1 g

3. Periksa relasi (13). Untuk ini:

- pasang beban bergerak silindris pada batang pada jarak terdekat dari sumbu rotasi sehingga potongan melintang berada dalam posisi keseimbangan acuh tak acuh;

- gulung benang di sekitar katrol radius besar r1 dan mengukur waktu pergerakan kargo t dari tinggi h jam tangan milidetik, mengapa

- sambungkan kabel daya meteran ke catu daya;

- tekan tombol "JARINGAN" dan periksa apakah semua indikator meteran menunjukkan nol dan apakah semua indikator kedua sensor fotolistrik menyala;

- pindahkan beban ke posisi teratas dan periksa apakah sirkuit dalam keadaan diam;

- tekan tombol "MULAI" dan ukur waktu pergerakan beban dengan arloji milidetik;

- tekan tombol "RESET" dan periksa apakah pembacaan meter telah diatur ulang ke nol dan kunci telah dilepaskan oleh elektromagnet;

- pindahkan beban ke posisi atas, tekan tombol "MULAI" dan periksa apakah sirkuit telah diblokir lagi;

- ulangi percobaan sebanyak 5 kali. Tinggi h tidak disarankan untuk mengubah selama seluruh operasi;

- menggunakan rumus (15), (16), (20) hitung nilainya sebuah 1 , e 1 , M 1 ;

- tanpa mengubah lokasi beban bergerak dan dengan demikian membiarkan momen inersia sistem tidak berubah, ulangi percobaan dengan melilitkan ulir dengan beban pada katrol kecil dengan jari-jari r2;

- menggunakan rumus (15), (16), (20) hitung nilainya sebuah 2 , e 2 , M 2 ;

- periksa keabsahan akibat hukum dasar dinamika gerak rotasi:

, pada

- masukkan data hasil pengukuran dan perhitungan pada tabel 1 dan 2.

4. Periksa rasio (1 empat). Untuk ini:

- dorong beban yang dapat dipindahkan hingga berhenti di ujung batang, tetapi agar potongan melintang kembali berada dalam posisi keseimbangan yang tidak berbeda;

- untuk katrol kecil r2 menentukan waktu pergerakan kargo t/ menurut 5 percobaan;

- menggunakan rumus (15), (20), (21) tentukan nilainya sebuah / , e / , J1;

- saat memeriksa rasio ketika Anda dapat menggunakan nilai-nilai pengalaman sebelumnya dengan mengatur dan ;

- menggunakan rumus (21) tentukan nilainya J 2 ;

- menghitung nilai dan .

- Catat hasil pengukuran dan perhitungan pada Tabel 3.

Tabel 1

r1	m	h	t 1	< t 1 >	sebuah 1	e 1	M 1
	kg				m/s 2	dari -2	H × m

Meja 2

r2	t 2	< t 2 >	sebuah 2	e 2	M 2	M 1 /M 2	e 1 / e 2
			m/s 2	dari -2	H × m

Tabel 3

r 2	t /	< t / >	sebuah /	e /	J 1	sebuah //	J 2	e //	e / / e //	J 2 / J 1
			m/s 2	dari -2	kg × m 2	m/s 2	kg × m 2	dari -2

Pertanyaan untuk masuk kerja

1. Apa tujuan dari pekerjaan itu?

2. Merumuskan hukum dasar dinamika gerak rotasi. Jelaskan arti fisis dari besaran-besaran yang termasuk dalam hukum ini, tunjukkan satuan pengukurannya dalam "SI".

3. Jelaskan perangkat instalasi yang berfungsi.

Pertanyaan untuk melindungi pekerjaan

1. Berikan definisi momen gaya, momen momentum titik material relatif terhadap titik tetap O.

2. Rumuskan hukum dasar dinamika gerak rotasi benda tegar relatif terhadap titik tetap O dan sumbu tetap Z.

3. Tentukan momen inersia titik material dan benda tegar.

4. Turunkan rumus kerja.

5. Turunkan rasio untuk dan untuk

6. Apakah ada kritik terhadap karya ini?

Momen kekuatan

Aksi rotasi suatu gaya ditentukan oleh momentumnya. Momen gaya terhadap suatu titik adalah hasil kali silang

Vektor radius ditarik dari titik ke titik penerapan gaya (Gbr. 2.12). Satuan ukuran momen gaya.

Gambar 2.12

Besarnya momen gaya

atau Anda dapat menulis

di mana adalah bahu gaya (jarak terpendek dari titik ke garis aksi gaya).

Arah vektor ditentukan oleh aturan perkalian silang atau aturan "sekrup kanan" (kita gabungkan vektor dan translasi paralel di titik O, arah vektor ditentukan sehingga dari ujungnya belokan dari vektor ke terlihat berlawanan arah jarum jam - pada Gambar 2.12 vektor diarahkan tegak lurus ke bidang yang menggambar "dari kami" (demikian pula, menurut aturan gimlet - gerakan translasi sesuai dengan arah vektor, rotasi sesuai dengan belokan dari untuk)).

Momen suatu gaya terhadap suatu titik adalah nol jika garis kerja gaya tersebut melalui titik tersebut.

Proyeksi vektor pada sumbu apa pun, misalnya, sumbu z, disebut momen gaya terhadap sumbu ini. Untuk menentukan momen gaya terhadap sumbu, pertama-tama proyeksikan gaya ke bidang yang tegak lurus terhadap sumbu (Gbr. 2.13), dan kemudian cari momen proyeksi ini relatif terhadap titik perpotongan sumbu dengan bidang yang tegak lurus terhadapnya . Jika garis aksi gaya sejajar dengan sumbu, atau melintasinya, maka momen gaya terhadap sumbu ini sama dengan nol.

Gambar 2.13

momentum sudut

Momen momentum poin materi massa yang bergerak dengan kecepatan relatif terhadap sembarang titik acuan disebut hasil kali vektor

Vektor jari-jari suatu titik material (Gbr. 2.14) adalah momentumnya.

Gambar 2.14

Nilai momentum sudut titik material

dimana adalah jarak terpendek dari garis vektor ke titik .

Arah momentum sudut ditentukan sama dengan arah momen gaya.

Jika ekspresi untuk L 0 dikalikan dan dibagi l, kita mendapatkan:

Di mana - momen inersia titik material - analog massa dalam gerakan rotasi.

Kecepatan sudut.

Momen inersia benda tegar

Dapat dilihat bahwa rumus yang dihasilkan sangat mirip dengan ekspresi untuk momentum dan hukum kedua Newton, masing-masing, hanya sebagai ganti kecepatan dan percepatan linier, kecepatan sudut dan percepatan digunakan, dan sebagai ganti massa, kuantitas saya = mR 2, disebut momen inersia suatu titik material .

Jika benda tidak dapat dianggap sebagai titik material, tetapi dapat dianggap benar-benar kaku, maka momen inersianya dapat dianggap sebagai jumlah momen inersia dari bagian-bagiannya yang sangat kecil, karena kecepatan sudut rotasi bagian-bagian ini adalah sama. (Gbr. 2.16). Jumlah dari infinitesimal adalah integral:

Untuk benda apa pun, ada sumbu yang melewati pusat inersianya, yang memiliki sifat berikut: ketika benda berputar di sekitar sumbu tersebut tanpa adanya pengaruh eksternal, sumbu rotasi tidak mengubah posisinya. Sumbu seperti itu disebut sumbu bebas tubuh . Dapat dibuktikan bahwa untuk benda dengan bentuk apa pun dan dengan distribusi kerapatan apa pun, ada tiga sumbu bebas yang saling tegak lurus, yang disebut sumbu utama inersia tubuh. Momen inersia suatu benda terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama (intrinsik) tubuh.

Momen inersia utama dari beberapa benda diberikan dalam tabel:

teorema Huygens-Steiner.

Ungkapan ini disebut Teorema Huygens-Steiner : momen inersia benda terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia benda terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu yang diberikan dan melewati pusat massa benda, dan hasil kali massa benda dengan kuadrat jarak antara sumbu.

Persamaan dasar dinamika gerak rotasi

Hukum dasar dinamika gerak rotasi dapat diperoleh dari hukum II Newton untuk gerak translasi benda tegar

Di mana F adalah gaya yang diterapkan pada tubuh oleh massa m; sebuah adalah percepatan linier tubuh.

Jika untuk benda bermassa kaku m pada titik A (Gbr. 2.15) berikan gaya F, maka sebagai akibat dari hubungan kaku antara semua titik material benda, semuanya akan menerima percepatan sudut dan percepatan linier yang sesuai, seolah-olah gaya F 1 …F n bekerja pada setiap titik. Untuk setiap poin materi, Anda dapat menulis:

Dimana karena itu

Di mana saya- bobot saya- titik ke-; adalah percepatan sudut; r saya adalah jaraknya terhadap sumbu rotasi.

Mengalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengan r saya, kita mendapatkan

Dimana - momen kekuatan - adalah produk dari kekuatan di bahunya.

Beras. 2.15. Benda tegar yang berputar di bawah aksi suatu gaya F tentang sumbu “ОО”

- momen inersia saya titik material (analog dengan massa dalam gerakan rotasi).

Ekspresinya dapat ditulis seperti ini:

Mari kita jumlahkan bagian kiri dan kanan di semua titik tubuh:

Persamaan tersebut merupakan hukum dasar dinamika gerak rotasi benda tegar. Nilai - jumlah geometris dari semua momen gaya, yaitu momen gaya F, memberikan percepatan ke semua titik tubuh. adalah jumlah aljabar momen inersia semua titik benda. Hukum dirumuskan sebagai berikut: "Momen gaya yang bekerja pada benda yang berputar sama dengan hasil kali momen inersia benda dan percepatan sudut."

Di samping itu

Pada gilirannya - perubahan momentum sudut tubuh.

Maka hukum dasar dinamika gerak rotasi dapat ditulis ulang sebagai:

Atau - impuls momen gaya, yang bekerja pada benda yang berputar, sama dengan perubahan momentum sudutnya.

Hukum kekekalan momentum sudut

Mirip dengan ZSI.

Menurut persamaan dasar dinamika gerak rotasi, momen gaya terhadap sumbu Z: . Oleh karena itu, dalam sistem tertutup dan, oleh karena itu, momentum sudut total terhadap sumbu Z dari semua benda yang termasuk dalam sistem tertutup adalah nilai konstan. Ini mengungkapkan hukum kekekalan momentum sudut . Hukum ini hanya berlaku dalam kerangka acuan inersia.

Mari kita menggambar analogi antara karakteristik gerak translasi dan gerak rotasi.

Basis dan pondasi dihitung menurut 2 keadaan batas

	Dengan daya dukung:	N- beban desain yang ditentukan di pangkalan dalam kombinasi yang paling tidak menguntungkan; - daya dukung (beban akhir) pondasi untuk arah beban tertentu N; - koefisien kondisi kerja pondasi (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Menurut deformasi batas:	- perkiraan penurunan mutlak pondasi; - selisih relatif penurunan pondasi yang dihitung; , - nilai batas, masing-masing, dari perbedaan absolut dan relatif penurunan pondasi (SNiP 2.02.01-83 *)

Dinamika rotasi

Kata pengantar

Saya menarik perhatian siswa pada fakta bahwa materi INI tidak dianggap BENAR-BENAR di sekolah (kecuali untuk konsep momen gaya).

1. Hukum dinamika gerak rotasi

sebuah. Hukum dinamika gerak rotasi

b. Momen kekuatan

c. Momen sepasang gaya

d. Momen inersia

2. Momen inersia beberapa benda:

sebuah. Ring (silinder berdinding tipis)

b. Silinder dinding tebal

c. silinder padat

e. batang tipis

3. Teorema Steiner

4. Momen sudut tubuh. Perubahan momentum sudut benda. impuls momentum. Hukum kekekalan momentum sudut

5. Operasi putar

6. Energi kinetik rotasi

7. Perbandingan besaran dan hukum gerak translasi dan gerak rotasi

1a. Pertimbangkan benda tegar yang dapat berputar di sekitar sumbu tetap OO (Gbr. 3.1). Mari kita pecahkan benda padat ini menjadi massa dasar yang terpisah m saya . Resultan dari semua gaya yang diterapkan pada m i , dilambangkan dengan . Cukuplah untuk mempertimbangkan kasus ketika gaya terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi: komponen gaya yang sejajar dengan sumbu tidak dapat mempengaruhi rotasi benda, karena sumbunya tetap. Maka persamaan hukum kedua Newton untuk komponen tangensial gaya dan percepatan akan ditulis sebagai:

Komponen normal gaya memberikan percepatan sentripetal dan tidak mempengaruhi percepatan sudut. Dari (1.27): , di mana adalah jari-jari rotasi saya- titik itu. Kemudian

Kalikan kedua ruas (3.2) dengan:

perhatikan itu

di mana adalah sudut antara vektor gaya dan vektor jari-jari titik (Gbr. 3.1), adalah tegak lurus yang dijatuhkan ke garis aksi gaya dari pusat rotasi (bahu gaya). Mari kita perkenalkan konsep momen gaya.

1b. Momen kekuatan relatif terhadap sumbu disebut vektor yang diarahkan sepanjang sumbu rotasi dan dikaitkan dengan arah gaya oleh aturan gimlet, modul yang sama dengan produk gaya dan lengannya: . Bahu Kekuatan aku relatif terhadap sumbu rotasi adalah jarak terpendek dari garis aksi gaya ke sumbu rotasi. Dimensi momen gaya:

Dalam bentuk vektor, momen gaya terhadap suatu titik:

Vektor momen gaya tegak lurus terhadap gaya dan vektor jari-jari titik penerapannya:

Jika vektor gaya tegak lurus terhadap sumbu, maka vektor momen gaya diarahkan sepanjang sumbu sesuai dengan aturan ulir kanan, dan besarnya momen gaya relatif terhadap sumbu ini (proyeksi ke sumbu) ditentukan oleh rumus (3.4):

Momen gaya bergantung baik pada besar gaya maupun pada lengan gaya. Jika gaya sejajar dengan sumbu, maka .

1c. Pasangan yang kuat - ini adalah dua gaya yang sama besarnya dan berlawanan arah, yang garis kerjanya tidak bertepatan (Gbr. 3.2). Lengan sepasang gaya adalah jarak antara garis-garis aksi gaya-gaya tersebut. Mari kita cari momen total dari pasangan gaya dan () pada proyeksi terhadap sumbu yang melalui titik O:

Artinya, momen sepasang gaya sama dengan hasil kali besar gaya dan plccho pasangan:

Mari kita kembali ke (3.3). Dengan mempertimbangkan (3.4) dan (3.6):

1d. Definisi: nilai skalar yang sama dengan produk massa suatu titik material dan kuadrat jaraknya ke sumbu disebut momen inersia suatu titik material relatif terhadap sumbu OO:

Dimensi momen inersia

Vektor dan berhimpitan dengan sumbu rotasi, berhubungan dengan arah rotasi menurut aturan gimlet, sehingga persamaan (3.9) dapat ditulis ulang dalam bentuk vektor:

Mari kita jumlahkan (3.10) dari semua massa dasar di mana tubuh dibagi:

Di sini diperhitungkan bahwa percepatan sudut semua titik benda tegar adalah sama, dan dapat diambil dari tanda penjumlahan. Di sisi kiri persamaan adalah jumlah momen semua gaya (baik eksternal maupun internal) yang diterapkan pada setiap titik benda. Tetapi menurut hukum ketiga Newton, gaya-gaya di mana titik-titik benda berinteraksi satu sama lain (gaya dalam) adalah sama besarnya dan berlawanan arah dan terletak pada garis lurus yang sama, sehingga momen-momen mereka saling meniadakan. Jadi, di bagian kiri (3.11) momen total hanya gaya eksternal yang tersisa: .

Jumlah produk massa dasar dan kuadrat jaraknya dari sumbu rotasi disebut momen inersia benda tegar tentang sumbu ini:

Lewat sini, ; - ini adalah hukum dasar dinamika gerak rotasi benda tegar (analog dengan hukum kedua Newton): percepatan sudut suatu benda berbanding lurus dengan momen total gaya luar dan berbanding terbalik dengan momen inersia benda :

Momen inersia Sayapadat adalah ukuran sifat inert dari benda padat selama gerakan rotasi dan mirip dengan massa benda dalam hukum kedua Newton. Ini pada dasarnya tidak hanya tergantung pada massa tubuh, tetapi juga pada distribusinya relatif terhadap sumbu rotasi (dalam arah tegak lurus terhadap sumbu).

Dalam kasus distribusi massa yang kontinu, jumlah dalam (3.12) berkurang menjadi suatu integral di seluruh volume benda:

2a. Momen inersia cincin tipis terhadap sumbu yang melalui pusatnya tegak lurus terhadap bidang cincin.

karena untuk setiap elemen cincin jaraknya ke sumbu adalah sama dan sama dengan jari-jari cincin: .

2b. Silinder berdinding tebal (cakram) dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar.

Mari kita hitung momen inersia piringan homogen dengan massa jenis ρ , tinggi h, jari-jari dalam dan jari-jari luar (Gbr.3.3) relatif terhadap sumbu yang melewati pusat massa yang tegak lurus terhadap bidang piringan. Mari kita membagi piringan menjadi cincin tipis dengan ketebalan dan tinggi sehingga jari-jari bagian dalam cincin adalah , dan bagian luarnya adalah . Volume cincin seperti itu adalah , di mana adalah luas alas cincin tipis. massanya:

Kita substitusikan ke (3.14) dan integrasikan ke atas r():

Massa disk, lalu akhirnya:

2c. Silinder padat (disk).

Dalam kasus khusus piringan padat atau silinder dengan jari-jari R mari kita substitusikan ke (3.17) R 1 =0, R 2 =R dan dapatkan:

Momen inersia bola berjari-jari R dan massa relatif terhadap sumbu yang melalui pusatnya (Gbr. 3.4), adalah (tanpa bukti):

2e. Momen inersia batang tipis dengan massa dan panjang relatif terhadap sumbu yang melalui ujungnya tegak lurus batang (Gbr. 3.5).

Kami membagi batang menjadi segmen-segmen kecil yang tak terhingga panjangnya. Massa daerah seperti itu. Substitusi ke (3.14) dan integrasikan dari 0 ke :

Jika sumbu melewati pusat batang yang tegak lurus terhadapnya, Anda dapat menghitung momen inersia setengah batang menggunakan (3.20) dan kemudian menggandakannya:

3. Jika sumbu rotasi tidak lulus melalui pusat massa benda (Gbr.3.6), perhitungan menggunakan rumus (3.14) bisa sangat rumit. Dalam hal ini, perhitungan momen inersia difasilitasi dengan menggunakan Teorema Steiner : momen inersia benda terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia Saya c benda terhadap suatu sumbu yang melalui pusat massa benda yang sejajar dengan sumbu ini, dan hasil kali massa benda dengan kuadrat jarak antara as:

Mari kita lihat bagaimana teorema Steiner bekerja jika kita menerapkannya pada batang:

Sangat mudah untuk melihat bahwa identitas diperoleh, karena dalam hal ini jarak antara sumbu sama dengan setengah panjang batang.

4. Momen sudut tubuh. Perubahan momentum sudut benda. impuls momentum. Hukum kekekalan momentum sudut.

Dari hukum dinamika gerak rotasi dan definisi percepatan sudut, berikut ini:

Jika kemudian . Mari kita perkenalkan momentum sudut benda tegar sebagai

Hubungan (3.24) adalah hukum dasar dinamika benda tegar untuk gerak rotasi. Itu dapat ditulis ulang seperti ini:

dan kemudian akan menjadi analog dari hukum kedua Newton untuk gerak translasi dalam bentuk impulsif (2.5)

Ekspresi (3.24) dapat diintegrasikan:

dan merumuskan hukum perubahan momentum sudut: perubahan momen momentum benda sama dengan momentum momen total gaya-gaya luar . Besaran tersebut disebut impuls momen gaya dan serupa dengan impuls gaya dalam rumusan hukum kedua Newton untuk gerak translasi (2.2); momentum sudut analog dengan momentum.

Dimensi momentum sudut

Momentum sudut benda tegar terhadap sumbu rotasinya adalah vektor yang diarahkan sepanjang sumbu rotasi menurut aturan gimlet.

Momentum sudut suatu titik material relatif terhadap titik O (Gbr. 3.6) adalah:

di mana adalah vektor jari-jari suatu titik material, adalah momentumnya. Vektor momentum sudut diarahkan sesuai dengan aturan gimlet tegak lurus terhadap bidang di mana vektor dan terletak: pada Gambar. 3.7 - untuk kita karena gambar. Besarnya momentum sudut

Kami membagi benda tegar yang berputar pada sumbu menjadi massa dasar dan menjumlahkan momentum sudut setiap massa di seluruh benda (hal yang sama dapat ditulis sebagai integral; ini bukan fundamental):

Karena kecepatan sudut semua titik adalah sama dan diarahkan sepanjang sumbu rotasi, dapat ditulis dalam bentuk vektor:

Dengan demikian, persamaan definisi (3.23) dan (3.26) terbukti.

Jika momen total gaya luar adalah nol, maka momentum sudut sistem tidak berubah(lihat 3.25):

. Ini adalah hukum kekekalan momentum . Ini dimungkinkan ketika:

a) sistem tertutup (atau);

b) gaya luar tidak memiliki komponen tangensial (vektor gaya melewati sumbu/pusat rotasi);

c) gaya luar sejajar dengan sumbu tetap rotasi.

Contoh penggunaan/operasi hukum kekekalan momentum sudut:

1. giroskop;

2. bangku Zhukovsky;

3. pemain es.

5. Bekerja dengan gerakan memutar.

Biarkan tubuh berputar melalui sudut di bawah aksi gaya dan sudut antara perpindahan dan gaya adalah ; - vektor radius titik penerapan gaya (Gbr. 3.8), maka kerja gaya sama dengan: